椭圆及其性质
§8.5椭圆及其性质
学习目标
1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.
2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)
.3.掌握椭圆的简单应用．
知识梳理
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的简单几何性质
焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上
图形
标准方程x2
a2＋
y2
b2＝1 (a>b>0)
y2
a2＋
x2
b2＝1 (a>b>0)
范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，
A2(0，a)
B1(－b，0)，
B2(b，0)
轴长短轴长为2b，长轴长为2a
焦点F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c
对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率e＝c
a(0 常用结论 椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2＝θ. (1)当P 为短轴端点时，θ最大，1 2 F PF S △最大． (2) 12F PF S △＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝b 2tan θ 2＝c |y 0|. (3)|PF 1|max ＝a ＋c ，|PF 1|min ＝a －c . (4)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛ ⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2 . (5)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × ) (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ ) (3)y 2m 2＋x 2 n 2＝1(m ≠n )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( √ ) 教材改编题 1．设P 是椭圆x 225＋y 2 16＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 答案 D 解析 依椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10. 2．若椭圆C ：x 24＋y 2 3＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为( ) A ．3 B ．2＋ 3 C ．2 D.3＋1 答案 A 解析 由题意知a ＝2，b ＝3，所以c ＝1，距离的最大值为a ＋c ＝3. 3．(2022·深圳模拟)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且离心率为1 2，则C 的方程可以为________． 答案 x 24＋y 2 3 ＝1(答案不唯一) 解析 因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1，a >b >0， 因为离心率为1 2， 所以c a ＝12， 所以c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14， 则b 2a 2＝34 . 题型一 椭圆的定义及其应用 例1 (1)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 是圆上任意一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 答案 B 解析 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|P A |＝|PN |.又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|P A |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆的定义知，P 的轨迹是椭圆． (2)设点P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 2 4＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°， 则△PF 1F 2的面积为________． 答案 43 3 解析 由题意知，c ＝a 2－4. 又∠F 1PF 2＝60°，|F 1P |＋|PF 2|＝2a ， |F 1F 2|＝2a 2－4， ∴|F 1F 2|2＝(|F 1P |＋|PF 2|)2－2|F 1P ||PF 2|－ 2|F 1P |·|PF 2|cos 60° ＝4a 2－3|F 1P |·|PF 2|＝4a 2－16， ∴|F 1P |·|PF 2|＝163 ， ∴12PF F S △＝1 2|F 1P |·|PF 2|sin 60° ＝12×163×3 2 ＝43 3 . 延伸探究 若将本例(2)中“∠F 1PF 2＝60°”改成“PF 1⊥PF 2”，求△PF 1F 2的面积． 解 ∵PF 1⊥PF 2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4(a 2－4) ＝4a 2－16， 又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|·|PF 2|＝8， ∴12 PF F S △＝4. 教师备选 1．△ABC 的两个顶点为A (－3,0)，B (3,0)，△ABC 周长为16，则顶点C 的轨迹方程为( ) A.x 225＋y 2 16 ＝1(y ≠0) B.y 225＋x 2 16 ＝1(y ≠0) C.x 216＋y 2 9＝1(y ≠0) D.y 216＋x 2 9 ＝1(y ≠0) 答案 A 解析 由题知点C 到A ，B 两点的距离之和为10，故C 的轨迹为以A (－3,0)，B (3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故 2a ＝10，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝16.所以方程为 x 225＋y 2 16 ＝1. 又A ，B ，C 三点不能共线， 所以x 225＋y 2 16 ＝1(y ≠0)． 2．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 2 7＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2 的面积为( ) A ．7 B.74 C.72 D.75 2 答案 C 解析 由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6. ∵|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45° ＝|AF 1|2＋8－4|AF 1|， ∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋8－4|AF 1|， 解得|AF 1|＝7 2. ∴△AF 1F 2的面积 S ＝12×22×72×22＝72. 思维升华 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等． (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 跟踪训练1 (1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( ) A.x 264－y 2 48＝1 B.x 248＋y 2 64＝1 C.x 248－y 2 64＝1 D.x 264＋y 2 48 ＝1 答案 D 解析 设动圆的圆心M (x ，y )，半径为r ， 圆M 与圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169内切， 与圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9外切． 所以|MC 1|＝13－r ，|MC 2|＝3＋r . |MC 1|＋|MC 2|＝16>|C 1C 2|＝8， 由椭圆的定义，M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点，长轴长为16的椭圆． 则a ＝8，c ＝4，所以b 2＝82－42＝48， 动圆的圆心M 的轨迹方程为x 264＋y 2 48 ＝1. (2)(2022·武汉调研)设椭圆x 24＋y 2 3＝1的一个焦点为F ，则对于椭圆上两动点A ，B ，△ABF 周 长的最大值为( ) A ．4＋ 5 B ．6 C ．25＋2 D ．8 答案 D 解析 设F 1为椭圆的另外一个焦点， 则由椭圆的定义可得|AF |＋|BF |＋|AB |＝2a －|AF 1|＋2a －|BF 1|＋|AB |＝4a ＋|AB |－|BF 1|－|AF 1|＝8＋|AB |－|BF 1|－|AF 1|， 当A ，B ，F 1三点共线时， |AB |－|BF 1|－|AF 1|＝0， 当A ，B ，F 1三点不共线时， |AB |－|BF 1|－|AF 1|<0， 所以当A ，B ，F 1三点共线时，△ABF 的周长取得最大值8. 题型二 椭圆的标准方程 命题点1 定义法 例2 已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2 ＝1 B.x 23＋y 2 2＝1 C.x 24＋y 2 3＝1 D.x 25＋y 2 4 ＝1 答案 B 解析 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)， 由椭圆定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a . ∵|AB |＝|BF 1|，∴|AF 1|＋2|AB |＝4a . 又|AF 2|＝2|F 2B |， ∴|AB |＝3 2|AF 2|， ∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a . 又|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， ∴|AF 2|＝a ，∴A 为椭圆的短轴端点． 如图，不妨设A (0，b )， 又F 2(1,0)，AF 2—→＝2F 2B —→ ， ∴B ⎝⎛⎭⎫32 ，－b 2. 将B 点坐标代入椭圆方程x 2a 2＋y 2 b 2＝1， 得94a 2＋b 2 4b 2＝1， ∴a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2. ∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2 2＝1. 命题点2 待定系数法 例3 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则该椭圆的方程为________． 答案 x 29＋y 2 3 ＝1 解析 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )． 因为椭圆经过P 1，P 2两点， 所以点P 1，P 2的坐标满足椭圆方程， 则⎩ ⎪⎨⎪⎧ 6m ＋n ＝1，3m ＋2n ＝1， 解得⎩⎨⎧ m ＝1 9，n ＝1 3. 所以所求椭圆的方程为x 29＋y 2 3 ＝1. 教师备选 1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为1 2，过F 2的直线 与椭圆C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 的周长为8，则椭圆方程为( ) A.x 24＋y 2 3＝1 B.x 216＋y 2 12＝1 C.x 22＋y 2 ＝1 D.x 24＋y 2 2 ＝1 答案 A 解析 如图， 由椭圆的定义可知，△F 1AB 的周长为4a ， 所以4a ＝8，a ＝2，又离心率为1 2， 所以c ＝1，b 2＝3， 所以椭圆方程为x 24＋y 2 3 ＝1. 2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点为(2,0)，离心率为2 2，则此椭圆的方程为________． 答案 x 28＋y 2 4 ＝1 解析 椭圆的右焦点为(2,0)， 所以m 2－n 2＝4，e ＝ 22＝2m ， 所以m ＝22，代入m 2－n 2＝4，得n 2＝4， 所以椭圆方程为x 28＋y 2 4＝1. 思维升华 根据条件求椭圆方程的主要方法 (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义． (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a ，b .当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m ，n 的值即可． 跟踪训练2 (1)已知椭圆的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，M 是椭圆上一点，若MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8，则该椭圆的方程是( ) A.x 27＋y 2 2＝1 B.x 22＋y 2 7＝1 C.x 29＋y 2 4＝1 D.x 24＋y 2 9 ＝1 答案 C 解析 设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ， 因为MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8， |F 1F 2|＝25， 所以m 2＋n 2＝20，mn ＝8， 所以(m ＋n )2＝36， 所以m ＋n ＝2a ＝6，所以a ＝3. 因为c ＝5， 所以b ＝a 2－c 2＝2. 所以椭圆的方程是x 29＋y 2 4 ＝1. (2)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2 ＝1 B.x 23＋y 2 2＝1 C.x 24＋y 2 3＝1 D.x 25＋y 2 4＝1 答案 C 解析 如图，|AF 2|＝12|AB |＝3 2 ，|F 1F 2|＝2， 由椭圆定义，得|AF 1|＝2a －3 2 .① 在Rt △AF 1F 2中， |AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝⎝⎛⎭⎫322＋22 .② 由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2 3＝1. 题型三 椭圆的几何性质 命题点1 离心率 例4 (1)(2022·湛江模拟)已知F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点，过椭圆C 的下顶点 且斜率为3 4的直线与以点F 为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C 的离心率为( ) A.55 B.12 C.33 D.22 答案 A 解析 过椭圆C 的下顶点(0，－b )且斜率为34的直线方程为y ＝34x －b ，即3 4x －y －b ＝0， F (c ，0)，由点到直线距离公式， 得c ＝ ⎪⎪⎪ ⎪ 34c －b ⎝⎛⎭ ⎫342＋1， 即c 2＝－3 2bc ＋b 2，即(2c －b )(c ＋2b )＝0， 则2c －b ＝0，b ＝2c . 又a 2＝b 2＋c 2，即a 2＝(2c )2＋c 2＝5c 2， 解得c a ＝55 . (2)已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2 ＝90°，则椭圆的离心率e 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎦⎤ 0， 22 B.⎣⎡ ⎭⎫ 22，1 C.⎝ ⎛⎦ ⎤0， 32 D.⎣⎡ ⎭ ⎫ 32，1 答案 B 解析 若椭圆上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则以原点为圆心，F 1F 2为直径的圆与椭圆必有交点，如图， 可得c ≥b ，即c 2≥b 2， 所以2c 2≥a 2，即e 2≥1 2， 又e <1，所以e ∈⎣⎡ ⎭ ⎫ 22，1. 思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法 (1)直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝c a 求解． (2)由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝ 1－b 2 a 2求解． (3)构造a ，c 的齐次式．可以不求出a ，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e . 命题点2 与椭圆有关的范围(最值) 例5 (1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2 答案 D 解析 设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时，以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积最大，所以1 2×2cb ＝1，故bc ＝1，故 2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)． (2)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1(b >0)的离心率e ＝1 2，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右 顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·P A → 的最大值为________． 答案 4 解析 由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12， 所以c ＝1， 所以b 2＝a 2－c 2＝3， 故椭圆的方程为x 24＋y 23 ＝1. 设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 因为F (－1,0)，A (2,0)， 所以PF →＝(－1－x 0，－y 0)， P A →＝(2－x 0，－y 0)， 所以PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14 (x 0－2)2， 所以当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4. 教师备选 1．(多选)嫦娥四号在绕月飞行时是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3 476公里，则下列选项中正确的有( ) A ．焦距长约为300公里 B ．长轴长约为3 988公里 C ．两焦点坐标约为(±150,0) D ．离心率约为75994 答案 AD 解析 设该椭圆的长半轴长为a ，半焦距长为c . 依题意可得月球半径约为12 ×3 476＝1 738， a －c ＝100＋1 738＝1 838， a ＋c ＝400＋1 738＝2 138， 所以2a ＝1 838＋2 138＝3 976，a ＝1 988， c ＝2 138－1 988＝150,2c ＝300， 椭圆的离心率约为e ＝c a ＝1501 988＝75994 ， 可得结论A ，D 正确，B 错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C 错误． 2．(2022·太原模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8 答案 C 解析 由椭圆x 24＋y 2 3＝1可得F (－1,0)， 点O (0,0)． 设P (x ，y )(－2≤x ≤2)． 则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝⎛⎭⎫1－x 24 ＝14x 2＋x ＋3＝14 (x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2， 当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6. 思维升华 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质； (2)利用函数，尤其是二次函数； (3)利用不等式，尤其是基本不等式． 跟踪训练3 (1)(2022·济南质检)设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点．若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为( ) A.2－1 B.5－12 C.22 D.2＋1 答案 A 解析 不妨设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，如图所示，∵△PF 1F 2为直角三角形，∴PF 1⊥F 1F 2，又|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|＝22c ，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2c ＋22c ＝2a ， ∴椭圆E 的离心率e ＝c a ＝2－1. (2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (c ，0)，上顶点为A (0，b )，直线x ＝a 2 c 上存在一点P 满足(FP →＋F A →)·AP →＝0，则椭圆的离心率的取值范围为( ) A.⎣⎡⎭⎫12，1 B.⎣⎡⎭⎫2 2，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫ 5－1 2，1 D.⎝⎛⎦⎤0，2 2 答案 C 解析 取AP 的中点Q ，则FQ →＝1 2(FP →＋F A →)， 所以(FP →＋F A →)·AP →＝2FQ →·AP →＝0， 所以FQ ⊥AP ，所以△AFP 为等腰三角形， 即|F A |＝|FP |，且|F A |＝b 2＋c 2＝a . 因为点P 在直线x ＝a 2 c 上， 所以|FP |≥a 2c －c ，即a ≥a 2 c －c ， 所以a c ≥a 2 c 2－1，所以e 2＋e －1≥0， 解得e ≥5－12或e ≤－5－ 1 2. 又0＜e ＜1，故5－1 2≤e ＜1. 课时精练 1．已知动点M 到两个定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为( ) A.x 29＋y 2＝1 B.y 2 9＋x 2 5＝1 C.y 2 9＋x 2＝1 D.x 29＋y 2 5＝1 答案 D 解析 由题意有6>2＋2＝4， 故点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆， 则2a ＝6，c ＝2，故a 2＝9， 所以b 2＝a 2－c 2＝5， 故椭圆的方程为x 29＋y 2 5＝1. 2．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( ) A.12 B.33 C.22 D.24 答案 C 解析 依题意可知，c ＝b ， 又a ＝b 2＋c 2＝2c ， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝22 . 3．椭圆x 22 ＋y 2＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则PF 1—→·PF 2—→的取值范围是( ) A ．[－1,1] B ．[－1,0] C ．[0,1] D ．[－1,2] 答案 C 解析 设F 1为左焦点， 则由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 设P (x ，y )，－2≤x ≤2， ∴PF 1—→＝(－1－x ，－y )，PF 2—→＝(1－x ，－y )， 则PF 1—→·PF 2—→＝x 2＋y 2－1＝x 22 ∈[0,1]． 4．设e 是椭圆x 24＋y 2 k ＝1的离心率，且e ∈⎝⎛⎭⎫12，1，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0,3) B.⎝⎛⎭⎫3，163 C ．(0,3)∪⎝⎛⎭⎫163，＋∞ D ．(0,2) 答案 C 解析 当k >4时，c ＝k －4， 由条件知14 <1， 解得k >163 ； 当0 <1，解得0 过焦点F 1作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是( ) A ．椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1 B ．椭圆 C 的方程为x 23＋y 2＝1 C ．|PQ |＝233 D ．△PF 2Q 的周长为4 3 答案 ACD 解析 由已知得， 2b ＝2，b ＝1，c a ＝63 ， 又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3. ∴椭圆方程为 x 2＋y 23 ＝1， 如图． ∴|PQ |＝2b 2a ＝23 ＝233， △PF 2Q 的周长为4a ＝4 3. 6．(多选)(2022·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，点P (1,1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是( ) A ．|QF 1|＋|QP |的最小值为2a －1 B ．椭圆 C 的短轴长可能为2 C ．椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭ ⎪⎫0，5－12 D ．若PF 1—→＝F 1Q —→，则椭圆C 的长轴长为5＋17 答案 ACD 解析 由题意可知2c ＝2，则c ＝1，因为点Q 在椭圆上， 所以|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QP |＝2a －|QF 2|＋|QP |， 又－1≤－|QF 2|＋|QP |≤1，所以A 正确； 因为点P (1,1)在椭圆内部，所以b ＞1,2b ＞2， 所以B 错误； 因为点P (1,1)在椭圆内部，所以1a 2＋1b 2＜1， 即b 2＋a 2－a 2b 2＜0，又c ＝1，b 2＝a 2－c 2， 所以(a 2－1)＋a 2－a 2(a 2－1)＜0， 化简可得a 4－3a 2＋1＞0(a >1)， 解得a 2＞3＋52或a 2＜3－52 (舍去)， 则椭圆C 的离心率 e ＝c a ＜13＋5 2＝15＋12 ＝5－12， 又0 ⎪⎫0， 5－12， 所以C 正确； 由PF 1—→＝F 1Q —→可得，F 1为PQ 的中点， 而P (1,1)，F 1(－1,0)， 所以Q (－3，－1)， |QF 1|＋|QF 2| ＝(－3＋1)2＋(－1－0)2＋(－3－1)2＋(－1－0)2 ＝5＋17＝2a ， 所以D 正确． 7．如图是篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22 cm ，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为________． 答案 12 解析 由图可得，椭圆的短轴长2b ＝22⇒b ＝11， 2a ＝22sin 60°＝2232 ⇒a ＝223 ， ∴e ＝c a ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－34＝12 . 8．(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216＋y 2 4 ＝1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________． 答案 8 解析 根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋(8－m )2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2－b 2)＝48， 得m (8－m )＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为 |PF 1|×|PF 2|＝m (8－m )＝8. 9．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)． (1)求椭圆的标准方程； (2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积． 解 (1)设椭圆的标准方程为 x 2a 2＋y 2 b 2 ＝1(a >b >0)， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝10，c ＝3， 因此a ＝5，b ＝4， 所以椭圆的标准方程为x 225＋y 2 16 ＝1. (2)易知|y P |＝4，又c ＝3， 所以12 F PF S △＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12. 10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，左顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，A 到直线EF 2的距离为 62 b . (1)求椭圆C 的离心率； (2)若P 为椭圆C 上的一点，∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3，求椭圆C 的方程． 解 (1)由题意得，A (－a ，0)，EF 2：x ＋y ＝c ， 因为A 到直线EF 2的距离为 62b ， 即|－a －c | 12＋12＝62b ， 所以a ＋c ＝3b ， 即(a ＋c )2＝3b 2，又b 2＝a 2－c 2， 所以(a ＋c )2＝3(a 2－c 2)， 所以2c 2＋ac －a 2＝0， 因为离心率e ＝c a ， 所以2e 2＋e －1＝0， 解得e ＝12 或e ＝－1(舍)， 所以椭圆C 的离心率为12 . (2)由(1)知离心率e ＝c a ＝12 ，即a ＝2c ，① 因为∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3， 则12 |PF 1||PF 2|sin 60°＝3， 所以|PF 1||PF 2|＝4， 又⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝(2c )2， 所以a 2－c 2＝3，② 联立①②得a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2 3 ＝1. 11．(多选)(2022·大连模拟)已知椭圆C ：x 216＋y 2 9 ＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，左、右顶点分别是A 1，A 2，点P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，则下列说法正确的是( ) A ．|PF 1|＋|PF 2|＝4 B ．存在点P 满足∠F 1PF 2＝90° C ．直线P A 1与直线P A 2的斜率之积为－916 D ．若△F 1PF 2的面积为27，则点P 的横坐标为±453 答案 CD 解析 由椭圆方程知a ＝4，b ＝3，c ＝7， |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，A 错误； 当P 在椭圆上、下顶点时， cos ∠F 1PF 2＝2a 2－4c 22a 2＝18 >0， 即∠F 1PF 2最大值小于π2 ，B 错误； 若P (x ′，y ′)，则1PA k ＝y ′x ′＋4 ， 2PA k ＝y ′ x ′－4， 有1 2·PA PA k k ＝y ′2 x ′2－16， 而x ′216＋y ′2 9 ＝1， 所以－16y ′2＝9(x ′2－16)， 即有1 2·PA PA k k ＝－916，C 正确； 若P (x ′，y ′)，△F 1PF 2的面积为27， 即2c ·|y ′|2＝27， 故y ′＝±2， 代入椭圆方程得x ′＝±453 ，D 正确． 12．(多选)2021年10月16日，神舟十三号发射圆满成功，人民日报微博发了一条“跨越时空的同一天”，致敬每一代人的拼搏！已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论正确的是( ) A ．飞船向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ] B ．飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C ．飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D ．飞船运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 答案 ABD 解析 根据椭圆定义知飞船向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ]，A 正确； 当飞船在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，知在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，B 正确； a －c a ＋c ＝1－e 1＋e ＝21＋e －1，比值越大，则e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误； 根据面积守恒规律，飞船在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D 正确． 13．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎤0，33 C.⎣⎡⎭⎫22，1 D.⎣⎡⎭ ⎫33，1 答案 D 解析 设P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，m ，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)， 由线段PF 1的中垂线过点F 2得 |PF 2|＝|F 1F 2|， 即 ⎝⎛⎭⎫a 2c －c 2＋m 2＝2c ， 得m 2＝4c 2－ ⎝⎛⎭⎫a 2c －c 2＝－a 4c 2＋2a 2＋3c 2≥0， 即3c 4＋2a 2c 2－a 4≥0， 得3e 4＋2e 2－1≥0，解得e 2≥13 ， 又0 ≤e <1. 14．(2021·浙江)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)．若过F 1的直线和圆⎝⎛⎭ ⎫x －12c 2＋y 2＝c 2相切，与椭圆的第一象限交于点P ，且PF 2⊥x 轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________． 答案 255 55 解析 设过F 1的直线与圆的切点为M ，圆心A ⎝⎛⎭⎫12c ，0， 则|AM |＝c ，|AF 1|＝32 c ， 所以|MF 1|＝52 c ， 所以该直线的斜率k ＝|AM ||MF 1|＝c 52c ＝255. §8.5椭圆及其性质 学习目标 1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率) .3.掌握椭圆的简单应用． 知识梳理 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的简单几何性质 焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上 图形 标准方程x2 a2＋ y2 b2＝1 (a>b>0) y2 a2＋ x2 b2＝1 (a>b>0) 范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a) B1(－b，0)， B2(b，0) 轴长短轴长为2b，长轴长为2a 焦点F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c 对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率e＝c a(0 椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2＝θ. (1)当P 为短轴端点时，θ最大，1 2 F PF S △最大． (2) 12F PF S △＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝b 2tan θ 2＝c |y 0|. (3)|PF 1|max ＝a ＋c ，|PF 1|min ＝a －c . (4)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛ ⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2 . (5)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × ) (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ ) (3)y 2m 2＋x 2 n 2＝1(m ≠n )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( √ ) 教材改编题 1．设P 是椭圆x 225＋y 2 16＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 答案 D 解析 依椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10. 2．若椭圆C ：x 24＋y 2 3＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为( ) A ．3 B ．2＋ 3 C ．2 D.3＋1 答案 A 解析 由题意知a ＝2，b ＝3，所以c ＝1，距离的最大值为a ＋c ＝3. 3．(2022·深圳模拟)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且离心率为1 2，则C 的方程可以为________． 答案 x 24＋y 2 3 ＝1(答案不唯一) 解析 因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1，a >b >0， 椭圆定义及性质的应用 一、椭圆的定义 椭圆第一定义 第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距. ★过点1F 作12PF F ?的P ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 的轨迹方程为222 x y a +=. 推导过程：延长1F Q 交2F P 于M ，连接OQ ， 由已知有PQ 为1MF 的中垂线，则1PF PM =，Q 为1 F M 中点，212OQ F M ==()121 2 PF PF +=a ，所以Q 的轨迹方程为 222 x y a +=.（椭圆的方程与离心率学案第5题） 椭圆第二定义 第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(< 推导过程： 2 200 a PF ed e x a ex c ?? ==-=- ? ?? ；同理得 10 PF a ex =+. 简记为：左加右减a在前.由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数. （离心率、焦点弦问题）例1：（2010全国卷Ⅱ理数12题）已知椭圆 22 22 :1(0) x y C a b a b +=＞ ＞的离心率为 3 ，过右焦点F且斜率为(0) k k>的直线与C相交于,A B两点．若3 AF FB = u u u r u u u r ，则k=（） A.1 D.2 B【解析】解法一：1122 (,),(,) A x y B x y，∵3 AF FB = u u u r u u u r ，∴12 3 y y =-，∵ 2 e=，设2, a t c ==，b t=，∴222 440 x y b +-=，直线AB方程为x my =.代入消去x，∴222 (4)0 m y b ++-=，∴ 2 1212 22 , 44 b y y y y m m +=-=- ++ ，则 2 2 22 22 2,3 44 b y y m m -=--=- ++ ，解得2 1 2 m=，则k= 0 k>. 解法二：设直线l为椭圆的右准线，e为离心率，过,A B别作11 , AA BB垂直于l， 11 , A B为垂足，过B作BH垂直于1 AA与H，设BF m =，由第二定义得， 11 , AF BF AA BB e e ==，由3 AF FB = u u u r u u u r ，得 1 3m AA e =, 2m AH e =，4 AB m =，则 2 1 cos 42 m AH e BAH AB m e ∠====，则sin BAH ∠=tan BAH ∠=，则k=0 k>.故选B. （离心率、焦点弦问题）例2：倾斜角为 6 π 的直线过椭圆)0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b y a x 的左焦点F，交椭圆于,A B 两点，且有3 AF BF =，求椭圆的离心率. 椭圆与方程 【知识梳理】 1、椭圆的定义 平面内，到两定点1F 、2F 的距离之和为定长()1222,0a F F a a <>的点的轨迹称为椭圆，其中两定点1F 、2F 称为椭圆的焦点，定长2a 称为椭圆的长轴长,线段12F F 的长称为椭圆的焦距。此定义为椭圆的第一定义。 2、椭圆的简单性质 3、焦半径 椭圆上任意一点P 到椭圆焦点F 的距离称为焦半径，且[],PF a c a c ∈-+，特别地，若00(,)P x y 为椭圆 ()22 2210x y a b a b +=>>上的任意一点，1(,0)F c -,2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，则10||PF a ex =+，20||PF a ex =-,其中c e a =. 4、通径 过椭圆()22 2210x y a b a b +=>>焦点F 作垂直于长轴的直线，交椭圆于A 、B 两点,称线段AB 为椭圆的通径，且 2 2b AB a =。 P 为椭圆()22 2210x y a b a b +=>>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，称12PF F ∆为椭圆的焦点三角 形,其周长为：1222F PF C a c ∆=+，若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122tan 2F PF S b θ ∆=. 6、过焦点三角形 直线l 过椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的左焦点1F ，与椭圆交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，称2ABF ∆为椭圆的过焦点三 角形，其周长为：24ABF C a ∆=，面积为212y y c S ABF -=∆. 7、点与椭圆的位置关系 ()00,P x y 为平面内的任意一点,椭圆方程为22 221(0)x y a b a b +=>>：若2200221x y a b +=，则P 在椭圆上;若22 00221x y a b +>，则P 在椭圆外；若2200 221x y a b +<，则P 在椭圆内。 8、直线与椭圆的位置关系 直线:0l Ax By C ++=，椭圆Γ：22 221(0)x y a b a b +=>>，则 l 与Γ相交22222a A b B C ⇔+>； l 与Γ相切22222a A b B C ⇔+=； l 与Γ相离22222a A b B C ⇔+<. 9、焦点三角形外角平分线的性质（＊） 点(,)P x y 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上的动点,12,F F 是椭圆的焦点, M 是12F PF ∠的外角平分线上一点,且 椭圆的简单几何性质【知识点】 知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标 【问题1】观察椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ (1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b； (2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称； (3)特殊点：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)． 【问题2】在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？ 在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b)． 椭圆的简单几何性质 (±c,0)(0，±c) 知识点二椭圆的离心率 思考如何刻画椭圆的扁圆程度？ 用离心率刻画扁圆程度，e 越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁． (1)椭圆的焦距与长轴长的比____c a ____称为椭圆的离心率． (2)对于x 2a 2＋y 2 b 2＝1，b 越小，对应的椭圆越____扁____，反之，e 越接近于0， c 就越接近于0，从而b 越接 近于a ，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x 2＋y 2＝a 2.(如图) 类型一 由椭圆方程研究其简单几何性质 【例1】求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 已知方程化成标准方程为x 216＋y 2 9＝1， 于是a ＝4，b ＝3，c ＝ 16－9＝7， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝7 4，又知焦点在x 轴上， ∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)． 引申探究 本例中若把椭圆方程改为“9x 2＋16y 2＝1”求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 由已知得椭圆标准方程为 x 219＋y 2 116 ＝1， 于是a ＝13，b ＝1 4， c ＝ 19－116＝712 . ∴长轴长2a ＝23，短轴长2b ＝1 2， 离心率e ＝c a ＝7 4. 焦点坐标(－ 712，0)和(7 12 ，0)， 椭圆与双曲线的对偶性质之椭圆篇(1) 杨志明 1． 2．标准方程： 3． 4．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角. 5．PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）. 9．椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是. 10．若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是. 11．若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 12．AB是椭圆的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则. 13．若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是 . 14．若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是. 15．若PQ是椭圆（a＞b＞0）上对中心张直角的弦，则 . 16．若椭圆（a＞b＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为,则(1) ;(2) . 17．给定椭圆：（a＞b＞0）, ：,则(i)对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M(. (ii)对上任一点在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过点. 18．设为椭圆（或圆）C:(a＞0,. b＞0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦P0P1, P0P2斜率存在，记为k1, k 2, 则直线P1P2通过定点的充要条件是. 19．过椭圆(a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）. 椭圆的性质 1．椭圆的定义：平面内与两个定点12F F ，的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆． 2．椭圆的标准方程： ①22 221(0)x y a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222=+a b c ． ②22 221(0)y x a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222=+a b c ． 3．椭圆的几何性质（用标准方程22 221(0)x y a b a b +=>>）： ⑴范围：a x a -≤≤，b y b -≤≤； ⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心； ⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212A A B B ， ，，； ⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12A A ；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段12B B ． ⑸椭圆的离心率：c e a = ，焦距与长轴长之比，01e <<，e 越趋近于1，椭圆越扁；反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆． 4．若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦 P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 6. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 椭圆知识点性质大全 1.122PF PF a += 2.标准方程22 221x y a b += 3.111PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的 直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000( ,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆 22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆 22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 椭圆、抛物线、双曲线的定义及性质椭圆、抛物线、双曲线是高中数学中常见的三种二次曲线，它 们的定义和性质对于我们理解数学和应用数学起着非常重要的作用。本文将详细介绍这三种曲线的定义以及它们的一些重要性质。 一、椭圆的定义及性质 椭圆是平面上到两个定点F1、F2距离之和为常数2a的所有点 P的轨迹，这两个定点称为椭圆的焦点，椭圆的长轴为2a，短轴 为2b，半径为c，满足 $a^2=b^2+c^2$。椭圆的离心率 $e=\frac{c}{a}$，离心率是描述椭圆扁平程度的一个参数， $0 抛物线是平面上到一个定点F到直线l距离等于点P到定点F 距离的所有点P的轨迹，这个定点F称为抛物线的焦点，直线l称为抛物线的准线。 抛物线具有如下性质： 1.抛物线的焦点到抛物线顶点的距离等于抛物线定点F到准线距离的一半，称为抛物线的焦距； 2.抛物线的汇聚点为无穷远处； 3.对于平面上任意的一点P，直线FP与准线l的夹角等于点P 到抛物线顶点的切线与抛物线轴线的夹角相等。 三、双曲线的定义及性质 双曲线是平面上到两个定点F1、F2距离之差为常数2a的所有点P的轨迹，这两个定点称为双曲线的焦点，而常数2a为双曲线的距离。 双曲线具有如下性质： 1.双曲线的两个分支之间存在一对渐近线，渐近线与双曲线的距离趋近于无穷； 2.双曲线的离心率$e=\frac{c}{a}>1$； 3.双曲线没有汇聚点，但是有两个分支的顶点。 椭圆知识点 知识要点小结：知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121 F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的 轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=；注意：1．只 有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 2 2 b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、 y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并 且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤， b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 椭 圆 一.考试必“背” 1 椭圆的两种定义： ①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长() 212F F a >的点的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 ②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集 M={P| e d PF =，0＜e ＜1的常数 }。（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线） 2 标准方程： （1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -= （一个∆Rt ） （2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -= 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -= 并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜ B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。 3．参数方程 ：椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程 4.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12 2 22=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质： 坐标系下的性质： ① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ； ② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）； ③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ； （a 半长轴长，b 半短轴长）； ④ 准线方程：c a x 2± =；或c a y 2 ±= ⑤ 焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。|PF 1|=左r =a+ex 0，|PF 2|=右r =a-ex 0； |PF 1|=下r =a+ey 0，|PF 2|=上r =a-ey 0;c a PF c a PF -=+=min max , 平面几何性质： 椭圆的定义与性质 1．椭圆的定义 (1)第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距． (2)第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e (0 椭圆的基本性质 （一）对称性 问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性？ 代 后方程不变，说明椭圆关于 轴对称； 代 后方程不变，说明椭圆曲线关于 轴对称； 、 代 ， 后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称； 问题2：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？ 以把x换成－x为例，如图在曲线的方程中，把x换成－x方程不变，相当于点P （x，y）在曲线上，点P点关于y轴的对称点Q（－x，y）也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．其它同理. 相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. （二）顶点 问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标？ 在椭圆的标准方程中，令 ，得 ， ，得 顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点. 顶点坐标； ， . 相关概念：线段 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于 ， 和 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 在椭圆的定义中， 表示焦距，这样，椭圆方程中的 就有了明显的几何意义. 问题2：在椭圆标准方程的推导过程中令 能使方程简单整齐，其几何意义是什么？ 表示半焦距， 表示短半轴长，因此，联结顶点 和焦点 ，可以构造一个直角三角形，在直角三角形内， ，即 . （三）范围 问题1：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围？即确定两个变量的允许值范围． 变形为： 这就得到了椭圆在标准方程下 的范围： 同理，我们也可以得到 的范围： 问题2：思考是否还有其他方法？ 方法一：可以把 看成 ，利用三角函数的有界性来考虑 的范围； 方法二：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以 ，同理可以得到 的范围 由椭圆方程中 的范围得到椭圆位于直线 和 所围成的矩形里. 三、例题解析 例1 已知椭圆的方程为 椭圆常用结论及其推导过程 椭圆是一个非常重要的几何学概念，具有许多重要的结论和性质。在这篇文章中，我们将介绍椭圆的常用结论及其推导过程。 一、椭圆的定义及基本性质 1.椭圆的定义： 椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a（a>0）的点P的轨迹。 2.椭圆的基本性质： (1)椭圆是一个封闭曲线，具有对称性； (2)椭圆的两个焦点F1和F2与椭圆的中心O在一条直线上； (3)椭圆的长轴与短轴相交于中心，长度分别为2a和2b（a>b>0）； (4)椭圆的离心率e满足0 证明：设椭圆的焦点分别为F1和F2，长轴的长度为2a，椭圆上的任 意一点为P。根据椭圆的定义，有PF1+PF2=2a。将等式两边平方化简得到(PF1)²+(PF2)²+2(PF1)(PF2)=(2a)²。 根据焦点与点P连线与切线夹角为直角的性质，可以得到 (PF1)²+(PF2)²=(PM)²，其中PM为点P到椭圆的切线的距离。根据切线的 性质，可以得到(PM)²=(PA)²+(PM-A)²，其中A是椭圆上与点P相切的点。代入上式，化简得到(PF1)²+(PF2)²+2(PF1)(PF2)=(2a)²，即(PA)²+(PM-A)²+2(PA)(PM-A)=(2a)²。 经过化简，得到(PA+PM-A)²=(2a)²，即2(PA)(PM-A)=0。由于椭圆的 定义，PA不等于0，所以PM=A，即椭圆上的任意一点到焦点连线的长度 等于焦点到切线的长度，即(PF1)²+(PF2)²=(PM)²=(PA)²+(PM- A)²=(PA)²+(PF1)²。 由此可得到(PF1)²+(PF2)²=(PA)²+(PF1)²，两边消去(PF1)²后可得到(PF2)²=(PA)²。同样地，可以证明(PF1)²=(PA)²，所以 (PF1)²+(PF2)²=2(PA)²=(2a)²。 3.推论：椭圆半长轴的平方加上半短轴的平方等于焦点到定点连线的 长度平方和。 证明：设椭圆的焦点分别为F1和F2，半长轴的长度为a，半短轴的 长度为b。根据上面的推论，得到(PF1)²+(PF2)²=(2a)²。同时，因为焦 点到半长轴和半短轴的距离分别为a和b，所以(PF1)²=(OF1)²+(a- EP)²=a²+(a-EP)²，(PF2)²=(OF2)²+(a+EP)²=a²+(a+EP)²。将这两个等式 代入(PF1)²+(PF2)²=(2a)²中，可以得到a²+(a-EP)²+a²+(a+EP)²=4a²， 化简后可得到a²+b²=2a²。经过化简，得到a²-b²=0，即a²+b²=(2a)²-b²。 椭圆的标准方程及性质 1． 椭圆的两种定义： (1)平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长() 212F F a >的点的轨迹，即点集M ={P | |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ， 212F F a <无轨迹）.其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距. (2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的 轨迹，即点集M ={P | e d PF =，0＜e ＜1的常数}. 2． 标准方程： （1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）.其中22b a c -= （2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）.其中22b a c -= 3.椭圆一般方程 两种标准方程可用统一形式表示：Ax 2+By 2 =1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B 当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上），已知椭圆上的两个点这种形式用起来更方便. 4．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 共焦点，则c 相同。与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为122 2 2=+++m b y m a x )(2b m ->，此类问题常用待定系数法求解。 5.共离心率椭圆方程的椭圆标准方程共离心率，则e 相同。与椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设 为 ， 6：椭圆12222=+b y a x 与 122 22=+b x a y )0(>>b a 的区别和联系 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 122 22=+b x a y )0(>>b a 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2 离心率 )10(<<= e a c e 准线方程 c a x 2 ±= c a y 2 ±= 焦半径 01ex a PF +=，02ex a PF -= 01ey a PF +=，02ey a PF -= x y O F F P A A B 1112 1 2 2 2M M K K椭圆及其性质
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