还原法解分数应用题

一、夯实基础

有些题目，如果按照一般方法，顺着题意一步一步求解根本无从下手或计算过程比较繁琐，那么在解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减，乘与除之间的互逆关系，从后往前一步一步的逆推，从而推算出原数，这种思考问题的方法叫做还原法或逆推法。

用还原法解答的关键是：

①根据题目所求的问题，找出相应的两个条件，弄清所求的单位“1”是谁，“量”和“率”是否对应。 ②数量关系比较复杂的可借助表格、线段图或流程图等帮助分析。

二、典型例题

例1．将小明奶奶今年的年龄依次减去15并乘

41，再加上4后除以5

1

，恰好是100岁，小明奶奶今年多少岁？ 分析与解：从最后的结果出发，如果小明奶奶的年龄不除以51，那就是100×5

1

= 20（岁）；不加上4，就是

20 – 4 = 16（岁）；不乘41，就是16÷4

1

= 64（岁）；最后再加上15就是奶奶今年的年龄。

（100×51－4）÷4

1

+ 15 = 79（岁）

答：小明奶奶今年79岁。

例2．菜农张大伯卖一批大白菜，第一天卖出这批大白菜的31，第二天卖出余下的5

2

，这时还剩下240千克大白菜未卖，这批大白菜共有多少千克？

例3．有一条铁丝，第一次剪下它的21又1米，第二次剪下剩下的3

1

又1米，此时还剩15米，这条铁丝原来有多长？

三、熟能生巧

1．人民机械厂加工一批零件，甲车间加工这批零件的51，乙车间加工余下的41，丙车间在加工余下的5

2

，还剩3600个零件没有加工，这批零件一共有多少个？

2．一瓶油第一次吃去15 ，第二次吃去余下的34 ，这时瓶里还有1

5 千克，这个瓶里原来有油多少千克？

3．有铅笔若干支，分一半加1支送甲，分余下的一半加2支送乙，剩下的4支送丙，这些铅笔原有多少支？

四、拓展演练

1．一堆西瓜，第一次卖出总数的41多4个，第二次卖出余下的2

1

多2个，还剩2个。这对西瓜共有多少个？

2．3只猴子吃篮里的桃子，第一只猴子吃了31，第二只猴子吃了剩下的3

1

，第三只猴子吃了第二只猴子吃过后剩下的4

1

，最后篮子里还剩下6只桃子，问篮里原有桃子多少只？

3．某水果店有一批苹果，第一天卖出92，第二天卖出第一天剩下的71，第三天补进第二天剩下的2

1

，这时还存有698千克，问原来有苹果多少千克？

六、星级挑战

★1．某厂有三个车间，一车间人数占全厂人数的41，二车间人数比一车间少5

1

，三车间人数比二车间人数多30%，三车间有156人，求这个厂全厂共有多少人？

★★2．甲、乙两个仓库各有一些粮食，从甲仓运出41到乙仓后，又从乙仓运出4

1

到甲仓，这时甲、乙两仓各有粮食90吨，原来甲、乙两仓各有粮食多少吨？

第22讲 转化法解分数应用题

一、夯实基础

有些稍复杂的分数应用题中经常有好几个单位“1”量，要正确地解答这些题目，必须先分清楚各个不同单位“1”量，然后再把题中的某一种量看作单位“1”，把其他所有的分率都转换为这个单位“1”的几分之几，再按照简单应用题的方法来计算。

二、典型例题

例1．果园里有苹果树和梨树共420棵，苹果树棵数的

31等于梨树的9

4

，问这两种果树各有多少棵？ 分析：题中的

31是以苹果树为标准量，94

是以梨树为标准量，解题时必须统一成一个标准量。若以苹果树为单位“1”，则有1×31＝梨树×94，那么梨树就相当于单位“1”的31÷9

4

，两种果树的总棵数就相当于单位“1”

的（1＋31÷9

4

）。

解：苹果树：420÷（1＋31÷94

）＝240（棵）

梨树：240×（31÷9

4

）＝180（棵）

答：苹果树有240棵，梨树有180棵。

例2．兄弟四人合买一台彩电，老大出的钱是其他三人出钱总数的21

，老二出的钱是另外三人出钱总数的3

1，老三出的钱是另外三人出钱总数的4

1

，老四比老三多出40元。求这台彩电多少钱？

例3．甲、乙、丙三人各有人民币若干元，丙的钱数比甲少10

1，丙的钱数又比乙多21

，已知甲的钱数比乙的钱数

多200元，求甲、乙、丙三人各有人民币多少元？

三、熟能生巧

1．甲、乙二人共有存款1800元，甲取出他的52，乙取出他的4

1

以后，二人余存数正好相等。甲、乙两人原来各有存款多少元？

2．一位老人去世后留下一笔遗产分给其三个子女。老大分的财产是其余两人的1

2，老二分的财产是其余两人的1

3

，老三分的财产是12000元。问老人留下的遗产是多少元？

3．甲、乙、两三人共加工735个零件，已知甲加工的零件个数是乙的76，乙加工的零件个数是丙的8

7

。甲、乙、丙三人各加工零件多少个？

四、拓展演练

1．逸仙小学有学生1350人，秋游组织全校男生的

54和全校女生的4

3

参观静海寺，其余的学生参观南京大屠杀纪念馆，结果发现参观南京大屠杀纪念馆的男生和女生人数正好相等，逸仙小学男生和女生各有多少人？

2．甲、乙、丙三人存钱，甲存钱数是另两人的3

1

，乙存钱数是另两人的25%，丙存钱660元。三人平均存多少钱？

3．甲、乙、丙各有钱若干元，甲的钱数是乙的35，丙的钱数比甲多1

4

，求丙的钱数是乙的几分之几？

五、举一反三

六、星级挑战

★1．有两根绳，甲绳比乙绳长35米。已知甲绳的95和乙绳的4

3

相等，两根绳各长多少米？

★★2．阿木达是一位勤劳的牧民，他养了许多骆驼和毛驴。已知阿木达养的骆驼数占骆驼和毛驴总数的9

5

，毛驴数比骆驼数的

11

9

少2头。求阿木达养了多少头骆驼，多少头毛驴？

第23讲 抓住不变量解分数应用题

一、夯实基础

有些分数应用题，数量变化多，分析难度大，不易列式计算。但是，如果我们仔细分析就会发现，变来变去，总有一个量是不变的，这就是我们所说的“不变量”。对于这类分数应用题，我们通常是抓住“不变量”，巧设单位“1”，把其他分率统一转化为同一个单位“1”，求出单位“1”的量，把它作为解题的中间条件，问题就迎刃而解了。

运用“量不变”的思维方法解题时，大体上有以下几种情况： （1）分量发生变化，总量没有变化；

（2）总量发生变化，但其中有的分量没有发生变化； （3）总量和分量都发生变化，但分量之间的差没有发生变化。

二、典型例题

例1．学校阅览室里有36名学生在看书，其中女生占9

4

，后来又有几名女生来看书，这时女生人数占所有看书人数的

19

9

。问后来又有几名女生来看书？ 分析：解这道题的关键在于抓住不变量（男生人数前后未变），根据男生人数占原来看书总人数的1－94=9

5，可求出原来看书的男生有多少人。根据男生人数占现在看书人数的1－199=19

10

，可求出现在看书的总人数，进而可求出新来了几名女生。

解：36×（1－

94）÷（1－19

9

）－36=38－36=2（人） 答：后来又有2名女生来看书。

例2．有两缸金鱼，如果从甲缸中取出1尾放入乙缸，则两缸的金鱼尾数相等，如果从乙缸中取出1尾放入甲缸，则乙缸是甲缸的2

1

。求原来甲、乙两缸各有金鱼多少尾？

例3．一筐香蕉，筐的重量是香蕉的12

1，卖掉19千克后，剩下的香蕉重量是筐重量的25

倍，求原来筐里有香蕉多

少千克？

三、熟能生巧

1．某校原有科技书和文艺书共630本，其中科技书占20%，后来又买进一些科技书，这时科技书占总数的30%，求

又进科技书多少本？

2．小芳在看一本小说，晚饭前，已看的页数是未看的71，晚饭后，她又看了8页，这时已看的页数是未看的6

1，这本小说有多少页？

3．某车间男工人数是女工人数的2倍，若调走21个男工，那么女工人数是男工人数的2倍。这个车间的女工有多少人？

四、拓展演练

1．一批葡萄运进仓库时的质量是100千克，测得含水量为99%，过一段时间，测得含水量为 98%，这时葡萄的质量是多少千克？

2．有甲、乙两个粮库，原来甲粮库存粮的吨数是乙粮库的7

5

。如从乙粮库调6吨到甲粮库，甲粮库存粮的吨数就是乙的5

4

。原来甲、乙粮库各存粮多少吨？

3．袋中有若干个皮球，其中花皮球占12

5，后来往袋中又放入了6个花皮球，这时花皮球占皮球总数的21

，现在袋

中有多少个皮球？

五、举一反三

六、星级挑战

★1．小强和小明各有图书若干本。已知小强的图书本数占两人图书总数的60%，当小强借给小明20本后，小强和小明图书本数的比是2：3。两人一共有图书多少本？

★★2．甲种手机的价格是乙种手机价格的17

9

，如果这两种手机的价格都分别下降600元，那么甲种手机的价格是乙种手机价格的31

15

。甲种手机原来的价格是多少元?

第24讲 巧用比解分数应用题

一、夯实基础

对分数应用题，巧妙地应用比的知识，能使复杂的题目简单地解决。在比中，如果甲数：乙数=4：5，我们可以把甲数看作4份，把乙数看作5份，甲、乙两数的和看作9份。在分数应用题，如果已知“男生人数是女生人数的

53”，我们也可以把男生人数看作3份，女生人数看作5份。同样的，如果“男生人数比女生人数多6

1

”，我们就可以把女生人数看作6份，男生人数就是（6+1）份。正因为有这样的联系，我们就可以把分数应用题用比的知识来解答。

二、典型例题

例1．水结成冰，体积增加了

101

，当冰融成水后，体积要减少几分之几？ 分析：水结成冰，体积增加10

1

，即水的体积10份，冰的体积是10＋1=11份。求冰化成水后，体积减少几分

之几，就是求减少的体积占冰体积的几分之几，用“减少的体积÷冰的体积”就可得到。

解：（11－10）÷11=

11

1

。

答：体积要减少

11

1。 例2．甲、乙两仓库共存粮600吨，甲仓库的存粮比乙仓库少7

2

，求甲、乙两仓库各存粮多少吨？

例3．甲、乙两人共有存款108元，如果甲取出自己存款的5

2

，乙取出12元后，两人所存的钱数相等，甲、乙两人原来各有存款多少元？

三、熟能生巧

1．明明在书店买了一本字典和一本作文选。已知字典比作文选贵元，作文选的价钱是字典的2

5

。字典的价钱是多少元？

2．甲绳比乙绳长43米，乙绳比甲绳短10

1

。甲、乙两绳各长多少米？

3．水果店运来苹果和香梨一共210千克，香梨的质量是苹果的2

5

。运来香梨有多少千克？

4．甲、乙两个养猪专业户共养猪2000头，如果甲卖掉他所养猪的4

1

，乙卖掉110头，则甲、乙两户剩余的猪的头数相等，甲、乙两户原来各养猪多少头？

四、拓展演练

1．两根铁丝共长363米，各剪去3米，则第二根是第一根的9

8

。原来第一根长几米？

2．甲、乙两个书架，甲书架上的书是乙书架的13

8

。若从乙书架取出75本放入甲书架，两个书架上的书相等。原来两书架各有书多少本？

3．有两个桶共装油44千克，若第一桶里倒出5

1

，第二桶里倒进千克，则两个桶里的油相等。原来每只桶各装油多少千克？

六、星级挑战

★1．甲、乙两桶油，甲桶油的重量是乙桶油重量的8

7

。如果从乙桶倒出5千克油到甲桶，这时两桶油就相等了。甲、乙两桶油原来各有多少千克？

★★2．五年级有3个班，一班人数占全年级的1033

，三班人数比二班人数多1

11，如果从三班调走4人后，和二班

人数同样多，求五年级共有多少人？

第25讲 对应法解分数应用题

一、夯实基础

对应法是一种极为重要的解题方法，我们在分析分数除法应用题时，大都建立在“量”与“率”对应的基础上。

在分数、百分数的复合应用题中，根据题目中的已知量，找出和已知量对应的分率，就可以求出单位“1”量。

二、典型例题

例1．小华看一本书，第一天看了全书的

81还多21页，第二天看了全书的6

1

少6页还剩下172页。这本故事书共有多少页？

分析：要想求这本书共有多少页，需要找条件里的多21页，少6页，剩下 172页所对应的百分率．也就是说，要从这三个量里找出一个能明确占全书的几分之几的量。画线段图如下：

解：（172－6＋21）÷（1－

18－16）=187÷17

24

=264（页） 答：这本故事书共有264页．

例2．学校买来一批图书，放在两个书柜中，其中第一个书柜中的图书占这批图书的58%，如果从第一个书柜中取出32本，放到第二个书柜中，这时两个书柜的图书各占这批图书的

2

1

，求这批图书共有多少本？ 例3．有两根蜡烛，一根长8厘米，另一根长6厘米。把两根都燃掉同样长的一部分后，短的一根剩下的长度是长的一根剩下的5

3

。每段燃掉多少厘米？

三、熟能生巧

1．用米尺测量一根铁丝，从一端量出全长的40%，做一个标记；从另一端量出全长的4

3

，再做一个标记，这两个标记间长6米，问这根铁丝长多少米？

2．小青看一本小说，第一天看的页数比总页数的81多16页；第二天看的页数比总页数的6

1

少2页，还余下88页。这本书共有多少页？

3．仓库里原来存的大米和面粉袋数相等，运出800袋大米和500袋面粉后，仓库里所剩下的大米袋数是面粉的4

3。仓库里原来有大米和面粉多少袋？

四、拓展演练

1．一批课外读物，借出的占这批读物的87，后来又添置了125本，这时存书占原有本数的3

1

，求原有课外读物多少本？

2．某校男生人数比全校学生总人数的31多72人，女生人数比全校学生总数的5

3

少20人，这个学校男、女生各有多少人？

3．一瓶酒精，当用去酒精的50%后，连瓶共重700克；如只用去酒精的3

1

后，连瓶共重800克。求瓶子的重量。

4．一本书，已经看了130页，剩下的准备8天里看完。如果每天看的页数相等，3天看的页数恰好是全书的22

5。这本书共有多少页？

五、举一反三

六、星级挑战

★1．一块西红柿地今年获得丰收。第一天收了全部的8

3

，装了3筐还余12千克，第二天把剩下的全部收完，正好装了6筐，这块地共收了多少千克西红柿？

★★2．某超市运来红糖和白糖各一大袋，红糖重量的51比白糖重量的4

1

还多2千克，两袋糖共重82千克，求红糖和白糖各多少千克？

第26讲 假设法解分数应用题

一、夯实基础

假设法的思维方法是数学中经常使用的一种推测性思维方法。当有些应用题用直接推理或其他推理方法不能寻找解题途径时，就可以将题目中的两个或两个以上的未知条件，假设成相等的数量，或将一个未知条件假设成已知，从而使题目中隐蔽或复杂的数量关系趋于明朗化和简单化，这是假设思维的一个突出特点。

用假设法解题时，一定要抓住假设的结果与实际结果之间的不同，找出不同的缘由，就是解题的突破口。

二、典型例题

例1．甲、乙两筐苹果共195千克，如果从甲筐取出73，从乙筐取出3

1

，两筐共取出75千克，问：甲、乙两筐原来各重多少千克？

分析：假设甲、乙两筐均取出31，根据乘法分配律，甲筐重量×31＋乙筐重量×3

1

=（甲筐重量＋乙筐重量）×31=195×31=65。假设的结果比75千克少10千克，原因是甲筐实际取出了73，少算了甲筐重量的（73－3

1），即可求出甲筐的重量。

解：假设甲、乙两筐均取出了3

1

。 195×

3

1

=65（千克） 甲筐重量：（75－65）÷（

73－31）=10÷21

2=105（千克） 乙筐重量：195－105=90（千克） 答：甲筐原有苹果105千克，乙筐原有苹果90千克。 例2．学校有排球和足球共58个，排球借出

6

1

后，还比足球多8个。原来排球和足球各有多少个？ 三、熟能生巧

1．甲、乙两班共84人，甲班人数的85与乙班人数的4

3

共有58人，甲、乙两班各有多少人？

2．师傅与徒弟两人共加工零件105个，已知师傅加工零件的总数的83与徒弟加工的零件总数的7

4

的和为49个，师、徒各加工零件多少个？

3．由于浮力的作用，金放在水里称，重量减轻

191，银放在水里称，重量减轻10

1

。有一块重500克的金银合金，放在水里称减轻了32克，这块合金含金多少克？

四、拓展演练

1．两根电线共长52米，第一根的41和第二根的5

2

的和是16米，求两根电线各长多少米？ 2．甲、乙两人共有人民币700元，甲用去自己钱数的53，乙用去自己钱数的3

1

，两人总共还剩下360元，求原来

甲、乙两人各有人民币多少元？

3．育红小学上学期共有学生750人，本学期男生增加

61，女生减少5

1

，共有710人，本学期男女学生各有多少人？

六、星级挑战

★1．袋子里原有红球和黄球共104个。将红球增加83，黄球减少5

2

后，红球和黄球的总数变为112个。原来袋子里有红球和黄球各多少个？

★★2．我校图书室去年买了科技书与文艺书共475本，今年又买了科技书与文艺书共640本。其中科技书比去年多买了48%，文艺书比去年多买了20%，今年买的新书中科技书与文艺书各有多少本？