高中数学选修2-1练习题(含答案)辅导

2-1模块练习题 姓名：

一、非解答题

1 如果22

2=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是

2． 已知双曲线22

221x y a b

-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°

的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是__________．

3．已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现有一水平放置的椭圆形台球盘，其长轴长为2a ，焦距为2c ，若点A ，B 是它的焦点，当静放在点A 的小球（不计大小），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后再回到点A 时，小球经过的路程是 4．用一个与圆柱母线成?60角的平面截圆柱，截口是一个椭圆，则此椭圆的离心率是

5.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是

6．已知直线L 交椭圆

116

202

2=+y x 于M 、N 两点，椭圆于y 轴的正半轴交于点B ，若BMN ?的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线L 的方程是

7．设椭圆22

221x y a b

+=和x 轴正方向交点为A ，和y 轴正方向的交点为B ，Ｐ为第一象限内椭圆上的点，使

四边形OAPB 面积最大（Ｏ为原点），那么四边形OAPB 面积最大值为（ ）

A B ．

2ab C ．12

ab D ．2ab 8 椭圆

22189x y k +=+的离心率为1

2

，则k 的值为______________ 9．已知21F F 、为椭圆

19

252

2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若1222=+B F A F ，则AB =___________。

10．椭圆14

92

2=+y x 的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当∠1F P 2F 为钝角时，点P 横坐标的取值范

11.已知,m n 为空间中两条不同的直线，,αβ为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）

A. 若,,n n m αββ⊥⊥?,则//m α

B. 若,m ααβ⊥⊥，则//m β

C. 若,m n 在α内的射影互相平行,则//m n

D. 若,m l l αβ⊥=I ，则m α⊥

12.在四边形ABCD 中，2AB AD ==，BC =，CD =AB AD ⊥，现将ABD ?沿BD 折起，得三棱锥A BCD -，若三棱锥A BCD -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的体积为（ ）

A.

4 B.

3

C. 3

D. 3

13.如图，平面α⊥平面β，αβI =直线l ，,A C 是α内不同的两点，,B D 是β内不同的两点，且,,,A B C D ?直线l ，,M N 分别是线段

,AB CD 的中点．下列判断正确的是（ ）

A. 当2CD AB =时，,M N 两点不可能重合

B. ,M N 两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交

C. 当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交

D. 当,AB CD 是异面直线时，直线MN 可能与l 平行

14. 如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是ABC ∠为直角的等腰直角三角形，2AC a =，

13,BB a D =是11A C 的中点，点F 在线段1AA 上，当AF = ________时，CF ⊥平面1B DF .

15．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长是1，则直线1DA 与AC 间的距离为 。 16．如图，在三棱锥A BCD -

中，2BC DC AB AD BD ====

=，平面ABD ⊥

平面BCD ，O 为BD 中点，,P Q 分别为线段,AO BC 上的动点（不含端点），且

AP CQ =，则三棱锥P QCO -体积的最大值为_________.

二、解答题

1．设椭圆()22221,0x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为12,F F

，离心率2e =，点2F 到右准线为l

的距离为

,a b 的值；（Ⅱ）设,M N 是l 上的两个动点，120F M F N ?=，

证明：当MN 取最小值时，12220F F F M F N ++=

2．如图、椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的一个焦点是F （1，0），O 为坐标原点.

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； （Ⅱ）设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点。若直线l 绕点F 任意

转动，都有2

2

2

OA OB AB +<，求a 的取值范围.

3．设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．

（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．

4.如图所示的几何体P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=?，AB a =，PB =，

PB AB ⊥，平面ABCD ⊥平面PAB ，O BD AC =?，E 为PD 的中点，G 为平面PAB 内任一点．

（Ⅰ）在平面PAB 内，过G 点是否存在直线l 使//OE l ？ 如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法； （Ⅱ）过A ，C ，E 三点的平面将几何体P ABCD - 截去三棱锥D A E C -，求剩余几何体AECBP 的体积．

M

5.已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，

⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且12

PA AD DC ===

， 1AB =，M 是PB 的中点

（1）求AC 与PB 所成角的余弦值；

（2）求面AMC 与面BMC 所成夹角的余弦值.

6.如图，在三棱锥ABC S -中，ABC ?是边长为4的正三角形，平面⊥SAC 平面ABC ，22==SC SA ，

M 为AB 的中点.

（1）证明：SB AC ⊥；

（2）求二面角A CM S --的余弦值； （3）求点B 到平面SCM 的距离.

参考答案

一、选择题

1．()1,0 焦点在y 轴上，则2221,20122y x k k k

+=>?<< 2．[2，+∞) 【解析】当渐近线b

y x a

=

与直线l 平行，或渐近线从该位置绕原点按逆时针旋转时，直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，所以b a ≥，即22224c a b a =+≥，所以2c

e a

=≥．

3．4a

4．1

e 2c a =

=

解：设圆柱底面半径为R ，则0sin 60R a =

=

，b R =，

∴c =

==

，∴1e 2c a ==。 5．1

(0,)2

e ∈ 解：由题知,2

2

2

2

2

1

2

c b c b a c e

所以1

(0,)2

e ∈。

6．65280x y --= 解：设M 、N 的坐标分别为11(,)M x y 、22(,)N x y ，点B 坐标为(0,4)B ，椭圆右焦点为(2,0)F ， ∵BMN ?的重心恰好落在椭圆的右焦点上，

∴12121

2120

263

4403x x x x y y y y ++?=?+=?????+=-++??=??

，∴MN 的中点坐标为(3,2)-， 又点11(,)M x y 、22(,)N x y 在椭圆

1162022=+y x 上， ∴221112016x y +=，222212016x y +=，两式相减得： 2222121212121212()()()()

020162016

x x y y x x x x y y y y --+-+-+=?=- ∴直线MN 的斜率1212121216()1666

20()y y x x k x x y y -+?=

=-=-=-+

∴直线MN 的方程为6

2(3)5

y x +=-，

即65280x y --=。

7．B 解：OAB ?的面积为

1

2

ab ，四边形OAPB 的面积大于 OAB ?的面积而小于OAB ?的面积的2倍，故选B 。

8．54,4

-或 解：当89k +>时，22

2891,484c k e k a k +-==

==+； 当89k +<时，22

29815

,944

c k e k a --==

==- 9．8 解：依题直线AB 过椭圆的左焦点1F ,在2F AB ? 中，

22||||||420F A F B AB a ++==，又22||||12F A F B +=，∴||8.AB =

10

．( 可以证明12,,PF a ex PF a ex =+=-且2221212PF PF F F +<

而3,2,3

a b c e ===

=

，则22222222

()()(2),2220,1a ex a ex c a e x e x ++-<+<< 22

111

,,x x e e e

<

-<<

即55e -<<11.A 12.D 13B 14. a 或2a ；

15.

3

11(0,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,1,1)A C D A AC DA ==- 设1(,,),,,0,0,MN x y z MN AC MN DA x y y z y t =⊥⊥+=-+==令 则(,,)MN t t t =-，而另可设(,,0),(0,,),(,,)M m m N a b MN m a m b =--

1,(0,2,),21,3m t

a m t N t t t t t

b t

-=-??

-=+==?

?=?

，1111(,,),333

MN MN =-=+=； 16.

48

二、解答题 1．解：因为a

e c

=

，2F 到l 的距离a

d c c =-，所以由题设得

2a c

a c c

?=????-=?? 解得

2c a == 由2222b a c =-=，得b =

（Ⅱ）由2c a =

=

得(

))

12

,F F ，l

的方程为x =

故可设(

)(

)

12,M y N y

由知1

2

0F M F N ?=知

(

)(

)

120y y ?=

得126y y =-，所以1221

60,y y y y ≠=-

121111

61

MN y y y y y y =-=+

=+≥

当且仅当1y =21y y =-

所以，(

)

))

122212F F F M F N y y ++=-+

+

()120,y y =+0

=

2．解：(Ⅰ)设M ，N 为短轴的两个三等分点，因为△MNF 为正三角形，

所以OF =

,21,23

b

b =解得 2

2

14a b =+=，因此，椭圆方程为22

1.43

x y +

= (Ⅱ) 设1122(,),(,).A x y B x y (ⅰ)当直线 AB 与x 轴重合时，

222222

2222,4(1),.OA OB a AB a a OA OB AB +==>+<因此，恒有

(ⅱ)当直线AB 不与x 轴重合时，设直线AB 的方程为：22

2211,x y x my a b

=++=代入

整理得2

2

2

2

2

2

22

()20,a b m y b my b a b +++-=

所以2222

1212222222

2,b m b a b y y y y a b m a b m

-+=-=++ 因为恒有2

2

2

OA OB AB +<，所以∠AOB 恒为钝角. 即11221212(,)(,)0OA OB x y x y x x y y ==+<恒成立.

2121212121212(1)(1)(1)()1x x y y my my y y m y y m y y +=+++=++++

2222222222222

222222222

(1)()210.m b a b b m m a b b a b a a b m a b m a b m +--+

-+=-+=<+++

又2220a b m +>，所以2222222

0m a b b a b a -+-+<对m R ∈恒成立， 即2222222m a b a b a b >+-对m R ∈恒成立，当m R ∈时，222

m a b 最小值为0，

所以2222

0a b a b +-<， 2

2

2

4

(1)a b a b <-=,

220,0,1a b a b a >><=-∵∴，即210a a -->,

解得a >

a <(舍去)

，即a >, 综合（i ）(ii)，a

的取值范围为1(

)2

++∞. 3．解（Ⅰ）：依题设得椭圆的方程为2

214

x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程2

2

(14)4k x +=，

故21x x =-=

． ①

由6ED DF =知01206()x x x x -=-

，得02121

(6)77x x x x =+==；

由D 在AB 上知0022x kx +=，得02

12x k

=+． 所以

212k =+，化简得2

242560k k -+=，解得23k =或38

k =．

（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为

1h =

=

2h =

=

．

又AB =

=，所以四边形AEBF 的面积为

121()2S AB h h =+15

2

5(14k =

+==≤

当21k =，即当1

2

k =

时，上式取等号．所以S 的最大值为 解法二：由题设，1BO =，2AO =．

设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->， 故四边形AEBF 的面积为

BEF AEF S S S =+△△222x y =+==

=

当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为．

4.【解析】（Ⅰ）过G 点存在直线l 使OE l ，理由如下：

由题可知O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以在PBD ?中，有//OE PB . 若点G 在直线PB 上，则直线PB 即为所求作直线l ，所以有//OE l ； 若点G 不在直线PB 上，在平面PAB 内，过点G 作直线l ，使//l PB ， 又//OE PB ，所以//OE l ，即过G 点存在直线l 使//OE l .

（Ⅱ）连接EA ，EC ，则平面ACE 将几何体分成两部分：三棱锥D AEC -与几何体AECBP （如

图所示）.

因为平面ABCD ⊥平面PAB ，且交线为AB ，

又PB AB ⊥，所以PB ⊥平面ABCD ，故PB 为几何体P ABCD -的高.

又四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=?，AB a =，PB =，

所以2ABCD S =?四边形22=，

所以1

3

P ABCD ABCD V S PB -=?=四边形231132a =. 又1

2

//

OE PB ，所以OE ⊥平面ACD ， 所以D AEC E ACD V V --==三棱锥三棱锥 13ACD S EO ??= 311

48

P ABCD V a -=，

所以几何体AECBP 的体积P ABCD D EAC V V V --=-=三棱锥333113

288

a a a -=.

5.

21.证明：以

为坐标原点

长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

.

（1）因

（2）平面 的一个法向量设为 ，

平面 的一个法向量设为 ，

所求二面角的余弦值为

6.解析：（1）证明：取AC 的中点O ，连接OB OS , 因为SC SA =，BC BA =，所以SO AC ⊥且BO AC ⊥.

因为平面⊥SAC 平面ABC ，平面?SAC 平面AC ABC =，所以⊥SO 平面ABC 所以BO SO ⊥.

如右图所示，建立空间直角坐标系xyx O - 则)0,32,0(),2,0,0(),0,0,2(),0,0,2(B S C A - 所以)2,32,0(),0,0,4(-=-= 因为0)2,32,0()0,0,4(=-?-=? 所以SB AC ⊥

（2）由（1）得)0,3,1(M ，所以)2,0,2(),0,3,3(== 设),,(z y x =为平面SCM 的一个法向量，则

????

?=+=?=+=?0

220

33z

x

y x CM n ，取1=z

，则3,1=-=y x 所以)1,3,1(-= 又因为)2,0,0(=为平面ABC 的一个法向量，所以5

5

=

=

所以二面角A CM S --的余弦值为

5

5.