第13章交变应力

第13章交变应力

一、填空题

1、对称循环交变应力的循环特征r =（），其材料的持久极限用（）表示；

2、脉动循环交变应力的循环特征r =（），其材料的持久极限用（）表示。静

应力的循环特征r =（）。

3、影响构件持久极限的主要因素（）（）（）。

4、提高构件疲劳强度的主要措施是（）、（）、（）。

5、齿轮传动时，齿根部某点弯曲正应力的循环特征r =（），火车运行时，其车

箱轮轴中段横截面边缘上任一点的应力为（）。

6、构件的应力集中越大，其持久极限期（）。

构件表面愈粗糙，其持久极限（）。

二、选择题

1、图示交变应力的循环特征r =（）

A、1/3

B、2/3

C、2

D、3

2、图示交变应力的循环特征r =（）

A、-0.5

B、0.5

C、-2

D、2

3、图示交变应力循环特征r，应力振幅σ a 和平均应力σm 分别为（）。

A、r =0, σa =50Mpa , σm =50Mpa

B、r =0, σa =100Mpa , σm =50Mpa

C、r =1, σa =50Mpa , σm =100Mpa

D、r =1, σa =50Mpa , σm =50Mpa

4、图示交变应力的应力振幅σa，平均应力σm分别为（）

A.σa =20Mpa , σm =-10Mpa

B.σa =-40Mpa , σm =10Mpa

C.σa =30Mpa , σm =-10Mpa

D.σa =30Mpa , σm =30Mpa

材料习题解答第五章

5-1构件受力如图5-26所示。试：(1)确定危险点的位置；(2)用单元体表示危险点的应力状态（即用纵横截面截取危险点的单元体，并画出应力）。 题5-1图 解：a) 1) 危险点的位置：每点受力情况相同，均为危险点； 2）用单元体表示的危险点的应力状态见下图。 b) 1) 危险点的位置：外力扭矩3T 与2T 作用面之间的轴段上表面各点； 2）应力状态见下图。 c) 1) 危险点： A 点，即杆件最左端截面上最上面或最下面的点； 2）应力状态见下图。 d) 1）危险点：杆件表面上各点； 2）应力状态见下图。 5-2试写出图5-27所示单元体主应力σ1、σ2和σ3的值，并指出属于哪一种应力状态（应力单位为MPa ）。 A A T （a ） （c ） （d ） 3 64d Fl πτ=a) b) c) d)

10 题5-2图 解： a) 1 σ=50 MPa, 2 σ= 3 σ=0,属于单向应力状态 b) 1 σ=40 MPa, 2 σ=0, 3 σ=－30 MPa，属于二向应力状态 c) 1 σ=20 MPa, 2 σ=10 MPa, 3 σ=－30 MPa，属于三向应力状态 5-3已知一点的应力状态如图5-28所示（应力单位为MPa）。试用解析法求指定斜截面上的正应力和切应力。 题5-3图 解： a)取水平轴为x轴，则根据正负号规定可知： x σ=50MPa , y σ=30MPa , x τ=0, α=－30ο 带入式（5-3），（5-4）得 =45MPa = -8.66MPa b)取水平轴为x轴，根据正负号规定： x σ= -40MPa , y σ=0 , x τ=20 MPa , α=120ο 带入公式，得： ο ο240 sin 20 240 cos 2 40 2 40 - - - + + - = α σ=7.32MPa a) b) c) a) b) c)

第11章梁的弯曲应力要点

第11章梁的弯曲应力 教学提示：梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力；梁横力弯曲时横截面上的切应力；提高弯曲强度的若干措施、薄壁杆件的切应力流和弯曲中心。 教学要求：掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。掌握中性层、中性轴和翘曲等基本概念和含义。熟练掌握弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。了解什么情况下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。从弯曲强度条件出发，掌握提高弯曲强度的若干措施。 在外荷载作用下，梁截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。弯矩是垂直于横截面的分布内力的合力偶矩；而剪力是切于横截面的分布内力的合力。本章研究正应力σ和剪应力τ的分布规律，从而对平面弯曲梁的强度进行计算。 11.1梁的弯曲正应力 平面弯曲情况下，一般梁横截面上既 有弯矩又有剪力，如图11.1所示梁的AC、 DB段。而在CD段内，梁横截面上剪力等 于零，而只有弯矩，这种情况称为纯弯曲。 下面推导梁纯弯曲时横截面上的正应力公 式。应综合考虑变形几何关系、物理关系 和静力学关系等三个方面。 11.1.1 弯曲正应力一般公式 1、变形几何关系 为研究梁弯曲时的变形规律，可通过 试验，观察弯曲变形的现象。取一具有对 称截面的矩形截面梁，在其中段的侧面上， 画两条垂直于梁轴线的横线mm和nn，再 在两横线间靠近上、下边缘处画两条纵线 ab和cd，如图11.2(a)所示。然后按图 11.1(a)所示施加荷载，使梁的中段处于纯弯曲 状态。从试验中可以观察到图11 .2(b)情况： （1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正 交，只是横线间作相对转动。

材料成型原理第十三章答案

14 思考与练习 1. 什么叫张量？张量有什么性质？ 答：张量：由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量组成的集合， 称为张量，需要用空间坐标系中的三个矢量，即9个分量才能完整地表示。 它的重要特征是在不同的坐标系中分量之间可以用一定的线性关系来换算。 基本性质： 1） 张量不变量 张量的分量一定可以组成某些函数)(ij P f ，这些函数值与坐标轴无关，它不随坐标而改变，这样的函数，叫做张量不变量。二阶张量存在三个独立的不变量。 2） 张量可以叠加和分解 几个同阶张量各对应的分量之和或差定义为另一个同阶张量。两个相同的张量之差定义为零张量。 3） 张量可分为对称张量、非对称张量、反对称张量 若张量具有性质ji ij P P =，就叫对称张量；若张量具有性质ji ij P P -=，且当i=j 时对应的分量为0，则叫反对称张量；如果张量ji ij P P ≠，就叫非对称张量。任意非对称张量可以分解为一个对称张量和一个反对称张量。 4） 二阶对称张量存在三个主轴和三个主值 如果以主轴为坐标轴，则两个下角标不同的分量均为零，只留下两个下角标相同的三个分量，叫作主值。 2. 如何表示任意斜微分面上的应力？ 答：若过一点的三个互相垂直的微分面上的九个应力分量已知，则借助

图14-1 任意斜切微分面上的应力 静力平衡条件，该点任意方向上的应力分量可以确定。 如图14-1所示，设过Q 点任一斜切面的法线N 与三个坐标轴的方向余弦为l ，m ，n ， l=cos(N,x); m=cos(N,y); n=cos(N,z)。 若斜微分面ABC 的面积为dF ， 微分面OBC(x 面)、OCA(y 面)、OAB(z 面)的微分面积分别为dFx 、dFy 、dFz ， 则各微分面之间的关系为 dFx=ldF ；dFy= mdF ； dFz=ndF 又设斜微分面ABC 上的全应力为S ， 它在三坐标轴方向上的分量为Sx 、 Sy 、Sz ，由静力平衡条件∑ =0x P ，得： 整理得 ?????++=++=++=n m l S n m l S n m l S z yz xz z zy y xy y zx yx x x στττστττσ （14-6） 用角标符号简记为 () z y x j i l S i ij j ，，，==σ 显然，全应力 2222z y x S S S S ++= 斜微分面上的正应力σ为全应力S 在法线N 方向的投影，它等于x S ,y S ,z S 在N 方向上的投影之和，即 )(2222nl mn lm n m l zx yz xy z y x τττσσσ+++++= （14-7）

第五章应力状态分析与强度理论

第五章 应力状态分析与强度理论 一、 内容提要 1.应力状态的概念 1.1一点的应力状态 通过受力构件的一点的各个截面上的应力情况的集合，称为该点的应力状态。 1.2一点的应力状态的表示方法——单元体 研究受力构件内一点处的应力状态，可以围绕该点取一个无限小的正六面体，即单元体。若单元体各个面上的应力已知或已计算出，则通过该点的其他任意方位截面上的应力就可用解析法或图解法确定。 1.3主平面、主应力 单元体上切应力为零的平面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。 过受力构件内任一点总有三对相互垂直的主平面。相应的主应力用1σ、2σ、3σ来表示，它们按代数值的大小顺序排列，即321σσσ≥≥。1σ是最大主应力，3 σ是最小主应力，它们分别是过一点的所有截面上正应力中的最大值和最小值。 1.4应力状态的分类 （1）单向应力状态，只有一个主应力不为零，另两个主应力均为零； （2）二向或平面应力状态，两个主应力不为零，另一个为零； （3）三向或空间应力状态，三个主应力都不为零。 单向应力状态又称简单应力状态，二向、三向应力状态称为复杂应力状态。 2.平面应力状态分析的解析法 在平面应力状态的单元体中，有一对平面上的应力等于零，即为主平面，其 上主应力为零。可将单元体用平面图形表示，如图5-1所示。 图5-1 2.1任意α斜截面上的应力 当已知x σ、y σ、yx xy ττ=时，应用截面法，可得 α τασστα τασσσσσαα2cos 2sin 2 2sin 2cos 2 2xy y x xy y x y x +-= --+ += （5-1）

式中，正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力以对单元体内任意点的矩为顺时针转向为正，反之为负；α为斜截面外法线与x 平面外法线即x 轴间的夹角，α角从x 轴量起，反时针转向为正，反之为负。 2.2主应力 2 2 min max 22xy y x y x τσσσσσσ+??? ? ? ?-±+=??? （5-2） 式中， max σ和min σ分别表示单元体上垂直于零应力面的所有截面上正应力的最大值和最小值。它们是三个主应力中的两个，而另一个主应力为零。三个主应力 max σ、min σ和0要按代数值大小排列，分别用1σ、2σ、3σ表示。 2.3主平面的方位角0α 主平面与x 轴间的夹角0α可按下式计算 y x xy tg σ-στ- =α220 （5-3） 由上式可确定两个主平面的方位角0α和 900+α，其中当y x σ≥σ时，0α主平面上的主应力为max σ， 900+α主平面上的主应力为min σ； 当y x σ<σ时，0α主平面上的主应力为min σ， 900+α主平面上的主应力为max σ。 3．平面应力状态分析的图解法 图5-2 3.1应力圆 方程 2 2 2 2 22xy y x y x τ+??? ? ? ?σ-σ=τ+???? ? ?σ+σ-σαα

工程力学习题答案第十三章王永跃

第十三章习 题 解 答 13?1 木制构件中的单元体应力状态如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂线的夹角。试求： （l ）平行于木纹方向的切应力； （2）垂直于木纹方向的正应力。 解： 由图a 可知 MPa 0MPa, 6.1,MPa 2.0=-=-=x y x τσσ （1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力 MPa 1.0)]15(2sin[2 6.12MPa 9 7.1)]15(2cos[26 .1226.1215 15=-?+-=-=-?+-+--= -- τσ （2）垂直于木纹方向的正应力 MPa 1.0)752sin(2 6.12MPa 52 7.1]752cos[26 .1226.127575-=?+-=-=?+-+--= τσ 由图b 可知 MPa 25.1,0,0-===x y x τσσ （1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力 MPa 08.1)]15(2cos[25.12cos MPa 625.0)15(2sin 25.12sin 1515-=-??-==-=-?=-=-- αττατσx x （2）垂直于木纹方向的正应力 MPa 08.1)752cos(25.12cos MPa 625.0)752sin(25.12sin 7575=??-===??=-= αττατσx x 13?2 已知应力状态如图一所示（应力单位为MPa ），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力 解：（a ）已知 MPa 20MPa,10, 0MPa 3-===x y x τσσ 则由公式可直接得到该斜截面上的应力 MPa 习题13?1图 (a) (b)

工程力学材料力学答案-第十一章解析

11-6 图示悬臂梁，横截面为矩形，承受载荷F 1与F 2作用，且F 1=2F 2=5 kN ，试计算梁内的 最大弯曲正应力，及该应力所在截面上K 点处的弯曲正应力。 解：(1) 画梁的弯矩图 (2) 最大弯矩（位于固定端）： max 7.5 M kN = (3) 计算应力： 最大应力： K 点的应力： 11-7 图示梁，由No22槽钢制成，弯矩M =80 N.m ，并位于纵向对称面（即x-y 平面）内。 试求梁内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。 解：(1) 查表得截面的几何性质： 4020.3 79 176 z y mm b mm I cm === (2) 最大弯曲拉应力（发生在下边缘点处） ()30max 8 80(7920.3)10 2.67 17610x M b y MPa I σ -+-?-?-?===? 6max max max 22 7.510176 408066 Z M M MPa bh W σ?====?6max max 33 7.51030 132 ******** K Z M y M y MPa bh I σ????====? x M 1 z M M z

(3) 最大弯曲压应力（发生在上边缘点处） 30max 8 8020.3100.92 17610 x M y MPa I σ ---???===? 11-8 图示简支梁，由No28工字钢制成，在集度为q 的均布载荷作用下，测得横截面C 底 边的纵向正应变ε=3.0×10-4，试计算梁内的最大弯曲正应力，已知钢的弹性模量E =200 Gpa ，a =1 m 。 解：(1) 求支反力 31 44 A B R qa R qa = = (2) 画内力图 (3) 由胡克定律求得截面C 下边缘点的拉应力为： 49max 3.010******* C E MPa σε+-=?=???= 也可以表达为： 2 max 4C C z z qa M W W σ+== (4) 梁内的最大弯曲正应力： 2 max max max 993267.5 8 C z z qa M MPa W W σσ+ = === q x x F S M

【精品】第十一章交变应力

第十一章交变应力 §11。1交变应力与疲劳失效 §11.2交变应力的循环特征应力幅和平均应力 §11.3持久极限（疲劳极限） §11.4影响持久极限的因素 §11.5对称循环下构件的疲劳强度计算 §11。6持久极限曲线 §11。7非对称循环下构件的疲劳强度计算 §11。8弯扭组合交变应力的强度计算 §11。1交变应力与疲劳失效 1。交变载荷：随时间作周期性变化的载荷。 2.变交应力：机器零部件受到交变载荷或由于本身的旋转而产生的随时间周期性变化的应力称为交变应力。

3.疲劳失效：当物件长期在交变应力下工作时，往往在应力低于屈服极限或强度极限的情况而突然发生断裂，即是塑性材料在断裂前也无明显的塑性变形，这种现象称为疲劳失效。 4。发展简史：

疲劳失效现象出现始于19世纪初叶,产业革命以后，随着蒸汽机车和机动运载工具的发展,以及机械设备的广泛应用，运动的部件破坏经常发生。破坏往往发生在零部件的截面尺寸突变处，破坏的名义应力不高，低于材料的抗拉强度和屈服点。破坏的原因一时使工程师们摸不着头脑.1829年，法国人Albert 。W 。A(艾伯特)用矿山卷扬机焊链条进行疲劳实验,疲劳破坏事故阐明。1939年法国工程师ponceletJ 。V 在巴黎大学讲课时首先使用“疲劳"这一术语，来描述材料在循环载荷作用下承载能力逐渐耗尽以致最后突然断裂的现象。 5。抗疲劳设计的重要性 绝大多数机器零件都是在交变载荷下工作，这些零部件疲劳失效是主要的破坏形式。例如转轴有50％或90%都是疲劳破坏。其它如连杆、齿轮的轮点、涡轮机的叶片,轧钢机的机架，曲轴，连接螺栓、弹簧压力容器、焊接结构等许多机器零部件，疲劳破坏占绝大部分。因此抗疲劳设计广泛应用于各种专业机械设计中，特别是航空、航天、原子能、汽车、拖拉机、动力机械、化工机械、重型机械等抗疲劳设计更为重要. 6.举例 ①火车轮轴I t Mr I My ωσsin == ②齿轮齿根应力 ③受迫振动的梁

材料力学第八章复习题

第八章 应力状态分析 1．矩形截面简支梁受力如图（a ）所示，横截面上各点的应力状态如图（b ） 所示。关于他们的正确性，现有种答案： （A ）点1、2的应力状态是正确的；（B ）点2、3的应力状态是正确的； （C ）点3、4的应力状态是正确的；（D ）点1、5的应力状态是正确的； 正确答案是 。 2．已知单元体AB 、BC 面上只作用有剪应力 τ ，现关于AC 面上应力有下 列四种答案： （A ）2/ττ=AC ，0=AC σ； （B ）2/ττ=AC ，2/3τσ=AC ； （C ）2/ττ=AC ，2/3τσ-=AC ； （D ）2/ττ-=AC ，2/3τσ=AC ； 正确答案是 。 3．在平面应力状态下，对于任意两斜截面上的正应力 βασσ= 成立的充分 必要条件，有下列四种答案： （A ）y x σσ=，0≠xy τ； （B ）y x σσ=，0=xy τ； （C ）y x σσ≠，0=xy τ； （D ）xy y x τσσ==； 正确答案是 。 C τ (a) (b)

4．对于图示三种应力状态（a ）、（b ）、（c ）之间有下列四种答案 ： （A ）三种应力状态均相同； （B ）三种应力状态均不同； （C ）（b ）和（c ）相同； （D ）（a ）和（c ）相同； 正确答案是 。 5．直径为d 的圆截面杆，两端受扭转力偶m 作用。设 ?=45α，关于下列结 论（E 、v 分别表示材料的弹性模量和泊松比） 1） 在A 、B 、C 点均有0==y x εε； 2） 在点C 处，() 3 /16d m πσα-=； 3） 在点C 处，)]/(16[]/)1[(3 d m E v πεα?+-=； 现有四种答案： （A ）1）、2）正确； （B ）2）、3）正确； （C ）1）、3）正确； （D ） 全正确； 正确答案是 。 6．广义虎克定律适用范围，有下列四种答案： （A ）脆性材料； （B ）塑性材料； （C ）材料为各向同性，且处于线弹性范围内； （D ）任何材料； 正确答案是 。 τ (a) (b) (c) m A C

材力第5章作业题解答

第5章 应力状态分析 5－1 木制构件中的微元受力如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂方向的夹角。试求： 1．面内平行于木纹方向的切应力； 2．垂直于木纹方向的正应力。 图 1 解：平行于木纹方向切应力 6.0))15(2cos(0))15(2sin(2 ) 6.1(4=?-??+?-?---= ''y x τMPa 垂直于木纹方向正应力 84. 30))15(2cos(2 ) 6.1(42)6.1(4-=+?-?---+- +-= 'x σMPa 5-2 结构中某点处的应力状态为两种应力状态的叠加结果。试求叠加后所得应力状态的主应力、面内最大切应力和该点处的最大切应力。 x = 图 2 解： 叠加[]??? ? ?? ???=???????-?--+==--+==??? ? ???-?--+-++=MPa 30))45(2sin(2)30(5070MPa 1010)3050(0MPa 90))45(2cos(2)30(502)30(5080xy y x σσσ 主应力0 MPa 0MPa 100304)]100(90[212109022231=???=?+-±+=???σσσ 面内及该点：502 1002 ||||3 1max max =-= -=='σσττMpa 5-3 已知平面应力状态的最大正应力发生在与外力作用的自由表面AB 相垂直的面上，其值为0σ。试求应力分量x σ、y σ和xy τ。 解：ασα ασσσ2000cos 2 2cos 10))(2cos(2 2 =+= +-?+ = x ασσα σσσ2000sin 2 2cos 1=-= -=x y

《钳工》第十一章 矫正和弯形

第十一章矫正和弯形 第一节矫正 1．矫正的概念： 消除条料、棒料或板料的弯曲或翘曲等缺陷，这个作业叫，做矫正。 矫正可在机器上进行（如用棒料校直机、压床或冲床等），也可靠手工矫正。本章讲的是钳工用手工矫正的方法。 手工矫正由钳工用手锤在平台、铁砧或在虎钳等工具上进行，包括扭转、弯曲、延展和伸张等四种操作。根据工件变形情况，有时单独用一种方法，有时几种方法并用，使工件恢复到原来的平整度。 金属变形有两种： （1）弹性变形：在外力作用下，材料发生变形，外力去除，变形就恢复了。这种可以恢复的变形称为弹性变形。弹性变形量一般是较小的。 （2）塑性变形：当外力超过一定数值，外力去除后，材料变形不能完全恢复。这种不能恢复的永久变形称为塑性变形。 矫正是使工件材料发生塑性变形，将原来不平直的变为平直。因此只有塑性好的材料（材料在破坏前能发生较大的塑性变形）才能进行矫正。而塑性差的材料如铸铁、淬硬钢等就不能矫正，否则工件要断裂。 矫正时不仅改变了工件的形状，而且使工件材料的性质也发生了变化。矫正后，金属材料表面硬度增加，也变脆了。这种在冷加工塑性变形过程中产生的材料变硬的现象叫做冷硬现象（即冷作硬化）。冷硬后的材料给进一一步的矫正或其他冷加工带来的困难，可用退火处理，使材料恢复到原来的机械性能。 2．矫正用的工具 （1）矫正平板——用来做矫正工件的基准面。 （2）软、硬手锤和压力机一一手工矫正，一般用圆头硬手锤。矫正已经加工过的表面、矫正薄钢件或有色金属制件，应该采用软手锤（如铜锤、铅锤和木锤等）。另外还可用压力机进行机器矫正。 （3）检验工具——平板、直角尺、钢皮尺和百分表。 3．矫正的方法 （1）条料的矫直 条料由于堆放、搬运或加工不当，常产生扭 曲和弯曲等变形，现将矫直的方法介绍如下： 条料扭曲变形时，必须用扭转的方法来矫直 它（如图9—1)。将工件夹在虎钳上，用特制的 扳手扭转到原来的形状。操作时，左手扶着扳手 的上部，右手握住扳手的末端，施加扭力。 条料在厚度方向上弯曲时，则用弯曲法来矫 直它（如图9-2）。矫直时，把条料上靠近弯曲的 地方夹入虎钳，然后在它的末端用扳手扳动（如 图9-2甲），使它回直；或将条料弯曲的地方放在

工程力学习题答案第十三章王永跃

工程力学习题答案第十三章 王永跃 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

第十三章习 题 解 答 13?1 木制构件中的单元体应力状态如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂线的夹角。试求： （l ）平行于木纹方向的切应力； （2）垂直于木纹方向的正应力。 解： 由图a 可知 MPa 0MPa, 6.1,MPa 2.0=-=-=x y x τσσ （1）平行于木纹方向的切应 力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力 MPa 1.0)]15(2sin[2 6.12MPa 9 7.1)]15(2cos[26 .1226.1215 15=-?+-=-=-?+-+--= -- τσ （2）垂直于木纹方向的正应力 MPa 1.0)752sin(2 6.12MPa 52 7.1]752cos[26 .1226.127575-=?+-=-=?+-+--= τσ 由图b 可知 MPa 25.1,0,0-===x y x τσσ （1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力 MPa 08.1)]15(2cos[25.12cos MPa 625.0)15(2sin 25.12sin 1515-=-??-==-=-?=-=-- αττατσx x （2）垂直于木纹方向的正应力 MPa 08.1)752cos(25.12cos MPa 625.0)752sin(25.12sin 7575=??-===??=-= αττατσx x 13?2 已知应力状态如图一所示（应力单位为MPa ），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力 解：（a ）已知 MPa 20MPa,10, 0MPa 3-===x y x τσσ 则由公式可直接得到该斜截面上的应力 习题13?1图 (a) (b)

材料成型原理第十三章答案

14 思考与练习 1、 什么叫张量？张量有什么性质？ 答:张量:由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量组成的集合,称 为张量,需要用空间坐标系中的三个矢量,即9个分量才能完整地表示。 它的重要特征就是在不同的坐标系中分量之间可以用一定的线性关系来换算。 基本性质: 1) 张量不变量 张量的分量一定可以组成某些函数)(ij P f ,这些函数值与坐标轴无关,它不随坐标而改变,这样的函数,叫做张量不变量。二阶张量存在三个独立的不变量。 2) 张量可以叠加与分解 几个同阶张量各对应的分量之与或差定义为另一个同阶张量。两个相同的张量之差定义为零张量。 3) 张量可分为对称张量、非对称张量、反对称张量 若张量具有性质ji ij P P =,就叫对称张量;若张量具有性质ji ij P P -=,且当i=j 时对应的分量为0,则叫反对称张量;如果张量ji ij P P ≠,就叫非对称张量。任意非对称张量可以分解为一个对称张量与一个反对称张量。 4) 二阶对称张量存在三个主轴与三个主值 如果以主轴为坐标轴,则两个下角标不同的分量均为零,只留下两个下角标相同的三个分量,叫作主值。 2、 如何表示任意斜微分面上的应力？ 答:若过一点的三个互相垂直的微分面上的九个应力分量已知,则借助静

图14-1 任意斜切微分面上的应力 力平衡条件,该点任意方向上的应力分量可以确定。 如图14-1所示,设过Q 点任一斜切面的法线N 与三个坐标轴的方向余弦为l,m,n, l=cos(N,x); m=cos(N,y); n=cos(N,z)。 若斜微分面ABC 的面积为dF, 微分面OBC(x 面)、OCA(y 面)、OAB(z 面)的微分面积分别为dFx 、dFy 、dFz, 则各微分面之间的关系为 dFx=ldF;dFy= mdF; dFz=ndF 又设斜微分面ABC 上的全应力为S, 它在三坐标轴方向上的分量为Sx 、 Sy 、Sz,由静力平衡条件∑=0x P ,得: 0d d d d zx y x x =---Fz F F F S y x x ττσ 整理得 ?????++=++=++=n m l S n m l S n m l S z yz xz z zy y xy y zx yx x x στττστττσ (14-6) 用角标符号简记为 ()z y x j i l S i ij j ，，，==σ 显然,全应力 2222z y x S S S S ++= 斜微分面上的正应力σ为全应力S 在法线N 方向的投影,它等于x S ,y S ,z S 在N 方向上的投影之与,即

第八章应力状态强度理论

第八章 应力状态 强度理论 1 基本概念及知识要点 1.1 基本概念 点的应力状态、 应力圆、 主平面、 主应力、 主方向、 最大剪应力。 以上概念是进行应力应变分析以及强度计算的基础，应准确掌握和理解这些基本概念。 1.2 二向应力状态的解析法与图解法 实际工程中的许多问题，可以简化成二向应力状态问题，建议熟练掌握二向应力状态解析法和图解法。在学习该知识点时，应注意以下几点： (1) 单元体平衡，则单元体中任取出的一部分在所有力的作用下也平衡； (2) 过一点相互垂直两平面上有 y x σσσσαα+=90＋＋ 90＋ααττ-= 主应力和最大剪应力间 2 min max min max σστ-± = 01045±αα＝ 请注意理解以上各式所代表的物理意义。 （3） 主要公式：任意斜截面应力、主应力、主平面、最大剪应力及其作用平面，详见教材。上述公式建议熟记。 （4） 应用图解法时注意以下对应关系 应力：圆上一点，体上一面；直径两端，垂直两面。 夹角：圆上半径，体上法线；转向一致，转角两倍。 1.3 三向应力状态的最大剪应力 无论是三向应力状态，还是做为特例的二向应力状态或单向应力状态，都是用如下公式计算最大剪应力 2 3 1max σστ-= 在二向应力状态下，垂直于主应力为零的主平面的那一组平面中，剪应力的最大值，称为面内最大剪应力。可用公式 2 2 min max 2xy y x τσστ+??? ? ? ?-±=计算。 1.4 广义胡克定律 在比例极限范围内，变形非常小。线应变只与正应力有关，与剪应力无关；剪应变只与剪应力有关，与正应力无关。换言之，正应力与剪应力、线应变与剪应变，彼此间互不影响。 1.5 常用的四种强度理论及其应用

材料成型原理第十三章答案

14 思考与练习 1.什么叫张量？张量有什么性质？ 答：张量：由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量组成的集合，称为张量，需要用空间坐标系中的三个矢量，即9 个分量才能完整地表示。 它的重要特征是在不同的坐标系中分量之间可以用一定的线性关系来换算。 基本性质： 1) 张量不变量张量的分量一定可以组成某些函数 f (P ij )，这些函数值与坐 标轴无关，它不随坐标而改变，这样的函数，叫做张量不变量。二阶张量存在三个独立的不变量。 2) 张量可以叠加和分解几个同阶张量各对应的分量之和或差定义为另一 个同阶张量。两个相同的张量之差定义为零张量。 3) 张量可分为对称张量、非对称张量、反对称张量若张量具有性 质P j P ji，就叫对称张量；若张量具有性质Pij Pji，且当i=j时对 P ij P ji 应的分量为0，则叫反对称张量；如果张量，就叫非对称张量。 任意非对称张量可以分解为一个对称张量和一个反对称张量。 4) 二阶对称张量存在三个主轴和三个主值如果以主轴为坐标轴， 则两个下角标不同的分量均为零，只留下两个下角标相同的三个分量，叫作主值。 2.如何表示任意斜微分面上的应力?

答：若过一点的三个互相垂直的微分面上的九个应力分量已知，则借助 静力平衡条件，该点任意方向上的应力分量可以确定。 如图14-1所示，设过Q 点任一斜切面的法线N 与三个坐标轴的方向 余弦为I ，m n . l=cos(N,x); m=cos （N,y ）; n=cos （N,z ）。 若斜微分面ABC 的面积为dF , 微分面 OBC （x 面）、OCA （y 面）、OAB （z 面）的微分面积分别为dFx 、dFy 、dFz , 则各微分面之间的关系为 dFx=ldF ； dFy= mdF ； dFz=ndF 又设斜微分面ABC 上的全应力为S ,它在三坐标轴方向上的分量为 Sx 、 Sy 、Sz ，由静力平衡条件 P x 0 ，得： S x dF x dF x yx dF y zx dFz 0 整理得 S x X 1 S l y xy 1 S z XZ 1 yx m zx n y m zy n yz m z n （14-6） 用角标符号简记为 S j ij l i i ， j x ，y ，z 显然，全应力 S 2 s ； s ： s ； 图14-1任意斜切微分面上的应力

第五章材料力第七节 应力状态与强度理论考试复习重点知识与练习题

第七节应力状态与强度理论 ◆一、点的应力状态及其分类 （1）定义：受力后构件上任一点沿各个不同方向上应力情况的集合，称为一点的应力状态。 （2）单元体选取方法： 1）分析构件的外力和支座反力； 2）过研究点取横截面，分析其内力； 3）确定横截面上该点的σ、τ的大小和方向。 （3）主平面：过某点的无数多个截面中，最大（或最小）正应力所在的平面称为主平面，主平面上剪应力必为零。 （4）主应力：主平面上的最大（或最小）正应力。 （5）点的应力状态分类：对任一点总可找到三对互相垂直的主平面，相应地存在三个互相垂直的主应力，按代数值大小排列为σ1≥σ2≥σ3。若这三个主应力中，仅一个不为零，则该应力状态称为单向应力状态；如有两个不为零，称为二向应力状态；当三个主应力均不为零时，称为三向应力状态。 ◆二、二向应力状态 （一）斜截面上的应力 1. 解析法 平面应力状态如图5?26 所示,设其x为已知，则任意斜截面（其外法线n 与x轴夹角为α）上的正应力和剪应力分别为 式（5?58）中应力的符号规定为：正应力以拉应力为正，压应力为负；剪应力对单元体内任意点的矩为顺时针者为正，反之为负；α的符号规定为由x 轴转到外法线n 为逆时针者为正，反之为负。

◆ 三、三向应力状态、广义虎克定律 （一）斜截面上应力、最大剪应力 在σ—τ 直角坐标系下，代表单元体任何截面上应力的点，必定在由σ1和σ2、σ2和σ3、σ3和σ1所组成的三个应力圆（见图5?28）的圆周上或由它们所围成

的阴影范围内。理论分析证明了在三向应力状态中，最大剪应力的作用面与最大主应力σ1 和最小主应力σ3 所在平面成45°，而与σ2所在平面垂直，其值为 图5?28 三向应力状态的应力圆 （二）广义虎克定律 对各向同性材料，在线弹性范围内，复杂应力状态下的应力与应变之间存在

第五章 应力状态分析

第五章 应力状态分析 强度理论 组合变形
5.1 应力状态的概念
多数构件一般情况是既有正应力、又有切应力。 因此，为了进一步掌握材料的破坏规律，建立复杂受力情 况下构件的强度条件，必须要研究构件内各点在不同方位 截面上的应力情况。 一、一点的应力状态 一点的应力状态：通过受力构件上一点的所有各个不同截 面上应力的集合。则任意点处各个方向上的应力状况。 研究方法：取单元体，即围绕受力构件中该点取一微小正 平行六面体。
HM 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

第五章 应力状态分析 强度理论 组合变形
由于单元体在3个方向上 的尺寸均为无穷小。可认 为单元体各面上的应力是 均匀分布且在单元体任一 相对面上的应力数值相等 。这样，在单元体的三个 互相垂直的截面上的应力 就表示了单元体的应力状 态。当单元体的尺寸趋于 零时。单元体上的应力状 态就表示了一点的应力状 态。要分析一点的应力状 态，只需分析过该点的单 元体上的应力状态。
σy y τyz τzy σz z τyx τxy τzx τxz σyx x
HM 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

第五章 应力状态分析 强度理论 组合变形
F
A 拉伸
F
σ
A
σ
Me
B
Me
τ B
扭转
HM 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

第五章习题解答.doc

《土力学》部分习题解答 习题5 5-1 当一土样遭受一组压力（σ1，σ3）作用，土样正好达到极限平衡。如果此时，在大小主应力方向同时增加压力?σ，问土的应力状态如何？若同时减少?σ，情况又将如何？ 解：同时增加?σ时土样进入弹性平衡状态，同时减少?σ时土样破坏。（应力圆大小不变，位置移动。注意不要用τmax 和s 进行比较。） 5-2 设有一干砂样置入剪切盒中进行直剪试验，剪切盒断面积为60cm 2，在砂样上作用一垂直荷载900N ，然后作水平剪切，当水平推力达300N 时，砂样开始被剪破。试求当垂直荷载为1800N 时，应使用多大的水平推力砂样才能被剪坏？该砂样的内摩擦角为多大？并求此时的大小主应力和方向。 解：砂土，c =0，所以：N 600900 180030012122121=?==?=N N T T T T N N 此时， ?=??? ??=???? ??=???? ??==??==--43.181800600arctan arctan arctan kPa 100106010600224 3 2N T A T f f στ?τ 应力圆半径： kPa 4.10543.18cos 100cos =? ==?τf r 圆心坐标： ()kPa 4.33343.18sin 4.105sin 2131=?==+?σσr kPa 0.2284.1054.333kPa 8.4384.1054.33331=-==+=∴σσ 由应力圆知，大主应力作用面与剪破面的夹角为：?=+?=2.542/45?α 5-4 设有一含水量较低的黏性土样作单轴压缩试验，当压力加到90kPa 时，黏性土样开始破坏，并呈现破裂面，此面与竖直线呈35°角，如图5-39。试求其内摩擦角 ?及黏聚力c 。 解：水平面为大主应力面，kPa 901=σ；竖直面为小主应力面， 03=σ；由图5-39，小主应力面与剪破面的夹角为35?，即有： ()?=?-?=?=-?=∴2035452352/45??α

弹性力学 第十一章 弹性力学的变分原理

第十一章弹性力学的变分原理知识点 静力可能的应力 弹性体的功能关系 功的互等定理 弹性体的总势能 虚应力 应变余能函数 应力变分方程 最小余能原理的近似解法扭转问题最小余能近似解有限元原理与变分原理有限元原理的基本概念有限元整体分析几何可能的位移 虚位移 虚功原理 最小势能原理 瑞利-里茨(Rayleigh-Ritz)法 伽辽金(Гапёркин）法 最小余能原理 平面问题最小余能近似解 基于最小势能原理的近似计算方法基于最小余能原理的近似计算方法有限元单元分析 一、内容介绍 由于偏微分方程边值问题的求解在数学上的困难，因此对于弹性力学问题，只能采用半逆解方法得到个别问题解答。一般问题的求解是十分困难的，甚至是不可能的。因此，开发弹性力学的数值或者近似解法就具有极为重要的作用。 变分原理就是一种最有成效的近似解法，就其本质而言，是把弹性力学的基本方程的定解问题，转换为求解泛函的极值或者驻值问题，这样就将基本方程由偏微分方程的边值问题转换为线性代数方程组。变分原理不仅是弹性力学近似解法的基础，而且也是数值计算方法，例如有限元方法等的理论基础。 本章将系统地介绍最小势能原理和最小余能原理，并且应用变分原理求解弹

性力学问题。最后，将介绍有限元方法的基本概念。 本章内容要求学习变分法数学基础知识，如果你没有学过上述课程，请学习附录3或者查阅参考资料。 二、重点 1、几何可能的位移和静力可能的应力； 2、弹性体的虚功原理； 3、 最小势能原理及其应用；4、最小余能原理及其应用；5、有限元原理 的基本概念。 §11.1 弹性变形体的功能原理 学习思路: 本节讨论弹性体的功能原理。能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。而功能关系是能量原理的基础。 首先建立静力可能的应力和几何可能的位移概念；静力可能的应力 和几何可能的位移可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而且无任何关系。 建立弹性体的功能关系。功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。 学习要点： 1、静力可能的应力； 2、几何可能的位移； 3、弹性体的功能关系； 4、真实应力和位移分量表达的功能关系。 1、静力可能的应力 假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。表面积为S可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为S u；另外一部分是表面积的面力给定，称为Sσ 。如图所示

材料力学习题解答[第五章]要点

5-1构件受力如图5-26所示。试：(1确定危险点的位置；(2用单元体表示危险点的应力状态（即用纵横截面截取危险点的单元体，并画出应力）。 题5-1图 解：a 1 危险点的位置：每点受力情况相同，均为危险点； 2）用单元体表示的危险点的应力状态见下图。 b 1 危险点的位置：外力扭矩3T 与2T 作用面之间的轴段上表面各点； 2）应力状态见下图。

c 1 危险点： A 点，即杆件最左端截面上最上面或最下面的点； 2）应力状态见下图。 d 1）危险点：杆件表面上各点； 2）应力状态见下图。 5-2试写出图5-27所示单元体主应力σ1、σ2和σ3的值，并指出属于哪一种应力状态（应力单位为MPa ）。 20 10 题5-2图 解：a 1σ=50 MPa, 2σ=3σ=0,属于单向应力状态 A B A T （a ）（c ）（d ）

d 3 64d Fl πτ= a b c d a b c b 1σ=40 MPa, 2σ=0, 3σ=－30 MPa，属于二向应力状态 c 1σ=20 MPa, 2σ=10 MPa, 3σ=－30 MPa，属于三向应力状态 5-3已知一点的应力状态如图5-28所示（应力单位为MPa ）。试用解析法求指定斜截面上的正应力和切应力。 题5-3图 解： a 取水平轴为x 轴，则根据正负号规定可知：x σ=50MPa , y σ=30MPa , x τ=0, α=－30 带入式（5-3），（5-4）得ατασσ

σσ σα2s i n 2c o s 2 2 x y x y x --+ += =45MPa ατασσ τα2cos 2sin 2 x y x +-= = -8.66MPa b 取水平轴为x 轴，根据正负号规定：x σ= -40MPa , y σ=0 , x τ=20 MPa , α=120带入公式，得：

工程力学(天津大学)第13章答案

习 题 解 答 13?1 木制构件中的单元体应力状态如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂线的夹角。试求： （l ）平行于木纹方向的切应力； （2）垂直于木纹方向的正应力。 解： 由图a 可知 MPa 0MPa, 6.1,MPa 2.0=-=-=x y x τσσ （1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力 MPa 1.0)]15(2sin[2 6.12MPa 9 7.1)]15(2cos[26 .1226.1215 15=-?+-=-=-?+-+--= -- τσ （2）垂直于木纹方向的正应力 MPa 1.0)752sin(2 6.12MPa 52 7.1]752cos[26 .1226.127575-=?+-=-=?+-+--= τσ 由图b 可知 MPa 25.1,0,0-===x y x τσσ （1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力 MPa 08.1)]15(2cos[25.12cos MPa 625.0)15(2sin 25.12sin 1515-=-??-==-=-?=-=-- αττατσx x （2）垂直于木纹方向的正应力 MPa 08.1)752cos(25.12cos MPa 625.0)752sin(25.12sin 7575=??-===??=-= αττατσx x 13?2 已知应力状态如图一所示（应力单位为MPa ），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力 解：（a ）已知 MPa 20MPa,10, 0MPa 3-===x y x τσσ 则由公式可直接得到该斜截面上的应力 MPa 习题13?1图 (a) (b)

第十三章 思考与练习汇总

金属塑性成形原理复习指南 第一章绪论 1、基本概念 塑性:在外力作用下材料发生永久性变形，并保持其完整性的能力。 塑性变形:作用在物体上的外力取消后，物体的变形不能完全恢复而产生的永久变形成为塑性变形。 塑性成型:材料在一定的外力作用下，利用其塑性而使其成形并获得一定的力学性能的加工方法。 2、塑性成形的特点 1）其组织、性能都能得到改善和提高。 2）材料利用率高。 3）用塑性成形方法得到的工件可以达到较高的精度。 4）塑性成形方法具有很高的生产率。 3、塑性成形的典型工艺 一次成形（轧制、拉拔、挤压） 体积成形 二次成形（自由锻、模锻） 塑性成型 分离成形（落料、冲孔） 板料成形 变形成形（拉深、翻边、张形） 第二章金属塑性成形的物理基础 1、冷塑性成形 晶内：滑移和孪晶（滑移为主）滑移性能（面心>体心>密排六方） 晶间：转动和滑动 滑移的方向：原子密度最大的方向。 塑性变形的特点： ① 各晶粒变形的不同时性； ② 各晶粒变形的相互协调性； ③ 晶粒与晶粒之间和晶粒内部与晶界附近区域之间变形的不均匀性。 合金使塑性下降。 2、热塑性成形 软化方式可分为以下几种：动态回复，动态再结晶，静态回复，静态再结晶等。 金属热塑性变形机理主要有：晶内滑移，晶内孪生，晶界滑移和扩散蠕变等。 3、金属的塑性 金属塑性表示方法：延伸率、断面收缩率、最大压缩率、扭转角（或扭转数） 塑性指标实验：拉伸试验、镦粗试验、扭转试验、杯突试验。 非金属的影响：P冷脆性 S、O 热脆性 N 蓝脆性 H 氢脆 应力状态的影响：三相应力状态塑性好。 超塑性工艺方法：细晶超塑性、相变超塑性 第三章金属塑性成形的力学基础 第一节应力分析 1、塑性力学基本假设：连续性假设、匀质性假设、各向同性假设、初应力为 零、体积力为零、体积不变假设。 2、张量的性质