2013年浙江师范大学数学分析与高等代数(904)考试大纲

第1页，共2页 浙江师范大学浙江师范大学硕士研究生入学硕士研究生入学硕士研究生入学考试考试考试初试初试初试科目科目科目

考 试 大 纲

科目代码科目代码、、名称名称::

904数学分析与高等代数 适用专业适用专业:: 420104学科教学学科教学（（数学数学））

一、考试形式与试卷结构

（一）试卷试卷满分满分 及 考试时间

本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

（二）答题方式答题方式

答题方式为闭卷、笔试。

试卷由试题和答题纸组成；答案必须写在答题纸相应的位置上；答题纸一般由考点提供。

（三）试卷内容结构

各部分内容所占分值为：

数学分析 约100分

高等代数 约50分

（四）试卷题型结构试卷题型结构

计算题： 7大题，约100分。

分析论述题：3大题，约50分。

二、考查目标考查目标（（复习要求复习要求））

全日制攻读教育硕士专业学位入学考试数学分析与高等代数考试内容包括数学分析、高等代数二门数学学科基础课程，要求考生系统掌握相关学科的基本知识、基础理论和基本方法，理解数学分析和高等代数中反映出的数学思想与方法，并能运用相关理论和方法分析、解决具有一定实际背景的数学问题。

三、考查范围考查范围或或考试内容概要

第一部分第一部分：：数学分析

考查内容

1、数列极限

数列极限概念、收敛数列的定理、数列极限存在的条件

2、函数极限

函数极限概念、函数极限的定理、两个重要极限、无穷大量与无穷小量

含数学分析和高等代数两门课

含数学分析和高等代数两门课 数 学 分 析（I ） （1）集合与函数 实数概述，绝对值不等式，区间与邻域，有界集，确界原理，函数概念。 （2）数列极限 数列。数列极限的N -∑定义。收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。子列。数列极限存在的条件；单调有限定理、柯西收敛原理。????????????? ??+n n 11、STOLZ 定理。 （3）函数极限 函数极限概念（x x x →∞→与。瞬时函数的极限。δ-∑定义、M -∑定义）函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。 函数极限存在的条件：归结原则、柯西准则。 两个重要极限：1sin lim ,)11(lim 0==+→∞→x x e x x x x 无穷小量与无穷大量及其阶的比较。 （4）函数的连续性 函数在一点的连续性。单侧连续性。间断点及其分类。在区间上连续的函数。连续函数的局部性质：有界性、保号性、连续函数的有理运算、复合函数的连续性。闭区间上连续函数的性质：有界性、取得最大最小值性、介值性、一致连续性。初等函数的连续性。 （5）极限与连续性（续） 实数完备性的基本定理：区间套定理、数列的柯西收敛准则、聚点原理、致密性定理、有限覆盖定理、实数完备性基本定理的等价性。闭区间上连续函数性质的说明。实数系。压缩映射原理。 （6）导数与微分 引入问题（切线问题与瞬时速度问题）。导数的定义。单侧导数。导函数。导数的几何意义。和、积、商的导数。反函数的导数。复合函数的导数。初等函数的导数。 微分概念。微分的几何意义。微分的运算法则。一阶微分形式的不变性。微分在近似

数学分析课后习题答案(华东师范大学版)

习题 1．验证下列等式 （1） C x f dx x f +='?)()( （2）?+=C x f x df )()( 证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以?+='C x f dx x f )()(. （2）因为C u du +=?, 所以? +=C x f x df )()(. 2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点 )5,2(. 解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='= ??22)()(. 于是知曲线为C x y +=2 , 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以 有 C +=2 25, 解得1=C , 从而所求曲线为12 +=x y 3．验证x x y sgn 2 2 =是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0

数学分析第三版答案下册

数学分析第三版答案下册 【篇一：2015年下学期数学分析(上)试卷a参考答案】> 一、填空题（每小题3分，共15分）： 1、126； 2、2； 3、1?x?x2???xn?o(xn)； 4、arcsinx?c （或?arccos x?c）；5、2. 二、选择题（每小题3分，共15分） 1、c; 2、a； 3、a； 4、d； 5、b 三、求极限（每小题5分，共10分） 1??1、lim1?2? 2、limxlnx ?n??x?0 ?n? ? n 1?? ?lim?1?2?n??n?? 1 n n2? 1n 1 lnx（3分） ?lim?li?? x?0x?011 ?2 xx （3分） (?x)?0 （2分）?lime?1（2分） ?lim? n?? x?0 3n2 ?3 。四、利用数列极限的??n定义证明：lim2（10分） n??n?3 证明：当n?3时，有（1分） 3n299 （3分） ?3??22 n?3n?3n 993n2

因此，对任给的??0，只要??，即n?便有2 ?3?? （3分） n?n?3 3n2x{3,}，当n?n便有2故，对任给的??0，取n?ma（2 分） ?3??成立。 ?n?3 9 3n2 ?3（1分）即得证lim2 n??n?3 五、证明不等式：arctanb?arctana?b?a，其中a?b。（10分） 证明：设f(x)?arctanx，根据拉格朗日中值定理有（3分） f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)? 1 (b?a),2 1?? (a???b) （3分） 所以有 f(b)?f(a)?(b?a) （2分） bn?arctaan?b?a （2分）即 arcta 六、求函数的一阶导数：y?xsinx。（10分） 解：两边取对数，有： lny?sinxlnx （4分） 两边求一次导数，有： y??xsinx(cosxlnx? y?sinx （4分） ?cosxlnx? yx sinx )（2分） x 七、求不定积分：?x2e?xdx。（10分）解： 2?x2?x xedx?xde = （2分） ?? = ?x2e?x?2?xe?xdx （2分） = ?x2e?x?2?xde?x（2分） = ?x2e?x?2xe?x?2?e?xdx （2分） =?e?x(x2?2x?2)?c （2分） 15 八、求函数f(x)?|2x3?9x2?12x|在闭区间[?,]上的最大值与最小值。（10 42

浙师大04年考研数学分析,高等代数真题

浙江师范大学全日制硕士研究生入学考试专业课试题版权所有违者必究 地址:浙江省金华市浙江师范大学研究生招生办邮编:321004电话:0579-2282645传真:0579-2280023 浙江师范大学研究生学院网站https://www.wendangku.net/doc/2e14993925.html,浙江师范大学党委研工部网站https://www.wendangku.net/doc/2e14993925.html, 浙江师范大学研究生学院学术论坛https://www.wendangku.net/doc/2e14993925.html,/bbs/考研你我他交流圈:https://www.wendangku.net/doc/2e14993925.html,

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初试科目考试大纲-904数学分析与高等代数

浙江师范大学硕士研究生入学考试初试科目 考试大纲 科目代码、名称: 904数学分析与高等代数 适用专业: 420104学科教学（数学） 一、考试形式与试卷结构 （一）试卷满分及考试时间 本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 （二）答题方式 答题方式为闭卷、笔试。 试卷由试题和答题纸组成；答案必须写在答题纸相应的位置上；答题纸一般由考点提供。 （三）试卷内容结构 各部分内容所占分值为： 数学分析约100分 高等代数约50分 （四）试卷题型结构 计算题：7大题，约100分。 分析论述题：3大题，约50分。 二、考查目标（复习要求） 全日制攻读教育硕士专业学位入学考试数学分析与高等代数考试内容包括数学分析、高等代数二门数学学科基础课程，要求考生系统掌握相关学科的基本知识、基础理论和基本方法，理解数学分析和高等代数中反映出的数学思想与方法，并能运用相关理论和方法分析、解决具有一定实际背景的数学问题。 三、考查范围或考试内容概要 第一部分：数学分析 考查内容 1、数列极限 数列极限概念、收敛数列的定理、数列极限存在的条件 2、函数极限 函数极限概念、函数极限的定理、两个重要极限、无穷大量与无穷小量

3、函数的连续性 连续性概念、连续函数的性质 4、导数与微分 导数的概念、求导法则、微分、高阶导数与高阶微分 5、中值定理与导数应用 微分学基本定理、函数的单调性与极值 6、不定积分 不定积分概念与基本积分公式、换元法积分法与分部积分法 7、定积分 定积分概念、可积条件、定积分的性质、定积分的计算 8、定积分的应用 平面图形的面积、旋转体的侧面积 9、级数 正项级数、函数项级数、幂级数、傅里叶级数 10、多元函数微分学 偏导数与全微分、复合函数微分法、高阶偏导数与高阶全微分、泰勒公式与极值问题 第二部分：高等代数 考查内容 多项式、行列式、线性方向组、矩阵、线性空间、线性变换 参考教材或主要参考书： 华东师范大学编：《数学分析》（上、下），高等教育出版社，2001年，第三版。 北京大学编：《高等代数》，高等教育出版社，2003年，第三版。 四、样卷 见往年试卷。

关于高等代数与数学分析的学习体会

高等代数与数学分析的学习体会 摘要：作为数学系的学生，高等代数和数学分析，是我们一进大学就开始学习的两门最重要的课程。同时它们也是数学中最基础的两门课程，几乎所有的后学课程都要用到它们。在本文中，我就自己对这两门课程的基本内容，学习体会，以及这两门课程与后学课程的联系三个方面谈了一些自己的看法。 高等代数部分 基本内容： 在谈自己对高等代数的学习体会之前，我想先回顾一下高等代数的基本内容。我们大一所学习的高等代数，主要包括两部分：多项式代数和线性代数。 其中线性代数部分又可以分成：行列式，线性方程组，矩阵，二次型，线性空间，线性变换， —矩阵，欧几里得空间，双线性函数与辛空间等一些章节。而在这些章节中，又是以向量理论，线性方程理论和线性变换的相关理论为核心的。 如果和以前学过的初等代数相比，我觉得，高等代数在初等代数的基础上把研究对象作了进一步的扩充。它引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。 简单体会： 记得大一刚学习高等代数的时候，那时感觉自己真的学得云里雾里，因为那时感觉它实在是太抽象了而无法理解。但是通过不断地对它的学习，慢慢地开始有好转，开始感觉它不再那么陌生，并对它有了初步的认识。而当我学完抽象代数之后，我发现自己对高等代数的有了更好的理解。其实高等代数中的每个不同的章节，都是由一个集合再加上一套运算规则，进而构成的一个代数结构。 例如，第一章多项式，我们所有的讨论都是在某个数域P上的一元多项式环中进行。其中的某个数域P中的一元多项式全体，就相当于某个集合，在这个集合的基础上再加上关于多项式的运算规则，就构成了一个代数结构。 因为高等代数具有这种结构，所以在学习每种代数结构时，我们总会先学这个代数结构是建立在那个集合上以及它的运算规则是怎样定义的。因此，在高等代数学习中对每种代数

数学分析答案第四版

数学分析答案第四版 【篇一：数学分析(4)复习提纲(全部版)】 >第一部分实数理论 1 实数的完备性公理 一、实数的定义 在集合r内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称r为实数域或实数空间。 （1）域公理： （2）全序公理： 则或a中有最大元而a?中无最小元，或a中无最大元而a?中有最小元。 评注域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。 二、实数的连续性（完备性）公理 实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。主要有如下几个公理： 确界原理： 单调有界定理： 区间套定理： 有限覆盖定理：（heine-borel） 聚点定理：(weierstrass)

致密性定理：(bolzano-weierstrass) 柯西收敛准则：(cauchy) 习题1 证明dedekind分割原理和确界原理的等价性。 习题2 用区间套定理证明有限覆盖定理。 习题3 用有限覆盖定理证明聚点定理。 评注以上定理哪些能够推广到欧氏空间r？如何叙述？ n 2 闭区间上连续函数的性质 有界性定理：上册p168；下册p102,th16.8；下册p312,th23.4 最值定理：上册p169；下册下册p102,th16.8 介值定理和零点存在定理：上册p169；下册p103,th16.10 一致连续性定理（cantor定理）：上册p171；下册p103,th16.9；下册p312,th23.7 习题4 用有限覆盖定理证明有界性定理 习题5 用致密性定理证明一致连续性定理 3 数列的上(下)极限 三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）??n定义 评注确界定义易于理解；聚点定义易于计算；??n定义易于理论证明 习题6 用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。 （p173） 习题7 证明上面三种定义的等价性。 第二部分级数理论 1 数项级数

含数学分析和高等代数两门课

含数学分析和高等代数两门课 数 学 分 析（I ） （1）集合与函数 实数概述，绝对值不等式，区间与邻域，有界集，确界原理，函数概念。 （2）数列极限 数列。数列极限的N -∑定义。收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。子列。数列极限存在的条件；单调有限定理、柯西收敛原理。????????????? ??+n n 11、STOLZ 定理。 （3）函数极限 函数极限概念（x x x →∞→与。瞬时函数的极限。δ-∑定义、M -∑定义）函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。 函数极限存在的条件：归结原则、柯西准则。 两个重要极限：1sin lim ,)11(lim 0==+→∞→x x e x x x x 无穷小量与无穷大量及其阶的比较。 （4）函数的连续性 函数在一点的连续性。单侧连续性。间断点及其分类。在区间上连续的函数。连续函数的局部性质：有界性、保号性、连续函数的有理运算、复合函数的连续性。闭区间上连续函数的性质：有界性、取得最大最小值性、介值性、一致连续性。初等函数的连续性。 （5）极限与连续性（续） 实数完备性的基本定理：区间套定理、数列的柯西收敛准则、聚点原理、致密性定理、有限覆盖定理、实数完备性基本定理的等价性。闭区间上连续函数性质的说明。实数系。压缩映射原理。 （6）导数与微分 引入问题（切线问题与瞬时速度问题）。导数的定义。单侧导数。导函数。导数的几何意义。和、积、商的导数。反函数的导数。复合函数的导数。初等函数的导数。

微分概念。微分的几何意义。微分的运算法则。一阶微分形式的不变性。微分在近似 计算中的应用。高阶导数与高阶微分。由参量方程所表示的曲线的斜率。 （7）中值定理与导数的应用 费马(Fermat)定理。罗尔（Rolle）中值定理。拉格朗日（Lagrange）中值定理。柯西中 值定理。泰勒（Taylor）定理（Taylor公式及其拉格朗日型余项、皮亚诺余项）、泰勒公式 的某些应用。 函数的单调性的判别法。极值。最大值与最小值。函数的凸性。拐点。渐近点。函数 图象的讨论。 数学分析（II） （8）不定积分 原函数与不定积分概念。基本积分表。线性运算法则。换元积分法。分部积分法。有理 函数的积分。三角函数有理式的积分。若干初等可积函数。 （9）定积分 引入问题（曲边梯形面积与变力作功）。定积分定义。定积分的几何意义。可积的必要 条件。上下和及其性质。可积主要条件。几乎处处连续函数。可积函数类：在闭区间上连续 函数、在闭区间上只有有限个间断点的有界函数、单调有界函数。 定积分性质：线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性、积分中值定理、第二积分中值定理。微积分基本定理。牛顿—莱布尼兹公式。换元积分法。分部积分法。近 似求积。用活动上限定积分定义对数函数，并导出对数函数和指数函数的基本性质。 （10）定积分的应用 简单平面图形面积。曲线的弧长与弧微分。曲率。已知截面面积函数的立体体积。旋转体体积

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十七章

第十七章 多元函数微分学 一、证明题 1. 证明函数 ?? ???=+≠++=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,2222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微. 2. 证明函数 ?? ???=+≠+++=0y x 0,0y x ,y x 1)sin y (x y)f(x,22222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f 在原点(0,0)可微. 3. 证明: 若二元函数f 在点p(x 0,y 0)的某邻域U(p)内的偏导函数f x 与f y 有界,则f 在U(p)内连续. 4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有 xy 1y x arctg ++≈x+y. 5. 试证: (1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和; (2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和. 6.设Z=() 22y x f y -,其中f 为可微函数,验证 x 1x Z ??+y 1y Z ??=2 y Z . 7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f 为可微函数,证明: x Z ?? sec x + y Z ??secy=1. 8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换 x=u cos θ-v sin θ, y=u sin θ+v cos θ 之下.()2x f +()2 y f 是一个形式不变量,即若 g(u,v)=f(u cos θ-v sin θ,u sin θ+v cos θ). 则必有()2x f +()2y f =()2u g +()2 v g .(其中旋转角θ是常数) 9.设f(u)是可微函数,

2013年浙江师范大学数学分析(601)考试大纲

第1页，共5页 浙江师范大学浙江师范大学硕士研究生入学硕士研究生入学硕士研究生入学考试考试考试初试初试初试科目科目科目 考 试 大 纲 科目代码科目代码、、名称名称:: 601数学分析 适用专业适用专业:: 070100数学数学（（一级学科一级学科））、071101系统理论系统理论、、071400统计学统计学（（一级学科一级学科）） 一、考试形式与试卷结构 （一）试卷试卷满分满分 及 考试时间 本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 （二）答题方式答题方式 答题方式为闭卷、笔试。 试卷由试题和答题纸组成；答案必须写在答题纸（由考点提供）相应的位置上。 （三）试卷题型结构试卷题型结构 全卷一般由九个大题组成，具体分布为 是非判断题：3小题，每小题6分，共18分 简答题：2～3小题，每小题6分，共12～18分 计算题：5～6小题，每题8分，约40～48分 分析论述题（包括证明、讨论、综合计算）：6大题，每题10～15分，约70～80分 二、考查目标考查目标（（复习要求复习要求）） 要求考生掌握数学分析课程的基本概念、基本定理和基本方法，能够运用数学分析的理论分析、解决相关问题。 三、考查范围考查范围或或考试内容概要 本课程考核内容包括实数理论和连续函数、一元微积分学、级数、多元微积分学等等。 第一章第一章 实数集与函数 1．了解邻域，上确界、下确界的概念和确界原理。 2．掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及常用特性。 （单调性、周期性、奇偶性、有界性等） 3．掌握基本初等不等式及应用。 第二章第二章 数列极限 1．熟练掌握数列极限的ε-N 定义。 2．掌握收敛数列的常用性质。 3．熟练掌握数列收敛的判别条件 （单调有界原理、迫敛性定理、Cauchy 准则、压缩映射原理、Stolz 变换等）。

数学分析答案

7.设n n R D f R D →?:,，而且适合 （ⅰ）f 在D 上可微，且'f 连续； （ⅱ）当D x ∈时， 0)(det '≠x f ，则)(D f 是开集。 证 对任一).(0D f y ∈存在D x ∈0，使)(00x f y =依定理17.23，存在领域 D x U ?)(0，使f 在U 上是一一映射，存在反函数))((:1U f V U v f =→-，且)'(1-f 在 V 上连续， )(010y f x -=。由于开集D U ?，取0>ε,使()U x U ?ε,0，又)'(1-f 在V 上连续知)(1 y f -在0y 连续， 因此存在0>δ，当),(0δy U y ∈时，D x U y f ?∈-),()(01ε于是)(),(0D f y U ?δ，可见0y 是)(D f 的点。由y 在)(D f 的任意性知)(D f 为开集。 8．设n R E D ?,都是开集，E D f →:与D E f →-:1 互为反函数。证明：若f 在D x ∈可微，1 -f 在E x f y ∈=)(可微，则)('x f 与)))('(y f 为互逆矩阵。（可望有一个比定理 17.23更为简单的证明。） 证 依定理13.23，复合函数1 -=f h 。D D f →:在x 可微，且 )(')()'()()'()('11x f y f x f f x h --== 把))(()(1 x f f x h -=看作以下两个变换的复合： ),.,,().,,().,,(212121n n n x x x y y y x x x ???→???→???则有 .0 00000000)(')(')()'(221 1 1I x x x x x x x h x f y f n n =?????? ???????????????= =- 因此)('x f 与)()'(1 y f -为互逆矩阵。 9．对n 次多项式进行因式分解 ).()()(1011n n n n n r x r x a x a x x P -???-=+???++=-- 从某种意义上说，这也是一个反函数问题。因为多项式的每个系数都是它的n 个根的已知函数，即

数学分析答案

数学分析 上册第三版 华东师范大学数学系编 部分习题参考解答 P.4 习题 1．设a为有理数，x为无理数，证明： （1）a + x是无理数；（2）当 时，ax 是无理数. 证明（1）（反证）假设a + x是有理数，则由有理数对减法的封闭性， 知 x = a +x – a 是有理数. 这与题设“x为无理数”矛盾，故a + x是无理数.

（2）假设ax 是有理数，于是 是有理数，这与题设“x为无理数”矛盾，故ax是无理数. 3．设 ，证明：若对任何正数ε有 ，则 a = b . 证明由题设，对任何正数ε有 ，再由教材P.3 例2，可得 ，于是 ，从而 a = b . 另证（反证）假设 ，由实数的稠密性，存在 r 使得 . 这与题设“对任何正数ε有 ”矛盾，于是 ，从而 a = b . 5．证明：对任何 有 （1） ；（2）

证明（1） （2）因为 ， 所以 6．设 证明 证明建立坐标系如图，在三角形OAC中，OA 的长度是 ，OC的长度是 ， AC的长度为 . 因为三角形两边的差 小于第三边，所以有

7．设 ，证明 介于1与 之间. 证明因为 ， 所以 介于1与 之间. 8．设 p 为正整数，证明：若 p 不是完全平方数，则 是无理数. 证明（反证）假设 为有理数，则存在正整数 m、n使得

，其中m、n互素. 于是 ，因为 p 不是完全平方数，所以 p 能整除 n ，即存在整数 k ，使得 . 于是 ， ，从而 p 是 m 的约数，故m、n有公约数 p. 这与“m、n互素”矛盾. 所以 是无理数. P.9 习题 2．设S为非空数集，试对下列概念给出定义： （1）S无上界； 若 ， ，使得 ，则称S无上界. （请与S有上界的定义相比较：若 ，使得 ，有 ，则称S有上界） （2）S无界. 若

浙江师范大学数学分析与高等代数考研真题试题2011、2012年

浙江师范大学2011年硕士研究生入学考试初试试题(A 卷) 科目代码: 904 科目名称: 数学分析与高等代数 适用专业: 045104学科教学（数学） 提示： 1、请将所有答案写于答题纸上，写在试题上的不给分； 2、请填写准考证号后6位：____________。 1、求极限（共2题，每小题8分，共16分） （1）； （2）。 x x x -→ππsin lim )321211(lim 3 33n n n n n ++++++++∞→ 2、（12分）试证：对于任意的实数和成立不等式 a b .111b b a a b a b a +++≤+++3、（12分）求的极值点与极值。 x x x f 432)(2+ =4、求积分（共2题，每小题8分，共16分） （1）； （2）。 ;1102dx x ?-?xdx x ln 35、（12分）计算由曲线所围成的平面区域的面积。 0,0,3,12===++=y x y x x y 6、（14分）求由圆绕轴一周所得的旋转体体积。 )()(222R r r R y x <=-+x 7、（14分）求行列式 的值。 530 1212 13321 5311 210241210 --8、（14分）已知，求。 ???? ? ??--=121011322A 1-A 9、（20分）设线性无关，证明也线性无关。 321,,ααα133221,,αααααα+++10、（20分）试证函数，在的最小正周期是1。 )(x f ][x x -=),(+∞-∞

浙江师范大学2012年硕士研究生入学考试初试试题(A 卷) 科目代码: 904 科目名称: 数学分析与高等代数 适用专业: 045104学科教学（数学） 提示： 1、请将所有答案写于答题纸上，写在试题纸上的不给分； 2、请填写准考证号后6位：____________。 1、求极限（共2题，每小题8分，共16分） （1）； （2）。 x x x 2sin lim 0→)321211(lim 3 33n n n n n ++++++++∞→ 2、（12分）试证：对于任意的实数和成立不等式 a b .111b b a a b a b a +++≤+++3、（12分）求曲线的渐近线。 3 223 -+=x x x y 4、求积分（共2题，每小题8分，共16分） （1）； （2）。 ;11 02dx x ?-?xdx xcox 23cos 5、（12分）求由圆柱面与所围成的立体体积。 222a y x =+222a z x =+6、（14分）求圆锥在圆柱体内那一部分的面积。 22y x z +=x y x ≤+227、（14分）求行列式 的值 53200 4140013202 527102135 ----

数学分析、高等代数

数学与应用数学专业《数学分析》、《高等代数》考试大纲 专业性质：师范类 课程性质：专业课试卷包括数学分析和高等代数两个部分。数学分析是高等师范院校基础数学专业和应用数学专业的必修课。本课程是进一步学习许多后继课程，如复变函数论，常微分方程，数理方程，微分几何，概率论，实变函数论等课程的必要的基础知识。也为在更高层次上理解中学数学的相关内容打下必要的基础。高等代数是高等师范院校数学与应用数学专业的一门重要核心课程，也是理科各学科的一门重要基础课。它是中学代数的继续和提高，它的思想和方法已经渗透到数学的各个领域。高等代数的全部内容分两大部分，多项式理论和线性代数理论。其中线性代数理论显得十分重要，不仅在自然科学的各分支有着重要应用，而且在社会科学领域中也有着广泛的应用。 考核方式：专业课试卷数学分析部分占60%，高等代数部分占40%，采用闭卷考试。 考核内容: 《数学分析》部分 第一章函数 函数定义，函数的四则运算；四类特殊函数的概念；复合函数、反函数的概念。 第二章极限 定义证明一些数列极限；收敛数列的三个性质、四则运算和两边夹法则；Cauchy 收敛准则；两边夹定理的应用；函数极限定义；函数极限的三个性质，四则运算法则，两类重要极限；等价无穷小在计算极限中的应用。 第三章函数连续 函数连续概念；间断点的定义及分类；函数的左连续与右连续；连续函数的运算及其性质；初等函数的连续性；闭区间上连续函数三个性质。 第四章导数与微分 导数定义及几何意义；可导与连续的关系；求导法则及基本初等函数的求导公式，复合函数求导法则；隐函数与参数方程的求导方法；微分的定义；初等函数的高阶导数。 第五章微分学基本定理及其应用

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十六章

第十六章 多元函数的极限与连续 一、证明题 1. 证明: 当且仅当存在各点互不相同的点列{p n }?E,p ≠p 0. ∞ →n lim P n =P 0时P 0是E 的聚点. 2. 证明:闭域必是闭集,举例证明反之不真. 3. 证明:点列{p n (x n ,y n )}收敛于p 0(x 0,y 0)的充要条件是∞→n lim x n =x 0和∞ →n lim y n =y 0. 4. 证明: 开集与闭集具有对偶性——若E 为开集,则E c 为闭集;若E 为闭集,则E c 为开集. 5. 证明: (1) 若F 1,F 2为闭集,则F 1∪f 2与F 1∩F 2都为闭集; (2) 若E 1,E 2为开集,则E 1∪E 2与E 1∩E 2都为开集; (3) 若F 为闭集,E 为开集,则F\F 为闭集,E\F 为开集. 6. 试把闭区域套定理推广为闭集套定理,并证明之. 7. 证明定理16.4(有限覆盖定理): 8. 证明: 若1°y)f(x,lim (0,0)y)(x,→存在且等于A; 2°当y 在b 的某邻域内时,存在有(y)y)f(x,lim a x ?=→,则A y)f(x,lim lim a x b y =→→. 9. 试应用ε-δ定义证明: 0y x y x lim 2 22(0,0)y)(x,=+→. 10. 叙述并证明: 二元函数极限存在的唯一性定理,局部有界性定理与局部保号性定理. 11. 叙述并证明二元连续函数的局部保号性. 12.设f(x,y)=() ()?????=+>≠++0y x 0,0p 0y x ,y x x 2222p 22 试讨论它在(0,0)点的连续性. 13. 设f(x,y)定义于闭矩形域S=[a,b]×[c,d],若f 对y 在[c,d]上处处连续.对x 在[a,b]上(且关于y)为一致连续,证明f 在S 上处处连续. 14. 证明:若D ?R 2是有界闭域,f 为D 上连续函数,则f(D)不仅有界(定理16.8)而且是闭区间. 15. 若一元函数?(x)在[a,b]上连续,令 f(x,y)=?(x),(x,y)∈D=[a,b]×(-∞,+∞),试讨论f 在D 上是否连续?是否一致连续? 16. 设(x,y)= xy 11-,(x,y)∈D=[)[)1,01,0?,证明f 在D 上不一致连续.

微积分高等数学和数学分析的差别完整版

微积分高等数学和数学 分析的差别 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

数学分析对于数学专业的学生是迈进大学大门后，需要修的第一门课，也是最基础最重要的一门课程。但对于非数学专业的朋友们是个陌生的概念，如果身边有人问我数学分析学什么我会毫不犹豫地告诉他们就是微积分，那么似乎所有人都会接着提一个问题：那和我们学的微积分有什么差异为什么我们学一学期你们要学一年半到两年啊囧......这个问题就不容易回答了，于是我只能应付说学得细了，但其实并非仅仅如此。 对这个问题我在学习数学分析的过程中是不能说清楚的，正因为如此，起先学分析完全是乱学，没有重点没有次序的模仿，其结果就是感觉自己学到的东西好比是一条细线拴着好多个大秤砣，只要有一点断开，整个知识系统顿时倾覆。我也一直在思考这个问题，但直到在北师大跟着王昆扬老师学了一学期实变函数论之后，我才意识到数分与高数真正的区别在于何处。 先从微积分说起，在国内微积分这门课程大致是供文科、经济类学生选修的，其知识结构非常清晰，主要内容就是要说清两件事：第一件介绍两种运算，求导与求不定积分，并且说明它们互为逆运算。第二件介绍基础的微分学和积分学，并且给出它们之间的联系——Newton-Leibniz公式。这里需要强调的是，求不定积分作为求导数的逆运算属于微分学而不属于积分学，真正属于积分学的是Riemann定积分。不定积分与定积分虽然在字面上只差一字，但从数学定义来看却有本质的区别，不定积分是找一个函数的原函数，而Riemann定积分则是求Riemann和的极限，事实上它们之间毫无关系，既存在着没有原函数但Riemann可积的函数，也存在着有原函数但Riemann不可积的函数。但无论如何Newton-Leibniz公式好比一座桥梁沟通了不定积分（微分学）和定积分（积分学），这也是Newton-Leibniz公式被称为微积分基本定理的原因。因此我们可以看出，微积分的核心内容就是学习两种新运算，了解两样新概念，熟悉一条基本定理而已。 对于高等数学要求的层面就要比微积分高一些了，国内高等数学主要是为非数学专业的理工科学生开设的，主要的目的是解决工程上遇到的一些问题，例如求体积、求周长，求速度等等。所以高等数学除了要介绍数学知识更要学生理解各个数学概念的实际意义是什么。比如求导可以理解为求瞬时速度，可以理解求增长律，积分可以理解为求面积，求功等等。对于实际问题，数据往往是复杂的，算式也往往是冗长的，对于不易积分，不易求导的实际问题，我们怎么去求其高精度的近似解呢？那么就需要引进级数这一概念，例如将不易找到原函数的函数进行Taylor展开再逐项积，再例如利用Newton差值法计算方程的近似解。在这些问题中最令人苦恼的往往都是复杂的计算，是故高等数学对学生的计算能力要求非常高。于是高等数学的主要内容就是三条：理解数学概念背后的实际含义，熟练运用数学工具求导求积分，会使用一些手段对实际问题进行精确估计。这些可以看作是对微积分的运用，但一切仍然停留在对运算理解上。 而数学分析与以上两门课程有着本质的区别，数学分析作为数学系本科生的基础课是整个分析学的基础。什么是分析学？是分析变量以及诸多变量之间关系的学科，在数学中主要利用函数来刻画变量与变量间的关系，所以数学分析的研究主体应当是函数。在中学，我们已经学习过六类简单初等函数（常指对幂，正反三角），并且学习过一些研究初等函数的手段，但这些函数都是极其特殊的，比如他们都是逐段连续的，并且是无穷阶可导的。而学习数学分析的目的就是将函数系进行大范围扩张，去学习并且研究那些解析式不规则、不连续或者不可导的函数，这样的函数比起连续的函数可以说要多无穷多倍。那用什么方式去刻画这样的函数呢？数学分析中介绍的方法主要有两个：变限积分（尽管Riemann可积函数的变限积分也是连续的）与函数项级数。特别的，所有的初等函数都可以表示为函数项级数，但函数项级数要比初等函数的范围大很多很多，我们可以利用它构造各种千奇百怪的函数，例如处处不可导的连续函数，在有界区间内图像长度为无穷大的函数等等。这些函数的表示要比初等函数复杂很多，研究其变化性质就会变得困难得多，对此我们需要学习一些系统的定理与方法，将这些知识组合在一起就构成了数学分析这门学科。与微积分、高等代数有明显的区分，学数学分析的目的不是学习导数或者积分这样的运算，而是要扩大函数范围，学习研究复杂函数的方法。 记得在学习数学分析的时候，我曾经查阅过Liouville和Chebyshev的文章，特意去了解那些不具有初等原函数的初等函数。当时去看这些文章的初衷主要是觉得这样的函数太神奇，太不可思议了。对于其中不懂的问题，我曾经请教

《数学分析》第三版全册课后答案 (2)

数学分析期末考试试题 一、叙述题：（每小题6分，共18分） 1、 牛顿-莱不尼兹公式 2、 ∑∞ =1 n n a 收敛的cauchy 收敛原理 3、 全微分 二、计算题：（每小题8分，共32分） 1、4 20 2 sin lim x dt t x x ?→ 2、求由曲线2x y =和2y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。 3、求∑∞ =+1) 1(n n n n x 的收敛半径和收敛域，并求和 4、已知z y x u = ，求y x u ???2 三、（每小题10分，共30分） 1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数 ∑∞ =1!n n n n 2、讨论反常积分 ? +∞ --0 1dx e x x p 的敛散性 3、讨论函数列),(1)(2 2+∞-∞∈+ = x n x x S n 的一致收敛性 四、证明题（每小题10分，共20分） 1、设)2,1(1 1,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞ =1 n n x 发散 2、证明函数?? ? ?? =+≠++=0 00),(22222 2y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它 在该点不可微。，

参考答案 一、1、设)(x f 在连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则成立 )()()(a F b F dx x f b a -=? 2、,0.0>?>?N ε使得N n m >>?，成立ε<+++++m n n a a a 21 3、设2 R D ?为开集，],[b a D y x y x f z ∈=),(),,(是定义在D 上的二元函数， ),(000y x P 为D 中的一定点，若存在只与点有关而与y x ??,无关的常数A 和B ，使得 )(22y x o y B x A z ?+?+?+?=?则称函数f 在点),(000y x P 处是可微的，并称 y B x A ?+?为在点),(000y x P 处的全微分 二、1、分子和分母同时求导 31 6sin 2lim sin lim 5406 20 2 ==→→?x x x x dt t x x x （8分） 2、 、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分） 所求的面积为： 3 1 )(1 2= -?dx x x （3分） 所求的体积为：10 3)(105 ππ=-?dx x x （3分） 3、 解：设∑∞ =+=1) 1()(n n n n x x f ，1) 1(1)2)(1(1lim =+++∞→n n n n n ，收敛半径为1，收敛域 [-1，1]（2分） ), 10(),1ln(1 1) 1()(121' <<---=+=∑∞ =-x x x x n x x f n n )10(),1ln(11)()(0 '<<--+ ==?x x x x dt t f x f x (3分） x =0级数为0，x =1，级数为1，x =-1，级数为1-2ln2（3分） 4、解： y u ??=z x x z y ln （3分）=???y x u 2 zx x x x z y z y 1ln 1+-(5分） 三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D’Alembert,Raabe 判别法等（应写出具体的内容4分）

哈尔滨工业大学2020数学分析和高等代数考研真题

2020哈工大数分 1. 判断以下命题成立与否，并给出证明 （1） f (x )在x =0的任意领域上无界，则当x →0时，f (x )为无穷大。 （2） 数列{a n }的无穷多个子列都收敛于a ，是否可以断定lim n→∞ a n =a 。 （3） 设f (x )在有限闭区间[a,b ]上处处都可导，则f ′(x )有界。 （4） 非负数列{u n }满足u n =o (1 n )，则∑u n ∞ n=1收敛。 （5） 设f (x,y )在(0,0)上的偏导数都存在，则f (x,y )在(0,0)上连续。 2. 设lim n→∞ a n =a ，证明 lim n→∞ 12 a 1+23a 2+?+n n +1n =a 3. 叙述闭区间连续函数的Cantor 定理，并证明。 4. 函数f (x )在(0,a ]上可导，则 （1） √xf ′(x )在(0,a ]上有界，求证f (x )在(0,a ]上一致连续； （2） lim x→0 + √xf ′(x )在(0,a ]上存在，求证f (x )在(0,a ]上一致连续。 5. 函数f (x )在[a,b ]上具有连续的二阶导数，则存在c ∈[a,b ]，使得 ∫f (x )dx b a =(b ?a )f (a +b 2)+1 24(b ?a )3f ′′(c ) 6. 讨论∑ln (1+ (?1)n n p )∞ n=1的收敛性和绝对收敛性(p >0) 7. （1） 数列的和∑u n ∞n=1在区间I 上一致收敛，求证其一般项u n 在I 上一致收敛于0； （2） 讨论级数 ∑2n sin 1 3x ∞ n=1 在x >0上的一致收敛性。 8. （1） 方程： x 2+2y +cos (xy )=0 在(0,0)的充分小领域上确定唯一的连续函数y =y (x )，使y =y (0) （2） 讨论y =y (x )在x =0处的可微性 （3） 求极限lim x→0y (x )x 9. 求极限

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第七章

第七章 实数的完备性 一、练习题 1. 设{(a n ,b n )}是一严格开区间套,即 a 1