初中数学竞赛辅导资料(33)
同一法
甲内容提要
1.“同一法”是一种间接的证明方法。它是根据符合“同一法则”的两个互逆命题必等效的原理,当一个命题不易证明时,釆取证明它的逆命题。
2.同一法则的定义是:如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时,那么它和它的逆命题同时有效。这称为同一法则。
互逆两个命题一般是不等价的。例如
原命题:福建是中国的一个省(真命题)
逆命题:中国的一个省是福建(假命题)
但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时,则它们是等效的。例如
原命题:中国的首都是北京(真命题)
逆命题:北京是中国的首都(真命题)
因为世界上只有一个中国,而且中国只有一个首都,所以互逆的两个命题是等效的。又如
原命题:等腰三角形顶角平分线是底边上的高。(真命题)
逆命题:等腰三角形底边上的高是顶角平分线。(真命题)
因为在等腰三角形这一前提下,顶角平分线和底边上的高都是唯一的,所以互逆的两个命题是等效的。
3.釆用同一法证明的步骤:如果一个命题直接证明有困难,而它与逆命题符合同一法则,则可釆用同一法,证明它的逆命题,其步骤是:
①作出符合命题结论的图形(即假设命题的结论成立)
②证明这一图形与命题题设相同(即证明它符合原题设)
乙例题
例1.求证三角形的三条中线相交于一点
已知:△ABC中,AD,BE,CF都是中线
求证:AD,BE,CF相交于同一点
分析:在证明AD和BE相交于点G之后,本应再证明CF经过点G,这要证明三点共线,直接证明不易,我们釆用同一法:连结并延长CG交AB 于F,,证明CF,就是第三条中线(即证明AF,=F,B)
证明:∵∠DAB+∠EBA<180
∴AD和BE相交,设交点为G 连结并延长CG交AB于F,
连结DE交CF,于M
∵DE∥AB
F,
G
A
B C
D
E
F
∴
F A ME '=F B MD '=F C CM ', 即F A F B ''=ME MD F B ME '=F A MD '=F
G MG ', 即F B F A ''=ME MD ∴F A F B ''=F B F A '
', ∴AF ,=BF ,,AF ,是BC 边上的中线, ∵BC 边上的中线只有一条, ∴AF ,和AD 是同一条中线
∴AD ,BE ,CF 相交于一点G 。
例2.已知:△ABC 中,D 在BC 上,AB 2-AC 2=BD 2-DC 2
求证:AD 是△ABC 的高
分析:从题设AB 2-AC 2=BD 2-DC 2证明结论不易,因为BC 边上的
高是唯一的,所以拟用同一法,先作出AE ⊥BC ,证明在题设的条件下AE
就是AD 。
证明:作AE ⊥BC 交BC 于E A 根据勾股定理
AB 2-AC 2=(AE 2+BE 2)-(AE 2+EC 2)
=BE 2-EC 2
∵AB 2-AC 2=BD 2-DC 2 B E D C ∴BD 2-DC 2 =BE 2-EC 2 (BD +DC )(BD -DC )=(BE +EC )(BE -EC )
∴BD -DC =BE -EC ①
BD +DC =BE +EC ②
①+②:2BD =2BE
即点D 和点E 重合,即AD 是△ABC 的高
例3如图已知:四边形ABCD 中,∠ABD =∠ADB =15 ∠CBD =45 ,∠CDB =30 求证:△ABC 是等边三角形 证明:在BC 或延长线上取点E ,使BE =AB 连结AE ,DE ,则△ABE 是等边三角形
AE =AB =AD ,∠EAD =150 -60 =90 ,∴∠ADE =45
∵∠ADC =45 ,且DE ,DC 在DA 的同一侧,
∴DE 和DC 重合,它们与BC 边的交点E ,C 也重合
∴△ABC 是等边三角形
45301515A B D C E
例4.求证:335252-++=1 分析:直接证法,一般是把左边写成3333)5252(-++再化简为1,
但没有成功。拟用同一法,可认为要证明的 原命题是:有两个数352+,352-,它们积是-1,则它们的和是1
那么逆命题是:若u+v=1,且uv=-1,则u=352+,v=352-
证明:设 u+v=1,且uv=-1,根据韦达定理的逆定理(初三教材)
得u,v 是方程x 2-x -1=0 的两个根
x=251±,即u,v 分别等于251+,2
51- 而u 3=(251+)3=2+5, v 3=(2
51-)3=2-5 ∴u=352+,v=352- 即335252-++=1
例5.已知:ACD 是圆的割线,点B 在圆上,且AB 2=AC ×AD
求证:AB 是圆的切线
证明:过点B 作圆的切线,交DC 于A 1,
则∠CBA 1=∠D
由已知AB 2=AC ×AD ,则AB AC =AC
AD ,∠A =∠A ∴△ACB ∽△ABD ∴∠CBA =∠D ,
∠CBA 1=∠CBA ∴BA 和BA 1重合,它们与DC 的交点是同一个点
即AB 是圆的切线。
例6.以△ABC 的三个顶点为圆心,作三个圆两两外切,切点分别是D ,E ,
F ,那么过D ,E ,F 的圆是△ABC 的内切圆。
分析:用同一法证明,作出△ABC 的内切圆,再证明三个切点和
D ,
E ,
F 重合
l B A 1D C A
证明:作△ABC 的内切圆和AB ,BC ,CA 分别切于D ,,E ,,F ,
根据 切线长定理,得
AD ,=AF ,=2a b c -+,BE ,=BD ,=2b c a -+,CF ,=CE ,=2
c b a -+ 设⊙A,⊙B ,⊙C 半径长分别为x,y,z
??
???=+=+=+b x z a z y c y x ,解得,x=2a b c -+,y=2b c a -+,z=2c b a -+ ∴AD ,=AD ,BE ,=BE ,CF ,=CF
即D ,与D , E ,与E , F ,与F 重合。 ∴△ABC 的内切圆和各边切于D ,E ,F
即过D ,E ,F 的圆是△ABC 的内切圆。
丙练习33 1. 用同一法证明:
① 三角形的中位线平行于第三边
② 梯形中位线平行于两底
2. 已知E 是正方形ABCD 内的一点,∠EAB =∠EBA =15
求证△ECD 是等边三角形
3. 已知△ABC 中,AB =AC ,∠A =36
,在AC 上取点D ,使AD =BC 求证BD 是∠ABC 的平分线 4.
如果梯形的一条腰等于两底和,那么夹这条腰的两个角的平分线的交点,必是另一腰中点 5.
△ABC 中,∠ C =Rt ∠,AC =BC ,点D 在AC 上,且CD =AB -BC 求证BD 平分∠ABC 6.
正方形ABCD 中,M ,N 分别是CD ,BC 的中点,DE ⊥AM 于E ,求证点N 在DE 的延长线上 7. 已知:四边形ABCD 中,E ,F 和GH 分别三等分AB 和CD ,
M 和N 分别是BC ,AD 中点, N D
求证: A ① MN 平分EH 和FG E H ② MN 被EH ,FG 三等分 F G
B M C
F A C B D E
8.已知:矩形ABCD中,AB=2BC,点E在CD上,且∠CBE=15
求证:AE=AB
9.已知:AD是四边形ABCD外接圆O的直径,∠ABC=120 ∠ACB=45
点P在CB的延长线上,且PB=2BC
求证:PA是⊙O的切线
10.已知:H是△ABC的垂心(三条高的交点),过H,B,C三点作⊙O,
延长△ABC的中线AM交⊙O于D
求证:AM=MD
A OO D
C
B
P
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j
M
H
A
B
C
D
初中数学竞赛专题选讲 识图 一、内容提要 1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。 2.几何图形就是点,线,面,体的集合。点是组成几何图形的基本元素。《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。 3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体,要靠正确的想像 点:只表示位置,没有大小,不可再分。 线:只有长短,没有粗细。线是由无数多点组成的,即“点动成线”。面:只有长、宽,没有厚薄。面是由无数多线组成的,“线动成面”。4.因为任何复杂的图形,都是由若干基本图形组合而成的,所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。 识别图形包括静止状态的数一数,量一量,比一比,算一算;运动状态中的位置、数量的变化,图形的旋转,摺叠,割补,并合,比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。 二、例题 例1.数一数甲图中有几个角(小于平角)?乙图中有几个等腰三角形?丙图中有几全等三角形?丁图中有几对等边三角形? E 解:甲图中有10个角:∠AOB, ∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD, ∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直线,则少一个∠AOC,余类推。 乙图中有5个等腰三角形:△ABC,△ABD,△BDC,△BDE,△DEC 丙图中有全等三角形4对:(设AC和DB相交于O) △AOB≌△COD,△AOD≌△BOC,△ABC≌△CDA,△BCD≌△DAB。
丁图中共有等边三角形48个: 边长1个单位:顶点在上▲的个数有 1+2+3+4+5=15 顶点在下▼的个数有 1+2+3+4=10 边长2个单位:顶点在上▲的个数有 1+2+3+4=10 顶点在下▼的个数有 1+2=3 边长3个单位:顶点在上▲的个数有 1+2+3=6 边长4个单位:顶点在上▲的个数有 1+2=3 边长5个单位:顶点在上▲的个数有 1 以上要注意数一数的规律 例2.设平面内有6个点A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6,其中任意3个点都不在同 一直线上,如果每两点都连成一条线,那么共有线段几条?如果要使图形不 出现有4个点的两两连线,那么最多可连成几条线段?试画出图形。 (1989年全国初中数学联赛题) 解:从点A 1与其他5点连线有5条,从点A 2与其他4点(A 1除外)连线 有4条,从A 3与其他3点连线有3条(A 1,A 2除外)……以此类推,6个 点两两连线共有线段1+2+3+4+5=15(条),或用每点都与其他5点 连线共5×6再除以2(因重复计算)。 要使图形不出现有4个点的两两连线,那么每点只能与其他4个点连线, 共有(6×4)÷2=12(条)如下图:其中有3对点不连线:A 1A 4,A 2A 5, A 3A 6 A 3 1 2 例3.如图水平线与铅垂线相交于O ,某甲沿水平线,某乙铅垂线同时匀速 前进,当甲在O 点时,乙离点O 为500米,2分钟后,甲、乙离点O 相 等;又过8分钟,甲、乙再次离点O 相等。求甲和乙的速度比。 解:如图设甲0,乙0为开始位置,甲1,乙1为前进2分钟后位置,甲2,乙2 乙2 为再前进8分钟的位置。再设甲,乙的速度分别为每分钟x,y 米,根据题意得 ? ??-=-=500101025002y x y x 甲 O 甲1 甲2 解得12x=8y 乙1 ∴x ∶y=2∶3
选择题 1.下面的说法中正确的是() A.单项式与单项式的和是单项式 B.单项式与单项式的和是多项式 C.多项式与多项式的和是多项式 D.整式与整式的和是整式 答案:D 解析:x2,x3都是单项式.两个单项式x3,x2之和为x3+x2是多项式,排除A。两个单项式x2,2x2之和为3x2是单项式,排除B。两个多项式x3+x2与x3-x2之和为2x3是个单项式,排除C,因此选D。 2.如果a,b都代表有理数,并且a+b=0,那么() A.a,b都是0 B.a,b之一是0 C.a,b互为相反数 D.a,b互为倒数 答案:C 解析:令a=2,b=-2,满足2+(-2)=0,由此a、b互为相反数。 3.下面说法中不正确的是() A.有最小的自然数 B.没有最小的正有理数 C.没有的负整数 D.没有的非负数 答案:C 解析:的负整数是-1,故C错误。 4.如果a,b代表有理数,并且a+b的值大于a-b的值,那么() A.a,b同号 B.a,b异号 C.a>0 D.b>0 答案:D 5.大于-π并且不是自然数的整数有() A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个 答案:C 解析:在数轴上容易看出:在-π右边0的左边(包括0在内)的整数只有-3,-2,-1,0共4个.选C。 6.有四种说法: 甲.正数的平方不一定大于它本身; 乙.正数的立方不一定大于它本身; 丙.负数的平方不一定大于它本身; 丁.负数的立方不一定大于它本身。
这四种说法中,不正确的说法的个数是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案:B 解析:负数的平方是正数,所以一定大于它本身,故C错误。 7.a代表有理数,那么,a和-a的大小关系是() A.a大于-a B.a小于-a C.a大于-a或a小于-a D.a不一定大于-a 答案:D 解析:令a=0,马上可以排除A、B、C,应选D。 8.在解方程的过程中,为了使得到的方程和原方程同解,可以在原方程的两边() A.乘以同一个数 B.乘以同一个整式 C.加上同一个代数式 D.都加上1 答案:D 解析:对方程同解变形,要求方程两边同乘不等于0的数,所以排除A。我们考察方程x-2=0,易知其根为x=2.若该方程两边同乘以一个整式x-1,得(x-1)(x-2)=0,其根为x=1及x=2,不与原方程同解,排除B。同理应排除C.事实上方程两边同时加上一个常数,新方程与原方程同解,对D,这里所加常数为1,因此选D. 9.杯子中有大半杯水,第二天较第一天减少了10%,第三天又较第二天增加了10%,那么,第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是() A.一样多 B.多了 C.少了 D.多少都可能 答案:C 解析:设杯中原有水量为a,依题意可得, 第二天杯中水量为a×(1-10%)=0.9a; 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a; 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1, 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了,选C。 10.轮船往返于一条河的两码头之间,如果船本身在静水中的速度是固定的,那么,当这条河的水流速度增大时,船往返一次所用的时间将() A.增多 B.减少 C.不变 D.增多、减少都有可能
初中数学竞赛辅导资料(65) 图象法 甲内容提要 1. 在第45讲(一元二次方程)中,根据根的判别式和根与系数的关系,介绍了存在实数 根,有理数根,整数根的充分必要条件. 2. 要讨论两个实数根的符号,则可以建立不等式组.方程ax 2+bx+c=0中, ① 有两个实数根的充分必要条件是?? ?≥?≠0 a ②有两个正实数根的充要条件是?????? ??? >>≥?00-0a c a b (a ≠0包含在0 >a c 之中) ③有一正一负实数根的充要条件是 00均已包含在内) ④有一正一负实根且负根绝对值较大的充要条件是???????<-<00a b a c 3. 在较小区间内讨论实数根,则常利用图象来建立不等式组. 4. 一些含有绝对值符号的方程、不等式的题解,也可借助图象. 乙例题 例1..已知:方程7x 2-(k+13)x+k 2-k -2=0的两个实数根x 1,x 2满足:0
解这个不等式组得?? ? ??><<<->-<.30422 1k k k k k 或;;或 ∴原不等式组解集是 -2 初中数学竞赛辅导资料(12) 用交集解题 甲内容提要 1. 某种对象的全体组成一个集合.组成集合的各个对象叫这个集合的元素.例如6的正约数集合记作{6的正约数}={1,2,3,6},它有4个元素1,2,3,6;除以3余1的正整数集合是个无限集,记作{除以3余1的正整数}={1,4,7,10……},它的个元素有无数多个. 2. 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合,叫做这两个集合的交集 例如6的正约数集合A ={1,2,3,6},10的正约数集合B ={1,2,5,10},6与10的公约数集合C ={1,2},集合C 是集合A 和集合B 的交集. 3. 几个集合的交集可用图形形象地表示, 右图中左边的椭圆表示正数集合, 右边的椭圆表示整数集合,中间两个椭圆 的公共部分,是它们的交集――正整数集. 不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集. 例如 不等式组? ??<->)2(2)1(62 x x 解的集合就是( ) 不等式(1)的解集x >3和不等式(2)的解集x >2的交集,x >3. 4.一类问题,它的答案要同时符合几个条件,一般可用交集来解答.把符合每个条件的所有的解(即解的集合)分别求出来,它们的公共部分(即交集)就是所求的答案. 有时可以先求出其中的一个(一般是元素最多)的解集,再按其他条件逐一筛选、剔除,求得答案.(如例2) 乙例题 例1. 一个自然数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个自然数的最小值. 解:除以3余2的自然数集合A ={2,5,8,11,14,17,20,23,26,……} 除以5余3的自然数集B ={3,8,13,18,23,28,……} 除以7余2自然数集合C ={2,9,16,23,30,……} 集合A 、B 、C 的公共元素的最小值23就是所求的自然数. 例2. 有两个二位的质数,它们的差等于6,并且平方数的个位数字相同,求这两个数. 解: 二位的质数共21个,它们的个位数字只有1,3,7,9,即符合条件的质数它们的个位数的集合是{1,3,7,9}; 其中差等于6的有:1和7;3和9;13和7,三组; 平方数的个位数字相同的只有3和7;1和9二组. 同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组 故所求质数是:23,17; 43,37; 53,47; 73,67共四组. 例3. 数学兴趣小组中订阅A 种刊物的有28人,订阅B 种刊物的有21人,其中6人两种都订,只有一人两种都没有订,问只订A 种、只订B 种的各几人?数学兴趣小组共有几人? 解:如图左、右两椭圆分别表示订阅A 种、B 种刊物的人数集合,则两圆重叠部分就是它们 初二数学竞赛辅导资料(共12讲) 目录 本内容适合八年级学生竞赛拔高使用重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高本内容难度适中讲练结合由浅入深讲解与练习同步重在提高学生的数学分析能力与解题能力另外在本次培训中内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容其中《因式分解》为初二下册内容但是考虑到它的重要性和工具性将在本次培训进行具体解读注有标注的为选做内容 本次培训具体计划如下以供参考 第一讲实数一 第二讲实数二 第三讲平面直角坐标系函数 第四讲一次函数一 第五讲一次函数二 第六讲全等三角形 第七讲直角三角形与勾股定理 第八讲株洲市初二数学竞赛模拟卷未装订在内另发 第九讲竞赛中整数性质的运用 第十讲不定方程与应用 第十一讲因式分解的方法 第十二讲因式分解的应用 第十三讲考试未装订在内另发 第十四讲试卷讲评 第1讲实数一 知识梳理 一非负数正数和零统称为非负数 1几种常见的非负数 1实数的绝对值是非负数即a≥0 在数轴上表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值用a来表示设a为实数则 绝对值的性质 ①绝对值最小的实数是0 ②若a与b互为相反数则a=ba=ba=b ③对任意实数a则a≥a a≥-a ④a·b=ab b≠0 ⑤a-b≤a±b≤a+b 2实数的偶次幂是非负数 如果a为任意实数则≥0n为自然数当n=1≥0 3算术平方根是非负数即≥0其中a≥0 算术平方根的性质 a≥0 = 2非负数的性质 1有限个非负数的和积商除数不为零是非负数 2若干个非负数的和等于零则每个加数都为零 3若非负数不大于零则此非负数必为零 3对于形如的式子被开方数必须为非负数 4推广到的化简 5利用配方法来解题开平方或开立方时将被开方数配成完全平方式或完全立方 例题精讲 ◆专题一利用非负数的性质解题 例1已知实数xyz满足求x+y+z的平方根 巩固 1已知则的值为______________ 2若 的值 拓展 设abc是实数若求abc的值 ◆专题二对于的应用 例2已知xy是实数且 例3 已知适合关系式求的值 巩固 1已知b=且的算术平方根是的立方根是试求的平方根和立方根 2已知则 初中数学竞赛辅导资料之因式分解 甲内容提要和例题 我们学过因式分解的四种基本方法:提公因式法,运用公式法,十字相乘法,分组分解法。下面再介紹两种方法 1.添项拆项。是.为了分组后,能运用公式(包括配方)或提公因式 例1因式分解:①x4+x2+1②a3+b3+c3-3abc ①分析:x4+1若添上2x2可配成完全平方公式 解:x4+x2+1=x4+2x2+1-x2=(x2+1)2-x2=(x2+1+x)(x2+1-x) ②分析:a3+b3要配成(a+b)3应添上两项3a2b+3ab2 解:a3+b3+c3-3abc=a3+3a2b+3ab2+b3+c3-3abc-3a2b-3ab2 =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c) =(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) 例2因式分解:①x3-11x+20②a5+a+1 ①分析:把中项-11x拆成-16x+5x 分别与x5,20组成两组,则有公因式可提。(注意这里 16是完全平方数) ②解:x3-11x+20=x3-16x+5x+20=x(x2-16)+5(x+4) =x(x+4)(x-4)+5(x+4) =(x+4)(x2-4x+5) ③分析:添上-a2和a2两项,分别与a5和a+1组成两组,正好可以用立方差公式 解:a5+a+1=a5-a2+a2+a+1=a2(a3-1)+ a2+a+1 =a2(a-1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3-a2+1) 2.运用因式定理和待定系数法 定理:⑴若x=a时,f(x)=0, [即f(a)=0],则多项式f(x)有一次因式x-a ⑵若两个多项式相等,则它们同类项的系数相等。 例3因式分解:①x3-5x2+9x-6②2x3-13x2+3 初二数学奥数 1、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DE=EC,EF∥AB交BC于点F,EF=EC,连结DF。 (1)试说明梯形ABCD是等腰梯形; (2)若AD= 1,BC=3,DC DCF的形状; (3)在条件(2)下,射线BC上是否存在一点P,使△PCD是等腰三角形,若存在,请直接写出PB的长;若不存在,请说明理由。 2、在边长为6的菱形ABCD中,动点M从点A出发,沿A→B→C向终点C运动,连接DM交AC于点N. (1)如图25-1,当点M在AB边上时,连接BN. ①求证:△ABN≌△ADN; ②若∠ABC = 60°,AM = 4,求点M到AD的距离; (2)如图25-2,若∠ABC = 90°,记点M运动所经过的路程为x(6≤x≤12)试问:x为何值时,△ADN为等腰三角形. 3、对于点O 、M ,点M 沿MO 的方向运动到O 左转弯继续运动到N ,使OM =ON ,且OM ⊥ON ,这一过程称为M 点关于O 点完成一次“左转弯运动”. 正方形ABCD 和点P ,P 点关于A 左转弯运动到P 1,P 1关于B 左转弯运动到P 2,P 2关于C 左转弯运动到P 3,P 3关于D 左转弯运动到P 4,P 4关于A 左转弯运动到P 5,……. (1)请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P 1的位置; (2)连接P 1A 、P 1B ,判断 △ABP 1与△ADP 之间有怎样的关系?并说明理由。 (3)以D 为原点、直线AD 为y 轴建立直角坐标系,并且已知点B 在第二象限,A 、P 两点的坐标为(0,4)、(1,1),请你推断:P 4、P 2009、P 2010三点的坐标. P D C B A N M 图1 图2 初中奥数:各类应用题及答案解析 1.已知一张桌子的价钱是一把椅子的10倍,又知一张桌子比一把椅子多288元,一张桌子和一把椅子各多少元? 解题思路: 由已知条件可知,一张桌子比一把椅子多的288元,正好是一把椅子价钱的(10-1)倍,由此可求得一把椅子的价钱。再根据椅子的价钱,就可求得一张桌子的价钱。 答题: 解:一把椅子的价钱: 288÷(10-1)=32(元) 一张桌子的价钱: 32×10=320(元) 答:一张桌子320元,一把椅子32元。 2.3箱苹果重45千克。一箱梨比一箱苹果多5千克,3箱梨重多少千克? 解题思路: 可先求出3箱梨比3箱苹果多的重量,再加上3箱苹果的重量,就是3箱梨的重量。 答题: 解:45+5×3=45+15=60(千克) 答:3箱梨重60千克。 3.甲乙二人从两地同时相对而行,经过4小时,在距离中点4千米处相遇。甲比乙速度快,甲每小时比乙快多少千米? 解题思路: 根据在距离中点4千米处相遇和甲比乙速度快,可知甲比乙多走4×2千米,又知经过4小时相遇。即可求甲比乙每小时快多少千米。 答题: 解:4×2÷4=8÷4=2(千米) 答:甲每小时比乙快2千米。 4.李俊和张强付同样多的钱买了同一种铅笔,李俊要了13支,张强要了7支,李俊又给张强0.6元钱。每支铅笔多少钱? 解题思路: 根据两人付同样多的钱买同一种铅笔和李俊要了13支,张强要了7支,可知每人应该得(13+7)÷2支,而李俊要了13支比应得的多了3支,所以又给张强0.6元钱,即可求每支铅笔的价钱。 答题: 解:0.6÷[13-(13+7)÷2]=0.6÷[13—20÷2]=0.6÷3=0.2(元) 答:每支铅笔0.2元。 5.甲乙两辆客车上午8时同时从两个车站出发,相向而行,经过一段时间,两车同时到达一条河的两岸。因为河上的桥正在维修,车辆禁止通行,两车需交换乘客,然后按原路返回各自出发的车站,到站时已是下午2点。甲车每小时行40千米,乙车每小时行45千米,两地相距多少千米(交换乘客的时间略去不计)? 解题思路:初中数学竞赛辅导资料(12)
初二数学竞赛辅导资料(共12讲)
初中数学竞赛辅导资料之因式分解附答案
(完整)初二奥数题及答案
初中奥数:各类应用题及答案解析
奥数-初中数学竞赛辅导资料及参考答案(初三上部分,共)-58-60