微分方程模型
数学建模学习辅导
第三章 微分方程模型
本章重点：
车间空气清洁问题、减肥问题、单种群增长问题与多物种相互作用问题等数学模型的建立过程与所使用的方法
复习要求： 1．进一步理解建模基本方法与基本建模过程，掌握平衡原理与微元法在建模中的用法．
所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.就象中学的数学应用题中等量关系的发现是建立方程的关键一样.
微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时，经常考虑它在时间或空间的微小单元变化情况，这是因为在这些微元上的平衡关系比较简单，而且容易使用微分学的手段进行处理．这类模型基本上是以微分方程的形式给出的．
例1 设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量的规定为不超过80%(mg/ml). 现有一起交通事故,在事故发生3个小时后,测得司机血液中酒精含量是56%(mg/ml), 又过两个小时后, 测得其酒精含量降为40%(mg/ml),试判断: 事故发生时,司机是否违反了酒精含量的规定? 解：模型建立
设)(t x 为时刻t 的血液中酒精的浓度, 则依平衡原理时间间隔],[t t t ?+内, 酒精浓度的改变量
t t x x ??∝?)(, 即
t t kx t x t t x ?-=-?+)()()(
其中k >0为比例常数, 式前负号表示浓度随时间的推移是递减的, 遍除以t ?, 并令0→?t , 则得到
,d d kx t
x -=
且满足40)5(,56)3(==x x 以及0)0(x x =.
模型求解
容易求得通解为kt
c t x -=e
)(, 代入0)0(x x =,得到
kt x t x -=e )(0
则)0(0x x =为所求. 又由,40)5(,56)3(==x x 代入0)0(x x =可得
17.04056e 40e
56e 25030=?=????==--k x x k
k k 将17.0=k 代入得 25.93e 5656e
17.03017
.030≈?=?=??-x x >80
故事故发生时,司机血液中的酒精浓度已超出规定.
2．理解种群的相互关系模型的建立原理与结论．
? 马尔萨斯模型 模型假设
（1）初始种群规模已知（设为N 0），种群数量非常大，世代互相重叠，因此种群的数量可以看作是连续变化的；
（2）种群在空间分布均匀，没有迁入和迁出（或迁入和迁出平衡）；
（3）种群的出生率和死亡率为常数，即不区分种群个体的大小、年龄、性别等. （4）环境资源是无限的. 确定变量和参数 :t 自变量，t t N :)(时刻的种群密度， :b 出生率，:d 死亡率.
模型的建立与求解
由上述假设，单种群增长模型与马尔萨斯人口模型极为类似，于是使用完全相同的建模过程易得
)(:)()(d )(d t rN t N d b t
t N =-= （3.1）
满足初始条件0)0(N N =的解为
.e e )(0)(0rt t d b N N t N ==-
于是有
,)(lim ,,0+∞=>>+∞
→t N d b r t 则有即
,)(lim ,,00N t N d b r t ===+∞
→则有即
,0)(lim ,,0=<<+∞
→t N d b r t 则有即
在种群生长的初期，种群规模较小，有足够的生存空间、足够的食物，彼此间没有利益冲突.但随着种群规模的逐渐扩大，对有限的空间、食物和其他生存必须条件的种内竞争越来越激烈，这必然影响种群的出生率和死亡率，从而降低实际增长率，因而在上述模型中假设出生率、死亡率为常数，资源无限不尽合理.
? 罗捷斯蒂克模型
完全类似于人口模型的分析知道，种群的增长模型为
??
?
??=-=,
)0(),1(0N N K N rN dt
dN
（3.2） 其中r 是种群的固有（N =0时）增长率，K 是环境的最大容纳量.
方程（3.2）既是变量可分离方程，又是贝努利型方程.容易求得其解为
00
)()(N e
N K KN t N rt
+-=
- （3.3）
3．会建立较为简单的相关实际问题的数学模型．
例2 在凌晨1时警察发现一具尸体, 测得尸体温度是29?C, 当时环境温度是21?C . 一小时后尸体温度下降到27?C , 若人的正常体温是37?C , 估计死者的死亡时间.
解 运用牛顿冷却定律T ')(T T out -=-α, 得到它的通解为 )(0out out T T T T -+=t
α-e , 这里
0T 是当0=t 时尸体的温度, 也就是所求的死亡时间时尸体的温度, 将题目提供的参数代入:
???=-+=-++--27e
)2137(2129
e )2137(21)
1(t t αα 解得: 16
8
e
=-t
α 和 16
6
e
)
1(=+-t α 则3
4e
=α
求得:
)(409.2)
12(,2877.0h Ln t ≈-
=≈α
α 这时求得的t 是死者从死亡起到尸体被发现所经历的时间, 因此反推回去可推测死者的死亡时
间大约是前一天的夜晚10:35.
例3 设某种动物头数的变化服从Logistic 规律．在正常情况下净相对增长率为a 1，环境容许的极限头数为N 1．假设当头数增加到Q （Q < N 1）时瘟疫流行，使净相对增长率为a 2，极限头数降为N 2（N 2< Q ），于是头数下降．当降至q （q >N 2）时，瘟疫停止，恢复正常．试建立这种情况下动物头数的模型，并讨论在瘟疫影响下动物头数的周期性变化，周期与哪些因素有关．
解 由题中条件知，动物头数x (t )应满足：
???
????-=-=瘟疫流行时
正常时
)1(~d ~
d )1(d d 22
1
1N x x a t x N x x a t x
解得
?
???
?
???
?-+=-+=----瘟疫流行时
正常时
)
(2
2
)
(111201e )1(1)(~e )1(1)(t t a t t a Q N N t x q N N t x
其中10,t t 分别为开始转入正常的时刻和开始转入瘟疫流行的时刻，由
Q q
N N t x t t a =-+=
--)
(1101e )1(
1)(
解得 )
()(ln
1111
0Q N q q N Q a t t --=
-
由 q Q
N N t x t t a =-+=
--)
(22
12e )1(
1)(~
解得 )
()(ln
1222
1N q Q N Q q a t t --=-
即动物头数周期性变化，其周期为
)
()(ln
1)
()(ln
1222
111
N q Q N Q q a Q N q q N Q a T --+
--=
典型例题 一、填空题：
1．设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若人口增长率是常数r ，那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为 ，其解为 .
解 应该填写：??
???==0)0(d d x
x rx t x
，.e )(0rt
x t x =
2．设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若允许的最大人口数为m x ，人口增长率由sx r x r -=)(表示，则人口增长问题的罗捷斯蒂克模型为 ，其解为 .
解 应该填写： ?????=-=0)0()1(d d x x x x rx t x m ，.e )1(1)(0
rt
m m x x x t x --+=
二、分析判断题
1．对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型．
（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与采用新技术的人数成正比，推广是无限的．
（2）总人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术人数的减少而降低． （3）在（2）的前提下考虑广告等媒介的传播作用． 解：设t 时刻采用新技术的人数为x (t )． （1）指数模型
x t
x λ=d d ． （2）Logistic 模型
)(d d x N ax t
x -=，N 为总人数．
（3）广告等媒介在早期作用较大，它对传播速度的影响与尚未采用新技术的人数成正比，在模型（2）的基础上，有
))((d d x N b ax t
x -+=
（2）和（3）区别见图1．
图1
2．某种疾病每年新发生1000例，患者中有一半当年可治愈.若2000年底时有1200个病人，到2005年将会出现什么结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向2000人，但不会达到2000人，试判断这个说法的正确性.
解： 根据题意可知：下一年病人数=当年患者数的一半+新患者.于是令n X 为从2000年起计算的n 年后患者的人数，可得到递推关系模型：
10005.01+=+n n X X 得递推公式
).2
11(20002
10n
n
n X X -
+=
由,12000=X 可以算出2005年时的患者数19755=X 人.
由递推公式容易看出，,2000→n n X X ，且是单调递增的正值数列故结论正确.
三、计算题
1．建立铅球掷远模型．不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h ，出手角度为α（与地面夹角），建立投掷距离与v ，h ，α的关系式，并求v ，h 一定的条件下求最佳出手角度． 解：在图2坐标下铅球运动方程为
0=x
，g y -= ，0)0(=x ，h y =)0(， αcos )0(v x
= ，αsin )0(v y = ． 解出)(t x ，)(t y 后，可以得铅球掷远为
ααααcos )2sin (
cos sin 21
22
22
v g
h g
v g
v
R +
+=
图2
这个关系还可表为 )tan (cos 22
2
2
ααR h v g R +=．
由此计算
0d d =*
α
α
R ，得最佳出手角度和最佳成绩分别为：
)
(2sin 21
gh v v +=-*α， gh v g
v R 22+=
*
．
设h =1.5m ，v =10m/s ，则
4.41=*
α，m 4.11=*
R ．
2．与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：x
N rx t x
ln )(= ，其中
r 和N 的意义与Logistic 模型相同．
设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h =Ex ．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量h m 及获得最大产量的捕捞强度 E m 和渔场鱼量水平x *0． 解： 模型为 Ex x
N rx x F x
-==ln )( ，
如图3所示，有2个平衡点：x = 0和x 0 =r
E N -e
．可证
x = 0不稳定，x 0稳定（与E ，r 的大小无关）．最大持续
产量为h m = rN/e ，获得h m 的E m = r ，x *0 =e /N ． 图3
3．在一种溶液中，化学物质A 分解而形成B ，其速度与未转换的A 的浓度成比例．转换A 的一半用了20分钟，把B 的浓度y 表示为时间的函数，并作出图象． 解：记B 的浓度为时间t 的函数y (t )，A 的浓度为x (t )． 一、假设
1．1molA 分解后产生n molB ． 2．容体的体积在反应过程中不变． 二、建立模型，求解
有假设知，A 的消耗速度与A 的浓度成比例，故有下列方程成立
kx t
x -=d d
其中k 为比例系数．
设反应开始时t = 0，A 的浓度为x 0，由题中条件知当t = 20（分）时，A 的浓度为02
1)20(x x =．
解初值问题
??
??
?==-
0)0(d d x
x kx t x
得 kt
x t x -=e )(0
它应满足
02002
1e )20(x x x k =
=?-
解得 2ln 20
1=
k
rN/
所以得 )2ln 20
0e )(（t
x t x -=
由于B 的浓度为x 浓度减少量的n 倍，故有
)e
1(]e
[)(2
ln 20
02
ln 2000t t nx x x n t y ---=-=
三、作图（如图4） 图4
nx
微分方程建模案例
第五章微分方程建模案例 微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学涵。微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，涉及到生活中的诸多行业，其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。本章主要介绍几个简单的用微分方程建立的模型，让读者一窥方程的应用。下面简要介绍利用方程知识建立数学模型的几种方法： 1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型 这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模 型。 例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的。 2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型
我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。例如从几何观点看，曲线 y y(x)上某点的切线斜率即函数y y(x)在该点的导数；力学中的牛顿第二运 动定律：F ma ，其中加速度a 就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间 的一阶导数等等。从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。 例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。对于高空下落的物体， 我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型， 设物体质量为m ，空气阻 力 系数为k ，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时 刻t 时物体的下落速度为v ，初始条件：v (o ) 0.由牛顿第二运动定律建立其微 分方程模型: 求解模型可得: 体在地面上的投影面积。根据极限速度求解式子，在m,, 一定时，要求落地速 度w 不是很大时，我们可以确定出s 来，从而设计出保证跳伞者安全的降落伞的 直径大小来 3?利用导数的定义建立微分方程模型 dv m 一 dt mg kv 2 ? k(exp[2t 由上式可知，当t 其中，阻力系数k 1) 时，物体具有极限速度: lim v t mg :k ， s ， 为与物体形状有关的常数, 为介质密度，s 为物 、mg(exp[2t 1)
3.1 微分方程模型的建模步骤
第3章微分方程模型 3.1 微分方程模型的建模步骤 在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科中的许多系统，有时很难找到该系统有关变量之间的直接关系——函数表达式，但却容易找到这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式，这时往往采用微分关系式来描述该系统——即建立微分方程模型。我们以一个例子来说明建立微分方程模型的基本步骤。 例1 某人的食量是10467（焦/天），其中5038（焦/天）用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/公斤?天）乘以他的体重（公斤）。假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪含热量41868（焦）。试研究此人的体重随时间变化的规律。 模型分析 在问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键词，但要寻找的是体重（记为W ）关于时间t 的 函数。如果我们把体重W 看作是时间t 的连续可微函数，我们就能找到一个含有的dt dW 微分方程。 模型假设 1.以)(t W 表示t 时刻某人的体重，并设一天开始时人的体重为0W 。 2．体重的变化是一个渐变的过程。因此可认为 )(t W 是关于t 连续而且充分光滑的。 3．体重的变化等于输入与输出之差，其中输入是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收；输出就是进行健身训练时的消耗。 模型建立 问题中所涉及的时间仅仅是“每天”，由此，对于“每天” 体重的变化=输入-输出。 由于考虑的是体重随时间的变化情况，因此，可得 体重的变化/天=输入/天—输出/天。 代入具体的数值，得 输入/天 = 10467（焦/天）—5038（焦/天）=5429（焦/天）， 输出/天 = 69（焦/公斤?天）×W （公斤）= 69W （焦/天）。 体重的变化/天=t W ??（公斤/天）dt dW t =→?0 考虑单位的匹配，利用 “公斤/天=公斤焦天 焦/41868 /”, 可建立如下微分方程模型
数学建模实验答案微分方程模型
实验07 微分方程模型（2学时） （第5章 微分方程模型） 1.（验证）传染病模型2（SI 模型）p136~138 传染病模型2（SI 模型）： 0(1),(0)di k i i i i dt =-= 其中， i (t )是第t 天病人在总人数中所占的比例。 k 是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。 i 0是初始时刻（t =0）病人的比例。 1.1 画~di i dt 曲线图p136~138 取k =0.1，画出i dt di ~的曲线图，求i 为何值时dt di 达到最大值，并在曲线图上标注。 参考程序：
提示：fplot, fminbnd, plot, text, title, xlabel 1）画曲线图 用fplot函数，调用格式如下： fplot(fun,lims) fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。 若lims取[xmin xmax]，则x轴被限制在此区间上。 若lims取[xmin xmax ymin ymax]，则y轴也被限制。 本题可用 fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]); 2）求最大值 用求解边界约束条件下的非线性最小化函数fminbnd，调用格式如下：x=fminbnd('fun',x1,x2) fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。 返回自变量x在区间x1 微分方程模型建模实例 1．一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k > 0。设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？ 2．从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了1/4 （1）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变） （2）如运输时间需要2.5小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？ 3．一展开角为α的圆锥形漏斗内盛着高度为H的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中的水流光需要多少时间？ 4．容器甲的温度为60度，将其内的温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为70度，又过十分钟后温度计读数为76度，试求容器乙内的温度。 5．一块加过热的金属块初始时比室温高70度，20分钟测得它比室温高60度，问：（1）2小时后金属块比室温高多少？（2）多少时间后，金属块比室温高10度？ 6．设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？ 7．某伞降兵跳伞时的总质量为100公斤（含武器装备），降落伞张开前的空气阻力为0.5v,该伞降兵的初始下落速度为0，经8秒钟后降落伞打开，降落 伞打开后的空气阻力约为0.6 试球给伞降兵下落的速度v(t),并求其下落的极限速度。 8． 1988年8月5日英国人Mike McCarthy创建了一项最低开伞的跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地179英尺时才打开降落伞，试求他落地时的速度。 9．证明对数螺线r=A 上任一处的切线与极径的夹角的正切为一常 数，（） 数学建模学习辅导 第三章 微分方程模型 本章重点： 车间空气清洁问题、减肥问题、单种群增长问题与多物种相互作用问题等数学模型的建立过程与所使用的方法 复习要求： 1．进一步理解建模基本方法与基本建模过程，掌握平衡原理与微元法在建模中的用法． 所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.就象中学的数学应用题中等量关系的发现是建立方程的关键一样. 微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时，经常考虑它在时间或空间的微小单元变化情况，这是因为在这些微元上的平衡关系比较简单，而且容易使用微分学的手段进行处理．这类模型基本上是以微分方程的形式给出的． 例1 设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量的规定为不超过80%(mg/ml). 现有一起交通事故,在事故发生3个小时后,测得司机血液中酒精含量是56%(mg/ml), 又过两个小时后, 测得其酒精含量降为40%(mg/ml),试判断: 事故发生时,司机是否违反了酒精含量的规定? 解：模型建立 设)(t x 为时刻t 的血液中酒精的浓度, 则依平衡原理时间间隔],[t t t ?+内, 酒精浓度的改变量 t t x x ??∝?)(, 即 t t kx t x t t x ?-=-?+)()()( 其中k >0为比例常数, 式前负号表示浓度随时间的推移是递减的, 遍除以t ?, 并令0→?t , 则得到 ,d d kx t x -= 且满足40)5(,56)3(==x x 以及0)0(x x =. 模型求解 容易求得通解为kt c t x -=e )(, 代入0)0(x x =,得到 kt x t x -=e )(0 则)0(0x x =为所求. 又由,40)5(,56)3(==x x 代入0)0(x x =可得 17.04056e 40e 56e 25030=?=????==--k x x k k k 将17.0=k 代入得 25.93e 5656e 17.03017 .030≈?=?=??-x x >80 第八节数学建模——微分方程的应用举例 微分方程在物理学、力学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用，本节我们将集中讨论微分方程的实际应用，读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力. 内容分布 ★衰变问题 ★逻辑斯谛方程 ★价格调整问题 ★人才分配问题模型 ★追迹问题 内容要点： 一、衰变问题 镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量, 这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知, 衰变速度与现存物质的质量成正比, 求放射性元素在时刻t的质量. 用x表示该放射性物质在时刻t的质量, 则 表示x在时刻t的衰变速度, 于是“衰变速度与现存的质量成正比”可表示为 (8.1) 这是一个以x为未知函数的一阶方程, 它就是放射性元素衰变的数学模型, 其中 是比例常数, 称为衰变常数, 因元素的不同而异. 方程右端的负号表示当时间t增加时, 质量x减少. 解方程(8.1)得通解 若已知当 时, 代入通解 中可得 则可得到方程(8.1)特解 它反映了某种放射性元素衰变的规律. 注: 物理学中, 我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期, 不同物质的半衰期差别极大. 如铀的普通同位素( )的半衰期约为50亿年;通常的镭( )的半衰期是1600年.半衰期是上述放射性物质的特征, 然而半衰期却不依赖于该物质的初始量, 一克 衰变成半克所需要的时间与一吨 衰变成半吨所需要的时间同样都是1600年, 正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳-14测验的基础. 二、逻辑斯谛（Logistic）方程: 逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型, 下面我们借助树的增长来建立该模型. 一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型. 如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树不可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度,又与最大高度与目前高度之差成正比. 设树生长的最大高度为H(m), 在t(年)时的高度为h(t), 则有 (8.2) 其中 是比例常数. 这个方程为Logistic方程. 它是可分离变量的一阶常数微分方程. 下面来求解方程(8.2). 分离变量得 两边积分 得 实验一SDH网元基本配置 一、实验目的： 通过本实验，了解SDH光传输的原理和系统组成，了解ZXMP S325设备的硬件构成和单板功能，学习ZXONM 300 网管软件的使用方法，掌握SDH 网元配置的基本操作。 二、实验器材： 1、SDH 设备：3 套ZXMP 325； 2、实验用维护终端。 三、实验原理 1、SDH 原理 同步数字体制（SDH）是为高速同步通信网络制定的一个国际标准，其基础在于直接同步复用。按照SDH 组建的网络是一个高度统一的、标准化的、智能化的网络，采用全球统一的接口以实现多环境的兼容，管理操作协调一致，组网与业务调度灵活方便，并且具有网络自愈功能，能够传输所有常见的支路信号，应用于多种领域（如光纤传输，微波和卫星传输等）。 SDH 具有以下特点： （1）接口：接口的规范化是设备互联的关键。SDH对网络节点接口（NNI）作了统一的规范，内容包括数字信号数率等级、帧结构、复接方法、线路接口、监控管理等。 电接口：STM-1是SDH的第一个等级，又叫基本同步传送模块，比特率为155.520Mb/s；STM-N是SDH第N个等级的同步传送模块，比特率是STM-1的N 倍(N=4n=1，4，16，- - -)。 光接口：采用国际统一标准规范。SDH仅对电信号扰码，光口信号码型是加扰的NRZ 码，信号数率与SDH 电口标准信号数率相一致。 （2）复用方式 a）低速SDH----高速SDH，字节间插； b) 低速PDH-----SDH，同步复用和灵活的映射。 （3）运行维护:用于运行维护（OAM）的开销多，OAM功能强——这也是线路编码不用加冗余的原因. （4）兼容性:SDH 具有很强的兼容性，可传送PDH 业务，异步转移模式信号（ATM）及其他体制的信号。 （5）SDH 复用映射示意图 第七节 扩散问题的偏微分方程模型 物质的扩散问题，在石油开采、环境污染、疾病流行、化学反应、新闻传播、煤矿瓦斯爆炸、农田墒情、水利工程、生态问题、房屋基建、神经传导、药物在人体内分布以及超导、液晶、燃烧等诸多自然科学与工程技术领域，十分普遍地存在着. 显然，对这些问题的研究是十分必要的，其中的数学含量极大. 事实上，凡与反应扩散有关的现象，大都能由线性或非线性抛物型偏微分方程作为数学模型来定量或定性地加以解决. ＭＣＭ的试题来自实际，是“真问题⊕数学建模⊕计算机处理”的“三合一”准科研性质的一种竞赛，对上述这种有普遍意义和数学含量高，必须用计算机处理才能得到数值解的扩散问题，当然成为试题的重要来源，例如，ＡＭＣＭ-90Ａ，就是这类试题；ＡＭＣＭ-90Ａ要研究治疗帕金森症的多巴胺（dopamine ）在人脑中的分布，此药液注射后在脑子里经历的是扩散衰减过程，可以由线性抛物型方程这一数学模型来刻划. ＡＭＣＭ-90Ａ要研究单层住宅混凝土地板中的温度变化，也属扩散（热传导）问题，其数学模型与ＡＭＣＭ-90Ａ一样，也是线性抛物型方程. 本文交代扩散问题建模的思路以及如何推导出相应的抛物型方程，如何利用积分变换求解、如何确定方程与解的表达式中的参数等关键数学过程，且以ＡＭＣＭ-90Ａ题为例，显示一个较细致的分析、建模、求解过程. §1 抛物型方程的导出 设(,,,)u x y z t 是t 时刻点(,,)x y z 处一种物质的浓度. 任取一个闭曲面S ，它所围的区域是Ω，由于扩散，从t 到t t +?时刻这段时间内，通过S 流入Ω的质量为 2 221(cos cos cos )dSd t t t S u u u M a b c t x y z αβγ+????=++???? ??. 由高斯公式得 2222 221222()d d d d t t t u u u M a b c x y z t x y z +?Ω ???=++???? ???. （1） 其中，2 2 2 ,,a b c 分别是沿,,x y z 方向的扩散系数. 由于衰减（例如吸收、代谢等），Ω内的质量减少为 2 2d d d d t t t M k u x y z t +?Ω =? ???， （2） 其中2 k 是衰减系数. 由物质不灭定律，在Ω内由于扩散与衰减的合作用，积存于Ω内的质量为12M M -. 换一种角度看，Ω内由于深度之变化引起的质量增加为 3[(,,,)(,,,)]d d d d d d d . (3)t t t M u x y z t t u x y z t x y z u x y z t t Ω +?Ω =+?-?=????? ??? 显然312M M M =-，即 微分方程应用 1 引言 常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具. 数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题. 因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用. 2 数学模型简介 通常我们把现实问题的一个模拟称为模型．如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等．利用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等来模拟现实的模型称为数学模型．数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型，求变化率的问题可建立导数模型，统计学中抽样调查，买彩票中奖的概率问题等等．学会建立数学模型对解决实际生活问题会有很大的帮助． 建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁．随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济生活到社会生活的各个领域．一般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节． 3 常微分方程模型 3．1 常微分方程的简介 第5章 微分方程模型 一、讨论题 1. 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化？ 2. 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性物质衰变的数学模型。若已知某放射性物质经时间21T 放射物质的原子下降至原来的一半（21T 称为该物质的半衰期）试决定其衰变系数。 3. 建立耐用消费品市场销售量的模型。如果已知了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数。 4. 两棵不同类别的植物种在一起，按比例吸取养料，试建立它们的生长模型。 二、思考题 1、具有什么样特征的数学建模问题需要用微分方程方法建立模型？ 2、用微分方程方法建立数学模型的基本步骤是什么？应注意哪些问题？ 3、某种细菌的增长率不知道，但假设它是常数，试验开始时估计大约有11500个细菌，一时后有2000个，问四时后大约有多少细菌？ 三、习题 1. 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型 )(003.0) (t p dt t dp = 其中t 以分钟计。在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速 率是)(001.02 t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平 均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水域。 （1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。 （2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数 )(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况？ 2. 用具有放射性的14 C 测量古生物年代的原理是：宇宙线轰击大气层产生中子，中子 与氮结合产生14C 。植物吸收二氧化碳时吸收了14C ，动物食用植物从植物中得到14 C 。在 活组织中14C 的吸收速率恰好与14 C 的衰变速率平衡。但一旦动植物死亡，它就停止吸收14C ，于是14C 的浓度随衰变而降低。由于宇宙线轰击大气层的速度可视为常数，既动物刚 死亡时14 C 的衰变速率与现在取的活组织样本（刚死亡）的衰变速率是相同的。若测得古生 物标本现在14C 的衰变速率，由于14 C 的衰变系数已知，即可决定古生物的死亡时间。试建 立用14C 测古生物年代的模型（14 C 的半衰期为5568年）。 3. 试用上题建立的数学模型，确定下述古迹的年代： （1）1950年从法国Lascaux 古洞中取出的碳测得放射性计数率为0.97计数（min ?g ），而活树木样本测得的计数为6.68计数（min ?g ），试确定该洞中绘画的年代； （2）1950年从某古巴比伦城市的屋梁中取得碳标本测得计数率为4.09计数（min ?g ），活数标本为6.68计数（min ?g ），试估计该建筑的年代。 4. 一容器用一薄膜分成容积为A V 和B V 的两部分，分别装入同一物质不同浓度的溶液。微分方程模型建模实例
微分方程模型
数学建模微分方程的应用举例
扩散问题的偏微分方程模型_数学建模
(完整版)扩散问题的偏微分方程模型,数学建模
(完整版)常微分方程在数学建模中的应用.
第5章 微分方程模型