大学物理学振动与波动习题答案

大学物理学（上）第四，第五章习题答案

第4章振动

P174．

4．1 一物体沿x轴做简谐振动，振幅A = 0.12m，周期T = 2s．当t = 0时，物体的位移x = 0.06m，且向x轴正向运动．求：（1）此简谐振动的表达式；

（2）t= T/4时物体的位置、速度和加速度；

（3）物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．[解答]（1）设物体的简谐振动方程为

x = A cos(ωt + φ)，

其中A = 0.12m，角频率ω = 2π/T= π．当t = 0时，x = 0.06m，所以

cosφ = 0.5，

因此

φ= ±π/3．

物体的速度为

v = d x/d t = -ωA sin(ωt + φ)．

当t = 0时，

v = -ωA sinφ，

由于v > 0，所以sinφ < 0，因此

φ = -π/3．

简谐振动的表达式为

x= 0.12cos(πt –π/3)．

（2）当t = T/4时物体的位置为

x= 0.12cos(π/2–π/3)

= 0.12cosπ/6 = 0.104(m)．

速度为

v = -πA sin(π/2–π/3)

= -0.12πsinπ/6 = -0.188(m·s-1)．

加速度为

a = d v/d t = -ω2A cos(ωt + φ)

= -π2A cos(πt - π/3)

= -0.12π2cosπ/6 = -1.03(m·s-2)．

（3）方法一：求时间差．当x = -0.06m 时，可得

cos(πt1 - π/3) = -0.5，

因此

πt1 - π/3 = ±2π/3．

由于物体向x轴负方向运动，即v < 0，所以sin(πt1 - π/3) > 0，因此

πt1 - π/3 = 2π/3，

得t1 = 1s．

当物体从x = -0.06m处第一次回到平衡位置时，x = 0，v > 0，因此

cos(πt2 - π/3) = 0，

可得πt2 - π/3 = -π/2或3π/2等．

由于t2 > 0，所以

πt2 - π/3 = 3π/2，

可得t2 = 11/6 = 1.83(s)．

所需要的时间为

Δt = t2 - t1 = 0.83(s)．

方法二：反向运动．物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x= 0.06m，即从起点向x 轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平衡位置时，x = 0，v < 0，因此

cos(πt - π/3) = 0，

可得πt - π/3 = π/2，

解得t = 5/6 = 0.83(s)．

[注意]根据振动方程

x = A cos(ωt + φ)，

当t = 0时，可得

φ = ±arccos(x0/A)，（-π < φ≦π），

初位相的取值由速度决定．

由于

v = d x/d t = -ωA sin(ωt + φ)，

当t = 0时，

v = -ωA sinφ，

当v > 0时，sinφ < 0，因此

φ = -arccos(x0/A)；

当v < 0时，sinφ > 0，因此

φ = arccos(x0/A)．

可见：当速度大于零时，初位相取负值；当速度小于零时，初位相取正值．如果速度等于零，当初位置x0 = A时，φ = 0；当初位置x0 = -A时，φ= π．

4．2 已知一简谐振子的振动曲线如图所示，试由图求：

（1）a，b，c，d，e各点的位相，及到达这些状态的时刻t各是多少？已知周期为T；

（2）振

动表达式；

（3）画

出旋转矢量

图．

[解答]

方法一：由

位相求时

间．

（1）设曲线方程为

x = A cosΦ，

其中A表示振幅，Φ = ωt + φ表示相位．由于x a = A，所以

cosΦa = 1，

因此Φa = 0．

由于x b = A/2，所以

cosΦb = 0.5，

因此Φb = ±π/3；

由于位相Φ随时间t增加，b点位相就应该大于a点的位相，因此

Φb = π/3．

由于x c = 0，所以

cosΦc = 0，

又由于c点位相大于b位相，因此

Φc = π/2．

同理可得其他两点位相为

Φd = 2π/3，Φe = π．

c点和a点的相位之差为π/2，时间之差为T/4，而b点和a点的相位之差为π/3，时间之差应该为T/6．因为b点的位移值与O 时刻的位移值相同，所以到达a点的时刻为

t a = T/6．

到达b点的时刻为

t b = 2t a = T/3．

到达c点的时刻为

t c = t a + T/4 = 5T/12．

到达d点的时刻为

t d = t c + T/12 = T/2．

到达e点的时刻为

t e = t a + T/2 = 2T/3．

（2）设振动表达式为

x = A cos(ωt + φ)，

当t = 0时，x = A/2时，所以

cosφ = 0.5，

因此

φ =±π/3；

由于零时刻的位相小于a点的位相，所以

φ = -π/3，

因此振动表达式为

cos(2)

3

t

x A

T

π

=π-．

另外，在O时刻的曲线上作一切线，由于速度是位置对时间的变化率，所以切线代表速度的方向；

由于其斜率大于

零，所以速度大

于零，因此初位

相取负值，从而

可得运动方程．

（3）如图旋

转矢量图所示．

方法

二：由时间

求位相．将

曲线反方

向延长与t

轴相交于f

点，由于x f

= 0，根据

运动方程，可得

cos(2)0

3

t

T

π

π-=

所以

2

32

f

t

T

ππ

π-=±．

显然f点的速度大于零，所以取负值，解得

图6.2

t f = -T /12．

从f 点到达a 点经过的时间为T /4，所以到达a 点的时刻为

t a = T /4 + t f = T /6，

其位相为

203

a a t T Φπ

=π-=．

由图可以确定其他点的时刻，同理可得各点的位相．

4．3如图所示，质量为10g 的子弹以速度v = 103m·s -1水平射入木块，并陷入木块中，使弹簧压缩而作简谐振动．设弹簧

的倔强系数k

= 8×103N·m -1，木块的质量为4.99kg ，不计桌面摩擦，试求：

（1）振动的振幅； （2）振动方程．

[解答]（1）子弹射入木块时，由于时间很短，木块还来不及运动，弹簧没有被压缩，它们的动量守恒，即

mv = (m + M )v 0．

解得子弹射入后的速度为

v 0 = mv/(m + M ) = 2(m·s -1)，

这也是它们振动的初速度．

子弹和木块压缩弹簧的过程机械能守恒，可得

(m + M ) v 02/2 = kA 2/2，

所以振幅为

A v =10-2(m)． （2）振动的圆频率为

ω=

s -1)．

取木块静止的位置为原点、向右的方向为位移x 的正方向，振动方程可设为

x = A cos(ωt + φ)．

当t = 0时，x = 0，可得

φ = ±π/2；

由于速度为正，所以取负的初位相，因此振动方程为

x = 5×10-2cos(40t - π/2)(m)． 4．4 如图所示，在倔强系数为k 的

弹簧下，挂一质量为

M 的托盘．质量为m 的物体由距盘底高h 处自由下落与盘发生完全非弹性碰

撞，而使其作简谐振

动，设两物体碰后瞬

时为t = 0时刻，求

振动方程．

[解答]物体落下后、碰撞前的速度为

v =

物体与托盘做完全非弹簧碰撞后，根据动量守恒定律可得它们的共同速度为

0m v v m M =

=+

这也是它们振动的初速度． 设振动方程为

x = A cos(ωt + φ)，

其中圆频率为

ω=

物体没有落下之前，托盘平衡时弹簧伸长为x 1，则

x 1 = Mg/k ．

物体与托盘碰撞之后，在新的平衡位置，弹簧伸长为x 2，则

x 2 = (M + m )g/k ．

取新的平衡位置为原点，取向下的方向为正，则它们振动的初位移为

x 0 = x 1 - x 2 = -mg/k ． 因此振幅为

A =

=

=

图4.3

图4.4

初位相为

00arctan

v x ?ω-==

4．5重量为P 的物体用两根弹簧竖直

悬挂，如图所示，各弹簧的倔强系数标明在图上．试求在图示两种情况下，系统沿竖直方向振动的固有频率．

[解答]（1）可以证明：当两根弹簧串联时，总倔强系数为k = k 1k 2/(k 1 + k 2)

，因此固有

频率为

2π

ω

ν=

==

．

（2）因为当两根弹簧并联时，总倔强系数等于两个弹簧的倔强系数之和，因此固有频率为

2π

ω

ν=

=

=

4．6 一匀质细圆环质量为m ，半径为R ，绕通过环上一点而与环平面垂直的水平光滑轴在铅垂面内作小幅度摆动，求摆动的周期．

[解答]方法一：用转动定理．通过质心垂直环面有一个轴，环绕此轴的转动惯量为 I c = mR 2

． 根据平行轴定理，环绕过O 点的平行轴的转动惯量为

I = I c + mR 2 = 2mR 2．

当环偏离平衡位置时，重力的力矩为

M = -mgR sin θ，

方向与角度θ增加的方向相反．

根据转动定理得

Iβ = M ，

即 22d s i n 0d I m g R t

θ

θ+=，

由于环做小幅度摆动，所以sin θ≈θ，可得微分方程

22d 0d mgR

t I

θθ+=． 摆动的圆频率为

ω=

周期为

2π

T ω

=

22==

方法二：用机械能守恒定律．取环的质心在最底点为重力势能零点，当环心转过角度θ时，重力势能为

E p = mg (R - R cos θ)， 绕O 点的转动动能为

2

12

k E I =

ω， 总机械能为

2

1(cos )2

E I mg R R =

+-ωθ． 环在转动时机械能守恒，即E 为常量，将上式对时间求导，利用ω = d θ/d t ，β = d ω/d t ，得

0 = Iωβ + mgR (sin θ) ω，

由于ω ≠ 0，当θ很小有sin θ≈θ，可得振动的微分方程

22d 0d mgR

t I

θθ+=， 从而可求角频率和周期．

[注意]角速度和圆频率使用同一字母ω，不要将两者混淆．

4.7 横截面均匀的光滑的U 型管中有适量液

体如图所示，液体的总

(b)

图4.5

y

y

图4.7

长度为L ，求液面上下微小起伏的自由振动的频率。

解：建立竖直坐标如图，令微小振动中，两臂水银面相平时，水银面坐标为0，水银的重力势能为0，则以右臂水银面的坐标为准，在振动中任一时刻，水银的运动速度

t y d d =υ．这时振动中水银的动能为221v m ，水银的势能（看作两水银面相平的状态下，从右臂移高度为y 的一段水银柱到左臂，则有质量为S ρy 的水银升高了高度y ）

为S ρgy 2

．因振动中机械能守恒

=+2

22

1gy S m ρυ常量 对t 求导数可得

02d d v =+υρυgy S t

m

化

简 02d d 22=+gy S t

y m ρ 这就是简谐振动的微分方程．

由此可得振动角频率 m

g

S ρω2= L g

L S g S 22=

=ρρω 4．8 质量为10×10-3kg 的小球与轻弹簧组成的系统，按20.1cos(8)3x t π=π+的规律作振动，式中t 以秒(s)计，x 以米(m)计．求： （1）振动的圆频率、周期、振幅、初位相； （2）振动的速度、加速度的最大值； （3）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能； （4）画出这振动的旋转矢量图，并在图上指明t 为1，2，10s 等各时刻的矢量位置． [解答]（1）比较简谐振动的标准方程 x = A cos(ωt + φ)， 可知：圆频率为 ω =8π， 周期

T = 2π/ω = 1/4 = 0.25(s)，

振幅为

A = 0.1(m)，

位相为

φ = 2π/3．

（2）速度的最大值为

v m = ωA = 0.8π = 2.51(m·s -1)；

加速度的最大值为 a m = ω2A = 6.4π2 = 63.2(m·s -2)． （3）弹簧的倔强系数为 k = mω2， 最大回复力为 f = kA = mω2A = 0.632(N)； 振动能量为

E = kA 2/2 = mω2A 2/2 = 3.16×10-2(J)，

平均动能和平均势能为 k p E E == kA 2/4 = mω2A 2/4 = 1.58×10-2(J)．

（4）如图所示，当t 为1，2，10s 等时刻时，旋转矢量的位置是相同的．

4．9 一氢原子在分子中的振动可视为简谐振动．已知氢原子质量m =

1.68×10-27kg ，振动频率v = 1.0×1014Hz ，振

幅A = 1.0×10-11m ．试计算：

（1）此氢原子的最大速度； （2）与此振动相联系的能量．

[解答]（1）氢原子的圆频率为

ω = 2πv = 6.28×1014(rad·s -1)， 最大速度为

v m = ωA = 6.28×103(m·s -1)． （2）氢原子的能量为 2

12

m E mv == 3.32×10-20(J)． 4．10 质量为0.25kg 的物体，在弹性

力作用下作简谐振动，倔强系数k =

25N·m -1，如果开始振动时具有势能0.6J ，

和动能0.2J ，求：

（1）振幅；

（2）位移多大时，动能恰等于势能？ （3）经过平衡位置时的速度． [解答]物体的总能量为

E = E k + E p = 0.8(J)． （1）根据能量公式

E = kA 2/2，

得振幅为

A =

．

（2）当动能等于势能时，即E k = E p ，由于

E = E k + E p ，

可得

E = 2E p ， 即 2211

222

kA kx =?， 解得

/2x == ±0.179(m)．

（3）再根据能量公式 E = mv m 2/2，

得物体经过平衡位置的速度为

m v == ±

2.53(m·s -1)．

4.11 两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅的简谐振动．在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反．求它们的位相差，并作旋转矢量图表示．

[解答]设它们的振动方程为

x = A cos(ωt + φ)，

当x = A /2时，可得位相为

ωt + φ = ±π/3．

由于它们在相遇时反相，可取

Φ1 = (ωt + φ)1 = -π/3， Φ2 = (ωt + φ)2 = π/3，

它们的相差为

ΔΦ = Φ2 – Φ1 = 2π/3， 或者

ΔΦ` =

2π –ΔΦ = 4π/3．

矢量图如图所示．

4．12

两个频率和振幅都

相同的简

谐振动的x-t 曲线如

图所示，

求：

（1）两个简谐振动的位相差；

（2）两个简谐振动的合成振动的振动方程．

[解答]（1）两个简谐振动的振幅为

A = 5(cm)，

周期为

T = 4(s)，

圆频率为

ω =2π/T = π/2，

它们的振动方程分别为

x 1 = A cos ωt = 5cosπt /2，

x 2 = A sin ωt = 5sinπt /2 = 5cos(π/2 - πt /2) 即 x 2 = 5cos(πt /2 - π/2)． 位相差为

Δφ = φ2 - φ1 = -π/2．

（2）由于

x = x 1 + x 2 = 5cosπt /2 + 5sinπt /2

= 5(cosπt /2·cosπ/4 + 5sinπt /2·sinπ/4)/sinπ/4 合振动方程为

cos()24

x t ππ

=-(cm)．

4．13已知两个同方向简谐振动如下：

13

0.05cos(10)5x t =+π，

21

0.06cos(10)5

x t =+π．

（1）求它们的合成振动的振幅和初位相；

（2）另有一同方向简谐振动x 3 = 0.07cos(10t +φ)，问φ为何值时，x 1 + x 3的振幅为最大？φ为何值时，x 2 + x 3的振幅为最

小？

（3）用旋转矢量图示法表示（1）和（2）两种情况下的结果．x 以米计，t 以秒计．

[解答]（1）根据公式，合振动的振幅为

A =

= 8.92×10-2

(m)．

初位相为

1122

1122

sin sin arctan

cos cos A A A A ?????+=+= 68.22°．

（2）要使x 1 + x 3的振幅最大，则

cos(φ – φ1) = 1，

因此

φ – φ1 = 0，

所以

φ = φ1 = 0.6π．

要使x 2 + x 3的振幅最小，则

cos(φ – φ2) = -1， 因此

φ – φ2 = π，

所以

φ = π + φ2 = 1.2π．

（3）如图所示．

4

4．14 三个同方向、同频率的简谐振动为

10.08cos(314)6x t π

=+，

20.08cos(314)2x t π

=+，

350.08cos(314)6

x t π

=+．

求：（1）合振动的圆频率、振幅、初相及振动表达式；

（2）合振动由初始位置运动

到

x A =

所需最短时间（A 为合振动振幅）．

[解答] 合振动的圆频率与各分振动的圆频率相同

ω = 314 = 100π(rad·s -1)．

各分振动的振幅为A 1 = A 2 = A 3 =0.08m ，初相为φ1 =π/6、φ2 =π/2、φ3 =5π/6．

根据振动合成公式可得

A x = A 1cos φ1 + A 2cos φ2 + A 3cos φ3 = 0， A y = A 1sin φ1 + A 2sin φ2 + A 3sin φ3 = 2A 1 = 0.16(m)， 合振幅为

A =，

初位相为

φ = arctan(A y /A x ) = π/2． 合振动的方程为

x = 0.16cos(100πt + π/2)．

（2

）当/2x =

时，可得

cos(100/2)2t π+π=，

解得

100πt + π/2 = π/4或7π/4．

由于t > 0，所以只能取第二个解，可得所需最短时间为t = 0.0125s ．

4．15 将频率为384Hz 的标准音叉振动和一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为3.0Hz ，在待测音叉的一端加上一小块物体，则拍频将减小，求待测音叉的固有频率．

[解答]标准音叉的频率为 v 0 = 384(Hz)，

拍频为

Δv = 3.0(Hz)．

如果待测音叉

的固有频率v 2比标准音叉的频率大，则得

Δv = v 2 - v 0， 可能的频率是

v 2 = v 0 + Δv = 387(Hz)．

如果待测音叉的固有频率v 1比标准标准音叉的频率小，则得

Δv = v 0 – v 1，

可能的频率是

v 1 = v 0 - Δv = 381(Hz)．

在待测音叉上加一小块物体时，相当于弹簧振子增加了质量，由于ω2 = k/m ，可知其频率将减小．如果待测音叉的固有频率为v 1，加一小块物体后，其频率v`1将更低，与标准音叉的拍频将增加；实际上拍频是减小的，所以待测音叉的固有频率v 2，即387Hz ．

4．16 示波器的电子束受到两个互相垂直的电场作用．电子在两个方向上的位移分别为x = A cos ωt 和y = A cos(ωt +φ)．求在φ = 0，φ = 30o，及φ = 90o这三种情况下，电子在荧光屏上的轨迹方程．

[解答]根据公式

22

2

22

1212

2cos sin x y xy A A A A ??+-?=?， 其中Δφ = φ2 – φ1 = -π/2，而φ1 = 0，φ2 = φ．

（1）当Δφ = φ = 0时，可得

2222220x y xy

A A A

+-=， 质点运动的轨道方程为

y = x ，

轨迹是一条直线． （2）当Δφ = φ = 30o时，可得质点的轨道方程

222

21

4

x y A A +=， 即

222/4x y x y A +=，

轨迹是倾斜的椭圆．

（3）当Δφ = φ = 90o时，可得

22

221x y A A

+=， 即 x 2 + y 2 = A 2， 质点运动的轨迹为圆．

4．17 质量为0.4kg 的质点同时参与互相垂直的两个振动：

0.08cos()36x t ππ

=+，

0.06cos()33

y t ππ

=-．

式中x 和y 以米(m)计，t 以秒(s)计．

（1）求运动的轨道方程； （2）画出合成振动的轨迹；

（3）求质点在任一位置所受的力． [解答]（1）根据公式

222

22

1212

2cos sin x y xy A A A A ??+-?=?， 其中位相差为

Δφ = φ2 – φ1 = -π/2， 所以质点运动的轨道方程为

22

22

10.080.06x y +=． （2）合振动的轨迹是椭圆．

（3）两个振动的圆频率是相同的ω = π/3，质点在x 方向所受的力为

22d d x x x

F ma m t

==

2π

0.08cos()6

m t ωω=-+，

即 F x = 0.035cos(πt /3 + π/6)(N)． 在y 方向所受的力为

22d d y y y

F ma m t ==

2π

0.06cos()3

m t ωω=--，

即 F y = 0.026cos(πt /3 - π/3)(N)．

用矢量表示就是i+j x y F F F =，其大小为

F =，

与x 轴的夹角为

θ = arctan(F y /F x )．

4．18 楼内空调用的鼓风机如果安装在楼板上，它工作时就会使整个楼产生讨厌的震动。为了减小这种震动，就把鼓风机安装在有4个弹簧支撑的底座上。鼓风机和底座的总质量为576kg ，鼓风机的轴的转速为1800r/min （转每分）。经验指出，驱动频率为振动系统固有频率5倍时，可减震90%以上。偌按5倍计算，所用的每个弹簧的倔强系数应多大？

[解答] 驱动频率

Hz r d 30min /1800==ν

由于4个弹簧并联，其等效劲度系数为每个

弹簧的劲度系数的4倍，即k =4k 1, 由05νν=d

可得π

ππωνm k m

k d /52/52510=== m N m k d /1005.225

576

30255222

21?=??==ππ

ν

第5章 波动

P210．

5．1 据报道,1976年唐山大地震时,当地某居民曾被猛地向上抛起2m 高,设地震横波为简谐波,且频率为1Hz ,波速为3km/s

,它的波长多大?振幅多大? [解答] 人离地的速度 及地壳上下振

动的最大速度，为

gh m 2=υ

地震波的振幅为

m gh A m 0.1228.92222=??===

π

πνπνυ 地震波的波长

km u

31

3

==

=

ν

λ

5．2 已知一波的波动方程为

y = 5×10-2sin(10πt – 0.6x ) (m)． （1）求波长、频率、波速及传播方向； （2）说明x = 0时波动方程的意义，并作图表示．

[解答]（1）与标准波动方程比较：

2πcos()x

y A t ωλ

=-

，

得 2π/λ = 0.6， 因此波长为

λ = 10.47(m)；

圆频率为

ω = 10π，

频率为

v =ω/2π = 5(Hz)；

波速为

u = λ/T = λv = 52.36(m·s -1)．

传播方向沿着x 轴正方向．

（2）当x = 0时波动方程就成为该处质点的振动方程 y = 5×10-2sin10πt = 5×10-2cos(10πt – π/2)， 振动曲线如图．

5．3 已知波的波动方程为

y = A cosπ(4t – 2x )（SI ）． （1）写出t = 4.2s 时各波峰位置的坐标表示式，并计算此时离原点最近的波峰的位置，该波峰何时通过原点？

（2）画出t = 4.2s 时的波形曲线． [解答]波的波动方程可化为

y = A cos2π(2t – x )，

与标准方程比较

cos[2y A =π(

)]t x

T ?λ

-+， 可知：周期为T = 0.5s ，波长λ = 1m ．波速为u = λ/T = 2m·s -1．

（1）当t = 4.2s 时的波形方程为

y = A cos(2πx – 16.8π) = A cos(2πx – 0.8π)． 令y = A ，则

cos(2πx – 0.8π) = 1，

因此 2πx – 0.8π = 2k π，(k = 0, ±1, ±2,…)， 各波峰的位置为

x = k + 0.4，(k = 0, ±1, ±2,…)． 当k = 0时的波峰离原点最近，最近为

x = 0.4(m)．

通过原点时经过的时间为 Δt = Δx/u = (0 – x )/u = -0.2(s)， 即：该波峰0.2s 之前通过了原点．

（2）t = 0时刻的波形曲线如实线所示．经过t = 4s 时，也就是经过8个周期，波形曲线是重合的；再经Δt = 0.2s ，波形向右移动Δx = u Δt = 0.4m ，因此t = 4.2s 时的波形曲线如虚线所示．

[注意]各波峰的位置也可以由

cos(2πx – 16.8π) = 1

解得，结果为

x = k + 8.4，(k = 0, ±1, ±2,…)， 取同一整数k 值，波峰的位置不同．当k = -8

时的波峰离原点最近，最近为x = 0.4m ．

5．4 一平面波在介质中以速度u = 20m·s -1沿x 轴负方向传播．已知在传播路径上的某点A 的振动方程为y = 3cos4πt ．

（1）如以A 点为坐标原点，写出波动方程；

（2）如以距A 点5m 处的B 点为坐标原点，写出波动方程；

（3）写出传播方向上B ，C ，D 点的振动方程．

[解答]（1）以A 点为坐标原点，波动方程为

3cos 4()3cos(4)5

x x

y t t u π=π+=π+．

（2）以B 点为坐标原点，波动方程为

3cos 4()A

x x y t u

-=π+

3cos(4)5

x

t π=π+

-π． （3）以A 点为坐标原点，则x B = -5m 、x C = -13m 、x D = 9m ，各点的振动方程为

3cos 4()3cos(4)B

B x y t t u =π+

=π-π， 33cos 4()3cos(4)5C C x y t t u π

=π+=π-，

93cos 4()3cos(4)5

D D x y t t u π=π+

=π+． [注意]以B 点为坐标原点，求出各点坐

标，也能求出各点的振动方程．

5．5 一

列简谐波沿

x 轴正向传

播，在t 1 =

0s ，t 2 = 0.25s 时刻

的波形如图

所示．试求：

（1）P 点的振动表达式；

（2）波动方程；

（3）画出O 点的振动曲线． [解答]（1）设P 点的振动方程为 y P = A cos(ωt + φ)，

其中A = 0.2m ．

在Δt = 0.25s 内，波向右传播了

Δx = 0.45/3 = 0.15(m)，

所以波速为

u = Δx/Δt = 0.6(m·s -1)． 波长为

λ = 4Δx = 0.6(m)，

周期为

T = λ/u = 1(s)，

圆频率为

ω = 2π/T = 2π． 当t = 0时，y P = 0，因此

cos φ = 0；

由于波沿x 轴正向传播，所以P 点在此时向上运动，速度大于零，所以

φ = -π/2．

P 点的振动表达式为

y P = 0.2cos(2πt - π/2)．

（2）P 点的位置是x P = 0.3m ，所以波动方程为

0.2cos[2()]2P x x y t u -π

=π-

- 100.2cos(2)32

t x ππ

=π-+．

（3）在x = 0处的振动方程为

y 0 = 0.2cos(2πt + π/2)，

曲线如图所示．

5．6 一平面简谐波沿X 轴正向传播，其振幅的圆频率分别为A 和ω，波速为U ，设t ＝0时的波形曲线如图18所示。

⑴写出此波的波动方程。(y=Acon[(ωt –ωx/u)+x/2])

⑵求距0点分别为λ/8，和3λ/8两处质点的振动方程。

⑶求距0点分别为λ/8，和3λ/8两处质点在t ＝0时的振动速度。

解：(1) 以O 点为坐标原点．由图可知，该点振动初始条件为

图7.10

图5.5

0c o s 0==φ

A y ， 0s i n 0<-=φωA v

所以 π=21

φ

波的表达式为

]2

1)/(c o s [π+-=u x t A y ωω (2) 8/λ=x 处振动方程为

]

2

1)8/2(cos[π+π-=λλωt A y )4/cos(π+=t A ω

8/3λ=x 的振动方程为

]2

1

8

/32cos[π+-=λ

λπ

ωt A y )4/cos(π-=t A ω

(3)

)2

1

/2sin(/d d π+π--=λωωx t A t y

t = 0，8/λ=x 处质点振动速度

]2

1

)8/2sin[(/d d π+π--=λλωA t y 2/2ωA -=

t = 0，8/3λ=x 处质点振动速度

]

2

1

)8/32sin[(/d d π+?π--=λλωA t y 2/2ωA =

5．7 一平面简谐波沿X 轴正向传播，其振

幅A=10cm ，波的圆频率ω=7πrad·s-1，当

t=1.0s 时，x=10cm 处的a 质点正通过其平衡位置向Y 轴负方向运动，而x=20cm 处的B 质点正通过Y=5.0cm 点向Y 轴正方向运动。设该波的波长λ＞10cm ，求该平面波的表达式。 解：设平面简谐波的波长为λ，坐标原点处质点振动初相为φ，则该列平面简谐波的表达式可写成

)/27cos(1.0φλ+π-π=x t y (SI)

t = 1 s 时

0])/1.0(27cos[1.0=+π-π=φλy

因此时a 质点向y 轴负方向运动，故

π=+π-π21)/1.0(27φλ ① 而此时，b 质点正通过y = 0.05 m 处向y 轴

正方向运动，应有

05.0])/2.0(27cos[1.0=+π-π=φλy 且 π-=+π-π3

1

)/2.0(27φλ ②

由①、②两式联立得 λ = 0.24 m 3/17π-=φ

∴ 该平面简谐波的表达式为

]3

17

12.07cos[1.0π-π-

π=x t y (SI) 或

]3

1

12.07cos[1.0π+π-

π=x t y (SI) 5．8 一简谐波沿x 轴正向传播，波长λ = 4m ，周期T = 4s ，已知x = 0处的质点的振动曲线如图所示．

（1）写出时x = 0处质点的振动方程；

（2）写出波的表达式；

（3）画出t = 1s 时刻的波形曲线．

[解答]波速为u = λ/T = 1(m·s -1)． （1）设x = 0处的质点的振动方程为 y = A cos(ωt + φ)， 其中A = 1m ，ω = 2π/T = π/2． 当t = 0时，y = 0.5，因此 cos φ = 0.5， φ = ±π/3． 在0时刻的曲线上作一切线，可知该时刻的

速度小于零，因此

φ = π/3．

振动方程为

y = cos(πt /2 + π/3)． （2）波的表达式为

cos[2y A =π(

)]t x

T ?λ-+ cos[()]23

t x ππ=-+．

（3）t = 1s 时刻的波形方程为

5cos()26

y x ππ

=-，

波形曲线如图所示．

5．9一弹性波在媒质中传播的速度u = 1×103m·s -1，振幅A = 1.0×10-4m ，频率ν= 103Hz ．若该媒质的密度为800kg·m -3，求：

（1）该波的平均能流密度；

（2）1分钟内垂直通过面积S = 4×10-4m 2的总能量．

[解答]（1）质点的圆频率为

ω = 2πv = 6.283×103(rad·s -1)，

波的平均能量密度为

221

2

w A ρω=

= 158(J·

m -3)， 平均能流密度为

I wu == 1.58×105(W·

m -2)． （2）1分钟内垂直通过面积S =

4×10-4m 2的总能量为

E = ItS = 3.79×103(J)．

5.10 在截面积为S 的圆管中，有一列平面简谐波在传播，其波的表达式为

)]/(2cos[λωx t A y π-=，管中波的平均

能量密度是w ，则通过截面积S 的平均能流是多少？

[解答]

通过截面积S 的平均能流 I=wuS

由波的表达式得: ωπ

λ

λ

2=

=T

u 所求为2Sw ωλπ

5．11一平面简谐声波在空气中传播，波速u = 340m·s -1，频率为500Hz ．到达人耳时，振幅A = 1×10-4cm ，试求人耳接收到声波的平均能量密度和声强？此时声强相当于多少分贝？已知空气密度ρ = 1.29kg·m -3．

[解答]质点的圆频率为 ω = 2πv = 3.142×103(rad·s -1)， 声波的平均能量密度为

2212

w A ρω=

= 6.37×10-6

(J·

m -3)， 平均能流密度为

I wu == 2.16×10-3(W·

m -2)， 标准声强为

I 0 = 1×10-12(W·m -2)，

此声强的分贝数为

10lg I

L I == 93.4(dB)．

5．12 S 1与S 2为两相干波源，相距1/4个波长，S 1比S 2的位相超前π/2．问S 1、S 2连线上在S 1外侧各点的合成波的振幅如何？在S 2外侧各点的振幅如何？

[解答]如图所示，设S 1在其左侧产生的波的波动方程为

11cos[2y A =π(

)]t x

T ?λ

++， 那么S 2在S 1左侧产生的波的波动方程为

22cos[2y A =π/4π

()]2

t x T λ?λ-++-

2cos[2A =π(

)πt x

T ?λ

++-]， 由于两波源在任意点x 产生振动反相，所以合振幅为|A 2 – A 1|．

S 1在S 2右侧产生的波的波动方程为

11cos[2y A =π()]t x

T ?λ

-+，

那么S 2在其右侧产生的波的波动方程为

22cos[2y A =π/4π

()]2

t x T λ?λ--+-

S 1 S 2

2cos[2A =π(

)]t x

T ?λ

-+， 由于两波源在任意点x 产生振动同相，所以合振幅为A 2 + A 1．

5.13. 如图所示，S 1和S 2为两相干波源，它们的振动方向均垂直于图面，发出波长为λ 的简谐波，P 点是两列波相遇区域中的一点，已知 λ21=P S ，λ2.22=P S ，两列波在P 点发生相消干涉．若S 1的振动方程为 )2

12cos(1π+π=t A y ，求S 2的振动方

程。

[解答]．因为两列波在P 点发生相消干涉．

)1.02cos(22π-π=t A y

5.14 .如图所示，一平面简谐波沿x 轴正方向传

播，BC 为波密

媒质的反射面．波由P 点反

射，OP = 3λ

/4，DP = λ 6．在t = 0时，O 处质点的合

振动是经过平衡位置向负方向运动．求D 点

处入射波与反射波的合振动方程．（设入射

波和反射波的振幅皆为A ，频率为ν．）

解：选O 点为坐标原点，设入射波表达式为

])/(2c o s [1φλν+-π=x t A y 则反射波的表达式是

]

)(2cos[2π++-+-

π=φλ

νx

DP OP t A y

合成波表达式（驻波）为

)2cos()/2cos(2φνλ+ππ=t x A y

在t = 0时，x = 0处的质点y 0 = 0， 0)/(0

故得 π=

2

1

φ 因此，D 点处的合成振动方程是

)

2

2cos()6

/4/32cos(2π

+π-π

=t A y νλ

λλt A νπ=2sin 3

5．15 两波在一很长的弦线上传播，设其表达式为：

1 6.0cos

(0.028.0)2

y x t π

=-， 2 6.0cos (0.028.0)2

y x t π

=+，

用厘米、克、秒（cm,g,s ）制单位，求：

（1）各波的频率，波长、波速； （2）节点的位置；

（3）在哪些位置上，振幅最大？ [解答]（1）两波可表示为

1 6.0cos 2(

)0.5200t x

y =π-， 2 6.0cos 2()0.5200

t x

y =π+，

可知它们的周期都为

T = 0.5(s)，

频率为 v = 1/T = 2(Hz)； 波长为

λ = 200(cm)； 波速为

u = λ/T = 400(cm·s -1)．

（2）位相差

Δφ = πx /50，

当Δφ = (2k + 1)π时，可得节点的位置 x = 50(2k + 1)(cm)，(k = 0，1，2，…)．

（3）当Δφ = 2k π时，可得波腹的位置 x = 100k (cm)，(k = 0，1，2，…)．

πλπφφφ)12()(21212+=---=?∴k r r ππλλλπ

ππλπφφ9.1)22.2(22)(21212=+-+=+-+=r r

5.16 在固定端x = 0处反射的反射波表达式是)/(2cos 2λνx t A y -=π. 设反射波无能量损失，求入射波的表达式y 1 以及形成的驻波的表达式y 。

[解答] 在固定端x = 0处反射，反射点是波节，入射波、反射波在该点的位相差为π，反射波沿x 轴正向传播，则入射波沿x 轴负向传播其表达式为

y 1=cos[2(/)]A t x νλ++ππ， 形成的驻波的表达式为 y=y 1+y 2=

cos[2(/)]

A t x νλ++ππ)/(2cos λνx t A -+π

=

11

2cos(2/)cos(2)22

A x t λν++ππππ

5.17 A 、B 为两个汽笛，其频率皆为500Hz ，A 静止，B 以60m/s 的速率向右运动. 在两个汽笛之间有一观察者O ，以30m/s 的速度也向右运动.空气中的声速为330m/s ，观察者听到的拍频为多少？

[解答] 观察者O 接收到汽笛A 发出的频率 为

Hz u u O A 5.454500330

30

330=?-=-=

νυν观察者O 接收到汽笛B 发出的频率 为

Hz u u B O B 5.46150060

33030330=?++=++=

νυυν 则观察者听到的拍频为

Hz A B 7=-=?ννν

5．18 海面上波浪的波长为120m ，周期为10s 。一只快艇以24m/s 的速度迎浪开行，它橦击海浪的频率是多大？多长时间橦击一次？如果它顺浪开行，它橦击海浪的频率又是多大？多长时间橦击一次？

[解答] 波浪的速度

s m T

u /1210120

==

=

λ

快艇迎浪开行，它橦击海浪的频率为

Hz u 30.0120

24

121=+=

+=

λ

υ

ν 周期为

s T 3.33.0/11

1

1===

ν

顺浪开行，它橦击海浪的频率

Hz u 10.0120

24

122=+-=

+-=

λ

υ

ν

周期为

s T 101.0/11

2

2===

ν

5．19．一声源的频率为1080Hz ，相对地面以30m·s -1速率向右运动．在其右方有一反射面相对地面以65m·s -1的速率向左运动．设空气中声速为331m·s -1．求：

（1）声源在空气中发出的声音的波长； （2）反射回的声音的频率和波长． [解答]（1）声音在声源垂直方向的波长为

λ0 = uT 0 = u /ν0 = 331/1080 = 0.306(m)； 在声源前方的波长为

λ1 = λ0 - u s T 0 = uT 0 - u s T 0 = (u - u s )/ν0 = (331-30)/1080 = 0.2787(m)； 在声源后方的波长为

λ2 = λ0 + u s T 0 = uT 0 + u s T 0 = (u + u s )/ν0 = (331+30)/1080 =

0.3343(m)．

（2）反射面接收到的频率为

1033165

108033130

B S u u u u νν++=

=?-- = 1421(Hz)．

将反射面作为波源，其频率为ν1，反射声音的频率为

`11331

142133165

B u u u νν=

=?-- = 1768(Hz)．

反射声音的波长为

`11

1

1

33165

1421

B

B

u u u u

λννν--=

-

=

=

=0.1872(m)．

或者 `1`

1331

1768

u

λν=

=

= 0.1872(m)． [注意]如果用下式计算波长

`111

65

0.27871768

B

u λλν=-

=-

=0.2330(m)， 结果就是错误的．当反射面不动时，作为波

源发出的波长为u /ν1 = 0.2330m ，而不是入

射的波长λ1．

振动与波动习题与答案

振动与波动习题与答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

第10章 振动与波动 一. 基本要求 1. 掌握简谐振动的基本特征，能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。 2. 掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。 3. 能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程，并能理解其物理意义。 4. 掌握描述谐振动的旋转矢量法，并用以分析和讨论有关的问题。 5. 理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。 6. 理解机械波产生的条件。 7. 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。 8. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。 9. 理解惠更斯原理和波的叠加原理。掌握波的相干条件。能用相位差或波程差概念来分析和确定相干波叠加后振幅加强或减弱的条件。 10. 理解驻波形成的条件，了解驻波和行波的区别，了解半波损失。 二. 内容提要 1. 简谐振动的动力学特征 作谐振动的物体所受到的力为线性回复力，即 取系统的平衡位置为坐标原点，则简谐振动的动力学方程（即微分方程）为 2. 简谐振动的运动学特征 作谐振动的物体的位置坐标x 与时间t 成余弦（或正弦）函数关系，即 由它可导出物体的振动速度 )sin(?+ωω-=t A v 物体的振动加速度 )cos(?+ωω-=t A a 2 3. 振幅A 作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值，振幅的大小由初始条件确定，即 4. 周期与频率 作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T 称为周期，单位时间内完成的振动次数γ称为频率。周期与频率互为倒数，即 ν= 1T 或 T 1=ν 5. 角频率(也称圆频率）ω 作谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与周期、频率的关系为 ω π = 2T 或 πν=ω2 6. 相位和初相 谐振动方程中（?+ωt ）项称为相位，它决定着作谐振动的物体的状态。t=0时的相位称为初相，它由谐振动的初始条件决定，即 应该注意，由此式算得的?在0~2π范围内有两个可能取值，须根据t=0时刻的速度方向进行合理取舍。

振动与波动习题与答案

第10章振动与波动 一.基本要求 1. 掌握简谐振动的基本特征，能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。 2. 掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。 3. 能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程，并能理解其物理意义。 4. 掌握描述谐振动的旋转矢量法，并用以分析和讨论有关的问题。 5. 理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。 6. 理解机械波产生的条件。 7. 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。 8. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。 9. 理解惠更斯原理和波的叠加原理。掌握波的相干条件。能用相位差或波程差概念来分析和确定相干波叠加后振幅加强或减弱的条件。 10. 理解驻波形成的条件，了解驻波和行波的区别，了解半波损失。 二. 内容提要 1. 简谐振动的动力学特征作谐振动的物体所受到的力为线性回复力，即 取系统的平衡位置为坐标原点，则简谐振动的动力学方程（即微分方程）为 2. 简谐振动的运动学特征作谐振动的物体的位置坐标x与时间t成余弦（或正弦）函数关系，即 由它可导出物体的振动速度) =t A v - ω + ω sin(? 物体的振动加速度) =t A a2 cos(? - + ω ω 3. 振幅A 作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值，振幅的大小由初始条件

确定，即 4. 周期与频率 作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T 称为周期，单位时间内完成的振动次数γ称为频率。周期与频率互为倒数，即 ν = 1T 或 T 1=ν 5. 角频率(也称圆频率）ω 作谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与周期、频率的关系为 ω π=2T 或 πν=ω2 6. 相位和初相 谐振动方程中（?+ωt ）项称为相位，它决定着作谐振动的物体的状态。t=0时的相位称为初相，它由谐振动的初始条件决定，即 应该注意，由此式算得的?在0~2π范围内有两个可能取值，须根据t=0时刻的速度方向进行合理取舍。 7. 旋转矢量法 作逆时针匀速率转动的矢量，其长度等于谐振动的振幅A ，其角速度等于谐振动的角频率ω，且t=0时，它与x 轴的夹角为谐振动的初相?，t=t 时刻它与x 轴的夹角为谐振动的相位?ω+t 。旋转矢量A ?的末端在x 轴上的投影点 的运动代表着质点的谐振动。 8. 简谐振动的能量 作谐振动的系统具有动能和势能，其 动能 )(sin ?+ωω==t A m m E k 22222 12 1v 势能 )(cos ?+ω==t kA kx E p 2222 12 1 机械能 22 1 kA E E E p k =+= 9. 两个具有同方向、同频率的简谐振动的合成 其结果仍为一同频率的简谐振动，合振动的振幅 初相 2 2112211?+??+?= ?cos cos sin sin tan A A A A （1）当两个简谐振动的相差),,,( Λ210212±±=π=?-?k k 时，合振动振幅最大，为 21A A +，合振动的初相为1?或2?。

高等教育出版社_金尚年_马永利编著的理论力学课后习题答案

高等教育出版社，金尚年，马永利编著的理论力学课后习题答案 第一章 1.2 afG — sin0) ；殳上运动的质点的微 afl - COS0) 分方程，并证明该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关. 解： 设s为质点沿摆线运动时的路程，取0=0时，s=0 H ( x = a(0-sine) * ly = —a(l — COS0) ds - J (dx)2 + (dy)2 二 J((i9 — COS0 亠de)2+(sirL9 de)2 = 2asin| 2a sin舟dO = 4 a (L co马 写出约束在铅直平面内的光滑摆线

ee A s=2acos^59 + 2asin?9 = acos| 9^ + 2a sin? 9 x轴的夹角，取逆时针为正，tan (p即切线斜率设（P为质点所在摆线位置处切线方向 与 dy cos 0 -1 tan

振动理论课后答案

1-1一个物体放在水平台面上，当台面沿铅垂方向作频率为5 Hz的简谐振动时，要使物体不跳离平台，对台面的振幅应有何限制? 解：物体与桌面保持相同的运动，知桌面的运动为 ， x=A sin10πt； 由物体的受力分析，N = 0（极限状态） 物体不跳离平台的条件为：； 既有， , 由题意可知Hz，得到，mm。 1-2有一作简谐振动的物体，它通过距离平衡位置为cm及cm 时的速度分别为20 cm/s及cm/s，求其振动周期、振幅和最大速度。解： 设该简谐振动的方程为；二式平方和为 将数据代入上式： ； 联立求解得 A=10.69cm；1/s；T=s 当时，取最大，即：

得： 答：振动周期为2.964s；振幅为10.69cm；最大速度为22.63m/s。 1-3 一个机器内某零件的振动规律为 ，x的单位是cm，1/s 。这个振动是否为简谐振动?试求它的振幅、最大速度及最大加速度，并用旋转矢量表示这三者之间的关系。 解： 振幅A=0.583 最大速度 最大加速度 1-4某仪器的振动规律为。此振动是否为简谐振动?试用x- t坐标画出运动图。 解：因为ω1=ωω2=3ω,ω1≠ω2.又因为T1=2π/ω T2=2π/3ω，所以，合成运动为周期为T=2π/3ω的非简谐运动。两个不同频率的简谐振动合成不是简谐振动，当频率比为有理数时，可合称为周期振动，合成振动的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。

1-5已知以复数表示的两个简谐振动分别为和，试求它们的合成的复数表示式，并写出其实部与虚部。 解：两简谐振动分别为，， 则：=3cos5t+3isin5t =5cos(5t+)+3isin(5t+) 或； 其合成振幅为：= 其合成振动频率为5t，初相位为：=arctan 则他们的合成振动为：实部：cos(5t+ arctan) 虚部：sin(5t+ arctan) 1-6将题1-6图的三角波展为傅里叶级数。 解∶三角波一个周期内函数x (t)可表示为 ， 由式得

(完整版)机械振动和机械波练习题【含答案】

机械振动和机械波练习题 一、选择题 1．关于简谐运动的下列说法中，正确的是[ ] A．位移减小时，加速度减小，速度增大 B．位移方向总跟加速度方向相反，跟速度方向相同 C．物体的运动方向指向平衡位置时，速度方向跟位移方向相反；背向平衡位置时，速度方向跟位移方向相同 D．水平弹簧振子朝左运动时，加速度方向跟速度方向相同，朝右运动时，加速度方向跟速度方向相反 2．弹簧振子做简谐运动时，从振子经过某一位置A开始计时，则[ ] A．当振子再次与零时刻的速度相同时，经过的时间一定是半周期 B．当振子再次经过A时，经过的时间一定是半周期 C．当振子的加速度再次与零时刻的加速度相同时，一定又到达位置A D．一定还有另一个位置跟位置A有相同的位移 3．如图1所示，两木块A和B叠放在光滑水平面上，质量分别为m和M，A与B之间的最大静摩擦力为f，B与劲度系数为k的轻质弹簧连接构成弹簧振子。为使A和B在振动过程中不发生相对滑动，则[ ] 4．若单摆的摆长不变，摆球的质量增为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减少为原来的二分之一，则单摆的振动跟原来相比 [ ] A．频率不变，机械能不变B．频率不变，机械能改变 C．频率改变，机械能改变D．频率改变，机械能不变 5．一质点做简谐运动的振动图象如图2所示，质点在哪两段时间内的速度与加速度方向相同[ ] A．0～0.3s和0.3～0.6s B．0.6～0.9s和0.9～1.2s C．0～0.3s和0.9～1.2s D．0.3～0.6s和0.9～1.2s

6．如图3所示，为一弹簧振子在水平面做简谐运动的位移一时间图象。则此振动系统[ ] A．在t1和t3时刻具有相同的动能和动量 B．在t3和t4时刻振子具有相同的势能和动量 C．在t1和t4时刻振子具有相同的加速度 D．在t2和t5时刻振子所受回复力大小之比为2∶1 7．摆A振动60次的同时，单摆B振动30次，它们周期分别为T1和T2，频率分别为f1和f2，则T1∶T2和f1∶f2分别等于[ ] A．2∶1，2∶1B．2∶1，1∶2 C．1∶2，2∶1 D．1∶1，1∶2 8．一个直径为d的空心金属球壳内充满水后，用一根长为L的轻质细线悬挂起来形成一个单摆，如图4所示。若在摆动过程中，球壳内的水从底端的小孔缓慢泄漏，则此摆的周期[ ] B．肯定改变，因为单摆的摆长发生了变化 C．T1先逐渐增大，后又减小，最后又变为T1 D．T1先逐渐减小，后又增大，最后又变为T1 9．如图5所示，AB为半径R=2m的一段光滑圆糟，A、B两点在同一水平高度上，且AB弧长20cm。将一小球由A点释放，则它运动到B点所用时间为[ ]

大学物理振动波动例题习题

精品 振动波动 一、例题 （一）振动 1.证明单摆是简谐振动，给出振动周期及圆频率。 2. 一质点沿x 轴作简谐运动，振幅为12cm ，周期为2s 。当t = 0时, 位移为6cm ，且向x 轴正方向运动。 求: (1) 振动表达式； (2) t = 0.5s 时，质点的位置、速度和加速度； (3)如果在某时刻质点位于x =-0.6cm ，且向x 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 3. 已知两同方向，同频率的简谐振动的方程分别为： x 1= 0.05cos (10 t + 0.75π) 20.06cos(100.25)(SI)x t π=+ 求：(1)合振动的初相及振幅. (2)若有另一同方向、同频率的简谐振动x 3 = 0.07cos (10 t +? 3 ), 则当? 3为多少时 x 1 + x 3 的振幅最大?又? 3为多少时 x 2 + x 3的振幅最小? （二）波动 1. 平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为2 cm ，频率为 50 Hz ，波速为 200 m/s 。在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y 轴正方向运动， 求：(1)波动方程 (2)x = 4 m 处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度。 2. 一平面简谐波以速度m/s 8.0=u 沿x 轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。求：（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式； （3）同一时刻相距m 1的两点之间的位相差。 3. 两相干波源S 1和S 2的振动方程分别是1cos y A t ω=和2cos(/2)y A t ωπ=+。 S 1距P 点3个波长，S 2距P 点21/4个波长。求：两波在P 点引起的合振动振幅。

振动理论课后答案

精心整理 1-1???一个物体放在水平台面上，当台面沿铅垂方向作频率为5 Hz的简谐振动时，要使物体不跳离平台，对台面的振幅应有何限制? 解：物体与桌面保持相同的运动，知桌面的运动为 ， x=A sin10πt????； ???????? 既有 , ，得到，mm 有一作简谐振动的物体，它通过距离平衡位置为cm 解： 设该简谐振动的方程为； ； A=10.69cm；1/s；T=s 当时，取最大，即： 得： 答：振动周期为2.964s；振幅为10.69cm；最大速度为22.63m/s。

1-3?一个机器内某零件的振动规律为，x的单位是cm，1/s?。 这个振动是否为简谐振动?试求它的振幅、最大速度及最大加速度，并用旋转矢量表示这三者之间的关系。 解： ????????振幅A=0.583 ??????最大速度??? 已知以复数表示的两个简谐振动分别为和，试求它们的合成的复数表示式， 解：两简谐振动分别为，， 则：=3cos5t+3isin5t =5cos(5t+)+3isin(5) 或； 其合成振幅为：= 其合成振动频率为5t，初相位为：=arctan 则他们的合成振动为：?实部：cos(5t+?arctan) ????????????????????????????????????虚部：sin(5t+?arctan)

1-6将题1-6图的三角波展为傅里叶级数。 解∶三角波一个周期内函数x?(t)可表示为 ?， 由式得??????????????????????????????????????????????????????????n=1，2，3…… 1-7 ， ,???? ?????； ?????P(t)平均值为0

大学物理复习题答案(振动与波动)

大学物理1复习题答案 一、单选题（在本题的每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号，填入题干的括号内） 1．一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和 T 2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为'T 1和'T 2。则有 ( B ) A ．'T T >11且 'T T >22 B ．'T T =11且 'T T >22 C ．'T T <11且 'T T <22 D ．'T T =11且 'T T =22 2．一物体作简谐振动，振动方程为cos 4x A t ?? =+ ?? ? πω，在4 T t = （T 为周期）时刻，物体的加速度为 ( B ) A. 2ω 2ω C. 2ω 2ω 3．一质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为/2A -，且向x 轴的正方向 运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 ( D ) A A A A A A C) A x x A A x A B C D 4. 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动方程为 )cos(1αω+=t A x ．当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二 个质点正在最大正位移处．则第二个质点的振动方程为 ( B ) A. )π21cos( 2++=αωt A x B. )π21 cos(2-+=αωt A x ． C. )π2 3 cos( 2-+=αωt A x D. )cos(2π++=αωt A x ．

5．波源作简谐运动，其运动方程为t y π240cos 10 0.43 -?=，式中y 的单位为m ，t 的单 位为s ，它所形成的波形以s m /30的速度沿一直线传播，则该波的波长为 ( A ) A ．m 25.0 B ．m 60.0 C ．m 50.0 D ．m 32.0 6．已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒。则此简谐振动的振动方程为： ( B ) A ．cos x t ππ??=+ ???2 2233 B ．cos x t ππ??=+ ??? 42233 C ．cos x t ππ??=- ???22233 D ．cos x t ππ??=- ??? 42233 二． 填空题（每空2分） 1． 简谐运动方程为)4 20cos(1.0π π+ =t y （t 以s 计，y 以m 计） ，则其振幅为 0.1 m,周期为 0.1 s ；当t=2s 时位移的大小为205.0m. 2．一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长2cm ，则该简谐振动 的初相为4 0π ?=，振动方程为_)4 cos(2π π+ =t y 。 3. 平面简谐波的波动方程为()x t y ππ24cos 08.0-=，式中y 和x 的单位为m ，t 的单位为s ，则该波的振幅A= 0.08 ，波长=λ 1 ，离波源0.80m 及0.30m 两处的相位差=?? -Л 。 4. 一简谐振动曲线如图所示，则由图可确定在t = 2s 时刻质点的位移为___0 ___，速度为：πω3=A ． t

第5章 振动和波动课后答案

第5章振动和波动 5-1一个弹簧振子0.5kg m =，50N m k =，振幅0.04m A =，求 (1)振动的角频率、最大速度和最大加速度； (2)振子对平衡位置的位移为x =0.02m 时的瞬时速度、加速度和回复力； (3)以速度具有正的最大值的时刻为计时起点，写出振动方程。 解：（1）)s rad (105 .050 === m k ω (2) 设 当(3) 5-2 解： ν= 5-3式中1,k 10x ,弹簧2所受的合外力为 由牛顿第二定律得2122d ()d x m k k x t =-+ 即有2122() d 0d k k x x t m ++ = 上式表明此振动系统的振动为简谐振动，且振动的圆频率为

振动的频率为2π ω ν= = 5-4如图所示，U 形管直径为d ，管内水银质量为m ，密度为ρ，现使水银面作无阻尼自由振动，求振动周期。 振动周期5-5 5-6如图所示，轻弹簧的劲度系数为k ，定滑轮的半径为R 、转动惯量为J ，物体质量为m ，将物体托起后突然放手，整个系统将进入振动状态，用能量法求其固有周期。 习题

解：设任意时刻t ，物体m 离平衡位置的位移为x ，速率为v ，则振动系统的总机械能 式中 于是5-7已知5-8平衡位置距O '点为：000l x l k +=+ 以平衡位置为坐标原点，如图建立坐标轴Ox ，当物体运动到离开平衡位置的位移为x 处时，弹簧的伸长量就是x x +0,所以物体所受的合外力为 物体受力与位移成正比而反向，即可知物体做简谐振动国，此简谐振动的周期为 5-9两质点分别作简谐振动，其频率、振幅均相等，振动方向平行。在每次振动过程中，它们在经过振幅的一半的地方时相遇，而运动方向相反。求它们相差，并用旋转矢量图表示出来。 习题5-6图

大学物理振动与波动

振动与波动 选择题 0580.一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，（如图所示）， 作成一复摆．已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量23 1 ml J =，此摆作微小振 动的周期为 (A) g l π2. (B) g l 22π. (C) g l 322π . (D) g l 3π. ［ C ］ 3001. 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时．若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 (A) π． (B) π/2． (C) 0 ． (D) θ． ［ C ］ 3003.轻弹簧上端固定，下系一质量为m 1的物体，稳定后在m 1下边又系一质量为m 2 的物体，于是弹簧又伸长了?x ．若将m 2移去，并令其振动，则振动周期为 (A) g m x m T 122?π= ． (B) g m x m T 212?π=． (C) g m x m T 2121?π= ． (D) g m m x m T )(2212+π=?． ［ B ］ 3004.劲度系数分别为k 1和k 2的两个轻弹簧串联在一起，下面挂着质量为m 的物体，构成一个竖挂的弹簧振子，则该系统的振动周期为 (A) 21212)(2k k k k m T +π =． (B) ) (221k k m T +π= ． (C) 2121)(2k k k k m T +π=． (D) 2 122k k m T +π=． ［ C ］ 3255.如图所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m 的物体，再用此弹簧改系一质量为4m 的物体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧并联后悬挂质 量为m 的物体，则这三个系统的周期值之比为 (A) 1∶2∶2/1． (B) 1∶2 1 ∶2 ．

振动理论及应用期末复习题题

2008年振动力学期末考试试题 第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C 的质量m 1，匀质杆AB 的质量m 2，长为L ，匀质轮O 的质量m 3，弹簧的刚度系数k 。当AB 杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。 解： 系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C 的位移y 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 y ＝0，此时系统的势能为零。 AB 转角：L y /=? 系统动能： m 1动能：2112 1 y m T = m 2动能：2222222 22222)3 1(21))(31(21)31(2121y m L y L m L m J T ====? ω m 3动能：2322 32333)2 1(21))(21(2121y m R y R m J T ===ω 系统势能： 221)2 1 (21)21(y k y g m gy m V ++-= 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有： E y k gy m gy m y m m m V T =++-++= +2212321)2 1 (2121)2131(21 上式求导，得系统的微分方程为： E y m m m k y '=+++) 2 1 31(4321 固有频率和周期为： ) 2 131(43210m m m k ++= ω 2、质量为m 1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A 连在质量为m 2的物块B 上；轮心C 与刚度系数为k 的水平弹簧相连；不计滑轮A ，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。 解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B 的位移x 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 x ＝0，此时系统的势能为零。 物体B 动能：2212 1 x m T =

振动和波动习题

振动习题 一、选择题 1. 对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？ [ ] (A) 物体处在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值； (B) 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零； (C) 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零； (D) 物体处在负方向的端点时，速度最大，加速度为零。 2. 一沿X 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，振动方程用余弦函数表示，如果该振子的初相为43 π，则t=0时，质点的位置 在： [ ] (A) 过1 x A 2 =处，向负方向运动； (B) 过1x A 2 =处，向正方向运动； (C) 过1x A 2 =-处，向负方向运动；(D) 过1x A 2 =-处，向正方向运 动。 3. 一质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为/2A ，且 向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 [ ] (C) (3) 题 4. 一谐振子作振幅为A 的谐振动，它的动能与势能相等时，它的相 位和坐标分别

为： [ ] 2153 (A),or ;A;(B),;A;332663223(C),or ;A; (D),;A 4433ππ± ±π±± ±π±ππ±±π±±±π± 5. 一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为 10.04cos(2)3 x t ππ=+（SI ），从t = 0时刻起，到质点位置在x = -0.02 m 处，且向x 轴正方向运 动的最短时间间隔为 [ ] (A) s 8 1； (B) s 6 1； (C) s 4 1； (D) s 2 1 6. 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线，这两个简谐振动叠加后 合成的余弦振动的初相为 [ ] x t O x 1 x 2 (A) π2 3； (B) π； (C) π2 1 ； (D) 0 一、 填空题 1. 一简谐振动用余弦函数表示，振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为： , ， 2. 一质点作简谐振动，周期为T ，质点由平衡位置到二分之一最大位移处所需要的时间为 ；由最大位移到二分之一最大位移处所

大学物理习题解答8第八章振动与波动 (1)

第八章 振动与波动 本章提要 1. 简谐振动 · 物体在一定位置附近所作的周期性往复运动称为机械振动。 · 简谐振动运动方程 ()cos x A t ω?=+ 其中A 为振幅，ω 为角频率，（ωt+?）称为谐振动的相位，t ＝0时的相位? 称为初相位。 · 简谐振动速度方程 d () d sin x v A t t ωω?= =-+ · 简谐振动加速度方程 2 2 2d ()d cos x a A t t ωω?= =-+ · 简谐振动可用旋转矢量法表示。 2. 简谐振动的能量 · 若弹簧振子劲度系数为k ，振动物体质量为m ，在某一时刻m 的位移为x ，振动速度为v ，则振动物体m 动能为 2 12k E m v = · 弹簧的势能为 2 12p E kx = · 振子总能量为 P 2 2 2 2 2 211()+()22 1=2 sin cos k E E E m A t kA t kA ωω?ω?=+=++ 3. 阻尼振动

· 如果一个振动质点，除了受弹性力之外，还受到一个与速度成正比的阻尼作用，那么它将作振幅逐渐衰减的振动，也就是阻尼振动。 · 阻尼振动的动力学方程为 2 2 2d d 20d d x x x t t β ω++= 其中，γ是阻尼系数，2m γ β= 。 （1） 当22ωβ>时，振子的运动一个振幅随时间衰减的振动，称阻尼振动。 （2） 当22ωβ=时，不再出现振荡，称临界阻尼。 （3） 当22ωβ<时，不出现振荡，称过阻尼。 4. 受迫振动 · 振子在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动，周期性外力称驱动力 · 受迫振动的运动方程为 2 2 P 2d d 2d d cos x x F x t t t m β ωω++= 其中，2k m ω=，为振动系统的固有频率；2C m β=；F 为驱动力振幅。 · 当驱动力振动的频率p ω等于ω时，振幅出现最大值，称为共振。 5. 简谐振动的合成与分解 （1） 一维同频率的简谐振动的合成 若任一时刻t 两个振动的位移分别为 111()cos x A t ω?=+ 222()cos x A t ω?=+ 合振动方程可表示为 ()cos x A t ω?=+ 其中，A 和? 分别为合振动的振幅与初相位 A =

大学物理题库-振动与波动汇总

振动与波动题库 一、选择题（每题3分） 1、当质点以频率ν 作简谐振动时，它的动能的变化频率为（ ） （A ） 2v （B ）v （C ）v 2 （D ）v 4 2、一质点沿x 轴作简谐振动，振幅为cm 12，周期为s 2。当0=t 时, 位移为cm 6，且向x 轴正方向运动。则振动表达式为（ ） (A) ） （3cos 12.0π π- =t x （B ） ） （3cos 12.0π π+=t x （C ） ） （32cos 12.0π π- =t x （D ） ） （32cos 12.0π π+ =t x 3、 有一弹簧振子，总能量为E ，如果简谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的四倍，则它的总能量变为 （ ） （A ）2E （B ）4E （C ）E /2 （D ）E /4 4、机械波的表达式为()()m π06.0π6cos 05.0x t y +=，则 （ ） （Ａ） 波长为100 ｍ （Ｂ） 波速为10 ｍ·ｓ-1 （Ｃ） 周期为1/3 ｓ （Ｄ） 波沿x 轴正方向传播 5、两分振动方程分别为x 1=3cos (50πt+π/4) ㎝ 和x 2=4cos (50πt+3π/4)㎝，则它们的合振动的振幅为（ ） (A) 1㎝ （B ）3㎝ （C ）5 ㎝ （D ）7 ㎝ 6、一平面简谐波，波速为 μ=5 cm/s ，设t= 3 s 时刻的 波形如图所示，则x=0处的质点的振动方程为 （ ） (A) y=2×10－ 2cos (πt/2－π/2) (m) (B) y=2×10－ 2cos (πt + π) (m) (C) y=2×10－ 2cos(πt/2+π/2) (m) (D) y=2×10－ 2cos (πt －3π/2) (m) 7、一平面简谐波，沿X 轴负方向 传播。x=0处的质点 的振动曲线如图所示，若波函数用余弦函数表示，则该波的初位相为（ ） （A ）0 （B ）π (C) π /2 (D) － π /2 8、有一单摆，摆长m 0.1=l ，小球质量g 100=m 。设小球的运动可看作筒谐振动，则该振动的周期为（ ） (A) 2π （B ）32π （C ）102π （D ）52π 9、一弹簧振子在光滑的水平面上做简谐振动时，弹性力在半个周期内所做的功为 [ ] (A) kA 2 （B ）kA 2 /2 （C ）kA 2 /4 （D ）0

振动与波习题练习

第4章 振动与波动 一、选择题 1. 在下列所述的各种物体运动中, 可视为简谐振动的是 [ ] (A) 将木块投入水中, 完全浸没并潜入一定深度, 然后释放 (B) 将弹簧振子置于光滑斜面上, 让其振动 (C) 从光滑的半圆弧槽的边缘释放一个小滑块 (D) 拍皮球时球的运动 . 2.一弹簧振子周期为T ．现将弹簧截去一半，仍挂上原来的物体, 则新的弹簧振子周期为 [ ] (A) T (B) 2T (C) (D) 3. 三只相同的弹簧(质量忽略不计)都一端固定, 另一端连接质量为m 的物体, 但放置情况不同．如图4-1-3所示，其中一个平放, 一个斜放, 另一个竖直放．如果让它们振动起来, 则三者的 [ ] (A) 周期和平衡位置都不相同 (B) 周期和平衡位置都相同 (C) 周期相同, 平衡位置不同 (D) 周期不同, 平衡位置相同 4. 如图4-1-4所示，升降机中有一个作谐振动的单摆, 当升降机静止 时, 其振动周期为2 s ， 当升降机以加速度上升时, 升降机中的观察 者观察到其单摆的振动周期与原来的振动周期相比，将 [ ] (A) 增大 (B) 不变 (C) 减小 (D) 不能确定 . 5. 两质点在同一方向上作同振幅、同频率的简谐振动．在振动过程中, 每当它们经过振幅一半的地方时, 其运动方向都相反．则这两个振动的相位差为 [ ] (A) π (B) π32 (C) π34 (D) π5 4 6 在简谐振动的速度和加速度表达式中，都有一个负号, 这是意味着 [ ] (A) 速度和加速度总是负值 (B) 速度的相位比位移的相位超前 π2 1 , 加速度的相位与位移的相位相差π (C) 速度和加速度的方向总是相同 (D) 速度和加速度的方向总是相反 7一质点以周期T 作简谐振动, 则质点由平衡位置正向运动到最大位移一半处的最短时间为 [ ] (A) 6T (B) 8T (C) 12T (D) T 12 7 8 一作简谐运动质点的振动方程为π)2 1 π2cos(5+=t x , 它从计时开始, 在运动一 个周期后 图4-1-3 图4-1-4

精选-大学物理振动与波练习题与答案

第二章 振动与波习题答案 12、一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅2 10 0.2-?=A 米，周期50.0=T 秒，当0 =t 时 (1) 物体在正方向的端点； (2) 物体在负方向的端点； (3) 物体在平衡位置，向负方向运动； (4) 物体在平衡位置，向正方向运动。 求以上各种情况的谐振动方程。 【解】：π=π = ω45 .02 )m () t 4cos(02.0x ?+π=， )s /m ()2 t 4cos(08.0v π+?+ππ= (1) 01)cos(=?=?，， )m () t 4cos(02.0x π= (2) π=?-=?，1)cos(， )m () t 4cos(02.0x π+π= (3) 2 1)2cos(π=?-=π+?， ， )m () 2 t 4cos(02.0x π+π= (4) 21)2cos(π-=?=π+?， ， )m () 2 t 4cos(02.0x π-π= 13、已知一个谐振动的振幅02.0=A 米，园频率πω 4=弧度／秒， 初相2/π=?。 (1) 写出谐振动方程； (2) 以位移为纵坐标，时间为横坐标，画出谐振动曲线。 【解】：)m () 2 t 4cos(02.0x π+π= ， )(2 12T 秒=ωπ= 15、图中两条曲线表示两个谐振动 (1) 它们哪些物理量相同，哪些物理量不同? (2) 写出它们的振动方程。

【解】：振幅相同，频率和初相不同。 虚线： )2 t 2 1cos(03.0x 1π-π= 米 实线： t cos 03.0x 2π= 米 16、一个质点同时参与两个同方向、同频率的谐振动，它们的振动方程为 t 3cos 4x 1= 厘米 )3 2t 3cos(2x 2π+= 厘米 试用旋转矢量法求出合振动方程。 【解】：)cm () 6 t 3cos(32x π+= 17、设某一时刻的横波波形曲线如图所示，波动以1米／秒的速度沿水平箭头方向传播。 (1) 试分别用箭头表明图中A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 各质点在该时刻的运动方向； (2) 画出经过1秒后的波形曲线。 【解】： 18、波源作谐振动，其振动方程为(m ))240(1043t cos y π-?=，它所形成的波以30m/s 的速度沿一直线传播。

机械振动理论基础及应用

东北大学 研究生考试试卷 考试科目：机械振动理论基础及应用 课程编号： 阅卷人： 考试日期： 2012.06 姓名：黄孙进 学号： 1100487 注意事项 1．考前研究生将上述项目填写清楚 2．字迹要清楚，保持卷面清洁 3．交卷时请将本试卷和题签一起上交 东北大学研究生

摘要 机械振动理论是研究机械振动的理论、技术及设备的一门的学科。它是机械振动学、振动利用工程等的理论基础。其理论应用在人类生活与生产等各个方面均获得广泛应用，并已扩展到生物工程与社会经济等众多领域，目前它日趋完善，由于该学科所涉及的有关技术与工农业生产及人类生活联系十分密切，已正真成为人类生产活动与生活过程中一种不可缺少的理论与必要的机制。 本文主要简要的介绍了如下几方面： (1) 介绍了机械振动的基本理论，振动的简史，振动的模型和振动的分类。 (2) 机械振动理论基础在新兴课程振动利用工程中的应用，以及非线性动力学在机械振动中的应用。 (3) 机械振动的实际应用。 关键词：机械振动理论基础；非线性振动；振动利用；机械振动的应用

目录 摘要 ...................................................................... I 绪论 (1) 第1章机械振动简介 (2) 1.1 机械振动发展简史 (2) 1.2 机械振动系统的模型 (3) 1.3 机械振动的种类 (4) 第二章机械振动理论基础衍生分支学科—振动利用工程 (6) 2.1“振动利用工程”的概念和理论框架 (6) 2.1.1提出了“振动利用工程”的概念 (6) 2.1.2构建了该学科的理论框架 (6) 2.1.3完善了该学科某些分支的理论 (7) 2.2振动利用工程中的若干新工艺理论与技术 (7) 2.3非线性动力学理论在振动机械中的应用 (8) 2.3.1提出了惯性力项为非线性力学新模型 (8) 2.3.2提出了不对称的软式的分段线性的非线性的力学模型 (10) 2.3.3构建了带有间隙的滞回非线性的力学模型 (12) 2.3.4构建了振动机分段慢变与双参数慢变的非线性动力学模型 (15) 2.3.5研究了大长度振动机弹性弯曲的理论 (15) 第三章机械振动应用状况 (16) 3.1振动时效 (16) 3.2利用微振动的台阵记录研究浅部S波速度结构。 (16) 展望 (21)

大学物理复习题答案(振动与波动)讲解学习

大学物理复习题答案（振动与波动）

大学物理1复习题答案 一、单选题（在本题的每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号，填入题干的括号内） 1. 一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T i和T2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为T i'和T2。则有（B ） A. T i' T i且T T2 B. T i' T i 且T2 T2 C. T i' T i且T2T2 D. T i' T i且T2T2 2.一?物体作简谐振动，振动方程为x A cos t-，在t T（T为周 期） 44 时刻,物体的加速度为( B ) A.i,2A2 B.i &A 2c. i、3A2D.T A2 2 2 22 3. —质点作简谐振动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为 A 的正方向 4. 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同.第一个质点的振动 方程为 A/2，且向x轴运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为( C D

X i Acos（ t ）.当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处?则第二个质点的振动方程为 （B ） A. X2 Acos( t 1 1 一冗) B. X2 Acos( t 一冗). 2 2 C. x2Acos( t 3 冗) D. x2Acos( t ). 5. 波源作简谐运动，其运动方程为y 4.0 10 3cos240 t，式中y的单位为 m，t的单位为s,它所形成的波形以30m/s的速度沿一直线传播，则该波的波 长为（A ） A. 0.25m B. 0.60m C. 0.50m D. 0.32m 6.已知某简谐振动的振动曲线如图所示,位移的单位为厘米，时间单位为秒。则此简谐振动的振动方程为：( B ) c 22 2cos 42 A. x 2cos — t B. x-t i x (cm) 3333 O严） 小22 2cos 42-1JY/ C. x 2cos — t 33D. x-t 33 -2 填空题（每空2分） 1. 简谐运动方程为y 0.1cos（20 t -）（t以s计，y以m计），则其振幅为0.1 m,周期为0.1 s ;当t=2s时位移的大小为0.05. 2 m. 2. 一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长 的初相为0—，振动方程为_y 2cos（ t 一） 4 4

大学物理振动波动例题习题教学文案

大学物理振动波动例 题习题

振动波动 一、例题 （一）振动 1.证明单摆是简谐振动，给出振动周期及圆频率。 2.一质点沿x轴作简谐运动，振幅为12cm，周期为2s。当t = 0时, 位移为6cm，且向x轴正方向运动。 求: (1) 振动表达式； (2) t = 0.5s时，质点的位置、速度和加速度； (3)如果在某时刻质点位于x=-0.6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 3. 已知两同方向，同频率的简谐振动的方程分别为： x 1= 0.05cos (10 t + 0.75π) 20.06cos(100.25)(SI) x tπ =+ 求：(1)合振动的初相及振幅. (2)若有另一同方向、同频率的简谐振动x 3 = 0.07cos (10 t +? 3 ), 则当? 3为多少时x 1 + x3的振幅最大?又? 3为多少时 x 2 + x 3的振幅最小? （二）波动 1. 平面简谐波沿x轴正方向传播，振幅为2 cm，频率为 50 Hz，波速为 200 m/s。在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y轴正方向运动， 求：(1)波动方程 (2)x = 4 m处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度。 2. 一平面简谐波以速度m/s 8.0 = u沿x轴负方向传播。已 知原点的振动曲线如图所示。求：（1）原点的振动表达 式； （2）波动表达式； （3）同一时刻相距m 1的两点之间的位相差。 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 x t O A/2 -A x 1 x 2 3. 两相干波源S 1和S 2的振动方程分别是1cos y A t ω=和2cos(/2)y A t ωπ=+。S 1距P 点3个波长，S 2距P 点21/4个波长。求：两波在P 点引起的合振动振幅。 4.沿X 轴传播的平面简谐波方程为： 310cos[200(t )]200x y π-=- ，隔开两种媒质的反射界面A 与坐标原点O 相距2.25m ，反射波振幅无变化，反射处为固 定端，求反射波的方程。 二、习题课 （一）振动 1. 一质点在x 轴上作简谐振动，振辐A = 4 cm ，周期T = 2 s ，其平衡位置取作坐标原点。若t = 0时刻质点第一次通过x = -2 cm 处，且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过x = -2 cm 处的时刻为［ ］ (A) 1 s (B) (2/3) s (C) (4/3) s (D) 2 s 2.已知某简谐振动的振动曲线如图所示，则此简谐振动的振动方程为 (A) ??? ??+=3232cos 2ππt x ；(B) ??? ? ?-=332cos 2ππt x ； (C) ??? ??+=3234cos 2ππt x ；(D) ??? ? ?-=334cos 2ππt x 。 3.一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻弹簧下面，振动角频率为ω。若把此弹簧分割成二等份，将物体m 挂在分割后的一根弹簧上，则振动角频率［ ］ (A) 2ω (B) ω2 (C) 2/ω (D) ω /2 4.当质点以频率ν 作简谐振动时，它的动能的变化频率为［ ］ (A) 4 ν (B) 2 ν (C) ν (D) 1/2 ν 5.图中所画的是两个简谐振动的振动曲线。若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为［ ］ (A) π23 (B) π21 (C) π (D) 0 O 2.25m A 2 1 -2 o 1 x (m t ω ω πt x O t =0 t = t π/4