12.1计数原理与简单排列组合问题

第十二章 计数原理

本章知识结构图

第一节 计数原理与简单排列组合问题

考纲解读

1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.

2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.

3.理解排列、组合的概念.

4.能用计数原理推导排列数、组合数公式. 命题趋势探究

1.本节为高考必考内容，一般有1~2道选择题或填空题.

2.题目主要以实际应用题形式出现.

3.试题的解法具有多样性，一般根据计数重复或遗漏来设计错误选项，在解答选择题时可通过正向（分类相加）和反向（总数减去对立数）互相检验，也可以通过排除法筛选正确选项.

知识点精讲 基本概念

1.分类加法计数原理

○

1有n 类方法 完成一件事 ○

2任两类无公共方法（互斥） 共有N = ○

3每类中每法可单独做好这件事 12n m m m ++???+ 种不同方法.如图12-1所示.

计

计

A

计计计计1

计计1

计计2

计计

m1

计计计计n

计计1

计计2

计计

m n

m1计

m n计

计计计计A计计

m1+m2+m3+···+m n计计计计计计

图12-1

2.分步乘法计数原理

○1必须走完n步，才能完成任务

完成一件事○2前一步怎么走对后一步怎么共有N

走无影响（独立）

12n

m m m

=??????种不同方法.如图12-2所示.

m1计m n计

计计计计B计计m1×m2×m3×···×m n计计计计计

计

m2计m i计

图12-2

两个原理及其区别.

分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有n类办法，这n类办法之间是互斥的，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理.

分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题.如果完成某件事情有n个步骤，而且这几个步骤缺一不可，且互不影响（独立），当且仅当依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理.

当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两个计数原理.即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想求方法数.对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法（但方法数相同），这也是检验排列组合问题的很好方法.

3.排列与排列数

从n个不同元素中取出m(m≤n)个（不同）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中选取m个元素(n≥m)的排列个数

共有A m

n

.

()()()

A121

m

n

n n n n m

=--???-+

g g g g (m个连续正整数之积，n为最大数).

()()

A12321!

n

n

n n n n

=--???=

g g g g g g

注

!

A ()!

m n n n m =

-

规定0!1=.

排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，()()

A 11m n n n n m =-???-+常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用!

A ()!

m n n n m =

-.

可重排列与无重排列的区别.

例如：用1，2，3，4，5这五个自然数，可排成 有重复数字的四位数——5×5×5×5=54

无重复数字的四位数——5×4×3×2=4

5A

区别：

不可重复排列：用过的数字不可再用，用一个少一个.

可重复排列：用过的数字还可再用，每次可用数字不减少。 再例如：4封不同的信，全部投入5个信箱.

○

1任意投（投过的信箱可再投入）——5×5×5×5=54

. ○2每箱至多一封信（投过的信箱不可再投入）——5×4×3×2=4

5

A . 4.组合与组合数

从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个(不同)元素，并成一组，叫做从n 个不同元素中取出

m 个元素的一个组合.从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数共有C m n .

A (1)(2)(1)

C A !!!()!

m m n n

m m

n n n n m m n m n m --???-+==

=

-

注同样，公式(1)(2)(1)

C !

m

n n n n n m m --???-+=

常用于具体数字计算，

!

C !()!

m n n m n m =

-常用于含字母算式的化简或证明.

（1）排列和组合的区别.

组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工. 排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同. 注排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题.排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”.例如：从10个人中抽出4人参加某项活动有4

10C 种方案；从10个人中抽出4人分别参加4项活动有4

10A 种方案.

注

(2)一切排列数、组合数、阶乘及它们展开式的因数都是正整数. 常见的有0！=1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720.

0C C 1n n n ==，11C C n n n n -==，22

(1)

C C 2

n n n

n n --==，1A n n =，2A (1)n n n =-. (3)公式（性质）.

○1!(1)!(1)(2)!n n n n n n =-=--g .

○2C C m n m n n -=，如982100100

10099

C C 21

?==?. ○3111C C C m m m n n n ++++=，如3449910

C C C +=（口诀：相邻组合数相加，加一元（n →n +1）取大（m +1>m ，取m +1）.

○41121

C C C C C m m m m m m m m n n +++++++???+=. 题型归纳及思路提示

题型161 分类计数原理与分步计数原理

思路提示

要明确完成一件事所包含的内容是如何进行的，若需分类按加法数原理，若需分步按乘法计数原理.分类时要做到“不重不漏”，分步时要做到“步骤完整”.有些计数问题既需要分类，又需要分步，此时要综合运用两个原理.

例12.1 现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，有一项活动需派人参加. (1)若只需1人参加，有多少种不同选法？

(2)若需老师，男生，女生各1人参加，有多少种不同选法？ (3)若需1名老师和1名学生参加，有多少种不同选法？

解析 (1)有3类选人的方法：3名老师中选1人，有3种方法；8名男生中选1人，有8种方法；5名女生中选1人，有5种方法；由分类计数原理，共有3+8+5=16（种）选法. (2)分3步选人：第一步选老师，有3中方法；第二步选男生，有8种方法；第三步选女生，有5种方法；由分步计数原理，共有3×8×5=120（种）选法.

(3)可分两类：每一类又分两步.第1类：选1名教师和1名男生，因有两步，故3×8=24（种）选法；第2类：选1名教师和1名女生，因有两步，故有3×5=15（种）选法.再由分类计数原理，共有15+24=39（种）选法. 评注 在解决实际问题时，并不一定是单一地应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两个计数原理.即分类时，每类的方法可能运用分步完成，而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想求取.

变式1 有5张卡片，正反面分别写有数字0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，现从中任取三张，排成一列，问共可摆出 个不同的三位数.

变式2 晚会原有节目单由7个节目排成，现要新添3个不同的节目，且不改变原有节目的相对顺序，则这3个节目有多少种不同的安排方法？

例12.2 (1)若8名学生争夺3项体育比赛的冠军（每名学生参数项目不限），则冠军获得者有 种不同情况（每个项目没有并列冠军）.

(2)8名学生从3项体育项目中选择参数，若每一名学生只能参加一项，则有 种不同的参赛方法.

分析 正确理解任务完成的标志，(1)即把3个冠军名额全部分给8个学生（可以一名学生夺得多个冠军）；(2)即为8名学生都报完比赛项目（可以多名学生报一个项目）.

解析 (1)第1个冠军名额的去向有8种，第2个冠军名额和第三个冠军名额同样各有8个可能去向，故冠军获得者共有8×8×8=83（种）不同的情况.

(2)第一位学生报项目的方法有3种，同样，其他每一位学生都有3种报取项目的选择方法，根据分步计数原理，故应有3×3×3×3×3×3×3×3=38（种）不同的参赛方法. 变式1 将3个信封投到4个邮箱，最多的投法有种.

变式2 现有6名同学听取同时进行的5个课外知识讲座，每个同学可自由选择其中一个讲座，不同的选法有( )种.

A. 56

B. 65

C. 565432

2

?????

D. 6×5×4×3×2

变式3 已知集合A={1,2,3}，B={1,2,3,4}.

(1)映射f: A→B共有多少个？

(2)映射g: B→A共有多少个？

例12.3同室4人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送出的贺卡，则4张贺卡的不同的分配方式有（）.

A. 6种

B. 9种

C. 11种

D. 23种

分析将同室4人分别记为a,b,c,d，然后利用4个取卡的情况分步来确定.

解析解法一：第一步，4个人中的任意一人（例如a）取一张，则由题意知共有3种取法；第二步：由第一人取走的贺卡的供卡人取，也有3种取法；第三步：由剩余的两人中的任一人取，只有1种取法；第四步：最后一人取，只有1种取法，由分步计数原理，共有3×3×1×1=9（种）.

解法二：设4张贺卡分别记为A，B，C，D.由题意，某人（不妨设A卡的供卡人）取卡的情况有3种，据此将卡的不同分配方式分为3类，对于每一类，其他人依次取卡分步进行，为了避免重负或遗漏现象，我们用“树图”表示如下：设a,b,c,d代表4个人，A,B,C,D 分别代表这4个人写的贺卡，则有如图12-3所示的树状图.

a b c d

图12-3

所以共有9种不同的分配方式.故选B.

评注本例提供的第一种解法用了分步计数原理，关键是要弄清楚分步时每步的顺序，例如a先取走C卡，则下一步应由c取，否则由b,c,d中一人取，就很难断定是有3种还是2种取法了.

第二种解法可以看作两个原理的交替应用，用树图表示一目了然，便于分析计数，避免了重复或遗漏.在以后的学习中，用树图来直观地分析问题是常用的，请同学们重视.

变式1（2012全国大纲理11）将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列，要求每行的字母互不相

同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( ).

A. 12种

B. 18种

C. 24种

D. 36种

变式2 3个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有（）.

A. 6种

B. 8种

C. 10种

D. 16种

例12.4某外语组有10人，每人至少会英语、法语中的一门.其中7人会英语，5人会法语.从中选择会英语和法语的各一人派往两地参加会议，有多少种不同的方法？

分析对于较为复杂的分类与分步问题，应做到不重不漏，本题应抓住公共元素的处理方法. 解析由集合知识可知，既会英语又会法语的有7+5-10=2(人)，仅会英语的有7-2=5(人)，仅会法语的有5-2=3(人).易知此题的任务是派遣适合条件的两人.

解法一：按仅会英语的5人的派遣情况分成两类.

第1类：仅会英语的5人中有1人选中，则有5种方法，而会法语的则有5种方法，从而由分步计数原理，有5×5种方法.

第2类：仅会英语的5人中没有人被选中，则会英语的必须从既会英语又会法语的2人中选，从而有2种选法.而会法语的只能从两种语言均会的剩余1人或仅会法语的3人中选，共有1+3=4(种)，由分步计数原理得，此时共有2×4种方法.

由分类计数原理，共有5×5+2×4=33(种)方法.

解法二：按仅会法语的3人的选派情况分成以下两类.

第1类：仅会法语的3人恰被选中1，则由分步计数原理，共有3×7种方法.

第2类：仅会法语的3人均未被选中，则由分步计数原理得，共有2×6种方法.

从而由分类计数原理，共有3×7+2×6=33(种)方法.

解法三：按既会英语又会法语的2人的选派情况分成3类.

第1类：2人均未被选派，则有3×5种方法.

第2类：2人均被选派，则有2种方法.

第3类：2人中恰有1人被选派，则又分为两类.

若另一人只会英语，则有2×5种方法.

若另一人只会法语，则有2×3种方法.

由分类计数原理得，共有3×5+2+2×5+2×3=33(种)方法.

评注在应用分类和分步计数原理解决较复杂的问题时应注意：

(1)认真审题，分析题目的条件、结论，特别要理解题目中所讲的“事情”，即任务是什么，完成这件事情的含义和标准是什么.

(2)明确完成这件事情是分类还是分步，还是既要分类又要分步，并搞清分类或分步的具体标准是什么.

(3)注意两个原理的实质：分类用分类计数原理（即加法），分步用分步计数原理（即乘法）. 变式1用三种颜色染如图12-4所示的矩形块，要求每块染一种颜色且相邻不同色.

(1)共有多少方法？

(2)每种颜色染两块有多少种方法？

图12-4

变式2如图12-5所示，马从点A按“马走日”到B，至少走步，如此步数有种不同的走法.

A

B

图12-5

题型162 排列数与组合数的推导、化简和计算

思路提示

尽量用性质计算；推导、证明和化简约分用阶乘形式，计算用乘积形式. 例12.5 (1)证明：()()A 11=m

n n n n m =-???-+g g g

*!

(,,)()!

n n m m n n m ∈≤-N .

(2) 已知*

,m n ∈N ，且m n ≤.

证明：○1A !C A !()!

m m n n

m

m n m n m ==- ○2C C m n m n n

-= ○3111

C C C m m m n n n ++++= ○4111

C C C C m m m m m m m n m n +++++++???+= 解析 (1)A m

n 为从n 个（n ∈N *

）不同元素中取出m （m ≤n , m ∈N *

）个（不同）元素，按照

一定顺序排成一列的不同排列的个数（即排列数）. 如表12-1所示，需要m 步完成排列任务.

第一步（为位置1选择一个元素）有n 种选法. 第二步（为位置2选择一个元素）有n -1种选法. ……

第m 步（为位置m 选择一个元素）有n -m +1种选法. 依分步计数原理，得()()A 11=m

n n n n m =-???-+

()()

()()()()()321!

11=

321!n m n n n n m n m n m -???-???-+-???-g g g g

. (2)○1C m

n

为从n 个不同元素中任取m 个（不同）元素并成一组的不同组合的个数（即组合数），当m ∈N *

，m ≤n 时，从n 个不同元素中取m 个（不同）元素按照一定的顺序排成

一列，可以分成两步完成，第一步从n 个不同元素中任取m 个元素并成一组，第二步把取

出的m 个元素按照一定的顺序排成一列，依分步乘法原理得A C A m m m

n n m =g .

即A C A m m

n n

m

m

=，又!A ()!m

n n n m =-，A !m m m =， 故!

C !()!

m

n n m n m =

-.当m =0，0C 1

n =. !10!!n n =g ，0!

C 10!!

n

n n ==g 也成立. ○2!!

C ()![()]!!()!

n m

n

n n n m n n m m n m -=

=----

故C C m n m

n n -=.

○31!!C C !()!(1)!(1)!

m m n n

n n m n m m n m ++=+

-+-- (1)!()!

(1)!()!(1)!()!m n n m n m n m m n m +-=

++-+-

1

1(1)!C (1)!()!

m n n m n m +++=

=+-.

○4由111112C C C C C m m m m m m m m m m +++++++=+=，则1C C m m

m m ++ 2C m m ++11223C C C m m m m m m +++++=+=，依此类推， 故1C C m m

m m +++???111C C C C m m m m m n m n m n m n +++++++=+=.

评注 题目○4中的求和应用，如(i)22223100

C C C ++???+= 3

101C (ii)3333333

10112034203C C C C C C C ++???+=++???+-+

( 3344492110C C C C +???+-)=.

变式1 组合数C (1,,)r

n n r n r >≥∈Z 恒等于( ).

A.

111C 1

r n r n --++ B. 1

1(1)(1)C r n n r --++ C. 1

1C r n nr -- D. 11C r n n r

--

变式2 解方程32*

2A 100A ()n n n =∈N .

例12.6 (1)乘积(1)(2)(20)m m m m ++???+ 可表示为( ). A. 20

A m B. 21

A m C. 20

20A m + D. 21

20A m + (2)式子

(1)(2)(20)

20!

m m m m ++???+ 可表示为( ).

A. 2020A m +

B. 20

20C m + C. 20

2021C m + D. 21

2021C m + 解析 (1)原式=(20)(19)[(20)211]m m m ++???+-+

2120A m += ，也可以观察，一共有21个连续正整数的积，可以直接表示为21

20A m +.故选D.

(2)原式=2121

21

202020A A 2121C 20!21!

m m m +++== .故选D.

评注 公式()()A 11m

n n n n m =-???-+的构成特点是：公式右边第一个因数是n ，其后每

个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是n -m +1，共有m 个因数相乘，组合数C m

n 公式也有相似特点.

使用时要注意三个问题：第一个因数是什么、最后一个因数是什么、一共有多少个连续相乘的正整数，防止我们在“n ”，“m ”比较复杂时用错公式. 应用公式时，要注意正用、逆用和活用等.

变式1 （2012辽宁理5）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ).

A. 3×3!

B. 3×(3!)3

C. (3!)4

D. 9!

题型163 计数原理与排列组合问题的结合

思路提示

要注意可重排列与不可重排列的区别；选择适当的解题策略，即加法与减法；应注意不重不漏.

例12.7 如图12-6所示，电路中共有13个开关（电阻略），每个开关可任选“开”或“关”一种状态，且相互独立.

图12-6

(1)灯亮，有多少种整体状况； (2)灯灭，有多少种整体状况.

分析 每个开关有“开”或“关”两种状况，逐个确定这13个开关的“开”、“关”状态共

有213

=8192(个)整体状态，只要求出(1)与(2)中一值，用减法即可求出另一值.

解析 (1)灯亮，第一步A 通到C ，第二步C 通到D ，第三步D 通到E ，第四步E 通到Ｂ，算出每步方法数，再相乘得整体通（即灯亮）方法数．

第一步：先算Ａ到Ｃ不通方法数，即上、中、下三路都不通，上路不通的方法数=23

－(上

路通的方法数)=23－(22－1)=5，中路不通的方法数=1，下路不通的方法数=22

－1=3. 故A 到C 不通的方法数为5×1×3=15. A 到C 通的方法数=28－15=256－15=241，

C 到

D 通的方法数=22－1=3，D 到

E 通的方法数=1，E 到B 的方法数=22－1=3. 故灯亮即四步都通，整体状况有241×3×1×3=2169(种).

(2)灯不亮有213

－2169=8192－2169=6023(种).

评注 串联求通：把各段通数相乘，得总通数.串联求不通：先求通，再用减法，得串联不通数.并联求通：先求不通数，再用减法，得并联通数.并联不通：把各支路不通数相乘. 变式1 直线方程Ax +By =0，从1,2,3,4,5这五个数中每次取两个不同的数作A 和B ，共可确定（ ）条直线.

A. 20

B. 19

C. 18

D. 16

变式2 一个n 棱锥的所有顶点共可确定 条直线，这些直线可确定 对异面直线.

例12.8 如图12-7所示，有4种不同颜色供选，要求A ,B ,C ,D ,E 每块一种颜色，相邻两块不同色，共有多少种染色方法？ 解析 如图12-8所示，记4种颜色为1,2,3,4，可以从E 开始染，有4种染法，A 与E 相邻，A ,E 不同色，所以A 有3种方法，B 与A ,E 均相邻，B 有2种染法，最后剩C ,D ，此时要注意分类讨论，如图12-8所示，C 与A 同色时，D 有2种染法；C 与A 不同色时，D 有1种染法，即C ,D 共有3种方法.综上共有4×3×2×3=72种染色方法.

E A

B

C

D

1

23

C

D

图12-7 图12-8

评注 利用计数原理求解染色问题，一般有“区域”染色和“线段端点”染色两类，其中区域染色问题，常用的原则有“最多相邻优先”，但要注意最后2~3个区域的分类讨论. 变式1 如图12-9所示，用4种不同颜色给图中A,B,C,D,E,F 共6个点染色，要求每个点染一种颜色，且图中每条线段的两个端点不同色，则不同的染色方法共有( )种. A. 288 B. 264 C. 240 D. 168 变式2 用4种不同颜色为正方体的六个面着色，要求有公共棱的两个面不同色，则共有( )种不同的着色方法.

A. 24

B. 48

C. 72

D. 96

变式3 用红、黄、蓝三色之一去涂如图12-10所示的标号1~9的9个小正方形，使任意有公共边的小正方形不同色，且3,5,7的方块同色，则共有 种不同涂色方法.

E

A

B

C

D

F 1234

7

568

9

图12-9 图12-10

变式4 在五边形ABCDE 中，五个顶点各染红、黄、绿三色之一，相邻顶点不同色，共有种不同________染法.

例12.9 某市汽车牌照前面两个英文字母（不可重复）后面四个数字（可重复）组成，最多有多少个牌照？

解析 任务：第一步，确定前面两个英文字母2

262526A =?；第二步：确定后面四个数字

41010101010=???.所以最多可有4102526??6105.6?=（个）牌照.

变式 1 某通信公司推出一组手机号码，号码的前7位数固定，从0000???????到9999???????共10000个号码。公司规定：凡卡号的后4位带有数字4或7的一律作为优惠卡，则这组号码中优惠卡有（ ）个.

A.2000

B.4096

C.5904

D.8320

变式2 用数字4,3,2,1,0这4个数字组成的四位数中有重复数字的四位数有（ ）个. A.192 B.182 C.174 D.274

变式3 用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个（用数字作答）.

例12.10 设集合{

}5,4,3,2,1=I ，选择I 的两个非空子集A 与B ，要使B 中最小的元素大于A 中的最大元素，则A 与B 的不同的选择方法共有（ ）种.

A.50

B.49

C.48

D.47

分析 关键在于选择分类的依据.选择B A ?的元素个数x 为分类依据是最佳选择，显然，依题意5,4,3,2=x .或选择B 中的最小元素为分类依据.

解析 解法一：令B A ?中有x 个元素，则2=x 有2

5C 种选法.3=x 有3

52C ?种选

法.4=x 有453C ?种选法.4=x 有5

54C ?种选法，则不同的选择方法共有25C +35

2C ?+453C ?+5

54C ?=49.故选B. 解法二：当B 中的最小元素为2时，则A 中的最大元素只能为1，8123

=?种；当B

中的最小元素为3时，则A 中的最大元素只能为1或2，有()

=-?1222

212种；当B 中的

最小元素为4时，则A 中的最大元素小于或等于3，有()

1223

-?=14种；当B 中的最大

元素为小于或等于4时，有()

1214

-?=15种；，共有491514128=+++.故选B.

评注 解法一中可以理解组合问题隔板法，应为B A ,集合中元素大小顺序一定.解法二中应注意排除可能出现空集的问题.

变式1 {

}5,4,3,2,1=I ，B A ,是I 的两个子集，A 中有3个元素，B 中至少有两个元素，且B 中所有的元素不大于A 中的最小元素，这样的B A ,有________组.

变式2 {

}4,3,2,1=I ，从I 中取出4个不同的子集，满足条件：①其中必有Φ和I ；②4个子集中的任意两个子集A 与B ，必有B A ?或A B ?.则4个子集共有________种选法. 例12.11 用9~1填如图12-11所示的“九宫图”，每格一数，不同格不同数，其中“3”， “4

________种不同填格法.

解析 依题意，1,2,9位置固定，如图

9上方和左方两

格，有2

4C 种分法，如取5,8在9左边，6,7在9上方，只能如图所示，624=C ，故有6种

不同方法.

变式1 在1,2,3,4,5的排列54321,,,,a a a a a 中满足321a a a ><，543a a a ><排列有（ ）个.

A.10

B.12

C.14

D.16

变式2 用4个数字（只含0和1）排成一个四位数字表示一个信息，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有（ ）个. A.10 B.11 C.12 D.15

最有效训练题49（限时30分钟）

1.3封不同的信任意投入4个不同的信箱，随意投的投法数和每箱至多1信的投法数依次为（ ）.

图12-13

A.3

4

4,

3A B.3

4

3,

4A C.3

44,

3 D.3

3

4

4,

A

2.如图12-13所示，一个环形花坛，分为D

C

B

A,

,

,四块，现有4种不同的花供选择，要求在每块里种一种花，且相邻两块种不同的花，则不同种法共有（）种.

A.96

B.84

C.60

D.48

4.由0,1,2,3,4五个数字组成三位数的个数为（）.

A.60

B.48

C.80

D.100

5.有10件不同的电子产品，其中有2件运行不稳定，技术人员对他们进行一一测试，知道2件不稳定产品全部找出来后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（）.

A.16

B.24

C.32

D.48

6.从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）.

A.24

B.18

C.12

D.6

7.n个元素的集合有________个非空真子集，________个三元子集.

8.在书柜的某一层上原有6本书，如果保持原有的书相对顺序不变，在插进去3本不同的书，那么共有________种不同的插入方法（用数字作答）.

9.若2

20

6

2

20

+

+=n

n C

C，*N

n∈，则n的值________.

10.某人用四种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），在如图12-14中的6个点C

B

A,

,，1

1

1

,

,C

B

A上各装一个灯泡，要求同一条线段的两个端点的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法，共有________种.

图12-14

简单的排列组合 案例分析

《简单的排列组合》案例分析 乒乓球的比赛场次，密码箱中密码的排列数，电话机容量超过多少电话号码就要升位等。在数学学习中经常要用到推理，如加法和乘法的一些运算定律的推导过程，能被2、5、3整除的数的推导等。这节课安排生动有趣额活动，让学生通过这些活动进行学习。例1给出了一副学生用数学卡片摆两位数的情境图，学生在进行小组合作学习，先用2个卡片摆，学生通过操作感受摆的方法以后，再用3个卡片摆；然后小组交流摆卡片的体会：怎样摆才能保证不重复、不遗漏。【教材分析】 “数学广角”是新编实验教材新增设的内容，是新教材在向学生渗透数学思想方法方面做出的新的尝试。排列和组合的思想方法不仅应用广泛，而且是学生学习概率统计的知识基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材，这部分内容重在向学生渗透简单的排列、组合的数学思想方法，并初步培养学生有顺序地全面思考问题的意识。 【教学目标】 1．通过观察、实验等活动，使学生找出最简单的事物的排列数和组合数，初步经历简单的排列和组合规律的探索过程； 2．使学生初步学会排列组合的简单方法，锻炼学生观察、分析和推理的能力；

新|课|标|第|一|网 3．培养学生有序、全面思考问题的意识，通过小组合作探究的学习形式，养成与人合作的良好习惯。 【教学重点】经历探索简单事物排列与组合规律的过程 【教学难点】初步理解简单事物排列与组合的不同 【教学准备】多媒体课件、数字卡片。 【教学方法】观察法、动手操作法、合作探究法等。 【课前预习】 预习数学书99页，思考以下问题： 1、用1、2两个数字能摆出哪些两位数？ 2、用1、2、3这3个数字能摆出哪些两位数？可以动手写一写。 3、想一想：你是怎么摆的，先摆什么，再摆什么？有什么好方法才会不遗漏，不重复。 【教学准备】PPT 【教学过程】 一、以游戏形式引入新课 师：同学们，今天老师带大家去数学广角做游戏。在门口设置了?，?上有密码。这个密码盒的密码是由数字1、2组成的一个两位数，想不想进去呢？ 师：谁来告诉老师密码，帮老师打开这个密码盒？（生尝试说出组成的数） 生：12、21

基本计数原理和排列组合

附 录 一.两个基本计数原理分类加法计数原理：做一件事情，完成它有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的办法……在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这 件事情共有N＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法。 分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一个步骤有m 1种不同的方法，做第二个步骤有m 2种不同的办法……做第n 个步骤有m n 种不同的方法，那么完成这件 事情共有N＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 两个基本计数原理是解决计数问题最基本的理论根据，它们分别给出了用两种不同方式（分类和分步）完成一件事情的方法总数的计算方法。考虑用哪个计数原理，关键是看完成一件事情是否能独立完成，决定是分类还是分步。如果完成一件事情有n 类办法，每类办法都能独立完成，则用分类加法计数原理；如果完成一件事情，需要分成n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事情，则用分步乘法计数原理。 二.排列 以下陈述中如无特别说明，n、m 都表示正整数。一般的，从n 个不同的元素中任取m （m ≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。如果要求排列中诸元素互不相同，则称为选排列；反之，若排列中的元素可以有相同时，则称为可重复排列。可重复排列在生活中比较常见，如电话号码、证件号码、汽车牌照，等等。从n 个不同的元素中任取m（m ≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中任取m 个元素的排列数。用符号m n A 。为导出m n A 的计算公式，注意到对任一选排列，其第一位（从左到右计）可以放置编号1到n 的n 个元素的任意一个，共有n 种可能的结果；对于第一位的每一种放置结果，第二位可以放置剩下的n-1个元素中的任意一个，共有n-1种可能的结果；...,对于第m-1位的每一种放置结果，第m 位可以放置最后剩下的n-m+1个元素中的任何一个，共有n-m+1种可能结果。因此，根据乘法计数原理，有排列数公式： ) 1()2)(1(+---=m n n n n A m n （1.3）从n 个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列，记作n n A ，也记之 为!n 。根据排列数的公式有 .12)1(!????-?=n n n （1.4）

小学二年级数学《简单的排列组合》案例分析

《简单的排列组合》案例分析 【教学背景】 在日常生活中，有很多需要用排列组合来解决的知识。如体育中足球、乒乓球的比赛场次，密码箱中密码的排列数，电话机容量超过多少电话号码就要升位等。在数学学习中经常要用到推理，如加法和乘法的一些运算定律的推导过程，能被2、5、3整除的数的推导等。这节课安排生动有趣额活动，让学生通过这些活动进行学习。例1给出了一副学生用数学卡片摆两位数的情境图，学生在进行小组合作学习，先用2个卡片摆，学生通过操作感受摆的方法以后，再用3个卡片摆；然后小组交流摆卡片的体会：怎样摆才能保证不重复、不遗漏。 【教材分析】 “数学广角”是新编实验教材新增设的内容，是新教材在向学生渗透数学思想方法方面做出的新的尝试。排列和组合的思想方法不仅应用广泛，而且是学生学习概率统计的知识基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材，这部分内容重在向学生渗透简单的排列、组合的数学思想方法，并初步培养学生有顺序地全面思考问题的意识。 【教学目标】 1．通过观察、实验等活动，使学生找出最简单的事物的排列数和组合数，初步经历简单的排列和组合规律的探索过程； 2．使学生初步学会排列组合的简单方法，锻炼学生观察、分析和推理的能力； 3．培养学生有序、全面思考问题的意识，通过小组合作探究的学习形式，养成与人合作的良好习惯。 【教学重点】经历探索简单事物排列与组合规律的过程 【教学难点】初步理解简单事物排列与组合的不同 【教学准备】多媒体课件、数字卡片。 【教学方法】观察法、动手操作法、合作探究法等。 【课前预习】 预习数学书99页，思考以下问题： 1、用1、2两个数字能摆出哪些两位数？ 2、用1、2、3这3个数字能摆出哪些两位数？可以动手写一写。 3、想一想：你是怎么摆的，先摆什么，再摆什么？有什么好方法才会不遗漏，不重复。【教学准备】PPT 【教学过程】 …… 一、以游戏形式引入新课 师：同学们，今天老师带大家去数学广角做游戏。在门口设置了鎖，鎖上有密码。这个密码盒的密码是由数字1、2组成的一个两位数，想不想进去呢？ 师：谁来告诉老师密码，帮老师打开这个密码盒？（生尝试说出组成的数） 生：12、21 师：打开密码盒

小学二年级数学简单的排列组合[人教版]

数学广角 一、教学内容： 人教版<义务教育课程标准实验教科书数学>第三册第99页例1：简单的排列、组合 二、教学目标与策略选择： 本节课我力图从知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度等四个方面出发，有效地整合教学目标，体现以“学生发展为本”的理念。因些，我制定了以下教学目标： 1、学生通过观察、猜测、操作等活动，能找出最简单的事物的排列数和组合数。 2、学生形成初步的观察、分析能力及有序地、全面地思考问题的意识。 3、通过活动学生形成一定的合作交流意识，感受数学与生活的紧密联系，树立学生学好数学的信心。 鉴于以上的目标定位，本课设计时基于“在教学中要以人为本，强调要从儿童的经验出发，借助一定的数学问题情境和探究性的实践活动，让学生在数学活动中，用数学的眼光去观察事物，用数学的方式去思考问题，用数学的语言去解释现象，用数学的观点去认识世界……从而使学生有效地学会数学地思考。”的总体思路。为此，主要采取了以下教学策略： 1、创设生动有趣的教学情景。 2、采用活动化的教学方式。 ……

…… 师：好，下面我们就来研究这个问题，请同学们试着写一写，如果你觉得直接写有困难的话可以借助手中的数字卡片摆一摆。在摆之前，想一想怎样摆才能既不重复也不遗漏，每摆出1个两位数就把它写在你的本子上。开始。 生：摆、写数活动 师：好，三人小组交流一下： 1、你是怎么摆的？ 2、推荐一种好的摆法，准备汇报，在汇报时说一说你小组为什么要推荐这种方法，它好在哪里？ 生：小组交流、推荐 师：我想，每个小组都已推出一种好方法。哪个小组愿意来汇报。 师：你们组是怎么摆的，请上来边摆边说边写 生:我们组摆出12，然后再颠倒就是21；再摆23，颠倒后是32；再摆13，颠倒后是31。一共可以摆出

人教版二年级上册数学《简单的排列和组合》教学设计

人教版二年级上册数学《简单的排列和组合》教学设计 教学目标： 1、通过观察、猜测、比较、实验等活动，找出最简单的事物的排列数和组合数。 2、初步培养有顺序地、全面地思考问题的意识。 3、感受数学与生活的密切联系，激发学习数学、探索数学的浓厚兴趣。 4、通过小组合作探究的学习形式，养成与人合作的良好习惯。 学生分析: 简单的排列组合对二年级学生来说都早有不同层次的接触，如用1、2两个数字卡片来排两位数，学生在一年级时就已经掌握了。而对1、2、3三个数字排列成几个两位数，也有不少学生通过平时的益智游戏都能做到不重复、不遗漏地排列。针对这些实际情况，在设计本节课时，教学的重点让学生说一说有序排列、巧妙组合的理由，体会到有顺序、全面思考问题的好处。根据学生的年龄特点在设计教案时也要做到设计学生感兴趣的环节，灵活处理教材。 数学广角——《简单的排列和组合》 火炬小学王彦 教学目标： 1．通过观察、猜测、比较、实验等活动，找出最简单的事物的排列数和组合数

2．感受数学与生活的密切联系，激发学习数学、探索数学的浓厚兴趣 3．初步培养有顺序地、全面地思考问题的意识。使学生在数学活动中养成与人合作的良好习惯。 教学重点：经历探索简单事物排列与组合规律的过程 教学难点：初步理解简单事物排列与组合的不同，怎样有序的进行排列组合。 教学准备：多媒体课件、数字卡片、1角、2角、5角的人民币。 教学过程： 一、情境导入 师：同学们老师今天想带大家一起去数学王国玩，你们想去吗？同学看数学王国到了，可是门是锁着的，只有输入正确的密码门才可以打开，可是密码是多少呢？提示密码是由1和2这两个数字摆成的两位数。那么这个密码是多少呢？ 师：试试看。（课件出示答案。） 二、探究新知 1、感知排列 师：经过同学们的努力数学王国的大门打开了，你们高兴吗？让我们一起进入数学王国，怎么进不去，同学我们又遇到了障碍，数学王国的门上还上了一把超级数码锁哦，这把锁的密码是由1、2、3这三个数字其中的两个摆成的两位数，那么这个密码可能是多少呢，你们能猜出来吗？

二年级上册数学《简单的排列组合》教学案例2篇

二年级上册数学《简单的排列组合》教学案例2篇 Teaching case of mathematics simple permut ation and combination

二年级上册数学《简单的排列组合》教学案例2篇 前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是小学生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。 本文简要目录如下：【下载该文档后使用Word打开，按住键盘Ctrl键且鼠标单击目录内容即可跳转到对应篇章】 1、篇章1：二年级上册数学《简单的排列组合》教学案例 2、篇章2：《简单的排列组合》教学案例分析 篇章1:二年级上册数学《简单的排列组合》教学案例 【背景】 为了进一步提高课堂效率，提升学生学习力，逐步落实数学课堂与“学习力”相结合的自学为主课堂教学模式，提升青年教师的整体素质，进步培养青年教师良好的教学能力。我们二年级数学组于XX年10月开展了全员赛课活动，并取得了良好效果。本篇教案集授课教师努力及组内教师智慧，较能体现学校的主流教学模式，是一篇优秀的案例。

【教材简析】 本节课的内容是数学二年级上册数学广角例1简单的排列与 组合。排列和组合的思想方法应用得很广泛，是学生学习概率统 计的知识基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好 素材，本教材在渗透这一数学思想方法时就做了一些探索，把它 通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来。 教材的例1通过2个卡片的排列顺序不同，表示不同的两位数，属于排列知识，而简单的排列组合对二年级学生来说都早有 不同层次的接触，如用1、2两个数字卡片来排两位数，学生在一 年级时就已经掌握了。而对1、2、3三个数字排列成几个两位数，也有不少学生通过平时的益智游戏都能做到不重复、不遗漏地排列。针对这些实际情况，在设计本节课时，根据学生的年龄特点 处理了教材。整堂课坚持从低年级儿童的实际与认知出发，以 “感受生活化的数学”和“体验数学的生活化”这一教学理念， 结合实践操作活动，让学生在活动中学习数学，体验数学。 【教学目标】 1．通过观察、实验等活动，使学生找出最简单的事物的排 列数和组合数，初步经历简单的排列和组合规律的探索过程； 2．使学生初步学会排列组合的简单方法，锻炼学生观察、 分析和推理的能力； 3．培养学生有序、全面思考问题的意识，通过小组合作探 究的学习形式，养成与人合作的良好习惯。

排列组合与计数原理

排列组合与计数原理 【复习目标】1.能熟练的判断利用加法原理和乘法原理。简单的排列组合组合数公式。 【复习重难点】加法原理和乘法原理公式的计算及应用。 1.高三（1），（2），（3）班分别有学生52,48,50人。 （1）从中选1人当学生代表的不同方法有____________种； （2）从每班选1人组成演讲队的不同方法有____________种； （3）从这150名学生中选4人参加学代会的不同方法有____________种； （4）从这150名学生中选4人参加数理化三个课外活动小组，共有不同方法有__________种。 2.假设在200件产品中有三件次品，现在从中任意抽取5件，期中至少有2件次品的抽法有__________种。 3.若,64 3n n C A 则n=___________。 例1．在1到20这20个整数中，任取两个数相加，使其和大于20，共有________种取法。 变式训练：从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为_______。 例2．从6人中选4人分别到张家界、韶山、衡山、桃花源四个旅游景点游览，要求每个旅游景点只有一人游览，每人只游览一个旅游景点，且6个人中甲、乙两人不去张家界游览，则不同的选择方案共有______________种. 例3．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有_______ . 变式训练：要安排一份5天的值班表，每天有一人值班，现有5人，每人可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一人值班，问此值班表共有_______ 种不同的排法.

两个计数原理、排列与组合

全国卷五年考情图解高考命题规律把握 1.考查形式 高考在本章一般命制1道 小题或者1道解答题，分 值占5～17分. 2.考查内容 计数原理常与古典概型综 合考查；对二项式定理的 考查主要是利用通项公式 求特定项；对正态分布的 考查，可能单独考查也可 能在解答题中出现；以实 际问题为背景，考查分布 列、期望等是高考的热点 题型. 3.备考策略 从2019年高考试题可以 看出，概率统计试题的阅 读量和信息量都有所加 强，考查角度趋向于应用 概率统计知识对实际问题 作出决策. 第一节两个计数原理、排列与组合 [最新考纲] 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.3.理解排列的概念

及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.4.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题． 1．两个计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 条件 完成一件事有两类不同方案，在 第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法 结论 完成这件事共有N ＝m ＋n 种不同的方法 完成这件事共有N ＝mn 种不同的方法 排列的定义 从n 个不同元素中取出 m (m ≤n )个元素 按照一定的顺序排成一列 组合的定义 合成一组 排列数 组合数 定义 从n 个不同元素中取出 m (m ≤n )个元素的所有不同排 列的个数 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数 公式 A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋ 1)＝ n ！ (n －m )！ C m n ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！ 性质 A n n ＝n ！，0！＝1 C m n ＝C n －m n ，C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列． ( ) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．

排列与组合典型问题及方法(含答案)

排列与组合——四类典型问题 一、摸球问题 1、袋中装有6只黑球，4只白球，现从中任取4只球 （1）正好2只黑球，2只白球的不同取法共多少种？90 （2）至少有3只黑球的不同取法共有多少种？95 （3）至多有1只黑球的不同取法共有多少种？25 2、从0，1，2，…，9这十个数字中任取五个不同数字 （1）正好两个奇数，三个偶数的不同取法有多少种？100 （2）至多有两个奇数的取法有多少种？126 （3）取出的数中含5但不含3的取法有多少种？70 二、排队问题 1、某排共有七个座位，安排甲乙丙三人就坐 （1）共有多少种不同就坐方法？210 （2）三人相邻（即三个座位相连）的就坐方法有多少种？30 （3）三人不相邻（任意两人中间都有空位）的就坐方法共多少种？60 2、袋中装有5只白球，6只黑球，依次取4只 （1）每次取1只（取后不放回）则共有多少种不同取法？7920 （2）每次取1只（取后放回）则共有多少种不同取法？14641 （3）每次取1只（取后不放回）则第二次取到白球的取法共有多少种？3600 （4）每次取1只（取后放回）则第二次取到白球的取法共有多少种？6655 3、由0,1,2,3,4,5, （1）可组成多少个无重复数字的不同三位偶数？52 （2）可组成多少个不同的三位偶数（允许有重复数字）？90 （3）可组成多少个能被5整除的三位数（允许有重复数字）？60 三、分房问题（n个人生日问题、投信问题） 1、10个人进入8个房间，共有多少种不同的进入方法？810 2、从4名候选人中，评选出1名三好学生，1名优秀干部，1名先进团员，若允许1人同时得几个称号，则不同的评选方案共有多少种？43 四、分组问题 1、分配9个人去完成甲、乙、丙三项任务 （1）甲任务需2人，乙任务需3人，丙任务需4人，则不同的选派方法共有多少种？ C C C （2）甲任务需2人，乙任务需2人，丙任务需5人，则不同的选派方法共有多少种？225 975

简单的排列组合教学反思

《简单的排列组合》教学反思 本节课的知识是排列和组合简单的知识，但对学生来说，教师又不能直接讲解排列组合，如何讲解比较深奥的知识，这是应该正视的问题。在处理教材时，没有直接呈现排列组合原理，而是从排列组合的基本思考方法入手——科学枚举法。因为学生只有恰当的分类，将事情的各种情况能够一一列举出来，就能够保证计数时不重复不遗漏——这是本节课的重点和难点所在。所以本节课没有要求学生解决比较复杂的计数问题，也不要求发现加法原理与乘法原理，而是要求学生通过科学枚举法，感受计数方法。在教学中，为了突破重点，从多方面想办法：一是让学生认识到排列与组合学习是生活中的必须；二是让学生通过摆、画、列表等活动，学习“不重复、不遗漏”的计数的方法。本课教学后我进行了认真反思，觉得有以下可取之处和不足之处。 一、创设情境，激发学生探究的兴趣。 创设形象生动、亲近学生生活实际的教学情景，将有效地激发学生学习的兴趣。本节课通过创设“衣服的穿法、早餐搭配、数字游戏”等与学生的实际生活相似的情境，唤起了学生“独立思考、合作探究”解决问题、注意让小组合作学习从形式走向实质。 在合作探究中，保证了合作学习的时间，并深入小组中恰当地给予指导。合作探究后，教师还能够及时、正确的评价。教师从实际的学习效果出发，考虑如何组织合作学习，有利于调动广大学生参与学习的全过程，防止合作学习走过场。 二、让学生在丰富多彩的教学活动中感悟新知。 通过组织学生参与“连一连，写一写，画一画”等教学活动，充分调动了学生的多种感官协调合作，感悟了新知，发展了数感，体验了成功，获取了数学活动经验，真正体现了学生在课堂教学中的主体作用。2、注意让小组合作学习从形式走向实质。 三、利用自主探究的学习方式。 本节课设计时，注意精选合作的时机与形式，在教学关键点、重难点时，适应地组织了同桌或四人小组的合作探究。在学生合作探究前，提出了明确的要求。

计数原理与排列组合

计数原理与排列组合 计数原理一、知识导学 1.分类计数原理：完成一件事ｎ类办法，那么完成这件事共有N ＝1m ＋2m ＋……＋n m 种不同的方法. 2. 分步计数原理：完成一件事分成ｎ个步骤，那么完成这件事共有N ＝1m ×2m ×…×n m 种不同的方法. 二、经典例题导讲[例1]体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有 （ ） A ．12 种 B ．7种 C ．24种 D ．49种 分析：学生进门有7种选择，同样出门也有7种选择，由分步计数原理，该学生的进出门方案有7×7＝49种. ∴应选D ． [例3]三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6，若将三张卡片并列，可得到几个不同的三位数（6不能作9用）. 解：解法一 第一步，选数字.每张卡片有两个数字供选择，故选出3个数字，共有3 2＝8种选法.第二步，排数字.要排好一个三位数，又要分三步，首先排百位，有3种选择，由于排出的三位数各位上的数字不可能相同，因而排十位时有2种选择，排个位只有一种选择.故能排出3×2×1＝6个不同的三位数. [例5] 用0，1,2，3,4，5这六个数字， （1）可以组成多少个数字不重复的三位数？ （2）可以组成多少个数字不重复的三位奇数？ （3）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？ 解：（1）分三步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100个. （3）分三步：①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；②再选百位数字有4种选法；③个位数字也有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有3×4×4＝48个. （4）分三类：①一位数，共有6个；②两位数，共有5×5＝25个；③三位数，共有5×5×4＝100个.因此，比1000小的自然数共有6＋25＋100＝131个 四、典型习题导练 1．将4个不同的小球放入编号为1、2、3的三个不同的盒子中，其中每个盒子都不空的放法共有（ ） A ．43种 B ．3 4种 C ．18种 D ．36种

简单的排列问题 (教案)

初步感受简单事物得排列数 教学目标: 1、使学生通过动手操作找出简单事物得排列数,体会数学思想与方法。 2、培养学生初步得观察、分析、推理能力,以及有顺序地、全面地思考问题得意识。 3、培养学生对数学得兴趣记忆与人合作得良好习惯。 教学重点使学生找到简单事物得排列数,体会书写思想与方法。 教学难点使学生找到简单事物得排列数,体会书写思想与方法。 教具准备数字卡片。 一、学前准备 1、十位上就是“2“得两位数共有多少个？ 2、个位上就是“0“得两位数共有多少个？ 3、拿出准备好得数字卡片7、3、9、 二、探究新知 1、用0、1、3、5能组成多少个没有重复数字得两位数？ 以小组为单位,合作完成,同时思考下面得问题。 (1)怎样摆能保证不重不漏？ (2)您们一共摆出了几个两位数？就是怎样摆得？ (3)用什么方法记录既清楚明了又不重不漏？ 2、学生以小组为单位探究,教师巡视、指导。 3、汇报: (1)按照一定得顺序来摆就能保证不重不漏。 (2)按数位摆: 十位如果就是1,可以摆出10、13、15; 十位如果就是3,可以摆出30、31、35; 十位如果就是5,可以摆出50、51、53。 (3)按照一定得顺序记录,就能保证不重不漏,清楚明了。 三、课堂作业新设计 1、教材练习二十二第1题。 (1)小组活动:找四个人扮演四位师徒,一个人记录。 (2)怎样交换位置更清楚明了？ (3)可以有多少种不同得排法？ 2、教材练习二十二第2题。 独立排一排,并记录。注意排得顺序,体会方法。 3、教材练习二十二第3题。 四、思维训练

从写有1、2、3、4得四张卡片中任意选出2张,做一位数得乘法计算。共能组成多少个不同得乘法算式？共有多少个不同得积？写出这些算式。 数学广角”就是义务教育课程标准实验教科书二年级上册开始新增设得一个单元,就是新教材在向学生渗透数学思想方法方面做出得新尝试。本课内容重在向学生渗透简单得排列组合得数学思想方法,并初步培养学生有顺序地、全面地思考问题得意识。排列组合得思想方法不仅应用广泛,而且就是高年级学习概率统计知识得基础,同时也就是发展学生抽象能力与逻辑思维能力得好素材。本课内容就是学生在小学阶段初次接触有关排列组合得知识,但就是在日常生活中,有很多事情就是用排列组合来解决得,如:衣服得搭配、路线选择等等,作为二年级得学生,已经有了一定得生活经验,因此在学习中安排生动有趣得活动帮助学生感知排列组合得知识。“教必有法而教无定法”,只有方法得当,才会有效。根据本课教学内容得特点与学生得思维特点,我采用情境教学法、操作发现法、直观演示得教学方法。为使学生能够有效地学习,主动得建构知识。我采用合作交流法、动手操作法、自主探究得学习方法,让学生在一系列活动中感知排列组合。旨在凸显“三模小组化”得教学模式,从根本上改变传统教育重教师“教”轻学生“学”得做法,突出学生得主体地位,培养学生自主学习能力。让学生去自学、去尝试、去探究、去发现、去解决。在课堂教学中,实现了以下三种转变:创境引题——变“说出”为“引入”;先学后教——变“被动”为“主动”;展示反馈——变“学会”为“会学”。教学过程设计: (一)创境引题——变“说出”为“引入”“蓝猫”就是学生喜欢得形象,本课我设计了“蓝猫”带大家去数学广角游玩得情境并贯穿全课。谈话导入:“小朋友,今天蓝猫要带我们一起到“数学广角”参观,您们高兴吗？哎,快瞧,数学广角得大门就是有密码锁得,要进去必须得到密码才行。”这时有学生可能会发出疑问或者提出问题:“密码就是几位数啊？”“密码符合什么条件啊？”。蓝猫告诉大家:密码就是1与2组成得两位数,学生很快就找出了答案:12或21,但不能确定就是哪个,“同学们,密码就是10-20之间”,学生判断出就是12。我对判断出就是“12”得学生进行表扬与奖励,让她们一开始上课就获得了成功得体验。这样设计调动了学生得学习兴趣,营造了活跃得课堂气氛,又在破译密码得过程中,渗透了简单得排列知识,为新课得学习做了良好得铺垫。 (二)先学后教——变“被动”为“主动” 1、小组合作学习探究用1、2、3能组成几个不同得两位数,感知排列知识。首先出示导学案简洁明了,为学生合作学习指明了方向,让学生结合导学案先学。这时学生小组合作拿出数字卡片,在小组内摆一摆、写一写、说一说,并记录下结果。给学生一个自

简单的排列与组合

简单的排列与组合 教材分析： 小学数学二年级上册第99页的“数学广角”其主要的教学内容是简单的排列与组合。排列与组合的思想与方法不仅应用广泛，而且是后面学习概率统计知识的基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。传统教材中没有单独编排这部分内容，有关这方面的知识是新编实验教材新增设的内容之一。这节课的教学任务就是通过日常生活中最简单的事例，让学生运用操作，实验，猜测等直观手段解决这些问题，向学生渗透有关排列与组合的数学思想方法，并初步培养学生有序地全面地思考问题的意识。当然，在”摆数””握手“等活动中，通过学生的合作交流，互相沟通，也促进知识的互补和互联，培养学生的合作意识。 教学目标： 1.使学生通过观察，猜测，实验等活动，找出简单事物的排列数与组合数。 2.培养学生初步的观察，分析，推理能力以及有顺序地全面思考问题的意识。 3.引导学生使用数学方法解决实际生活中的问题，学会表达解决问题的大致过程。 4.培养学生的合作意识和人际交往能力。 教学重点：自主探究掌握有序排列，巧妙组合的方法，并用所学知识解决生活的问题 教学难点：怎样排列可以不重复，不遗漏。 教学过程： 一．以故事的形式引入新课 师：小朋友们，今天老师为大家带来了3只可爱的小动物，你们想和它们认识吗？请猜一猜。师模仿，描述 师：它睡觉总打呼噜，成天除了睡觉就是吃 生：猪 多媒体显示猪 师：“喵喵” 生：猫 多媒体显示猫 师：它浑身长满了刺儿 生：刺猬 多媒体显示刺猬 师：今天它们三个收到了企鹅博士的邀请，要到企鹅博士家做客，可是走到了半路上，却下起了雨，而它们却只有两把伞，它们该怎么办了呢？请你们帮它们出谋划策吧。 生：略 结论出最佳组合方法：猪和猫合打一把伞，刺猬单独。 师：大家的想法都不错，的确，它们试了以上几种办法，可是最终选择了猪和猫合打一把伞，刺猬独打一把伞的方案。你知道是什么原因吗？ 生：刺猬身上有刺。 师：看来凡事都得结合实际情况 二．用开密码的方法进行数的排列活动 显示大门 师：三只小动物来到了企鹅博士家，却发现大门紧闭，是企鹅博士不欢迎他们吗？原来是企鹅博士想考考它们三人的智慧，特意设计了密码锁，只有解开密码锁才能进入。

12.1计数原理与简单排列组合问题

第十二章 计数原理 本章知识结构图 第一节 计数原理与简单排列组合问题 考纲解读 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. 3.理解排列、组合的概念. 4.能用计数原理推导排列数、组合数公式. 命题趋势探究 1.本节为高考必考内容，一般有1~2道选择题或填空题. 2.题目主要以实际应用题形式出现. 3.试题的解法具有多样性，一般根据计数重复或遗漏来设计错误选项，在解答选择题时可通过正向（分类相加）和反向（总数减去对立数）互相检验，也可以通过排除法筛选正确选项. 知识点精讲 基本概念 1.分类加法计数原理 ○ 1有n 类方法 完成一件事 ○ 2任两类无公共方法（互斥） 共有N = ○ 3每类中每法可单独做好这件事 12n m m m ++???+ 种不同方法.如图12-1所示.

计 计 A 计计计计1 计计1 计计2 计计 m1 计计计计n 计计1 计计2 计计 m n m1计 m n计 计计计计A计计 m1+m2+m3+···+m n计计计计计计 图12-1 2.分步乘法计数原理 ○1必须走完n步，才能完成任务 完成一件事○2前一步怎么走对后一步怎么共有N 走无影响（独立） 12n m m m =??????种不同方法.如图12-2所示. m1计m n计 计计计计B计计m1×m2×m3×···×m n计计计计计 计 m2计m i计 图12-2 两个原理及其区别. 分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有n类办法，这n类办法之间是互斥的，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理. 分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题.如果完成某件事情有n个步骤，而且这几个步骤缺一不可，且互不影响（独立），当且仅当依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理. 当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两个计数原理.即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想求方法数.对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法（但方法数相同），这也是检验排列组合问题的很好方法. 3.排列与排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个（不同）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中选取m个元素(n≥m)的排列个数 共有A m n . ()()() A121 m n n n n n m =--???-+ g g g g (m个连续正整数之积，n为最大数). ()() A12321! n n n n n n =--???= g g g g g g 注

《数学广角——简单的排列组合问题》

《数学广角——简单的排列组合问题》 教学目标： l、使学生通过观察、操作、实验等活动，找出简单事物的排列组合规律。 2、培养学生初步的观察、分析和推理水平以及有顺序地、全面地思考问题的意识。 3、使学生感受数学在现实生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的问题。使学生在数学活动中养成与人合作的良好习惯。 教学过程： 一、创设增境，激发兴趣。 师：今天我们要去"数学广角乐园"游玩，你们想去吗？ 二、操作探究，学习新知。 （一）组合问题 l、看一看，说一说 师：那我们先在家里挑选穿上漂亮的衣服吧。（课件出示主题图）师引导思考：这么多漂亮的衣服，你们用一件上装在搭配一件下装能够怎么穿呢？(指名学生说一说） 2、想一想，摆一摆 （l）引导讨论：有这么多种不同的穿法，那怎样才能做到不遗漏、不重复呢？ ①学生小组讨论交流，老师参与小组讨论。

②学生汇报 （2）引导操作：小组同学互相合作，把你们设计的穿法有序的 在展示板上。（要求：小组长拿出学具衣服图片、展示板） ①学生小组合作操作摆，教师巡视参与小组活动。 ②学生展示作品，介绍搭配方案。 ③生生互相评价。 （3）师引导观察： 第一种方案(按上装搭配下装)有几种穿法？（４种） 第二种方案(按下装搭配上装)有几种穿法? （４种） 师小结：不管是用上装搭配下装，还是用下装搭配上装，只要做到有序搭配就能够不重复、不遗漏的把所有的方法找出来。在今后的学习和生活中，我们还会遇到很多这样的问题，我们都能够使用有序的思考方法来解决它们。 （二）、排列问题 师：数学广角乐园到了，不过进门之前我们必须找到开门密码.（课件出示课件密码门） 密码是由１、２、3 组成的两位数． （1）小组讨论摆出不同的两位数，并记下结果。 （2）学生汇报交流（老师根据学生的回答，点击课件展示密码）（3）生生相互评价。 方法一：每次拿出两张数字卡片能摆出不同的两位数； 方法二：固定十位上的数字，交换个位数字得到不同的两位数；

二年级奥数简单的排列组合教

第三讲排列组合问题 例题精讲 在日常生活中，我们经常会碰到许多排列组合问题。 例1从晓明家到博迪教育共有三条路可走，从博迪教育到西湖有两条路可走，那么从晓明家到西湖有多少路可走？ 分析：对这种问题的题目分析，可以先画一个简单的示意图： 可以这样想，从晓明家到博迪如果走①，那到鼓楼后，可有甲、乙两条路可走，如果走②、③的话，到博迪后，分别有两条路可以走，所以从晓明家到西湖共有3×2=6（条）路可走。 例2 幼儿园有3种不同颜色（红、黄、蓝）的上衣，4种不同颜色（黑、白、灰、青）的裙子，请问可以搭配出多少套衣服？ 分析：按照次序思考，如果穿红色上衣，就会有四种颜色的裙子可以搭配，同样，如果是黄色、蓝色上衣，同样也有四种颜色的裙子可以搭配，因此 可供搭配的种类有3×4=12（种）。所以，总共有12种搭配方法。

例 3 小红昨天去文三路上一家火锅店吃火锅，她准备在牛肉、羊肉和鱼丸中挑选一个肉类，青菜、生菜、香菜、白菜和菠菜中挑选一个蔬菜，在蘑菇、香菇和金针菇中挑选一个菌类，那总共有多少种不同的搭配方法？ 分析：肉类三选一，是3；蔬菜五选一，是5；菌类三选一，是3，相乘是45. 例3 从杭州到北京共有5个车站（包括杭州和北京）。每个汽车站售票处要为这条线路准备多少不同的车票？ （杭州-上海-苏州-南京-北京） 分析：我们将车站编号为A，B，C，D，E.那么A号站到其他车站的车票共有4种，即A→B，A→C，A→D，A→E。同样，B号站到其他车站的票号也有4种，即B→A，B→C，B→D，B→E。（这里A→B和B→A的车票是不一样的，出发站和终点站不一样）所以每个站都必须准备4种不同的车票。所以总有车票的数量是：4×5=20（种）

【K12学习】二年级数学《简单的排列与组合》教案

二年级数学《简单的排列与组合》教案教学目标： 1．使学生通过观察、猜测、实验等活动，找出简单事物的排列数与组合数。 2．培养学生初步的观察、分析、推理能力以及有顺序地全面思考问题的意识。 3．引导学生使用数学方法解决实际生活中的问题，学会表达解决问题的大致过程。 4．培养学生的合作意识和人际交往能力。 教学重点：自主探究，掌握有序排列、巧妙组合的方法，并用所学知识解决实际生活的问题。 教学难点：怎样排列可以不重复、不遗漏。 教学准备：三只小动物的头像、两顶小雨伞图片、上锁的大门图片、纸条、实物投影仪等。 教学过程： 一、以故事形式引入新课 师：同学们，今天老师为大家带来了3只可爱的小动物，你们看它们是谁呀？（边说边贴出动物头像：小刺猬、小鸭、小鸡）小刺猬、小鸭和小鸡三个好朋友今天准备到企鹅博士家去做客呢，可是刚走了一半路，突然下起雨来，可是三只小动物只有两把伞,怎么办呢？ ▲（学生可能出现的答案有：①小鸡和小刺猬拼一把伞，

小鸭自己打一把伞。②小鸭和小刺猬拼一把伞，小鸡自己打一把伞。③小鸭和小鸡拼一把伞，小刺猬自己打一把伞。）▲当学生在回答以上方法时，教师根据学生的回答把相应的动物头像帖在伞的下面。 师：大家想的办法都不错。的确，三只小动物都和你们一样试了上面这三种方法，可最后它们却选择了第③种方法，你们知道这是为什么吗？原来呀，当它们开始用前面两种方法时，可没走几步，小刺猬身上的刺就把小鸭和小鸡给刺疼了，所以只能选择第③种方法。 （教学设计意图：不拘泥于教材，创设学生感兴趣的故事引入新课，引起学生的共鸣。同时又渗透了简单组合及根据实际情况合理选择方法的数学思想，起到了一举两得的作用。） 二、用开密码锁的方法进行数的排列活动 师：三只小动物到了企鹅博士家的数学城堡，却发现大门紧闭，门上还挂着一把锁。想要开锁就要找到开锁的密码。锁的密码提示是：请用数字1、2、3摆出所有的两位数，密码就是这些数从小到大排列中的第4个。──企鹅博士留。）师：三只小动物都犯傻了，怎么办呢？同学们能不能给他们帮帮忙？ （生略） 师：那么我们就先每人拿出数字卡片，自己摆一摆，边

简单的排列和组合

《数学广角》教案 简单的排列和组合 人教版《义务教育课程标准实验教科书数学（二年级上册）第八单元第99页例1及相应练习。 教学目标： 1、让学生通过观察、猜测、实验等活动，找出最简单的排列数和组合数。 2、初步培养学生有顺序地、全面地思考问题。 3、培养学生大胆猜想、积极思维的学习品质；激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作交流意识。 教学重点：经历探索简单事物排列与组合规律的过程。 教学难点：初步理解简单事物排列与组合的不同。培养学生有顺序地、全面地思考。 教具准备：课件、数字卡片、小瓶汽水 学具准备：数字卡片、钱币卡片、圆片纸、红黄蓝水彩笔 教学过程： 一、课前准备活动 1、教师随机给学生发放练习本 2、教师把练习本发给四个小组长再按顺序发给全班同学 （设计意图：课前给学生分发练习本，这看似无意的举动，却让学生感知到无顺序的做事会导致重复与遗漏，从而引出要有顺序分发才能保证不重复、不遗漏。） 二、贯穿故事，探究新知。 活动一：密码门问题 师：今天森林动物园的小动物们要举行运动会了，它们早早地来到运动场一看，大门怎么关着呢？这可把它们急坏了，这时，猴子博士笑着说：“不急，不急，大门的密码是由1、2组成的所有两位数。”你们猜猜看，大门的密码可能是多少？（学生猜密码） 师：把1和2排在一起，能摆出几个两位数呢？（生：两个）（师板书：12、

21） 师：将1放在十位，2在个位，组成12，再调换位置组成21，能排两个不同的两位数。 （设计意图：课的开始由森林动物园举行运动会导入，吸引学生的注意力，并让学生猜密码激发学生的学习兴趣，以便对旧知——两位数的唤醒。）活动二：运动员问题 1、师：小动物们高兴地进入运动场，马上要举行比赛了，小兔这次参加的是跳绳比赛。每个参赛的运动员身上都要戴一个牌，小兔的是多少呢？猴博士给了她3数字卡片（师贴：1、 2、3）它说：“小兔、小兔、你的牌是用这三卡片当中的某两卡片组成的两位数，小兔的可能是多少？ 2、师：这3卡片可以组成多少个两位数呢？咱们动手摆摆看。请你们拿出1、2、3这3卡片同桌之间一个人摆一个人记两人合作完成。比比哪个小组摆得最多又不重复。开始吧！ 学生组合作，交流，教师组间巡视，参与、指导活动。 3、小组代表汇报 师：摆好了吗？谁愿意告诉我们你们摆了哪几个两位数？你们两人上黑板上摆摆看（学生板演摆） a.12、31、21、23、13、32 b.12、13、21、23、31、32 c.12、21、13、31、23、32 d. 21、31、12、32、13、23 …… 4、探讨有顺序有规律的排列方法。 师：你觉得他们的排数方法怎么样？为什么？ 师生共同归纳：用数字排列组成两位数，可先按照一定的顺序确定十位上的数，再看个位上可有哪些数能与其搭配，或按照一定的顺序确定个位上的数，再看十位上有哪些数能与其搭配，还可以选两个数字组成一个两位数，马上调换十位、个位的数的位置，得出另一个两位数。这样有顺序排列，得出的结果就能不重复不遗漏。今后我们排数时就可以用这些有顺序的方法来排。

二年级简单的排列与组合

数学广角——排列与组合教案 师：同学们早上好，上课之前老师想和孩子们一起玩个汉字游戏，好不好？请仔细观察生：牛奶 生：奶牛 师：牙刷 生：刷牙 师：蜜蜂 生：蜂蜜 师：孩子们，谁能告诉老师，我是怎么变的吗？ 生：交换位置就可以了 师：恩，你观察的非常仔细 师：我们把两个字交换位置后又会变成一个意义不同的新词。真有趣！ 师：像这种变化位置后而改变意思，正是与我们今天要学的数学广角中的排列与组合有很大的关系。今天我们将一起来学习新的数学知识-----简单的排列与组合。（板书） 师：老师今天还带来了三位好朋友，瞧瞧，他们向我们走来了，你们认识吗？他们今天将要和咱们218班的孩子们一起来学习。大家掌声欢迎。 师：看，新年快到了熊大带着熊二正在布置新年晚会现场，大家都忙得很开心，这个时候光头强来了，他很想和大家一起过年，于是来到熊大家，可是走到熊大家门口才发现，门上有一把密码锁，他进不去，上面的提示是什么？是由1和2这两个数组成的两位数，这道门的密码可能是哪几个数？ 师：我们回忆一下,一个两位数，是由哪两个数位组成的？ 生：个位和十位 师：非常正确!那1和2可以组成哪几个两位数呢？ 生：12或21 师：你真聪明!再仔细观察这两个数有什么不同？ 生：交换了位置。 师：对，个位与十位交换了位置，就变成了不同的两个数。 师：密码到底是哪个两位数呢？我们接着看提示。（课件提示：密码是十位数比个位数大的那个数） 师：知道密码的小朋友请举手？ 生:指名回答. 师：你真棒!门打开后，光头强看着这么多树高兴的跳起来了，我发财了！我要把这里所有的树都砍掉卖给李老板，小朋友们光头强能不能随便砍树呀?（不能）对，我们要爱护树木，保护环境。光头强一心想砍树，可是忘记带锯子了，他决定找找看，于是往前走，看见一个箱子，眼睛一亮，这不是百宝箱吗?可箱子上也有一把密码锁。密码提示是：由1.2.3三个数字中的两个数字组成，而且每个两位数,十位上的数和个位上的数不能一样 师：这就难倒了光头强。孩子们我们来帮帮他好不好？1.2.3是三个数要组成的数是个两位数，那么我们只能在这三个数字中选几个？（2个） 师：密码提示十位上的数和个位上的数不能一样，那么十位上的数字和个位上的数字能相同吗? 生：不能 师：对，不能相同 师：那么能组成多少个不同的两位数呢?下面以四人为一组,一个负责摆，两个负责记录,一