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2 为无理数的证明

√2 為無理數的證明

蔡聰明

數學最讓我欣喜的是, 事物能夠被證明。—B. Russell—

√2 為無理數, 這是古希臘畢氏學派

的偉大發現, 是歸謬證法的典範。一方面,

它震垮了畢氏學派的幾何原子論以及幾何學的算術化研究綱領, 導致數學史上的第一次

危機。另一方面, 它也讓古希臘人發現到連

續統(continuum) 並且直接面對到「無

窮」(infinity), 使得往後的數學家、哲學家為了征服無窮而忙碌至今, 收獲非常豐富。

對於宇宙、人生之謎, 佛家有所謂的25

證道法門。換言之, 一個深刻的事物往往可以從各種角度與觀點來論證。對於「√2 為無理數」, 我們一共蒐集了28種證法(有些是大同小異), 其中的第十二種與第十三種是筆者自己的證法, 至少在文獻上不曾見過(也許是筆者孤漏寡聞)。在數量上, 雖然比不上畢氏定理的370種證法(見參考資料[5]), 但是28

種已夠驚人了(28是第二個完美數, 28 =

1 +

2 + 4 + 7 + 14)。這些證法牽涉到數學

各方面的概念, 弄清楚它們, 有助於加深與增廣對於數學的了解, 並且可將零散的知識統

合在一起。

一、奇偶論證法

√2 只有兩種情形: 有理數(rational number) 或者不是有理數。不是有理數就叫做無理數(irrational number)。因此, 我們

立下正、反兩個假說:

H1 : √2為有理數;

H2 : √2為無理數。

到底是哪一個成立呢? 如何證明?

欲證H2 成立, 我們不易直接著手, 所

以改由H1 切入。

換言之, 我們假設「√2 為有理數」, 先

投石問路一番, 看看會得出什麼邏輯結論。

第一種證法: 假設√2 為有理數, 故√2

可以寫成

√2 =

(1)

其中a 與b 為兩個自然數並且互質。將上式

平方得

a2 = 2b2 (2)

√2 為無理數的證明13

所以a2 為偶數, 從而a 亦為偶數。令

a = 2m

其中m 為某一自然數, 於是

2b2 = a2 = (2m)2 = 4m2

或者

b2 = 2m2

因此, b2 為偶數, 故b 亦為偶數。這就跟a 與b 互質的假設互相矛盾, 所以「√2 為有理數」不成立, 從而得證「√2 為無理數」。

這是一般教科書上最常見的證法, 我們

稱之為反證法或歸謬法(reductio ad absur- dum)。

二、算術根本定理

質數2, 3, , 5, 7, 11, 13, . . . 相當於自然

的「原子」(不可分解之意), 算術根本定理是說: 任何大於1的自然數都可以唯一分解成

質數的乘積。這跟「萬物都是由原子組成的」具有平行的類推。

欲證√2 為無理數, 我們仍然採用歸謬

法。假設√2 為有理數, 即√2 = a

b , 其中a

與b 為自然數, 則a2 = 2b2。

首先我們注意到: b > 1 且a > 1。因為

若b = 1, 則a2 = 2, 但是2不是平方數, 故

b = 1 不成立, 於是b > 1。又因為√2 > 1,

故a > 1。

其次, 由算術根本定理知,

a = p

1 p

2 · · · p

b = q

1 q

2 · · · q

其中p1, . . . , pn 與q1, . . . , qm 皆為質數且

α1, . . . , αn, β1, . . . , βm 皆為自然數。再由a2 = 2b2 得到

1 p2

2 · · · p2

n = 2q2

1 q2

2 · · · q2

(3)

第二種證法: 觀察(3) 式中的2, 左項

的2為偶次方, 但右項的2為奇次方, 這是一個矛盾。

第三種證法: 在(3) 式中, 左項有偶數

個質數(計較重複度), 右項有奇數個質數, 這也是一個矛盾。

無論如何, 我們由歸謬法證明了√2 為

無理數。

三、無窮下降法

這可以有三種變化的證法。

第四種證法: 假設(1) 式成立。因為

1 < √

2 =

< 2

所以a > b, 故存在自然數q 使得

a =

b + q

由a2 = 2b2 得

2b2 = a2 = (b + q)2 = b2 + 2bq + q2

消去b2 得

b2 = 2bq + q2

所以

b > q

14 數學傳播23卷1期民88年3月

於是存在自然數p 使得

b = q + p

從而

a =

b + q = (q + p) + q = 2q + p

又由a2 = 2b2 得

(2q + p)2 = 2(q + p)2

展開化簡得

p2 = 2q2 (4)

至此, 我們由兩個自然數a 與b 出發,

求得另外兩個較小的自然數p 與q, 滿足

a >

b > p > q。

在形式上, (4) 式和(2) 式完全相同, 故

可採用上述方法, 重複做下去, 就得到自然數所成的遞減的無窮數列

a >

b > p > q > · · ·

但這是不可能的, 因為不存在這種數列。

第五種證法: 對於第一種證法, 筆者遇

見過有人不滿意一開始就假設a 與b 互質,

那麼我們就改為如下的論證。

假設√2 = a

為有理數, 我們得知a

與b 皆為偶數。令a = 2a1, b = 2b1, 則

√2 = a1

。同理可證a1 與b1 也都是偶數,

令a1 = 2a2, b1 = 2b2。如此這般, 反覆做

下去, 我們就得到遞減的自然數列

a > a1 > a2 > ···與

b > b1 > b2 > ···

(6)

但這是一個矛盾, 因為自然數不能無止境地

遞減下去。

第六種證法: 假設√2 = a

b , 其中a 與

b 為自然數, 代入等式

√2 + 1 =

√2 − 1

得到

+ 1 =

( a

b ) − 1

a − b

所以

√2 =

a −

b − 1 =

2b − a

a − b

(7)

其中a1 = 2b − a 且b1 = a − b。

今因1 < √2 = a

b < 2, 乘以b 得

b < a < 2b

於是

0 < 2b − a 且2b < 2a

從而

a1 = 2b − a < a

由(7) 式知

√2 =

並且0 < a1 < a。重複上述的過程, 又可得

√2 =

且a2 < a1

總之, 我們可以得到自然數所成的無窮數列

a > a1 > a2 > a3 > · · · > 0

但這是一個矛盾。

四、進位法

√2 為無理數的證明15

利用三進位法, 也可以證明√2 為無理

數。

第七種證法: 假設√2 為有理數, 則

√2 = a

b , 其中a 與b 為自然數。於是

a2 = 2b2。今將a 與b 用三進位法表達時,

顯然a2 與b2 最後一位非零的數字必為1, 但是2b2 之最後一位非零數字為2。因此, a2 不可能等於2b2, 這是一個矛盾。

第八種證法: 假設√2 為有理數, 亦即

√2 = a

b , 其中a 與b 為自然數且互質。在三

進位記數法中, a 與b 的個位數字為0, 1或2, 所以a2 與b2 之個位數字必為0或1, 從而2b2 之個位數字為0或2。由a2 = 2b2 可知, a2 與2b2 之個位數字必為0, 於是a 的個位數字為0。另一方面, b2 的個位數字也是0, 從而b 的個位數字為0。換言之, a 與b 不互質, 這是一個矛盾。

第九種證法: 設√2 = a

b , 且a 與b 互

質, 則a2 = 2b2。a 與b 的個位數字可能為

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 或9, 於是a2 與b2 的個位數字可能為0, 1, 4, 5, 6 或9, 而2b2 的個位數字可能為0, 2 或8。由a2 = 2b2 可知, a2 與2b2 的個位數字必為0, 從而a 的個位數字為0, 且b2 的個位數字為0或5, 所以b 的個位數字為0或5。因此, a 與b 可被5整除, 這跟a 與b 互質的假設矛盾, 故√2 為無理數。

五、完全平方數

第十種證法: 設√2 為有理數, 故√2

可以寫成√2 = a

b , 其中a 與b 為互質的自

然數, 於是a2 = 2b2。這表示b2 可以整除

a2, 從而b 可以整除a。因為a 與b 互質,

所以只好b = 1。因此√2 = a, 或2 = a2,

亦即2為一個完全平方數, 這是一個矛盾, 故√2 為無理數。

注意: 當我們推得b = 1 時, 就已跟

b > 1 矛盾。另一方面, 我們仿上述的證法可以證明: 若√n 為有理數, 則n 為完全平方數。

六、輾轉相除法

求兩個整數之最大公因數最常用輾轉相

除法(又叫做歐氏算則)。由此可衍生出一個美妙的結果:

定理1: 若a, b 的最大公因數為d, 則

存在兩個整數r, s 使得

d = ar + bs (8)

第十一種證法: 設√2 = a

且a, b 互質, 則

a = √2b, √2a = 2b, 根據上述定理知, 存

在兩個整數m, n, 使得1 = am+bn。於是

√2 = √2 ·1 = √2(am + bn)

= (√2a)m + (√2b)n

= 2bm + an

為一個整數, 這是一個矛盾。

七、畢氏三元數公式

我們知道, 方程式

x2 + y2 = z2

16 數學傳播23卷1期民88年3月

的所有正整數解為

8>>><>>>:

x = ℓ(m2 − n2)

y = ℓ(2mn)

z = ℓ(m2 + n2)

(9)

其中ℓ, m, n 皆為自然數且m > n.

√2 起源於等腰直角三角形的斜邊與一

股的比值, 要證明√2 為無理數, 只需證明不存在正整數邊的等腰直角三角形就好了。

我們仍然利用歸謬法, 假設存在有正整

數邊的等腰直角三角形, 亦即存在自然數ℓ, m, n, m > n, 滿足

ℓ(m2 − n2) = ℓ(2mn) (10)

第十二種證法: 由(10) 式得到

m2 − (2n)m − n2 = 0

解得

m =

2n ±√4n2 + 4n2

= n(1 ±

√2)

負根不合, 故

m = n(1 + √2)

我們再證明: n(1 + √2) 永不為自然數。這

就得到一個矛盾, 而完成證明。

令集合

S = {n : n(1 + √2) ∈N 且n ∈N}

如果S 為空集合, 則證明完畢。因此, 我們考慮S 6= φ(空集合) 的情形。由良序性原理(well-ordering principle, 即任何非空的自

然數子集必有一最小元素, 這等價於數學歸納法) 可知, S 有一最小元素, 令其為u。

由S 的定義知u 與u(1 + √2) 皆為

自然數。考慮u(√2 − 1)。顯然

u(√2 − 1) < u

並且

u(√2 − 1) = u(1 + √2) − 2u ∈N

u(√2 − 1)(1 + √2) = u ∈N

再由S 的定義知, u(√2 − 1) ∈S。這跟u

的最小性矛盾, 故√2 為無理數。

第十三種證法: 由(10) 式得到

(m − n)2 = 2n2, m > n (11)

因此, (m−n)2 為偶數, 從而(m−n) 也是

偶數。令m − n = 2p1, 代入(11) 得到

2p2

1 = n

2 (12)

故n2 為偶數, 從而n 也是偶數。因此, m 與n 都是偶數。

令n = 2q1, 代入(12) 式得到

1 = 2q2

於是p2

1 為偶數, 從而p1 也是偶數。按此要

領不斷做不去, 我們就得到偶數所成的兩個數列

m > p1 > p2 > · · ·

n > q1 > q2 > · · ·

這是不可能的, 故√2 為無理數。

八、良序性原理

√2 為無理數的證明17

一個分數有無窮多的化身, 例如

= ···等等。

今假設√2 為有理數, 即√2 = a

。此

時a 與b 皆有無窮多個可能值。令A, B, C 表示分子、分母與a + b 之全體所成的集合, 亦即

A = {a : √2 =

; a, b ∈N}

B = {b : √2 =

; a, b ∈N}

C = {a + b : √2 =

; a, b ∈N}

由良序性原理知, A, B, C 皆有最小元素,分

別令其為a、b、a + b。

今因為a2 = 2b2, 所以

a2 − ab = 2b2 − ab

亦即

a(a − b) = b(2b − a)

從而

√2 =

2b − a

a − b

故√2 有新的表示法2b−a

a−b

。

但是, 由1 < √2 = a

b < 2, 可知

b < a < 2b。從而

2b − a < a (13)

a −

b < b (14)

(2b − a) + (a − b) < a + b (15)

第十四種證法: (13) 式與a 之最小性

抵觸, 故√2 為無理數。

第十五種證法: (14) 式與b 之最小性抵

觸, 故√2 為無理數。

第十六種證法: (15) 式與a+b 之最小

性抵觸, 故√2 為無理數。

第十七種證法: 假設√2 為有理數, 則

√2 可表成

√2 =

, a 與b 為自然數。

於是a = b√2, 亦即b√2 為自然數。由良序性原理知, 存在最小自然數b0 使得b0√2 為自然數。

因為1 < √2 < 2, 所以

b0√2 − b0 < b0

並且

(b0√2 − b0)√2 = b0 − b0√2 ∈N

這就跟b0 的最小性矛盾, 故√2 為無理數。

九、質因數論證法

利用質數3的特性, 我們可以證明√2

為無理數。

補題1: 設a, b 為自然數, 則

3|(a2 + b2) ⇔3|a 且3|b

注意: 記號a|b 表示b 可被a 整除。

證明: ⇐) 是顯然的。

⇒) 因為a 與b 被3除的餘數為0,1或

2, 故a2 與b2 被3除的餘數為0或1。現在假設3|(a2 + b2), 則3|a2 且3|b2, 從而3|a

且3|b, 證畢。

18 數學傳播23卷1期民88年3月

第十八種證法: 假設√2 = a

b , 且a 與

b 為互質, 則a2 = 2b2。於是a2 +b2 = 3b2, 亦即3|(a2 + b2)。由補題知3|a 且3|b, 這

跟a 與b 互質矛盾, 故√2 為無理數。

第十九種證法: 假設√2 = a

b , 且a

與b 為互質, 則a2 = 2b2, 因此b|a2。今若

b > 1, 由算術根本定理知, 存在質數p 使得p|b, 從而p|a2, 故p|a, 於是gcd(a, b) ≥p, 這是矛盾。若b = 1, 則√2 = a, 於是

a2 = 2, 這也是矛盾的, 因為沒有一個自然

數的平方會等於2。

第二十種證法: 假設√2 = a

且a 與

b 互質, 則

a2 = 2b2 或b2 =

2 · a

顯然b > 1, 由算術根本定理知, 存在質數p, 使得p|b。於是p|b2, 從而p|( a

2 ·a)。由此得

p|a

或p|a, 不論何者皆可得p|a。因此, p 為

a 與

b 之公因數, 這跟a 與b 互質矛盾, 故√2 為無理數。

第二十一種證法: 假設√2 = a

b , 且a

與b 互質, 則a2 = 2b2, 或

b2 = a2 − b2 = (a + b)(a − b)

令p 為b 的一個質因數, 則p|b2, 從而

p|(a + b)(a − b), 於是

p|(a + b) 或p|(a − b)

因為p|b, 故p|a。換言之, p 為a 與b 的公因數, 這就跟a 與b 互質矛盾, 所以由歸謬法知√2 為無理數。

十、方程式論的論證法

補題2: 若a

為既約的分數, 則a2

b2 亦

然。

證法: 設a

為既約分數, 則a 與b 互

質。由算術根本定理知, a2 與b2 亦互質, 故a2

b2 也是既約分數。

定理2: 代數方程式

x2 = 2, x > 0 (16)

既無自然數解, 也無分數解。

證明: 首先我們觀察平方數

1, 4, 9, 16, . . .

其中沒有2, 故(16) 式沒有自然數解。

其次, 設x = a

為(16) 式的既約分數

解, 即a2

b2 = 2。由補題知x2 = a2

b2 也是既約

分數。但x2 = a2

b2 = 2 是自然數, 而不是分

數, 這是一個矛盾, 故(16) 式沒有分數解。第二十二種證法: √2 為x2 = 2 的一

個正數解, 但由定理2知x2 = 2 既無自然數解, 也無分數解, 故√2 為無理數。

定理3: (牛頓有理根定理) 整係數多項

方程式

cnxn + cn−

1xn−

1 + · · · + c1x + c0 = 0,

cn 6= 0 (17)

若存在有理根a

b , 並且a 與b 互質, 則a|c0

且b|cn。

證明: 在(17) 式中, 以x = a

代入,

再乘以bn−

1。我們注意到cnan/b 為一個整

√2 為無理數的證明19

數。因為a 與b 互質, 故b|cn。另一方面, 以x = a

代入(17) 式並且乘以bn/a。我們觀

察到c0bn/a 為一個整數, 故a|c0。

推論: 如果整係數方程式

xn + cn−

1xn−

1 + · · · + c1x + c0 = 0

存在非零的有理根, 則此根必為可整除c0 之整數。

第二十三種證法: 設√2 為有理數, 亦

即設

√2 =

, a 與b 互質, 且b > 1。

考慮方程式

x2 − 2 = 0 (18)

那麼x = a

為(18) 式的一個有理根。由定

理3知

b|1 且a|(−2)

於是b = 1, 這跟b > 1 矛盾, 故√2 為無

理數。

補題3: 若存在n ∈N 使得cos nθ為

整數, 則

cos θ = 0, ±

, ±1 或為無理數。

證明: 由三角恆等式

2 cos 2θ = (2 cos θ)2 − 2

2 cos(n + 1)θ = (2 cos θ)2 cos nθ

−2 cos(n − 1)θ

及數學歸納法可得知: 對於每一個自然數n,

恆存在一個整係數n 次多項式fn(x), 最高

次項的係數為1, 使得

fn(2 cos θ) = 2 cos nθ。

因此, 若cos nθ為一個整數, 則2 cos θ為整係數多項方程式

fn(x) − 2 cos nθ = 0

的一個根。由上述推論知2 cos θ為整數或無理數。因為

2 cos θ≤2

故cos θ= 0, ±1

2 , ±1 或為無理數。

定理4: 設θ= rπ, 其中r 為有理數,

則

cos θ = 0,±

,±1或為無理數。

證明: 取n ∈N 使得nr 為整數, 則

cos θ = cos nrπ = ±1

當nr 為偶數時, cos nθ= +1; 當nr 為奇

數時, cos θ = −1。由補題3知, 在θ= rπ

之下,

cos θ = 0,±

,±1 或為無理數。

第二十四種證法: 由定理4立知

cos(

) =

√2

為無理數, 從而√2 為無理數。

十一、畢氏學派的弄石法

畢氏學派喜歡將自然數用小石子排成各

種形狀, 叫做形數(figurate numbers), 例

如1, 3, 6, 10, . . . 是三角形數:

20 數學傳播23卷1期民88年3月•••• • , ••• , ••••• , •••••••

而1, 4, 9, 16, . . ., 是正方形數: •• • •• •• •• •• • , •• •• , •• •• •• , •• •• •• ••

第二十五種證法: 若√2 為有理數, 令

√2 = a

b , 則a2 = 2b2 = b2 + b2, 這表示一

個較大的正方形數a2 必可重排成兩個相同

的較小的正方形數b2 + b2。

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

000

0 0 0

0 0 .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. ...... .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. ..... .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. ......

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. ...... .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. ..... .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. ......

. . . . . . . . . .

............... a

..........

...

....

. ..

. .

证明不为有理数

证明2不为有理数 (反证法) 1.假设q p 已经不能再约分了，那么 2p =22q ，等式右边是偶数，于是p 必须是偶数。p 是偶数的话，2p 就可以被4整除，约掉等式右边的一个2，可以看出 2q 也是偶数，即q 是偶数。这样，p 也是偶数，q 也是偶数，那么p 和q 就还可以继续约分，与我们的假设矛盾。证明: 假设2为有理数,那么存在两个互质的正整数p,q,使得: 2=q p 于是 p=2q 两边平方得： 2p =22q 由 22q 是偶数，可得2p 是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以p 也是偶数。因此可设p=2s,代入上式，得： 42s =22q 即: 2q =22s . 所以q 也是偶数。这样，p,q 都是偶数，不互质，这与假设p,q 互质矛盾。这个矛盾说明，2不能写成分数的形式，即2不是有理数。 2．. 从上面的这个图中我们可以看到，如果小正方形的面积是1的话，大正方形的面积就是2。于是单位正方形的对角线是面积为2的正方形的边长。换句话说，Hippasus 认为不可能存在某个整数与整数之比，它的平方等于2。

3. 假设(q p )2=2，那么2p =22q 。我们将要证明，一个数的平方等于另一个数的平方的两倍是根本不可能的。如果对一个平方数分解质因数，它必然有偶数个因子（2x 的所有质因子就是把x 的质因子复制成两份）。于是，2p 有偶数个质因子，2q 有偶数个质因子，22q 有奇数个质因子。等号左边的数有偶数个质因子，等号右边的数有奇数个质因子，大家都知道这是不可能的，因为同一个数只有一种分解质因数的方法（唯一分解定理）。这个证明还有一种更加神奇的变化。2p 和22q 的质因子中，因子2的个数肯定是一奇一偶。那么它们转化成二进制后，末尾0的个数肯定也是一奇一偶。因此，这两个数不可能相等。 4. 同样是证明不存在整数p, q 使得2p =22q ，这个证明只需要一句话。假如p 、q 是最小的正整数使得2p =22q ，看图，两个边长为q 的小正方形放在一个边长为p 的大正方形里，那么图中深灰色正方形的面积就等于两个白色正方形面积之和（面积守恒），于是我们就找到了具有同样性质的更小的整数p 和q 。仔细体会一下这个“面积守恒”，如果A+B=C ，那么A 和B 重复计算了的必然是C 里还没有算过的。很有意思。 5.证明:设2为有理数,故2可以写成2= b a 其中a 与b 为互质的两个自然数,于是:2a =22b ,这表示2b 可以整除2a ,从而b 可以整除a 。因为a 与b 互质, 所以只好b=1,因此2=a,或2=2a ,亦即2为一个完全平方数,这是一个矛盾,所以2为无理数. 我们仿上述的证法可以证明:若n 为有理数,则n 为完全平方数.

证明根号2是无理数的八种方法

怎样证明是一个无理数 2 2 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲， 2 的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证. 换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根 “晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明 2 是一个无理数，从而体会这一点. a 证法 1：尾数证明法.假设 2 是一个有理数，即 2 可以表示为一个分数的形式 2 = . b 其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .由于完全平方数的尾数只能是 0、1、4、5、 a 2 b 2 b 2 6、9 中的一个，因此 2 的尾数只能是 0、2、8 中的一个.因为 2 ，所以与2 的尾 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 数都是 0，因此的尾数只能是 0 或 5，因此 a 与 b 有公因数 5，与(a ,b)=1 矛盾！因此 2 是 b 2 无理数. 这个证法可以证明被开方数的尾数是 2、3、7、8 的平方根都是无理数. a 证法 2：奇偶分析法.假设 2 = .其中(a , b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .可知 a a 2 b 2 b 是偶数，设 a=2 c ,则 4 2 ， 2 ，可知 b 也是偶数，因此 a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1 c 2 b 2 b 2 c 2 矛盾！因此 2 是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了 2 不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底. 证法 3：仿上，得到 2 ，易见 b>1，否则 b=1，则 2 =a 是一个整数,这是不行的. a 2 b 2 a a 改写成 2 .因为 b>1，因此 b 有素因子 p ，因此 p 整除或 a ，总之，p 整除 a ， a 2 2b 2 b a 2 2 因此 p 同时整除 a 与 b ，这与(a ,b )=1 矛盾. 证法 4：仿上，得到 2 ，等式变形为b a b (a b )(a b) ，因为 b>1，因此 a 2 b 2 2 2 2 ，存在素因子 p p 整除 a+b 或 a-b 之一，则同时整除 a+b 与 a-b ，因此 p 整除 a ，因此 p 是 a 、 b 的公因数，与(a ,b )=1 矛盾. 证法 5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此 a p p p ，b q q q ，其中 , , 与 , , p p q q r r r m s s s 1 2 1 2 n 1 2 m 1 2 n 1 1 m n

(完整word版)证明根号2是无理数的八种方法

怎样证明2是一个无理数 2是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证. 换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，从而体会这一点. 证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =，所以2a 与22b 的尾数都是0，因此2b 的尾数只能是0或5，因此a 与b 有公因数5，与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数. 证法2：奇偶分析法.假设2=b a .其中(a, b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数，设a =2 c ,则2224b c =，222c b =，可知b 也是偶数，因此a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底. 证法3：仿上，得到222b a =，易见b >1，否则b=1，则2=a 是一个整数,这是不行的.222b a =改写成a a b ?=22.因为b >1，因此b 有素因子p ，因此p 整除2 a 或a ，总之，p 整除a ，因此p 同时整除a 与 b ，这与(a,b )=1矛盾. 证法4：仿上，得到222b a =，等式变形为))((222b a b a b a b -+=-=，因为b >1，因此存在素因子p ，p 整除a+b 或a-b 之一，则同时整除a+b 与a-b ，因此p 整除a ，因此p 是a 、b 的公因数，与(a,b )=1矛盾. 证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此m r m r r p p p a Λ2121=，n s n s s q q q b Λ2121=，其中m p p ,,1Λ与n q q ,,1Λ

根号2是无理数的证明

根号2是无理数的证明一、引言数学中有许多有趣且重要的数，其中之一就是根号2。在本文中，我们将探讨根号 2是否为无理数，并给出相应的证明。二、什么是无理数在开始证明之前，让我们先回顾一下无理数的概念。无理数是指不能表示为两个整数之间的比值的数。换句话说，无理数不能以分数的形式表示出来。三、根号2的定义根号2是一个特殊的数，其定义为正数平方等于2的数。我们用√2来表示根号2。四、假设根号2是有理数我们首先假设√2是一个有理数，即可以表示为两个整数之间的比值。假设√2可以表示为a/b，其中a和b是不相同的整数，并且a/b是最简形式。五、对√2进行平方将方程两边平方，得到2=(a/b)²。这可进一步转化为2b²=a²。由此可知，a²是2 的倍数。 1. 情况一：a为偶数在这种情况下，设a=2c，其中c为整数。将这个值代入方程2b²=a²中，得到 2b²=(2c)²，简化后得到b²=2c²。同样地，b²也是2的倍数。

2. 情况二：a为奇数在这种情况下，设a=2c+1，其中c为整数。将这个值代入方程2b²=a²中，得到 2b²=(2c+1)²，简化后得到b²=(2c+1)²-2。展开括号并简化后得到b²=4c²+4c-1。此时，b²也是2的倍数。 3. 结论无论a是偶数还是奇数，b²都是2的倍数。这意味着，b也是2的倍数。六、矛盾的证明我们已经得出结论，即a和b都是2的倍数。然而，我们最初假设a/b是最简形式，即a和b没有相同的约数。这与a和b都是2的倍数的结论相矛盾。因此，我们可以得出结论：√2不是有理数，而是一个无理数。七、证明的意义证明根号2是一个无理数的意义在于揭示了数学中一类特殊的数。无理数在实际应用中具有重要的作用，例如在几何学中的勾股定理中经常涉及到根号2。这些证明有助于深入理解数学的本质和数学的应用。八、结论通过严密的推理和证明，我们可以确定根号2是一个无理数。无理数具有许多有趣的性质，也是数学研究中重要的概念之一。

反证法的应用

反证法的应用反证法是一种常用的证明方法，它通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明所要证明的命题是成立的。反证法的应用非常广泛，下面将从数学、哲学和科学等多个方面来介绍反证法的应用。一、数学中的反证法在数学中，反证法是一种常用的证明方法。例如，我们要证明一个命题P成立，可以采用反证法，假设P不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明P是成立的。例如，要证明“根号2是无理数”，可以采用反证法，假设根号2是有理数，即可以表示为a/b（a、b为整数，且a、b互质），然后推导出矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。二、哲学中的反证法在哲学中，反证法也是一种常用的思维方法。例如，我们要证明一个命题P成立，可以采用反证法，假设P不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明P是成立的。例如，要证明“人类存在自由意志”，可以采用反证法，假设人类不存在自由意志，然后推导出矛盾的结论，从而证明人类存在自由意志。

三、科学中的反证法在科学中，反证法也是一种常用的思维方法。例如，我们要证明一个假设H成立，可以采用反证法，假设H不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明H是成立的。例如，要证明“地球是圆的”，可以采用反证法，假设地球是扁的，然后推导出矛盾的结论，从而证明地球是圆的。四、反证法的优缺点反证法的优点是证明过程简单明了，容易理解，而且可以避免一些复杂的证明过程。反证法的缺点是有时候会产生一些虚假的结论，因为反证法只能证明命题的真假，而不能证明命题的正确性。因此，在使用反证法时，需要注意证明过程的正确性和严谨性。综上所述，反证法是一种常用的证明方法，它在数学、哲学和科学等多个领域都有广泛的应用。反证法的优点是证明过程简单明了，缺点是有时候会产生虚假的结论。因此，在使用反证法时，需要注意证明过程的正确性和严谨性。

判断无理数的四个方法

判断无理数的四个方法无理数是指不能表示为两个整数的比值的数，它的小数部分无限不循环。在数学中，我们经常需要判断一个数是否为无理数。下面将介绍四种常见的方法来判断一个数是否为无理数。方法一：反证法反证法是一种常用的数学证明方法，用于证明某个命题的否定。对于判断一个数是否为无理数，我们可以采用反证法。假设一个数是有理数，即可以表示为两个整数的比值。然后我们推导出一个矛盾的结论，即这个数同时也可以表示为两个互质的整数的比值。因为有理数可以化简为最简形式，所以这个假设与无理数的定义相矛盾，从而证明了这个数是无理数。方法二：连分数展开法连分数是一种将一个实数表示为一个无限连分数的方法。对于一个无理数来说，它的连分数展开是无限不循环的。因此，我们可以通过计算连分数展开的有限项来判断一个数是否为无理数。如果连分数的展开具有循环结构，那么这个数就是有理数；如果连分数的展开没有循环结构，那么这个数就是无理数。方法三：代数证明法

有些无理数可以通过代数方程的解来表示，这种无理数称为代数无理数。对于一些特定的代数无理数，我们可以通过代数运算和方程的性质来判断它们是否为无理数。例如，根号2是一个代数无理数，我们可以通过假设根号2是有理数，然后推导出一个矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。方法四：几何证明法几何证明法是通过几何图形的性质来判断一个数是否为无理数。例如，我们可以通过构造正方形的对角线长度为1的等腰直角三角形来证明根号2是无理数。假设根号2是有理数，那么我们可以构造出一个边长为1的正方形，然后根据勾股定理可以得到对角线的长度为根号2。但是根号2是无理数，所以我们得出了一个矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。通过以上四种方法，我们可以判断一个数是否为无理数。无理数的研究在数学中有着重要的地位，它不仅与代数、几何等数学分支密切相关，还在物理、工程等应用领域有着广泛的应用。因此，对于无理数的判断方法的研究和应用具有重要的意义。通过不断研究和探索，我们可以更深入地理解无理数的性质和特点。

无理数的算术基本定理

无理数的算术基本定理我们在学习数学的时候，常常会遇到各种各样的数。其中，有一类数被称为“无理数”，这种数与“有理数”不同的是，它们不能被表示为两个整数的比值。例如，根号2就是一个无理数。在本文中，我们将讨论无理数的一项重要性质——“算术基本定理”。什么是算术基本定理？算术基本定理，也叫做唯一因子分解定理，是指任何一个正整数，都可以唯一地分解成质数的乘积。例如，12可以分解成 2×2×3，而18则可以分解成2×3×3。这个定理在数学中起到了非常重要的作用，不仅对于整数有意义，对于更一般的数（如分数）也是非常有用的。那么，为什么这个定理对于无理数也有用呢？我们知道，无理数中有一类数叫做代数数，它们是满足某个多项式方程的解。例如，根号2就是方程x^2=2的解。对于代数数，我们也可以进行因子分解。这个定理告诉我们，任何一个代数数都可以分解成一些代数因子的乘积，而且这个分解是唯一的。

但是，对于另一类无理数——超越数，这个定理就不再适用了。超越数是不能被任何多项式方程所表示的无理数。例如，圆周率π和自然对数的底数e都是超越数。对于超越数，我们无法进行唯一的因子分解。但是，尽管如此，算术基本定理仍然是非常重要的——它帮助我们更好地理解无理数的性质，以及为许多数学定理的证明打下了基础。证明算术基本定理如何证明算术基本定理呢？这个定理的证明是非常著名的，也是通俗易懂的，我们在这里简单介绍一下。首先，我们证明任何一个正整数都可以分解成质数的乘积。假设存在一个最小的没有被分解成质数的正整数N，那么N一定不是质数。因为如果N是质数，那么它已经被分解成了1×N。因此，N是两个正整数a和b的乘积，并且a和b都小于N。由于a和b 都没有被分解成质数的乘积，因此它们也可以分解成质数的乘积。那么N也就可以分解成质数的乘积了。其次，我们证明这个分解是唯一的。假设存在两个不同的质数分解，那么它们必定包含某个质数的次数不同。设

(完整word版)证明根号2是无理数八种方法

如何证明 2 是一个无理数 2 是一个特别有名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯所以付出了生命的代价 —— 后代的数学史家所说的 “第一次数学危机 ”盖源于此 .风暴过去后，唤醒的倒是数学家们对数的从头认识，实数的观点开始确定，在此意义上讲， 2 的发现是人们对真谛的追求、探究致使明亮的一个极好例证 . 换一个角度来看这个数，我们能够把它看作一根 “晾衣绳 ”，上边挂着很多风趣的方法，值得你认真玩味 .我们准备从不一样的角度来证明 2 是一个无理数，进而领会这一点 . 证法 1：尾数证明法 .假定 2 是一个有理数，即 2 能够表示为一个分数的形式 2 = a . b 此中 (a,b)=1，且 a 与 b 都是正整数 .则 a 2 2 因为完整平方数 2 的尾数只好是、、、、 2b . b 0 1 4 5 6、 9 中的一个，所以 2b 2 的尾数只好是 0、2、8 中的一个 .因为 a 2 2b 2 ，所以 a 2 与 2b 2 的尾数都是 0，所以 b 2 的尾数只好是 0 ，所以 a 与 b 有公因数 5，与 (a,b)=1 矛盾！所以 2 是或 5 无理数 . 这个证法能够证明被开方数的尾数是 2、 3、7、8 的平方根都是无理数 . 证法 2：奇偶剖析法 .假定 a 此中，且与都是正整数则 a 2 2b 2 可知 2 = b . (a,b)=1 a b . . a 是偶数，设 a=2c,则 4c 2 2b 2 ，b 2 2c 2 ，可知 b 也是偶数，所以、都是偶数，这与 (a,b)=1 a b 矛盾！所以 2 是无理数 . 希帕索斯就是用这类方法证了然 2 不是有理数，摇动了毕达哥拉斯学派的 “万物皆数 (任何数都可表示成整数之比 ) ”的数学崇奉，使毕达哥拉斯学派为之大为惊慌，希帕索斯所以葬身海底 . 证法 3：仿上，获得 a 2 2b 2 ，易见，不然，则 2 =a 是一个整数这是不可以的 . b>1 b=1 , a 2 2b 2 改写成 b 2 a a 因为，所以 b 有素因子，所以 p 整除 a 或 a ，总之，p 整除 a ， 2 . b>1 p 2 所以 p 同时整除 a 与 b ，这与 (a,b)=1 矛盾 . 证法 4：仿上，获得 a 2 2b 2 ，等式变形为 b 2 a 2 b 2 (a b)( a b) ，因为，所以 b>1 ，或 a-b 之一，则同时整除 a+b 与 a-b ，所以 p 整除 a ，所以 p 是 a 、存在素因子 p p 整除 a+b b 的公因数，与 (a,b)=1 矛盾 . 证法 5：利用代数基本定理，假如不考虑素因子的次序，任何一个正整数都能够独一地写成素数幂的积的形式，所以 a p 1 r 1 p 2 r 2 p m r m ，b q 1 s 1 q 2 s 2 q n s n ，此中 p 1 , , p m 与 q 1 , , q n

2 为无理数的证明

√2 為無理數的證明蔡聰明數學最讓我欣喜的是, 事物能夠被證明。—B. Russell— √2 為無理數, 這是古希臘畢氏學派的偉大發現, 是歸謬證法的典範。一方面, 它震垮了畢氏學派的幾何原子論以及幾何學的算術化研究綱領, 導致數學史上的第一次危機。另一方面, 它也讓古希臘人發現到連續統(continuum) 並且直接面對到「無窮」(infinity), 使得往後的數學家、哲學家為了征服無窮而忙碌至今, 收獲非常豐富。對於宇宙、人生之謎, 佛家有所謂的25 證道法門。換言之, 一個深刻的事物往往可以從各種角度與觀點來論證。對於「√2 為無理數」, 我們一共蒐集了28種證法(有些是大同小異), 其中的第十二種與第十三種是筆者自己的證法, 至少在文獻上不曾見過(也許是筆者孤漏寡聞)。在數量上, 雖然比不上畢氏定理的370種證法(見參考資料[5]), 但是28 種已夠驚人了(28是第二個完美數, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14)。這些證法牽涉到數學各方面的概念, 弄清楚它們, 有助於加深與增廣對於數學的了解, 並且可將零散的知識統合在一起。一、奇偶論證法 √2 只有兩種情形: 有理數(rational number) 或者不是有理數。不是有理數就叫做無理數(irrational number)。因此, 我們立下正、反兩個假說: H1 : √2為有理數; H2 : √2為無理數。到底是哪一個成立呢? 如何證明? 欲證H2 成立, 我們不易直接著手, 所以改由H1 切入。換言之, 我們假設「√2 為有理數」, 先投石問路一番, 看看會得出什麼邏輯結論。第一種證法: 假設√2 為有理數, 故√2 可以寫成 √2 = a b (1) 其中a 與b 為兩個自然數並且互質。將上式

令人称奇的简单证明：五种方法证明根号2是无理数

令人称奇的简单证明：五种方法证明根号2是无理数全世界只有3.14 %的人关注了数据与算法之美如何证明存在一种不能表示为两个整数之比的数？古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“大自然的一切皆为整数之比”的思想统治了古希腊数学相当长的一段时间，许多几何命题都是根据这一点来证明的。当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表示为整数之比”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。直到有一天，毕达哥拉斯的学生Hippasus告诉他，单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。被人们公认的假设被推翻了，大半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学大厦轰然倒塌，数学陷入了历史上的第一次危机。最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。今天我们要看的是，为什么单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。单位正方形的对角线长度怎么算呢？从上面的这个图中我们可以看到，如果小正方形的面积是1的话，大正方形的面积就是2。于是单位正方形的对角线是面积为2的正方形的边长。换句话说，Hippasus 认为不可能存在某个整数与整数之比，它的平方等于2。中学课程中安排了一段反证法。当时有个题目叫我们证根号2是无理数，当时很多人打死了也想不明白这个怎么可能证得到，这种感觉正如前文所说。直到看了答案后才恍然大悟，数学上竟然有这等诡异的证明。当然，我们要证明的不是“根号2是无理数”。那个时候还没有

根号、无理数之类的说法。我们只能说，我们要证明不存在一个数p/q使得它的平方等于2。证明过程地球人都知道：假设p/q已经不能再约分了，那么p^2=2*q^2，等式右边是偶数，于是p必须是偶数。p是偶数的话，p^2就可以被4整除，约掉等式右边的一个2，可以看出q^2也是偶数，即q是偶数。这样，p也是偶数，q也是偶数，那么p和q就还可以继续约分，与我们的假设矛盾。根号2是无理数，我们证明到了。根号3呢？根号5呢？你可能偶尔看到过，Theodorus曾证明它们也是无理数。但Theodorus企图证明17的平方根是无理数时却没有继续证下去了。你可以在网上看到，Theodorus对数学的贡献之一就是“证明了3到17的非平方数的根是无理数”。这给后人留下了一个疑问：怪了，为什么证到17就不证了呢？一个俄国的数学历史家“猜”到了原因。他猜测，当时Theodorus就是用类似上面的方法证明的。比如，要证明根号x不是有理数，于是p^2=x*q^2。我们已经证过x=2的情况了，剩下来的质数都是奇数。如果x是奇数且p/q已经不能再约分，那么显然p和q都是奇数。一个奇数2n+1的平方应该等于4(n^2+n)+1，也即8 * n(n+1)/2 + 1，其中n(n+1)/2肯定是一个整数。如果p=2k+1，q=2m+1，把它们代进p^2=x*q^2，有8[k(k+1)/2 – x*m(m+1)/2] = x-1。于是x-1必须是8的倍数。如果当时Theodorus是这么证明的，那么他可以得到这样一个结论，如果x-1不能被8整除，那么它不可能被表示成(p/q)^2。好了，现在3、5、7、11、13减去1后都不是8的倍数，它们的平方根一定不是有理数。在x=9时发生了一次例外，但9是一个平方数。而当x=17时这种证明方法没办法解释了，于是Theodorus就此打住。实际上，我们上面说的这么多，在古希腊当时的数学体系中是根本不可能出现的。毕达哥拉斯时代根本没有发展出代数这门学科来，它们掌握的只是纯粹的几何。因此，Hippasus当时的证明不可能像我们现在这样搞点什么奇数x偶数y之类的高科技东西。事实上，Hippasus当时完全运用的平面几何知识来证明他的结论。有人觉得奇怪了，既然当时没有代数，古希腊人是怎么提出“所有数都可以表示

希伯斯发现无理数的故事

希伯斯发现无理数的故事公元前5世纪的希腊雅典，是古希腊文化的中心。在这个时代，数学被视为一门哲学的学科，并且被广泛地研究和探索。在当时的数学领域，最为著名的学派是毕达哥拉斯学派，这个学派主要研究整数和有理数。然而，正是在这个时代，一个年轻而富有天赋的数学家，改变了整个数学领域的发展方向。他的名字叫希伯斯。希伯斯出生在希腊一个富裕家庭，他对数学的兴趣在很小的时候就开始显露出来。他在家中的私人教师的指导下，学习了基本的算学和几何学，并迅速展示出非凡的才华。他的家庭非常赞赏他的天赋，并希望他在学术领域中取得更大的成就。希伯斯在青年时期来到了雅典，进入了当地最著名的数学学院，向克拉凯斯学习。克拉凯斯是当时著名的数学家和哲学家，他的教导对于希伯斯的数学思考方式产生了重大影响。在克拉凯斯的指导下，希伯斯逐渐深入了解数学的奥秘，并开始研究无理数。无理数是指不能表示为两个整数的比值的数字，如开根

号的结果为无限不循环小数的实数。希伯斯对无理数充满了好奇，并坚信无理数存在的必然性。在他的思考中，一个特殊的数字引起了他的注意。这个数字被称为"√2"，表示开根号2的值。希伯斯意识到，√2是一个无理数，因为它不能通过任何两个整数的比值来表示。他开始展开一系列关于√2 的研究，他发现当用整数逐步逼近√2时，得到的结果总是无限不循环的小数。希伯斯深入研究无理数的数学性质，并尝试证明√2是一个无理数。他用反证法的思想，假设√2是一个可以表示为两个整数比值的数。但经过一系列的推导和运算，他发现这个假设所带来的矛盾，证明了√2 是一个无理数。这个证明被后人称为"数学上的希伯斯定律"，成为了现代数学的基础之一。希伯斯的发现引起了学术界的广泛关注，他的思想被认为是革命性的。他将数学从毕达哥拉斯学派的限制中解放出来，并为后世数学家们铺就了更广阔的研究领域。

2 为无理数的证明

证明 不为有理数

证明根号2是无理数的八种方法

(完整word版)证明根号2是无理数的八种方法

根号2是无理数的证明

反证法的应用

判断无理数的四个方法

无理数的算术基本定理

(完整word版)证明根号2是无理数八种方法

2 为无理数的证明

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希伯斯发现无理数的故事

证明不为有理数