因式分解(四)待定系数法、求根法

因式分解（四）待定系数法、求根法

【知识要点】待定系数法

有的多项式虽不能直接分解因式，但可由式子的最高次数与系数的特点断定其分解结果的因式形式。如只含一个字母的三次多项式分解的结果可能是一个一次二项式乘以一个二次三项式，也可能是三个一次因式的积。于是，我们可以先假设要分解因式的多项式等于几个因式的积，再根据恒等式的性质列出方程（组），进而确定其中的系数，得到分解结果，这种方法就称为待定系数法。

用待定系数法分解因式时需利用恒等式的如下重要性质：

如果a n x n ＋a n-1x n-1＋…＋a 1x ＋a 0≡b n x n ＋b n-1x n-1＋…＋b 1x ＋b 0，那么a n = b n,a n-1= b n-1…，a 1=b 1 a 0=b 0，即恒等式同次项的对应系数一定相等。

这里，“≡”表示“恒等于”，即对任何x 值，等式左边的值都等于右边的值。

【典型例题】

例1 若32

33x x x k +-+有一个因式是1x +，求k 的值。

例2 已知324715ax bx x +--被31x +和23x -整除，求,a b 的值，并将该多项式分解因式。

例3 设32324x x xy kx y +---可分解为一次与二次因式之积，则k 为多少？

例4 若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积。（其中二次项系数均为1，且一次项系数相同），求P 的最大值。

例5 设()p x 是一个关于x 的二次多项式，且327561(1)()x x x m x p x a -+--=-+，其中,m a 是与x 无关的常数，求()p x 的表达式。

例6 多项式m y x y xy x +-++-5112101222可以分解为两个一次因式的积，求m 的值。

因式分解（四）待定系数法、求根法练习

1．已知225x x ++是42

x ax b ++的一个因式，求a b +的值。

2．如果22754324x xy ay x y ++-+-可分解为两个一次因式之积，求a 的值。

3．多项式2256x axy by x y ++-++的一个因式是2x y +-。求a b +的值。

4．已知多项式22

23286x xy y x y +--+-的值恒等于两个因式()()22x y A x y B ++-+乘积的值，求A B +的值。

5．若2x +是多项式32x x ax b +++的一个因式，且22

230a ab b ++≠，求分式2332224423ab a b a b a ab b -+-++的值。

6．若多项式32x ax bx ++能够被()5x -和()6x -整除，那么a = ，b = 。

7．若()()x a x b k ---中含有因式x b +，则k = 。

8．已知多项式222341x xy y x y +----可以分解为()()23x y m x y n ++-+的形式，求m n +的值。

9．m 、n 为何值时，多项式432511x x x mx n -+++能被2

21x x -+整除？

10．分解因式：2235294x xy y x y +-++- 11．分解因式432435x x x x -+++

12．22823x xy y --可以化为具有整系数的两个多项式的平方差。

13．当m 为何值时，2223x xy y my +-+-能分解成两个整系数一次因式之积？

14．把多项式43244521x x x x -+-+写成一个多项式的完全平方式。

15．已知多项式：()()

21222234++++=+++nx x mx x x x x ，求m 与n 的值。

16．二元二次六项式15174622-+--+y x y mxy x 可以分解为两个关于x 、y 的二元一次三项式的乘积，求m 的值。

17．设21212++ax x 可分解为两个一次因式的积，且各因式的系数都是正整数，则满足条件的整数a 共有多少个？

18．设y kx xy x x 42323---+可分解为一次因式与二次因式之积，求k 的值。

19．k 为何值时，多项式222352x xy ky x y -++-+能分解成两个一次因式的积？

20．证明：45455454

+是合数。

21．已知多项式32ax bx cx d +++除以1x -时，所得的余数是1，除以2x -时所得的余数是3，那么多项式32ax bx cx d +++除以()()12x x --时，所得的余式是 。

22．若a 是自然数，且432

4153027a a a a -+-+的值是一个质数，求这个质数。

23．已知b ，c 是整数，二次三项式c bx x ++2即是25624++x x 的一个因式，也是5284324+++x x x 的一个因式，求1=x 时，c bx x ++2的值。

第九讲 因式分解 (添拆项与最值)

第八讲 因式分解（添拆项与最值） 知识点回顾： 1、因式分解：因式分解就是把一个多项式变为几个整式的积的形式。 2、因式分解的方法： （1）提公因式法，即ma+mb+mc=m(a+b+c)； （2）运用公式法，平方差公式： ()()b a b a b a -+=-2 2 ； 完全平方公式：222b ab a ++=()2 b a +和)(b a b ab a -= +-2 222 （3）十字相乘法：对于二次三项式2x Px q ++，若能找到两个数a 、b ，使, ,a b p a b q +=???=? 则就有22()()()x Px q x a b x ab x a x b ++=+++=++． 注：若q 为正，则a ，b 同号；若q 为负，则a ，b 异号； 立方和差公式： 典型例题： 例1（1）计算 29982 +2998×4+4= 。 （2）若442 -+x x 的值为0，则51232 -+x x 的值是________。 例2：分解因式： 2 2 288a axy a y x -+ 4a 2(x -y )+9b 2(y -x ) 例3：已知a –b = 1 ，252 2 =+b a 求ab 和a+b 的值。 例4 代数式2x 2+4x+5有最 值，是 ；﹣x 2 +3x 有最 值，是 例 5 题目：分解因式：x 2﹣120x +3456． 分析：由于常数项数值较大，则常采用将 x 2﹣120x 变形为差的平方的形式进行分解，这样简便易行． （1）x 2﹣140x +4875 （2）4x 2﹣4x ﹣575． 三、强化训练： 1、已知x +y =6，xy =4，则x 2 y +xy 2 的值为 . 2、分解因式： (2a -b )2-(a +b )2 -3ma 3+6ma 2-3ma a 2(m -n )+b 2 (n -m ) 4416n m - （8）4224817216b b a a +- 4、已知：a=2999，b=2995，求65522 2 -+-+-b a b ab a 的值。 5、利用因式分解计算 ?? ? ??-??? ??-??? ??-??? ??-??? ?? -2222211......511411311211n 6、已知a 为任意整数，且()2 2 13a a -+的值总可以被n 整除(n 为自然数，且n 不等于1)，则n 的值为 。 7、已知x(x-1)-(y x -2 )=-2, xy y x -+2 2 2的值。 8、把下列各式分解因式： （1）4x 3﹣31x +15； （2）2a 2b 2+2a 2c 2+2b 2c 2﹣a 4﹣b 4﹣c 4； （3）x 5+x +1； （4）x 3+5x 2+3x ﹣9；

待定系数法分解因式(附答案)

待定系数法分解因式（附答案）待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。 内容综述 将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。 本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。 要点解析 这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。 例1 分解因式 思路1 因为 所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。 解法1因为所以可设 比较系数，得 由①、②解得把代入③式也成立。 ∴ 思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。 解法2 因为所以可设

因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令得 令得 解①、②得或 把它们分别代入恒等式检验，得 ∴ 说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。 例2 分解因式 思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。 解设 由恒等式性质有： 由①、③解得代入②中，②式成立。 ∴ 说明若设原式 由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式

待定系数法分解因式

学科：奥数 教学内容：待定系数法分解因式 经验谈： 待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。 【内容综述】 将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。 本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。【要点讲解】 这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。 ★★例1 分解因式 思路1 因为 所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。 解法1因为所以可设 比较系数，得 由①、②解得把代入③式也成立。 ∴ 思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。 解法2 因为所以可设 因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令得 令得

解①、②得或 把它们分别代入恒等式检验，得 ∴ 说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。 ★★例2 分解因式 思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。 解设 由恒等式性质有： 由①、③解得代入②中，②式成立。 ∴ 说明若设原式 由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式 ★★★例3 在关于x的二次三项式中，当时，其值为0；当时，其值为0；当时，其值为10，求这个二次三项式。 思路1 先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。可考虑利用恒待式的性质。 解法1 设关于x的二次三项式为把已知条件分别代入，得

利用待定系数法因式分解和分式的拆分等

第2讲利用待定系数法因式分解、分式的拆分等 一、 方法技巧 1. 待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了 多项式()()f x g x =的充要条件是：对于一个任意的x=a 值，都有()()f x g x =；或者两个多项 式各关于x 的同类项的系数对应相等． 2. 使用待定系数法解题的一般步骤是： （1）确定所求问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）； （3）解方程（组），从而使问题得到解决. 例如：“已知()22 52x a x bx c -=-?++，求a ，b ，c 的值．” 解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到a ， b ， c 的值．这里的a ，b ，c 是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法． 3. 格式与步骤: (1)确定所求问题含待定系数的解析式. 上面例题中，解析式就是：()2 2a x bx c -?++ (2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程. 在这一题中，恒等条件是： 210 5a b c -=??=??=-? (3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决. ∴10 5a b c =??=??=-? 二、应用举例 类型一 利用待定系数法解决因式分解问题 【例题1】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除. （1）求a ，b （2）分解因式：432237x x ax x b -+++ 【答案】（1） 12 6a b =-=和 （2）()()4322223127 6 2253x x x x x x x x --++=+--- 【解析】

活用配方法分解因式

活用配方法分解因式 陈怀东 配方法是数学中极其重要的一个方法。在代数式中，利用添项的方法，给原多项式配上适当的部分，使添项后的多项式的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法。 配方法的难点是配方，要求学生必须熟练掌握公式2 22b ab a +±，判断什么是：“a ”或“b ”，或“ab ”，怎样从ab a 22、这两项去找出“b ”，或“从22b a 、这两项去找出ab 2”，或“从ab 2去找出2a 和2 b ”。同学们要熟练掌握这些基本方法，从而做到心中有数，配方有路可循。 应用配方法分解因式，常能将多项式配成2 2N M -的形式并应用开方差公式分解。 例1 分解因式8612942 2+++-b a b a 分析 第一、三项，第二、四项分别结合后再配以恰当的常数分别构成完全平方公式，进而两者又构成一平方差，因此拆常数项198-=即可。 解：原式)169()9124(2 2 +--++=b b a a ) 432)(232()13()32(2 2+-++=--+=b a b a b a 例2 分解因式4 2 2 4 n n m m ++ 分析 此式中各项均为平方式，可采用添项法将式中某一部分配方，构造平方差公式。 解：原式2 2 4 2 2 4 )2(n m n n m m -++= 2 2 22 )()(mn n m -+= ))((2 2 2 2 mn n m mn n m -+++= 例3 分解因式 )2)(2()(22+--+-n m mn t n m t 分析 将多项式中前两项t n m t )(22 +-进行配方，添上2 2 )()(n m n m +-+即可分组分解。 解：原式)2)(2()()()(22 2 2 +--+-+++-=n m mn n m n m t n m t ]4)(2)[()]([2 2 2 2 mn n m mn n m n m n m t --+++-+-= ) 2)(2() ()(] )()(2)[()(2 2 222mn m t mn n t mn n m n m t mn mn n m n m n m t --+-=+----=+?-+----= 例4 分解因式 42224)()()(b a b a b a -+-++ 分析：此题中只含b a +和b a -两个式子，可分别运用和差换元后再考虑配方。 解：设t b a s b a =-=+，，则 原式2242244224 )2(t s t t s s t t s s -++=++= )] )(()())][()(()()[() )(()()(222222222 222b a b a b a b a b a b a b a b a st t s st t s st t s -+--++-++-++=-+++=-+= )3)(3(2 2 2 2 b a b a ++=

一元二次方程配方法-公式法-因式分解法

一元二次方程的根 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解． 例1：下面哪些数是方程0121022 =++x x 的根？ —4、—3、—2、—1、0、1、2、3、4 分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可． 复习 ()222 2b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=- 根据公式完成下面的练习： (1)()2 2____________8-→+-x x x (2)()2 2 ______3______129+→++x x x (3)()2 2____________+→++x px x (4) ()2 2 ____________6+→++x x x (5)()2 2____________5-→+-x x x (6) ()2 2 ____________9-→+-x x x 例2：解方程：2963=++x x 2532 =-x x 解：由已知，得：()232 =+x 解：方程两边同时除以3，得3 2352 =- x x 直接开平方，得：23±=+x 配方，得2 2 2 65326535??? ??+=?? ? ??+-x x 即23=+x ，23-=+x 即 3649652 =??? ? ? -x ，6765±=-x ，6765±=x 所以，方程的两根231+ -=x ，232--=x 所以，方程的两根267651=+= x ，3 167652-=-=x 像这种求出一元二次方程的根的方法叫做配方法。 练一练： (1)982=+x x (2)015122 =-+x x (3)044 12 =--x x (4) 03832=-+x x (5)08922 =+-x x (6) ()x x 822 =+

因式分解公式大全

公式及方法大全 待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 常用的因式分解公式：

例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，

比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7． 分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd， 所以有 由bd=7，先考虑b=1，d=7有 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．

因式分解经典题与解析

2013组卷 1．在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法．例如，如果要因式分解x2+2x﹣3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们可以采用下面的办法： x2+2x﹣3=x2+2×x×1+12﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣① =（x+1）2﹣22﹣﹣﹣﹣﹣﹣② =… 解决下列问题： （1）填空：在上述材料中，运用了_________的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法； （2）显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解x2+2x﹣3； （3）请用上述方法因式分解x2﹣4x﹣5． 2．请看下面的问题：把x4+4分解因式 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢 19世纪的法国数学家菲?热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2） 人们为了纪念菲?热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照菲?热门的做法，将下列各式因式分解． （1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab． 3．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x=y 原式=（y+2）（y+6）+4（第一步） =y2+8y+16（第二步） =（y+4）2（第三步） =（x2﹣4x+4）2（第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_________． A、提取公因式B．平方差公式 C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底_________．（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 4．找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数围）的整数值a，并且将其进行因式分解． 5．利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．

因式分解(四)待定系数法、求根法

因式分解（四）待定系数法、求根法 【知识要点】待定系数法 有的多项式虽不能直接分解因式，但可由式子的最高次数与系数的特点断定其分解结果的因式形式。如只含一个字母的三次多项式分解的结果可能是一个一次二项式乘以一个二次三项式，也可能是三个一次因式的积。于是，我们可以先假设要分解因式的多项式等于几个因式的积，再根据恒等式的性质列出方程（组），进而确定其中的系数，得到分解结果，这种方法就称为待定系数法。 用待定系数法分解因式时需利用恒等式的如下重要性质： 如果a n x n ＋a n-1x n-1＋…＋a 1x ＋a 0≡b n x n ＋b n-1x n-1＋…＋b 1x ＋b 0，那么a n = b n,a n-1= b n-1…，a 1=b 1 a 0=b 0，即恒等式同次项的对应系数一定相等。 这里，“≡”表示“恒等于”，即对任何x 值，等式左边的值都等于右边的值。 【典型例题】 例1 若3233x x x k +-+有一个因式是1x +，求k 的值。 例2 已知32 4715ax bx x +--被31x +和23x -整除，求,a b 的值，并将该多项式分解因式。 例3 设32324x x xy kx y +---可分解为一次与二次因式之积，则k 为多少？ 例4 若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积。（其中二次项系数均为1，且一次项系数相同），求P 的最大值。

例5 设()p x 是一个关于x 的二次多项式，且32 7561(1)()x x x m x p x a -+--=-+，其中,m a 是与x 无关的常数，求()p x 的表达式。 例6 多项式m y x y xy x +-++-5112101222可以分解为两个一次因式的积，求m 的值。 因式分解（四）待定系数法、求根法练习 1．已知225x x ++是42 x ax b ++的一个因式，求a b +的值。 2．如果22754324x xy ay x y ++-+-可分解为两个一次因式之积，求a 的值。 3．多项式2256x axy by x y ++-++的一个因式是2x y +-。求a b +的值。 4．已知多项式2223286x xy y x y +--+-的值恒等于两个因式()()22x y A x y B ++-+乘积的值，求A B +的值。

青岛版九年级数学上册用因式分解法解一元二次方程练习题

4.4 用因式分解法解一元二次方程 一、填空题 1.如果两个因式的积是零，那么这两个因式至少有__________等于零；反之，如果两个因式中有__________等于零，那么它们之积是__________. 2.方程x 2－16=0，可将方程左边因式分解得方程__________，则有两个一元一次方程___________或 ___________，分别解得：x 1=_________,x 2=_________. 3.填写解方程3x(x+5)=5(x+5)的过程 解：3x(x+5)__________=0 (x+5)(__________)=0 x+5=__________或__________=0 ∴x 1=__________,x 2=__________ 4.用因式分解法解一元二次方程的关键是 （1）通过移项，将方程右边化为零 （2）将方程左边分解成两个__________次因式之积 （3）分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程 （4）分别解这两个__________，求得方程的解 5.x 2－(p+q)x ≠qp=0因式分解为____________. 6.用因式分解法解方程9=x 2－2x+1 (1)移项得__________； （2）方程左边化为两个平方差，右边为零得__________； （3）将方程左边分解成两个一次因式之积得__________； （4）分别解这两个一次方程得x 1=__________,x 2=__________. 二、选择题 1.方程x 2－x=0的根为 A.x=0 B.x=1 C.x 1=0,x 2=1 D.x 1=0,x 2=－1 2.方程x(x －1)=2的两根为 A.x 1=0,x 2=1 B.x 1=0,x 2=－1 C.x 1=1,x 2=－2 D.x 1=－1,x 2=2 3.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是 A.(2x －2)(3x －4)=0 ∴2－2x=0或3x －4=0 B.(x+3)(x －1)=1 ∴x+3=0或x －1=1 C.(x －2)(x －3)=2×3 ∴x －2=2或x －3=3 D.x(x+2)=0 ∴x+2=0 4.方程ax(x －b)+(b －x)=0的根是 A.x 1=b,x 2=a B.x 1=b,x 2=a 1 C.x 1=a,x 2=b 1 D.x 1=a 2,x 2=b 2 5.已知a 2－5ab+6b 2=0，则a b b a 等于 21331D.2 31 321C.2 31B.3 21A.2或或

配方法因式分解

配方法因式分解集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]

§2.3运用配方法的因式分解法 【学习目标】 1. 理解掌握运用配方法进行因式分解； 2. 能根据具体情况灵活运用各种方法进行因式分 解。 【重点、难点】 1. 配方法的运用方法； 2. 根据具体情况灵活选择方法进行因式分解 【新课引入】 1. 把下列各多项式因式分解： 1）962-+x x ；2）2842--x x 小结：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法。 说明：配方法的关键是将二次三项式变形为：A 2—B 2 的形式，然后要平方差公式继续分解。 【例题选讲】 例1. 把下列各多项式因式分解： 1）12366+--x y x ；2）422497y y x x +-；★3） ab b ax x 2222+--

例2.把下列各多项式因式分解： 1）362025422--+ab b a ；2）16)5(6)5(222--+-x x x x 说明：把一个多项式因式分解的基本步骤： 1） 如果多项式各项有公因式，那么先提取公 因式； 2） 如果多项式各项没有公因式，那么可以尝 试运用公式来分解； 3） 如果上述两种方法不能分解，那么可以尝 试分组或十字相乘法或配方法来分解； 4） 分解因式时，必须进行到每一个多项式因 式都不能再分解为止。 【巩固练习】 把下列各多项式因式分解： 1）18724--x x ；2）22484n mn mx x -+- 【小结】 把一个多项式因式分解的基本方法： 提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法和配方法 【课后练习】

因式分解与配方法练习题

分解因式 1、1522--x x ； 2、2 265y xy x +-． 3、3522--x x ； 4、3832-+x x ． 5、91024+-x x ； 6、 22157x x ++ 7、 2384a a -+ 8、2 61110y y -- 9、2252310a b ab +- 10、222231710a b abxy x y -+ 11、 22 712x xy y -+ 12、 42718x x +- 13、 22483m mn n ++ 14、532 51520x x y xy -- 15、672+-x x ； 16、1232-+x x ； 17、652-+x x ； 18、9542--x x ； 19、823152+-x x ； 20、121124-+x x 21、6724+-x x ； 22、36524--x x ； 23、4 22416654y y x x +-； 24、633687b b a a --； 25、234456a a a --； 26、2224)3(x x --； 27、9)2(2 2--x x ； 28、 2222)332()123(++-++x x x x 29、60)(17)(222++-+x x x x ； 30、8)2(7)2(2 22-+-+x x x x ； 31、48)2(14)2(2++-+b a b a ． 32、 2576x x +-)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；

33、120)8(22)8(222++++a a a a ． 34、90)242)(32(2 2+-+-+x x x x ． 35、653856234++-+x x x x ． 36、655222-+-+-y x y xy x 37、 a 2－7a+6； 38、8x 2+6x －35； 39、18x 2－21x+5； 40、 20－9y －20y 2； 41、2x 2+3x+1； 42、2y 2+y －6； 43、6x 2－13x+6； 44、3a 2－7a －6； 45、6x 2－11x+3； 46、4m 2+8m+3； 47、10x 2－21x+2； 48、8m 2－22m+15； 49、4n 2+4n －15； 50、6a 2+a －35； 51、5x 2－8x －13； 52、4x 2+15x+9； 53、15x 2+x －2； 54、6y 2+19y+10； 55、7(x －1) 2+4(x －1)－20； 56、．=-+1032x x __________． 57．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________． 58．=--3522 x x (x －3)(__________)． 59．+2x ____=-22y (x －y )(__________)． 60．22____)(____(_____)+=++a m n a ． 61．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．

配方法因式分解

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3 §2.3运用配方法的因式分解法 【学习目标】 1. 理解掌握运用配方法进行因式分解； 2. 能根据具体情况灵活运用各种方法进行因式分解。 【重点、难点】 1. 配方法的运用方法； 2. 根据具体情况灵活选择方法进行因式分解 【新课引入】 1. 把下列各多项式因式分解： 1）962-+x x ； 2）2842 --x x 小结：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法。 说明：配方法的关键是将二次三项式变形为：A 2—B 2的形式，然后要平方差公式继续分解。 【例题选讲】 例1. 把下列各多项式因式分解： 1）12366+--x y x ； 2）422497y y x x +-； ★3）ab b ax x 2222+-- 例2. 把下列各多项式因式分解： 1）362025422--+ab b a ； 2）16)5(6)5(2 22--+-x x x x 说明：把一个多项式因式分解的基本步骤： 1） 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； 2） 如果多项式各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； 3） 如果上述两种方法不能分解，那么可以尝试分组或十字相乘法或配方法来分解； 4） 分解因式时，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 【巩固练习】

4 把下列各多项式因式分解： 1）18724--x x ； 2）2 2484n mn mx x -+- 【小结】 把一个多项式因式分解的基本方法： 提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法和配方法 【课后练习】 把下列各多项式因式分解： 1）y xy x x 621552-+-； 2 ） 432234ab b a b a b a --+； 3）142222---+xy y x y x

(完整版)因式分解-待定系数法

三．待定系数因式分解（整体思想） 1．分解因式：2235294x xy y x y +-++- 2．分解因式432435x x x x -+++ 3．若a 是自然数，且4324153027a a a a -+-+的值是一个质数，求这个质数。 4．分解因式 432227447x x x x ---+ 5．分解因式：4322x x x +++ 6．22282143x xy y x y +-++- 7．当m 为何值时，2223x xy y my +-+-能分解成两个整系数一次因式之积？ 8．把多项式43244521x x x x -+-+写成一个多项式的完全平方式。 9． 22823x xy y --可以化为具有整系数的两个多项式的平方差。 10．已知多项式2223286x xy y x y +--+-的值恒等于两个因式()()22x y A x y B ++-+乘积的值，那么A+B 等于多少？ 11．若3233x x x k +-+有一个因式是1x +，求k 的值。 12．已知324715ax bx x +--被31x +和23x -整除，求,a b 的值，并将该多项式分解因式。 13．设32324x x xy kx y +---可分解为一次与二次因式之积，则k 为多少？ 14．若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积。（其中二次项系数均为1，且一次项系数相同），求P 的最大值。 15．设()p x 是一个关于x 的二次多项式，且327561(1)()x x x m x p x a -+--=-+，其中,m a 是与x 无关的常数，求()p x 的表达式。 16．多项式m y x y xy x +-++-5112101222可以分解为两个一次因式的积，求m 的值。 17．已知225x x ++是42x ax b ++的一个因式，求a b +的值。 18．如果22754324x xy ay x y ++-+-可分解为两个一次因式之积，求a 的值。 19． 多项式2256x axy by x y ++-++的一个因式是2x y +-。求a b +的值。

配方法因式分解

§2.3运用配方法的因式分解法 【学习目标】 1. 理解掌握运用配方法进行因式分解； 2. 能根据具体情况灵活运用各种方法进行因式分解。 【重点、难点】 1. 配方法的运用方法； 2. 根据具体情况灵活选择方法进行因式分解 【新课引入】 1. 把下列各多项式因式分解： 1）962-+x x ；2）2842--x x 小结：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法。 说明：配方法的关键是将二次三项式变形为：A 2—B 2 的形式，然后要平方差公式继续分解。 【例题选讲】 例1. 把下列各多项式因式分解： 1）12366+--x y x ；2）422497y y x x +-；★3）ab b ax x 2222+-- 例2.把下列各多项式因式分解： 1）362025422--+ab b a ；2）16)5(6)5(222--+-x x x x

说明：把一个多项式因式分解的基本步骤： 1） 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； 2） 如果多项式各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； 3） 如果上述两种方法不能分解，那么可以尝试分组或十字相乘法或配方法来分解； 4） 分解因式时，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 【巩固练习】 把下列各多项式因式分解： 1）18724--x x ；2）22484n mn mx x -+- 【小结】 把一个多项式因式分解的基本方法： 提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法和配方法 【课后练习】 把下列各多项式因式分解： 1）y xy x x 621552-+-；2）432234ab b a b a b a --+；

八年级数学：《因式分解-待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳

初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 初中数学 / 八年级数学教案 编订：XX文讯教育机构

《因式分解-待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点 归纳 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中八年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 知识体系梳理 ◆添项拆项法 有的多项式由于“缺项”，或“并项”因此不能直接分解。通过进行适当的添项或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法。 一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的。 ◆待定系数法 有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。然后再把积乘出来。用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。 ◆换元法

所谓换元，即对结构比较复杂的代数式，把其中某些部分看成一个整体，用新的字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决复杂问题的方法，就叫。换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着独到的作用。 （1）、使用换元法时，一定要有意识，即把某些相同或相似的部分看成一个。 （2）、换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特殊值换元和几何换元。 （3）、利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式“回归”。 ★★典型例题、方法导航 ◆方法一：添项拆项法 【例1】分解因式： 分析：此多项式是三次三项式，缺项不能直接分解。可考虑添项拆项法分解。从它的最高次项看是三次，因此我们可以猜想它最多可分解成三个一次二项式的积，即，再看常数项可分解成±1、±2，因此我们可猜想分解的结果可能是或或 ,但的中间项是 ,因此是不可能的，因此只可能是前面两种的其中一种。下面请看： 解： 其结果是我们猜想中的第一种。此题还有其他分解方法吗？在注意到分解结果中有和

因式分解的十二种方法

因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下： 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式. 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) a +4ab+4 b =（a+2b） 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析：1 -3 7 2 2-21=-19 7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解. 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解. 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

利用待定系数法分解因式

利用待定系数法分解因式 经验谈： 待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。 【内容综述】 将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。 本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。 【要点讲解】 这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。 ★★例1 分解因式 思路1 因为 所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。 解法1因为所以可设 比较系数，得 由①、②解得把代入③式也成立。 ∴ 思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。 解法2 因为所以可设

因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令 得 令得 解①、②得或 把它们分别代入恒等式检验，得 ∴ 说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。 ★★例2 分解因式 思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。 解设 由恒等式性质有： 由①、③解得代入②中，②式成立。 ∴ 说明若设原式 由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式 ★★★例3 在关于x的二次三项式中，当时，其值为0；当时，其值为0； 当时，其值为10，求这个二次三项式。

因式分解之配方法与主元法

第6讲 因式分解 -----配方法与主元法、换元法 知识要点】 配方法：配方法是一种特殊的添项法，如何拆项或添项，依赖于对题目所给代数式特点的观察和分析。 主元法：当题目中的字母较多、问题较复杂时，我们可以把某一字母作为主元，而将其他字母作为常数去解决问题。 换元法：换元法是根据代数式中的特征，把其中的某些部分看成一个整体，并用一个新的文字（新元）代替之，从而使这个代数式的结构简化，便于解题。 【经典例题】 例1、分解因式:（1）2616x x +- （2）()444y x y x +++ 例2、已知,19911990,19901990,1989 1990+=+=+=x c x b x a 那么ca bc ab c b a ---++2 22的值是多少？ 例3、若c b 、、a 是不全相等的实数，且ab c z ca b y bc a x -=-=-=222,,，求证：z y 、、x 中至少有一个大于0

例4、分解因式：2910322-++--y x y xy x 例5、分解因式：)()()(222y x z x z y z y x -+-+- 例6、分解因式：2005)12005(200522---x x 例7、2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++ 例8、分解因式：262234+---x x x x

【经典练习】 1、分解因式：)(4)(22222y x xy y xy x +-++ 2、分解因式：90)384)(23(22+++++x x x x 3、分解因式：222222)3(4)5()1(+-+++a a a 4、分解因式：56422-++-y x y x 5、分解因式：67222-+--+y x y xy x 6、分解因式：613622-++-+y x y xy x

待定系数法

【2013年中考攻略】专题2：待定系数法应用探讨 锦元数学工作室 编辑 在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。 应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。 比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“已知x 2-3=（1-A ）·x 2＋Bx ＋C ，求A ，B ，C 的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A ，B ，C 的值。这里的A ，B ，C 就是有待于确定的系数。 代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx ，将（2，﹣从而求得正比例函数解析式。这里的k 就是有待于确定的系数。 代入所求，从而使问题获解。b 2=k a 3 = ，则a=3k b =2k ，， ； 在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。 一. 待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的 问题中，根据 右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答