推理与证明讲义
1．1 归纳推理
【学习要求】
1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．
2．了解归纳推理在数学发展中的作用．
【学法指导】
一，基础知识回顾：
归纳是推理常用的思维方法，其结论不一定正确，但具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养
1．归纳推理定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理．
2．归纳推理的思维过程大致是实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．
3．归纳推理具有如下的特点：(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般 的推理；(2)由归纳推理得到的结论不一定 正确；(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．
二，问题探究
探究点一：归纳推理的定义
例1：在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断——张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？
答：根据一个或几个已知的命题得出另一个新的命题的思维过程就叫作推理．
变式迁移1：观察下面两个推理，回答后面的两个问题：(1)哥德巴赫猜想：6＝3＋3 8＝3＋5 10＝5＋5 12＝5＋7 14＝7＋7 16＝5＋11…… 1 000＝29＋971 1 002＝139＋863……猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和．(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．回答 ①以上两个推理在思维方式上有什么共同特点？②其结论一定正确吗？
答：①共同特点：部分推出整体，个别推出一般．(这种推理称为归纳推理) ②其结论不一定正确．
小结 归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)． 探究点二：归纳推理在数列中的应用
例2：在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n
，n ∈N *，猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？请说明理由．
解：在{a n }中，a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25
，…，所以猜想{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.这个猜想是正确的，证明如下：因为a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，所以1a n ＋1
＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12
，所以数列??????1a n 是以1a 1＝1为首项，12为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋(n －1)×12＝12n ＋12，所以通项公式a n ＝2n ＋1
变式迁移2：已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)
(1)求a 2，a 3，a 4，a 5；
(2)归纳猜想通项公式a n .
解：(1)当n ＝1时，知a 1＝1，由a n ＋1＝2a n ＋1得a 2＝3，
a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31. (2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，
a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1，可归纳猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)．
探究点三：归纳推理在图形变化中的应用
例3：在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个
球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示
方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒
放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，
以f(n)表示第n 堆的乒乓球总数，则f(3)＝10_；
f(n)＝n n ＋1n ＋26
(答案用含n 的代数式表示)． 解析：观察图形可知：f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20，…，故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋
10；…；f(n)＝f(n －1)＋n n ＋12
.将以上(n －1)个式子相加可得f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋n n ＋12＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n)]＝12[16
n(n ＋1)(2n ＋1)＋n n ＋12]＝n n ＋1n ＋26
. 变式迁移:3：在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有
9条对角线，…由此猜想凸n(n≥4且n∈N *)边形有几条对角线？
解：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条，凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，于是猜想凸n 边形比凸(n －1)边形多(n －2)条对角线． 于是猜想凸n 边形比凸(n －1)边形多(n －2)条对角线．因此凸n 边形的对角线条数为2＋3
＋4＋5＋…＋(n －2)＝12
n(n －3)(n ≥4且n ∈N *) 探究点四：归纳推理在算式问题中的应用
例4：观察下列等式，并从中归纳出一般法则．
(1)1＝12， 1＋3＝22，1＋3＋5＝32， 1＋3＋5＋7＝42，1＋3＋5＋7＋9＝52，……
(2)1＝12， 2＋3＋4＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝52 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，5＋6＋7
＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92， ……
解：(1)对于(1)，等号左端是整数，且是从1开始的n 项的和，等号的右端是项数的平方； 对于(2)，等号的左端是连续自然数的和，且项数为2n －1，等号的右端是项数的平方．
∴(1)猜想结论：1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N *)．:(2)猜想结论：n ＋(n ＋1)＋…＋[n
＋(3n －2)]＝(2n －1)2(n ∈N *)．
变式迁移4：在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π
成立；在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π
成立．猜想在n 边形A 1A 2…A n 中成立的不等式为1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2n －2π
(n ≥3且n ∈N *).． 三，练一练
1．已知
2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…， 若6＋a b ＝6a b
(a 、b 均为实数)．请推测a ＝6，b ＝35 解析：本题考查归纳推理能力，由前面三个等式，发现被开方数的整数
与分数的关系：整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方
减1，由此推测
6＋a b
中，a ＝6，b ＝62－1＝35. 2．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第
n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为n 2
－n ＋62
解析：前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n 2
个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62
. 3．已知正项数列{a n }满足S n ＝12(a n ＋1a n
)，求出a 1，a 2，a 3，a 4，并推测a n . 解：a 1＝S 1＝12(a 1＋1a 1)，又因为a 1>0，所以a 1＝1. 当n ≥2时，S n ＝12(a n ＋1a n )，S n －1＝12
(a n －1＋1a n －1)，两式相减得：a n ＝12(a n ＋1a n )－12(a n －1＋1a n －1)，即a n －1a n ＝－(a n －1＋1a n －1)．所以a 2－1a 2＝－2，又因为a 2>0，所以a 2＝2－1. a 3－1a 3
＝－22，又因为a 3>0，所以a 3＝3－ 2. a 4－1a 4
＝－23，又因为a 4>0，所以a 4＝2－ 3.将上面4个式子写成统一的形式：a 1＝1－0，a 2＝2－1，a 3＝3－2，a 4＝4－3，由此可以归纳推测：a n ＝n －n －1. 四，课时小结
归纳推理的一般步骤
(1)对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，发现某些相同的性质；
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题，提出带有规律性的结论，即猜想．注意：一般性的命题往往要用字母表示，这时需注明字母的取值范围.
五，作业设计：
1． 数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于 (B)
A ．47
B ．65
C ．63
D ．128
2． 观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x)′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的
函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于
(D)
A ．f(x)
B ．－f(x)
C ．g(x)
D ．－g(x) 3． f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，f(32)>72
，推测当n ≥2时，有f(2n )>n ＋22
4． 已知sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32
. 通过观察上述两等式的规律，请你写出一个一般性的命题sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋
60°)＝3
2
5． 已知a 1＝3，a 2＝6且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33＝3
6． 设x ∈R ，且x ≠0，若x ＋x －
1＝3，猜想x2n ＋x －2n (n ∈N *)的个位数字是7
7． 如图，观察图形规律，在其右下的的空格处画上合适的图形，应为①
8． 如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一
个通项公式为a n ＝3n －
1(n ∈N *) 9． 如图所示，图(a)是棱长为1的小正方体，
图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而
成．按照这样的方法继续摆放，自上而下
分别叫第1层，第2层，…，第n 层．第n 层的小
正方体的个数记为S n .解答下列问题：
(1)按照要求填表：(2)S 10＝55 (3)S n ＝
n (n ＋1)2
10
画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角
形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被
5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第5 030项；(2)b 2k －1＝5k (5k －1)2
.(用k 表示) 11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n
＋2＝0(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．
解：当n ＝1时，S 1＝a 1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3
＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1
(n ∈N *
)．
12．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分．
(1)3条直线最多将平面分成多少部分？
(2)设n 条直线最多将平面分成f(n)部分，归纳出f(n ＋1)与f(n)的关系； (3)求出f(n)． 解：(1)3条直线最多将平面分成7个部分．(2)f(n ＋1)＝f(n)＋n ＋1.(3)f(n)＝[f(n)－f(n －1)]＋[f(n －1)－f(n －2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋2＝n 2＋n ＋22
. 13．在一容器内装有浓度为r%的溶液a 升，注入浓度为p%的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶
液14
a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为
b n ，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出计算公式．
解：b 1＝a 〃r 100＋a 4〃p 100a ＋a 4＝1100(45r ＋15p)；b 2＝ab 1＋a 4〃p 100a ＋a 4
＝1100[(45)2r ＋15p ＋452p]；b 3＝ab 2＋a 4〃p 100a ＋a 4
＝1100[(45)3r ＋15p ＋452p ＋453p]．归纳得b n ＝1100[(45)n r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n p] 1.2 类比推理
【学习要求】
1．通过具体实例理解类比推理的意义；
2．会用类比推理对具体问题作出判断．
【学法指导】
类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．归纳和类比是合情推理常用的思维方法，其结论不一定正确.
一，基础知识回顾：
1．类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征 ，我们把这种推理过程称为类比推理． 类比推理是两类事物特征之间的推理．
2．合情推理：合情推理是根据实验 和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实 和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．合情推理的结果不一定正确．
二，问题探究
探究点一：平面图形与立体图形间的类比
例1：如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边
形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44
＝k ，则h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2S k
，类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44
＝K ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4等于多少？ 解：对平面凸四边形：S ＝12a 1h 1＋12a 2h 2＋12a 3h 3＋12a 4h 4＝12(kh 1＋2kh 2＋3kh 3＋4kh 4) ＝k 2
(h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4)，所以h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2S k ；类比在三棱锥中，V ＝13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13
S 4H 4 ＝13(KH 1＋2KH 2＋3KH 3＋4KH 4) ＝K 3(H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4)．故H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3V K
. 变式迁移1：在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC
2
＝BC 2”．拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是____________．
解析：类比条件：两边AB 、AC 互相垂直侧面ABC 、ACD 、ADB
互相垂直．结论：AB 2＋AC 2＝BC 2 S 2△A B C ＋S 2△A C D ＋S 2△A D B ＝S 2△B C D .
答案：设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ADB ＝
S 2△BCD
探究点二：内似两事物之间的内比
例2：根据等式的性质猜想不等式的性质．
等式的性质： 猜想不等式的性质：
(1)a ＝b ?a ＋c ＝b ＋c; (1)a>b ?a ＋c>b ＋c ；
(2)a ＝b ?ac ＝bc; (2)a>b ?ac>bc ；
(3)a ＝b ?a 2＝b 2等等. (3)a>b ?a 2>b 2等等．
例3：在等差数列{a n }中，若a 10＝0，证明：等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n<19，n∈N *)成
立，并类比上述性质相应的在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式_______成立．
解析：在等差数列{a n }中，由a 10＝0，得a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20－n ＝a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0，即a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1，
又∵a 1＝－a 19，a 2＝－a 18，…，a 19－
n
＝－a n ＋1，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n .相应地，类比此性质在等比数列{b n }中，可得b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n ，(n<17，n ∈N *)．
变式迁移3：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类
比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4:，T 12T 8，T 16T 12
成等比数列． 三，练一练
1．下列说法正确的是 (B )
A ．由合情推理得出的结论一定是正确的
B ．合情推理必须有前提有结论
C ．合情推理不能猜想
D ．合情推理得出的结论不能判断正误
解析：根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．
2．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间
中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为1∶8
解析：∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8.
3．若数列{c n }是等差数列，则当d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n n
时，数列{d n }也是等差数列，类比上述性质，若数列{a n }是各项均为正数的等比数列，则当b n ＝n a 1a 2…a n
时，数列{b n }也是等比数列．
4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的中心．
四，课时小结
1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．
2．合情推理的过程概括为： 从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想 五，作业设计：
1． 下列推理正确的是 (D)
A ．把a(b ＋c)与log a (x ＋y)类比，则有log a (x ＋y)＝log a x ＋log a y
B ．把a(b ＋c)与sin (x ＋y)类比，则有sin (x ＋y)＝sin x ＋sin y
C ．把a(b ＋c)与a x ＋y 类比，则有a x ＋
y ＝a x ＋a y D ．把a(b ＋c)与a ·(b ＋c )类比，则有a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c
2． 下面几种推理是合情推理的是 (C) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°.
A ．①②
B ．①③
C ．①②④
D ．②④
3． 把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是
(B) A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交
B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直
C ．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行
D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行
4． 在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d>0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }
中，若b n >0，q>1，则下列有关b 4，b 5，b 7，b 8的不等关系正确的是(A)
A.b 4＋b 8>b 5＋b 7
B.b 5＋b 7>b 4＋b 8
C.b 4＋b 7>b 5＋b 8
D.b 4＋b 5>b 7＋b 8.
5． 已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2
，可推知扇形面积
公式S 扇＝12
lr 6． 类比平面直角坐标系中△ABC 的重点G(x ，y )的坐标公式???
x ＝x 1＋x 2＋x 33y ＝y 1＋y 2＋y 33(其中
A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)，猜想以A(x 1，y 1，z 1)、B(x 2，y 2，z 2)、C(x 3，y 3，z 3)、D(x 4，y 4，z 4)为顶点的四面体A —BCD 的重点G(x ，y ，z )的公式为????? x ＝x 1＋x 2＋x 3＋x 44y ＝y 1＋y 2＋y 3＋y 44z ＝z 1＋z 2＋z 3＋z 44
7． 公差为d(d ≠0)的等差数列{a n }中，S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等差数列，且公差为100d ，类比上述结论，相应地在公比为q(q ≠1)的等
比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30
也成等比数列，且公比为q 100
8． 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质中，①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．你认为比较恰当的是.①②③．(填序号)
9． 已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过定点(p,0)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1与抛物线交于P 、Q 两点，l 2与抛物线交于M 、N 两点，l 1的斜率为k ，某同学已正确求得
弦PQ 的中点坐标为(p k 2＋p ，p k
)，请你写出弦MN 的中点坐标：(pk 2＋p ，－pk) 10．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的
正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的
面积恒为a 24
.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为a 38
11．如图(1)，在平面内有面积关系S △PA ′B ′S △PAB
＝PA ′·PB ′PA·PB
写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论．
解:类比S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′〃PB ′PA 〃PB ，有V P —A ′B ′C ′V P —ABC ＝PA ′〃PB ′PA 〃PB 〃PC ′PC
证明：如图：设C ′，C 到平面PAB 的距离分别为h ′，h.则h ′h
＝PC ′PC ，故V P —A ′B ′C ′V P —ABC
＝13〃S △PA ′B ′〃h ′13
S PAB 〃h ＝PA ′〃PB ′〃h ′PA 〃PB 〃h ＝PA ′〃PB ′〃PC ′PA 〃PB 〃PC
. 12. 如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b·cos C ＋c·cos B ，其
中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性
质的猜想．
解:如图所示，在四面体P －ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S ＝S 1〃cos α＋
S 2〃cos β＋S 3〃cos γ.
13．已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有1AD 2＝1AB 2＋1AC 2成立．那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确及并给出理由．
解:类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两
垂直，AE ⊥平面BCD.则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.猜想正确．如图所示，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF.∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD.而AF ?
平面ACD ，∴AB ⊥AF.在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2.在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2.∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1
AD 2，故猜想正确． 1.3综合法与分析法(一)
【学习要求】
1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.
2. 理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．
【学法指导】
综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，要结合实例了解两种证法的思考过程、特点.
一，基础知识回顾：
1．综合法和分析法
是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维
方式．
2．一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过演绎推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法
3．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的
结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．
二，问题探究
探究点一：综合法
例1：在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．
证明：由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C ①，由A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，所以A ＋B ＋C ＝π②，由①②，得B ＝
π3③，由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac ④，由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝a 2＋c 2－ac ，再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c)2＝0， 从而a ＝c ，所以A ＝C ⑤。由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3
，所以△ABC 为等边三角形。 变式迁移1：在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C
，证明：B ＝C. 证明:在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin B sin C ＝cos B cos C
.于是sin Bcos C －cos Bsin C ＝0，即sin(B －C)＝0，因为－π
探究点二：分析法证题
例2：求证：3＋7<2 5.
证明：因为3＋7和25都是正数，所以要证3＋7<25，只需证(3＋7)2<(25)2，
展开得10＋221<20，只需证21<5，只需证21<25，因为21<25成立，所以3＋7<25成立． 变式迁移2：求证：a －a －1 证明：（方法一）要证a －a －1 只需证a 2－3a (a ≥3)．（方法二）∵a ＋a －1>a －2＋a －3，∴1a ＋a －1<1a －2＋a －3 ，∴a －a －1 探究点三：综合法和分析法的综合应用 例3：已知α，β≠k π＋π2 (k ∈Z)，且sin θ＋cos θ＝2sin α sin θ·cos θ＝sin 2β. 求证：1－tan 2α1＋tan α＝1－tan 2β21＋tan β . 证明：因为(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1，所以将①②代入，可得4sin 2α－2sin 2β＝1③另一方面，要证1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2 1＋tan 2β ，即证1－sin 2αcos 2α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2 βcos 2β2 1＋sin 2βcos 2β ， 即证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)，即证1－2sin 2α＝12 (1－2sin 2β)，即证4sin 2α－2sin 2β＝1.由于上式与③相同，于是问题得证． 变式迁移3：若tan(α＋β)＝2tan α，求证：3sin β＝sin(2α＋β)． 证明：由tan(α＋β)＝2tan α得sin α＋β cos α＋β ＝2sin αcos α ，即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α①，要证3sin β＝sin(2α＋β)，即证3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即证3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，化简得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.这就是①式．所以，命题成立. 三，练一练 1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有 (C) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 解析：①②③⑤正确． 2．欲证2－3<6－7成立，只需证 (C) A ．(2－3)2<(6－7)2 B ．(2－6)2<(3－7)2 C ．(2＋7)2<(3＋6)2 D ．(2－3－6)2<(－7)2 解析：根据不等式性质，a>b>0时，才有a 2>b 2，∴只需证：2＋7<6＋3，只需证：(2 ＋7)2<(3＋6)2. 3．求证：1log 519＋2log 319＋3log 219 <2. 证明：因为1log b a ＝log a b ，所以左边＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360. 因为log 19360 <2. 4．已知1－tan α2＋tan α ＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)． 证明：要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，只需证cos α－sin αcos α＋sin α ＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12，∵1－tan α2＋tan α ＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1. ∴tan α＝－12 显然成立，∴结论得证． 四，课时小结 1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用． 五，作业设计 1． 已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是 (C) A ．若a>b ，则ac 2>bc 2 B ．若a c >b c ，则a>b C ．若a 3>b 3且ab<0，则1a >1b D ．若a 2>b 2且ab>0，则1a <1b 2． A 、B 为△ABC 的内角，A>B 是sin A>sin B 的 (C) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 3． 已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ?β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ； ②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β.其中正确命题的个数(B) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4． 设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有 (B) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22 B ．ab<1 C ．ab ≤－2成立的一个充分不必要条件是 (C) A ．ab>0 B ．ab<0 C ．a>0，b<0 D ．a>0，b>0 6． 设0 中最大的一个是 (C) A ．a B ．b C ．c D ．不能确定 7． 已知a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝0，abc>0，则1a ＋1b ＋1c 的值 (B) A ．一定是正数 B ．一定是负数 C ．可能是0 D ．正、负不能确定 8． 设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为a>c>b 9． 已知p ＝a ＋1a －2 (a>2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a>2)，则p 、q 的大小关系为p>q 10．如果a a ＋b b>a b ＋b a ，求实数a ，b 的取值范围． 解：a a ＋b b>a b ＋b a ?a a －a b>b a －b b ?a(a －b)>b(a －b)?(a －b)(a －b)>0?(a ＋b)(a －b)2>0，只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可．即a ≥0，b ≥0， 且a ≠b. 11．设a ≥b>0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2 证明：（方法一）3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b)＋2b 2(b －a)＝(3a 2－2b 2)(a －b)．因为 a ≥b>0，所以a － b ≥0,3a 2－2b 2>0，从而(3a 2－2b 2)(a －b)≥0，所以3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2. （方法二）要证3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2，只需证3a 2(a －b)－2b 2(a －b)≥0，只需证(3a 2－2b 2)(a －b)≥0，∵a ≥b>0.∴a －b ≥0,3a 2－2b 2>2a 2－2b 2≥0，∴上式成立． 12．已知a>0，1b －1a >1，求证：1＋a>11－b . 证明：由1b －1a >1及a>0可知0 ，只需证1＋a 〃1－b>1，只需证1＋a －b －ab>1，只需证a －b －ab>0即a －b ab >1，即1b －1a >1，这是已知条件，所以原不等式得证． 13．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0 求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2 >abc.由公式a ＋b 2≥ab>0，b ＋c 2≥bc>0，a ＋c 2 ≥ac>0.又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2〃b ＋c 2〃a ＋c 2>a 2b 2c 2＝abc.即a ＋b 2〃b ＋c 2〃a ＋c 2>abc 成立．∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2 ＋log x a ＋c 2 【学习要求】 加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题． 【学法指导】 通过本节课的学习，比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高思维能力. 一，问题探究 题型一 选择恰当的方法证明不等式 例1 (1)设a ，b ，c 为任意三角形的三边长，I ＝a ＋b ＋c ，S ＝ab ＋bc ＋ca ，试证：3S≤I 2<4S. (2)已知：a ，b ，c 都是正实数，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证：a ＋b ＋c≥ 3. 证明：(1)I 2＝(a ＋b ＋c)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝a 2＋b 2＋c 2＋2S. 欲证3S ≤I 2<4S ， 即证ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2<2ab ＋2bc ＋2ca. 先证明ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2，只需证2a 2＋2b 2＋2c 2≥2ab ＋2bc ＋2ca ，即(a －b)2＋(a －c)2＋(b －c)2≥0，显然成立；再证明a 2＋b 2＋c 2<2ab ＋2bc ＋2ca ，只需证a 2－ab －ac ＋b 2－ab －bc ＋c 2－bc －ca<0，即a(a －b －c)＋b(b －c －a)＋c(c －b －a)<0，只需证a 为a ＋b ＋c>0，所以只需证明(a ＋b ＋c)2≥3，即a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca)≥3. 又ab ＋bc ＋ca ＝1，所以只需证明a 2＋b 2＋c 2≥1，即a 2＋b 2＋c 2－1≥0. 因为ab ＋bc ＋ca ＝1， 所以只需证明a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca)≥0，只需证明2a 2＋2b 2＋2c 2－2(ab ＋bc ＋ca)≥0， 即(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2≥0. 由于任意实数的平方都非负，故上式成立．所以a ＋b ＋c ≥ 3. 跟踪训练1：已知a 、b 、c 为互不相等的正数且abc ＝1，求证：a ＋b ＋c<1a ＋1b ＋1c . 证明：要证原不等式成立，即证a ＋b ＋c ＋2ac ＋2ab. 因为a 、b 、c 为互不相等的正数且abc ＝1，所以bc ＋ac>2abc 2＝2c ；ac ＋ab>2a 2bc ＝2a ；ab ＋bc>2ab 2c ＝2b ；相加得2a ＋2b ＋2c<2bc ＋2ac ＋2ab. 所以，原不等式成立． 题型二 选择恰当的方法证明等式 例2 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，对应的三边为a ，b ，c ，求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c . 证明：要证原式，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即证c a ＋b ＋a b ＋c ＝1，即只需证bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝1，而由题意知A ＋C ＝2B ，∴B ＝π3，∴b 2＝a 2＋c 2－ac ，∴bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2－ac ＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2 ＋ab ab ＋a 2＋c 2＋bc ＝1，∴原等式成立，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c . 跟踪训练2 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项， 试证：a x ＋c y ＝2. 证明：由已知条件得b 2＝ac ①2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c.②要证a x ＋c y ＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ，只要证2ay ＋2cx ＝4xy. 由①②得2ay ＋2cx ＝a(b ＋c)＋c(a ＋b)＝ab ＋2ac ＋bc ，4xy ＝(a ＋b)(b ＋c) ＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ，所以2ay ＋2cx ＝4xy.命题得证． 题型三 选择恰当的方法证明空间图形的位置关系 例3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA⊥底 面ABCD ，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝ 60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点． (1)证明：CD⊥AE； (2)证明：PD⊥平面ABE. 证明：(1)在四棱锥P －ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ?底面ABCD ， ∴PA ⊥CD. ∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC ，而AE ?平面PAC ， ∴CD ⊥AE. (2)由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA ，∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC. 由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，所以AE ⊥平面PCD. 而 PD ?平面PCD ，∴AE ⊥PD. ∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB ，又AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面PAD ，∴AB ⊥PD ，又AB ∩AE ＝A ， 综上得PD ⊥平面ABE. 跟踪训练3 如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF∥AC， AB ＝2，CE ＝EF ＝1. (1)求证：AF∥平面BDE ； (2)求证：CF⊥平面BDE. 证明：(1)如图，设AC 与BD 交于点G. 因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12 AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形．所以AF ∥EG. 因为EG ?平面BDE ，AF ?平面BDE ，所以AF ∥平面BDE. (2)连接FG. 因为EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1，且CE ＝1，所以四边形 CEFG 为菱形．所以CF ⊥EG. 因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC. 又因 为平面ACEF ⊥平面ABCD ，且平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ，所以BD ⊥平面ACEF. 所以CF ⊥BD. 又BD ∩EG ＝G ，所以CF ⊥平面BDE 二，练一练 1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的(A) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．等价条件 2．用P 表示已知，Q 表示要证的结论，则综合法的推理形式为(A) A ．P ?Q 1→Q 1?Q 2→Q 2?Q 3→…→Q n ?Q B ．P ?Q 1→Q 1?Q 2→Q 2?Q 3→…→Q n ?Q C ．Q ?Q 1→Q 1?Q 2→Q 2?Q 3→…→Q n ?P D ．Q ?Q 1→Q 1?Q 2→Q 2?Q 3→…→Q n ?P 3．已知p ：ab>0；q ：b a ＋a b ≥2，则 (C) A ．p 是q 的充分而不必要条件 B ．p 是q 的必要而不充分条件 C ．p 是q 的充要条件 D ．p 是q 的既不充分也不必要条件 4．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明 (D) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C ． a ＋b 22 －1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0 三，课时小结 1．综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知． 2．分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知． 3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来. 四，作业设计 1． 已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则 (C) A ．a ≤12 B ．ab ≥12 C ．a 2＋b 2≥2 D ．a 2＋b 2≤3 2． 已知a 、b 、c 、d ∈{正实数}，且a b ，则 (A) A.a b