平面向量概念教学设计

篇一：平面向量概念教案

平面向量概念教案

一．课题：平面向量概念

二、教学目标

1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。

2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。

3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣

三．教学类型：新知课

四、教学重点、难点

1、重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。

2、难点：向量的概念及对平行向量的理解。

五、教学过程

（一）、问题引入

1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？

2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？

3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。

在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫数量。

（二）讲授新课

1、向量的概念

练习1 对于下列各量：

①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功⑨体积⑩温度

其中，是向量的有：②③④⑤

2、向量的几何表示

请表示一个竖直向下、大小为5n的力，和一个水平向左、大小为8n的力（1厘米表示1n）。思考一下物理学科中是如何表示力这一向量的？

（1）有向线段及有向线段的三要素

（2）向量的模

（4）零向量，记作＿＿＿＿；

（5）单位向量

练习2 边长为6的等边△abc中，＝＿＿，与相等的还有哪些？

总结向量的表示方法： 1）、用有向线段表示。

2）、用字母表示。

3、相等向量与共线向量

（1）相等向量的定义

（2）共线向量的定义

六．教具：黑板

七．作业

八．教学后记

篇二：平面向量的实际背景及基本概念教学设计

平面向量的实际背景及基本概念教学设计

本节课的内容是数学必修4，第二章《平面向量》的引言和第一节平面向量的实际背景及基本概念两部分，所需课时为1课时。

一教材分析

向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景。向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的。

本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用。本节概念课，重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能

二学情分析

在学生的已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。

三目标定位

根据以上的分析，本节课的教学目标定位：

1）、知识目标

?通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念；

?学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基本特征；

?理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。

2）、能力目标培养用联系的观点，类比的方法研究向量；获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维；

3）、情感目标使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”；让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐。

重点：向量概念、向量的几何表示、以及相等向量概念；

难点：让学生感受向量、平行或共线向量等概念形成过程；

四、教学过程概述：

4.1 向量概念的形成

4.1.1 让学生感受引入概念的必要性

引子：章节引言

意图：向量概念不是凭空产生的。用这一简单直观的问题让学生感受“既有大小又有方向的量”的客观存在，自然引出学习内容，学生会有亲切感，有助于激发学习兴趣。

问题1 你能否再举出一些既有大小又有方向的量？

意图：激活学生的已有相关经验。

进一步直观演示，加深印象。

追问：生活中有没有只有大小没有方向的量?请举例。

类比数的概念获得向量概念的定义（板书）。 4.1.2 向量的表示方法

问题2 数学中，定义概念后，通常要用符号表示它。怎样把你举例中的向量表示出来呢

意图：让学生先练习力的表示，让错误呈现，激发认知冲突，最后自觉接受用带有箭头的线段（有向线段）来表示向量。（教师引导学生进一步完善）几何表示法：记作 a b |a b|为ab的长度(又称模)。

字母表示法：a、b、c??或a、b、c 4.1.3 单位向量、零向量的概念：

问题3用有向线段表示向量，学生演板，提出问题，大家画得线段长度长短不一怎么回事？

如何解决这问题？由单位长度引入单位向量

意图：这样过渡学生不会感觉新的概念是从天而降，而是进一步学习的需要

归纳小结：单位向量——长度等于1个单位长度并与a同向的向量叫做a方向上的单位向量．让演板学生回到座位之后利用这个情境提出问题，他位移的大小是什么？归纳小结：零向量——长度（模）为0的向量，记作0

提问：你们认为零向量和单位向量特殊吗？它们的特殊性体现在哪？类比实数集合中的0和1.

4.2 相等向量、平行(共线)向量概念的形成

设计活动：传花游戏，游戏中将呈现通过学生之间传递花朵所产生的位移向量，让他们从大小和方向两个方面展开思考，教师适时介入，强化本质特征、规范概念表达，与学生一起完成概念的定义。

意图：通过游戏调动学生的兴趣和积极性，让学生通过亲身经历去体会相等向量与平行向量的本质特征。归纳：

1、从“方向”角度看，有方向相同或相反的非零向量就是平行向量。

记作：a ∥b ∥ c

任一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫共线向量。

2、从“长度”角度看，有模相等的向量，︱a︱ =︱ b︱

3、既关注方向有又关注长度有相等向量：记作：a = b

a

规定： 0 与任一向量都平行或（共线）。

教师通过动画演示深化上述两个概念

问题4 由相等向量的概念知道，向量完全有它的方向和大小确定。由此，你能说说数学中的向量与物理中的矢量的异同吗？另外，向量的平行、共线与线段的平行、共线有什么区别与联系？

意图：让学生注意把向量概念与物理背景、几何背景明确区分，真正抓住向量的本质特征，完成“数学化”的过程。

4.3 课堂练习：

概念辨析

两个长度相等的向量一定相等．

相等向量的起点必定相同．

平行向量就是共线向量．

若 ab 与 cd 共线，则 a、b、c、d 四点必在同一条直线上．

向量 a 与 b 平行，则向量 a 与 b 的方向相同或相反．

教材例题

3、教材第79页，b组第一题(选择此题，可以进一步理解位移概念，又能为后一步的学习做好铺垫)

4.4 课堂小结（引导学生小结）

问题 5 欣赏一首关于向量的诗，布置任务能否用拟人的方式把你对向量的认识做个概述呢？

结束语：略

板书设计

5.5明确零向量的意义和作用，不过分纠缠于细节。

首先，规定零向量与任何向量平行是完善概念系统的需要。其次，就像数零的作用在于运算一样，零向量的作用在于运算及其表达的几何意义。因此孤立地讨论零向量与任何向量平行

没有多少意义，也不必耗费过多时间。总之，作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学数学带来了无限生机。这节“概念课”，概念的理解无疑是重点，也是难点。概念的教学应在概念的发生发展过程中揭示它的本来面目。要让学生参与概念本质特征的概括活动过程，这也是培养学生创新精神和实践能力的必由之路！

三、教学诊断分析

本节是平面向量的第一堂课，属于“概念课”，概念的理解无疑是重点，也是难点。为了帮助学生建立向量的概念，与数、形的相关概念类比与联系是值得重视的。在学生的已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。具体教学中，要设计一个能让学生开展概括活动的过程，引导他们经历从具体事例中领悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得向量概念的定义及表示，类比数的集合认识向量的集合，类比直线的基本关系认识向量的基本关系。使学生从中体会到认识一个数学概念的基本思路，而不是停留在某个具体的概念学习上。这也是本堂课的核心目标。由于数学概念的高度抽象性，学生往往要费很多周折才能理解，教师应从学生的认知水平出发，针对学生的理解困难来展开教学，保证学生参与概念本质特征的概括活动，确保学生有自己想明白的机会和时间，这是至关重要的。

本课的教学，我们力求使学生理了解向量概念的背景和形成过程，了解为什么要引入这个概念，怎样定义这个概念，怎样入手研究一个新的问题。因此，在教学中教师应注意从宏观上为学生勾勒研究框架和总体思路，使学生能“抬头看路”，知道往哪里走，这是起始课的重要任务；微观上，引导学生通过类比，有序地给出向量的定义、讨论向量的表示、定义特殊向量、研究特殊向量的关系。在引导学生展开对向量及其相关概念的学习过程中，应强调“让学生参与到定义概念的活动中来”，不轻易打断学生的思维和活动，恰如其分地“以问题引导学习”，在质疑——反思的过程中深化概念的理解，使概念的理解成为学生自己主动思维的结果。

本课中出现的特殊向量——零向量，很多教师都会在“零向量与任意向量平行上”花太多时间，原因是“这是考试中的一个陷阱”。这其实是对零向量的意义和作用理解不到位的表现：首先，规定零向量与任何向量平行是完善概念系统的需要；其次，就像数零的作用在于运算一样，零向量的作用在于运算及其表达的几何意义。因此孤立地讨论零向量与任何向量平行没有多少意义，也不必耗费过多时间。

四、本课教学特点及预期效果分析

在学生建立向量的概念之初，与数、形的相关概念类比与联系是值得重视的。在学生的已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。因此在具体教学中，我设计了一个能让学生开展概括活动的过程，引导他们经历从具体事例中领悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得向量概念的定义及表示，类比数的集合认识向量的集合，类比直线的基本关系认识向量的基本关系。使学生从中体会到认识一个数学概念的基本思路，而不是停留在某个具体的概念学习上。

在向量的几何表示中，我让学生大胆探索，而不是“全包全揽”，教师引导，学生补充改进，最终明确向量几何表示的正确方法。整个过程全体同学热情参与，自我教育，互帮互学，课堂气氛生动活泼。

当同学们能将向量正确的几何表示时，我又适时地提出问题：大家画出的线段长短不一，怎么解决？由此自然过渡到单位长度上，使得单位向量的引入也就顺理成章了。

为了帮助学生学习相等向量、平行（共线）向量的概念，本课设计了“传花游戏”，通过学生之间传递花朵所产生的位移向量，让学生积极参与，仔细观察，自己概括出概念的本质特征，将课堂气氛推向一个新的高潮。在结束本课之前，为了让同学对向量加深印象，我让学

生先欣赏一首关于向量的诗歌，再让学生在课外动笔写出自己对向量的感受。

本节课是从现实世界的常见实例出发，以学生自主探究的教学方式为主。在课堂上，创建了一个以全班学生共同参与的向量游戏平台，让学生在轻松愉悦的课堂环境中，共同参与，共同讨论，共同分析，让学生自然地、水到渠成的完成本节内容的学习。

高中数学《平面向量的实际背景及基本概念》公开课优秀教学设计

第二章平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念 教学设计 一、内容和内容解析 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何和三角函数的一种工具，它有着丰富的现实背景和物理背景。向量是刻画位置的重要数学工具，在诸如卫星定位、飞船设计等领域有着广泛的应用。向量也是刻画物理量——力、位移、速度、加速度、动量、电场强度这些物理量的数学工具，它体现了数学和物理的天然联系。向量的学习有助于学生认识数学和实际生活以及物理学科的紧密联系，体会向量在刻画和解决实际问题中的作用，从中感受数学的应用价值。在教学中需要引导学生对现实原型的观察分析和比较，得出抽象的数学模型，所以本节内容是渗透“数学抽象”很好的载体。在本节中，学生将了解平面向量丰富的实际背景，理解平面向量的意义，能用向量的语言和方法表达和解决数学和物理中的一些问题。 本节课是一节概念课，在向量基本概念的形成过程中，需要将学生已有的旧知识作为新知识的固着点和生长点，在探究向量的几何表示时让学生经历以物理中学习力的图示，位移的表示，速度的表示为起点，归纳并确定向量的几何表示以及符号表示，而在探索向量间的特殊关系时，引导学生借助图形进行，这样不仅使研究有序，同时更锻炼学生的直观想象能力，有助于感受向量集数与形于一身的特性。通过类比学习数量的过程，让学生自然的获得新知识的探究方向，在基本概念的学习中，要让学生体验概念的生成过程，获得这些概念的“基本思路”即获得数学研究对象，认识数学新对象的基本方法，用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径。 二、目标和目标解析 1. 通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，了解平面向量的实际背景； 2. 理解平面向量的意义和两个向量相等的含义； 3. 理解平面向量的几何表示和基本要素，会用有向线段表示向量，会判断零向量，单位向量，能做一个向量和已知向量相等，能根据图形判定向量是否是平

平面向量的基本概念及线性运算知识点

平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示 （1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时，

平面向量基本定理教案(区公开课)

仁爱/诚信/勤奋/创新 授课教师：蒋金凤 课程名称：平面向量基本定理授课地点：高一（12）班

授课日期： 3 月 15 日星期四序号课题 2.3.1平面向量基本定理共 1 课时第 1 课时 教学目标1.了解平面向量基本定理，会运用它来解决一些简单的问题. 2.通过观察、猜想、验证、概括得到平面向量基本定理，使学生体会研究问题的过程与方法. 3.通过定理的推导使学生感受到数学思维的严谨性，体会化归转化的方法和数与形的完美结合. 重 点 平面向量基本定理 难点在平面向量基本定理探究过程中“不共线”和 “任意性”的验证 突破 方法 通过实例画图和类比平面直角 坐标系的象限归纳总结 教学模式讲授式、探究式 板书设计 平面向量基本定理 平面向量基本定理例题：定理说明：多媒体投影 小结： 教学过程 教学活动学生活动设计意图一、情景引入 两个小朋友在荡秋千，那么在所有条件都相同 的前提条件下，哪个秋千的绳子更容易断掉？ 二、新课探究 1.给定向量 2 1 e,e请根据平面坐标的线性运算 （1）作出向量) e ( ) e ( 2 1 3 2+ 下面我们把刚刚的作图痕迹擦去，给定向量 2 1 e,e和 1 OC，你能将 1 OC用 2 1 e,e表示成 2 2 1 1 e eλ λ+的形式吗？ 看图观察并 思考，说出自己 的判断和依据 学生口述，作图 过程得结果 独立完成，个别 展示 从实际生活 问题入手，贴近 学生的日常生 活，能很好地激 发学生的求知欲 望 复习向量的 线性运算和共线 向量定理，为后 续的向量的分解 和唯一性作铺垫 进入向量分解的 探究，刚刚作图 的过程还记忆犹 新，按照来的痕 迹寻找构造平行 四边形的方法

人教版高中数学《平面向量》全部教案

第五章 平面向量 第一教时 教材：向量 目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。 过程： 一、开场白：课本P93（略） 实例：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去， 问：猫能否追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。 二、 提出课题：平面向量 1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量 等 注意：1?数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大 小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学 体系，用以研究空间性质。 2． 向量的表示方法： 1?几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫） 2?字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字） P95 例 用1cm 表示5n mail （海里） 3． 模的概念：向量 记作：|| 模是可以比较大小的 4． 两个特殊的向量： 1?零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。 注意与0的区别 2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？ 答：不是。因为零上零下也只是大小之分。 例：与是否同一向量？ A B A(起点) B （终点） a

答：不是同一向量。 例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。 三、 向量间的关系： 1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作：∥∥ 规定：与任一向量平行 2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：= 规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。 = = = 例：（P95）略 变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个） 变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在） 变式三：与向量共线的向量有哪些？（,,） 四、 小结： 五、 作业：P96 练习 习题5.1 第二教时 教材：向量的加法 目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作 几个向量的和向量。能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向 量计算。 过程： 六、复习：向量的定义以及有关概念 强调：1?向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。 2?正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何 向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。 七、 提出课题：向量是否能进行运算？ 5．某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：=+ a b c A B C

2.3.1平面向量基本定理教案(人教A必修4)

2.3平面向量的基本定理及坐标表示 第4课时 §2.3.1 平面向量基本定理 教学目的： （1）了解平面向量基本定理； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决 实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、 复习引入： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时 λa = 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b = λa . 二、讲解新课： 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e . 探究： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ 2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 三、讲解范例： 例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e . 例 2 如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a ，=b ，用a ，b 表示，，和 例3已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任 意一点，求证：+++=4 例4（1）如图，，不共线，=t (t ∈R)用， 表示. （2）设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且 (1)()OP t OA tOB t R =-+∈ .求证：A 、B 、P 三点共线. 例5 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实 数,d a b λμλμ=+ 、使与c 共线. 四、课堂练习： 1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A.e 1、e 2一定平行 B .e 1、e 2的模相等 C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R ) D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系 A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定 3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( ) A.3 B .-3 C.0 D.2 4.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= . 5.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填 共线或不共线). 五、小结（略）

2.3.1平面向量基本定理(教学设计)

2．3．1平面向量基本定理（教学设计） [教学目标] 一、知识与能力： 1．掌握平面向量基本定理； 2．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 二、过程与方法： 体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． 教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算 教学难点：平面向量基本定理． 一、复习回顾： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa = 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 二、师生互动，新课讲解： 思考：给定平面内任意两个向量e 1,e 2，请作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2，平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢？. 在平面内任取一点O ，作OA =e 1，OB =e 2，OC =a ，过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N . 由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM =λ1e 1，ON =λ2e 2. 由于OC OM ON =+，所以a =λ1e 1+λ2e 2，也就是说任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式. 1． 平面向量基本定理 （1）定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使得

平面向量的概念教案(中职)

平面向量的概念 【教学目标】 知识目标： （1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念； （2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念． 能力目标： 通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力． 【教学重点】 向量的线性运算． 【教学难点】 已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件． 【教学设计】 从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念． 向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a ＞b ”没有意义，而“︱a ︱＞︱b ︱”才是有意义的. 教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则. 向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a -b =a +(-b )，它可以通过几何作图的方法得到，即a -b 可表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点. 实数λ乘以非零向量a ，是数乘运算，其结果记作λa ，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a 的λ倍．由此得到λ?=a b a b ∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a 、b ”与“0λ≠ ”等条件. 【教学过程】 【新知识】 在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等． 平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A 为起点，B 为终点的向量记作AB ．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a ；手写时应在字母上面加箭头，记作a ． 图7－2 a A B

平面向量教学设计

教学设计 向量的加法 一、高考统览平面向量在高考中的考查内容主要集中在三个方面：一是向量的基本概念，二是向量的坐标运算，三是向量的数量积，其中向量的数量积及其应用是考查的重点。从试题形式上看，该部分主要以选择题、填空题的形式出现。另外，平面向量具有几何与代数形式的双重性，是中学数学知识网络的重要交汇点，它与三角函数、解析几何、平面几何都能够整合在一起，在高考中以解答题为主，要予以高度重视。 二、教学目标 1．知识与技能 掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量加法的运算律，并会用它们实行向量计算。 使学生经历向量加法法则的探究和应用过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移水平，增强学生的数学应用意识和创新意识。 3．情感态度与价值观注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心。 三、教学重点、难点1、重点：向量加法的两个法则及其应用；2、难点：对向量加法定义的 理解。 突破难点的关键是抓住实例，借助多媒体动画演示，持续渗透数形结合的思想，使学生从感性理解升华到理性理解。 教学方法结合学生实际，主要采用“问题探究”式教学方法。通过创设问题情境，使学生对向量加法有一定的感性理解；通过设置一条问题链，引导学生在自主学习与合作交流中经历知识的形成过程；通过层层深入的例题与习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“会”到“悟” ，提升思维品质，

力求把传授知识与培养水平融为一体。 采用计算机辅助教学，通过直观演示体现形、动、思于一体的教学效果，优化课堂结构，提升教学质量。 四、教学过程

[高二数学]平面向量的概念及运算知识总结

平面向量的概念及运算 一．【课标要求】 （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二．【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2010年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜ ＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相

2.3.1平面向量基本定理教案

2.3.1 平面向量的基本定理 教学目的： 要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量． 教学重点： 平面向量的基本定理及其应用． 教学难点： 平面向量的基本定理． 教学过程： 一、复习提问： 1．向量的加法运算（平行四边形法则）； 2．向量的减法运算； 3．实数与向量的积； 4．向量共线定理。 二、新课： 1．提出问题：由平行四边形想到： （1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？ （2）对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？ 2．新课 1e ，2e 是不共线向量，a 是平面内任一向量， =1e ，=λ1 2e ，=a =+=λ1 1e +λ2 2e ， =2e ，=λ 2 2e ． 1e 2e a C

得平面向量基本定理： 如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ 1 ，λ2使a ＝λ 1 1e +λ2 2e ． 注意几个问题： （1）1e ,2e 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底； （2）这个定理也叫共面向量定理； （3）λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量． 例1 已知向量1e ,2e ，求作向量-2.51e +32e ． 作法：（1）取点O ，作=-2.51e ，=32e ， （2）作平行四边形OACB ，即为所求． 已知两个非零向量a 、b ，作OA = a ，OB = b ，则∠AOB ＝θ（0°≤θ≤180°），叫做向量a 与b 的夹角． 当θ＝0°，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向，如果a 与b 的夹角为90°，我们说a 与b 垂直，记作：a ⊥b ． 三、小结： 平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合． 1 e 2e

高中数学必修4第二章平面向量教案完整版

§ 平面向量的实际背景及基本概念 1、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段．．．．． 的起点无关．．．．． . 7、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．． . 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. A(起点) B （终点） a

平面向量单元教学设计样本

《平面向量》单元教学设计 武都区两水中学王斌 向量是近代数学中重要和基本数学概念之一，有深刻几何背景，是解决几何问题有力工具。向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形基本性质转化为向量运算体系。 向量是沟通代数、几何与三角函数一种工具，有着极其丰富实际背景。在本章中，学生将理解向量丰富实际背景，理解平面向量及其运算意义，能用向量语言和办法表述和解决数学和物理中某些问题，发展运算能力和解决实际问题能力。 一、单元教学目的 本章重要涉及平面向量实际背景及基本概念、平面向量线性运算、平面向量基本定理及坐标表达、平面向量数量积、平面向量应用五某些内容。通过本章学习，应引导学生：1．通过力和力分析等实例，懂得向量实际背景，会运用平面向量和向量相等含义，会向量几何表达。 2．通过实例，会算向量加、减法运算，并会求其几何意义。 3．通过实例，纯熟运用向量数乘运算，并解释其几何意义，以及两个向量共线含义。 4．能说出向量线性运算性质及其几何意义。 5．懂得平面向量基本定理及其意义。 6．掌握平面向量正交分解及其坐标表达。 7．会用坐标表达平面向量加、减与数乘运算。 8．解释用坐标表达平面向量共线条件。 9．通过物理中“功”等实例，阐明平面向量数量积含义及其物理意义。 10．体会平面向量数量积与向量投影关系。 11．识记数量积坐标表达式，会进行平面向量数量积运算。 12．能运用数量积表达两个向量夹角，会用数量积判断两个平面向量垂直关系。 13．经历用向量办法解决某些简朴平面几何问题、力学问题与其她某些实际问题过程，

高中数学优质课比赛 平面向量基本定理教案

《平面向量基本定理》教学教案 ----新余一中蒋小林 一、背景分析 1．教材分析 函向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。此前的教学内容主要研究了向量的的概念和线性运算，集中反映了向量的几何特征。本节课要讲解“平面向量基本定理”的概念和应用，是研究向量的正交分解和向量的坐标运算基础，向量的坐标运算正是向量的代数形态。通过平面向量基本定理，平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，即“数”的运算处理“形”的问题完美结合，在整个向量知识体系中处于承上启下的核心地位。本节课教学重点是“平面向量基本定理探究过程和利用平面向量基本定理进行向量的分解”。 2．学情分析 从学生知识层面看：本节课之前已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的认识。 从学生能力层面看：通过以前的学习，已经初步具备类比归纳概括的能力，能在教师的引导下解决问题。 教学中引入生活实例类比出向量的分解，让学生通过课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高．因此，我认为平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解是本节课的教学难点． 二.学习目标 1）知识与技能目标 1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一向量。 2、能用平面向量基本定理进行简单的应用。 2）过程与方法目标 1、通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培

养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。 2、通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生 进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。 3）情感、态度与价值观目标 1、用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神， 发展学生的数学应用意识； 2、经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活 动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。 [设计意图]：这样设计目标，可操作性强，容易检测目标的达成度，同时也体现 了培养学生核心素养的要求． 三．教学过程设计 教学过程 1．创设问题、引出新课 （一）通过击鼓传花游戏复习的向量的运算及平行向量基本定理，我们知道可以用(0)a a λ≠表示任意和a 共线的向量，那么再随便画一个方向的向量b ，你还可以用a 表示出来吗？一个向量不够那么需要几个向量来表示呢？za 此问题激发了学生的学习兴趣，蕴含着本节课设计主线，即从共线定理的一维关系转向研究平面向量基本定理的二维关系。（二）情景1：火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度；情景2：斜坡上物体所受的重力G ，课分解为力沿斜坡向下的力和垂直于斜坡的力；让学生对数学中的任意向量也可以用两个不共线的向量表示，有了充分的事实根据和感性认识。总之，整个引入，是从学生熟知的数学基础知识和物理基础知识为入手点，让学生轻松接受本节课的内容，让本节课的内容新而不新，难而不难了。 [设计意图]：两个生活常景抓住学生的兴趣，完成从生活到数学的建模过程，培养了学生，在生活中感知和发现数学，即知识问题化，问题情景化，情景生活化，生活学科化。体现了数学与生活密不可分的关系，为探究定理作好铺垫。 2.问题驱动、探究新知 问题（1）给定平面内任意两个向量21,e e 请你做出2121223e e e e -+和两个向量。 [设计意图]：利用向量的加减法和数乘向量，利用平行四边形法则可以表示

平面向量基本定理教案新部编本

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校

§2.3.1 平面向量基本定理 教学目的： （1）了解平面向量基本定理； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解 决实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、 复习引入： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa = 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 b =λa . 二、讲解新课： 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e . 探究： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 三、讲解范例：

平面向量概念教学设计

篇一：平面向量概念教案 平面向量概念教案 一．课题：平面向量概念 二、教学目标 1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。 2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。 3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣 三．教学类型：新知课 四、教学重点、难点 1、重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。 2、难点：向量的概念及对平行向量的理解。 五、教学过程 （一）、问题引入 1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？ 2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？ 3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。 在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫数量。 （二）讲授新课 1、向量的概念 练习1 对于下列各量： ①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功⑨体积⑩温度 其中，是向量的有：②③④⑤ 2、向量的几何表示 请表示一个竖直向下、大小为5n的力，和一个水平向左、大小为8n的力（1厘米表示1n）。思考一下物理学科中是如何表示力这一向量的？ （1）有向线段及有向线段的三要素 （2）向量的模 （4）零向量，记作＿＿＿＿； （5）单位向量 练习2 边长为6的等边△abc中，＝＿＿，与相等的还有哪些？ 总结向量的表示方法： 1）、用有向线段表示。 2）、用字母表示。 3、相等向量与共线向量 （1）相等向量的定义 （2）共线向量的定义 六．教具：黑板 七．作业 八．教学后记 篇二：平面向量的实际背景及基本概念教学设计 平面向量的实际背景及基本概念教学设计

《平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计

《平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计 【教学设计构想】 １.体现知识的发生、发展过程；本节课的核心知识是“平面向量正交分解条件下坐标表示”,学生正确建构了向量的坐标表示，才能真正理解向量的“代数化”，进而从代数的角度理解向量的运算，所以本节课的设计,力图呈现平面向量坐标表示的发生、发展过程。 ２．将知识的数学形态转化为教学形态;教材中对本节内容的介绍只有本页之多，却内涵丰富，承前启后，不能以自己的想法代替学生的想法，不能简单地告诉学生定义、结论，通过问题的设置来引导学生操作、思考、讨论交流，推进教学的进程。 ３.教学重心前移;对于本节课的知识,如果学生记住向量坐标表示的结论,学生也能解决一系列的问题,以往的教学,是将重心放在如何强化学生的解题训练上，注重解题的方法与技巧，在题的难度上和解法技巧上进行设计，本次教学的重心放在学生对向量坐标表示的意义理解上。 ４.还学生自主学习的空间与时间；在学生的“最近发展区内”设置有思考价值的问题，形成学生认知上的冲突，才是给学生提供学习的空间；在对学生设置好探究问题后，要舍得给学生独立思考,与同伴交流的时间。 【教材内容地位】 本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示”,向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础,因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解,建立坐标系才有了依据,同时,只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。 2.３节平面向量的基本定理及坐标表示主要四部分内容1.平面向量的基本定理，２.平面向量的正交分解及坐标表示， 3.平行向量的坐标运算, 4.平面向量共线的坐标表示。本节教学的内容是本单元的第２节。 【目标与目标解析】 知识与技能: １.掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求:（1)能写出给定向量的坐标;（2）给出坐标能画出表示向量的有向线段; 2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：（1)知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标;（2）向量的坐标等于终点减去起点坐标。 3.理解向量与坐标之间是一一对应关系。 过程与方法: 学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法,体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。 情感态度与价值观： 在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流,从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。 重点：平面向量坐标表示的定义 突破办法:渗透从特殊到一般的归纳，由“形”到“数”的数形结合的思想． 难点:对平面向量坐标表示生成过程的理解 突破办法:设置情景问题,注意过程分析与引导,力求自然、合理 【教学过程】 (一）问题情境1：倾斜角为３０度的斜面上，质量为10０kg的物体匀速下滑， 欲求物体受到的滑动摩擦力和支持力,该如何对重力进行分解? 设计说明:引出课题。 回顾向量基本定理,构造建立直角坐标系条件，为研究问题做铺垫。 （二）向量坐标表示的定义探究 问题１：如图所示，取与x轴、ｙ轴方向相同的两个单位向量ｉ,ｊ为基底，分别用i,j表示向量ａ、b.

平面向量基本定理(教案)

《2.3.1 平面向量基本定理》教案 【教材】人教版数学必修4（A版）第105-106页【课时安排】1个课时 【教学对象】高一学生【授课教师】华南师范大学数学科学学院陈晓妹 【教材分析】 1.向量在数学中的地位 向量是近代数学中重要的概念，它不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具，因此具有很高的教育价值。 2.本节在教学中的地位 平面向量基本定理是向量进行坐标表示，并由此进一步将向量运算转化为坐标运算的重要基础；该“定理”以二维向量空间为依托，可以推广到n维向量空间，是今后引出空间向量用三维坐标表示的基础。因此本节知识在本章中起承上启下的作用。 3.本节在教学思维方面的培养价值 平面向量基本定理蕴含了转化的数学思想。它是用基本要素用基本要素（基底、元）表达事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合），并把对事物的研究转化为对事物基本要素研究的典型范例，这是人们认识事物的一种重要方法。 【目标分析】 知识与技能 1.理解平面向量的基底的意义与作用，学会选择恰当的基底，将简单图形中的任一向量表 示为一组基底的线性组合； 2.了解平面向量的基本定理，初步利用定理解决问题（如相交线交成线段比的问题等）。过程与方法 1.通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上 的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念； 2.通过对平面向量基本定理的探究过程，让学生体会数学定理的产生、形成过程，体验定 理所蕴含的转化思想。 情感态度价值观 1.培养学生主动探求知识、合作交流的意识，感受数学思维的全过程； 2.与物理学科之间的渗透，改善数学学习信念，提高学生学习数学的兴趣。 【学情分析】 有利因素 1.学生在前面已经掌握了向量的基本概念和基本运算（特别是向量加法平行四边形法则和 向量共线的充要条件）都为学生学习本节内容提供了知识准备； 2.学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成和力的分解，同时作图习惯已经养成，这 为我们学习向量分解提供了认知准备。 不利因素

平面向量的基本概念练习题

平面向量的实际背景及基本概念 一、选择题： 1．下列物理量中，不能称为向量的是（ ） A ．质量 B ．速度 C ．位移 D ．力 2．设O 是正方形ABCD 的中心，向量AO 、OB 、CO 、OD 是（ ） A ．平行向量 B ．有相同终点的向量 C ．相等向量 D ．模相等的向量 3．下列命题中，正确的是（ ） A ．||||a b =a b ?= B ．||||a b >a b ?> C ．a b a =?与b 共线 D ．||00a a =?= 4．在下列说法中，正确的是（ ） A ．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同 B ．模为0的向量与任一非零向量平行 C ．向量就是有向线段 D ．若||||a b =，则a b = 5．下列各说法中，其中错误的个数为（ ） （1）向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；（2）两个非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量；（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量；（5）平行向量就是向量所在直线平行 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 *6．ABC ?中，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段所表示的向量中，与EF 共线的向量有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．6个 D ．7个 二、填空题： 7．在（1）平行向量一定相等；（2）不相等的向量一定不平行；（3）共线向量一定相等；（4）相等向量一定共线；（5）长度相等的向量是相等向量；（6）平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，说法错误的是 ． 8．如图，O 是正方形ABCD 的对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 是正方形，在图中所示的向量中， （1）与AO 相等的向量有 ； （2）与AO 共线的向量有 ； （3）与AO 模相等的向量有 ； （4）向量AO 与CO 是否相等答： ． 9．O 是正六边形ABCDEF 的中心，且AO a =，OB b =，AB c =，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 为端点的向量中： （1）与a 相等的向量有 ； （2）与b 相等的向量有 ； （3）与c 相等的向量有 ． O A B C D E F

向量的概念及表示优秀教案

向量的概念及表示 执教:张亮点评:孔凡海 【教学目标】 一、通过对实例的引入，了解向量概念产生的实际背景； 二、理解平面向量和向量相等的概念； 三、掌握向量的几何表示； 四、了解向量的长度、零向量、单位向量、平行向量等概念。 【重点难点】 重点：向量的概念和向量的几何表示； 难点：向量概念的理解 【点评】 知识技能，数学思考，问题解决，情感态度。目标明确有效，重点突出。为组织、引导学生开展有效学习活动奠定了方向。 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何的工具。向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，方向反映了向量形的特征，向量是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质。由于向量的几何性质，以及向量、点、序偶之间的对应关系，于是，可以把图形的基本结构转化为向量运算，把图形的基本性质转化为向量的运算律，这就是几何问题代数化处理。这样，几何中添线、补图等技巧让位于代数中的通法，也就是作为思辩数学的几何问题让位于作为算法数学的代数问题。 【教学过程】 一、设置情境 情景在如图所示的情景中，猫能否追上老鼠？ 合作探究看下面哪些量是与众不同的：

（1）线段的长度（2）物体的质量 （3）物体的体积（4）物体所受重力 （前三个都是数量，即只有大小，而物体所受重力是矢量，既有大小又有方向） 【点评】 根据学生的生活经验，通过问题、设疑来创设思维的情境，引起认识的需要；通过揭露矛盾来引发思考，激发学习的兴趣。通过学生活动，感知数学，进行意义建构。 物理中的力、速度、加速度以及几何中的有向线段等概念是向量概念的原型。由物理上的位移、速度等引入向量概念，贴近学生已有的经验，比较自然，也体现了“最近发展区”原理的运用。 二、探索研究 问题一情景中向我们呈现了一个新的量，那么我们怎样用数学的形式对这一量进行描述呢？ 1．向量的定义 既有大小又有方向的量叫向量。 师：你还能举出一些向量的例子吗？ 师：在这一概念中你认为关键词有哪些？ 板书向量的二要素大小和方向 师：我们怎样用符号来表示向量呢重力加速度是一个向量，那么在物理中我们是用什么表示它的呢？