三角形内心定理

三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。

内心的性质：

1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。

2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

3、P为ΔABC所在平面上任意一点，点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).

4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC 边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC

正(余)弦定理的三角形问题

考纲要求: 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题C ab S sin 2 1 . 基础知识回顾: 1. a sin A ＝ b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径． 由正弦定理可以变形：(1) a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2) a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C . 2．余弦定理：a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bccos A ，b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2accos B ，c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2abcos C ． 变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 解三角形时，解的情况 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a ＜bsinA a ＝bsinA bsinA ＜a ＜ b a ≥b a ＞b a ≤b 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 4.三角形常用的面积公式 (1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R . (3)S ＝1 2r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)． 应用举例: 类型一、利用正（余）弦定理解三角形 【例1】【河北省唐山一中2018届高三下学期强化提升考试（一）】已知中， ，点在 边上， 且 ．

三角形的外角(外角定义、定理)(人教版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1：三角形的______________________组成的角，叫做三角形的外角． 问题2：三角形外角定理：三角形的一个外角等于__________________． 三角形的外角（外角定义、定理）（人教版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.下列各项中，∠1是△ABC的外角的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角形的外角 2.如图，在△ABC中，点D，F在线段AB上，点E在线段AC上，H是BC延长线上一点，FE 的延长线交BH于点G，则下列说法错误的是( )

A.∠ACG是△ABC的外角 B.∠FGH是△ECG的外角 C.∠AFE是△BFG的外角 D.∠DEA是△ECG的外角 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角形的外角 3.如图，D是AC上一点，F是CE上一点，DF的延长线与AE的延长线交于点B，连接DE，则下列说法正确的是( ) A.∠BFE是△CDF的外角 B.∠ADF是△CDF的外角 C.∠CFD是△BFE的外角 D.∠CFB是△DFE的外角 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：三角形的外角 4.如图，∠B=30°，∠A=40°，则∠BCD的度数为( ) A.80° B.70° C.60° D.50° 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角形的外角 5.如图，直线m，n分别过点A，B，若∠1=100°，∠2=70°，则m，n相交所成的锐角为( )

A.20° B.30° C.70° D.80° 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角形的外角 6.如图是某零件的平面示意图，点E在BD的延长线上，其中∠A=40°，∠ABC=35°，∠C=30°，则∠ADC的度数为( ) A.75° B.95° C.105° D.140°

正余弦定理的应用_三角形面积公式公开课一等奖

正余弦定理的应用——三角形面积公式 一、教学容解析 本课教学容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学5》第一章1.2节。 1.教材容 本节容是正弦定理与余弦定理知识的延续，借助正弦定理和余弦定理，进一步解决一些有关三角形面积的计算。教材中先结合已知三角形面积公式推导新的三角形面积公式，然后借助正弦定理和余弦定理求三角形面积，最后给出三角形面积实际问题的求解过程。 2.教学容的知识类型 在本课教学容中，包含了四种知识类型。三角形面积公式的相关概念属于概念性知识，三角形面积公式的符号语言表述属于事实性知识，利用正弦定理和余弦定理求解三角形面积的步骤属于程序性知识，发现问题——提出问题——解决问题的研究模式，以及从直观到抽象的研究问题的一般方法，属于元认知知识。 3.思维教学资源与价值观教育资源 已知三角形两边及其夹角求三角形面积的探索过程能引发提出问题——分析问题——解决问题的研究思维；生活实际问题求解三角形面积，是培养数学建模思想的好契机；引出海伦公式和秦九韶“三斜求积”公式，激发学生学习数学的兴趣，探究数学史材料，培养学生对数学的喜爱。 二、学生学情分析 主要从学生已有基础进行分析。 1.认知基础：从学生知识最近发展区来看，学生在初中已经学习过用底和高表示的三角形面积公式，并且掌握直角三角形中边和角的关系。现在进一步探究两边及其夹角表示的面积公式符合学生的认知规律。此外在前面两节的学习中学生已经掌握了正余弦定理，这为求解三角形的边和角打下了坚持基础。 2.非认知基础：通过小学、初中和高中阶段三角函数和应用题的学习，学生具有一定的分析问题、类比归纳、符号表示的能力。具备相当的日常生活经验，能够从实际问题抽象出数学问题并建立数学模型解决问题。 三、教学策略选择 《普通髙中数学课程标准(2017年版)》强调基于核心素养的教学,特别重视

(完整版)相似三角形中的射影定理

相似三角形 ——相似直角三角形及射影定理 【知识要点】 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角 （2）Rt△ABC中，∠C=90o，则2+ 2= 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于 （4）等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为 （5）有一个锐角为30o的直角三角形，30o所对的直角边长等于，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理（只能用于选择填空题） 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型： Rt△ABC中，∠C=90o，CD⊥AB于D，则 ①∽∽ ②射影定理： CD2= ·AC2= ·BC2= · 【常规题型】 1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，S△ABC=20，AB=10。求AD、BD的长. 2、已知，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。（1）若AD=8，BD=2，求AC的长。（2）若AC=12，BC=16，求CD、AD的长。 B A

【典型例题】 例1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。 例2．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90o，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ·AF 例3．（1）已知ABC ?中，?=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，DE 、DF 分别是BDC ADC ??和的 高，这时CAB DEF ??和是否相似？ 【拓展练习】 1、已知：如图，AD 是△ABC 的高，BE ⊥AB ，AE 交BC 于点F ，AB ·AC=AD ·AE 。求证：△BEF ∽△ACF A B A B C N D C

三角形外角定理.doc

北师大版八上第七章第五节 《三角形内角和定理2》 教学设计 郑州市第七十五中学郑红莉

《三角形内角和定理2》教学设计 郑州市第七十五中学郑红莉 一课标要求 掌握三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，证明三角形任意两边之和大于第三边。 二基于对教材的理解 本节课是北师大版八年级上册第七章第五节《三角形内角和定理》第2 课时的内容，学生在前一节课中已经学习了三角形内角和定理的证明和应用，因此本节课是对三角形知识学习的延伸，主要涉及三角形的外角定义，三角形两个外角定理及应用，同时进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧。 三基于对考试要求的分析 能利用三角形内角和定理推论进行角度计算和角度数量关系证明。 四基于对学情的分析 1、学生已有知识基础。 学生对于平行线相关知识以及三角形内角和定理的灵活运用已经有了深入的了解，为今天的学习奠定了知识基础，并且他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力。 2、已有的活动经验 具备一定的学习能力，包括自学和交流，具备有条理的思考分析和表达能力，思维正逐步由具体走向抽象，当然依然倾向于通过形象

的材料来理解相关知识和概念。 3、学习本节可能出现的难点 学生仅具备初步的利用定理推理证明的能力，但如何证明几何中的不等关系可能存在困难，另外证明的方法、技巧有待提高。 4、学生座次表 A C A C A B B D B D B D A C A C A C B D B D B D A C A C A C 前后四人为一组，A 为组长，每一组课堂表现有积分累计 B D B D B D AB 层通过预习能描述判断三角形外角，并能推理证明三角形外角有关定理及进行有关应用， CD层通过自学及与同桌交流能说出三角形 外角定义，并能结合图形会描述三角形外角的两个定理及简单的应用。五学习目标 1.通过视频引入活动一，会判断和作出三角形的外角； 2.通过猜想、同桌交流，能描述有关三角形外角的两个定理及推理验证过程； 3.通过小组合作，会运用三角形内角和定理的两个推论解决相关问题 【学习重点】三角形有关外角的两个定理的应用 【学习难点】会用三角形的内角和定理的两个推论解决几何证明和几

相似三角形的判定定理2

A B C A 1 B 1 C 1 A B C D O 1、 相似三角形判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在ABC ?与111A B C ?中，1A A ∠=∠，1111 AB AC A B AC = ，那么ABC ?∽111A B C ?． 【例1】 如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ， 2OA =，3OB =，6OC =，4OD =． 求证：OAD ?与OBC ?是相似三角形． 相似三角形判定定理2 知识精讲

A B C D A B C D E 【例2】 如图，点D 是ABC ?的边AB 上的一点，且2AC AD AB =g ． 求证：ACD ?∽ABC ?． 【例3】 如图，在ABC ?与AED ?中， AB AC AE AD = ，BAD CAE ∠=∠． 求证：ABC ?∽AED ?． 【例4】 下列说法一定正确的是（ ） A ．有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似 B ．对应角相等的两个三角形不一定相似 C ．有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 D ．一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似 【例5】 在ABC ?和DEF ?中，由下列条件不能推出ABC ?∽DEF ?的是（ ） A ．A B A C DE DF = ，B E ∠=∠ B ．AB AC =，DE DF =，B E ∠=∠ C ．AB AC DE DF = ，A D ∠=∠ D ．AB AC =，DE DF =，C F ∠=∠

三角形面积公式余弦定理

学之导教育中心教案 学生: 伍家濠授课时间: 7.20 课时: 2 年级: 高一教师：廖 课题三角形面积公式、余弦定理 教学构架 一、知识回顾 二、错题再现 三、知识新授 四、小结与预习 教案内容 一、知识回顾 1、正弦定理及其变形 2、已知两边一角，判断解的情况 二、错题再现 1、在△ABC中，已知a=4,b=26,A=45°，求角B 2、在△ABC中，已知b=3,c=33,B=30°，求a 本次内容掌握情况总结教师签字学生签字

3、在?ABC 中，若1a =， 12c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。 4、在ABC ?中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ?一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 5．在△ABC 中，015A =，则()3sin cos A B C -+的值为 A ．22 B ．3 2 C ．2 D ．2 三、 知识新授 （一）正弦定理综合应用 1．在△ABC 中，015A =，则()3sin cos A B C -+的值为 A ．22 B ．3 2 C ．2 D ．2 2、在ABC ?中，2,45,6000===b C A ，则此三角形的最小边长为（ ） A ．2 B ．232- C ．13- D ．)12(2- 3、在△ABC 中，已知(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6，求sinA:sinB:sinC 的值。 4、在△ABC 中，若a:b:c=1:3:5,求C B A sin sin sin 2-的值.

5、在△ABC 中，b=2a ，B=A+60°，求角A 6、△ABC 中，B=3A ，则b a 的取值范围是 7、在△ABC 中，a=2bcosC,试判断△ABC 的形状 8、△ABC 中，若sinA=2sinBcosC,sin 2A = sin 2B +sin 2C ，试判断△ABC 的形状 9、在ABC ?中，已知C B A sin cos sin 2=，试判断△ABC 的形状

(完整版)三角形的内角和与外角和关系(基础)知识讲解

三角形的内角和与外角和关系（基础）知识讲解 【学习目标】 1．理解三角形内角和定理的证明方法； 2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质； 3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题. 【要点梳理】 要点一、三角形的内角和 1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 2.结论：直角三角形的两个锐角互余. 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点二、三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是 △ABC的一个外角. 要点诠释： （1）外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据．另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 【典型例题】 类型一、三角形的内角和 1．证明：三角形的内角和为180°. 【答案与解析】 解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.

初中三角形的定理

初中三角形的定理、公理和定义 一. 三角形中的有关公理、定理： （1）三角形外角的性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角； ③三角形的外角和等于360°. （2）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°. （3）三角形三条边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 （4）三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 二．多边形中的有关公理、定理： （1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n－2）×180°. （2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360°. 三.（1）如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分. （2）轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 四. 等腰三角形中的有关公理、定理： （1）等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”） （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”） （3）等腰三角形的“三线合一”定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”． （4）等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°． （5）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （6）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 五. 直角三角形的有关公理、定理： （1）直角三角形的两个锐角互余； （2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； （3）勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. （4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. （5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 六．相似三角形的判定： （1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似； （2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. （4）平行于三角形的一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。 七.全等多边形的对应边、对应角分别相等. 八. 全等三角形的判定： （1）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等（S.S.S.）. （2）如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．（S.A.S.） （3）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等(A.S.A.). （4）有两个角及其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等（A.A.S.） （5）如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等.（H.L.） 九.角的概念 初中角的概念是由具有公共端点的两条射线构成的图形叫做角；＜360° 高中角的概念是一条射线绕着它的端点旋转到一个位置后形成的图形叫做角。

(精心整理)相似三角形的判定方法

(一)相似三角形 1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． ①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽ △ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． ①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； （双A型） ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．

与三角形有关的定理、

与三角形有关的定理： 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形 86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应 线段成比例 87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）

三角形相似判定定理的证明

第四章图形的相似 5．相似三角形判定定理的证明 驻马店市第四中学：田慧婷一、学生知识状况分析 “相似三角形判定定理的证明”是“探索三角形相似的条件”之后的一个学习内容，学生已经学习了相似三角形的有关知识，对相似三角形已有一定的认识，并且在前一节课的学习中，以充分经历了猜想，动手操作，得出结论的过程。本节主要进行相似三角形判定定理的证明，证明过程中需添加辅助线，对学生来说具有挑战性，需要通过已有的知识储备，相似三角形的定义以及构造三角形全等的方法完成证明过程。 二、教学任务分析 本节共一个课时，本节是从证明相似三角形判定定理1、两角分别相等的两个三角形相似入手，使学生进一步通过推理证明上节课所得结论命题1的正确性，从而学会证明的方法，为后续证明判定定理2,3打下基础。 三、教学过程分析 本节课设计了个教学环节：第一环节：复习回顾,导入课题；第二环节：动手操作、探求新知；第三环节：动手实践，推理证明；第四环节：方法选择，合理应用；第五环节：课堂小结，布置作业。 第一环节：复习回顾，导入课题 内容：1.平行线分线段成比例公理及推论定理； 2.判定两个三角形全等的方法有哪些？ 3.三角形相似的定义，判定两个三角形相似的方法有哪些？ 在上节课中，我们通过类比两个三角形全等的条件，寻找并探究判定两个三角形相似的条件，您能证明它们一定成立吗？ 目的：通过学生回顾复习已得结论入手，激发学生学习兴趣。 效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究活动的兴趣。 第二环节：动手操作，探求新知

内容：命题1、两角分别相等的两个三角形相似。如何对文字命题进行证明？与同伴进行交流. 目的：通过学生回顾证明文字命题的步骤入手，引导学生进行画图，写出已知，求证。 第一步：引导学生根据文字命题画图， 第二步：根据图形和文字命题写出已知，求证。 已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中，∠A=∠A’，∠B=∠B’。 求证: △ABC∽△A’B’C’。 第三步：写出证明过程。（分析现在能说明两个三角形相似的方法只有相似三角形的定义，我们可以利用这一线索进行探索，已知两角对应相等，根据三角形内角和定理可以推出第三个角也相等，从而可得三角对应相等，下一步，我们只要再证明三边对应成比例即可。根据平行线分线段成比例的推论，我们可以在△ABC内部或外部构造平行线，从而构造出与△A’B’C’全等的三角形。）教师可以以填空的形式进行引导。 证明：在△ABC的边AB（或延长线）上截取AD=A’B’,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则∠ADE=∠B, ∠AED=∠C, ________(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)。 过点D作AC的平行线，交BC于点F,则 __________(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)。 ∴____________ ∵DE∥BC，DF∥AC

初中数学相似三角形的判定定理

相似三角形的判定 教学目标1．知道相似三角形的定义及有关概念，知道相似比为1的相似三角形是全等三角形；会读、会用“∽”符号；能准确写出相似三角形的对应角与对应边的比例式； 2、掌握相似三角形判定的预备定理及相似三角形的判定定理1； 3、综合运用所学两个定理，来判定三角形相似，计算相似三角形的边长. 4、了解判定定理1的证题方法与思路，应用判定定理l. 一、复习 1．什么叫做全等三角形？它在形状上、大小上有何特征？ 2．两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？ 3、复习平行线分线段成比例定理（文字表述及基本图形） 本节学习相似三角形的定义及相关判定定理. 二、学习新课 相似三角形的概念：我们把对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. 相似三角形的概念作为相似三角形的判定方法之一. [说明]相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别．两个三角形形状相同，就是他们的对应角相等，对应边成比例． 相似比的概念：相似三角形对应边的比，叫做相似比（或相似系数）． [说明]①两个相似三角形的相似比具有顺序性．②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形． 注：在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上． 类似地，如果两个边数相等的多边形的对应角相等、对应 边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的 对应边的比，叫做相似比. 如图，是相似三角形，则 相似可记作∽.由于，则与 的相似比，则与的相似比.

猜测两个三角形全等与相似的区别与联系：当两个相似三角形的相似比时，这两个相似三角形就成为全等三角形，因此全等三角形是相似三角形的特例. 想一想：如果∽，∽那么与相似吗？ 利用相似三角形的定义说理.得到相似三角形具有传递性（性质）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似. 思考问题：（l）所有等腰三角形都相似吗？所有等边三角形呢？为什么？ （2）所有直角三角形都相似吗？所有等腰直角三角形呢？为什么？ 练习一：选择题 下列四组图形，必是相似形的是（） Ａ、有一个角为的两个等腰三角形；Ｂ、有一个角为的两个等腰梯形； Ｃ、邻边之比都为2:3的两个平行四边形；Ｄ、有一个角为的两个等腰三角形. 新授2：相似三角形的预备定理 课本通过探讨的方法，根据题设中有平行线的条件，结合定理的结论，再根据三角形的定义，从而得出了这两个三角形相似的结论，这里要强调的是： （1）本定理的导出不仅复习了相似三角形的定义，而且为后面的证明打下了基础。 （2）由本定理的题设所构成的三角形有三种可能，基本图形在“平行线分线段成比例”出现过． （3）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，每个比的前项是同一个三角形的三边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，做题时务必要认真仔细，如本定理的比例式，防止出现错误 （4）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，这两个三角形中相等的角所对的边就是对应边，对应边应写在对应位置．

人教版八年级数学上册《三角形的外角》拔高练习

《三角形的外角》拔高练习 一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（） A．75°B．105°C．110°D．120° 2．（5分）在△ABC中，∠A，∠C与∠B的外角度数如图所示，则x的值是（） A．60B．65C．70D．80 3．（5分）如图，顺次连结同一平面内A，B，C，D四点，已知∠A＝40°，∠C＝20°，∠ADC＝120°，若∠ABC的平分线BE经过点D，则∠ABE的度数（） A．20°B．30°C．40°D．60° 4．（5分）如图，∠1的度数为（） A．100°B．110°C．120°D．130° 5．（5分）如图所示的图形中x的值是（） A．60B．40C．70D．80

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 6．（5分）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，则∠C的外角等于． 7．（5分）三角形的三个内角度数比为1：2：3，则三个外角的度数比为． 8．（5分）如图，BD与CD分别平分∠ABC、∠ACB的外角∠EBC、∠FCB，若∠A＝80°，则∠BDC＝． 9．（5分）如图，∠A＝70°，∠B＝26°，∠C＝20°，则∠BDC＝°． 10．（5分）如图，△ABC中，BD为△ABC内角平分线，CE为△ABC外角平分线，若∠BDC ＝130°，∠E＝50°，则∠BAC的度数为． 三、解答题（本大题共5小题，共50.0分） 11．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF． （1）求∠CBE的度数； （2）若∠F＝25°，求证：BE∥DF．

三角形相似的判定数学教案

三角形相似的判定数学教案 三角形相似的判定数学教案 一、教学目标 1．使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用． 2．继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解． 3．通过了解定理的证明方法，培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力． 4．通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点． 类比学习，探讨发现 三、重点及难点 1．教学重点：是直角三角形相似定理的应用． 2．教学难点：是了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路． 四、课时安排 3课时 五、教具学具准备 多媒体、常用画图工具 六、教学步骤 ［复习提问］ 1．我们学习了几种判定三角形相似的方法？（5种）

2．叙述预备定理、判定定理1、2、3（也可用小纸条让学生默写）． 其中判定定理1、2、3的.证明思路是什么？（①作相似，证全等；②作全等，证相似） 3．什么是“勾股定理”？什么是比例的合比性质？ 【讲解新课】 类比判定直角三角形全等的“HL”方法，让学生试推出： 直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 已知：如图，在∽中， 求证：∽ 建议让学生自己写出“已知、求征”． 这个定理有多种证法，它同样可以采用判定定理l、2、3那样的证明思路与方法，即“作相似、证全等”或“作全等、证相似”，教材上采用了代数证法，利用代数法证明几何命题的思想方法很重要，今后我们还会遇到．应让学生对此有所了解． 定理证明过程中的“都是正数，，其中都是正数”告诉学生一定不能省略，这是因为命题“若，到”是假命题（可举例说明），而命题“若，且、均为正数，则”是真命题． 例4已知：如图，，，，当BD与、之间满足怎样的关系时∽． 解（略） 教师在讲解例题时，应指出要使∽．应有点A与C，B与D，C与B成对应点，对应边分别是斜边和一条直角边． 还可提问：（1）当BD与、满足怎样的关系时∽？（答案：）

高三第一轮复习正弦定理、余弦定理与三角形面积公式

解斜三角形 正弦定理、余弦定理与三角形面积公式 【提纲挈领】 主干知识归纳 ABC 的6个基本元素： a,b,c,A,B,C .其中三内角 A,B,C 所对边边长分别为 a,b,c . 1．正弦定理 变式： a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2RsinC 2．余弦定理 3. 三角形面积公式 1 2 ac sin B 2R sin A sin B sinC. 2 （ 2 ）秦九韶 —海伦公式： S ABC 方法规律总结 1. 基本量观念： ABC 的 6个基本元素： a,b,c,A,B,C ．已知三个基本量（至少一个为边）确定一个 三 角形，正余弦定理是“量化”依据，是初中全等三角形判定定理由定性向定量的转换 . 2. 方程观念： 正余弦定理和面积公式是方程的粗坯， 是解三角形的依据， 从三角形 6 个基本元素来说是 “知 三求三” .有两条主线：一是统一为边（消角）的关系，归结为边为元的代数方程；二是统一为角（消边） 的关系，归结为三角方程 . 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理 更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的 正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 3. 转化思想：利用正余弦定理实现边角间的相互转化 . 4. 利用正弦定理解三角形主要是以下两类： （1）已知两边和一对角； （2）已知两角和一边 . 利用余弦定 理解三角形主要是以下两类： （1）已知三边；（ 2）已知两边及其夹角 . 对于复杂问题需综合利用正余弦定理实现边角关系向统一转化 . 【指点迷津】 【类型一】定理的推导与证明 【例 1】（2011 陕西理 18）叙述并证明余弦定理 . 【解析】 : 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积 的两 abc sin A sin B sinC 2R （其中 R 是 ABC 的外接圆的半 径） a 2 b 2 c 2 2 2bc cos A ， b 2 c 2 a 2 2ca cos B ， c 2 a 2 b 2 2abcosC . 变式： cosA 2 2 2 b c a ,cosB 2bc a 2 b 2 ,cosC 2ac b 2 2ab 1 ) S ABC 11 ab sin C bcsin A 22 p(p a)(p b)(p c),其中 p abc 2

三角形相似的判定教案(共3课时) 人教版

《三角形相似的判定》教案 重点、难点分析 相似三角形的判定及应用是本节的重点也是难点．它是本章的主要内容之一，是在学完相似三角形的基础上，进一步研究相似三角形的本质，以完成对相似三角形的定义、判定全面研究．相似三角形的判定还是研究相似三角形性质的基础，是今后研究圆中线段关系的工具．它的难度较大，是因为前面所学的知识主要用来证明两条线段相等，两个角相等，两条直线平行、垂直等．借助于图形的直观可以有助于找到全等三角形．但是到了相似形，主要是研究线段之间的比例关系，借助于图形进行观察比较困难，主要是借助于逻辑的体系进行分析、探求，难度较大． 释疑解难 （1）全等三角形是相似三角形当相似比为1时的特殊情况，判定两个三角形全等的3个定理和判定两个三角形相似的3个定理之间有内在的联系，不同之处仅在于前者是后者相似比为1的情况． （2）相似三角形的判定定理的选择：①已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2；②已知有二边对应成比例时，可选择判定定理

2与判定定理3；③判定直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形的方法来判定，如果不能，再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定． （3）相似三角形的判定定理的作用：①可以用来判定两个三角形相似； ②间接证明角相等、线段域比例；③间接地为计算线段的长度及角的大小创造条件． （4）三角形相似的基本图形：①平行型：如图1，“A”型即公共角对的边平行，“×”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相似； ②相交线型：如图2，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交．图中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角（或对顶角）的两边成比例，就可以判定两个三角形相似。

四年级下册数学《三角形的外角和》

《三角形的外角和》教学设计 一、教学背景 本节内容之前，学生已经对三角形的表示、分类、内角等有关知识有了初步的认识。本节主要内容是：外角的概念及求外角和。它是三角形知识的延伸部分，在以后学习与角有关的计算中占据重要的地位；是今后学习三角形、四边形等有关图形的基础，起着承上启下的作用。 二、教学目标 知识与能力 1、能在图形中准确识别三角形的内角和外角。 2、使学生通过实际操作，探究三角形的外角和，并能进行简单的几何推导。 3、能利用三角形的外角性质和定理进行简单的计算。 过程与方法 教学过程中，启发学生根据习题间的联系进行分组讨论，引导学生进行思考，由浅到深，由易到难，让学生在已有的知识水平上经历探究、思索的过程，诱导他们正确解题、运用多种方法解题，拓展他们的思维，提高想象能力。 情感、态度与价值观 1、在实际探究中，培养学生主动参与的意识，增强学生间的合作能力。 2、通过运用所学知识探索三角形外角及求三角形的外角和的方法，体验数学研究和发现的过程，逐渐培养学生数学说理的习惯。 教学重点与难点 重点：找三角形外角、三角形外角和的探究 难点：三角形外角和的探究 学习方法：自主学习（知识准备）——合作探究（知识形成）——应用测评（知

识应用） 教师准备：三角形尺、普通三角形、等边三角形、等腰直角三角形。 学生准备：剪刀、直尺、量角器。 三、教学过程 （一）复习提问 1、在第五单元，我们学习了《三角形》，关于三角形的内角，你知道哪些知识？ 生：三角形有3个内角，三角形的内角和为180°。 2、回忆一下，我们是怎样推算出三角形的内角和的？ 生：量一量、剪拼、折一折。 3、既然三角形有内角，那么也可能有——外角。猜猜看，三角形的外角在哪儿？（生自由猜测。） 4、把三角形的一条边延长，这条延长线与三角形的另一条边形成的角，叫作三 角形的外角。（板书本段文字，以及课题：三角形的外角） 5、谁能根据定义，到黑板上画出三角形的一个外角？ 学生先画一个正确的，老师问学生有没有不同意见，在同一点上，产生两个外角， 6、辨析：由于在A点，可以画两条延长线，就产生了两个外角，这两个外角大小相等，所以任取其中一个（师把另外一个擦掉），这样一个内角对应一个外角。 7、想一想，三角形有几个外角？生：3个 你能画出来吗？请同桌合作，画出第1个图形的3个外角。 （二）探究三角形的内角与外角的关系

相似三角形判定基础 练习

相似三角形的判定① 1、已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两数的比例中项，第 三个数是 (只需写出一个即可). 2、在△ABC 中，AB=8，AC=6，点D 在AC 上，且AD=2，若要在AB 上找一点E ，使△ADE 与原三角 形相似，那么AE= 。 3、如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，请再添一个适当的条件，使△ADC ∽△ACB ，那么可添加的条件是 4、已知D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，请你添加一个条件， 使ΔABC 与ΔAED 相似. (只需添加一个你认为适当的 条件即可). 5、下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有等腰直角三角 形都相似；④所有的直角三角形都相似. 其中正确的是 (把你认为正确的说法的序号都填上). 6、如图，在直角坐标系中有两点A(4,0)、B(0,2)，如果点C 在x 轴 上(C 与A 不重合)，当点C 的坐标为 或 时，使得由点B 、O 、C 组成的三角形与 ΔAOB 相似(至少写出两个满足条件的点的坐标). 7、下列命题中正确的是 （ ） ①三边对应成比例的两个三角形相似 ②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似 A 、①③ B 、①④ C 、①②④ D 、①③④ 8、如图，已知D E ∥BC ，E F ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ） A AC AE AB AD = B FB EA CF CE = C BD AD BC DE = D CB CF AB EF = 9、如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O ， 下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是 （ ） A. ∠B=∠C B. ∠ADC=∠AEB C. BE=CD ，AB=AC D. AD ∶AC=AE ∶AB 10、在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点，若∠AEF= 90°，则一定有 （ ） A ΔADE ∽ΔAEF B ΔECF ∽ΔAEF C ΔADE ∽ΔECF D ΔAEF ∽ΔABF 11、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点， 连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形 （ ） A 1对 B 2对 C 3对 D 4对 12、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）

相似三角形的判定定理1

1 / 7 1、 相似三角形的定义 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形． 如图，DE 是ABC ?的中位线，那么在ADE ?与ABC ?中， A A ∠=∠， ADE B ∠=∠，AED C ∠=∠； 1 2AD DE AE AB BC AC ===．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作 ADE ?∽ABC ?，其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分 别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”． 用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“?”后相应的位置上． 根据相似三角形的定义，可以得出： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）． （2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 2、 相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 如图，已知直线l 与ABC ?的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则ADE ?∽ABC ?． 相似三角形判定定理1 A B C D E A B C D E A B C D E D A B C E

2 / 7 A B C A 1 B 1 C 1 3、 相似三角形判定定理1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似． 如图，在ABC ?与111A B C ?中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ?∽111A B C ?． 常见模型如下：