高中数学不等式典型例题解析

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

不等式

一．不等式的性质：

1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则

a c

b d ->-）

，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0

a

b c d >>>>，则a c

b d

>（若0,0a

b c d

>><<，则

a b c

d >

）；

3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n

n

a b

>>

4．若0

a b

>，a

b

>，则

11a

b

<

；若0

a b

<，a

b

>，则

11a b

>

。如 （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①2

2

,bc

ac

b a >>则若； ②b

a bc ac

>>则若,2

2

； ③2

2

,0b

ab a b a >><<则若； ④b

a

b a

11,0<

<<则

若； ⑤b

a a

b b a >

<<则

若,0； ⑥b a b a

><<则若,0；

⑦b

c b a

c a

b a c

->

->>>则

若,0； ⑧11,

a b a b

>>若，则0,0

a b ><。

其中正确的命题是______ （答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知11x y -≤

+≤，13

x y ≤-≤，则3x y

-

的取值范围是______

（答：137

x y ≤

-≤）；

（3）已知c

b a

>>，且,

0=++c b a

则

a

c 的取值范围是______（答：12,2?

?

--

??

?

）

二．不等式大小比较的常用方法：

1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；

5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如

（1）设0

,10>≠>t a a

且，比较

2

1

log

log

2

1+t t a

a

和的大小

（答：当1a >时，

11lo g lo g 2

2

a a

t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11lo g lo g 2

2

a a

t t +≥（1t =时

取等号））；

（2）设2

a

>，12

p

a a =+-，2

42

2

-+-=a a q

，试比较q p ,的大小（答：p

q

>）；

（3）比较1+3

log x

与)10(2log

2≠>x x x

且的大小

（答：当0

1x <<或43

x >时，1+3

log

x

＞2lo g 2x ；当413

x <

<

时，1+3

log

x

＜2lo g 2x ；当43

x

=

时，

1+3log x ＝2lo g 2x ）

三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这

17字方针。如

（1）下列命题中正确的是

A 、1y x x

=+

的最小值是2 B

、2

3x y

+=

的最小值是2

C 、423(0)

y

x x x =--

>

的最大值是2-

D 、423(0)

y

x x x

=--

>

的最小值是2-

（答：C ）；

（2）若21x y +

=，则24

x

y

+的最小值是______

（答：；

（3）正数,x y 满足21x y +=，则

y

x

11+

的最小值为______

（答：3+

；

4.常用不等式有：（1

22

11a b

a b

+≥

≥≥

+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；

（2）a 、b 、c ∈R ，22

2

a b c

a b b c ca

++≥++（当且仅当a

b c ==时，取等号）

； （3）若0,0

a

b m >>>，则

b b m a

a m

+<

+（糖水的浓度问题）。如果正数a 、b 满足3++=b a ab

，则ab

的取值范围是_________

（答：[)9,+∞）

五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因

式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).

常用的放缩技巧有：

2

11111111(1)(1)1

n n n n n

n n n n

-

=

<<

=

-

++--

111-

=

<<

=

如（1）已知c b a >>，求证：2

2

2222ca

bc ab a c c b b a ++>++ ； (2) 已知R c b a ∈,,，求证：)(222222c b a abc a c c b b a +

+≥++； （3）已知,,,a b x y R

+

∈

，且

11,x y

a

b

>

>，求证：

x y x a

y b

>

++；

(4)若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg lg

lg

lg lg lg 2

2

2

a b b c c a a b c

+++++>++；

（5）已知R

c b a ∈,,，求证：22

22

a b b c

+2

2

()

c a

a b c a b c +≥++；

(6)若*

n N

∈

(1)n -+

；

(7)已知||||a b ≠，求证：||||||||||

||

a b a b a b a b -+≤

-+；

（8）求证：2

2

2

11112

2

3

n

+

+

++

< 。

六．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个

因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。如

（1）解不等式2(1)(2)0x x -+≥。

（答：{|1x x ≥或2}x =-）；

（2）

不等式(20x -≥的解集是____

（答：{|3x x ≥或1}x =-）； （3）设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，且()0

f x ≥的解集为{|12}x x ≤

<，()0g x ≥的解集为?，则不等式()()0f x g x > 的解集为______

（答：(,1)[2,)-∞+∞ ）；

（4）要使满足关于x 的不等式0922<+-a x x （解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式

0860342

2

<+-<+-x x x x

和中的一个，则实数a 的取值范围是______.

（答：81[7,

)

8）

七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因

式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如

（1）解不等式

2

5123

x x x -<---

（答：(1,1)(2,3)- ）；

（2）关于x 的不等式0

>-b ax

的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式

2

>-+x b ax 的解集为____________

（答：)

,2()1,(+∞--∞

）.

八．绝对值不等式的解法：

1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|21|2|4

32|+

-≥-x x

（答：x R

∈

）；

（2）利用绝对值的定义；

（3）数形结合；如解不等式|||1|3x x +-> （答：(,1)(2,)-∞-+∞ ）

（4）两边平方：如若不等式|32||2|x x a +

≥+对x R ∈

恒成立，则实数a 的取值范围为______。

（答：4{

}3）

九．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如

（1）若2lo g 13

a

<，则a 的取值范围是__________（答：1a

>或203

a <<

）；

（2）解不等式

2

()

1

a x

x a R a x >∈-（答：0

a

=时，{|x 0}x <；0a >时，1{|x x a

>或0}

x

<；0

a

<时，

1{|

0}x x a

<<或0}x <）

提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往

往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x 的不等式0>-b ax 的解集为)1,(-∞，则不等式

2>+-b

ax x 的解集为__________（答：（－1,2））

十一．含绝对值不等式的性质：

a b 、同号或有0?||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-； a b 、异号或有0?||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+.

如设2()13f x x x =-+，实数a 满足||1x a -<，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+

十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程

思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） 1).恒成立问题

若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()m in f x A > 若不等式()B

x f <

在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()m ax

f x B

<

如（1）设实数,x y 满足22

(1)1x y +-=，当0

x y c ++≥时，c 的取值范围是______

（答：)1,-+∞

）

； （2）不等式

a

x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____

（答：1a

<）

； （3）若不等式)1(122

->-x m x 对满足2

≤m 的所有m

都成立，则x 的取值范围_____

（答：（

712

-,

312

+））；

（4）若不等式n

a n n

1

)

1(2)

1(+-+

<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_____

（答：3[2,

)

2-）；

（5）若不等式2

2210

x m x m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.

（答：12

m

>-

）

2). 能成立问题

若在区间D 上存在实数x 使不等式()A

x f >成立,则等价于在区间D 上()m ax

f x A

>； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B

x f <成立,则等价于在区间D 上的()m in

f x B

<.如 已知不等式

a

x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围____

（答：1a

>）

3). 恰成立问题

若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ； 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B

x f <

的解集为D .