02 利用待定系数法因式分解和分式的拆分等

第2讲利用待定系数法因式分解、分式的拆分等

一、 方法技巧

1. 待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了 多项式()()f x g x =的充要条件是：对于一个任意的x=a 值，都有()()f x g x =；或者两个多项 式各关于x 的同类项的系数对应相等．

2. 使用待定系数法解题的一般步骤是：

（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；

（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）；

（3）解方程（组），从而使问题得到解决.

例如：“已知()22

52x a x bx c -=-?++，求a ，b ，c 的值．” 解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到a ，b ，c 的值．这里的a ，b ，c 是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法．

3. 格式与步骤:

(1)确定所求问题含待定系数的解析式.

上面例题中，解析式就是：()2

2a x bx c -?++ (2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程.

在这一题中，恒等条件是：

210

5a b c -=??=??=-?

(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.

∴10

5a b c =??=??=-?

二、应用举例

类型一 利用待定系数法解决因式分解问题

【例题1】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除.

（1）求a ，b

（2）分解因式：432237x x ax x b -+++

【答案】（1） 12 6a b =-=和 （2）()()

4322223127 6 2253x x x x x x x x --++=+---

【解析】

试题分析：

（1）由条件可知2

2x x +-是该多项式的一个二次因式，而该多项式次数为4，故可设()()4322223722x x ax x b x x x mx n -+++=+-++，可解出m 、n ，最后代入即可求出a 、b 的值.

（2）由（1）可得结果

试题解析：

解：（1）∵多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除

∴设()()

4322223722x x ax x b x x x mx n -+++=+-++，

整理，得()()()43243223724222m x x ax x b x x m n x n m x n -+++=+++-+--+ ∴234272m m n a n m b n

+=-??+-=??-=??=-? 解得53126

m n a b =-??=-??=-??=? ∴a 、b 的值分别为126-和.

（2）()()

4322223127 6 2253x x x x x x x x --++=+---

考点：1.待定系数法因式分解 2.整式乘法 3.解方程组.

点评：用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.

【难度】一般

【例题2】分解因式：22253352x xy y x y +--+- 【答案】22

2533522132x xy y x y x y x y +--+-=-++-（）（）

【解析】

试题分析： 方法一 因为22

25323x xy y x y x y +-=-+（）（），因此,如果多项式能分解成两个关于x 、y 的一次因式的乘积,那么设原式的分解式是23x y m x y n +（-+）（+）,其中m 、n 为待定系数. 然后展

开，利用多项式的恒等，求出m 、n 的值.

试题解析：

解：∵22

25323x xy y x y x y +-=-+（）（），

∴设22

25335223x xy y x y x y m x y n +--+-=-+++（）（）

即 ()()222533522323?x xy y x y x y x y m n x m n y mn +--+-=-++++-+（）（） 对比系数，得：23352m n m n mn +=- -= =- ?????

①②③

由①、②解得：12

m n =??

=-? 代入③式也成立. ∴2

22533522132x xy y x y x y x y +--+-=-++-（）（）

试题分析：

方法二 前面同思路1，因为

()()()()222533522323x xy y x y x y x y m n x m n y mn +--+-=-++++-+是恒等式，

所以对任意,x y 的值，等式都成立，所以给,x y 取特殊值，即可求出,m n 的值.

试题解析： 解：∵22

25323x xy y x y x y +-=-+（）（），

∴设2225335223x xy y x y x y m x y n +--+-=+（－＋）（＋）

即 ()()222533522323?x xy y x y x y x y m n x m n y mn +--+-=-++++-+（）（） ∵该式是恒等式，

∴它对所有使式子有意义的x ，y 都成立，

那么令002x y mn ===-，得： ①

令01330x y m n mn ==-+-=，得：

② 解①、②组成的方程组，得12m n ==-???或-3

23m n ==????? 把它们分别代入恒等式检验，得12m n ==-??

? ∴222533522132x xy y x y x y x y +--+-=-++-（）（）

考点：1.待定系数法分解因式 2.解方程组.

点评：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验.若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式.

【难度】较难

类型二 利用待定系数法解决分式拆分问题

【例题3】 将分式21(1)(1)

x x ++拆分成两个分式的和的形式. 【答案】22111(1)(1)2(1)2(1)

x x x x x -+=+++++ 【解析】

试题分析： 设221(1)(1)11

ax b c x x x x +=+++++，将等式右边通分，再利用分子恒等求出a 、b 、c 的值即可. 试题解析： 解：设221(1)(1)11

ax b c x x x x +=+++++ 而222()()11(1)(1)

ax b c a c x a b x b c x x x x +++++++=++++ 即2221()()(1)(1)(1)(1)

a c x a

b x b

c x x x x +++++=++++ 比较分子，得

00

1a c a b b c +=??+=??+=? 解得12a =-， 12

b c ==. ∴22111(1)(1)2(1)2(1)

x x x x x -+=+++++ 考点：分式的恒等变形

点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为Ax B +形式，分母只含一次项，则设分子为常数

【难度】较难

【例题4】计算：()()()()()()()

1111...11223910a a a a a a a a +++++++++++ 【答案】

()

1010a a + 【解析】

试题分析：

本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a 是整数），所以我们探究其中一个分式，找到相通的规律，从而解题.

试题解析：

解：我们设()111

A B a a a a =+++ 而()()()

11(1)1A a Ba A B a A A B a a a a a a +++++==+++ 比较分子得：01A B A +=??=?，解得：11

A B =??=-? 所以()11111

a a a a =-++ 所以，原式=11111111 (11223910)

a a a a a a a a -+-+-+-+++++++ 1110

a a =-+ ()1010a a =

+ 考点：分式计算.

点评：在做题的时候见到式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积，可直接用公式

()11111

n n n n =-++拆分. 【难度】较难

类型三 利用待定系数法解决多项式中不含某项问题

【例题5】 已知()

()2332x mx x -+-的积中不含x 的二次项，则m 的值是（ ） A. 0 B.

23 C. 23- D. 32

- 【答案】C

【解析】

试题分析： 将多项式()

()2332x mx x -+-展开、合并，按x 的降幂排列，根据积中不含x 的二次项等价于2x 项的系数为零列方程即可求得m 的值.

试题解析：

解：∵ ()

()2322332 339226x mx x x mx x x mx -+-=-+-+-()()32 332926

x m x m x =-+++- ∵积中不含x 的二次项，

∴320m +=， 解得23

m =-. 故选C .

考点：多项式乘以多项式.

点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值.

【难度】一般

三、 实战演练

1.若多项式22

3529x xy y x y n +-+++能被34x y -+整除，则_______n =.

【答案】4-

【解析】

试题分析：

此题可通过因式分解得到：被除式=商×除式（余式为0），其除式为34x y -+即可

试题解析：

解：设原式()()342x y x y m =-+++()()22352+3484x xy y m x m y m =+-++-+ 比较系数，得：341894m m n m +=??-=??=?

①②③

由①，②解得1m =-，

代入③得4n =-

考点：因式分解的应用

点评：此题考查知识点是因式分解的应用，运用公式被除式=商×除式（余式为0）是解题关键.

【难度】容易

2. 分解因式：

4321x x x x ++++ 【答案】4321x x x x ++++

=2211(1)(1)22

x x x x -++++ 【解析】

试题分析：

这个多项式各项之间没有公因式也不符合乘法公式，又因为不是二次三项式所以不适用十字相乘法；虽多于三项，但分组之后分解不能继续.因此，我们应采用其他的办法—待定系数法.这是一个四次五项式，首项系数为1，尾项也是1，所以它可以写成两个二次三项式的积，再利用恒等式的性质列方

程组求解即可.

试题解析：

解：设4321x x x x ++++=22

(1)(1)x mx x nx ++++

而22(1)(1)x mx x nx ++++ 4323221x nx x mx mnx mx x nx =++++++++

432()(2)()1x m n x mn x m n x =+++++++

∴121

m n mn +=??+=?

解得m n ?=????=??

或m n ?=????=??

∴432221(1)(1)x x x x x x x ++++=++ 考点：待定系数法因式分解.

点评：本题考查了待定系数法因式分解解高次多项式，恰当设待定系数是关键.

【难度】容易

3.分解因式：2223914320a ab b a b +-+-+

【答案】()22

2391432023435a ab b a b x b a b +-+-+=-+++（） 【解析】

试题分析：

属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，在此我们用待定系数法.

先分解()()22

239233a ab b a b a b +-=-+，再设原式()()233a b m a b n =-+++，展开后，利用多项式恒等列方程组即可求解.

试题解析：

方法一

解：∵()()22

239233a ab b a b a b +-=-+ ∴可设原式()()233a b m a b n =-+++

∴原式=()()22

239233a ab b m n a m n b mn +-+++-+ 即()()2222

23914320239233a ab b a b a ab b m n a m n b mn +-+-+=+-+++-+ * 比较左右两个多项式的系数，得：21433320m n m n mn +=??-=-??=?

解得45

m n =??=? ∴()222391432023435a ab b a b x b a b +-+-+=-+++（）

方法二

对于方法一中的恒等式（*）因为对a 、b 取任何值等式都成立，所以也可用特殊值法，求m 、n 的值.

令0020a b mn ===，，得 ①

令10214a b m n ==+=，，得 ②

令011a b m n ==-=-，，得 ③

解②、③组成的方程组，得45m n =??

=? 当45m n =??=?

时，①成立 ∴()222391432023435a ab b a b x b a b +-+-+=-+++（）

考点：1.待定系数法因式分解 2.整式乘法 3.解方程组.

点评：对于复杂的多项式分解因式，关键是列出恒等关系式，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.

【难度】较难

4. 已知()f x 表示关于x 的一个五次多项式，若

()()()()()()210102243360f f f f f f -=-=====，，，求()4f 的值.

【答案】1800

【解析】

试题分析：

因为()()()()21010f f f f -=-===，所以这个多项式中必有因式()()()211x x x x ++-、、、，而四个因式的乘积为四次多项式，故原多项式可以分解为以上四项因式的乘积以及还有一项一次因 式的乘积，故

式的乘积，故这个多项式可以设为()()()()

211x x x x ax b ++-+，利用待定系数法求出a 、b 的值最后代入原多项式，即可求出()

4f 的值. 试题解析：

解：∵()()()()21010f f f f -=-===，

∴设()()()() 21()1f x x x x x ax b =++-+

由()()2243360f f ==，，可得方程组

432(2)245432(3)360a b a b ??+= ?????+=?

2133a b a b +=? ?+=?整理得：

解得：2-3a b =??=?

∴()()()()2112()3f x x x x x x =++--

∴()6543(83)18040f ????-==

考点：1.解二元一次方程组 2.多项式变形

点评：此题考查了解二元一次方程组以及多项式的变形，弄清题意是解本题的关键.

【难度】较难

5.m n 、为何值时，多项式422511x x x mx n -+++能被221x x -+整除？

【答案】11m =-，4n =

【解析】

试题分析：由于多项式422511x x x mx n -+++能被221x x -+整除，可设商为2x ax b ++，再利用逆运算，除式×商式=被除式，利用等式的对应相等，可求出,a b .

试题解析：

解：设原式=()()

2221x x x ax b -+++

=432322222x ax bx x ax bx x ax b ++---+++

=()()()4322212x a x b a x a b x b +-+-++-+ 对比系数，得：2521112a b a m a b

n b

-=-??-+=??=-??=?

解得：34114

a b m n =-??=??=-??=? 故11m =-，4n =.

考点：整式的除法

点评：本题考查的是多项式除以多项式，注意多项式除以多项式往往可转化成多项式乘以多项式.

【难度】一般

6.若多项式32x ax bx ++能被()5x -和()6x -整除，那么________a b ==.该多项式因式分解为：_______.

【答案】

【解析】

试题分析：

因为多项式32x ax bx ++能被()5x -和()6x -整除，则说明()5x -和()6x -都是多项式

32x ax bx ++的一个因式，故设()()()3256x ax bx x x x m ++=--+，展开即可求解.

试题解析：

解：设()()()3256x ax bx x x x m ++=--+

()()21130x x x m =-++

()32301130x mx m x m =++-+

对比系数，得：113011300a m b m m =-??=-??=?

解得:01130m a b =??=-??=?

故,11,30a b =-=，

多项式因式分解为：()()32

113056x x x x x x -+=-- 考点：整式除法与因式分解

点评：本题考查的是多项式除以多项式，注意理解整除的含义，比如A 被B 整除，另外一层意思就是B 是A 的因式

7. 分解因式：432435x x x x -+++

【答案】()()43222435125x x x x x x x x -+++=++-+

【解析】

试题分析：

本题是关于x 的四次多项式可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积.

试题解析：

解：设432435x x x x -+++()()

2215x ax x bx =++++ ()()()432655x a b x ab x a b x =+++++++

由恒等性质有：16453a b ab a b +=-??+=??+=?

解得：12a b =??=-?

，代入64ab +=中，成立. ∴()()43222435125x x x x x x x x -+++=++-+

说明：若设432435x x x x -+++()()

2215x ax x bx =+-+-

由待定系数法解题知关于a 与b 的方程无解，

故()()

43222435125x x x x x x x x -+++==++-+

考点：因式分解应用

点评：根据多项式的特点恰当将多项式设成含待定系数的多项式的积的形式是解题的关键.

【难度】较难

8. 在关于x 的二次三项式中，当1x =，其值为0；当3x =-时，其值为0；当2x =时，其值为10，求这个二次三项式.

【答案】2246x x +-

【解析】

试题分析：

思路 1 先设出关于x 的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。可考虑利用恒等式的性质。

试题解析：

解：法1 先设出关于x 的二次三项式2ax bx c ++， 把已知条件分别代入，得09304210a b c a b c a b c ++=??++=??++=?

，

解得246a b c =??=??=-?

故所求的二次三项式为2

246x x +-

思路2 根据已知1,3x =-时，其值为0这一条件可设二次三项式为()()13a x x -+，然后求出a 的值.

法2 由已知条件1,3x =-时，这个二次三项式的值为0，

故可设这个二次三项式为()()13a x x -+

把2x =代入上式，得510a =，

故所求的二次三项式为()()213x x -+，即2246x x +- 考点：多项式

点评：选用待定系数法,利用已知条件求多项式是解题关键.

【难度】一般

9.已知多项式32

x bx cx d +++的系数都是整数，若bd cd +是奇数，证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积.

【答案】见解析

【解析】

试题分析：

先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可能的.

试题解析：

证明：()()()3232,,x bx cx d x m n x mn r x mr m n r +++=+++++都是整①数

比较系数得：mr d =

因为()bd cd d b c +=+是奇数，则b c d +与都是奇数，那么mr 也是奇数，由奇数的性质得出,m r 也都是奇数.

在①式中令1x =，得()()111b c d m n r +++=+++②

由b c d +与是奇数，得1b c d +++是奇数。而m 为奇数，故1m +是偶数，

所以()()11m n r +++是偶数.这样②的左边是奇数，右边是偶数。这是不可能的.

因此题中多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积.

考点：多项式除法.

点评：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明.

【难度】容易

10.将分式1(61)(1)

y y ++拆分成两个分式的和的形式. 【答案】161(61)(1)5(61)5(1)

y y y y =-++++ 【解析】

试题分析： 设1(61)(1)611

a b y y y y =+++++，将等式右边通分，再利用分子恒等求出a 、b 的值即可. 试题解析： 解：设1(61)(1)611

a b y y y y =+++++ 而(6)()611(61)(1)

a b a b y a b y y y y ++++=++++ 即

1(6)()(61)(1)(61)(1)a b y a b y y y y +++=++++ 比较分子，得601

a b a b +=??+=?

解得651

5a b ?=????=-??

. ∴161(61)(1)5(61)5(1)

y y y y =-++++ 考点：分式的恒等变形.

点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为 Ax B +形式，分母只含一次项，则设分子为常数

【难度】一般

11.将分式35(1)(2)

x x x +++拆分成两个分式的和的形式. 【答案】35(1)(2)x x x +++=2112

x x +++ 【解析】

试题分析： 设35(1)(2)x x x +++=12

a b x x +++，将等式右边通分，再利用分子恒等求出a 、b 的值即可. 试题解析：

方法一 解：设35(1)(2)x x x +++=12

a b x x +++ 而12

a b x x +++=()(2)(1)(2)a b x a b x x +++++ 即

35(1)(2)x x x +++=()(2)(1)(2)a b x a b x x +++++ 比较分子，得325

a b a b +=??+=? 解得21

a b =??=?. ∴35(1)(2)x x x +++=2112

x x +++ 方法二

分式35(1)(2)

x x x +++还可以先变形为： (36)13(2)131=(1)(2)(1)(2)1(1)(2)

x x x x x x x x x +-+-=-+++++++ 易知1(1)(2)x x ++=1112

x x -++ 所以

35(1)(2)x x x +++=31x -+(1112x x -++)=2112x x +++ 考点：分式的恒等变形.

点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为Ax + B 形式，分母只含一次项，则设分子为常数

【难度】容易

12. 计算()()()()()()()

11111122334x x x x x x x x ++++++++++ 【答案】

()44x x + 【解析】

试题分析：

本题的4个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a 是整数），利用

()11111n n n n =-++，进行拆分即可. 试题解析：

解：原式=111111*********

x x x x x x x x -+-+-+-+++++++ =114

x x -+ =

()44x x + 考点：分式计算

点评：利用公式()11111n n n n =-++拆分，是解题关键，而原理就是设()111A B n n n n =+++，求出1,1A B ==-,熟练后可直接运用公式.

【难度】容易

13. 将分式1(61)(1)

y y ++拆分成两个分式的和的形式. 【答案】1(61)(1)y y ++=615(61)5(1)

y y -++ 【解析】

试题分析： 设1(61)(1)y y ++=611

a b y y +++，将等式右边通分，再利用分子恒等求出a 、b 的值即可. 试题解析： 解：设1(61)(1)y y ++=611

a b y y +++ 而611

a b y y +++=(6)()(61)(1)a b y a b y y +++++ 即

1(61)(1)y y ++=(6)()(61)(1)a b y a b y y +++++ 比较分子，得601

a b a b +=??+=? 解得6515a b ?=????=-??

. ∴1(61)(1)y y ++=615(61)5(1)

y y -++ 考点：分式的恒等变形.

点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为A x + B 形式，分母只含一次项，则设分子为常数.

【难度】一般

14. 将分式42231

x x x --+-+拆分成一个整式和一个分式（分子为整数）的和的形式. 【答案】22121x x ++

-+

【解析】

试题分析:

由于要将分式42231

x x x --+-+拆分成一个整式和一个分式（分子为整数）的和的形式，可设()()422231x x x x a b --+=-+++

试题解析：

解：由于分母为21x -+，可设()()

422231x x x x a b --+=-+++

∴424223x x x ax x a b --+=--+++

()()424231x x x a x a b --+=---++ ∵对于任意x ，上述等式均成立，

∴113a a b -=??+=?

∴21a b =??=? ∴()()224222121311x x x x x x -+++--+=-+-+()()222212111

x x x x -++=+-+-+22121x x =++-+ 这样分式42231x x x --+-+被拆分成了一个整式22x +与一个分式211

x -+的和. 考点：分式的加减法

点评：本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题关键.

【难度】一般

15.已知()()2353612x mx x x -+--的计算结果中不含x 3的项，则m 的值为（ ）

A. 3

B. -3

C. －

12 D. 0 【答案】B

【解析】

试题分析：

将多项式()()2353612x mx x x -+--展开、合并，按x 的降幂排列，根据积中不含x 3项等价于x 3项的系数为零列方程即可求得m 的值.

试题解析：

方法一

解：()

()2323453612 51362612x mx x x x m x m x x -+--=-+++--+（）（）

∵结果中不含x 3的项，

∴260m --=，解得3m =-.

故选B .

方法二

由于x 3项可由x 项与x 2项相乘或x 3与常数项相乘得到，故展开式中只需计算x 项乘以x 2项及x 3乘以常数项即可.

解：∵()()23333261 2 62 6mx x x mx x m x ?-+-?=--=--（）

又∵结果中不含3x 的项，

∴260m --=，解得3m =-.

故选B .

考点：多项式乘法.

点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值.

【难度】一般

16. 如果()()

215x x ax a +-+的乘积中不含2x 项，则a 为( ) A. 5 B.

15 C. 15

- D. －5 【答案】B

【解析】

试题分析： 将多项式()()

215x x ax a +-+展开、合并，按x 的降幂排列，根据积中不含x 2项等价于x 2项的系数为零列方程即可求得a 的值.

试题解析：

解：原式()3223255154x ax ax x ax a x a x ax a =-++-+-=+-+. ∵不含2x 项，

∴150a -=. 解得15

a =. 故选B.

考点：多项式乘多项式．

点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值.

【难度】一般

17.若7y a y +-（）与（）的乘积中不含y 的一次项，则a 的值为（ ）

A. 7

B. -7

C. 0

D. 14

【答案】A

【解析】

试题分析：

先用多项式乘以多项式的运算法则展开，并且把a 看作常数，合并关于y 的同类项，令y 的系数为0，得出关于a 的方程，求出a 的值．

试题解析：

解：∵()()()22

77777y a y y y ay a y a y a +-=-+-=+-+-. 又∵乘积中不含y 的一次项，

∴70a -+=.

解得a =7．

故选A .

考点：多项式乘法

点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值.

【难度】一般

18.要使2231x x --与关于x 的二项式ax b +的积中不含x 的二次项，则:_____a b =

【答案】2:3

【解析】

试题分析：

根据多项式乘以多项式，可得整式，根据整式不含二次项，可得关于,a b 的二元一次方程，根据等式性质，可得答案.

试题解析：

解： ()()()()2322312233x x ax b ax b a x b a x b --+=+-+---

∵x 积中不含的二次项，

∴230.b a -=

两边都除以2b 得：23

a b = 故答案为：2:3.

考点：多项式乘以多项式.

点评：本题考查了多项式乘以多项式，利用了多项式乘以多项式法则，整式不含二次项，得出关于a b 、的二元一次方程是解题关键.

【难度】一般

19. 若()()2232x px q

x x ++-+的乘积中不含x 2和x 项，则p ，q 的值分别是多少？ 【答案】67p =，47q = 【解析】

试题分析：

将多项式()()2232x px q x

x ++-+展开、合并，按x 降幂排列，根据不含x 2和x 项，则x 2项和x 项的系数为零，从而列出关于p ，q 的方程组，解之即可求得p ，q 的值. 试题解析： 解:∵()()2232x px q x x ++-+

432322323232x x x px px px qx qx q =-++-++-+

()()()432323232x p x p q x p q x q =+-+-++-+,

由不含x 2和x 项，得：230230p q p q -+=??-=

?

解得： 674

7p q ?=????=??

考点：1.多项式乘法 2.二元一次方程组. 点评：此题考查了多项式的乘法以及解二元一次方程组，利用了多项式乘以多项式的运算法则，整

式不含x 2和x 项，得出关于p q ，的二元一次方程组是解本题的关键.

【难度】一般

20.已知()()1x p x --中不含x 的一次项，求p 的值.

一变：已知2318236ax x x kx --=-+（）（），求a ，k 的值.

二变：k 是什么数时，26x x k -+可以写成

2x a -（）的形式？ 【答案】1p =-；一变：105a k ==，；二变：9k =.

【解析】

试题分析：

将多项式()()1x p x --展开、合并，并且按x 降幂排列，根据不含x 的一次项，x 项的系数为零，从而列出关于p 的方程，解之即可求得p 的值；

一变：将()()236x kx -+展开、合并，再由多项式恒等列方程组即可求a ，k 的值；

一变：将2x a -（）展开、合并，再由多项式恒等列方程组亦可求a ，k 的值

试题解析：

解:22

11()()()x p x x x px p x p x p --=--+=-++， 因为不含x 的一次项，所以1

01p p +=-＝，即. 一变：∵222

3182123182123)8(1ax x kx x kx kx k x --=+--=+--，

∴1233,5k k -=-=； 210a k ==，

105a k ==即，.

二变：设222

62x x k x ax a -+=-+， 226,3,9a a k a -=-===则，

即当9k =时，26x x k -+可以写成

2

x a -（）的形式. 考点：1.多项式乘以多项式 2.完全平方式

点评：此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运输法则是解本题的关键. 【难度】一般

待定系数法分解因式(附答案)

待定系数法分解因式（附答案）待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。 内容综述 将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。 本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。 要点解析 这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。 例1 分解因式 思路1 因为 所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。 解法1因为所以可设 比较系数，得 由①、②解得把代入③式也成立。 ∴ 思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。 解法2 因为所以可设

因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令得 令得 解①、②得或 把它们分别代入恒等式检验，得 ∴ 说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。 例2 分解因式 思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。 解设 由恒等式性质有： 由①、③解得代入②中，②式成立。 ∴ 说明若设原式 由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式

因式分解、分式月考题(绝对经典)

1 蒲江中学实验学校2017年3月月考数学试题 A 卷（100） 一．选择题（每题3分，共30分） 1．在式子a a 25，1 x y x y --，πy x 25 ，y x y x +-2，4332c b a ，x a +5，y x 103+ ，y x +1中，分式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2.下列各式从左到右，是因式分解的是（ ） A.232344a b a b =? B.)1)(3()3)(1(+--=-+y y y y C.)1)(1(1--=+--b a b a ab D.)32(322m m m m m --=-- 3.下列式子中，无论x 取何值，一定有意义的是（ ） B 221x x - C.2 (1)x + D 21x x + 4.下列运算正确的是（ ） A ．a b a b 11+-=+- B ．b a b a b a b a 321053.02.05.0-+=-+ C ．12316+=+a a D ．x y x y y x y x +-=+- 5.下列因式分解正确的是（ ） A ． 22242234)(2xy x y x y x x -=+- B ．)42)(42(4)2(22c b a c b a c b a -+++=-+ C ．)2)(5(10322+-=--m m n mn m D ．)1()()()(222m b a a b m b a --=--- 7.若解方程 x x x x x 2 2242 =---出现增根，则增根为（ ） A ．0或2 B ．0 C ．2 D ．1 8.使分式3 2 32---m m m 的值是整数的整数m 的值是( ) A. 0=x B.最多2个 C. 正数 D.共有4个 9.已知c b a ,,分别是ABC △的三边长，且满足,22222222444c b c a c b a +=++则ABC △是（ ） A ．等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 10．从3,1,21,1,3--这五个数中，随机抽取一个数记为,a 若数a 使关于x 的不等式组?????-≥+0 37231 ＜） （a x x 无解， 且使关于x 的分式方程1323-=----x a x x 有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和是（ ） A.3- B.2- C.23- D.2 1 二．选择题(每题4分，共20分)： 11.若20)2017( )2016(--+-x x x 有意义，则x 的取值范围是__________. 12.若34-x 是多项式a x x ++542的一个因式，则a 的值为 . 13. 5(1)(3)13 x A B x x x x +=- +-+-，则=+B A . 14．32454222-+-++y x y xy x 可取得的最小值为 。 15.若,06022=-+ab b a b a ，＞＞则 =-+a b b a 。 三．解答题： 16.分解因式：(每题4分，共20分) （1）3231827a a a -+ （2）2244243x xy y x y ++--- （3）化简 2352362a a a a a -? ?÷+- ? --?? （4） 解不等式组：?????+-≤+--) 1(315121 5312x x x x （5）4 1 615171---=---x x x x 17.先化简，再求值：x x x x x x x x x 416 )44122(2222+-÷+----+，其中x 是不等式组???-≥-≥-1032312x x 的整数解（8分）．

因式分解16种方法

因式分解的16种方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又 有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。 注意三原则 1分解要彻底2最后结果只有小括号 3最后结果中多项式首项系数为正(例如：—3x2? x=-x3x —1) 分解因式技巧 1?分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2. 分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“ ”号时，多项式的各项都要变号。 提公因式法基本步骤： (1)找出公因式； (2)提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的 一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 1 1 注意：把2a2+ —变成2(a2+-)不叫提公因式 2 4 ⑵公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：a2「b2 =(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2± 2ab+ b2= a-b2 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的

待定系数法分解因式

学科：奥数 教学内容：待定系数法分解因式 经验谈： 待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。 【内容综述】 将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。 本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。【要点讲解】 这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。 ★★例1 分解因式 思路1 因为 所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。 解法1因为所以可设 比较系数，得 由①、②解得把代入③式也成立。 ∴ 思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。 解法2 因为所以可设 因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令得 令得

解①、②得或 把它们分别代入恒等式检验，得 ∴ 说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。 ★★例2 分解因式 思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。 解设 由恒等式性质有： 由①、③解得代入②中，②式成立。 ∴ 说明若设原式 由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式 ★★★例3 在关于x的二次三项式中，当时，其值为0；当时，其值为0；当时，其值为10，求这个二次三项式。 思路1 先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。可考虑利用恒待式的性质。 解法1 设关于x的二次三项式为把已知条件分别代入，得

专题用待定系数法求二次函数的解析式

精心整理 精心整理 专题1-用待定系数法求二次函数的解析式 二次函数的解析式常见的三种表达形式： 一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0） 顶点式：y=a(x －h)2+k （a ≠0，（h ，k ）是抛物线的顶点坐标） 交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2)（a ≠0，x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标） 例1.如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的顶点坐标为（－2，4），且经过原点，求二次函数解析式. 求二次4例2x=－1x=－11. 2.3.4.二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=3，最小值为－2，，且过（0，1），求此函数的解析式。 5.已知二次函数的图象与x 轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式 6.抛物线的顶点为（－1，－8），它与x 轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。 7.二次函数的图象与x 轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。 8.把二次函数25 3212++=x x y 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得二次函数的

精心整理 精心整理 解析式。 9.二次函数y=ax 2+bx+c ，当x ＜6时y 随x 的增大而减小，x ＞6时y 随x 的增大而增大，其最小值为－12，其图象与x 轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。 10.已知一个二次函数的图象过（1，5）、（1,1--）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。 11.已知二次函数图象的顶点为（2,k ）,在一次函数y=x+1上，并且点（1,1）在图像上，求此二次函数解析式 12.已知二次函数y=ax 2-2ax+c(a 不为0)的图像与x 轴交于A 、B 两点，A 左B 右，与y 轴正半轴交于点C ，AB=4，OA=OC,求二次函数的解析式 13. 2且x 114.3,0）， （1Q 点坐15（1（2）

因式分解与分式

因式分解与分式 （因式分解与分式） 班级 姓名 学号 成绩 一、填空题（每题2分，共20分） 1、如果)3)(3)(9()81(2x x x x n -++=-，那么n= 。 2、已知0=+-c b a ，则=--+--+--+))(())((c a b c a b c b a c b a 。 3、化简：200220032)2(+-所得的结果为 。 4、下列多项式：①22n m -；②22b a +；③224y x +-；④ 22916b a --能用平方差公式因式分解的是 （填序 号）。 5、若2 241121161?? ? ??+=+-n x m xy x ，则m= ，n= 。 6、当x 时，分式 x x +710有意义。 7、若0352=--y x ，则=÷y x 324 。 8、0.0046用科学记数法表示为 。 9、如果1)1(0=-a ，则a 的取值范畴为 。 10、分式223c a b 、ab c 2-、3 5cb a 的最简公分母是 。 二、选择题（每题2分，共20分） 1、下列各数分解后素数种类最多的是（ ） A 、121 B 、256 C 、64 D 、100 2、下列关于因式分解讲法正确的是（ ）

A 、单项式也能够进行因式分解 B 、因式分解会改变式子的大小 C 、因式分解确实是进行多项式的乘法运算 D 、因式分解的结果只是将多项式化成几个整式的乘积形式 3、已知a 、b 差不多上素数，且a ＜b ，若ab 为偶数，则（ ） A 、a=2 B 、b=2 C 、a+b=2 D 、无法确定 4、代数式)(1553a b b a -，)(52a b b a -，))((2533b a b a b a +--的公因式是（ ） A 、)(5b a ab - B 、)5(22a b b a - C 、)(52a b b a - D 、 )(1202233b a b a - 5、下列各式为完全平方式的是（ ） A 、22n mn m +- B 、122--x x C 、4 1 22++x x D 、 ab b a 4)(2+- 6、在3a 、1+x x 、y x +5 1 、b a b a -+22中分式的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 7、若分式9 69 22++-x x x 的值为0，则x 的值为（ ） A 、3 B 、—3 C 、3± D 、4 8、下列分式化简后等于 1 21 +x 的是（ ） A 、144122+--x x x B 、144122---x x x C 、141 22-+x x D 、 1 441 22+++x x x 9、运算：3927÷÷m m 的结果为（ ）

利用待定系数法因式分解和分式的拆分等

第2讲利用待定系数法因式分解、分式的拆分等 一、 方法技巧 1. 待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了 多项式()()f x g x =的充要条件是：对于一个任意的x=a 值，都有()()f x g x =；或者两个多项 式各关于x 的同类项的系数对应相等． 2. 使用待定系数法解题的一般步骤是： （1）确定所求问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）； （3）解方程（组），从而使问题得到解决. 例如：“已知()22 52x a x bx c -=-?++，求a ，b ，c 的值．” 解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到a ， b ， c 的值．这里的a ，b ，c 是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法． 3. 格式与步骤: (1)确定所求问题含待定系数的解析式. 上面例题中，解析式就是：()2 2a x bx c -?++ (2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程. 在这一题中，恒等条件是： 210 5a b c -=??=??=-? (3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决. ∴10 5a b c =??=??=-? 二、应用举例 类型一 利用待定系数法解决因式分解问题 【例题1】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除. （1）求a ，b （2）分解因式：432237x x ax x b -+++ 【答案】（1） 12 6a b =-=和 （2）()()4322223127 6 2253x x x x x x x x --++=+--- 【解析】

八年级数学因式分解与分式

八年级数学因式分解与分式测试题 一、选择题（每小题3分，共54分） 1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A ．(a +3)(a -3)=a 2-9 B.x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 C.a 2b +ab 2=ab (a +b ) D.x 2+1=x (x +x 1 ) 2.多项式xyz z y x z y x 682222643-+-可提出的公因式是（ ） A. 222z y x - B. xyz - C. xyz 2- D.2222z y x - 3、 已知的值是则22,4,6xy y x xy y x --==+（ ） A. 10 B.—10 C. 24 D.—24 4.若多项式()281n x -能分解成()()()2492323x x x ++-，那么n=( ) A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 5、 两个连续奇数是自然数）的平方差是和x x x (1212-+ （ ） A. 16的倍数 B.6的倍数 C.8的倍数 D.3的倍数 6、 等于20092008)2(2-+ （ ） A. 20082 B.20092 C. 20082- D.20092- 7、 下列各式中，不能用完全平方公式分解的是( ) A. xy y x 222++ B.xy y x 222++- C.xy y x 222+-- D.xy y x 222--- 8、 无论的值都是取何值，多项式、136422++-+y x y x y x （ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 非负数 9、若0≠-=y x xy ，则分式=-x y 1 1 （ ） A 、xy 1 B 、x y - C 、1 D 、－1 10、三角形的三边a 、b 、c 满足()2230a b c b c b -+-=，则这个三角形的形状是( ) A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、等腰直角三角形 11.化简a b a b a b --+等于( ) A.2222a b a b +- B.222()a b a b +- C.2222a b a b -+ D.2 22()a b a b +-

因式分解(四)待定系数法、求根法

因式分解（四）待定系数法、求根法 【知识要点】待定系数法 有的多项式虽不能直接分解因式，但可由式子的最高次数与系数的特点断定其分解结果的因式形式。如只含一个字母的三次多项式分解的结果可能是一个一次二项式乘以一个二次三项式，也可能是三个一次因式的积。于是，我们可以先假设要分解因式的多项式等于几个因式的积，再根据恒等式的性质列出方程（组），进而确定其中的系数，得到分解结果，这种方法就称为待定系数法。 用待定系数法分解因式时需利用恒等式的如下重要性质： 如果a n x n ＋a n-1x n-1＋…＋a 1x ＋a 0≡b n x n ＋b n-1x n-1＋…＋b 1x ＋b 0，那么a n = b n,a n-1= b n-1…，a 1=b 1 a 0=b 0，即恒等式同次项的对应系数一定相等。 这里，“≡”表示“恒等于”，即对任何x 值，等式左边的值都等于右边的值。 【典型例题】 例1 若3233x x x k +-+有一个因式是1x +，求k 的值。 例2 已知32 4715ax bx x +--被31x +和23x -整除，求,a b 的值，并将该多项式分解因式。 例3 设32324x x xy kx y +---可分解为一次与二次因式之积，则k 为多少？ 例4 若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积。（其中二次项系数均为1，且一次项系数相同），求P 的最大值。

例5 设()p x 是一个关于x 的二次多项式，且32 7561(1)()x x x m x p x a -+--=-+，其中,m a 是与x 无关的常数，求()p x 的表达式。 例6 多项式m y x y xy x +-++-5112101222可以分解为两个一次因式的积，求m 的值。 因式分解（四）待定系数法、求根法练习 1．已知225x x ++是42 x ax b ++的一个因式，求a b +的值。 2．如果22754324x xy ay x y ++-+-可分解为两个一次因式之积，求a 的值。 3．多项式2256x axy by x y ++-++的一个因式是2x y +-。求a b +的值。 4．已知多项式2223286x xy y x y +--+-的值恒等于两个因式()()22x y A x y B ++-+乘积的值，求A B +的值。

待定系数法求解析式

待定系数法求函数解析式 【要点梳理】 一．已知三点求抛物线解析式 例1 二次函数的图象经过点（1，4），（－1，0）和（－2，5），求二次函数的解析式． 例2若抛物线经过A（－1，0）和B（3，0），且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标． 二．已知顶点坐标及另一点坐标求抛物线解析式例3 已知抛物线的顶点坐标是（－2，3）且过（－1，5），求抛物线的解析式． 三．已知两点及对称轴，求抛物线解析式 例4已知抛物线过A（1，0），B（0，－3）两点，且对称轴为直线x=2，求抛物线解析式． 四．已知x轴上两点坐标及另一点坐标求抛物线解析式 例5若抛物线经过A（－2，0）和B（4，0），且与y轴交点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标． 五．求平移后新抛物线解析式 例6把抛物线2x y- =向左平移1个单位，然后 向上平移3个单位，求平移后新的抛物线解析式． 六．求沿坐标轴翻折后新抛物线解析式 例7 在一张纸上作出函数3 2 2+ - =x x y的图 象，沿x轴把这张纸对折，描出与函数 3 2 2+ - =x x y的图象关于x轴对称的抛物线， 并写出新抛物线解析式． 【课堂操练】 1．求下列条件下的二次函数解析式： （1）过点（－1，0），（0，2）和（4，0）． （2）顶点为（2，－3），且过点（－1，15）． 2．已知二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所 示，求它关于y轴对称的抛物线解析式． 3．已知二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所 示，求它关于x轴对称的抛物线解析式． 4．已知二次函数c bx x y+ + =2 2 1 的图象过点A （c，－2），，求证：这 个二次函数图象的对称轴是直线x=3，题目中横线 上方部分是被墨水污染了无法辨认的文字． （1）根据已知和结论中现有信息，你能否求出题 目中的二次函数解析式？若能，请写出解题过程； 若不能，请说明理由． （2）请你根据已有的信息，在原题中的横线上添 加一个适当的条件，把原题补充完整． 【课后巩固】 1．将抛物线2 y x =的图像向右平移3个单位，则 平移后的抛物线的解析式为___________． 2．二次函数3 4 2+ + =x x y的图象可以由二次 函数2x y=的图象平移而得到，下列平移正确的 是（） A、先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单 位长度 B、先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单 位长度 C、先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单 位长度 D、先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单 位长度 3．已知2 y ax bx c =++的图象过（－2，－6）、 （2，10）和（3，24）三点，求函数解析式． 4．已知函数2 y ax bx c =++，当x＝1时，有最 大值－6，且经过点（2，－8），求出此抛物线的 解析式． 5．已知二次函数的图象与x轴的交点横坐标分别 为2和3，与y轴交点的纵坐标是72，求它的解 析式．

因式分解与分式

第二部分 代数式与恒等变形部分 ★五、多项式的因式分解： 1、把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。《因式分解和整式乘法是互逆变形.如，22))((n m n m n m -=-+是整式乘法，=-22n m ))((n m n m -+是因式分解》 2、因式分解的方法、步骤和要求： （1）若多项式的各项有公因式，则先提公因式.如=+--cm bm am ?-m （ ）。 （2）若各项没有公因式或对于提取公因式后剩下的多项式，可以尝试运用公式法. 如229b a -= ，=++-=---)2(22222b ab a n n b abn n a 。 （3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用其他方法. *十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++.如)1)(3(322-+=-+x x x x 。 *分组分解法（适用于超过三项的多项式，有分组后再提公因式和分组后再用公式两种情况）.如=++-1222x y x =-++2212y x x 22)1(y x -+=)1)(1(y x y x -+++。 （4）因式分解必须分解到每一个因式不能再分解为止。 《因式分解要在指定的范围内进行.如，在有理数范围内分解)2)(2(4224-+=-x x x ，若在实数范围，还可继续分解至)2)(2)(2(2-++x x x .*在高中时还可进一步分解》 【拓展型问题】：1.根据“因式分解和整式乘法是互逆变形”，你能对下列整式乘法的结果进行因式分解吗？①)1)(32(-+x x ；②))((z y x z y x --+-；③()()n m b a ++. 2.试整理：能进行因式分解的二项式和三项式一般可用哪些方法？ 【中考真题】：1.代数式3322328714b a b a b a -+的公因式是（ ） A.327b a B.227b a C.b a 27 D.3328b a 2.若7,6=-=-mn n m ，则n m mn 22-的值是（ ） A.-13 B.13 C.42 D.-42 3.分解因式：①31255x x -；②3228y y x -；③()()()x y x y y x -+----442 3；④81721624+-x x .⑤122--x x ；⑥2)()(2 -+-+y x y x ；⑦20)2)(1(---x x . 4.下列分解因式正确的是（ ） A.1)12(24422+-=+-x x x B.)(2n m m m mn m +=++ C.)2)(4(822+-=--a a a a D.22)21(21-=+ -x x x 5.若A n m n m mn n m ?+=+-+)()()(3，则A 是（ ） A.22n m + B.22n mn m +- C.223n mn m +- D.22n mn m ++ 6.若16)4(292+-+x m x 是一个完全平方式，则m 的值为 。 7.简算：①2299.001.1-；②9.235.22571.104.01.4?-?-÷；③77.046.277.023.122?++. 8.两个同学将一个二次三项式因式分解，甲看错了一次项而分解为()()912--x x ；乙看错了常数项而分解为()()422--x x 。请将原多项式因式分解。 9.如果ab a b a 22+=*，则y x *2所表示的代数式分解因式的结果是什么？ 10.给出三个整式ab b a 2,22和。（1）当17b 3,1==a 时，求222b ab a ++的值；（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解。请写出你所选的式子及因式分解的过程。 11.观察下列等式：（1）531422?=-；（2）732522?=-；（3）933622?=-；（4）1134722?=-；……则第n （n 是正整数）个等式为 。 12.⑴已知的值求2233,1,2b a ab b a +=-=+； ⑵已知()()的值求xy y x y x ,5,922=-=+；⑶已知2,72==+ab b a ，求()2 2b a -的值.

用待定系数法求数解析式

用待定系数法求数解析式

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

用待定系数法求二次函数解析式 二次函数是初中数学主要内容之一，也是联系高中数学的重要纽带。它是初中《代数》中“函数及其图象”中的难点，求二次函数的解析式又是重点。求二次函数的解析式，要观察题目中给出的条件，灵活选用方法。一般地，有三个点且点不是特殊点时，一般采用一般式；若有三个点，且有二点为函数图像与x 轴交点时，采用交点式；若有顶点时，一般采用顶点式。同时，在采用交点式时，要注意二次项系数a 不能漏掉。应根据题目的特点灵活选用二次函数解析式的形式，运用待定系数法求解。即：根据已知条件列出关于a 、b 、c 或h 、k 及x 1、x 2的方程(注意有几个未知数就列出几个方程)；解方程组求出待定的系数；写出解析式，要化为一般式． (1)一般式：y=ax 2+bx+c(a ≠0) ⑵顶点式：y=a(x-h)2＋k(a ≠0)，（h,k ）是抛物线顶点坐标。 (3)交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0)，x 1，x 2分别是抛物线与x 轴的两个交点的横坐标． 思路1、已知图象过三点，求二次函数的解析式，一般用它的一般形式： 较方便。 例1 图像过A(0，1),B(1，2),C(2，-1)三点，求这个二次函数的关系式． 解：分析：因为图像过三点，且三个点不属于特殊点。因此，只能采用一般式求解。 设函数解析式为y=ax 2+bx+c ∵抛物线过（0，1），（1，2），（2，-1） c=1 ∴ a+b+c=2 4a+2b+c=-1 解之得a=-2，b=3，c=1； ∴函数解析式为y=-2x 2+3x+1 小结：此题是典型的根据三点坐标求其解析式，关键是：（1）熟悉待定系数法；（2）点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的解析式；（3）会解简单的三元一次方程组。 思路2、已知顶点坐标，对称轴、最大值或最小值，求二次函数解析式，一般用它的顶点式 较方便。 例2 已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式． 分析 因为这个二次函数的图象的顶点是（8，9），因此，可以设函数关系式为y ＝a （x －8）2＋9． 根据它的图象过点（0，1），容易确定a 的值． 小结：此题利用顶点式求解较易，用一般式也可以求出，但仍要利用顶点坐标公式。试一试，比较一下。 思路3、已知图象与 轴两交点坐标，可用交点 的形式，其中x 1、x 2， 为抛物线与 轴的交点的横坐标，也是一元二次方程 的两个根。 一般地，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标即为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解；当二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。所以，已知抛物线与x 轴的两个交点坐标时，可选用二次函数的交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，其中x 1 ，x 2 为两交点的横坐标。 例3已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式． 解 设所求二次函数为，y=a(x+2)(x-4)，由于这个函数的图象过（0，3），可以得到a(0+2)×(0-4)=3 解这个方程组，得a= -38 所以: y= -38(x+2)(x-4)= 233 384 x x -++. 所以，所求二次函数的关系式是y= 233 384 x x -++. 思路4、已知图象与 轴两交点间距离 ，求解析式，可用︱x 1-x 2︱2=（x 1+x 2）2 -2x 1x 2的形式来求，其中︱x 1-x 2︱ 为两交点之间的距离， x 1、x 2为图象与 轴相交的交点的横坐标。 4、二次函数的图象与 轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。 思路5、由已知图象的平移求解析式，一般是把已知图象的解析式写成y=a(x-h)2＋k 的形式，若图象向左（右）移动m 个单位，括号里-h 的值就加（减）m 个单位；若图象向上（下）平移 n

(完整版)因式分解-待定系数法

三．待定系数因式分解（整体思想） 1．分解因式：2235294x xy y x y +-++- 2．分解因式432435x x x x -+++ 3．若a 是自然数，且4324153027a a a a -+-+的值是一个质数，求这个质数。 4．分解因式 432227447x x x x ---+ 5．分解因式：4322x x x +++ 6．22282143x xy y x y +-++- 7．当m 为何值时，2223x xy y my +-+-能分解成两个整系数一次因式之积？ 8．把多项式43244521x x x x -+-+写成一个多项式的完全平方式。 9． 22823x xy y --可以化为具有整系数的两个多项式的平方差。 10．已知多项式2223286x xy y x y +--+-的值恒等于两个因式()()22x y A x y B ++-+乘积的值，那么A+B 等于多少？ 11．若3233x x x k +-+有一个因式是1x +，求k 的值。 12．已知324715ax bx x +--被31x +和23x -整除，求,a b 的值，并将该多项式分解因式。 13．设32324x x xy kx y +---可分解为一次与二次因式之积，则k 为多少？ 14．若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积。（其中二次项系数均为1，且一次项系数相同），求P 的最大值。 15．设()p x 是一个关于x 的二次多项式，且327561(1)()x x x m x p x a -+--=-+，其中,m a 是与x 无关的常数，求()p x 的表达式。 16．多项式m y x y xy x +-++-5112101222可以分解为两个一次因式的积，求m 的值。 17．已知225x x ++是42x ax b ++的一个因式，求a b +的值。 18．如果22754324x xy ay x y ++-+-可分解为两个一次因式之积，求a 的值。 19． 多项式2256x axy by x y ++-++的一个因式是2x y +-。求a b +的值。

待定系数法求函数的解析式

一次函数的解析式 1、把y=kx+b （k ≠0，b 为常数）叫做一次函数的标准解析式，简称标准式。 直线过()11,y x ， ()22,y x =>2121x x y y k --=,或1212x x y y k --= b:与y 轴交点的刻度（ 纵坐标） 1：若点A （2，4）在直线y=kx-2上，则k=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．0 2：一条直线通过A （2,6），B （-1,3）两点，求此直线的解析式。 3：一条直线通过A （1,6），B （0,3）两点，求此直线的解析式。 4：若A （0，2），B （-2，1），C （6，a ）三点在同一条直线上，则a 的值为（ ） A ．-2 B ．-5 C ．2 D ．5 5.已知点M （4，3）和N （1，-2），点P 在y 轴上，且PM+PN 最短，则点P 的坐标是（ ） A ．（0，0） B ．（0，1） C ．（0，-1） D ．（-1，0） 6.如图，已知一次函数y=kx+b 的图象经过A （0，1）和B （2，0），当x ＞0时，y 的取值范围是（ ） A ．y ＜1 B ．y ＜0 C ．y ＞1 D ．y ＜2 7.已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示 （1）当x ＜0时，y 的取值范围是______。 （2）求k ，b 的值．

用待定系数法求二次函数解析式 二次函数的解析式有三种基本形式： 1、一般式：y=ax2+bx+c (a≠0)。 C:与y轴交点刻度（纵坐标） 2、顶点式：y=a(x－h)2+k (a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。 3、交点式：y=a(x－x 1)(x－x 2 ) (a≠0)，其中x 1 ,x 2 是抛物线与x轴的交点 的横坐标。 1.已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5），（－1, 0）三点，求这个函数的解析式？ 2.已知二次函数的图象经过点)4 ,0( ), 5 ,1 (- - -和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 3. 已知抛物线的顶点为（1，－4），且过点（0，－3），求抛物线的解析式？ 4.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6；求抛物线的解析式？ 5.. 已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5），对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？ 6.如图，已知两点A（－8，0），（2，0），与y轴正半轴交于点C（0、4）。求经过A、B、C 三点的抛物线的解析式。

因式分解和分式方程章节测试卷

数学周考试卷 一、选择题（每小题3分，共27分） 1．下列因式分解中，正确的是（） A C ． D． 2） A．2个 B．3．4个 D．5个 3．若关于m的取值范围是（） A、 B、 C、且 D、且 4） A、0 C、1 D 5x的取值范围是（） A、 B、且 C、 D、且. 6．已知x+，那么的值是（） A．1 B．﹣1 C．±1 D．4 7．下列各式变形正确的是（） A C 8．“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的同学共人，则所列方程为（） A 9．A、B两地相距80千米，一辆大汽车从A地开出2小时后，又从A地开出一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的3倍，结果小汽车比大汽车早40分钟到达B地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（） A．﹣=40 B．﹣=2.4 C．﹣2=+ D．+2=﹣ 10 x 2 x≠ 且 1 x≥ 1 x＞ 2 x≠ 1 x≤ 1 x≥ 1 m≠ 1 m≥- 1 m≠ 1 m>- 1 m≥ 1 m>- x )3 )( 2 ( 6 5 2- - = - -x x x x 2 2 2) (y x y x- = -

11．当______ 0； 12 _______个； 13有增根，则它的增根是 ，m= ； 14．已知m=2n≠0，则 +﹣= ． 15．一项工程甲单独做要20小时，乙单独做要12小时。现在先由甲单独做5小时，然后乙加入进来合做。完成整个工程一共需要多少小时？若设一共需要x 小时，则所列的方程为 。 三、解答题（55分） 16．解方程(8分) （1） （2） 17．先化简，其中x 的整数解．（6分） x =

因式分解公式大全

公式及方法大全 待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 常用的因式分解公式：

例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，

比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7． 分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有 由bd=7，先考虑b=1，d=7有 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．

八年级数学：《因式分解-待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳

初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 初中数学 / 八年级数学教案 编订：XX文讯教育机构

《因式分解-待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点 归纳 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中八年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 知识体系梳理 ◆添项拆项法 有的多项式由于“缺项”，或“并项”因此不能直接分解。通过进行适当的添项或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法。 一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的。 ◆待定系数法 有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。然后再把积乘出来。用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。 ◆换元法

所谓换元，即对结构比较复杂的代数式，把其中某些部分看成一个整体，用新的字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决复杂问题的方法，就叫。换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着独到的作用。 （1）、使用换元法时，一定要有意识，即把某些相同或相似的部分看成一个。 （2）、换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特殊值换元和几何换元。 （3）、利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式“回归”。 ★★典型例题、方法导航 ◆方法一：添项拆项法 【例1】分解因式： 分析：此多项式是三次三项式，缺项不能直接分解。可考虑添项拆项法分解。从它的最高次项看是三次，因此我们可以猜想它最多可分解成三个一次二项式的积，即，再看常数项可分解成±1、±2，因此我们可猜想分解的结果可能是或或 ,但的中间项是 ,因此是不可能的，因此只可能是前面两种的其中一种。下面请看： 解： 其结果是我们猜想中的第一种。此题还有其他分解方法吗？在注意到分解结果中有和