高数 第十章 曲线积分与曲面积分
第十章 曲线积分与曲面积分
一、对弧长的曲线积分（又称第一类曲线积分） 1、定义
i
n
i i
i
L
s f ds y x f ∆ηξλ∑⎰
=→=1
),(lim
),(， i n
i i i i s f ds z y x f ∆=∑⎰
=→Γ
1
),,(lim ),,(ζηξλ
2、物理意义 线密度为),(y x ρ的曲线L 质量为ds y x M L
⎰
=
),(ρ
线密度为),,(z y x f 的曲线Γ质量为ds z y x f M ⎰
Γ
= ),,(
3、几何意义 曲线L 的弧长=
s ds L
⎰
，曲线Γ的弧长ds s ⎰Γ
=
4、若L ：k y x f =),(（常数），则ks ds k ds k ds y x f L
L
L
===⎰⎰⎰
),(
5、计算（上限大于下限）
（1）,(t) ,(t) :ψϕ==y x L ()βα≤≤t ，则[][][]dt t t t t f ds y x f L
2
2
)()()( ),( ),(ψϕψϕβ
α
'+'=⎰⎰
（2）L ：0
()()y x x x X ψ=≤≤，则0(,)[,(X
L
x f x y ds f x x ψ=⎰
⎰
（3）L ：0()
()x y y y Y ϕ=≤≤，则0
(,)[(),.Y L
y f x y ds f y y ϕ=⎰⎰
（4）)().(),(),(:βαωψϕ≤≤===Γt t z t y t x ，则
(,,)[(),(),(()f x y z ds f t t t β
α
ϕψωαβΓ
=<⎰
⎰
二、对坐标的曲线积分 1、定义
dy y x Q dx y x P L
),(),( +⎰
[]∑=→+=n
i i i i i
i
i
y Q x
P 1
),(),(lim
∆ηξ∆ηξλ
dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(
++⎰Γ[]∑=→++=n i i i i i i i i i i
i i
i
z R y Q x P 1
),,(),,(),,(lim ∆ζηξ∆ζηξ∆ζ
ηξλ
2、计算（下限对应起点，上限对应终点） （1）,(t) ,(t) :ψϕ==y x L ()βα→:t ，则
(,)(,){[(),()]()[(),()]()}L
P x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt β
α
ϕψϕϕψψ''+=+⎰
⎰
（2）L ：()y x ψ=()X x t →0:，则{[,()][,()]()}b
L
a
Pdx Qdy P x x Q x x x dx ψψψ'+=+⎰⎰
（3）L ：()x y ϕ=()Y y t →0
:，则{[(),]()[(),]}d
L c
Pdx Qdy P y y y Q y y dy ϕϕϕ'+=+⎰⎰
（4）):().(),(),(:βαωψϕ→===Γt t z t y t x ，则
(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ
++⎰ {[(),(),()]()[(),(),()]()[(),(),()]()}P t t t t Q t t t t R t t t t dt β
α
ϕψωϕϕψωψϕψωω'''=++⎰ 3、两类曲线积分之间的联系
(cos cos )L
L
Pdx Qdy P Q ds αβ+=+⎰⎰
其中，(,),(,)x y x y αβ为有向曲线弧L 上点(,)x y 处的切线向量的方向角。
(cos cos cos )Pdx Qdy Rdz P Q R ds αβγΓ
Γ
++=++⎰
⎰，
其中(,,),(,,),(,,)x y z x y z x y z αβγ为有向曲线弧Γ上点(,,)x y z 处切向量的方向角。 三、格林公式及其应用
1、格林公式
⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L D
Qdy Pdx dxdy y
P
x Q )(
其中L 是D 的取正向的整个边界曲线
2、平面上曲线积分与路径无关的条件（D 为单连通区域）
定理 设D 是单连通闭区域，若),(),,(y x Q y x P 在D 内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价： (i) 沿D 内任一按段光滑封闭曲线L ，有0=+⎰L
Qdy Pdx ；
(ii) 对D 内任一光滑曲线L ，曲线积分
⎰+L
Qdy Pdx 与路径无关，只与L 的起点和终点有关；
(iii) Qdy Pdx +是D 内某一函数),(y x u 的全微分，即在D 内有Qdy Pdx du +=； (iv) 在D 内处处成立
x
Q y P ∂∂=∂∂ 注 若D x x
Q
y P ∈∂∂=∂∂ 则Qdy Pdx +的全微分00(,)(,)(,)(,)(,)x y x y u x y P x y dx Q x y dy =+⎰：
0(,)(,)(,)x y x y u x y P x y dx Q x y dy =+⎰⎰ 或 0
0(,)(,)(,)y x
y x u x y Q x y dy P x y dx =+⎰⎰
四、对面积的曲面积分 1、定义
⎰⎰∑
dS z y x f ),,(i
i
i
n
i i
S f ∆=∑=→),,(lim 1
ζηξλ
2、物理意义：
⎰⎰∑
dS z y x f ),,(表示面密度为),,(z y x f 的光滑曲面∑的质量。
3、几何意义 曲面∑的面积⎰⎰∑
=
dS S
4、若∑：k z y x f =),,(（常数），则⎰⎰∑
dS z y x f ),,(=⎰⎰∑
kdS =⎰⎰∑
dS k =kS
5、计算（一投、二代、三换元）
（1）:(,)z z x y ∑=， xy D y x ∈),(，则
(,,)(,,(,S
D
f x y z dS f x y z x y =⎰⎰
⎰⎰
（2）:
(,)y y x z ∑=，xz D z x ∈),(，则=⎰⎰∑
dS z y x f ),,(;1]),,(,[2
2dxdz y y z z x y x f xz
D z x ⎰⎰'+'+
（3）(,)x x y z ∑=：，yz D z y ∈),(，则=⎰⎰∑
dS z y x f ),,([(,),,yz
D f x y z y z ⎰⎰。
五、对坐标的曲面积分 1、定义
∑⎰⎰=→∑
∆=n
i xy
i i i i S R dxdy z y x R 1
))(,,(lim ),,(ζηξλ
∑⎰⎰=→∑
∆=n
i yz
i
i
i
i
S P dydz z y x P 1
))(,,(lim ),,(ζηξλ
∑⎰⎰=→∑
∆=n
i zx
i i
i
i
S Q dzdx z y x Q 1
))(,,(lim ),,(ζηξλ
2、物理意义 流量dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(++=
Φ⎰⎰∑。
()(,,)cos (,,)cos (,,)cos P x y z Q x y z R x y z dS αβγ∑
=++⎰⎰vdS ∑
=⎰⎰
3、计算（一投、二代、三定号） （1）),(:y x z z =∑，xy D y x ∈),(，则⎰⎰⎰⎰±=∑
xy
D dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(（上侧取正，下侧取负）
（2）∑:(,)x x y z =，xz D z x ∈),(，则⎰⎰⎰⎰±=∑
yz
D dydz z y z y x P dydz z y x P ],),,([),,(（前侧取正，后侧取负）
（3）∑:(,)y y z x =yz D z y ∈),(，则
⎰⎰⎰⎰±=∑
zx
D dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q ]),,(,[),,(（右侧取正，左侧取负）
4、两类曲面积分之间的联系
dS R Q P dxdy R Qdzdx Pdydz )cos cos cos (γβα⎰⎰⎰⎰∑
∑
++=++，γ
βαcos cos cos dxdy
dzdx dydz dS ===
其中γβαcos ,cos ,cos 为有向曲面Σ上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦 六、高斯公式
1、高斯公式 dS R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z
R y Q x P )cos cos cos ()(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑
∑Ω
++=++=∂∂+∂∂+∂∂γβα
其中∑为Ω的整个边界曲面的外侧，γβα,,是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向角。
2、通量 向量场k R j Q i P A
++=，沿场中有向曲面Σ
⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑
∑∑
++=⋅=⋅=ΦRdxdy Qdzdx Pdydz dS n A S d A 0
称为向量场),,(z y x A
向正侧穿过曲面Σ的通量
3、散度 设k R j Q i P A
++=，则z
R y Q x P A div ∂∂+∂∂+∂∂= 七、斯托克斯公式
1、Stokes 公式
=
∂∂
∂∂∂∂⎰⎰
∑
R
Q P z y x dxdy dzdx dydz dxdy y
P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R )()()(
∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂⎰⎰∑
=
ds R
Q
P
z y x ⎰⎰
∑
∂∂
∂∂∂∂γ
βαcos cos cos =⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣
⎡∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂dS y P x Q x R z P z Q y R γβαcos )(cos )(cos )(
⎰Γ
++=Rdz Qdy Pdx
其中有向曲线Γ是有向曲面∑的整个边界，且满足右手系法则
2、环流量 向量场k R j Q i P A
++=沿场A 中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分
C
C
A ds Pdx Qdy Rdz Γ=
⋅=
++⎰
⎰
称为向量场A 沿曲线C 按所取方向的环流量。
C
i
j k A ds dS x y z P
Q
R
∑
∂∂∂
Γ=
⋅=⋅∂∂∂⎰⎰⎰
环流量 3、旋度 向量
i
j k
x y z P
Q
R
∂
∂∂
∂∂∂为向量场k R j Q i P A ++=的旋度()rotA 。 旋度 i
j k
rotA x y z P
Q
R
∂
∂∂
=
∂∂∂.)()()(k y P x Q j x R z P i z Q y R ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂= 典型例题
0(B 0,1(C 1. 曲线积分 1 计算
ds y x n
L
⎰
+ 22)(其中L 为圆周,cos t a x =t a y sin =)20,0(π≤≤>t a 。
解： (方法一) 根据公式将曲线积分化为定积分
adt dt t a t a dt t y t x ds =+-='+'=2222)cos ()sin ()()(
ds y x n
L
⎰
+ 22)([]
⎰⋅+=
π20
2
2
)sin ()
cos ( adt t a t a n
122 0
122++==
⎰
n n a dt a ππ
(方法二) 由于在曲线L 上222a y x =+,且⎰
L ds 为曲线段L 的长,所以
12 2 2
22 )(+==+⎰
⎰
n L
n n
L
a ds a ds y x π
2 计算⎰
+L
y x ds e
2
2,其中L 为圆周222a y x =+,直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界。
分析 由于曲线L 分段光滑，所以先将L 分为若干光滑曲线段之和，再利用曲线积分的可加性计算曲线积分。 解： ⎰
⎰
⎰
⎰
++++++=3
2
22
2
21
2
22
2 L y x L y x L y x L
y x ds e
ds e
ds e
ds e
1L 的方程为 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛≤≤=a x x y 220,， dx dx x y ds 2)(12='+=
dx e
ds e
a x
L y
x ⎰
⎰
=
+2
2
2 21
2
21)2(
22
2-==
⎰
a a
x e x d e
2L 的方程为：⎪⎭
⎫
⎝
⎛≤
≤==40,sin ,cos πt t a y t a x
adt dt t a t a dt t y t x ds =+-='+'=2
2
2
2
)cos ()sin ()()( 所以a a L y x e a
dt ae ds e
4
4
2
2
2ππ
=
=
⎰
⎰
+
3L 的方程为 )0(,0a x y ≤≤=，dx dx x y ds ='+=)(12.所以1 0
3
2
2-==
⎰
⎰
+a a
x L y x e dx e ds e
⎰
⎰
⎰
⎰
++++++=3
2
22
2
21
2
22
2 L y x L y x L y x L
y x ds
e
ds e
ds e
ds e
224 14 1-⎪⎭
⎫
⎝⎛+=-++
-=a a a a e a e e a
e ππ 3 计算
⎰Γ
2
yzds x
其中Γ为折线段ABCD ,这里)0,0,0(A ,)3,2,1(),2,0,1(),2,0,0(D C B 。
分析 求本曲线积分的关键是求直线CD BC AB ,,的参数方程.空间过点),,(),,,(222111z y x z y x 的直线的对称式方程
1
21
121121z z z z y y y y x x x x --=--=--
令该比式等于t ,可得到直线的参数方程。 解 ：
⎰
⎰
⎰
⎰+
+
=
CD
BC
AB
yzds x yzds x yzds x yzds x
2 2 2
2
Γ
线段AB ：)10(,2,0,0≤≤===t t z y x dt dt ds 22002=++=
02200 1
0 2=⋅⋅⋅=⎰
⎰
dt t yzds x AB
线段BC ：)10(,2,0,≤≤===t z y t x dt dt ds =++=001
0201
2 2
=⋅⋅⋅=
⎰
⎰
dt t yzds x BC
线段CD ：,2,2,1t z t y x +===)10(≤≤t ，dt dt ds 51202=++=
538
)5
25)2(211
1
22=
+=⋅+⋅⋅=
⎰
⎰
⎰
2 (2 dt t t dt t t yzds x CD
所以 53
8
2222=
+
+
=
⎰
⎰
⎰
⎰CD
BC
AB
yzds x yzds x yzds x yzds x
Γ
4 计算
ds y x x L
⎰
+ 23)4(,其中L 为折线段1=+y x 所围成区域的整个边界。
解： (方法一) 如图10-4
ds y x x ds y x x ds y x x L L L
⎰
⎰
⎰
++
+=
+2
1
23 2323)4()4()4( ds y x x ds y x x L L ⎰
⎰
++
++
4
3
23 23)4()4(
1L 的方程为:)10(,1≤≤-=x x y
ds y x x L ⎰
+1
23)4(dx x x x 21
0 323)1(1)4(-+⋅-+=
⎰
122133143
21
34=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x x
2L 的方程为:)01(,1≤≤-+=x x y
ds y x x L ⎰
+2
)4(2
3 dx x x x 20
132311)4(+⋅++=
⎰
- 12211314
5
20
134-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-x x 3L 的方程为:)01(,1≤≤---=x x y
dx x x x ds y x x L 2
13232
3
)1(1)4()4(3-+⋅--=+⎰
⎰
- 12213314
3
20
134-
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-x x 4L 的方程为:)10(,1≤≤+-=x x y
dx x x x ds y x x L 2
1
0 323 2
3
11)4()4(4+⋅+-=+⎰
⎰
12211314
5
21
034=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=x x 所以
012
2
11122131221112213)4( 23=+--=
+⎰
ds y x x L
(方法二) 由于曲线L 关于y 轴对称,而34x 是关于x 的奇函数,故04 3=⎰
ds x L 。
又L 关于x 轴对称,而y x 2
是关于y 的奇函数,故0 2=⎰
ds y x L
所以
0)4( 23=+⎰
ds y x x L
。
注意 一般地,若曲线L 关于y 轴对称,则有
⎪⎩⎪
⎨⎧-=-=-=⎰
⎰
)
,(),(,0),(),(,),(2),(1
y x f y x f y x f y x f ds y x f ds y x f L L
其中1L 是L 在0≥x 的部分。
若曲线L 关于x 轴对称,则有
⎪⎩⎪
⎨⎧-=-=-=⎰
⎰
)
,(),(,0),(),(,),(2),(1
y x f y x f y x f y x f ds y x f ds y x f L L
其中1L 是L 在0≥y 的部分。 5计算
⎰
+L
ds y x 22,其中L 为圆周ax y x =+22()0>a 。
解： (方法一)如图10-5（a ）,L 的参数方程为
),cos 1(2
+=
y t a x dt t y t x ds )()(22'+'=dt t a t a 2
2
cos 2sin 2⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dt a 2=
2
2y x +t a t a 222
2sin 4
)cos 1(4++=
2
cos )cos 1(22t a t a =+=
t 2
cos 22 0
2 2
2
d t
a ds y x L
⎰
⎰
=
+π
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
-
=
⎰⎰
π
π
π
2
22cos
2
cos 2dt t dt t a 22a =。 (方法二) 如图10－5（b ）L 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-=22
,cos πθπ
θa r ，
由直角坐标与极坐标的关系,则
θθθθθθθsin cos sin )(,cos cos )(2a r y a r x ==== [][]2222cos sin sin cos )()( θθθθθθr r r r y x +'+-'='+'
)sin (cos )sin (cos 222222θθθθ+++'=r r
22r r +'=222)cos ()sin (a a a =+-=θθ
()()θθθθθad d r r d y x ds ='+='+'=2222
cos )sin cos ()cos (22222θθθθa a a y x =+=+
图10-5(a)
故
22
2
2
2
2 2
22 cos 2 cos a d a
d a ds y x L
===
+⎰
⎰⎰
-
π
π
π
θθθθ。
注意 ① 在方法一中,参数t 表示圆心角,而在方法二中,参数θ表示极坐标系下的极角,参数的意义不同,一般取值范围也不相同。
②若曲线在极坐标系下的方程为)( r r θ=,则θd r r ds 22'+=,可直接引用此式。 ③ 该例也可以先利用对称性化简,再化为定积分计算。 6 计算ds z y x ⎰
++T 2
2)2(,其中Γ为⎩
⎨⎧=++=++02
222z y x R z y x 。
分析 计算这个曲线积分的关键,是正确的写出Γ的参数方程。一般地,如果Γ的方程形式为⎩
⎨
⎧==0),,(0
),,(z y x G z y x F 时,先求出Γ关于xOy 的投影柱面0),(=y x H ,即利用两个曲面方程消去z ,再求出平面曲线⎩⎨⎧==00),(z y x H 的参数方程⎩
⎨
⎧==)( )
( t y t x ψϕ,并将其代入其中一个曲面方程解出)( t z ω=,即得Γ的参数方程。 解：(方法一) 由于Γ是平面0=++z y x 上过球2222R z y x =++的中心的大圆．两个曲面方程联立消去z ,得2223,2
22
2
22
2
R y x x R y xy x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
++ ① 在①式中,令
t R x t R x cos 3
2
,cos 2
23== ② t R t R y t R y x cos 6
sin 2,sin 22-==+ ③ 将②,③代入平面0=++z y x ,得t R
t R z sin 2
cos 6--=,故Γ的参数方程为
t R t R y t R x cos 6sin 2,cos 32-==
，)20(,sin 2
cos 6π≤≤--=t t R
t R z dt t z t y t x ds )()()(222'+'+'=Rdt dt t t t t t R =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2
2
22cos 6
sin 6sin 2cos sin 32
所以
ds z y x
⎰++Γ
)2(22
dt t t R t t R t R R
⎰
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=π
20
2222
2sin 6cos 26cos 2sin cos 32 π
π
2022 0
23
2cos 6
sin 23cos sin 21cos 31⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰
t t R dt t t t R
320
2
33432cos 22sin 2161R t t t t R ππ
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛+= (方法二) 由于积分曲线方程中的变量z y x ,,具有轮换性,即三个变量轮换位置方程不变,且对弧长的曲线积分与积分曲线的方向无关。故有
ds z y x ds z ds y ds x ⎰
⎰
⎰⎰++=
==
ΓΓΓ
Γ
)(3
1
2
2
2
2
2
2
3
2
3
23
R ds R πΓ
=
=⎰ 同理 0)(3
1 =++=
==
⎰
⎰
⎰
⎰ds z y x ds z yds ds x L
L
L
L
所以
ds z y x ds z y x ⎰⎰++=
++Γ
Γ
)(3
2)2(2222233
4
)(3
2R ds z y x
πΓ
=
+++
⎰。 注意 利用变量之间的轮换对称性技巧来解对弧长的曲线积分,往往有事半功倍之效。 7 计算
⎰
+-L
xdy dx y a )2(,其中L 是摆线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=上对应t 从0到π2的一段弧。
解： 根据公式
[]dt t a t a a xdy dx y a L
⎰⎰
-⋅--=
+-π2 0
)cos 1()cos 1(2)2(⎰
⋅-+π
2 0
sin )sin (tdt a t t a
[]
⎰-+-=π2 0
2
2
)sin (sin )cos
1(dt t t t t a ⎰
=π
2 0
2sin tdt t a []π
2 0 2sin cos t t t a +-=2 2a π-=
8 计算
⎰
-++L
dy y x dx y x 2222)()(,其中L 是曲线x y --=11对应于0=x 的点到2=x 的点。
解： 如图10-6，
⎰
-++L
dy y x dx y x )()(2222⎰
-++=
1
)()(2222L dy
y x dx y x dy y x dx y x L )()(22222
-+++
⎰
(方法一) 取x 为参数,1L 的方程为 )10(,≤≤=x x y
3
2
2)()(1
22
2221
=
=
-++⎰
⎰
dx x dy y x dx y x L 2L 的方程为 )21(,2≤≤-=x x y
dy y x dx y x L )()(22 222
-++⎰
[]
⎰-+=
2 1
22
)2(dx x x
[]
⎰-⋅--+
2 1
22
)1()2(dx x x
3
2=
所以
3
4)()( 2222=
-++⎰
L
dy y x dx y x 。 (法二) 取y 为参数,1L 的方程为 )10(,≤≤=y y x
3
22)()(1
222221
=
=
-++⎰
⎰
dy y dy y x dx y x L 2L 的方程为,2y x -=始点对应的参数值为1,终点对应的参数值为0。
由于0,2
2=+-=⎰
dy x dx x dy dx L
,故有
3
22)()(0
1
22
2 222
=
-=
-++⎰
⎰
dy y dy y x dx y x L
所以 3
4)()( 2222=
-++⎰
L
dy y x dx y x 9
⎰Γ
xyzdz ,其中Γ是用平面z y =截球面22y x +12=+z 所得的截痕,从x 轴的正向看去,沿逆时针方向。
解： 将z y =代入球面方程1222=++z y x 消去z 得，1222=+y x ,令t y t x sin 2
1,cos =
=,并将其代入
z y =得,t z sin 2
1=
。
Γ的参数方程为:,sin 21,cos t y t x =
=,sin 2
1t z =
始点对应的参数值为0,终点对应的参数值为π2。
tdt t t xyzdz cos 21sin cos 2122 0
⋅=
⎰
⎰π
Γ
⎰
=π
2 0
22sin 2
81tdt ππ
16
2
)4cos 1( 2
1612 0
=
-=
⎰
dt t 10 利用格林公式计算
⎰
-L
ydx x dy xy 22其中L 为圆周222a y x =+,沿逆时针方向。
解： 2222,,
,y x Q x y P
xy Q y x P =∂∂-=∂∂=-= 由格林公式 dxdy y P x Q ydx x dy xy D
L
⎰⎰
⎰
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=
- 22⎰⎰
+=D
dxdy y x )(22rdr r d a
⋅=⎰
⎰ 0
22 0 πθ
40
3202
1
a dr r d a
πθ
π=
=⎰
⎰ 常见错解 设2222,,
,y x
Q x y P
xy Q y x P =∂∂-=∂∂=-= ⎰-L
ydx x dy xy
22
⎰⎰+=
D
dxdy y x
)(22
4
2 a
dxdy a D
π==
⎰⎰
错误原因 在曲线积分中L L y x ,),(∈的方程可以直接代入曲线积分中,但在二重积分中,),(D y x ∈所以把L 的方程代入二重积分的被积函数中是错误的。
注意 ① 利用格林公式计算对坐标的曲线积分时,Q P ,不要颠倒了。 ② 计算沿闭曲线对坐标的曲线积分时,常利用格林公式简化计算。 11 计算
dy m y e dx my y e x L
x )cos ()sin ( -+-⎰
,其中L 为上半圆周0,)(222≥=+-y a y a x ,沿顺时针方向。
解： ,sin my y e P x -=,cos m y e Q x -=
y e x
Q
m y e y P x x cos ,cos =∂∂-=∂∂ 如图10-7,由格林公式
⎰
+--+-OA
L x x dy m y e dx my y e )cos ()sin ( 2 2
a m
mdxdy dxdy y P x Q D
D
π=
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂-∂∂=
⎰⎰
⎰⎰
故有dy m y e dx my y e x L
x )cos ()sin ( -+-⎰
- ⎰
+--+-=
OA
L x x dy m y e dx my y e )cos ()sin (dy m y e dx my y e x OA
x )cos ()sin ( -+--
⎰
图10-7
0-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=
⎰⎰
dxdy y P x Q D
2 2
a m
mdxdy D
π=
=⎰⎰
所以
dy m y e dx my y e x L
x )cos ()sin ( -+-⎰
2 2
a m
π-
=。 注意 ① 利用格林公式计算沿非封闭曲线的积分时，常用坐标轴上或平行于坐标轴的直线段作为辅助线。
②
12 计算
⎰
+-L
y x xdy ydx 2
2
)
(2,其中2)1(:2
2=+-y x L ,沿逆时针方向。
解： 如图10-8适当选取0>r ,
作圆周1L :,cos t r x =t r y sin =，使1L 包含在L 的内部,
并取1L 的方向为顺时针.则Q P ,在1,L L 所包围的区域D 内有连续的一阶偏导数,且1,L L 构成D 的正边界.由格林公式
dxdy y P x Q y x xdy ydx D
L L ⎰⎰
⎰
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂-∂∂=
+-+1
22)
(2 0)()(2222
222222=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+--+-=⎰⎰
dxdy y x y x y x y x D
所以
⎰
⎰⎰
⎰
+--⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=
+-1
22 22)
(2)
(2L D
L
y x xdy ydx dxdy y P x Q y x xdy ydx
⎰
+--
=1
22)(2
1L y x xdy ydx ππ
-=---
=⎰dt t t 0
2 22)cos sin (2
1。
常见错解
0)
(2 22=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=
+-⎰⎰
⎰
dxdy y P x Q y x xdy ydx D
L
错误原因 Q P ,及一阶偏导数在)0,0(点没有定义,故不能直接使用格林公式。
注意 在本例中，若把L 换为不过原点的任意分段光滑且无重点的闭曲线，应该分为原点在L 所包围的区域内和原点不在这个区域内两种情况进行讨论。对前一种情况，曲线积分利用此例的方法就可以求出。 13 证明曲线积分
dy xy y x dx y xy )36()6(22(3,4)
)
2,1( 32-+-⎰
在整个坐标面xoy 上与路径无关,并计算积分值。
解： (方法一) 223236,6xy y x Q y xy P -=-=，
因为
x
Q
y xy y P ∂∂=-=∂∂2312 且Q P ,在整个坐标面xoy 上有连续的一阶偏导数, 所以曲线积分与路径无关。
dy xy y x dx y xy )36()6(22(3,4)
)
2,1( 32-+-⎰
dy xy y x dx y xy AB ⎰
-+-= 2232)36()6(dy xy y x dx y xy BC
⎰
-+-+
2232)36()6(
dy y y dx x ⎰
⎰
⋅⋅-⋅⋅+
-⋅=
4
2
223
1
32)3336()226(23615680=+=
(方法二) 由于被积表达式
dy xy y x dx y xy Qdy Pdx )36()6(2232-+-=+dy xy dx y ydy x dx xy )3()66(2322+-+=
)3()()3(322322xy y x d xy d y x d -=-=
所以曲线积分与路径无关.
设3223),(xy y x y x u -=,则
dy xy y x dx y xy )36()6(22(3,4)
)
2,1( 32-+-⎰
[]
236 3)
4,3()2,1(322=-=xy y x 。
14 设dy ye y x x dx xy y x du y )128()83(2322++++=,求),(y x u 。 解： (方法一) 设y ye y x x Q xy y x P 128,832322++=+= 由
x
Q
xy x y P ∂∂=
+=∂∂1632 所以 1
23)
,( )
0,0( 22)128()83(),(C dy ye y x x dx xy y x y x u y y x +++++=
⎰
1 0
23 0
)128(0 C dy ye y x x dx y
y x
++++
⋅=⎰
⎰
)12(,)1(1241223C C C y e y x y x y +=+-++=
(方法二) 由
2283xy y x P x
u
+==∂∂,把y 看作不变的,对x 积分得 )( 4),(223y y x y x y x u ϕ++=
而
)(81282323y y x x ye y x x Q y
u
y ϕ'++=++==∂∂ 故有 C y e dy ye y ye y y y y +-==='⎰
)1(1212)( ,12)( ϕϕ 所以 C y e y x y x y x u y +-++=)1(124),(223。
注意 ① 利用方法一求函数),(y x u 时，选择的起点不同求出的),(y x u 可能相差一个常数。 ② 此例还可以用例13中方法二来求。 曲面积分 例1 计算
dS y x z ⎰⎰
∑
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++342,其中∑为平面1432=++z y x 在第一卦限的部分。
解： 设,3214:⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑y x z ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
≤+≥≥132,0,0y x y x ,∑在坐标面xoy 上的投影区域
xy D 为： 0,0,132≥≥≤+y x y x .由于
2
22234)2(11⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-
+-+=+
+
y
x
z z 3
61=
()()∑∈=⎪⎭
⎫
⎝⎛++=+
+z y x z y x y x z ,,44324342 所以
61436144342==
=⎪⎭⎫ ⎝⎛
++⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
∑∑
xy
D
dxdy dS dS y x z 。 例2 计算=
I dS zx yz xy ⎰⎰∑
++)(,其中∑为锥面22y x z +=
被圆柱面ax y x 222=+所截得的有限部分。
解： (方法一) 如图10-12,∑在坐标面xoy 上的投影区域xy D 为: ax y x 22
2≤+。 因为 ,,2
2
2
2
y
x y z y
x x z y x +=
+=
22
1y
x
z z +
+
212
222
22=++
++
=y x y y x x
所以
dS zx yz xy ⎰⎰
∑
++)(dxdy y x x y x y xy xy
D 22222⎰⎰
⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++=
在极坐标系下xy D 为:2
2
,cos 20π
θπ
θ≤
≤-
≤≤a r ,故
dxdy
y x y x xy dS zx yz xy xy
D )(2)(22⎰⎰⎰⎰⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+++=++∑
[]
rdr
r r
d a ⎰
⎰++=-
θ
π
π
θθθθθcos 2 0
22
2
2
)sin (cos sin cos
2
⎰-
⋅++=2
2
4
4
)cos 2()sin cos sin (cos 2
π
π
θθθθθθd a 442
54
215
64
325428 cos 28a a d a =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==⎰
θθπ
。
(注意奇函数在对称区间上的积分等于0)
(方法二) 由于∑关于xOz 面对称,且被积函数xy 及yz 是关于y 的奇函数,故
⎰⎰⎰⎰∑
∑
==0,0yzdS xydS ，于是
42
2
5
4
cos 2 0
3
2
2
2
2215
64
cos 24 cos 22a d a
dr r d dxdy y x x zxdS I a D xy
===+==⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰⎰-
-∑
π
πθ
π
πθθθθ 注意 在计算对面积的曲面积分中,经常用对称性来化简运算.但应用这一性质时,不仅要考虑积分曲面的对称性,同时要考虑被积函数的对称性。 例3 计算
dS z
y x
⎰⎰∑
++2
22
1
，其中∑是界于平面0=z 及)0(>=H H z 之间的圆柱面222R y x =+。 解： 将∑投影到坐标面yOz 上,其投影区域为H z R y R D yz ≤≤≤≤-0,:
图10-12
∑的方程为: )0(,2
2H z y R x ≤≤-±= 2
2
2
222
211y
R R y R y x x z
y
-=
-+
=+
+
记222221:,:y R x y R x --=∑-=∑,则
dS z
y x
⎰⎰∑
++2
2
2
1
dS z
y x
⎰⎰∑++=1
2
2
2
1
dS z
y x
⎰⎰∑+++2
2
22
1
dydz y
R R z
R
yz
D 2
2
2
2
1
-⋅
+=
⎰⎰dydz y
R R
z
R
yz
D ⎰⎰-⋅
++
2
22
2
1
dydz y
R R z
R
yz
D 2
2
2
2
1
2
-⋅
+=⎰⎰⎰
⎰
--+
=R
R
H
dy y
R z R dz R
2
2
22
12
⎰
-⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=R H
dy y R R z R
R 0
2
201
arctan 1
4dy y
R R H
R ⎰
-+→-⋅=ε
ε 0
2
2
1lim
arctan 4
ε
ε-+→⎥
⎦⎤⎢⎣⎡
⋅=R R y R H 0
0arcsin lim arctan 4R
H
arctan
2π=。 常见错解 因为∑在坐标面xoy 上的投影为圆周,其面积为0,于是
01
2
22
=++⎰⎰∑
dS z
y x
错误原因 此例中,说“圆柱面222R y x =+在坐标面xOy 上的投影为圆周,其面积为0”是对的,但据此确定曲面积分为0是错误的。由于∑的方程不能写成),(y x f z =的形式，所以应将曲面投影到其它两个坐标面上。
注意 计算对面积的曲面积分时,把积分曲面投影到哪个坐标面上,要根据积分曲面方程的表达式来确定。一般地,把∑投影到坐标面xOy 上,则∑的方程应写为),(y x f z =的形式；把∑投影到yOz 或zOx 坐标面上,∑的方程应写为),(y x g x =或),(z x h y =的形式。 例4 计算积分
⎰⎰
∑
+dxdy z x )(,其中∑为平面a z x =+含在柱面222a y x =+内部分的上侧。
解： 如图10-13,∑在坐标面xOy 上的投影区域为
222:a y x D xy ≤+。
⎰⎰∑
+dxdy z x )(3
a
dxdy a adxdy xy
D π===⎰⎰⎰⎰∑
。
常见错解
⎰⎰⎰⎰∑
∑
=+dxdy a dxdy z x )(3 2a S a π=
⋅=其中S 为∑的面积。
错误原因 这里把对坐标的曲面积分与对面积的曲面积分混淆了,
32)(a S a dS a
dS z x π=⋅==+⎰⎰
⎰⎰
∑
∑
是正确
的,而在对坐标的曲面积分中,微元dxdy 是dS 在坐标面xOy 上的投影与dS 不同,其正负由∑的侧来确定。
图10-13
例 5 计算曲面积分
dydz x dxdy z y ⎰⎰∑
-++)2()(,其中∑是抛物柱面x y =
被平面1=+z x 和0=z 所截下的
那部分的后侧曲面。 解： 如图10-4,因为柱面x y =在坐标面xoy 上的投影是一条曲线,
由定义知
0)(=+⎰⎰∑
dxdy z y 。
∑在坐标面yOz 上的投影区域记为210,10:y z y D yz -≤≤≤≤。
由于∑取后侧,故
dydz y dydz y dydz x yz D ⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
--
=-=
-∑
∑
)2()2()2(2
2
dz y dy
y ⎰
⎰---
=2
1 0
21
)2(dy y y ⎰
-⋅--
=1
22)1()2(
565121
0 53=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
-+--=y y y
注意 将对坐标的曲面积分投影到坐标面上时,不要忽视了∑侧。 例6 计算曲面积分⎰⎰∑
++=
yzdzdx xydydz xzdxdy I ，
其中∑是平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。
解： (方法一) 将分片光滑曲面∑化为若干片光滑曲面之和,
即4321∑+∑+∑+∑=∑,其中
)0,0,1(,0:1≥≥≤+=∑z y z y x ；)0,0,1(,0:2≥≥≤+=∑z x z x y ； )0,0,1(,0:3≥≥≤+=∑y x y x z ；1:4
=++∑z y x ,)0,0,0(z y x ≤≤≤。
则在321,,∑∑∑上积分为0,而由轮换对称性
⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑==4
4
4
yzdzdx xydydz xzdxdy ，
于是
⎰⎰⎰⎰∑∑=++4
4
3xzdxdy yzdzdx xydydz xzdxdy
4∑在xOy 面上的投影记为,10,1:≤≤≤+x y x D xy 10≤≤y ，则
dy y x x dx
dxdy y x x xzdxdy x
D xy
⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰
-∑--=--=
1 0
1 0
)1()1(4
241)1(2)1(1022=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡
---=
⎰
dx x x x x 所以 8
1
3
4
=
=⎰⎰
∑xzdxdy I 。 (方法二) 设 ,,,xz R yz Q xy P ===则
x z
R z y Q y x P =∂∂=∂∂=∂∂,,
R Q P ,,在整个平面上有连续的一阶偏导数,由∑所包围的空间区域记为
Ω,根据高斯公式
⎰⎰⎰++=
Ω
dxdydz z y x I )(dz z y x dy
dx
y
x x
⎰
⎰⎰---++=1 0
1 0
1 0
)(⎰
⎰-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
--+--+=x dy y x y x y x dx
1 0
21
)1(21)1)(( dx x x ⎰
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡---=1 0 32
)1(61)1(21
1
0 43)1(241)1(61⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=x x 8124161=-=。
注意 如果认为
⎰⎰⎰⎰⎰⎰=++Ω
Ωdxdydz dxdydz z y x )(,则是错误的,因为在三重积分中Ω∈),,(z y x 。 例7 计算曲面积分[][][]dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f I +++++=
⎰⎰∑
),,(),,(2),,(
其中),,(z y x f 是连续函数,∑是平面1=+-z y x 在第四卦限部分的上侧。
分析 在被积函数中含有未知函数),,(z y x f ,
能求出),,(z y x f ,因此不能直接利用公式计算积分.数连续,但没有偏导数存在的条件,不能用高斯公式计算积分.中,∑上任意一点的法向量的方向余弦是常数,化为对面积 的曲面积分可以消去),,(z y x f 。
解： 由于∑取上侧,故∑上任意一点的法向量与z 轴的夹角为锐角,其方向余弦为
3
1cos ,31cos ,3
1cos =
-
==
γβα
于是 []{[]βαcos ),,(2cos ),,(y z y x f x z y x f I +++=
⎰⎰∑
[]}dS os c z z y x f γ++),,(
[]dS z y x f z y x f z y x f z y x ⎰⎰∑
+-+
+-=
),,(),,(2),,(3
12
1
3
1=
=
⎰⎰
∑
dS 。 例8
⎰⎰
∑
++zdxdy dydz z x )2(,其中∑为有向曲面)10(22≤≤+=z y x z ,其法向量与z 轴正向的夹角为锐角。
分析 直接利用公式计算这个积分,需要将∑分别投影到xOy yOz ,两个坐标面上,计算两个二重积分,比较麻烦。虽然∑不是闭曲面,不能直接用高斯公式,但可以通过添加辅助面化为沿封闭曲面的积分。 解： 设)1( 1:221≤+=∑y x z 取下侧,∑与1∑所包围的空间区域1:22≤≤+z y x Ω,1∑在xoy 面上的投影为1:22≤+y x D xy 。
⎰⎰∑+∑++1
)2(zdxdy dydz z x dv z z y x z x ⎰⎰⎰⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂+∂-=Ω
)()0()2( 图10-17
⎰⎰⎰-
=Ω
dv 3⎰
⎰
⎰
-=1
1
20
2
3 r
dz rdr d π
θ⎰
⎰
--=1
22 0
)1( 3dr r r d π
θ ππ234261
42-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--= r r
⎰⎰∑++1
)2(zdxdy dydz z x π-=-==⎰⎰⎰⎰∑xy
D dxdy zdxdy 1
所以
⎰⎰
∑
++zdxdy dydz z x )2(⎰⎰
⎰⎰
∑∑+∑++-
++=
1
1
)2()2(zdxdy dydz z x zdxdy dydz z x 2
)(23π
ππ-=---=。
例9
dxdy r z dzdx r y dydz r
x ⎰⎰∑++333,其中,2
22z y x r ++=闭曲面∑包含原点且分片光滑,取其外侧。 解： 设Ω是由∑所围成的空间区域,在Ω内以原点为中心,作球面22221:a z y x =++∑,取其外侧。∑与1∑所围成的闭区域记为1Ω,R Q P ,,在1Ω内具有一阶连续的偏导数,由3
3
3
,,r z R r y Q r x P =
=
=
5226
2
333r x r r r x
r x r x
P -=⋅-=∂∂，52
25223,3r z r z R r y r y Q -=∂∂-=∂∂
根据高斯公式,得
dxdy r
z dzdx r
y dydz r
x ⎰⎰
∑-∑+
+
1
3
3
3
dxdydz z R y Q x P ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=
1
Ω
0331
5
2
2=-=⎰⎰⎰dxdydz r r r Ω
于是
dxdy r
z dzdx r
y dydz r
x
⎰⎰∑
+
+
3
3
3
dxdy r z dzdx r
y dydz r
x
⎰⎰∑-+
+
-=1
3
3
3
0dxdy a
z dzdx a
y dydz a
x
⎰⎰∑+
+=1
3
3
3
由于在球面1∑上的任意点),,(z y x 的外法线向量的方向余弦为:a
z
a y a x ===
γβαcos ,cos ,cos ,所以 dxdy r
z dzdx r y dydz r
x
⎰⎰∑
+
+
3
3
3
dS a z a y a x ⎰⎰
∑⎪⎭⎫
⎝⎛++=1
cos cos cos 333γβα
dS a z a y a x ⎰⎰∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1
424242ππ4 41
1
22
21
=⋅=
=⎰⎰
∑a a
dS a 。
常见错解 设Ω是由∑所围成的空间区域,根据高斯公式
dxdy r z dzdx r y dydz r
x
⎰⎰∑
+
+
3
3
3
dxdydz z R y Q x P ⎰⎰⎰⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=
Ω
0335
2
2=-=⎰⎰⎰dxdydz r r r Ω
错误原因 因为R Q P ,,及一阶偏导数在Ω∈)0,0,0(处无定义,不满足高斯公式的条件,所以直接应用高斯公式计算这个积分是错误的。
注意 ① 由轮换对称性,积分
⎰⎰⎰⎰∑∑=+
+
1
1
3
3
3
3
3zdxdy a dxdy r
z dzdx r y dydz r
x
，然后直接用公式计算该积分也较简单。
② 积分
⎰⎰
∑
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛dS r
r n 2
^,cos ,其中n 为曲面∑上在点),,(z y x 处的外法线向量,r 为点),,(z y x 的向径,是本题的另一种表达形式,这个积分也称为高斯积分。 例10计算
⎰⎰
∑
++++2
222)(z y x dxdy
a z axdydz ,其中∑为下半球面222y x a z ---=的上侧,a 为大于零的常数。
分析 本题可以根据公式分块计算,也可以添加辅助平面0=z 与∑构成封闭曲面，然后利用高斯公式计
算。但应注意,被积函数在（0,0）点没有定义,所以应先根据曲面积分的性质处理,再添加辅助平面0=z 。 解： (方法一)将a z y x =++2
2
2
代入被积函数,⎰⎰
∑
++++=
2
222)(z y x dxdy
a z axdydz I ⎰⎰
∑
++=
dxdy a z axdydz a
2)(1
分块计算.分别设xy D 、yz D 是∑在xOy 及yOz 面上的投影,即xy D :222a y x ≤+; yz D :0,222≤≤+z a z y
⎰⎰∑
=
axdydz a
I 11 ⎰⎰⎰⎰
+--
+
+--=yz
yz D D dydz z y a dydz z y a )()(222222
⎰
⎰--=a
rdr r a d 0
2
2
2
2ππθ
⎰
--=a
r a d r a 0
2222)(π
3 3
2
a π-=
⎰⎰
⎰⎰
⎥⎦⎤⎢
⎣⎡+--=+=
∑
xy
D dxdy y x a a a dxdy a z a
I 2
2222
2)(1)(1
⎰
⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a
rdr r a a a 0 2
222 0
d 1π
θ⎰
⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=a
rdr r r a a a a 0 2
2222 0 22 d 1πθ
3 0
423
2222641)(322a r r a a r a a a
ππ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+= 所以,3212
a I I I π
-
=+=。
(方法二)设()
22210:a y x z ≤+=∑ ,取其上侧,由高斯公式，得 ⎰⎰
⎰⎰∑-∑-∑++-++=
1
122)(1)(1dxdy a z axdydz a dxdy a z axdydz a I ⎰⎰⎰⎰⎰+
+-=D
dxdy a
a
dxdydz z a a
2
1
)23(1
Ω
其中Ω为1∑-∑所包围的区域,D 为0=z 上的平面区域222a y x ≤+，于是
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡+--
=⎰⎰⎰4
4
221a a zdxdydz a I ππΩ
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=⎰
⎰⎰--40
0 2 0 2 12
2
a zdz rdr
d a r
a a
πθπ
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰
4 0 222 21a rdr r a a a
ππ32a π-=。
例11计算曲面积分
ds z y x
)cos cos cos (222
γβα++⎰⎰∑
，其中Σ为锥面 222z y x =+介于平面 0=z 及
)0(>=h h z 之间的部分的下侧， γβαcos ,cos ,cos 是Σ在),,(z y x 处的法向量的方向余弦。
解： 空间曲面在 xoy 面上的投影域为xy D 曲面∑不是封闭曲面, 为利用高斯公式 补充2221:
()z h x y h ∑=+≤， 1∑取上侧 1∑+∑构成封闭曲面，1∑+∑围成空间区域Ω，
在Ω上使用高斯公式，
⎰⎰⎰⎰⎰
Ω
∑+∑++=++dv z y x dS z y x )(2)cos cos cos (1
2
22γβα⎰⎰⎰+++=xy
D h y x dz z y x dxdy 2
2,)(2
}.|),{(2
22h y x y x D xy ≤+=其中 ⎰⎰⎰
+=+xy
D h y x dz y x dxdy 2
2,0)(
⎰⎰⎰⎰--=
++∴
∑+∑xy
D dxdy y x h dS z y x )()cos cos cos (2
222
221
γβα.214h π= ⎰⎰⎰⎰∑∑=++1
1
2
222)cos cos cos (dS z dS z y x γβα
⎰⎰
=xy
D dxdy h 2
.4h π= 故所求积分为
⎰⎰∑
++dS z y x )cos cos cos (2
22γβα421h π=4h π-.214h π-= 例12 利用斯托克斯公式计算曲线积分dz y x dy z x dx y z L )()()(-+-+-⎰
，其中L 是曲线⎩
⎨⎧=+-=+21
22z y x y x 从z
轴的正向看去L 的方向是顺时针的。
解： 设∑是平面2=+-z y x 上以L 为边界的有限部分,其法向量与z 轴正向的夹角为钝角,∑在xOy 平面上的投影区域为1:2
2
≤+y x D xy 。y x R z x Q y z P -=-=-=,,.
dz y x dy z x dx y z L
)()()(-+-+-⎰
⎰⎰
∑
∂∂
∂∂∂∂=
R
Q P z y x dxdy dzdx dydz
⎰⎰
∑
---∂∂
∂∂∂∂=y
x z x y z z y x dxdy dzdx dydz π22
2-=-==
⎰⎰
⎰⎰
∑
xy
D dxdy dxdy
例13 计算⎰
-+-+-=
L
dz y x dy x z dx z y I 222222)3()2()(，其中L 是平面2=++z y x 与柱面1=+y x 的交
图10-18
线，从z 轴的正向看去L 为逆时针方向。
分析 若将曲线化为参数方程，根据曲线积分的计算公式应分段进行计算，比较繁琐。利用斯托克斯公
式化曲线积分为曲面积分或降低曲线积分的维数进行计算比较简洁。
解： (方法一)设∑为平面2=++z y x 上L 所围成部分的上侧,{}1),(≤+=y x y x D 为∑在xOy 面上的投影。由斯托克斯公式,得
⎰⎰
∑
---∂∂∂∂∂∂=
dS y
x x z z y z y x I 222
2
2
2
32cos cos cos γ
βα 其中{}⎪⎭⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=33,33,33cos ,cos ,cos γβα为∑的单位法向量。 ⎰⎰
∑
++-
=dS z y x I )324(3
32[]⎰⎰∑
--++-
=dS y x y x )2(3243
32
⎰⎰
∑
+--
=dS y x )6(3
32⎰⎰-+-++--
=D
dxdy y x 22)1()1(1)
6(3
32⎰⎰+--=D
dxdy y x )6(2
因为D 关于两个坐标轴对称,x 和y 分别为x 及y 的奇函数,所以0,0==⎰⎰⎰⎰D
D
ydxdy xdxdy 。于是,有
⎰⎰-=D
dxdy I 12
24-=。
注意 利用斯托克斯公式进行计算时，曲线L 的正向与曲面∑的侧要符合右手法则。
(方法二)设∑及D 如解法一中所述,1L 是L 在xOy 面上的投影,方向为逆时针。将曲面∑的方程代入I ,得
[][]
⎰---+---=
1
2222
)2(2)2(L dy x y x dx y x y
I )2()3(22y x d y x ---+
⎰
-++--=
1
22)44424(L dx y x xy x y dy y x xy x y )888423(22+--+-+
根据格林公式,得 24)6(2-=+--=⎰⎰D
dxdy y x I 。
曲线积分与曲面积分
第十章 曲线积分与曲面积分 一、 基本内容要求 1． 理解线、面积分的概念，了解线、面积分的几何意义及物理意义，能用线、 面积分表达一些几何量和物理量； 2． 掌握线、面积分的计算法； 3． 知道两类曲线积分及两类曲面积分的联系； 4． 掌握格林公式，并能将沿闭曲线正向的积分化为该曲线所围闭区域上的二重 积分； 5． 掌握曲线积分与路径无关的充要条件，并能求全微分为已知的某个原函数， 注意此时所讨论问题单连通域的条件不可缺少； 6． 掌握高斯公式，并能将闭曲面Σ外侧上的一个曲面积分化为由其所围空间闭 区间Ω上的三重积分。 二、 选择 1．设OM 是从O （0，0）到点M （1，1）的直线段，则与曲线积分I=ds e om y x ? +2 2不相等的积分是：（ ） A)dx e x 21 2? B) dy e y 21 02? C) dt e t ? 2 D) dr e r 21 ? 2．设L 是从点O(0,0)沿折线y=1-|x-1| 至点A(2,0) 的折线段，则曲线积分I= ? +-L xdy ydx 等于（ ） A)0 B)-1 C)2 D)-2 3．设L 为下半圆周)0(222≤=+y R y x ，将曲线积分I= ds y x L ? +)2(化为定
积分的正确结果是：（ ） A) dt t t R )sin 2(cos 0 2+? -π B) dt t t R )sin 2(cos 0 2 +?π C) dt t t R )cos 2sin (0 2+-?- π D) dt t t R )cos 2sin (232 2+-?π π 4．设L 是以A(-1,0) ,B(-3,2) ,C(3,0) 为顶点的三角形域的周界沿ABCA 方向， 则 ? -+-L dy y x dx y x )2()3(等于：（ ） A) -8 B) 0 C) 8 D) 20 5．设AEB 是由点A(-1,0) 沿上半圆 21x y -=经点E(0,1)到点B(1,0)， 则曲线积分I= dx y AEB ? 3等于：（ ） A) 0 B)dx y BE ? 32 C) dx y EB ? 32 D) dx y EA ? 32 三、 填空 1．γβαcos ,cos ,cos 是光滑闭曲面Σ的外法向量的方向余弦，又Σ所围的空间闭区域为Ω；设函数P(x,y,z),Q(x,y,z)和R(x,y,z)在Ω上具有二阶连续偏导数，则由高斯公式，有 ds y P x Q x R z P z Q y R ]cos )(cos )(cos )[( γβα??-??+??-??+??-???? ∑ = 。 2．设L 是xoy 平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且
高等数学曲线积分与曲面积分
第十章 曲线积分和曲面积分 （A ） 1、计算下列对弧长的曲线积分 1）ds y x n L )(22+? ，其中：)20(sin ,cos :π≤≤==t t a y t a x L 2）,xds L ? 其中围成及为由2x y x y L == 3） ,2yzds x T ? 其中T 为折线ABCD ，这里A ，B ，C ，D 依次为点（0，0，0），（0，0，2）， （1，0，2），（1，3，2） 4） ,)(22ds y x L +? 其中L ：)20(),cos (sin ),sin (cos π≤≤-=+=t t t t a y t t t a x 2 、计算下列对坐标的曲线积分 1）,)(22dx y x L -? 其中L 是2x y =上从（0，0）到（2，4）的一段弧 2） ,xydx L ? 其中L 是222)(a y a x =+-及x 轴围成的在第一象限内的区域的整个边界 （逆时针向）
3） ,ydz dy dx T +-? 其中T 为有向闭折线ABCA ，这里A ，B ，C 依次为点（1，0，0），（0， 1，0），（0，0，1） 4） dy xy y dx xy x L )2()2(22-+-? ，其中L 是2x y =上从点（-1，1）到（1，1）的一 段弧 3、利用格林公式，计算下列曲线积分 1） ,)635()42(dy x y dx y x L -+++-? 其中L 为三顶点分别为（0，0），（3，0）和（3， 2）的三角形正向边界 2） ,)2sin ()sin 2cos (222dy ye x x dx e y x xy x y x x x L -+-+? 其中L 为正向星形线)0(3 23232>=+a a y x 3） ,)3sin 21()cos 2(2223dy y x x y dx x y xy L +-+-? 其中L 为抛物线22y x π=上由（0， 0）到（)1,2 π 的一段弧 4、验证下列dy y x Q dx y x P ),(),(+在整个xoy 面内是某个),(y x u 的全微分，并求这样的
高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答
第十章曲线积分与曲面积分习题简答 习题10—1 1 计算下列对弧长的曲线积分： （1）L I xds = ? ，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A 到B 之间的一段劣弧； 解: (1+． （2）(1)L x y ds ++? ，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及 (0,1)B 所成三角形的边界； 解 :(1)3L x y ds -+=+?． （3）22L x y ds +? ，其中L 为圆周22x y x +=； 解:222L x y ds +=? ． （4） 2 L x yzds ? ，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C (1,2,3)D ； 解: 2 L x y z d =? 2 求八分之一球面2 2 2 1(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥ 度1ρ=。 解 故所求重心坐标为444,,333πππ?? ??? ． 习题10—2 1 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明 x y o A B C
(,)0L Q x y dy =?。 证明：略. 2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）L xydx ? ，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。 解 : 45 L xydx = ? 。 （2） ? -++L dy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到 2=x 时的点的一段弧； 解 3 4)()( 2222= -++? L dy y x dx y x ． （3） ,L ydx xdy +? L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧； 解 0.L ydx xdy +=? （4）22L xy dy x ydx -?，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0) C a 到终点(0,)B a -的路径； 解 22L xy dy x ydx -? 44 a π =- 。 （5）3223L x dx zy dy x ydz +-? ，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ； 解 3223L x dx zy dy x ydz +-? 31 87 874 t dt ==- ?。 （6）()()()L I z y dx x z dy x y dz =-+-+-?，L 为椭圆周22 1 , 2 ,x y x y z ?+=?-+=? 且从z 轴 正方向看去，L 取顺时针方向。 解: 2π=-。 习题10—3 1. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:
大学高数第十章曲线积分与曲面积分课后参考答案及知识总结
第十章曲线积分与曲面积分§10.1 第一类曲线积分 内容概要
例题分析 ★★1. 计算 ds y x L ?+)(，其中L 为连接)0,0(O ，)0,1(A ，)1,0(B 的闭折线。 知识点：第一类曲线积分. 思路: L 由三段直线段组成，故要分段积分. 解： 如图L OA =AB +BO + 则 =+?ds y x L )(?+OA (?+AB ? +BO ds y x ))( 10,0:≤≤=x y OA Θ，dx dx y ds ='+=2)(1， 2 1 21)0()(1021 == +=+∴??x dx x ds y x OA 10,1:≤≤-=x x y AB Θ，dx dx y ds 2)(12='+=， 2221)(1 01 0==?=+∴??x dx ds y x AB 注：利用被积函数定义在AB 上，故总有1),(=+=y x y x f 10,0:≤≤=y x BO Θ，dy dy x ds ='+=2)(1 2 121)0()(1021 == +=+∴??y dy y ds y x BO 212 1 221)(+=++= +? ds y x L . 注：1) ?? +=+BA AB ds y x ds y x )()(，??+=+OB BO ds y x ds y x )()( 对弧长的曲线积分是没有方向性的，积分限均应从小到大. 2)对 AB 段的积分可化为对x 的定积分，也可化为对y 的定积分，但OA 段，OB 段则只能化为对 x （或对y ）的定积分. ★★2.计算?L yds ，其中L 为圆周4 )2(2 22 a a y x =-+. 知识点：第一类曲线积分. 思路: L 为圆周用极坐标表示较简单.
曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分 曲线积分和曲面积分是微积分中重要的概念和计算方法，它们在物理学、工程学和应用数学中具有广泛的应用。本文将对曲线积分和曲面积分进行简要介绍和解释，并给出一些计算的示例。 一、曲线积分 曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算的一种方法，它可以用来计算曲线的长度、质量、电流等物理量。曲线积分的计算可以分为以下两种情况： 1. 第一类曲线积分 第一类曲线积分是对标量函数沿曲线的积分，可以表示为： ∫f(x, y, z)ds 其中，f(x, y, z)是定义在曲线上的函数，ds表示曲线上的一小段弧长。计算第一类曲线积分时可以使用参数方程来表示曲线上的点，并对参数进行积分。 2. 第二类曲线积分 第二类曲线积分是对向量函数沿曲线的积分，可以表示为： ∫F(x, y, z)·dr 其中，F(x, y, z)是定义在曲线上的向量函数，dr表示曲线上的一个微小位移向量。计算第二类曲线积分时可以使用参数方程来表示曲线上的点，并将向量函数和位移向量进行点积运算。
二、曲面积分 曲面积分是对曲面上的函数进行积分运算的一种方法，它可以用来计算曲面的面积、质量、电荷等物理量。曲面积分的计算可以分为以下两种情况： 1. 第一类曲面积分 第一类曲面积分是对标量函数在曲面上的积分，可以表示为： ∬f(x, y, z)dS 其中，f(x, y, z)是定义在曲面上的函数，dS表示曲面上的一个微小面积元素。计算第一类曲面积分时可以使用参数方程来表示曲面上的点，并对参数进行积分。 2. 第二类曲面积分 第二类曲面积分是对向量函数在曲面上的积分，可以表示为： ∬F(x, y, z)·dS 其中，F(x, y, z)是定义在曲面上的向量函数，dS表示曲面上的一个微小面积元素。计算第二类曲面积分时可以使用参数方程来表示曲面上的点，并将向量函数和面积元素进行点积运算。 三、曲线积分与曲面积分的计算 在实际计算中，曲线积分和曲面积分的计算过程比较繁琐，需要使用参数方程和微分运算等方法。下面以一个简单的示例来说明计算的过程。
曲线积分与曲面积分重点总结+例题
第十章曲线积分与曲面积分 【教学目标与要求】 1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2.掌握计算两类曲线积分的方法. 3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数. 4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。 【教学重点】 1。两类曲线积分的计算方法； 2。格林公式及其应用； 3。第一类曲面积分的计算方法； 【教学难点】 1。两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系； 2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算; 3。应用格林公式计算对坐标的曲线积分； 6.两类曲线积分的计算方法； 7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分; 【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学(下)》，第五版.高等教育出版社。 [2］同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.［3］同济大学数学系。《高等数学习题全解指南(下)》，第六版.高等教育出版社 §11.1 对弧长的曲线积分 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 曲线形构件的质量: 设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x，y）处的线密度为μ(x，y)。求曲线形构件的质量. 把曲线分成n小段，∆s1，∆s2，⋅⋅⋅,∆s n(∆s i也表示弧长)； 任取(ξi,ηi)∈∆s i,得第i小段质量的近似值μ（ξi,ηi）∆s i; 整个物质曲线的质量近似为; 令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n｝→0,则整个物质曲线的质量为 .
这种和的极限在研究其它问题时也会遇到。 定义设函数f（x，y）定义在可求长度的曲线L上，并且有界。，将L任意分成n个弧段：∆s1,∆s2，⋅⋅⋅,∆s n,并用∆s i表示第i段的弧长;在每一弧段∆s i上任取一点(ξi，ηi）,作和；令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n}，如果当λ→0时,这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y)在曲线弧L上对弧长的 曲线积分或第一类曲线积分,记作,即 . 其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段。 曲线积分的存在性：当f（x,y)在光滑曲线弧L上连续时,对弧长的曲线积分是存在的。以后我们总假定f(x，y）在L上是连续的。 根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分的值，其中μ(x，y）为线密度. 对弧长的曲线积分的推广:. 如果L(或Γ）是分段光滑的,则规定函数在L(或Γ）上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和.例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2,则规定 。 闭曲线积分：如果L是闭曲线，那么函数f(x,y）在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作。 对弧长的曲线积分的性质： 性质1 设c1、c2为常数,则 ； 性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2,则 ; 性质3设在L上f(x,y)≤g(x,y),则 . 特别地,有 二、对弧长的曲线积分的计算法 根据对弧长的曲线积分的定义,如果曲线形构件L的线密度为f(x，y),则曲线形构件L的质量为。 另一方面,若曲线L的参数方程为 x=ϕ（t）,y=ψ（t) （α≤t≤β)，
曲线与曲面积分
曲线与曲面积分 曲线与曲面积分是微积分中重要的概念，广泛应用于物理学、工程学等领域。本文将介绍曲线与曲面积分的基本概念、计算方法以及应用案例。 一、曲线积分 曲线积分是对曲线上某个函数的积分运算。曲线可以是平面曲线，也可以是空间曲线。我们以平面曲线为例进行说明。 设曲线C是由参数方程(x(t), y(t))表示，其中t的取值范围是[a, b]。对于函数f(x, y)，曲线积分的定义如下： ∫f(x, y) ds = ∫f(x(t), y(t))√[x'(t)]²+[y'(t)]² dt 其中ds表示弧长元素。 计算曲线积分的方法主要有参数法和直接法。参数法是将曲线参数化，然后将曲线积分转化为参数的积分，最后求解参数积分。直接法是根据曲线的方程，利用弧微分公式，将曲线积分直接转化为函数的定积分。 曲线积分在物理学中有广泛应用，例如计算沿曲线C的力场的功、电场/磁场对电流/磁通的做功等。 二、曲面积分 曲面积分是对曲面上某个函数的积分运算。曲面可以是平面曲面，也可以是空间曲面。我们以平面曲面为例进行说明。
设曲面S是由参数方程(x(u, v), y(u, v), z(u, v))表示，其中(u, v)的取 值范围是[D]。对于函数f(x, y, z)，曲面积分的定义如下： ∬f(x, y, z) dS = ∬f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))∥ru×rv∥ dudv 其中∥ru×rv∥表示曲面元素的面积，并且ru和rv是曲面的切向量。 计算曲面积分的方法主要有参数法和直接法。参数法是将曲面参数化，然后将曲面积分转化为参数的积分，最后求解参数积分。直接法 是根据曲面的方程，利用曲面微分公式，将曲面积分直接转化为函数 的定积分。 曲面积分在物理学和工程学中有广泛应用，如计算电场/磁场通过曲面的电通量/磁通量、计算曲面上流体的流量等。 三、应用案例 1. 计算曲线积分 假设曲线C是圆周x²+y²=a²，并且函数f(x, y) = x²+y²。我们需要计 算函数f(x, y)沿曲线C的积分。 首先将圆周C参数化，可以得到x(t) = a*cos(t)，y(t) = a*sin(t)，其 中t的取值范围是[0, 2π]。 然后将曲线积分转化为参数的积分，得到： ∫f(x, y) ds = ∫(a*cos(t)² + a*sin(t)²)√[x'(t)]²+[y'(t)]² dt = ∫a² dt = a²t
高等数学第十章《曲线积分与曲面积分》2
第十章 曲线积分与曲面积分 一．曲线积分的计算 （1）基本计算 1.第一类：对弧长线积分的计算 (,)L f x y ds ⎰ 关键是用曲线L:(), (),x t y t ϕψ=⎧⎨ =⎩ ()t αβ≤≤做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围） (,)[(),(,()L f x y ds f t t β α ϕψαβ=<⎰ ⎰ 例 L 为圆周221,x y +=则2 2 x y L e ds +=⎰2e π 参数方程，曲线代入 解 cos :(02)sin x L y θ θπθ =⎧≤≤⎨ =⎩ ds d θθ== 22 x y L e ds += ⎰ 20 2ed e π θπ=⎰ 例 计算2 ⎰L x ds ，其中2222 :(0)0⎧++=>⎨ -=⎩x y z a L a x y . (8分) 解 由于 2222 222 2::00 ⎧⎧++=+=⇒⎨ ⎨ -=-=⎩ ⎩x y z a x z a L L x y x y 所以L 的参数方程可表示为 :(02)sin θθ πθ⎧=⎪⎪ ⎪ =≤≤⎨⎪ ⎪=⎪⎩ x L y t z a (3分) θθ==ds ad (2分) 故 2322 2 cos 22 π πθθ==⎰ ⎰ L a a x ds ad (3分) 【例10.22】求 ⎰ ,式中L 为圆周22(0)x y ax a +=> 解 L 的极坐标方程为
:,(),cos 22L ds ad r a θθππθθθθ =⎧-≤≤==⎨=⎩ 则 222 cos 2a ad a π πθθ-=⋅=⎰ ⎰ 第二类：对坐标的线积分的计算 关键是用曲线L:(), (), x t y t ϕψ=⎧⎨ =⎩(:)t αβ→做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围） ''(,)(,){[(),()]()[(),()]()}L P x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βα ϕψϕϕψψ+=+⎰ ⎰ 例 设L 为抛物线2y x =从点()0,0到()2,4一段弧，则()22L x y dx -=⎰5615 - 注意微元，及参数方程的形式 【例10.17】 求 2L y dx xdy x +⎰，其中L 是曲线ln y x =上从点(1,0)到点(,1)e 的一段弧. 解 由ln y x =得1,y dx dy x e x ==，故 原式= 1 1 2100 2()|y y ydy e dy y e e +=+=⎰ ⎰ ⑵ 基本技巧 ① 利用对称性简化计算； 对弧长的线积分，对称性同二重积分 例 计算3222(),L x y ds L x y R 其中：++=⎰ 解： 33()L L L x y ds xds y ds =+=0+⎰ ⎰⎰ 第一个L 关于y 对称，第二个L 关于x 对称 【例10.15】 求y L xe ds ⎰，其中L 是由cos (0)sin x a t a y a t =⎧>⎨=⎩ 所表示的曲线上相应于 23 3 t π π ≤≤ 的一段弧. 解 （法一）ds adt ==, 故 原式= 22sin sin 3 3 3 3 cos |0a t a t a t e adt ae πππ π⋅⋅==⎰. （法二）容易看出积分弧段关于y 轴对称，而被积函数是关于变量x 的奇函数，故 0y L xe ds =⎰
曲线积分与曲面积分(答案)
第十章 曲线积分与曲面积分 一、选择题 1、设L 为03 ,02 x x y =≤≤ ，则4L ds ⎰的值等于 （D ） A 、04x B 、06x C 、0 D 、6 2、设L 为直线cos sin x a t y a t =⎧⎨=⎩上取顺时针方向，则2L dy ⎰的值等于 （C ） A 、4 B 、06y C 、0 D 、6 3，设L 为上半圆周0y y =上从A （0，y 0）到B （3，y 0）的有向线段，则L ydx xdy -⎰的值等于 （C ） A 、0 B 、 2 ab π C 、ab π D 、ab 4、设P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则在D 内L Pdx Qdy +⎰ 路径无关的条件 ,(,)Q P x y D x y ∂∂=∈∂∂是（ B ） A 、充分条件 B 、充分必要条件 C 、必要条件 D 、既不充分也不必要条件 5、平面有界闭区域边界曲线的正向是指（ C ） A 、逆时针方向 B 、顺时钟方向 C 、人沿这个方向行走，区域总位于人的左侧 D 、人沿这个方向行走，区域总位于人的右侧 6．设L 为222x y R +=，则3(2)L x y ds +=⎰________。 A ．2； B ．2 3 ； C ．-2； D ．0。 7．设L 为222 2 1x y a b + =的逆时针方向，则()()L x y dx x y dy ++-=⎰________。 A ．-2 ab ； B ．2ab ； C ．ab ； D ．0。 8．设OM 是从(0,0)(1,1)O M 到的直线段，则与22 x y OM I ds += ⎰ 不相等的积分是______ _。 A ．1 202x dx ⎰； B ．1 20 2y e dy ⎰； C ．20 r dr ； D ．1 2e dr ⎰。
(整理)第十章曲线积分与曲面积分
(二) 线面积分的计算方法 1．曲线积分的计算 ⑴ 基本方法：曲线积分−−−→转化 定积分 第一类线积分：设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为 (), (),x t y t ϕψ=⎧⎨ =⎩ ，()t αβ≤≤,（要解决1、积分限，2、被积函数，3、弧微分） 其中(),()t t ϕψ在[,]αβ上具有一阶连续导数，且'2 '2 ()()0t t ϕψ+≠，则 (,)[(),(,()L f x y ds f t t β α ϕψαβ=<⎰ ⎰ 【例1】 求y L xe ds ⎰，其中L 是由cos (0)sin x a t a y a t =⎧>⎨=⎩所表示的曲线上相应于233t ππ≤≤ 的一段弧. 解 （法一）ds adt ==, 故 原式= 22sin sin 3 3 3 3 cos |0a t a t a t e adt ae πππ π⋅⋅==⎰. （法二）容易看出积分弧段关于y 轴对称，而被积函数是关于变量x 的奇函数，故 0y L xe ds =⎰ 【例2】 求()L x y ds +⎰，其中L 是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形(图10.1)边 界. 解 ()()()()L OA AB BO x y ds x y ds x y ds x y ds +=+++++⎰⎰ ⎰ ⎰110 1xdx ydy =++=⎰⎰ ⎰【例3 】求 ⎰ ,式中L 为圆周22(0)x y ax a +=> 解 L 的极坐标方程为 cos (),2 2 r a ds ad π π θθθθ=- ≤≤ == 则 222 cos 2a ad a π πθθ- =⋅=⎰ ⎰ 【例4】求 22()L x y ds +⎰ ，其中L 是曲线(cos sin ),x a t t t =+ (sin cos ),(02,0)y a t t t t a π=-≤≤≥
曲线积分与曲面积分知识点
曲线积分与曲面积分知识点 【篇一：曲线积分与曲面积分知识点】 曲线积分与曲面积分是考研数一考生要求掌握的内容，数二数三考 生不要求掌握，老师以高数教程为例，分章节归纳所要求掌握的内 容要点，希望对2016 考研人有所帮助。 9.1 第一类曲线积分 内容要点：(1)第一类曲线积分的概念和性质；(2)第一类曲线积分计算 测试点：计算第一类曲线积分(包含平面曲线和空间曲线) 9.2 第二类曲线积分 内容要点：(1)第二类曲线积分的概念和性质；(2)第二类曲线积分计算；(3)两类曲线积分之间的关系 测试点：计算第二类曲线积分 9.3 格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件 内容要点：(1)格林公式；(2)平面曲线积分与路径无关的条件；(3)全微分法则；(4)全微分方程 测试点：(1)格林公式；(2)计算曲线积分；(3)全微分方程的求解 9.4 第一类曲面积分 内容要点：(1)第一类曲面积分的概念和性质；(2)第一类曲面积分计算 测试点：计算第一类曲面积分 9.5 第二类曲面积分 内容要点：(1)第二类曲面积分的概念和性质；(2)第二类曲面积分计算；(3)两类曲面积分之间的关系测试点：(1)直接计算第二类曲面积 分(2)通过两类曲面积分之间的关系计算第二类曲面积分 9.6 高斯公式与散度 内容要点：(1)高斯公式；(2)散度 测试点：(1)高斯公式(熟练掌握)；(2)散度(记住公式即可) 9.7 斯托克斯公式与旋度 内容要点：(1)斯托克斯公式；(2)旋度 测试点：(1)斯托克斯公式(熟练掌握)；(2)旋度(记住公式即可) 9.8 综合例题 针对本章所学内容复习巩固，每个例题独立求解，然和和答案对比， 对自己所学情况进行简单的测评。
同济六版高数练习册答案第十章曲线积分与曲面积分
第十章曲线积分与曲面积分 § 1对弧长地曲线积分 计算公式：无论是对弧长还是对坐标地曲线积分重要地是写出曲线地参数方程 x =x t L ： y =y t x = x(t ) L: 故口 e^iy ds=e a (2+ — a) -2 匕 4 <3) L xds ,其中L 为抛物线y =2x 2 -1上介于x =0与x=1之间地一段弧; 「X =x 解：由 L: 2 0 第十章 曲线积分与曲面积分 一、 教学目标及基本要求： 1、 理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2、 会计算两类曲线积分 3、 掌握（Green ）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。 4、 了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass ）公式和斯托克斯（Stokes ）公式并 会计 算两类曲面积分。 5、 了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。 6会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、 重心、 转动惯量、功、流量等）。 二、 教学内容及学时分配： 第一节 对弧长的曲线积分 2学时 第二节 对坐标的曲线积分 2学时 第三节 格林公式及其应用 4学时 第四节 对面积的曲面积分 2学时 第五节 对坐标的曲面积分 2学时 第六节 咼斯公式通量与散度 2学时 第七节 斯托克斯公式环流量与旋度 2学时 、教学内容的重点及难点: 1、 二类曲线积分的概念及其计算方法 2、 二类曲面积分的概念及其计算方法 3、 格林公式、高斯公式及斯托克斯公式 4、 曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点 5、两类曲线积分的关系和区别 6两类曲面积分的关系和区别 1、引例：求曲线形构件的质量 第一节 习题10— 1 131 页： 3 （单数）、4、5 第二节 习题10-2 141 页： 3 （单数）、4、5、7 （单数） 第三节 习题10-3 153 页： 1、2、3、4 （单数）、 5 （单数） 第四节 习题10-4 158 页： 4、5、6 （单数）、 7、 8 第五节 习题10-5 167 页： 3 （单数）、4 第六节 习题10-6 174 页： 1 （单数）、2 （单数） 、3 （单数） 第七节 习题10-7 183 页： 1 （单数）、2、3、4 第一节 对弧长的曲线积分 、内容要点 6 （单数）、 7 由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分 化为定积分的计算方法。 7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用 五、思考题与习题 高等数学(二)复习指导-第10章曲线积分与曲面积分(总19页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-- --内页可以根据需求调整合适字体及大小-- 第十章曲线积分与曲面积分 一、基本要求及重点、难点 1.基本要求 (1) 了解第一类曲线积分（即对弧长的曲线积分）的概念及其物理与几何意 义，并掌握其计算方法。 (2) 了解第二类曲线积分（即对坐标的曲线积分）的概念及物理意义，并掌 握其计算方法，能熟练应用曲线积分计算力场沿曲线所做的功。 (3) 掌握格林公式的条件和结论，熟练掌握利用格林公式把第二类曲线积分 化为二重积分的计算方法，及掌握通过添加辅助曲面利用格林公式改 变积分路径的计算方法。 (4) 掌握在单连通区域上第二类曲线积分与路径无关的等价条件及其应用， 会求全微分的原函数。 (5) 了解第一类曲面积分（即对面积的曲线积分）的概念及其物理与几何意 义，并掌握其计算方法。 (6) 掌握高斯公式的条件与结论，并会利用高斯公式计算第二类曲面积分。 2. 重点及难点 （1）重点： (a)熟练选择适当的参数方程或坐标系将曲线积分化为定积分。 (b)熟练掌握用投影法将曲面积分化为二重积分。 (c) 格林公式（熟练使用格林公式计算曲线积分）。 (d) 曲线积分与路径无关的概念及条件。 (e) 高斯公式（熟练使用高斯公式计算曲面积分）。 （2）难点： (a) 两类曲线积分的关系。 (b) 格林公式的灵活使用（条件、结论；辅助曲线的添加）。 (c) 高斯公式的灵活使用（条件、结论；辅助曲面的添加）。 二、内容概述 1、曲线积分的基本概念与性质 (1) 对弧长的曲线积分（又称第一类曲线积分） 定义 设(,)f x y 在x O y 面内的光滑曲线L 上有界. 第一类曲线积分为 1 (,)lim (,)n i i i L i f x y ds f s λξη→==∆∑⎰ (见课本). Γ为空间曲线时，类似地有 1 (,,)lim (,,)n i i i i i f x y z ds f s λξηζΓ →==∆∑⎰ . 物理意义 设曲线L 的线密度为(,)x y ρ，则其质量为 (,)L M x y ds ρ=⎰ 性质1 运算性质 [] (,)(,) (,)(,)L L L f x y g x y ds f x y ds g x y ds ±=±⎰⎰ ⎰ (,)(,)L L kf x y ds k f x y ds =⎰ ⎰ 其中k 为常数． 性质2 对弧长的曲线积分与积分路径的走向无关，即 ⎰⎰- =L L ds y x f ds y x f ),(),(． 第十章 曲线积分与曲面积分 曲线积分 一 基本概念 定义1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：() ()0 1 (,)d lim (,)n k k k L AB T k f x y s f s λξη→==∆∑⎰ （2）空间曲线()L AB 的积分： () ()0 1 (,,)d lim (,,)n k k k k L AB T k f x y z s f s λξηζ →==∆∑⎰ 其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段曲线弧长的最大值，(,)k k ξη或 (,,)k k k ξηζ是第k 段弧上的任意一点。 物理意义：第一类曲线积分表示物质曲线L 的质量，其中被积函数(,)f x y 或(,,)f x y z 表示曲线的线密度。 定义2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分： () ()0 1 (,)d (,)d lim [(,)(,)]n k k k k k k L AB T k P x y x Q x y y f x f y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰ （2）空间曲线()L AB 的积分： () (,,)d (,,)d (,,)d L AB P x y z x Q x y z y R x y z z ++⎰ ()0 1 lim [(,,)(,,)(,,)]n k k k k k k k k k k k k T k f x f y f z λξηζ ξηζξηζ→==∆+∆+∆∑ 其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段的最大弧长，(,)k k ξη是第k 段弧上的任意一点。 物理意义：第二类曲线积分表示变力F 沿曲线L 所作的功，被积函数(,),(,)P x y Q x y 或 (,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 表示力F 在各坐标轴上的分量。 二 基本结论 定理1 （第一类曲线积分的性质） （1）无向性 () () (,)d (,)d L AB L BA f x y s f x y s =⎰ ⎰ ． （2）线性性质 (1) (,)d (,)d L L k f x y s k f x y s =⎰⎰ ； (2) [(,)(,)]d (,)d (,)d L L L f x y g x y s f x y s g x y s ±=±⎰⎰ ⎰． （3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则 1 2 (,)d (,)d (,)d L L L f x y s f x y s f x y s =+⎰ ⎰⎰． （4）弧长公式 d L s L =⎰(L 表示曲线L 的弧长)． （5）恒等变换 积函数可用积分曲线方程作变换． （6）奇偶性与对称性 如果积分弧段()L AB 关于y 轴对称， () (,)d L AB f x y s ⎰ 存在，则 第十章曲线积分与曲面积分 一、教材分析 本章是多元函数积分学的最后一章，是定积分的延伸与推广，与重积分一起构成多元函数积分学，是积分学的重要组成部分。曲线积分、曲面积分是在定积分基础上，将积分范围推广为一段曲线弧或一片曲面的积分，在物理上有着重要应用。 通过本章的学习，将使学生对积分学有一个较为整体的认识。首先是概念的统一性，曲线积分、曲面积分概念的形成与定积分、重积分概念的形成是统一的，都是从一个实际的问题引入，然后就是分割、近似、求和、取极限的方法，这也正是微积分的重要思想。其次是计算方法，曲线积分、曲面积分的计算中贯穿的一个重要思想就是通过代入曲线、曲面方程，将曲线积分、曲面积分的计算转化为定积分、重积分的计算。再次是定积分、重积分、曲线积分、曲面积分间通过格林公式、高斯公式、斯托克斯公式等，构成一个比较复杂的结构，反映出互相间的联系。 本章是学生学习的一个难点，曲线积分、曲面积分的类型比较复杂，同时计算比较繁。因此，要注意帮助学生分清类型、理清解题思路、寻求较为简洁的解题方法。 二、教学重点与难点 重点：曲线积分的计算，格林公式、平面上曲线积分与路径无关的条件 难点：曲面积分的计算、两类曲线积分、两类曲面积分的区别与联系，定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分之间的联系。 三、教学内容及课时划分 §10—1对弧长的曲线积分 2课时 §10—2对坐标的曲线积分 2课时 §10—3格林公式及其应用 2课时 §10—4对面积的曲面积分 2课时 §10—5对坐标的曲面积分 2课时 §10—6高斯公式通量与散度 2课时 §10—7斯托克斯公式环流量与旋度 2课时 习题课 2课时 总计 16课时 四、本章知识结构图 第十章 曲线积分与曲面积分 一、对弧长的曲线积分（又称第一类曲线积分） 1、定义 i n i i i L s f ds y x f ∆ηξλ∑⎰ =→=1 ),(lim ),(， i n i i i i s f ds z y x f ∆=∑⎰ =→Γ 1 ),,(lim ),,(ζηξλ 2、物理意义 线密度为),(y x ρ的曲线L 质量为ds y x M L ⎰ = ),(ρ 线密度为),,(z y x f 的曲线Γ质量为ds z y x f M ⎰ Γ = ),,( 3、几何意义 曲线L 的弧长= s ds L ⎰ ，曲线Γ的弧长ds s ⎰Γ = 4、若L ：k y x f =),(（常数），则ks ds k ds k ds y x f L L L ===⎰⎰⎰ ),( 5、计算（上限大于下限） （1）,(t) ,(t) :ψϕ==y x L ()βα≤≤t ，则[][][]dt t t t t f ds y x f L 2 2 )()()( ),( ),(ψϕψϕβ α '+'=⎰⎰ （2）L ：0 ()()y x x x X ψ=≤≤，则0(,)[,(X L x f x y ds f x x ψ=⎰ ⎰ （3）L ：0() ()x y y y Y ϕ=≤≤，则0 (,)[(),.Y L y f x y ds f y y ϕ=⎰⎰ （4）)().(),(),(:βαωψϕ≤≤===Γt t z t y t x ，则 (,,)[(),(),(()f x y z ds f t t t β α ϕψωαβΓ =<⎰ ⎰ 二、对坐标的曲线积分 1、定义 dy y x Q dx y x P L ),(),( +⎰ []∑=→+=n i i i i i i i y Q x P 1 ),(),(lim ∆ηξ∆ηξλ dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,( ++⎰Γ[]∑=→++=n i i i i i i i i i i i i i z R y Q x P 1 ),,(),,(),,(lim ∆ζηξ∆ζηξ∆ζ ηξλ 2、计算（下限对应起点，上限对应终点） （1）,(t) ,(t) :ψϕ==y x L ()βα→:t ，则 (,)(,){[(),()]()[(),()]()}L P x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt β α ϕψϕϕψψ''+=+⎰ ⎰ （2）L ：()y x ψ=()X x t →0:，则{[,()][,()]()}b L a Pdx Qdy P x x Q x x x dx ψψψ'+=+⎰⎰ （3）L ：()x y ϕ=()Y y t →0 :，则{[(),]()[(),]}d L c Pdx Qdy P y y y Q y y dy ϕϕϕ'+=+⎰⎰ （4）):().(),(),(:βαωψϕ→===Γt t z t y t x ，则 (,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ ++⎰ {[(),(),()]()[(),(),()]()[(),(),()]()}P t t t t Q t t t t R t t t t dt β α ϕψωϕϕψωψϕψωω'''=++⎰ 3、两类曲线积分之间的联系 (cos cos )L L Pdx Qdy P Q ds αβ+=+⎰⎰ 其中，(,),(,)x y x y αβ为有向曲线弧L 上点(,)x y 处的切线向量的方向角。 (cos cos cos )Pdx Qdy Rdz P Q R ds αβγΓ Γ ++=++⎰ ⎰， 其中(,,),(,,),(,,)x y z x y z x y z αβγ为有向曲线弧Γ上点(,,)x y z 处切向量的方向角。 三、格林公式及其应用曲线积分与曲面积分备课教案
高等数学复习指导-第10章曲线积分与曲面积分
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)
曲线与曲面积分
高数第十章曲线积分与曲面积分