频谱分析(完整版)
Matlab 信号处理工具箱 帮助文档 谱估计专题
翻译：无名网友 & Lyra
频谱分析
Spectral estimation （谱估计）的目标是基于一个有限的数据集合描述一个信号的功率（在频率上的）分布。功率谱估计在很多场合下都是有用的，包括对宽带噪声湮没下的信号的检测。
从数学上看，一个平稳随机过程n x 的power spectrum （功率谱）和correlation sequence （相关序列）通过discrete-time Fourier transform （离散时间傅立叶变换）构成联系。从normalized frequency （归一化角频率）角度看，有下式
()()j m
xx xx
m S R m e
ωω∞
-=-∞
=
∑
注：()()2
xx S X ωω=，其中()/2
/2
1lim N j n n N n N X x e N ωω→∞=-=∑πωπ-<≤。其matlab 近似为X=fft(x,N)/sqrt(N)，在下文中()L X f 就是指matlab fft 函数
的计算结果了
使用关系2/s f f ωπ=可以写成物理频率f 的函数，其中s f 是采样频率
()()2/s
jfm f xx xx
m S f R m e
π∞
-=-∞
=
∑
相关序列可以从功率谱用IDFT 变换求得：
()()()/2
2//2
2s
s
s f jfm f j m xx xx xx s f S e S f e R m d df f πωπ
π
ωωπ--=
=?
?
序列n x 在整个Nyquist 间隔上的平均功率可以表示为
()()()
/2
/2
02s
s f xx xx xx s
f S S f R d df f π
π
ωωπ--=
=?
? 上式中的
()()2xx xx S P ωωπ=
以及()()
xx xx s
S f P f f =
被定义为平稳随机信号n x 的power spectral density (PSD)（功率谱密度） 一个信号在频带[]1212,,0ωωωωπ≤<≤上的平均功率可以通过对PSD 在频带上积分求出
[]()()2
1
121
2
,xx
xx P P d P d ωωωωωω
ωωωω--
=
+??
从上式中可以看出()xx P ω是一个信号在一个无穷小频带上的功率浓度，这也是为什么它叫做功率谱密度。
PSD 的单位是功率（e.g 瓦特）每单位频率。在()xx P ω的情况下，这是瓦特/弧度/抽或只是瓦特/弧度。在()xx P f 的情况下单位是瓦特/赫兹。PSD 对频率的积分得到的单位是瓦特，正如平均功率[]12,P ωω所期望的那样。
对实信号，PSD 是关于直流信号对称的，所以0ωπ≤≤的()xx P ω就足够完整的描述PSD 了。然而要获得整个Nyquist 间隔上的平均功率，有必要引入单边PSD 的概念：
()()0
020onesided xx P P πωωωωπ
-≤
≤
[]()2
121
,onesided
P P d ωωωω
ωω=
?
频谱估计方法cpsd
Cpsd
Matlab 信号处理工具箱提供了三种方法 Nonparametric methods （非参量类方法）
PSD 直接从信号本身估计出来。最简单的就是periodogram （周期图法），
一种改进的周期图法是Welch's method 。更现代的一种方法是multitaper method （多椎体法）。 Parametric methods （参量类方法）
这类方法是假设信号是一个由白噪声驱动的线性系统的输出。这类方法的例子是Yule-Walker autoregressive (AR) method 和Burg method 。这些方法先估计假设的产生信号的线性系统的参数。这些方法想要对可用数据相对较少的情况产生优于传统非参数方法的结果。
Subspace methods （子空间类）
又称为high-resolution methods （高分辨率法）或者super-resolution methods （超分辨率方法）基于对自相关矩阵的特征分析或者特征值分解产生信号的频率分量。代表方法有multiple signal classification (MUSIC) method 或eigenvector (EV) method 。这类方法对线谱（正弦信号的谱）最合适，对检测噪声下的正弦信号很有效，特别是低信噪比的情况。 方法 描述
函数
周期图
PSD 估计 spectrum.periodogram,
periodogram
Welch 重叠，加窗的信号段的平均周期图 spectrum.welch, pwelch,
cpsd, tfestimate, mscohere
多椎体 多个正交窗（称为锥）的组合做谱估计 spectrum.mtm, pmtm Yule-Walk er AR 时间序列的估计的自相关函数计算自回归（AR ）谱估计 spectrum.yulear, pyulear Burg 通过最小化线性预测误差计算自回归（AR ）谱估计
spectrum.burg, pburg
Covarianc e （协方差）
通过最小化前向预测误差做时间序列的自回归（AR ）谱估计 spectrum.cov, pcov 修正协方差 通过最小化前向及后向预测误差做时间序列的自回归（AR ）谱估计 spectrum.mcov, pmcov MUSIC 多重信号分类 spectrum.music, pmusic 特征向量法
虚谱估计 spectrum.eigenvector, peig Nonparametric Methods 非参数法
下面讨论periodogram, modified periodogram, Welch, 和 multitaper 法。同时也讨论CPSD 函数，传输函数估计和相关函数。 Periodogram 周期图法
一个估计功率谱的简单方法是直接求随机过程抽样的DFT ，然后取结果的幅度的平方。这样的方法叫做周期图法。
一个长L 的信号[]L x n 的PSD 的周期图估计是
()()2
?L xx
s X f P f f L
=
注：这里()L X f 运用的是matlab 里面的fft 的定义不带归一化系数，所以
要除以L 其中
()[]1
2/0s L jfn f L L n X f x n e π--==∑
实际对()L X f 的计算可以只在有限的频率点上执行并且使用FFT 。实践上大多数周期图法的应用都计算N 点PSD 估计
()()2
?L k xx k
s X f P f f L
=，,0,1,,1s
k kf f k N N
=
=- 其中
()[]1
2/0L jkn N L k L n X f x n e π--==∑
选择N 是大于L 的下一个2的幂次是明智的，要计算[]L k X f 我们直接对[]L x n 补零到长度为N 。假如L>N ，在计算[]L k X f 前，我们必须绕回[]L x n 模N 。
作为一个例子，考虑下面1001元素信号n x ，它包含了2个正弦信号和噪声 randn('state',0);
fs = 1000; % Sampling frequency
t = (0:fs)/fs; % One second worth of samples A = [1 2]; % Sinusoid amplitudes (row vector) f = [150;140]; % Sinusoid frequencies (column vector) xn = A*sin(2*pi*f*t) + 0.1*randn(size(t));
注意：最后三行表明了一个方便的表示正弦之和的方法，它等价于： xn = sin(2*pi*150*t) + 2*sin(2*pi*140*t) + 0.1*randn(size(t));
对这个PSD 的周期图估计可以通过产生一个周期图对象（periodogram object ）来计算
Hs = spectrum.periodogram('Hamming'); 估计的图形可以用psd 函数显示。
psd(Hs,xn,'Fs',fs,'NFFT',1024,'SpectrumType','twosided')
00.10.20.3
0.40.50.60.70.80.9
-80
-70-60-50-40-30-20
-100Frequency (kHz)
P o w e r /f r e q u e n c y (d B /H z )
Power Spectral Density Estimate via Periodogram
平均功率通过用下述求和去近似积分 求得 [Pxx,F] = psd(Hs,xn,fs,'twosided'); Pow = (fs/length(Pxx)) * sum(Pxx) Pow = 2.5059
你还可以用单边PSD 去计算平均功率
[Pxxo,F] = psd(Hs,xn,fs,'onesided');
Pow = (fs/(2*length(Pxxo))) * sum(Pxxo) Pow = 2.5011 周期图性能
下面从四个角度讨论周期图法估计的性能：泄漏，分辨率，偏差和方差。 频谱泄漏
考虑有限长信号[]L x n ，把它表示成无限长序列[]x n 乘以一个有限长矩形窗
[]R w n 的乘积的形式经常很有用：
[][][]L R x n x n w n =?
因为时域的乘积等效于频域的卷积，所以上式的傅立叶变换是
()()()/2
/2
1
s s f L R s
f X f X W f d f ρρρ-=
-?
前文中导出的表达式
()()2
?L xx
s X f P f f L
=
说明卷积对周期图有影响。
正弦数据的卷积影响最容易理解。假设[]x n 是M 个复正弦的和
[]1
k M
j n k k x n A e ω==∑
其频谱是
()()1M
s k k k X f f A f f δ==-∑
对一个有限长序列，就变成了
()()()()/2
1
1
/2
1s s f M M
L s k k R k R k k k s
f X f f A f W f d A W f f f δρρρ==-=
--=-∑∑?
所以在有限长信号的频谱中，Dirac 函数被替换成了形式为()R k W f f -的项，该项对应于矩形窗的中心在k f 的频率响应。
一个矩形窗的频率响应形状是一个sinc 信号，如下所示
-500
-400-300-200
-1000100200300400500
-80-70-60-50-40-30-20
-100矩形窗在物理频率上的功率谱密度
frequency/Hz
P S D d B w a t t /H z
该图显示了一个主瓣和若干旁瓣，最大旁瓣大约在主瓣下方13.5dB 处。这些旁瓣说明了频谱泄漏效应。无限长信号的功率严格的集中在离散频率点k f 处，而有限长信号在离散频率点k f 附近有连续的功率。
因为矩形窗越短，它的频率响应对Dirac 冲击的近似性越差，所以数据越短它的频谱泄漏越明显。考虑下面的100个采样的序列
randn('state',0)
fs = 1000; % Sampling frequency
t = (0:fs/10)/fs; % One-tenth of a second worth of samples A = [1 2]; % Sinusoid amplitudes f = [150;140]; % Sinusoid frequencies
xn = A*sin(2*pi*f*t) + 0.1*randn(size(t)); Hs = spectrum.periodogram; psd(Hs,xn,'Fs',fs,'NFFT',1024)
00.050.10.15
0.20.250.30.350.40.450.5
-80
-70-60-50-40-30-20
-100Frequency (kHz)
P o w e r /f r e q u e n c y (d B /H z )
Power Spectral Density Estimate via Periodogram
注意到频谱泄露只视数据长度而定。周期图确实只对有限数据样本进行计算，但是这和频谱泄露无关。 分辨率
分辨率指的是区分频谱特征的能力，是分析谱估计性能的关键概念。 要区分两个在频率上离得很近的正弦，要求两个频率差大于任何一个信号泄漏频谱的主瓣宽度。主瓣宽度定义为主瓣上峰值功率一半的点间的距离（3dB 带宽）。该宽度近似等于/s f L
两个频率为1f 2f 的正弦信号，可分辨条件是
()12s
f f f f L
?=->
上例中频率间隔10Hz ，数据长度要大于100抽才能使得周期图中两个频率可分辨。下图是只有67个数据长度的情况
randn('state',0)
fs = 1000; % Sampling frequency t = (0:fs/15)./fs; % 67 samples
A = [1 2]; % Sinusoid amplitudes f = [150;140]; % Sinusoid frequencies xn = A*sin(2*pi*f*t) + 0.1*randn(size(t));
Hs=spectrum.periodogram; psd(Hs,xn,'Fs',fs,'NFFT',1024)
00.050.10.15
0.20.250.30.350.40.450.5
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
Frequency (kHz)
P o w e r /f r e q u e n c y (d B /H z )
Power Spectral Density Estimate via Periodogram
上述对分辨率的讨论都是在高信噪比的情况进行的，因此没有考虑噪声。当信噪比低的时候，谱特征的分辨更难，而且周期图上会出现一些噪声的伪像，如下所示
randn('state',0)
fs = 1000; % Sampling frequency
t = (0:fs/10)./fs; % One-tenth of a second worth of samples
A = [1 2]; % Sinusoid amplitudes f = [150;140]; % Sinusoid frequencies xn = A*sin(2*pi*f*t) + 2*randn(size(t)); Hs=spectrum.periodogram; psd(Hs,xn,'Fs',fs,'NFFT',1024)
0.05
0.1
0.15
0.20.250.30.35
0.4
0.45
0.5
-55-50-45-40-35-30-25-20-15
-10-5Frequency (kHz)
P o w e r /f r e q u e n c y (d B /H z )
Power Spectral Density Estimate via Periodogram
估计偏差
周期图是对PSD 的有偏估计。期望值可以是
()()()2/22/21s
s f L xx R s s f X f E P W f d f L f L ρρρ-????=-??????
? 该式和频谱泄漏中的()L X f 式相似，除了这里的表达式用的是平均功率而不是幅度。这暗示了周期图产生的估计对应于一个有泄漏的PSD 而非真正的PSD 。
注意()2
R W f ρ-本质上是一个三角Bartlett 窗（事实是两个矩形脉冲的卷积是三角脉冲。）这导致了最大旁瓣峰值比主瓣峰值低27dB ，大致是非平方矩
形窗的2倍。
周期图估计是渐进无偏的。这从早期的一个观察结果可以明显看出，随着记录数据趋于无穷大，矩形窗对频谱对Dirac 函数的近似也就越来越好。然而在某些情况下，周期图法估计很差劲即使数据够长，这是因为周期图法的方差，如下所述。
周期图法的方差
()()()()22
2
sin 2/var 1sin 2/L s xx s s X f Lf f P f f L L f f ππ??????????≈+ ??? ???????????
L 趋于无穷大，方差也不趋于0。用统计学术语讲，该估计不是无偏估计。
然而周期图在信噪比大的时候仍然是有用的谱估计器，特别是数据够长。 Modified Periodogram 修正周期图法
在fft 前先加窗，平滑数据的边缘。可以降低旁瓣的高度。
旁瓣是使用矩形窗产生的陡峭的剪切引入的寄生频率，对于非矩形窗，结束点衰减的平滑，所以引入较小的寄生频率。
但是，非矩形窗增宽了主瓣，因此降低了频谱分辨率。
函数periodogram 允许指定对数据加的窗，例如默认的矩形窗和Hamming 窗
randn('state',0)
fs = 1000; % Sampling frequency
t = (0:fs/10)./fs; % One-tenth of a second worth of samples A = [1 2]; % Sinusoid amplitudes f = [150;140]; % Sinusoid frequencies xn = A*sin(2*pi*f*t) + 0.1*randn(size(t)); Hrect = spectrum.periodogram; psd(Hrect,xn,'Fs',fs,'NFFT',1024);
00.050.10.15
0.20.250.30.350.40.450.5
-80
-70-60-50-40-30-20
-100Frequency (kHz)
P o w e r /f r e q u e n c y (d B /H z )
Power Spectral Density Estimate via Periodogram
Hhamm = spectrum.periodogram('Hamming'); psd(Hhamm,xn,'Fs',fs,'NFFT',1024);
00.050.10.15
0.20.250.30.350.40.450.5
-80
-70-60-50-40-30-20
-100Frequency (kHz)
P o w e r /f r e q u e n c y (d B /H z )
Power Spectral Density Estimate via Periodogram
事实上加Hamming 窗后信号的主瓣大约是矩形窗主瓣的2倍。对固定长度信号，Hamming 窗能达到的谱估计分辨率大约是矩形窗分辨率的一半。这种冲突可以在某种程度上被变化窗所解决，例如Kaiser 窗。
非矩形窗会影响信号的功率，因为一些采样被削弱了。为了解决这个问题 函数periodogram 将窗归一化，有平均单位功率。这样的窗不影响信号的平均功率。
修正周期图法估计的PSD 是
()()2
?L xx
s X f P f f LU
=
其中U 是窗归一化常数
()1
20
1L n U w n L -==∑
假如U 保证估计是渐进无偏的。 Welch 法
包括：将数据序列划分为不同的段（可以有重叠），对每段进行改进周期图法估计，再平均。
用spectrum.welch 对象，或pwelch 函数。默认情况下数据划分为4段，50%重叠，应用Hamming 窗。
取平均的目的是减小方差，重叠会引入冗余但是加Hamming 窗可以部分消除这些冗余，因为窗给边缘数据的权重比较小。
数据段的缩短和非矩形窗的使用使得频谱分辨率下降。 下面的例子展示Welch 法的折衷。
首先用周期图法估计一个小信噪比下信号的PSD ：
randn('state',1)
fs = 1000; % Sampling frequency t = (0:0.3*fs)./fs; % 301 samples
A = [2 8]; % Sinusoid amplitudes (row vector)
f = [150;140]; % Sinusoid frequencies (column vector) xn = A*sin(2*pi*f*t) + 5*randn(size(t)); Hs = spectrum.periodogram('rectangular') psd(Hs,xn,'Fs',fs,'NFFT',1024);
可以看出由于噪声太大，150Hz 正弦信号已经无法识别。
00.050.10.15
0.20.250.30.350.40.450.5
-60
-50
-40
-30
-20
-10
10
Frequency (kHz)
P o w e r /f r e q u e n c y (d B /H z )
Power Spectral Density Estimate via Periodogram
Hs = spectrum.welch('rectangular',150,50); psd(Hs,xn,'Fs',fs,'NFFT',512)
00.050.10.15
0.20.250.30.350.40.450.5
-25
-20
-15
-10
-5
5
10
Frequency (kHz)
P o w e r /f r e q u e n c y (d B /H z )
可以看出两个信号峰，但是如果进一步削减方差，主瓣增宽也使得信号不可识别。
Hs = spectrum.welch('rectangular',100,75); psd(Hs,xn,'Fs',fs,'NFFT',512);
00.050.10.15
0.20.250.30.350.40.450.5
-20
-15
-10
-5
5
Frequency (kHz)
P o w e r /f r e q u e n c y (d B /H z )
Welch 法的偏差
{}
()()/2
2
/2
1
?s s f welch
xx R s s f E P P W f d f L U
ρρρ-=
-?
其中s L 是分段数据的长度，()1
20
1L n U w n L -==∑是窗归一化常数。
对一定长度的数据，Welch 法估计的偏差会大于周期图法，因为s L L > 方差比较难以量化，因为它和分段长以及实用的窗都有关系，但是总的说方差反比于使用的段数。 Multitaper Method 多椎体法
周期图法估计可以用滤波器组来表示。L 个带通滤波器对信号[]L x n 进行滤波，每个滤波器的3dB 带宽是/s f L 。所有滤波器的幅度响应相似于矩形窗的幅度响应。周期图估计就是对每个滤波器输出信号功率的计算，仅仅使用输出信号的一个采样点计算输出信号功率，而且假设[]L x n 的PSD 在每个滤波器的频带上是常数。
信号长度增加，带通滤波器的带宽就在减少，近似度就更好。但是有两个原因对精确度有影响：1矩形窗对应的带通滤波器性能很差2每个带通滤波器输出信号功率的计算仅仅使用一个采样点，这使得估计很粗糙。
Welch法也可以用滤波器组给出相似的解释。在Welch法中使用了多个点来计算输出功率，降低了估计的方差。另一方面每个带通滤波器的带宽增大了，分辨率下降了。
Thompson的多椎体法（MTM）构建在上述结论之上，提供更优的PSD估计。MTM方法没有使用带通滤波器（它们本质上是矩形窗，如同周期图法中一样），而是使用一组最优滤波器计算估计值。这些最优FIR滤波器是由一组被叫做离散扁平类球体序列（DPSS，也叫做Slepian序列）得到的。
除此之外，MTM方法提供了一个时间-带宽参数，有了它能在估计方差和分辨率之间进行平衡。该参数由时间-带宽乘积得到，NW，同时它直接与谱估计的多椎体数有关。总有2*NW-1个多椎体被用来形成估计。这就意味着，随着NW的提高，会有越来越多的功率谱估计值，估计方差会越来越小。然而，每个多椎体的带宽仍然正比于NW，因而NE提高，每个估计会存在更大的泄露，从而整体估计会更加呈现有偏。对每一组数据，总有一个NW值能在估计偏差和方差见获得最好的折中。
信号处理工具箱中实现MTM方法的函数是pmtm而实现该方法的对象是spectrum.mtm。下面使用spectrum.mtm来计算前一个例子中的PSD：randn('state',0)
fs = 1000; % Sampling frequency
t = (0:fs)/fs; % One second worth of samples
A = [1 2]; % Sinusoid amplitudes
f = [150;140]; % Sinusoid frequencies
xn = A*sin(2*pi*f*t) + 0.1*randn(size(t));
Hs1 = spectrum.mtm(4,'adapt');
psd(Hs1,xn,'Fs',fs,'NFFT',1024)
50
100
150
200250300350
400
450
500
-55-50-45-40-35-30-25-20-15
-10
-5Frequency (Hz)
P o w e r /f r e q u e n c y (d B /H z )
Thompson Multitaper Power Spectral Density Estimate
通过降低时间-带宽积，能够提高分辨率。 Hs2 = spectrum.mtm(3/2,'adapt'); psd(Hs2,xn,'Fs',fs,'NFFT',1024)
050100150
200250300350400450500
-80
-70-60-50-40-30
-20
-100Frequency (Hz)
P o w e r /f r e q u e n c y (d B /H z )
Thompson Multitaper Power Spectral Density Estimate
注意到两个例子中平均功率都被保留： Hs1p = psd(Hs1,xn,'Fs',fs,'NFFT',1024); Pow1 = avgpower(Hs1p)
Pow1 = 2.4926
Hs2p = psd(Hs2,xn,'Fs',fs,'NFFT',1024); Pow2 = avgpower(Hs2p)
Pow2 = 2.4927
这中方法相比Weich 方法计算复杂度更高，这是计算离散扁平类球体序列的代价。对于长数据序列（10000点以上），通常计算一次DPSS 序列并将其存为MAT 文件更加实用。Matlab 在dpss.mat 中提供了dpsssave 、dpssload 、dpssdir 和 dpssclear 供使用。 互谱密度函数
PSD 是互谱密度（CPSD ）函数的一个特例，CPSD 由两个信号xn 、yn 如下定义：
()()1
2j m
xy xy
m P R e
ωωωπ
∞
-=-∞
=
∑
如同互相关与协方差的例子，工具箱估计PSD 和CPSD 是因为信号长度有限。为了使用Welch 方法估计相隔等长信号x 和y 的互功率谱密度，cpsd 函数通过将x 的FFT 和y 的FFT 再共轭之后相乘的方式得到周期图。与实值PSD 不同，CPSD 是个复数函数。cpsd 如同pwelch 函数一样处理信号的分段和加窗问题：
Sxy = cpsd(x, y, nwin, noverlap, nfft, fs) 传输函数估计
Welch 方法的一个应用是非参数系统的识别。假设H 是一个线性时不变系统，x(n)和y(n)是H 的输入和输出。则x(n)的功率谱就与x(n)和y(n)的CPSD 通过如下方式相关联：
()()()yx xx P H P ωωω= x(n)和y(n)的一个传输函数是：
()()()
?yx xx P H P ωωω=
该方法同时估计出幅度和相位信息。tfestimate 函数使用Welch 方法计算CPSD 和功率谱，然后得到他们的商作为传输函数的估计值。tfestimate 函数使用方法和cpsd 相同：
将信号x(n)通过FIR 滤波器，再画出实际的幅度响应和估计响应如下： h = ones(1,10)/10; % Moving-average filter yn = filter(h,1,xn);
[HEST ,f] = tfestimate(xn,yn,256,128,256,fs); H = freqz(h,1,f,fs);
subplot(2,1,1); plot(f,abs(H));
title('Actual Transfer Function Magnitude'); subplot(2,1,2); plot(f,abs(HEST));
title('Transfer Function Magnitude Estimate'); xlabel('Frequency (Hz)');
050
100150200250300350400450500
0.5
1
Actual Transfer Function Magnitude
050100
150
200250300350400450500
0.5
1
1.5Transfer Function Magnitude Estimate
Frequency (Hz)
相干函数
两个信号幅度平方相干性如下所示：
()()
()()
2
xy xy xx yy P C P P ωωωω=
该商是一个0到1之间的实数，表征了x(n)和y(n)之间的相干性。 mscohere 函数输入两个序列x 和y ，计算其功率谱和CPSD ，返回CPSD 幅度平方与两个功率谱乘积的商。函数的选项和操作与cpsd 和tfestimate 相
类似。
x 和滤波器输出y 的相干函数如下： mscohere(xn, yn, 256, 128, 256, fs)
50
100
150
200250300350
400
450
500
00.10.20.30.40.50.60.7
0.80.9
1Frequency (Hz)
M a g n i t u d e (d B )
Coherence Estimate via Welch
如果输入序列长度nfft ，窗长度window ，一个窗中重叠的数据点为numoverlap ，这样的话mscohere 只对一个样本操作，函数返回全1。这是因为相干函数对线性独立数据值为1
Parametric Methods 参数法
参数法在信号长度较短时能够获得比非参数法更高的分辨率。这类方法使用不同的方式来估计频谱：不是试图直接从数据中估计PSD ，而是将数据建模成一个由白噪声驱动的线性系统的输出，并试图估计出该系统的参数。
最常用的线性系统模型是全极点模型，也就是一个滤波器，它的所有零点都在z 平面的原点。这样一个滤波器输入白噪声后的输出是一个自回归（AR ）过程。正是由于这个原因，这一类方法被称作AR 方法。
AR 方法便于描述谱呈现尖峰的数据，即PSD 在某些频点特别大。在很多实际应用中（如语音信号）数据都具有带尖峰的谱，所以AR 模型通常会很有用。另外，AR 模型具有相对易于求解的系统线性方程。
信号处理工具箱提供了下列AR 谱估计方法： Yule-Walker
应用FFT对信号进行频谱分析实验报告
实验 应用FFT 对信号进行频谱分析 一、实验目的 1、在理论学习的基础上，通过本次实验，加深对快速傅里叶变换的理解，熟悉FFT 算法及其程序的编写。 2、熟悉应用FFT 对典型信号进行频谱分析的方法。 3、了解应用FFT 进行新红啊频谱分析过程中可呢个出现的问题，以便在实际中正确应用FFT 。 二、实验原理 一个连续信号()a x t 的频谱可以用它的傅里叶变换表示为： ()()j t a a X j x t e dt +∞ -Ω-∞Ω=? （2-1） 如果对信号进行理想采样，可以得到离散傅里叶变换： ()()j n X e x n z ω +∞ --∞=∑ （2-2） 在各种信号序列中，有限长序列在数字信号处理中占有很重要的。无限长的序列往往可以用有限长序列来逼近。对于有限长的序列我们可以使用离散傅里叶变换（DFT ），这一序列可以很好的反应序列的频域特性，并且容易利用快速算法在计算机上实现当序列的长度是N 时，我们定义离散傅里叶变换为： 1 0()[()]()N kn N n X k DFT x n x n W -===∑ （2-3） DFT 是对序列傅里叶变换的灯具采样，因此可以用于序列的频谱分析。在利用DFT 进行频谱分析的时候可能有三种误差： （1）混叠现象 序列的频谱是采样信号频谱的周期延拓，周期是2/T π，因此当采样频率不满足奈奎斯特定理，即采样频率1/s f T =小于两倍的信号频率时，经过采样就会发生频谱混叠。这导致采样后的信号序列不能真实的反映原信号的频谱。 （2）泄漏现象 泄漏是不能和混叠完全分开的，因为泄漏导致频谱的扩展，从而造成混淆。为了减小混淆的影响，可以选择适当的窗函数使频谱的扩散减到最小。 （3）栅栏效应 因为DFT 是对单位圆上Z 变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续的函数。这样就产生了栅栏效应。减小栅栏效应的一个方法是在源序列的末端补一些零值，从而变动DFT 的点数。 三、实验内容和结果 1、观察高斯序列的时域和频域特性 （1）固定高斯序列()a x n 中的参数p=8，当q 为2，4，8时其时域和幅频特性分别如图 2.1，图2.2所示：
第八章 选择带宽频谱分析技术(频率细化)
8. 选择带宽频谱分析技术（频率细化） 根据第三章数字频谱分析的理论，有限离散傅氏变换(DFT)总是获得()N f -0区间内的频率分量（N f 是Nyquisit 折叠频率）。当随机过程的信号样本的采样点数为N 时，在上述区间内的谱线数为N/2。则频率分辨率为 N f N f f s N == ?2 / 从上式可知，对于给定的采样点数N ，采样频率s f 越大时，f ?就越大，亦即分辨率就越低。 另一方面，由上式可能直接想到，对于给定的采样频率s f ，可以通过增加采样点数N ，提高频率分辨率f ?。但是，从第五章功率谱分析中我们知道，对于随机过程来说，功率谱的周期图估计方法的样本点数不宜过大，当N 过大时，周期图沿频率轴振荡的现象将加重。 综上所述，为了对感兴趣的选定频段作详细的考察，必须将这个局部频段内的频谱图像进行“局部放大”。因此，这种选择带宽频谱分析技术（Band-Selected Fourier Analysis, BSFA ）也称为频率细化（ZOOM ）技术。 频率细化分析技术经常用于模态分析、特征分析，以及故障诊断中。 常用的频率细化处理方法有频率移位法和相位补偿法。 8.1. 频率移位法 频率细化的频率移位法（频移法），也称为复调制滤波法。该方法的分辨率 可以达到很高（一般可以达到82倍），计算精度好且计算速度快，其基本原理如图所示。
频移法细化技术的基本原理是DFT 的频移性质。 被分析的信号经过抗混叠滤波后，进入A/D 采样，然后送入高分辨率分析的与处理器中，进行频移、低通数字滤波和二次重采样。 8.1.1. 频移 为了将感兴趣频段的下限频率移到0频位置，以便有可能将感兴趣频段放大到整个DFT 频率范围，首先需要对离散信号进行频率调制。 根据DFT 的频移性质，如果欲将某一频率移到0频率处，则在时域数字信号上，应乘以复数信号t n f j e ?-02π。通常，这种把时域信号移频的处理，也称之为 对时域信号进行复数调制，或者载波。经过调制后的信号是一个复数信号，实部 为 ??? ??=? ?? ? ???N n k x f N n f x n n 002cos 2cos ππ 虚部为 ??? ??-=? ?? ? ???-N n k x f N n f x n n 002cos 2cos ππ 式中，f ?对应于第一次采样的DFT 频率分辨率，而f f k ?=/00为对应的频率谱 线序号。进一步地，调制后的数字信号序列n x '可以采用指数函数表达为 t n f j n n k N n n e x W x x ?-=='002π 其中，在指数因子中，引入下标N 是为了以后区分不同采样点数的情况。 N j n k N e W π20-=
典型序列的频谱分析
天津城市建设学院 课程设计任务书 2012—2013学年第1学期 计算机与信息工程学院电子信息工程系电子信息科学与技术专业 课程设计名称：数字信号处理 设计题目：典型序列的频谱分析 完成期限：自2012 年12月17 日至2012 年12月28 日共2 周 设计依据、要求及主要内容： 一．课程设计依据 《数字信号处理》是电子信息类专业极其重要的一门专业基础课程，这门课程是将信号和系统抽象成离散的数学模型，并从数学分析的角度分别讨论信号、系统、信号经过系统、系统设计（主要是滤波器）等问题。采用仿真可帮助学生加强理解，在掌握数字信号处理相关理论的基础上，根据数字信号处理课程所学知识，利用Matlab产生典型信号并进行频谱分析。 二．课程设计内容 1、对于三种典型序列------单位采样序列、实指数序列、矩形序列，要求：（1）画出以上序列的时域波形图；（2）求出以上序列的傅里叶变换；（3）画出以上序列的幅度谱及相位谱，并对相关结果予以理论分析；（4）对以上序列分别进行时移，画出时移后序列的频谱图，验证傅里叶变换的时移性质；（5）对以上序列的频谱分别进行频移，求出频移后频谱所对应的序列，并画出序列的时域波形图，验证傅里叶变换的频移性质。 2、自行设计一个周期序列，要求：（1）画出周期序列的时域波形图；（2）求周期序列的DFS，并画出幅度特性曲线；（3）求周期序列的FT，并画出幅频特性曲线；（4）比较DFS和FT的结果，从中可以得出什么结论。 三．课程设计要求 1.要求独立完成设计任务。 2.课程设计说明书封面格式要求见《天津城市建设学院课程设计教学工作规范》附表1 3.课程设计的说明书要求简洁、通顺，计算正确，图纸表达内容完整、清楚、规范。 4.测试要求：根据题目的特点，编写Matlab程序，绘制结果图形，并从理论上进行分析。 5.课设说明书要求： 1)说明题目的设计原理和思路、采用方法及设计流程。 2)详细介绍运用的理论知识和主要的Matlab程序。 3)绘制结果图形并对仿真结果进行详细的分析。
信号分析中的频率细化基本概念
研究数字频谱最有效方法通常是离散傅里叶变换。频率分辨率是指对两个相邻谱峰进行区分的能力，表现形式为频谱中能够分辨的两个频率分量的最小间隔。 在信号处理中，人们为了把整个频率范围内的某段重点频区局部放大，获得比整个频率范围的频率分辨率更高的频率分辨率，从而观察频谱中的细微部分。因此提出频谱细化这一课题。 考虑到数字信号分析中，虽然提高信号的采样频率可以改善信号分析的频率分辨率，但是提高信号的采样频率通常需要付出额外的硬件代价，往往受制于可实现性与成本问题而难以实现。因此，就需要使用频谱细化技术在尽可能低的采样频率下提高数字信号分析的频率分辨率的措施。 频谱细化的基本思路是对信号频谱中的某一频段进行局部放大，也即在某一频率附近局部增加谱线密度，实现选带频段分析。 常见的经典方法有：复调制细化法、Chirp-Z变换、FFT+FT细化法、DFT补零法等很多方法。 复调制细化法：又称为选带频率细化选带频谱分析，是20世纪70年代发展起来的。其传统的分析步骤为：移频（复调制）--低通滤波器--重抽样--FFT及谱分析--频率成分调整，因其物理概念非常明确，所以一直沿用至今。 FFT+FT细化法：该方法的原理本质是将连续傅里叶变换经过将积分化成求和、时域离散化和时域截断为有限长三个步骤变换得到时间离散、频率连续的特殊傅里叶变换形式。FF T+FT连续细化分析傅里叶变换法先用FFT做全景谱，再对指定的一个频率区间进行细化计算：先确定频率分辨率，再确定计算频率序列，最后用FT连续谱分析方法进行实部和虚部计算，合成幅值谱和相位谱。 Chirp-Z变换：最早提出于1969年，CZT是一种在Z平面上沿着螺旋线轨道计算有限时宽的Z变换方法。基本原理是在折叠频率范围内,任意选择起始频率和频率分辨率,在这有
09典型信号的频谱分析
实验九 典型信号的频谱分析 一. 实验目的 1. 在理论学习的基础上，通过本实验熟悉典型信号的频谱特征，并能够从信号频谱中读取 所需的信息。 2. 了解信号频谱分析的基本原理和方法，掌握用频谱分析提取测量信号特征的方法。 二. 实验原理 信号频谱分析是采用傅里叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。 图1、时域分析与频域分析的关系 信号频谱X(f)代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。时域信号x(t)的傅氏变换为： dt e t x f X ft j ?+∞ ∞--=π2)()( (1) 式中X(f)为信号的频域表示，x(t)为信号的时域表示，f 为频率。 工程上习惯将计算结果用图形方式表示， 以频率f 为横坐标，X(f)的实部)(f a 和虚部 )(f b 为纵坐标画图，称为时频－虚频谱图； 以频率f 为横坐标，X(f)的幅值)(f A 和相位 )(f ?为纵坐标画图，则称为幅值－相位谱； 以f 为横坐标，A(f) 2为纵坐标画图，则称为 功率谱，如图所示。 频谱是构成信号的各频率分量的集合，它 完整地表示了信号的频率结构，即信号由哪些 谐波组成，各谐波分量的幅值大小及初始相 位，揭示了信号的频率信息。 图2、信号的频谱表示方法
三. 实验内容 1. 白噪声信号幅值谱特性 2. 正弦波信号幅值谱特性 3. 方波信号幅值谱特性 4. 三角波信号幅值谱特性 5. 正弦波信号＋白噪声信号幅值谱特性 四. 实验仪器和设备 1. 计算机1台 2. DRVI快速可重组虚拟仪器平台1套 3. 打印机1台 五. 实验步骤 1.运行DRVI主程序，点击DRVI快捷工具条上的"联机注册"图标，选择其中的“DRVI 采集仪主卡检测”或“网络在线注册”进行软件注册。 2.在DRVI软件平台的地址信息栏中输入WEB版实验指导书的地址，在实验目录中选择 “典型信号频谱分析”，建立实验环境。 图5 典型信号的频谱分析实验环境 下面是该实验的装配图和信号流图，图中的线上的数字为连接软件芯片的软件总线数据线号，6017、6018为两个被驱动的信号发生器的名字。 图6 典型信号的频谱分析实验装配图
典型序列的谱分析及特性___数字信号课程设计
兰州城市学院 课程设计报告 课程名称_____________数字信号处理__________ 设计题目典型序列的谱分析及特性 专业_____电子信息科学与技术____________ 班级电信111班 学号20110602050135 姓名_______________闫宝山_____________ 完成日期2015年1月1日
课程设计任务书 设计题目：_________ 典型序列的谱分析及特性_______________ _________________________________________________________ 设计内容与要求： 1对于三种典型序列------单位采样序列、实指数序列、矩形序列，要求： (1). 画出以上序列的时域波形图； (2). 求出以上序列的傅里叶变换； (3). 画出以上序列的幅度谱及相位谱，并对相关结果予以理论分析； (4). 对以上序列分别进行时移，画出时移后序列的频谱图，验证傅里叶变换的时移性质； (5). 对以上序列的频谱分别进行频移，求出频移后频谱所对应的序列，并画 出序列的时域波形图，验证傅里叶变换的频移性质。 2 自行设计一个周期序列,要求; (1).画出周期序列的时域波形图; (2).求周期序列的DFS,并画出幅度特性曲线; 1图(1).画出周期序列的时域波形图 课程设计评语 成绩：
指导教师：_______________ 年月日
目录 第1章设计任务及要求 (1) 1.1 设计任务 (1) 1.2 设计要求 (1) 第2章设计原理 (2) 2.1 三种典型序列的表达式及程序 (2) 2.1.1 单位采样序列 (2) 2.1.2 实指数序列 (2) 2.1.3 矩阵序列 (3) 2.2 时移、频移与傅里叶变换原理 (3) 2.2.1 时移原理 (3) 2.2.2 频移原理 (4) 2.2.3 傅里叶变换（DFT)原理 (4) 第3章设计实现 (5) 3.1 单位采样序列的谱分析及特性实现 (5) 3.2 实指数序列的谱分析及特性实现 (6) 3.3 矩阵序列的的谱分析及特性实现 (8) 第4章设计结果及分析 (10) 4.1 三种典型序列的结果 (10)
信号分析中的频率细化基本概念
频谱细化 - 研究背景 研究数字频谱最有效方法通常是离散傅里叶变换。频率分辨率是指对两个相邻谱峰进行区分的能力，表现形式为频谱中能够分辨的两个频率分量的最小间隔。 在信号处理中，人们为了把整个频率范围内的某段重点频区局部放大，获得比整个频率范围的频率分辨率更高的频率分辨率，从而观察频谱中的细微部分。因此提出频谱细化这一课题。 频谱细化 - 研究意义 考虑到数字信号分析中，虽然提高信号的采样频率可以改善信号分析的频率分辨率，但是提高信号的采样频率通常需要付出额外的硬件代价，往往受制于可实现性与成本问题而难以实现。因此，就需要使用频谱细化技术在尽可能低的采样频率下提高数字信号分析的频率分辨率的措施。 频谱细化 - 基本思路 频谱细化的基本思路是对信号频谱中的某一频段进行局部放大，也即在某一频率附近局部增加谱线密度，实现选带频段分析。 频谱细化 - 常见方法 常见的经典方法有：复调制细化法、Chirp-Z变换、FFT+FT细化法、DFT补零法等很多方法。 复调制细化法：又称为选带频率细化选带频谱分析，是20世纪70年代发展起来的。其传统的分析步骤为：移频（复调制）--低通滤波器--重抽样--FFT及谱分析--频率成分调整，因其物理概念非常明确，所以一直沿用至今。 FFT+FT细化法：该方法的原理本质是将连续傅里叶变换经过将积分化成求和、时域离散化和时域截断为有限长三个步骤变换得到时间离散、频率连续的特殊傅里叶变换形式。FF T+FT连续细化分析傅里叶变换法先用FFT做全景谱，再对指定的一个频率区间进行细化计算：先确定频率分辨率，再确定计算频率序列，最后用FT连续谱分析方法进行实部和虚部计算，合成幅值谱和相位谱。
频谱分析
2.1频谱分析原理 时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简单波形外，很难明确提示信号的频率组成和各频率分量大小，而频谱分析能很好的解决此问题。由于从频域能获得的主要是频率信息，所以本节主要介绍频率(周期)的估计与频谱图的生成。 2.2.1DFT与FFT 对于给定的时域信号y，可以通过Fourier变换得到频域信息Y。Y可按下式计算 式中，N为样本容量，Δt = 1/Fs为采样间隔。 采样信号的频谱是一个连续的频谱，不可能计算出所有的点的值，故采用离散Fourier变换(DFT)，即 式中，Δf = Fs/N。但上式的计算效率很低，因为有大量的指数(等价于三角函数)运算，故实际中多采用快速Fourier变换(FFT)。其原理即是将重复的三角函数算计的中间结果保存起来，以减少重复三角函数计算带来的时间浪费。由于三角函数计算的重复量相当大，故FFT能极大地提高运算效率。 2.2.2 频率、周期的估计 对于Y(kΔf)，如果当kΔf = 时，Y(kΔf)取最大值，则为频率的估计值，由于采样间隔的误差，也存在误差，其误差最大为Δf / 2。 周期T=1/f。 从原理上可以看出，如果在标准信号中混有噪声，用上述方法仍能够精确地估计出原标准信号的频率和周期，这个将在下一章做出验证 2.2.3 频谱图 为了直观地表示信号的频率特性，工程上常常将Fourier变换的结果用图形的方式表示，即频谱图。 以频率f为横坐标，|Y(f)|为纵坐标，可以得到幅值谱；
以频率f为横坐标，arg Y(f)为纵坐标，可以得到相位谱； 以频率f为横坐标，Re Y(f)为纵坐标，可以得到实频谱； 以频率f为横坐标，Im Y(f)为纵坐标，可以得到虚频谱。 根据采样定理，只有频率不超过Fs/2的信号才能被正确采集，即Fourier 变换的结果中频率大于Fs/2的部分是不正确的部分，故不在频谱图中显示。即横坐标f ∈[0, Fs/2] 2.5．运行实例与误差分析 为了分析软件的性能并比较时域分析与频域分析各自的优势，本章给出了两种分析方法的频率估计的比较，分析软件的在时域和频域的计算精度问题。2.5.1标准正弦信号的频率估计 用信号发生器生成标准正弦信号，然后分别进行时域分析与频域分析，得到的结果如图 4所示。从图中可以看出，时域分析的结果为f = 400.3702Hz，频域分析的结果为f = 417.959Hz，而标准信号的频率为400Hz，从而对于标准信号时域分析的精度远高于频域分析的精度。 2.5.2 带噪声的正弦信号的频率估计 先成生幅值100的标准正弦信号，再将幅值50的白噪声信号与其混迭，对最终得到的信号进行时域分析与频域分析，结果如图 5所示，可以看出，时域分析的结果为f = 158.9498Hz，频域分析的结果为f = 200.391Hz，而标准信号的频率为200Hz，从而对于带噪声的正弦信号频域分析的精度远高于时域分析的精度。 2.5.3 结果分析与结论
实验：典型信号频谱分析报告
实验3.2 典型信号频谱分析 一、 实验目的 1. 在理论学习的基础上，通过本实验熟悉典型信号的波形和频谱特征，并 能够从信号频谱中读取所需的信息。 2. 了解信号频谱分析的基本方法及仪器设备。 二、 实验原理 1. 典型信号及其频谱分析的作用 正弦波、方波、三角波和白噪声信号是实际工程测试中常见的典型信号，这些信号时域、频域之间的关系很明确，并且都具有一定的特性，通过对这些典型信号的频谱进行分析，对掌握信号的特性，熟悉信号的分析方法大有益处，并且这些典型信号也可以作为实际工程信号分析时的参照资料。本次实验利用DRVI 快速可重组虚拟仪器平台可以很方便的对上述典型信号作频谱分析。 2. 频谱分析的方法及设备 信号的频谱可分为幅值谱、相位谱、功率谱、对数谱等等。对信号作频谱分析的设备主要是频谱分析仪，它把信号按数学关系作为频率的函数显示出来，其工作方式有模拟式和数字式二种。模拟式频谱分析仪以模拟滤波器为基础，从信号中选出各个频率成分的量值；数字式频谱分析仪以数字滤波器或快速傅立叶变换为基础，实现信号的时—频关系转换分析。 傅立叶变换是信号频谱分析中常用的一个工具，它把一些复杂的信号分解为无穷多个相互之间具有一定关系的正弦信号之和，并通过对各个正弦信号的研究来了解复杂信号的频率成分和幅值。 信号频谱分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。时域信号x(t)的傅氏变换为： 式中X(f)为信号的频域表示，x(t)为信号的时域表示，f 为频率。 3. 周期信号的频谱分析 周期信号是经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件： dt e t x f X ft j ?+∞ ∞--=π2)()(
数字信号处理FFT频谱分析
一、实验目的 （1）在理论学习的基础上，通过本实验，加深对FFT 的理解，熟悉FFT 子程序。 （2）熟悉应用FFT 对典型信号进行频谱分析的方法。 （3）了解应用FFT 进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT 。 （4）熟悉应用FFT 实现两个序列的线性卷积的方法。 （5） 初步了解用周期图法做随机信号谱分析的方法。 二、实验原理 1、对有限长序列，可以用离散傅里叶变换DFT 。不但可以很好的反映序列的频谱特性，而且易于用快速算法在计算机上实现，当序列x(n)的长度为N 时，它的DFT 定义为 N j N N n kn N e W W n x k π210,)(X --===∑）（ 逆变换为： ∑-=-=10)(1)(N k kn N W k X N n x 有限长序列的DFT 使其z 变换在单位圆上的等距采样。因此可用于序列的谱分析。 2、用FFT 计算线性卷积 用FFT 可以实现两个序列的圆周卷积。在一定的条件下，可以使圆周卷积等于线性卷积，一般情况，设两个序列的长度分别为N1和N2，要使圆周卷积等于线性卷积的充要条件是FFT 的长度N 大于等于N1加N2.对于长度不足N 的序列，分别用FFT 对它们补零延长到N 。 三、实验内容 1、已知有限长序列x(n)=[1,0.5,0,0.5,1,1,0.5,0],要求： ①用FFT 求该序列的DFT 、IDFT 图形 ②假设采样频率F=20Hz,序列长度N 分别取8、32和64，用FFT 计算其幅度频谱和相位频谱。 ①程序
实验截图：
DFT、IDFT图形 实验截图： 幅度频谱和相位频谱。 2、用FFT计算下面连续信号的频谱，并观察不同的采样周期T和序列长度N值对频谱特性的影响。 程序：
几种频谱分析报告细化方法简介
高分辨率频谱分析算法实现 【摘要】随着电子技术的迅速发展，信号处理已经深入到很多的工程领域，信号频域的特征越来越受到重视。在信号通信、雷达对抗、音频分析、机械诊断等领域，频谱分析技术起到很大的作用。基于数字信号处理（DSP）技术的频谱分析，如果采用传统的快速傅里叶（FFT）算法则只能比较粗略的计算频谱，且分辨率不高；但是采用频谱细化技术就能对频域信号中感兴趣的局部频段进行频谱分析，就能得到很高的分辨率。常见的方法有基于复调制的ZoomFFT 法、Chirp-Z 变换、Yip-ZOOM 变换等，但是从分析精度、计算效率、分辨率、灵活性等方面来看，基于复调制的ZoomFFT 方法是一种行之有效的方法。实验结果表明该方案具有分辨率高、速度快的特点,具有较高的工程应用价值。 【关键字】频谱分析;频谱细化;Z变换
【Abstract】With the rapid development of electrical technology, signal processing has been widely used in many engineering fields and special attention has been paid to the characteristic of signal frequency. The spectrum analyzer technology takes a great part in the fields like signal communication, rador countermeasures, audio analysis, mechanism diagnose. Based on digital signal processing (DSP) technology, the spectrum analysis system, while the use of the fast Fu Liye traditional (FFT) algorithm can calculate the frequency spectrum is rough, and the resolution is not high; but using spectrum zoom technique can analyze the frequency spectrum of the local frequency segment interested in frequency domain signal, can get very high resolution. A common method of complex modulation ZoomFFT method, Chirp-Z transform, Yip-ZOOM transform based on, but from the analysis accuracy, computational efficiency, resolution, spirit Active perspective, Zoom-FFT method based on the polyphonic system is a kind of effective method. Simulation results show that this method is featured by high resolution and high speed, and has high application value. 【Key words】signal processing; spectrum analysis; spectrum zooming; Z-transformation
数字信号处理实验五-用FFT做频谱分析
数字信号处理实验五 用FFT做频谱分析 实验目的： (1)通过本实验，加深对DTFT和IDFT以及DFT和FFT的理解，熟悉FFT子程序 (2)熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法 (3)了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT (4)熟悉应用FFT实现两个序列线性卷积的方法 (5)初步了解用周期图法做随机信号频谱分析的方法 实验内容： (1)已知有限长序列x(n)=[1,0.5,0,0.5,1,1,0.5,0],要求:用FFT求该序列的DFT、IDFT的图形。 程序如下: xn=[1,0.5,0,0.5,1,1,0.5,0]; n=length(xn); k=0:n-1; subplot(2,2,1); stem(k,xn,'k.'); title('x(n)'); Xk=fft(xn,n); subplot(2,1,2); stem(k,abs(Xk)); title('Xk=DFT(xn)'); xn1=ifft(Xk,n); subplot(2,2,2);
stem(k,xn1); title('x(n)=IDFT(Xk)'); 波形如下： 假设采样频率Fs=20Hz,序列长度N分别取8、32和64，用FFT计算幅度谱和相位谱。 程序如下: clear;close all fs=20; T=1/fs; N=[8,32,64]; for m=1:3 x=[1,0.5,0,0.5,1,1,0.5,0]; x1=fft(x,N(m));
x2=ifft(x,N(m)); subplot(3,2,2*m-1); stem([0:N(m)-1],abs(x1),'o'); title('幅度谱'); subplot(3,2,2*m); stem([0:N(m)-1],abs(x2),'o'); title('相位谱'); end 波形如下: (2)用FFT计算下面连续信号的频谱，并观察选择不同的采样周期Ts和序列长度N值对频谱特性的影响: =-t + t + t x e t t t (sin 2.2 ), sin 1.2 2 sin )(01.0≥ a 程序如下: clear;close all fs=4;T=1/fs; Tp=4;N=Tp*fs; N1=[N,4*N,8*N]; T1=[T,2*T,4*T]; for m=1:3 n=1:N1(m); x1=exp(-0.01*T);
典型序列频谱分析
第1章设计任务与要求 (1) 1．1对于三种典型序列------单位采样序列、实指数序列、矩形序列 (1) 1.2自行设计一个周期序列 (1) 第2 章原理及过程 (2) 1设计原理 (2) 第3 章设计内容 (4) 1.1单位采样序列 (4) 1.1.1时域波形 (4) 1.2傅里叶变换 (4) 1.3幅度谱及相位谱 (5) 1.4频移 (6) 1.5时移 (7) 2.1时域图形 (7) 2.2傅里叶变换 (8) 2.3幅度谱与相位谱 (9) 2.4频移 (10) 2.5时移 (10) 3.1时域图形.............................................. 错误！未定义书签。 3.2傅里叶变换............................................ 错误！未定义书签。 3.3幅度谱与相位谱........................................ 错误！未定义书签。 3.4时移.................................................. 错误！未定义书签。 3.5频移.................................................. 错误！未定义书签。 4.1幅度特性曲线 (11) 4.4周期序列的DFS (12) 4.5傅里叶变换 (12) 第4章心得与体会 (13) 参考文献 (14)
第1章设计任务与要求 1．1对于三种典型序列------单位采样序列、实指数序列、矩形序列 要求：（1）画出以上序列的时域波形图；（2）求出以上序列的傅里叶变换；（3）画出以上序列的幅度谱及相位谱，并对相关结果予以理论分析；（4）对以上序列分别进行时移，画出时移后序列的频谱图，验证傅里叶变换的时移性质；（5）对以上序列的频谱分别进行频移，求出频移后频谱所对应的序列，并画出序列的时域波形图，验证傅里叶变换的频移性质。 1.2自行设计一个周期序列 要求：（1）画出周期序列的时域波形图；（2）求周期序列的DFS，并画出幅度特性曲线；（3）求周期序列的FT，并画出幅频特性曲线；（4）比较DFS和FT的结果，从中可以得出什么结论。
频谱选带与细化分析两个小例子
频谱选带与细化分析两个小例子 解： 利用matlab编程，得出图9-1所示结果 （a）信号采样图 （b）参与FFT为64点频谱图
（c）参与FFT为128点频谱图 （d）参与FFT为256点频谱图 （e）参与FFT为64点补零至256点频谱图
（f）参与FFT为128点补零至256点频谱图 图9-1 第9章第1题各结果图示 作出一个周期内各幅值谱图如图9-1所示。 比较图（b）参与FFT为64个点，（c）参与FFT为128个点，（d）参与FFT为256个点。图（b）只有一个峰值，峰较宽；图（c）也只有一个峰值，峰较窄；图（d）有三个峰值，峰更窄。显然只有图（d）能分辨出信号中有三个频率（49Hz，50Hz，51Hz）。容易得出，随着参与点数增加，分辨率越来越高，这个是显然的。 比较图（b）参与FFT为64点频谱图，图（e）参与FFT为64点补零至256点频谱图，可以发现，补零之后的频谱分辨率提高了，但造成谱形失真。 比较图（c）参与FFT为128点频谱图和图（f）参与FFT为128点补零至256点频谱图。可以发现，补零之后的频谱分辨率提高了，能大致分辨出三个峰值，但造成谱形失真。 比较图（e）参与FFT为64点补零至256点频谱图和图（f）参与FFT为128点补零至256点频谱图。图（e）失真更严重，因此补零越多，失真越厉害。 该题的Matlab代码如下： clear;clc; %信号采样，采样频率128Hz，采样点数256 Fs=128; N=256; n=0:N-1; t=n/Fs; x=100*cos(2*pi*50*t)+150*cos(2*pi*51*t)+50*cos(2*pi*49*t); subplot(3,2,1);
频谱分析实验
频谱分析仿真实验 一、实验目的： 1．了解离散傅立叶变换理论； 2．熟悉典型信号的波形和频谱特征。 3．编程实现DFT 变换，对信号进行频谱分析。 4．学会使用LabVIEW 提供的频谱分析函数。 二、实验内容： 1．设计DFT 变换程序，求取仿真信号的幅值频谱和相位谱。 2．使用LabVIEW 提供的频谱分析函数，分析仿真信号的频谱。 3．分析正弦、方波、三角波、锯齿波信号的频谱，并与理论计算值比较。 4．被测信号叠加噪声后，再进行测量和分析误差。 三、实验器材： 安装有LabVIEW 软件的计算机1台 四、实验原理： 1．非正弦周期函数的傅立叶分解 (1)．定义 如果给定的周期函数)(t f 满足狄里赫利条件（函数在任意有限区间内，具有有限个极值点与不连续点），则该周期函数定可展开为一个收敛的正弦函数级数，如下式： ∑∑∞ =∞ =ψ+ω+ =ω+ω+ =1 010) cos() sin cos ()(k k km k k k t k A A t k b t k a a t f 其中，上式中的各个系数的计算公式为： ? ?-= = 22 0)(1 )(1T T T dt t f T dt t f T a T 为信号的周期。 ????π π -π-ωωπ=ωωπ= ω= ω= )()cos()(1)()cos()(1)cos()(2 )cos()(22022 0t d t k t f t d t k t f dt t k t f T dt t k t f T a T T T k ??? ?π π -π-ωωπ=ωωπ= ω= ω= )()sin()(1)()sin()(1)sin()(2 )sin()(22022 t d t k t f t d t k t f dt t k t f T dt t k t f T b T T T k 在该展开式中，0A 称为周期函数)(t f 的恒定分量，也称为直流分量；与原周期函数的周期相同的正弦分量)cos(11ψ+ωt A m 称为一次谐波，也称为基波分量。其他各项称为高次谐波（如2次谐波、3次谐波等等） (2)．几种常用周期信号的傅立叶展开 1）方波
数信课设 典型序列频谱分析
学号10780101 数字信号处理 设计说明书 典型序列的频谱分析 起止日期： 2012 年 12 月 17 日至 2012 年 12月 28日 学生姓名汪鹏 班级电信科1班 成绩 指导教师(签 字) 计算机与信息工程学院 2012年12月28日
天津城市建设学院 课程设计任务书 2012 —2013 学年第 1 学期 计算机与信息工程学院电子信息工程系专业 课程设计名称：数字信号处理 设计题目：典型序列的频谱分析 完成期限：自2012 年 12月 17 日至 2012 年 12月 28 日共 2 周 设计依据、要求及主要内容： 一．课程设计依据 《数字信号处理》是电子信息类专业极其重要的一门专业基础课程，这门课程是将信号和系统抽象成离散的数学模型，并从数学分析的角度分别讨论信号、系统、信号经过系统、系统设计（主要是滤波器）等问题。采用仿真可帮助学生加强理解，在掌握数字信号处理相关理论的基础上，根据数字信号处理课程所学知识，利用Matlab产生典型信号并进行频谱分析。 二．课程设计内容 1、对于三种典型序列------单位采样序列、实指数序列、矩形序列，要求：（1）画出以上序列的时域波形图；（2）求出以上序列的傅里叶变换；（3）画出以上序列的幅度谱及相位谱，并对相关结果予以理论分析；（4）对以上序列分别进行时移，画出时移后序列的频谱图，验证傅里叶变换的时移性质；（5）对以上序列的频谱分别进行频移，求出频移后频谱所对应的序列，并画出序列的时域波形图，验证傅里叶变换的频移性质。 2、自行设计一个周期序列，要求：（1）画出周期序列的时域波形图；（2）求周期序列的DFS，并画出幅度特性曲线；（3）求周期序列的FT，并画出幅频特性曲线；（4）比较DFS和FT的结果，从中可以得出什么结论。 三．课程设计要求 1.要求独立完成设计任务。 2.课程设计说明书封面格式要求见《天津城市建设学院课程设计教学工作规范》附表1 3.课程设计的说明书要求简洁、通顺，计算正确，图纸表达内容完整、清楚、规范。 4.测试要求：根据题目的特点，编写Matlab程序，绘制结果图形，并从理论上进行分析。 5.课设说明书要求： 1)说明题目的设计原理和思路、采用方法及设计流程。 2)详细介绍运用的理论知识和主要的Matlab程序。 3)绘制结果图形并对仿真结果进行详细的分析。
典型信号的频谱
典型非周期信号的频谱分析 任何一个信号都可以用余弦信号叠加而成，cos(w)=0.5(e^-jw+e^jw)，可以知道，频谱必须是关于虚周对称，根据频谱还原信号的时候，可以只看正半实轴，幅值加倍即可。 1，窗信号 t 解答：频谱为：(j )Sa()2 F A ωτ ωτ=?，式中：Sa(x)=sinx/x 是采样函数，其幅值频谱图如右 上图所示： 窗口信号的尺度伸缩情况： 2，滞后窗信号 t 0ω τ A 2) 2(2ωF τ π τπ-0 ω τ A ) (ωF τ π 2τπ 2- )2(t f t A 4τ4 τ- )(21t f t τ-τ0 )(t f t 2τ 2τ-0 ω τA 2 1 )2 1(21ωF τ π 4τ π 4- ω ω F (j ω)
解析：根据滞后定理：j 1(j )(j )e T F F ωωω-=j Sa()e 2 T A ωωτ τ-=?，其幅值频谱图右上图所 示。显然和窗口信号的是一样的，但是相位频谱图存在滞后 3，Sa 信号 根据对称性，可以直接得到Sa 信号的频谱，为窗形频谱 4.三角信号 解答：根据频域卷积性质：2 (j )4Sa ()F ωω= ，频谱如如右图所示。 4，冲击信号 解答：()()1j t F j t e dt ωωδ∞ --∞ = =? ，也就是说，δ(t )中包含了所有的频率分量， 而各频率 分量的频谱密度都相等。显然， 信号δ(t )实际上是无法实现的。 5，直流信号 解答:这个直接积分是积不出来的，需要用逆变换 t 2 2 t
()1f t =---->2()πδω 6，单边指数信号 解答： ()()j t F j f t e dt ωω∞ --∞ =? t j t e e dt αω∞-- =?? ()0()j t e j αωαω∞ -+=-+1j αω = +arctan j e ωα -= 因此频谱为： 7，符号信号 分析：双边指数信号0α→当时： ()()f t Sgn t →，因为双边指数信号的频谱为22 2()F j j ωωαω-=+因此得到符号信号的频谱为2 (0)0(0) j ωωω-??→≠??=? ) (ω?ω 2 π-2 π() F j ωω o 1 α
典型信号频谱分析
实验一典型信号频谱分析 一.实验要求 1.在理论学习的基础上，通过本实验熟悉典型信号的波形和频谱特征，并能够从信号频谱中读取所需的信息。 2.了解信号频谱分析的基本方法及仪器设备。 二.实验原理提示 1.典型信号及其频谱分析的作用 正弦波、方波、三角波和白噪声信号是实际工程测试中常见的典型信号，这些信号时域、频域之间的关系很明确，并且都具有一定的特性，通过对这些典型信号的频谱进行分析，对掌握信号的特性，熟悉信号的分析方法大有益处，并且这些典型信号也可以作为实际工程信号分析时的参照资料。本实验利用labVIEW虚拟仪器平台可以很方便的对上述典型信号作频谱分析。 2.频谱分析的方法及设备 信号的频谱可分为幅值谱、相位谱、功率谱、对数谱等等。对信号作频谱分析的设备主要是频谱分析仪，它把信号按数学关系作为频率的函数显示出来，其工作方式有模拟式和数字式二种。模拟式频谱分析仪以模拟滤波器为基础，从信号中选出各个频率成分的量值；数字式频谱分析仪以数字滤波器或快速傅立叶变换为基础，实现信号的时-频关系转换分析傅立叶变换是信号频谱分析中常用的一个工具，它把一些复杂的信号分解为无穷多个相互之间具有一定关系的正弦信号之和，并通过对各个正弦信号的研究来了解复杂信号的频率成分和幅值。 信号频谱分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。时域信号x(t)的傅氏变换为： 式中X(f)为信号的频域表示，x(t)为信号的时域表示，f为频率。用傅立叶变换将信号变换到频率域，其数学表达式为： 式中Cn画出信号的幅值谱曲线，从信号幅值谱判断信号特征。 本实验利用labVIEW平台上搭建的频谱分析仪来对信号进行频谱分析。由虚拟信号发生器产生一个典型波形的电压信号，用频谱分析仪对该信号进行频谱分析，得到频谱特性数据。分析结果用图形在计算机上显示出来，也可以通过打印机打印出来。
基于Matlab的频谱分析
编号 学士学位论文 基于MATLAB的信号波形与频谱分析学生姓名：汪娟 学号：20080204030 系部：物理系 专业：电子信息科学与技术 年级：2008 级 指导教师：黄晓俊 完成日期：2012 年 5 月 2 日
中文摘要 利用DFT分析信号频谱的基本流程，阐述了频谱分析过程中误差形成的原因及减小分析误差的主要措施。实例列举了基于MATLAB GUI编制的信号分析系统，集成了常用的信号分析方法，系统界面友好，使用方便，与传统处理方法相比效率更高。 关键词：MATLAB GUI；信号分析；频谱分析 Analysis of Signal Waveform and Frequency Spectrum Based on MATLAB Abstract The use of DFT analysis of signal spectrum basic process , elaborated spectral analysis in the process of formation and reduce error analysis error measures. The examples cited MATLAB GUI system based on the signal analysis system, integrated with the commonly used method of signal analysis, the system friendly interface, convenient use, compared with the traditional processing approaches more efficient. Key words: MATLAB GUI; signal analysis; spectrum analysis I