第二篇第1讲函数及其表示

第二篇

函数与基本初等函数I

第1讲函数及其表示

A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．下列各对函数中，是同一个函数的是()．

A．f(x)＝x2，g(x)＝3

x3

B．f(x)＝|x|

x，g(x)＝?

?

?1，x≥0，

－1，x<0

C．f(x)＝2n＋1

x2n＋1，g(x)＝(

2n－1

x)2n－1，n∈N+

D．f(x)＝x·x＋1，g(x)＝x(x＋1)

解析对于选项A，由于f(x)＝x2＝|x|，g(x)＝3

x3＝x，故它们的值域及对应

法则都不相同，所以它们不是同一个函数；对于选项B，由于函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)的定义域为R，所以它们不是同一个函数；

对于选项C，由于当n∈N+时，2n±1为奇数，所以f(x)＝2n＋1x2n＋1＝x，g(x)＝(2n－1x)2n－1＝x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一个函数；对于选项D，由于函数f(x)＝x·x＋1的定义域为[0，＋∞)，而g(x)＝x(x＋1)的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，它们的定义域不同，所

以它们不是同一个函数．答案 C

2．(2012·江西)下列函数中，与函数y＝

1

3

x

定义域相同的函数为()．

A．y＝

1

sin x B．y＝

ln x

x

C．y＝x e x D．y＝sin x x

解析函数y＝

1

3

x

的定义域为{x|x≠0，x∈R}与函数y＝sin x

x

的定义域相同，

故选D.

答案 D

3．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1,3}的同族函数有()．A．1个B．2个C．3个D．4个

解析由x2＋1＝1，得x＝0.由x2＋1＝3，得x＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．

答案 C

4．(2012·安徽)下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是()．A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|

C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x

解析因为f(x)＝kx与f(x)＝k|x|均满足f(2x)＝2f(x)，所以A，B，D满足条件；对于C，若f(x)＝x＋1，则f(2x)＝2x＋1≠2f(x)＝2x＋2.

答案 C

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出，

则f [g (1)]的值为的值是________． 解析 ∵g (1)＝3，∴f [g (1)]＝f (3)＝1，由表格可以发现g (2)＝2，f (2)＝3，∴f (g (2))＝3，g (f (2))＝1. 答案 1 2

6．函数y ＝x ＋1－x －1的值域为________． 解析 函数定义域为[1，＋∞)， ∵y ＝

x ＋1－

x －1＝

2x ＋1＋

x －1，

当x ≥1时是减函数，∴0

x －1≤

2

2

＝ 2. 故函数的值域为(0，2]． 答案 (0，2] 三、解答题(共25分)

7．(12分)记f (x )＝lg(2x －3)的定义域为集合M ，函数g (x )＝1－

2

x －1

的定义域为集合N ，求：

(1)集合M ，N ；(2)集合M ∩N ，M ∪N . 解

(1)M ＝{x |2x －3>0}＝????

??

????x ?

??

x >32

， N ＝??????x ??? 1－2x －1≥0＝????

??x ???

x －3

x －1≥0＝{x |x ≥3，或x <1}．

(2)M ∩N ＝{x |x ≥3}，M ∪N ＝??????

???

?x ?

??

x <1或x >32

. 8．(13分)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；

(2)在区间[－1,1]上，函数y ＝f (x )的图像恒在直线y ＝2x ＋m 的上方，试确定实数m 的取值范围．

解 (1)由f (0)＝1，可设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)，故f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2

＋bx ＋1)＝2ax ＋a ＋b ，由题意，得?

??

2a ＝2，a ＋b ＝0，解得

???

a ＝1，

b ＝－1， 故f (x )＝x 2－x ＋1.

(2)由题意，得x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1>m ，对x ∈[－1,1]恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1，则问题可转化为g (x )min >m ，又因为g (x )在[－1,1]上递减， 所以g (x )min ＝g (1)＝－1，故m <－1.

B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)

一、选择题(每小题5分，共10分) 1．已知函数f (x )＝?????

|lg x |，0

2x ＋6，x >10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是

( )．

A ．(1,10)

B ．(5,6)

C ．(10,12)

D ．(20,24)

解析 a ，b ，c 互不相等，不妨设a

∴lg a ＝－lg b ，即lg a ＝lg 1b ?a ＝1

b ， ∴ab ＝1,10

c ＝c <12.故应选C. 答案 C

2．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ?b ＝(a －b )2，则函数f (x )＝2⊕x

(x ?2)－2的解

析式为

( )．

A ．f (x )＝4－x 2

x

，x ∈[－2,0)∪(0,2]

B ．f (x )＝x 2－4

x ，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞) C ．f (x )＝－x 2－4

x ，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞) D ．f (x )＝－4－x 2

x ，x ∈[－2,0)∪(0,2] 解析 ∵2⊕x ＝4－x 2，x ?2＝

(x －2)2＝|x －2|，

∴f (x )＝

4－x 2|x －2|－2

.

注意到定义域：????? 4－x 2≥0，|x －2|≠2??????

－2≤x ≤2，

x ≠0且x ≠4

?x ∈[－2,0)∪(0,2]，∴f (x )＝

－

4－x 2

x ，x ∈[－2,0)∪(0,2]．

答案 D

二、填空题(每小题5分，共10分)

3．设f (x )＝1－x 21＋x 2

，则f ? ????14＋f ? ????13＋f ? ????

12＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝________.

解析 因为f (x )＝1－x 2

1＋x 2，所以f ? ????1x ＝－1－x 21＋x 2，f ? ????1x ＋f (x )＝0，所以f ? ????14＋f ? ????

13＋f ? ????

12＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＝0. 答案 0

4．已知函数f (x )＝???

x 2＋1，x ≥0，

1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围

是________．

解析 由题意有??? 1－x 2>0，2x <0或?????

1－x 2>2x ，

2x ≥0解得－1

所求x 的取值范围为(－1，2－1)． 答案 (－1，2－1) 三、解答题(共25分)

5．(12分)设函数f (x )＝???

1，1≤x ≤2，

x －1，2

g (x )＝f (x )－ax ，

x ∈[1,3]，其中a ∈R ，记函数g (x )的最大值与最小值的差为h (a )． (1)求函数h (a )的解析式；

(2)画出函数y ＝h (x )的图像并指出h (x )的最小值． 解 (1)由题意知g (x )＝???

1－ax ，1≤x ≤2，

(1－a )x －1，2

当a <0时，函数g (x )是[1,3]上的增函数，此时g (x )max ＝g (3)＝2－3a ，g (x )min ＝g (1)＝1－a ，所以h (a )＝1－2a ；

当a >1时，函数g (x )是[1,3]上的减函数，此时g (x )min ＝g (3)＝2－3a ，g (x )max ＝g (1)＝1－a ，所以h (a )＝2a －1；

当0≤a ≤1时，若x ∈[1,2]，则g (x )＝1－ax ，有g (2)≤g (x )≤g (1)； 若x ∈(2,3]，则g (x )＝(1－a )x －1，有g (2)

2时，g (x )max ＝g (3)＝2－3a ，有h (a )＝1－a ； 当1

2

综上所述，h (a )＝??

???

1－2a ，a <0，

1－a ，0≤a ≤12，

a ，1

21.

(2)画出y ＝h (x )的图像，如图所示，数形结合可得h (x )min ＝h ? ??

??12＝1

2.

6．(13分)(2012·江苏)设集合P n ＝{1,2，…，n }，n ∈N +.记f (n )为同时满足下列条件的集合A 的个数：①A ?P n ；②若x ∈A ，则2x ?A ；③若x ∈?P n A ，则2x ??P n A . (1)求f (4)；

(2)求f (n )的解析式(用n 表示)．

解 (1)当n ＝4时，符合条件的集合A 为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}，故f (4)＝4.

(2)任取偶数x ∈P n ，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k 次以后，商必为奇数，此时记商为m ，于是x ＝m ·2k ，其中m 为奇数，k ∈N +. 由条件知，若m ∈A ，则x ∈A ?k 为偶数； 若m ?A ，则x ∈A ?k 为奇数．

于是x 是否属于A 由m 是否属于A 确定．设Q n 是P n 中所有奇数的集合，因此f (n )等于Q n 的子集个数．当n 为偶数(或奇数)时，P n 中奇数的个数是n 2(或n ＋12)，

所以f (n )＝?????

2

n 2，n 为偶数，

2n ＋1

2，n 为奇数.

高中数学必修一第1讲函数及其表示

第1页共4页第4讲 函数及其表示基础梳理1．函数的基本概念 (1)函数的定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数 f (x)和它对应，那么称f ：A →B 为从集合A 到 集合B 的一个函数，记作： y ＝f(x)，x ∈A. (2)函数的定义域、值域在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫自变量，x 的取值范围 A 叫做定义域，与x 的值对应的y 值叫 函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫值域．值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据． 2．函数的三种表示方法 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法． 3．映射的概念 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 两个防范 (1)解决函数问题，必须树立优先考虑函数的定义域的良好习惯． (2)用换元法解题时，应注意换元后变量的范围． 考向一 相等函数的判断【例1】下列函数中哪个与函数)0(x x y 是同一个函数（）A y =( x )2 B y=x x 2 C 33x y D y=2 x 【例2】x x y 2与).0,(,);,0(,)(t t t t x f 是相同的函数吗? 考向二 求函数的定义域高中阶段所有基本初等函数求定义域应注意： （1）分式函数中分母不为 0；（2）开偶次方时，被开方数大于等于0；（3）对数函数的真数大于 0（如果底数含自变量，则底数大于0且不为1）； （4）0次幂的底数不为0。

1 第1讲 函数及其表示

知识点 最新考纲 函数及其表示 了解函数、映射的概念． 了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图象法和列表法)． 了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题. 函数的基本性 质 理解函数的单调性、奇偶性，会判断函数的单调性、奇偶性． 理解函数的最大(小)值的含义，会求简单函数的最大(小)值. 指数函数 了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算． 理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用. 对数函数 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式． 理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用. 幂函数 了解幂函数的概念． 掌握幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1 x ，y ＝x 1 2的图象和性质. 函数与方程 了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法. 函数模型及其 应用 了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征． 能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决. 1．函数与映射的概念 函数 映射 两集合 A 、B 设A ，B 是两个非空的数集 设A ，B 是两个非空的集合 对应关系 f ：A →B 如果按照某种确定的对应关系f ， 使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应 如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应

名称 称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数 称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射 记法 y ＝f (x )(x ∈A ) 对应f ：A →B 是一个映射 (1)函数的定义域、值域 在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 最多有2个交点．( ) (2)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．( ) (3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( ) (4)若A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |，则对应关系f 是从A 到B 的映射．( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( ) (6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化] 1．(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3 x 3＋1 C ．y ＝x 2 x ＋1 D ．y ＝x 2＋1 解析：选B.对于A ，函数y ＝( x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义 域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C ，函数y

第1节 函数及其表示

第二篇函数、导数及其应用(必修1、选修22) 第1节函数及其表示 【选题明细表】 基础巩固(时间:30分钟) 1.下列图形中,不能表示以x为自变量的函数图象的是( B ) 解析:B中,当x>0时,y有两个值和x对应,不满足函数y的唯一性,A,C,D满足函数的定义.故选B. 2.(2017·广东深圳一模)函数y=的定义域为( C ) (A)(-2,1) (B)[-2,1] (C)(0,1) (D)(0,1] 解析:由题意得解得0

(A)A={直角坐标平面上的点},B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系是:A 中的点与B中的(x,y)对应 (B)A={平面内的圆},B={平面内的三角形},对应关系是:作圆的内接三角形 (C)A=N,B={0,1},对应关系是:除以2的余数 (D)A={0,1,2},B={4,1,0},对应关系是f:x→y=x2 解析:A={直角坐标平面上的点},B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系是:A中的点与B中的(x,y)对应,满足映射的定义,是映射; A={平面内的圆},B={平面内的三角形},对应关系是:作圆的内接三角形,A中每个元素,在B都有无数个元素与之对应,不满足映射的定义,不是映射; A=N,B={0,1},对应关系是:除以2的余数,满足映射的定义,是映射; A={0,1,2},B={4,1,0},对应关系是f:x→y=x2,满足映射的定义,是映射.故选B. 4.已知f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)等于( B ) (A)2x+1 (B)2x-1 (C)2x-3 (D)2x+7 解析:因为f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x), 所以g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1, 所以g(x)=2x-1.故选B. 5.(2017·河北唐山一模)若函数f(x)=则f(f(2))等于 ( A )

第04讲-函数的概念(讲义版)

第04讲函数的概念 一、考情分析 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域； 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用； 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 二、知识梳理 1.函数的概念 设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的定义域、值域 (1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 (1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数. (2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. [微点提醒] 1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点. 2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论. 三、经典例题 考点一求函数的定义域 【例1-2】函数y＝1－x2＋log2(tan x－1)的定义域为________；

【解析】 (1)要使函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)有意义，则1－x 2≥0，tan x －1>0，且x ≠k π＋π 2(k ∈Z ). ∴－1≤x ≤1且π4＋k π1)，则x ＝2 t －1 ， ∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2 x －1 (x >1). 【例2-2】已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________； 【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2， f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝2ax ＋a ＋b ＝x －1， 所以???2a ＝1，a ＋b ＝－1， 即?????a ＝1 2，b ＝－32. ∴f (x )＝12x 2－3 2x ＋2. 【例2-3】已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ? ?? ?? 1x ·x －1，则f (x )＝________. 【解析】在f (x )＝2f ? ?? ?? 1x ·x －1中， 将x 换成1x ，则1 x 换成x ， 得f ? ?? ?? 1x ＝2f (x )·1x －1，

完整word版,2017高考一轮复习教案-函数及其表示

第一节函数及其表示 1．函数的概念及其表示 (1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域； 了解映射的概念． (2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 2．分段函数及其应用 了解简单的分段函数，并能简单应用． 知识点一函数与映射的概念 函数映射 两集合A， B 设A、B是两个非空的数集设A、B是两个非空的集合 对应关系 f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对 于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对 于集合A中的任意一个元素x，在集合 B中都有唯一确定的元素y与之对应名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一 个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一 个映射 易误提醒易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数． [自测练习] 1．下列图形可以表示函数y＝f(x)图象的是()

知识点二 函数的有关概念 1．函数的定义域、值域 (1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，自变量x 的取值范围(数集A )叫作函数的定义域；函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． 2．函数的表示方法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 易误提醒 (1)解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则． (2)误把分段函数理解为几个函数组成． 必备方法 求函数解析式的四种常用方法 (1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式； (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；函数的实际应用问题多用此法； (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (4)解方程组法：已知关于f (x )与f ????1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )． [自测练习] 2．(2016·贵阳期末)函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．(－1，＋∞) D ．(1，＋∞) 3．f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝ x 2－1与 g (x )＝x －1·x ＋1 B ．f (x )＝x 与g (x )＝x 3＋x x 2＋1 C ．y ＝x 与y ＝(x )2 D ．f (x )＝x 2与g (x )＝3 x 3

1 第1讲 函数及其表示

班别： 姓名： 课题：函数及其表示(1) 主编人：刘锋 审核人：唐舜生 一、学习目标： 1.了解构成函数的要素；了解映射的概念； 2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数； 3.了解简单的分段函数，并能简单地应用； 4.会求一些简单函数的定义域． 二、学习过程： （一）知识梳理： 完成书本第10页知识梳理 （二）诊断自测 完成书本第10页诊断自测 （三）例题讲解 考点一：函数的定义域 题组一：求函数的定义域 1（1）函数f (x )＝ 1 ln （x ＋1） ＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2，0)∪(0，2] B ．(－1，0)∪(0，2] C ．[－2，2] D ．(－1，2] （2）函数()f x =________ 2. （1）已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f ???? x 2＋f (x －1)的定义域为( ) A ．(－2，0) B ．(－2，2) C ．(0，2) D. ????－1 2，0 （2）已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．

题组二：已知函数的定义域求参数 1、若函数y ＝ ax ＋1 ax 2－4ax ＋2 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A.????0，12 B.????0，12 C.????0，12 D.????0，12 2、若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 考点二：求函数的解析式 1．（1）设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式． （2）已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式；

2020版 第2章 第1节 函数及其表示

第2章函数、导数及其应用 第一节函数及其表示 [考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)． 1．函数与映射的概念

(1)函数的定义域、值域 在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，自变量x 的取值范围(数集A )叫做函数的定义域；函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． [常用结论] 求函数定义域的依据 (1)整式函数的定义域为R ； (2)分式的分母不为零； (3)偶次根式的被开方数不小于零； (4)对数函数的真数必须大于零； (5)正切函数y ＝tan x 的定义域为? ????? ??? ?x ??? x ≠k π＋π2，k ∈Z ； (6)x 0中x ≠0； (7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．

[基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射． ( ) (2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数． ( ) (3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点． ( ) (4)分段函数是两个或多个函数． ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1 x －3 的定义域为( ) A.?????? 32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.???? ?? 32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞) C [由题意知????? 2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥3 2且x ≠3.] 3．设函数f (x )＝???? ? x 2＋1，x ≤1，2 x ，x ＞1，则f (f (3))等于( ) A.1 5 B ．3 C.23 D.139 D [f (3)＝23，f (f (3))＝f ? ????23＝? ???? 232＋1＝139，故选D.] 4．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3 x 3＋1 C ．y ＝x 2 x ＋1 D ．y ＝x 2＋1 B [y ＝3 x 3＋1＝x ＋1，且函数定义域为R ，故选B.] 5．已知函数f (x )＝2x ＋1，若f (a )＝5，则实数a 的值为________． 12 [由f (a )＝5得 2a ＋1＝5，解得a ＝12.]

第二章 第一节 函数及其表示

[课时作业·巩固练习] 实战演练 夯基提能 [A 组 基础保分练] 1．(2020·郑州调研)函数f (x )＝ln x x －1 ＋的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1) D ．(0,1)∪(1，＋∞) 解析：要使函数f (x )有意义，应满足?? ? x x －1 ＞0，x ≥0， 解得x ＞1， 故函数f (x )＝ln x x －1＋ 的定义域为(1，＋∞)．故选B. 答案：B 2．下列函数中，与函数y ＝13x 的定义域相同的函数为( ) A ．y ＝1 sin x B ．y ＝ln x x C ．y ＝x e x D ．y ＝sin x x 解析：函数y ＝ 1 3 x 的定义域为{x |x ≠0}；y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }；y ＝ln x x 的 定义域为{x |x ＞0}；y ＝x e x 的定义域为R ；y ＝sin x x 的定义域为{x |x ≠0}．故选D. 答案：D 3．设函数f (x )满足f ? ?? ??1－x 1＋x ＝1＋x ，则f (x )的解析式为( ) A.21＋x B.21＋x 2 C.1－x 21＋x 2 D.1－x 1＋x 解析：令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，代入f ? ?? ??1－x 1＋x ＝1＋x ，得f (t )＝1＋ 1－t 1＋t ＝2 1＋t ，故选A. 答案：A 4．(2020·山东枣庄期末测试)已知函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋8－2x

的定义域为( ) A ．[0,1] B ．[0,2] C ．[1,2] D ．[1,3] 解析：由题意，得{ 0≤2x ≤2，8－2x ≥0，解得0≤x ≤1.故选A. 答案：A 5．已知f (x )＝????? cos πx 2，x ≤0， f (x －1)＋1，x ＞0，则f (2)＝( ) A.1 2 B ．－12 C ．－3 D ．3 解析：f (2)＝f (1)＋1＝f (0)＋2＝cos ???? π2×0＋2＝1＋2＝3.故选D. 答案：D 6．已知函数f (x )＝? ???? －log 2(3－x )，x ＜2，2x －2 －1，x ≥2.若f (2－a )＝1，则f (a )＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 解析：当2－a ≥2，即a ≤0时，f (2－a )＝22－a －2－1＝1，解得a ＝－1，则f (a )＝f (－1)＝－log 2[3－(－1)]＝－2；当2－a ＜2，即a ＞0时，f (2－a )＝－log 2[3－(2－a )]＝1，解得a ＝－1 2 ，舍去．综上，f (a )＝－2.故选A. 答案：A 7．设函数f (x )＝??? x ，x ≥0， －x ，x ＜0， 若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝________. 解析：若a ≥0，则a ＋1＝2，得a ＝1； 若a ＜0，则－a ＋1＝2，得a ＝－1. 答案：±1 8．(2020·重庆模拟)已知函数f (x )＝ln(－x －x 2)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________． 解析：由题意知，－x －x 2＞0， ∴－1＜x ＜0，即f (x )的定义域为(－1,0)． ∴－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜－12 .

第二篇第1讲函数及其表示

第二篇 函数与基本初等函数I 第1讲函数及其表示 A级基础演练(时间：30分钟满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列各对函数中，是同一个函数的是()． A．f(x)＝x2，g(x)＝3 x3 B．f(x)＝|x| x，g(x)＝? ? ?1，x≥0， －1，x<0 C．f(x)＝2n＋1 x2n＋1，g(x)＝( 2n－1 x)2n－1，n∈N+ D．f(x)＝x·x＋1，g(x)＝x(x＋1) 解析对于选项A，由于f(x)＝x2＝|x|，g(x)＝3 x3＝x，故它们的值域及对应 法则都不相同，所以它们不是同一个函数；对于选项B，由于函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)的定义域为R，所以它们不是同一个函数； 对于选项C，由于当n∈N+时，2n±1为奇数，所以f(x)＝2n＋1x2n＋1＝x，g(x)＝(2n－1x)2n－1＝x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一个函数；对于选项D，由于函数f(x)＝x·x＋1的定义域为[0，＋∞)，而g(x)＝x(x＋1)的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，它们的定义域不同，所

以它们不是同一个函数．答案 C 2．(2012·江西)下列函数中，与函数y＝ 1 3 x 定义域相同的函数为()． A．y＝ 1 sin x B．y＝ ln x x C．y＝x e x D．y＝sin x x 解析函数y＝ 1 3 x 的定义域为{x|x≠0，x∈R}与函数y＝sin x x 的定义域相同， 故选D. 答案 D 3．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1,3}的同族函数有()．A．1个B．2个C．3个D．4个 解析由x2＋1＝1，得x＝0.由x2＋1＝3，得x＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个． 答案 C 4．(2012·安徽)下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是()．A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x 解析因为f(x)＝kx与f(x)＝k|x|均满足f(2x)＝2f(x)，所以A，B，D满足条件；对于C，若f(x)＝x＋1，则f(2x)＝2x＋1≠2f(x)＝2x＋2. 答案 C 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出，

1函数的定义及表示 - 中等 - 讲义

函数的定义及表示 知识讲解 一、函数 1.函数的概念 概念：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意的数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作()y f x =，x A ?其中x 叫做自变量．自变量取值的范围（数集A ）叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()y f a =，所有函数值构成的集合{()}y y f x x A =?，叫做这个函数的值域． 2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则 3.函数的表示法 1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式； 2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系． 4.求函数定义域注意事项 1）分式的分母不应为零； 2）零的零次幂没有意义； 3）开偶次方根的被开方数大于或者等于零； 4）对数式的真数大于零； 5）()=tan f x x 的定义域为{|}2 x x k k Z π π ??，； 6）复合函数求定义域要保证复合过程有意义，最后求它们的交集． 5.分段函数 定义：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数． 6.复合函数 定义：若()y f u =，()u g x =，(),x a b ∈，(),u m n ∈，那么[()]y f x =称为复合函数，u 称

为中间变量，它的取值范围是()g x 的值域． 注意：函数的定义域必须写成集合或区间的形式． 二、映射 定义：设A B ， 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x 在B 中有一个且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射，这时称y 是x 在映射f 的作用下的象，记作()f x ，于是 ()y f x = x 称为y 的原象，映射f 也可记为： :f A B ? ()x f x ? 其中A 叫做映射f 的定义域（函数定义域的推广）．由所有象()f x 构成的集合叫做映射f 的值域．通常记作()f A ． 映射三要素：集合A B 、以及对应法则，三者缺一不可；:f A B ?，集合A 中每一个元素 在集合B 中都有唯一的元素与之对应，从A 到B 的对应关系为一对一或多对一，绝对不可以一对多，但也许B 中有多余元素． 三、函数求解析式 1.换元法 2.方程组法 四、函数求值域 1.直接法（分析观察法） 2.函数单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值 域． 3.配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中 要注意等价性，特别是不能改变定义域．对于形如2y ax bx c =++(0)a 1或2()[()]()F x a f x bf x c =++(0)a 1类的函数的值域问题，均可使用配方法． 4.分离常数法：当分式中分子分母都函数由参数时．可以采用分离常数法．

2020版 第2章 第1节 函数及其表示

2020年高考数学一轮复习 第2章函数、导数及其应用 第一节函数及其表示 [考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)． 1．函数与映射的概念 函数映射 两集合 A，B 设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使 对于集合A中的任意一个数x，在 集合B中都有唯一确定的数f(x)和 它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使 对于集合A中的任意一个元素x，在 集合B中都有唯一确定的元素y与 之对应 名称称f：A→B为从集合A到集合B的 一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的 一个映射 记法函数y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B (1)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．

(4)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． [常用结论] 求函数定义域的依据 (1)整式函数的定义域为R ； (2)分式的分母不为零； (3)偶次根式的被开方数不小于零； (4)对数函数的真数必须大于零； (5)正切函数y ＝tan x 的定义域为? ????? ??? ?x ??? x ≠k π＋π 2，k ∈Z ； (6)x 0中x ≠0； (7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射． ( ) (2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数． ( ) (3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点． ( ) (4)分段函数是两个或多个函数． ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1 x －3 的定义域为( ) A.?????? 32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.???? ?? 32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)

1.2 函数及其表示 教学设计 教案

教学准备 1. 教学目标 1、知识与技能： 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依 赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识． 2、过程与方法： （1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的要素； （3）会求一些简单函数的定义域和值域； （4）能够正确使用“区间”的符号表示函数的定义域； 3、情感态度与价值观，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学习的积极性. 2. 教学重点/难点 重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数； 难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示； 3. 教学用具 多媒体 4. 标签 函数及其表示 教学过程 （一）创设情景，揭示课题 1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；

2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想： （1）炮弹的射高与时间的变化关系问题； （2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题； （3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题. 3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点； 4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系； 5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系． （二）研探新知 1、函数的有关概念 （1）函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数（function）． 记作：y=f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）． 注意： ①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x． （2）构成函数的三要素是什么？ 定义域、对应关系和值域 （3）区间的概念 ①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

1.1 函数的概念及其基本性质

第一章 函数 1.1 函数的概念及其基本性质（4课时） 教学要求：理解集合、区间、邻域及映射的概念，理解函数的概念，掌握函数的表示方法，了解函数的基本性质，理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念，掌握基本初等函数的性质及图形，会建立简单应用问题中的函数关系式。 教学重点难点：重点是理解集合、映射及函数的概念；难点是理解反函数及隐函数的概念。 教学过程： 一、集合及其运算 1、集合概念 (1) 什么是集合? 所谓集合是指具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素. (2) 集合的表示法 a 列举法：就是把集合的元素一一列举出来表示.由元素n a a a ,,21组成的集合A,可表示成 A={n a a a ,,21} b 描述法：若集合M 是由具有某种性质P 的元素x 的全体所组成,就可表示成 }|{P x x M 具有性质= (3) 集合元素的三大特性：确定性、互异性、无序性. (4) 元素与集合,集合与集合之间的关系：属于、包含、子集、真子集、空集. ２、集合的运算 (1) 并集 {| }A B x x A x B ?=∈∈或；(2) 交集 {| } A B x x A x B ?=∈∈且 (3) 差集 \{| }A B x x A x B =∈?但 (4) 全集与补集(或余集) 全集用I 表示，称A I \为A 的补集记作C A . 即 \{| }C A I A x x I x A ==∈?但 集合的并、交、补满足下列法则： (1) 交换律：A B B A ?=?，A B B A ?=? (2) 结合律：)()(C B A C B A ??=??，)()(C B A C B A ??=?? (3) 分配律：)()()(C B C A C B A ???=??， )()()(C B C A C B A ???=?? (4) 对偶律：C C C B A B A ?=?)(，C C C B A B A ?=?)( （5）幂等律：A A A ?=A A A ?=；（6）吸收律：A A ?Φ=A A ?Φ= 两个集合的直积或笛卡儿乘积 {(,)| }A B x y x A y B ?=∈∈　且 二、区间与邻域 1、映射与领域 区间：开区间 ),(b a 、闭区间 ],[b a 、半开半闭区间],(b a ，),[b a 、有限,无限区间. 邻域：)(a U 或}|{),(δδδ+<<-=a x a x a U a ：邻域的中心,δ：邻域的半径 去心邻域： }||0|{),(δδ<-<=a x x a U 左δ邻域),(a a δ-、右δ邻域),(δ-a a . 2、映射概念 定义 设,A B 是两个非空集合，如果存在一个法则f ，使得对A 中的每一个元素x .按法则f ,在B 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 为从A 到B 的映射，记作 f B →：A 或,f y x A →∈：x| 其中，并y 称为元素x 的像，记作)(x f ，即 )(x f y =,而x 称为元素y 的一个原像。 映射f 的定义域：f D A =，映射f 的值域：(){()|}f R f A f x x A ==∈

高中数学必修一 第1讲函数及其表示

第4讲 函数及其表示 基础梳理 1．函数的基本概念 (1)函数的定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f (x )，x ∈A . (2)函数的定义域、值域 在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫值域．值域是集合B 的子集． (3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据． 2．函数的三种表示方法 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法． 3．映射的概念 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 两个防范 (1)解决函数问题，必须树立优先考虑函数的定义域的良好习惯． (2)用换元法解题时，应注意换元后变量的范围． 考向一 相等函数的判断 【例1】下列函数中哪个与函数)0(≥=x x y 是同一个函数（ ） A y =( x )2 B y=x x 2 C 33x y = D y=2x 【例2】x x y 2 =与???-∞∈-+∞∈=). 0,(,);,0(,)(t t t t x f 是相同的函数吗? 考向二 求函数的定义域 高中阶段所有基本初等函数求定义域应注意： （1）分式函数中分母不为0； （2）开偶次方时，被开方数大于等于0； （3）对数函数的真数大于0（如果底数含自变量，则底数大于0且不为1）； （4）0次幂的底数不为0。

高三数学总复习文科 第2章 第1节 函数及其表示

第二章函数、导数及其应用[重点关注] 1．从近五年全国卷高考试题来看，函数、导数及其应用是每年高考命题的重点与热点，既有客观题，又有解答题，中高档难度． 2．函数的概念、图象及其性质是高考考查的主要内容，函数的定义域、解析式、图象是高考考查的重点，函数性质与其他知识的综合是历年高考的热点．3．导数的几何意义，导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等方面的应用是高考的重点与热点． 4．本章内容集中体现了四大数学思想：函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归的思想，且常与方程、不等式、导数等知识交汇命题，体现了综合与创新． [导学心语] 1．注重基础：对函数的概念、图象、性质(单调性、奇偶性、周期性)、导数的几何意义、导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等方面的应用，要熟练掌握并灵活应用. 2．加强交汇，强化综合应用意识：在知识的交汇点处命制试题，已成为高考的一大亮点，函数的观点和方法贯穿于高中数学的全过程，因此，应加强函数与三角函数、数列、不等式、解析几何、导数等各章节之间的联系．3．把握思想：数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想和等价转化思想在解决各种与函数有关的问题中均有应用，复习时应引起足够重视． 第一节函数及其表示 ————————————————————————————————[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超

过三段)． 1．函数与映射的概念 函数映射 两集合 A，B 设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合 对应关 系 f：A→B 如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合A中的任意一个 数x，在集合B中都有唯一确 定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合A中的任意一个 元素x，在集合B中都有唯一 确定的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合 B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合 B的一个映射 记法函数y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B (1)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

第二章 第一节 函数及其表示

一、选择题 1．已知a 、b 为实数，集合M ＝???? ??b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．±1 解析：a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1. 答案：C 2．已知函数f (x )＝????? 2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( ) A.12 B.45 C ．2 D ．9 解析：∵f (0)＝20＋1＝2.∴f (f (0))＝f (2)＝4＋2a . 令4＋2a ＝4a ，得a ＝2. 答案：C 3．定义x ?y ＝x 3－y ，则h ?(h ?h )＝( ) A ．－h B ．0 C ．h D ．h 3 解析：由定义得h ?h ＝h 3－h ，h ?(h ?h )＝h ?(h 3－h )＝h 3－(h 3－h )＝h . 答案：C 4．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图，不含端点)，则f ????f ????13＝( ) A ．－13 B.13 C ．－23 D.23 解析：由函数的图象知f ????f ????13＝f ????－23＝13. 答案：B 5．(2012·济南模拟)已知函数f ????x －1x ＝x 2＋1 x 2，则f (3)＝( ) A ．8 B ．9 C ．11 D ．10

解析：∵f ????x －1x ＝??? ?x －1x 2＋2，∴f (3)＝9＋2＝11. 答案：C 二、填空题 6．已知函数f (x )＝????? x 2＋2ax ，x ≥22x ＋1，x ＜2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________． 解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－10)，试写出y ＝g (x )的表达式，并画出其图象． 解：当0