反比例函数经典讲义,绝对经典!!
初三反比例函数讲义
第1节 反比例函数
本节内容：
反比例函数定义 反比例函数定义的应用（重点）
电流I 、电阻R 、电压U 之间满足关系式：U=IR
当U=220V 时，可以用含有R 的代数式表示I ：__________________
舞台灯光的亮暗就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的。当电流I 较小时，灯光较暗；当电流I 较大时，灯光较亮。
一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成x
k
y =k (为常数，)0≠k 的形式，那么称y 是x 的反比例函数。 反比例函数的自变量x 不能为零。 小注：
（1）x k
y =
也可以写成1-=kx y 或k xy =的形式； （2）x
k
y =若是反比例函数，则x 、y 、k 均不为零；
（3）k xy =)0(>k 通常表示以原点及点()y x ,为对角线顶点的矩形的面积。 下列函数中是反比例关系的有___________________（填序号）。
①3x y -
= ②131+=x y ③x y 2-= ④221
1x y -= ⑤x y 23-=
⑥21=xy ⑦28x
y = ⑧1-=x y ⑨2=x y ⑩x k
y =k (为常数，
)0≠k
确定解析式的方法仍是____________，由于在反比例函数x
k
y =
中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值，即可求出k 的值，从而确定其解析式。
由欧姆定律可知，电压不变时，电流强度I 与电阻R 成反比例，已知电压不变，电阻R=12.5欧姆，电流强度I=0.2安培。 （1） 求I 与R 的函数关系式；
（2） 当R=5欧姆时，求电流强度。
本节作业：
1、小明家离学校1.5km ，小明步行上学需x min ，那么小明的步行速度min)/(m y 可以表
示为x
y 1500=
；水名地面上重1500N 的物体，与地面的接触面积为x 2
m ，那么该物体对地面的压强)/(2m N y 可以表示为x y 1500=
。函数表达式x
y 1500
=还可以表示许多不同情境中变量之间的函数关系，请你再列举一例。
2（（
3
4、已知y =21y y +，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，并且当x =2时，y = —4；当x = —1时，y =5，求出y 与x 的函数关系式。
5、已知y 是x 的函数，且其对应数据如下表所示，你认为y 是x 的正比例函数还是反比例
6、（2008·安徽）函数x
k
y =的图象经过点A （1，—2），则k 的值为（ ）。 A ．21 B. 2
1
- C. 2 D. —2
7、若函数1
32)1(+++=m m x
m y 是反比例函数，则m 的值为（ ）。
A ．m = —2 B. m = 1
C. m = 2或m = 1
D. m = —2，或m = —1
8、若甲、乙两城市间的路程为1000千米，车速为每小时x 千米，从甲市到乙市所需的时间为y 小时，那么y 与x 的函数表达式是_______________________（不必写出x 的取值范围），y 是x 的__________函数。
9、已知y 是x 的反比例函数，当x =5时，y = —1，那么，当y =3时，x =_________；当x =3时，y =________。
第2节 反比例函数的图象与性质
本节内容：
反比例函数的图象及其画法 反比例函数的性质（重点） 反比例函数x
k
y =
)0(≠k 中的比例系数k 的几何意义（难点） 反比例函数与正比例函数图象的交点
、 反比例函数的图象及其画法 反比例函数图象的画法——描点法：
（1） 列表——自变量取值应以0（但)0(≠x 为中心，向两边取三对（或三对以上）互为
相反数的数，再求出对应的y 的值；
（2） 描点——先描出一侧，另一侧可根据中心对称点的性质去找；
（3） 连线——按照从左到右的顺序连接各点并延伸，注意双曲线的两个分支是断开的，
延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交。
反比例函数x
k
y =
的图象是由两支曲线组成的。当0>k 时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当0 （1）这两支曲线通常称为双曲线。 （2）这两支曲线关于原点对称。 （3）反比例函数的图象与x 轴、y 轴没有公共点。 例1：画出反比例函数x y 6 =与x y 6-=的图象。 解：（1）列表： （2）描点： （3）连线。 1 反比例函数的性质 x 例4 已知反比例函数x k y = 的图象经过点P(一l ，2)，则这个函数的图象位于A ．第二、三象限 B ．第一、三象限 C ．第三、四象限x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为 例5A 、B 是函数2 y x = 的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ） A ． 2S = B ． 4S = C ．24S << D ．4S > 例6如图A 在反比例函数(0)k y k x =≠的图象上，AM x ⊥轴于点M ，AMO △的面积为3，则k = 4反比例函数与正比例函数图象的交点 凡是交点问题就联立方程 例7如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x = 的图象交于(21)(1)A B n -， ，，两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求AOB △的面积． 图1 本节练习 一、选择题（每小题6分，共36分） 1. 已知 2(1)m y m x -=+是反比例函数，则函数的图象在 （ ） A 、一、三象限 B 、二、四象限 C 、一、四象限 D 、三、四象限 2.若反比例函数k y x = 的图象经过点(12 )-，，则这个函数的图象一定经过点（ ） x ?AOB 比例函数的解析式为__________. 图8 10.老师给出一个函数，甲、乙各指出了这个函数的一个性质： 甲：第一、三象限有它的图象； 乙：在每个象限内，y 随x 的增大而减小． 请你写一个满足上述性质的函数______________________ 三、解答题每小题，共40分 11. （20分）如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数x m y = 图象交于A （－2，1）、B （1，n ）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围． 12. （20分）如图，已知反比例函数1(0)m y m x = ≠的图象经过点(21)A -，，一次函数2(0)y kx b k =+≠的图象经过点(03)C ， 与点A ，且与反比例函数的图象相交于另一点B ．（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）求点B 的坐标． 第3节 反比例函数的应用 本节内容：运用函数的图象和性质解答实际问题 例题1 .面积一定的梯形，其上底长是下底长的 2 1 ，设下底长x =10 cm 时，高y =6 cm (1)求y 与x 的函数关系式； (2)求当y =5 cm 时，下底长多少？ 16.一定质量的二氧化碳，当它的体积V=6 m 3时，它的密度ρ=1.65 kg/m 3. 罐时把整个顶盖撕下来，设一个底面半径是x cm 的易拉罐用铝量是y cm 3. 用铝量=底面积×底部厚度+顶部面积×顶部厚度+侧面积×侧壁厚度，求y 与x 间的函数关系式. 综合检测题 一、填空题： 1、u 与t 成反比，且当u ＝6时，8 1 =t ，这个函数解析式为 ； 2、函数2x y - =和函数x y 2 =的图像有 个交点； 3、反比例函数x k y =的图像经过（－23，5）点、（a ，－3）及（10，b ）点， 则k ＝ ，a ＝ ，b ＝ ； 4、若函数()()414-+-=m x m y 是正比例函数，那么=m ，图象经过 象 限； 5、若反比列函数1 232 )12(---=k k x k y 的图像经过二、四象限，则k = _______ 6、已知y -2与x 成反比例，当x =3时，y =1，则y 与x 间的函数关系式为 ； 7、已知正比例函数kx y =与反比例函数3 y x = 的图象都过A （m ，1），则m ＝ ，正比例函数与反比例函数的解析式分别是 、 ； 8、 设有反比例函数y k x = +1 ，(,)x y 11、(,)x y 22为其图象上的两点，若x x 120<<时，y y 12>，则k 的取值范围是___________ 9、右图3是反比例函数x k y =的图象，则k 与0的大小关系是k 0. 10、函数x y 2 - =的图像，在每一个象限内，y 随x 的增大而 ； 11、反比例函数()0>=k x k y 在第一象限内的图象如图，点M 是图像上一点， MP 垂直x 轴于点P ，如果△MOP 的面积为1，那么k 的值是 ； 12、() 7 22 5---=m m x m y 是y 关于x 的反比例函数，且图象在 第二、四象限，则m 的值为 ； 二、选择题： （分数3分×14=42分，并把答案填在第12题后的方框内） 1、下列函数中，反比例函数是（ ） A 、 1)1(=-y x B 、 11 += x y C 、 21x y = D 、 x y 31= 2、已知反比例函数的图像经过点（a ，b ），则它的图像一定也经过（ ） A 、 (－a ,－b ) B 、 (a ,－b ) C 、 (－a ，b ) D 、 （0，0） 3、如果反比例函数x k y = 的图像经过点（－3，－4），那么函数的图像应在（ ） A 、 第一、三象限B 、 第一、二象限C 、 第二、四象限D 、 第三、四象限 4、若y 与－3x 成反比例，x 与 z 4 成正比例，则y 是z 的（ ） A 、 正比例函数B 、 反比例函数C 、 一次函数 D 、 不能确定 5、若反比例函数2 2 )12(--=m x m y 的图像在第二、四象限，则m 的值是（ ） 1x 2 12关系一定是（ ） A 1k <0，2k >0 B 1k >0，2k <0 C 1k 、2k 同号 D 1k 、2k 异号 11、已知变量y 与x 成反比例，当x =3时，y =―6；那么当y =3时，x 的值是（ ） A 6 B ―6 C 9 D ―9 12、当路程s 一定时，速度v 与时间t 之间的函数关系是（ ） A 正比例函数 B 反比例函数 C 一次函数 D 二次函数 13、（2001北京西城）在同一坐标系中，函数 x k y =和3+= kx y 的图像大致是 （ ） 14、已知反比例函数)0(<= k x k y 的图像上有两点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，且21x x <，则21y y -的值是（ ） A 、 正数 B 、 负数 C 、 非正数 D 、 不能确定 三、解答题：（第1、2小题各7分、第3小题8分，共22分） 1、在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)与电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培。 （1）求I 与R 之间的函数关系式 （2）当电流I=0.5安培时，求电阻R 的值； 2、如图，Rt △ABO 的顶点A 是双曲线x k y =与直线)1(+--=k x y 在第二象限的交点， AB ⊥x 轴于B 且S △ABO = 2 3 （1）求这两个函数的解析式 （2）求直线与双曲线的两个交点A ，C 的坐标和△AOC 的面积。 3、如图，一次函数b kx y +=的图像与反比例函数x m y = 的图像相交于A 、B 两点， （1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式 （2）根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围（2001江苏苏州） 1值2A ．31y 4 5、如图，A ⊙和B ⊙都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1 y x =的图象上，则图中阴影部分的面积等于 ． 6、如图，A 、B 是函数2 y x = 的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ） A ． 2S = B ． 4S = C ．24S << D ．4S > （7） 7、如图，正比例函数(0)y kx k =>与反比例函数4 y x = 的图象相交于A C ，两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点B ，连接BC ，则ABC △的面积等于 . 8、已知反比例函数y =x a (a ≠0)的图象，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减少，则 一次函数y =-a x +a 的图象不经过．．． 第 象限。 9、若0ab <，则正比例函数y ax =与反比例函数b y x =在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） x x x B ． 10、函数y x m =+与(0)m y m x = ≠在同一坐标系内的图象可以是（ ） A ． B ． C ． D ． 11、在同一直角坐标系中，函数k kx y +-=与)0k (x k y ≠= 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 12、若A （a 1，b 1），B （a 2，b 2）是反比例函数x y 2 -=图象上的两个点，且a 1＜a 2，则b 1与b 2的大小关系是（ ） A ．b 1＜b 2 B ．b 1 = b 2 C ．b 1＞b 2 D ．大小不确定 13、已知函数1 y x = ，当1x ≥-时，y 的取值范围是 . 14、直线y =ax (a ＞0)与双曲线y =3x 交于A (x 1，y 1)、 B (x 2，y 2)两点，则4x 1y 2－3x 2y 1=______． 15、如图，已知点A 、B 在双曲线x k y = （x ＞0）上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与，2 y x = x O P 1 P 2 P 3 P 4 1 2 3 4 （17） 19、如图，已知(4)A n -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m y x =的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积；(3)求方程0=-+x m b kx 的解（请直接写出答案）；(4)求不等式0<- +x m b kx 的解集（请直接写出答案） 20. 如图32所示，在直角坐标系中，点A 是反比例函数1k y x =的图象上一点，AB x ⊥轴的 正半轴于B 点，C 是OB 的中点；一次函数2y ax b =+的图象经过A 、C 两点，并将y 轴于点()02D -，， 若4AOD S =△． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）观察图象，请指出在y 轴的右侧，当12y y >时，x 的取值范围． 21、如图所示，矩形ABCD 中，2AB =，3AD =，P 为BC 上与B 、C 不重合的任意一点，设PA x =，D 到AP 的距离为y ，求y 与x 的函数关系式，并指出函数类型． A P E D B C 22、如图，点P 的坐标为（2，23 ），过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点A ，交双曲线x k y =(x>0)于点N ；作MP ⊥AN 交双曲线x k y = (x>0)于点M ，连结AM.已知PN=4. （1）求k 的值.（2）求△APM 的面积 . 25.如图正方形OABC 的面积为4，点O 为坐标原点，点B 在函数k y x =(0,0)k x << 的图象上，点P(m ，n)是函数k y x = (0,0)k x <<的图象上异于B 的任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ． (1)设矩形OEPF 的面积为S l ，判断S l 与点P 的位置是否有关(不必说理由)． (2)从矩形OEPF 的面积中减去其与正方形OABC 重合的面积，剩余面积记为S 2，写出S 2与m 26.如图8，直线b kx y+ =与反比例函数x k y ' =（x＜0）的图象相交于点A、点B， 与x轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4. （1）试确定反比例函数的关系式； （2）求△AOC的面积. 27.（09北京）如图，A、B两点在函数()0 m y x x =>的图象上.（1）求m的值及直线AB的解析式； （2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。 初中反比例函数习题集合（经典） （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11 += x y ③21x y = ④.x y 21-=⑤2 x y =-⑥13y x = ； 其中是y 关于x 的反比例函数的有：_________________。 （2）函数2 2 )2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 （4）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） （5）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ） （6）反比例函数(0k y k x = ≠） 的图象经过（—2，5）和（2， n ）， 求（1）n 的值；（2）判断点B （24，2-）是否在这个函数图象上，并说明理由 （7）已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1； x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值． （8）若反比例函数2 2)12(--=m x m y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ） A 、 －1或1; B 、小于 1 2 的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 （9）已知0k >，函数y kx k =+和函数k y x =在同一坐标系内的图象大致是（ ） （10）正比例函数2x y = 和反比例函数2 y x =的图象有 个交点． （11）正比例函数5y x =-的图象与反比例函数(0)k y k x =≠的图象相交于点A （1，a ）， 则a ＝ ． （12）下列函数中，当0x <时，y 随x 的增大而增大的是（ ） A ．34y x =-+ B ．123y x =-- C ．4 y x =- D ．12y x =． x y O x y O x y O x y O A B C D 反比例函数 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x 应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上． 4．k的几何意义 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y 轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA 的延长线于C，则有三角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个 分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线与双曲线的关系： 当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称 （3）反比例函数与一次函数的联系． （四）实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法： （1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式． 2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题． 三、例题分析 考点1．反比例函数的概念 （1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）． A．y=3x B． C．3xy=1 D． （2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）． A．B． C．D． 考点2．图象和性质 （1）已知函数是反比例函数， ①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________． ②若y随x的增大而减小，那么k=___________． （2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上， 则直线不经过的象限是（）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 人教版初中数学反比例函数经典测试题含答案 一、选择题 1．已知反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限，()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上，下列命题：①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足，连接OA .若ACO ?的面积为 3，则6k =-；②若120x x <<，则12y y >；③若120x x +=，则120y y +=其中真命 题个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据反比例函数的性质，由题意可得k ＜0，y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤???? ，y 2=2k x ， 然后根据反比例函数k 的几何意义判断①，根据点位于的象限判断②，结合已知条件列式计算判断③，由此即可求得答案. 【详解】 ∵反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限， ∴k<0， ∵()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上， ∴y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤? ??? ，y 2=2k x ， ∴x 1y 1=k ，x 2y 2=k ， ①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足， ∴S △AOC =1 OC?AC 2=11x ?y k =322 =， ∴6k =-，故①正确； ②若120x x <<，则点A 在第二象限，点B 在第四象限，所以12y y >，故②正确； ③∵120x x +=， ∴()12121212 0k x x k k y y x x x x ++=+==，故③正确， 故选D. 【点睛】 本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 私塾国际学府学科教师辅导教案组长审核： （1）y=3x （2）y=4x+2（3）y= 3 1 x （4）y=-4x 当堂检测 1．小明去文具商店买日记本，已知每本日记本定价为2元． (1)小明所花的钱y(元)与所买日记本的本数x(本)之间的关系式为________． (2)在这个问题中，变量是________，常量是________． 2．函数2 3 -=x y 的自变量x 的取值范围是（） A ．2>x B ．2≠x C ．2≥x D ．2≠x 且0≠x 3．函数1 3 x y x -= -的自变量x 的取值范围是() A ．x ＞1 B ．x ＞1且x ≠3 C ．x ≥1 D ．x ≥1且x ≠3 4.《齐鲁晚报》每份0.8元，购买《齐鲁晚报》所需钱数y （元）与所买份数x 之间的关系是_________，其中_______是常量,_________是变量。 5.下列四个图象中，不表示某一函数图象的是（） A ． B ． C ． D ． 6．与函数y=x 是同一函数的是（） A 、y=|x| B 、x x y 2 =C 、33x y =D 、2x y = 7.设点A （a ，b ）是正比例函数3 2 y x =- 图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是（） A ．2a+3b=0B ．2a ﹣3b=0C ．3a ﹣2b=0D ．3a+2b=0 8．设圆的面积为S ，半径为R,那么下列说法正确的是（） A 、S 是R 的一次函数B 、S 是R 的正比例函数 C 、S 是R2的正比例函数D 、以上说法都不正确 9.一等腰三角形的周长是20cm ，将底边长y （cm ）表示成腰长x （cm ）的函数． 10.（1）写出函数解析式；（2）求出腰长x 的取值范围． 本知识点小结 初二数学练习 班级 姓名 一、填空 1、已知正比例函数图像上一点到x 轴距离与到y 轴距离之比为1︰2，则此函数解析式是 2、2 3 (2)m y m x -=-是正比例函数，则m= 3、已知正比例函数x a y )21(-=，如果y 的值随着x 的值增大而减小，则a 的取值范围是 4、如果正比例函数y=kx （k ≠0）的自变量增加5，函数值减少2，那么当x=3时， y= 5、若反比例函数2 32k x k y --=)(，则k = ，图象经过 象限 6、已知反比例函数x k y =的图像经过点)4,5(-A 、)5,(a B ，则a = 7、函数21 a y x += （x>0），当x 逐渐增大时，y 也随着增大，则a 的范围 。 8、已知A(x 1，y 1）和B （x 2，y 2）是直线y=-3x 上的两点，且x 1>x 2，则y 1____y 2?；(填“>”, “<”或“=”) 9、直线 x 21= y 与双曲线 x y 2 = 的交点是 10、已知函数x x x f 2 2)(-=，则=)2(f 11、若函数12,1 1 21-=-= x y x y ，则函数y =y 1+y 2中，自变量x 的 取值范围是 12、如图：A 、B 是函数x y 1 =图象上关于原点O 对称的任意两点， AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，则△ABC 的面积是 . 二、选择 13、下列语句不正确的是 （ ） (A) 1+x 是x 的函数 （B ）速度一定，路程是时间的函数 （C ）圆的周长一定，圆的面积是圆的半径的函数 （D ）直角三角形中，两个锐角分别是x 、y ，y 是x 的函数 人教版初中数学八年级下册一次函数与正比例函数讲义 一次函数与正比例函数讲义 1．一次函数的定义 若两个变量x ，y 之间的关系式可以表示成y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)的形式，则称y 是x 的一次函数(x 是自变量)． 谈重点 一次函数的条件 函数是一次函数必须符合下列两个条件：(1)关于两个变量x ，y 的次数是1；(2)必须是关于两个变量的整式． 【例1】 下列函数中，是一次函数的是( )． A ．y ＝7x 2 B ．y ＝x －9 C ．y ＝6x D ．y ＝1x ＋1 解析： A × x 的次数是2，不是1，所以它不是一次函数． B √ 符合一次函数的一般形式． C × 含有自变量x 的代数式不是整式，所以不是一次函数． D × 答案：B 2．正比例函数的定义 对于一次函数y ＝kx ＋b ，当b ＝0，即y ＝kx (k 为常数，且k ≠0)时，我们称y 是x 的正比例函数． 辨误区 一次函数与正比例函数的关系 需要注意的是正比例函数是一次函数的特殊情况，特殊之处在于b ＝0，且k ≠0，因此，正比例函数一定是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数． 【例2】 下列函数中，是正比例函数的是( )． A ．y ＝－2x B ．y ＝－2x ＋1 C ．y ＝－2x 2 D ．y ＝－2x A √ 符合正比例函数的一般形式． B × b ＝1≠0，所以它不是正比例函数． C × x 的次数是2，不是1，所以它不是正比例函数. D × 含有自变量x 的代数式不是整式，所以它不是正比例函数. 辨误区 正比例函数的判断 要判断一个函数是否是正比例函数，首先看它是否为一次函数，也就是能否转化为y ＝kx ＋b (k ≠0)的形式；其次要清楚正比例函数是特殊的一次函数，函数解析式能否转化为y ＝kx (k ≠0)的形式． 3．根据条件列一次函数关系式 列函数关系式是培养数学应用能力和抽象思维能力的一种方法，解决这类问题的基本思路为：首先要认真审题，抓住关键词，找出问题中的变量并用字母表示，然后根据题意列出函数关系式． 点技巧 如何列函数关系式 列关系式时，一定要先知道两个变量，并且弄清谁是自变量． 【例3】 甲、乙两地相距30 km ，某人从甲地以每小时4 km 的速度走了t h 到达丙地，并继续向乙地走． (1)试分别确定甲、丙两地距离s 1(km)及丙、乙两地距离s 2(km)与时间t (h)之间的函数关 反比例函数经典中考例题解析一 一、 填空题（每空3分，共36分） 1、任意写出一个图象经过二、四象限的反比例函数的解析式:__________ 2、若正比例函数y =mx (m ≠0)和反比例函数y =n x (n ≠0)的图象有一个交点为点(2,3)，则m =______，n =_________ . 3、已知正比例函数y=kx 与反比例函数y= 3 x 的图象都过A （m ，1）点，求此正比例函数解析式为________,另一个交点的坐标为________. 4、已知反比例函数2k y x -=，其图象在第一、三象限内，则k 的值可为 。 （写出满足条件的一个k 的值即可） 5、已知反比例函数x k y = 的图象经过点)2 1 4(，，若一次函数1+=x y 的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B （2，m ），求平移后的一次函数图象与x 轴的交点坐标为______________ 6、已知双曲线x k y = 经过点（－1，3），如果A (11,b a )，B (22,b a )两点在该双曲线上，且1a ＜2a ＜0，那么1b 2b ． 7、函数y=x 2的图象如图所示，在同一直角坐标系内，如果将直线y=－x+1沿y 轴向上平 移2个单位后，那么所得直线与函数y= x 2 的图象的交点共有 个 8、已知函数y kx =- (ｋ≠０)与ｙ＝4x -的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于ｙ轴，垂足为点C ，则△BOC 的面积为＿＿＿＿ （第9题） 9．如图,11POA V 、 212P A A V 是等腰直角三角形,点1P 、2P 在函数4 (0)y x x =>的图象上,斜边1OA 、12A A 都在x 轴上,则点2A 的坐标是____________. 10. 两个反比例函数x y 3= ，x y 6 =在第一象限内的图象如图 所示, 点P 1，P 2，P 3，…，P 2 005在反比例函数x y 6 = 图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…，x 2 005，纵坐标分别是1，3，5，…，共2 005个连续奇数，过点P 1， P 2，P 3，…，P 2 005分别作 y 轴的平行线，与x y 3 = 的图象交点依次是Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2 005（x 2 005，y 2 005），则 y 2 005= ． 二、选择题（每题3分，共30分） 11、反比例函数k y x = 与直线2y x =-相交于点A ，A 点的横坐标为－1，则此反比例函数的解析式为（ ） A ．2y x = B ．12y x = C ．2y x =- D ．12y x =- 12、如图所示的函数图象的关系式可能是（ ）. （A ）y = x （B ）y =x 1 （C ）y = x 2 (D) y = 1x 13、若点（3,4）是反比例函数2 21m m y x +-=图象上一点，则此函数图象必须经过点 （ ）. O x y （第12题） 第10 反比例函数练习题 一、精心选一选！ 1.下列 函数中，图象经过点(1,-1)的反比例函数解析式是( ) A.1y x = B.1y x -= C.2y x = D.2y x -= 2.反 比例函数2 k y x =-(k 为常数，0k ≠)的图象位于( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四角限 D.第三、四象限 3.已知反比例函数x k y 2 -= 的图象位于第一、第三象限，则k 的取值范围是( )． A.k ＞2 B. k ≥2 C.k ≤2 D. k ＜2 4.反 比例函数x k y = 的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON ＝2，则k 的值为( )． A.2 B. -2 C.4 D. -4 5．对于反比 例函数x y 2 =，下列说法不正确．．．的是( )． A.点(-2,-1)在它的图象上 B.它的图象在第一、三象限 C.当0x >时，y 随x 的增大而增大 D.当0x <时，y 随x 的增大而减小 6．反比 例函数2 2)12(--=m x m y ，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则m 的值时( )． A.±1 B.小于 2 1 的实数 C.－1 D.1 7．如 图，P 1、P 2、P 3是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得到三个三角形P 1A 1O 、P 2A 2O 、P 3A 3O ，设它们的面积分别是S 1、S 2、S 3，则( )． A .S 1＜S 2＜S 3 B .S 2＜S 1＜S 3 C .S 3＜S 1＜S 2 D .S 1=S 2=S 3 8．在同一直角坐标系中,函数x y 2 - =与x y 2=图象的交点个数为( D )． A.3 B.2 C.1 D ．0 9．已知 甲、乙两地相距s (km)，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t （h ）与行驶速度v (km/h)的函数关系图象大致是( )． 10．如图，直线mx y =与双曲线x k y =交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,若ABM S ?=2，则k 的值是( )． A ．2 B 、m-2 C 、m D 、4 二、细心填一填！ O A 1 A 2 A 3 P 1 P 2 P 3 x y 初中数学反比例函数经典测试题及答案 一、选择题 1．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数 b y x = 在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【详解】 ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下， ∴a ＜0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点， ∴c=0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧， ∴a ，b 同号， ∴b ＜0， ∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限， 反比例函数y=b x 图象分布在第二、四象限， 故选D ． 【点睛】 此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键． 2．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O 位于坐标原点，斜边AB 垂直于x 轴，顶点A 在函数y 1 =1 k x （x>0）的图象上，顶点B 在函数y 2= 2k x （x>0）的图象 上，∠ABO=30°，则 2 1 k k =（ ） A ．-3 B ．3 C ． 1 3 D ．- 13 【答案】A 【解析】 【分析】 根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，和勾股定理，设出适当的常数，表示出其它线段，从而得到点A 、B 的坐标，表示出k 1、k 2，进而得出k 2与k 1的比值． 【详解】 如图，设AB 交x 轴于点C ，又设AC=a. ∵AB ⊥x 轴 ∴∠ACO=90° 在Rt △AOC 中，OC=AC·tan ∠OAB=a·tan60°3 ∴点A 3a ，a ） 同理可得 点B 3，-3a ） ∴k 1332 ， k 23a×（-3a ）3a ∴ 213333k a k a ==-. 故选A. 【点睛】 一次函数讲义优质讲义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 ④．该记者在出发后5h 到达采访地 A 、①②④ B 、②③④ C 、①②③ D 、①②③④ 8. 平面直角坐标系中，已知A （8，0），△AOP 为等腰三角形且面积为16，满足条件的P 点有( ) A ．4个 B ．8个 C ．10个 D ．12个 二．填空题（每小题2分，共20分） 9. 计算：3 －64 ＝ ▲ ． 10. 若等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个三角形的周长为 . 11. 若032=++-y x ，则() 2013 y x +的值为 ． 12. 在平面直角坐标系中，若点M （-1，3）与点N （x ，3）之间的距离是5，则x 的值是 ． 13. 如图，已知函数y ＝2x ＋1和y ＝－x －2的图像交于点P ，根据图像， 可得方程组???2x －y ＋1＝0 x ＋y ＋2＝0 的解为 . 14. 将一次函数y ＝2x -1的图像向上平移3个单位长度后，其对应的函数关系式为 ． 15. 如图，在△ABC 中，AB ＝，BC ＝，∠B ＝60°，将△ ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为 . 16. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，沿CD 折叠△CBD ， 使点B 恰好落在AC 边上的点E 处.若 ∠A ＝26°，则∠ADE ＝ °. 17. 如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形 -1-1 y= -x-2 y=2x+1 x y P （第13题图） D E C A B （第16题图） x y 1 234–1–2 –3–4 1 2 3 4–1–2–3–4C D B A o （第18题图） （第15题图） D E A C B 反比例函数知识点归纳总结与典型例题 （一）反比例函数的概念： 知识要点： 1、一般地，形如 y = x k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； （2）解析式有三种常见的表达形式： （A ）y = x k （k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1 （k ≠0） 例题讲解：有关反比例函数的解析式 （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+= x y ③21x y = ④.x y 21 -=⑤2 x y =-⑥13y x = ；其中是y 关 于x 的反比例函数的有：_________________。 （2）函数2 2)2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）若函数1 1-= m x y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________． （4）反比例函数(0k y k x = ≠） 的图象经过（—2，52， n ）， 求1）n 的值； 2）判断点B （24，2- (二)反比例函数的图象和性质： 知识要点： 1、形状：图象是双曲线。 2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。 3、增减性：（1）当k>0时,_________________,y 随x 的增大而________； （2）当k<0时,_________________,y 随x 的增大而______。 4、变化趋势：双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交 5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点____________；（2）对于k 取互为相反数的两个反比例函数（如：y = x 6 和y = x 6 -）来说，它们是关于x 轴，y 轴___________。 例题讲解： 反比例函数的图象和性质： （1）写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限 ． （2）若反比例函数 2 2 )12(--=m x m y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ） A 、 －1或1; B 、小于 1 2 的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 （3）下列函数中，当0x <时，y 随x 的增大而增大的是（ ） A ．34y x =-+ B ．123y x =-- C ．4 y x =- D ．12y x =． 反比例函数 知识点及考点： （一）反比例函数的概念： 知识要点： 1、一般地，形如 y = x k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； （2）解析式有三种常见的表达形式： （A ）y = x k （k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1 （k ≠0） 例题讲解：有关反比例函数的解析式 （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+= x y ③21x y = ④.x y 21 -=⑤2 x y =-⑥13y x = ；其中是y 关于 x 的反比例函数的有：_________________。 （2）函数2 2 )2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）若函数1 1-= m x y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________． （4）如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 练习：（1）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） （2）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ） （5）反比例函数(0k y k x = ≠） 的图象经过（—2，5， n ）， 求1）n 的值； 2）判断点B （24，）是否在这个函数图象上，并说明理由 （6）已知y 与2x －3成反比例，且4 1 =x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式． 反比例函数经典中考例题解析二 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、反比例函数y ＝ x n 5 图象经过点（2，3），则n 的值是（ ）． A 、－2 B 、－1 C 、0 D 、1 2、若反比例函数y ＝ x k （k ≠0）的图象经过点（－1，2），则这个函数的图象一定经过点（ ）． A 、（2，－1） B 、（－ 2 1 ，2） C 、（－2，－1） D 、（ 2 1 ，2） 3、(08双柏县)已知甲、乙两地相距s （km ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t （h ）与行驶速度v （km/h ）的函数关系图象大致是（ ） 4、若y 与x 成正比例，x 与z 成反比例，则y 与z 之间的关系是（ ）． A 、成正比例 B 、成反比例 C 、不成正比例也不成反比例 D 、无法确定 5、一次函数y ＝kx －k ，y 随x 的增大而减小，那么反比例函数y ＝ x k 满足（ ）． A 、当x ＞0时，y ＞0 B 、在每个象限内，y 随x 的增大而减小 C 、图象分布在第一、三象限 D 、图象分布在第二、四象限 6、如图，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作x 轴的垂 线PQ 交双曲线y ＝ x 1 于点Q ，连结OQ ，点P 沿x 轴正方向运动时， Rt △QOP 的面积（ ）． A 、逐渐增大 B 、逐渐减小 C 、保持不变 D 、无法确定 Q p x y o t /h v /(km/ O t /h v /(km/ O t /h v /(km/ O t /h v /(km/ O A ． B ． C ． D ． 7、在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量 m 的某种气体，当改变容积V 时，气体的密度ρ也随之改变． ρ与V 在一定范围内满足ρ＝ V m ，它的图象如图所示，则该 气体的质量m 为（ ）． A 、1.4kg B 、5kg C 、6.4kg D 、7kg 8、若A （－3，y 1），B （－2，y 2），C （－1，y 3）三点都在函数y ＝－x 1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大 小关系是（ ）． A 、y 1＞y 2＞y 3 B 、y 1＜y 2＜y 3 C 、y 1＝y 2＝y 3 D 、y 1＜y 3＜y 2 9、已知反比例函数y ＝ x m 21-的图象上有A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，则m 的取值范围是（ ）． A 、m ＜0 B 、m ＞0 C 、m ＜2 1 D 、m ＞ 2 1 10、如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A 、B 两 点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围 是（ ）． A 、x ＜－1 B 、x ＞2 C 、－1＜x ＜0或x ＞2 D 、x ＜－1或0＜x ＜2 二、填空题（每小题3分，共30分） 11.某种灯的使用寿命为1000小时，它的可使用天数y 与平均每天使用的小时数x 之间的函数关系式 为 . 12、已知反比例函数 x k y = 的图象分布在第二、四象限，则在一次函数b kx y +=中，y 随x 的增大而 （填“增大”或“减小”或“不变”）． 13、若反比例函数y ＝x b 3 -和一次函数y ＝3x ＋b 的图象有两个交点，且有一个交点的纵坐标为6，则b ＝ ． 14、反比例函数y ＝（m ＋2）x m 2 － 10的图象分布在第二、四象限内，则m 的值为 ． 一、选择题 1．已知反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限，()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上，下列命题：①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足，连接OA .若ACO ?的面积为 3，则6k =-；②若120x x <<，则12y y >；③若120x x +=，则120y y +=其中真命 题个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据反比例函数的性质，由题意可得k ＜0，y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤? ??? ，y 2=2k x ， 然后根据反比例函数k 的几何意义判断①，根据点位于的象限判断②，结合已知条件列式计算判断③，由此即可求得答案. 【详解】 ∵反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限， ∴k<0， ∵()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上， ∴y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤? ??? ，y 2=2k x ， ∴x 1y 1=k ，x 2y 2=k ， ①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足， ∴S △AOC =1 OC?AC 2=11x ?y k =322 =， ∴6k =-，故①正确； ②若120x x <<，则点A 在第二象限，点B 在第四象限，所以12y y >，故②正确； ③∵120x x +=， ∴()12121212 0k x x k k y y x x x x ++=+==，故③正确， 故选D. 【点睛】 本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 2．下列函数中，当x ＞0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（ ） 反比例函数知识点归纳和典型例题 知识点归纳 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限； 在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限； 在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）在双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称 点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三 角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线 与双曲线的关系： 当 时，两图象没有交点； 当 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称． 第十七章 反比例函数 一、基础知识 1. 定义：一般地，形如x k y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。x k y = 还可以写成kx y =1- 2. 反比例函数解析式的特征： ⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1. ⑵比例系数0≠k ⑶自变量x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数y 的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法 ① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，x k y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函 数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。 ⑷反比例函数x k y = （0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。 4 5. 点的坐标即可求出k ） 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数, 但是反比例函数x k y =中的两个变量必成反比例关系。 7. 反比例函数的应用二、例题 【例1】如果函数2 22 -+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值 是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数x k y = ，（0≠k ） 即kx y =1-（0≠k ）又在第二，四象限内，则0 反比例函数经典测试题含解析 一、选择题 1．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数 b y x = 在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【详解】 ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下， ∴a ＜0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点， ∴c=0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧， ∴a ，b 同号， ∴b ＜0， ∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限， 反比例函数y=b x 图象分布在第二、四象限， 故选D ． 【点睛】 此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键． 2．在同一直角坐标系中，函数y=k(x －1)与y= (0)k k x <的大致图象是 A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：k<0时，y= (0)k k x <的图象位于二、四象限， y=k(x －1)的图象经过第一、二、四象限， 观察可知B 选项符合题意， 故选B. 3．已知点()11,A y -、()22,B y -都在双曲线32m y x +=上，且12y y >，则m 的取值范围是（ ） A ．0m < B ．0m > C ．32 m >- D ．32 m <- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据已知得3+2m ＜0，从而得出m 的取值范围． 【详解】 ∵点()11,A y -、()22,B y -两点在双曲线32m y x +=上，且y 1＞y 2， ∴3+2m ＜0， ∴32 m <- ， 故选：D ． 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，当k ＞0时，该函数图象位于第一、三象限，当k ＜0时，函数图象位于第二、四象限． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为(﹣1，1)，点B 在x 轴正半轴上，点D 在第三象限的双曲线y ＝8 x 上，过点C 作CE ∥x 轴交双曲线于点E ，则CE 的长为( ) 正比例函数（提高） 【学习目标】 1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数y kx =的图象； 2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题． 【要点梳理】 要点一、正比例函数的定义 1、正比例函数的定义 一般的，形如y kx = （k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数. 2、正比例函数的等价形式 （1）、y 是x 的正比例函数； （2）、y kx =（k 为常数且k ≠0）； （3）、若y 与x 成正比例； （4）、 k x y =（k 为常数且k ≠0）. 要点二、正比例函数的图象与性质 正比例函数y kx =（k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y kx =.当k ＞0时，直线y kx =经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k ＜0时，直线y kx =经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小. 要点三、待定系数法求正比例函数的解析式 由于正比例函数y kx =（k 为常数，k ≠0 ）中只有一个待定系数k ，故只要有一对x ， y 的值或一个非原点的点，就可以求得k 值. 【典型例题】 类型一、正比例函数的定义 1、若函数22432m n y x m n -+=-+-是y 关于x 的正比例函数，求m 、n 的值. 【思路点拨】正比例函数的一般式为(0)y kx k =≠，要特别注意定义满足0k ≠，x 的指数 为1． 【答案与解析】 解：由题意，得221320m n m n -+=??-=? 解得 1 1.5 m n =??=? ∴当1, 1.5m n ==时，y 是x 的正比例函数. 【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征：（1）k 不等于零；（2） x 的指数是1. 举一反三： 【变式】（春?凉州区校级月考）x 、y 是变量，且函数y=（k+1）x |k|是正比例函数，求K 的值． 【答案】解：根据正比例函数的定义可得：k+1≠0，|k|=1，解得；k=1． 2、设有三个变量x 、y 、z ，其中y 是x 的正比例函数，z 是y 的正比例函数 （1）求证：z 是x 的正比例函数； （2）如果z ＝1，x ＝4时，求出z 关于x 的函数关系式. 【答案与解析】 解：（1）由题意，设11(0)y k x k =≠，22(0)z k y k =≠，12,k k 为常数 12z k k x =∴ 120,0k k ≠≠ ∴120k k ≠且为常数 ∴z 是x 的正比例函数；12z k k x =∴12(0)k k ≠ （2）当z ＝1，x ＝4时，代入12z k k x = ∴121 4 k k = ∴z 关于x 的函数关系式是14 z x = . 【总结升华】在本题中，按照题意，比例系数要设为不同的12,k k ，不要都设为k ，产生混淆. 举一反三： 【变式】已知z m y =+，m 是常数，y 是x 的正比例函数，当x ＝2时，z ＝1；当x ＝3时，z ＝－1，求z 与x 的函数关系． 【答案】 解：由题意，y kx =，z m kx =+ , ∵x ＝2时，z ＝1；当x ＝3时，z ＝－1， ∴1＝m ＋2k ，－1＝m ＋3k 解得k ＝－2，m ＝5初中反比例函数经典例题
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