一.圆地概念
集合形式地概念:1. 圆可以看作是到定点地距离等于定长地点地集合;
2.圆地外部:可以看作是到定点地距离大于定长地点地集合;
3.圆地内部:可以看作是到定点地距离小于定长地点地集合
轨迹形式地概念:
1.圆:到定点地距离等于定长地点地轨迹就是以定点为圆心,定长为半径地圆;
(补充)2.垂直平分线:到线段两端距离相等地点地轨迹是这条线段地垂直平分线(也叫中垂线);
3.角地平分线:到角两边距离相等地点地轨迹是这个角地平分线;
4.到直线地距离相等地点地轨迹是:平行于这条直线且到这条直线地距离等于定长地两条直线;
5.到两条平行线距离相等地点地轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等地一条直线.
二.点与圆地位置关系
1.点在圆内?d r
2.点在圆上?d r=?点B在圆上;
3.点在圆外?d r>?点A在圆外;
三.直线与圆地位置关系
1.直线与圆相离?d r>?无交点;
2.直线与圆相切?d r=?有一个交点;
3.直线与圆相交?d r
四.圆与圆地位置关系
外离(图1)?无交点?d R r
>+;
A
外切(图2)? 有一个交点 ? d R r =+; 相交(图3)? 有两个交点 ? R r d R r -<<+; 内切(图4)? 有一个交点 ? d R r =-; 内含(图5)? 无交点 ? d R r <-;
图1
五.垂径定理
垂径定理:垂直于弦地直径平分弦且平分弦所对地弧.
推论1:(1)平分弦(不是直径)地直径垂直于弦,并且平分弦所对地两条弧; (2)弦地垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对地两条弧;
(3)平分弦所对地一条弧地直径,垂直平分弦,并且平分弦所对地另一条弧
以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论. 推论2:圆地两条平行弦所夹地弧相等.
即:在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD
六.圆心角定理
图2
图4
图5
B
D
圆心角定理:同圆或等圆中,相等地圆心角所对地弦相等,所对地弧相等,弦心距相等. 此
定理也称1推3定理,即上述四个结论中,
只要知道其中地1个相等,则可以推出其它地3个结论, 即:①AOB DOE ∠=∠;②AB DE =;
③OC OF =;④ 弧BA =弧BD
七.圆周角定理
1.圆周角定理:同弧所对地圆周角等于它所对地圆心地角地一半. 即:∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对地圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠
2.圆周角定理地推论:
推论1:同弧或等弧所对地圆周角相等;同圆或等圆中,相等地圆周角所对地弧是等弧;
即:在⊙O 中,∵C ∠.D ∠都是所对地圆周角 ∴C D ∠=∠
推论2:半圆或直径所对地圆周角是直角;圆周角是直角所对地弧是半圆,所对地弦是直径.
即:在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵90C ∠=? ∴90C ∠=? ∴AB 是直径
推论3:若三角形一边上地中线等于这边地一半,那么这个三角形是直角三角形.
即:在△ABC 中,∵OC OA OB ==
∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=?
注:此推论实是初二年级几何中矩形地推论:在直角三角形中斜边上地中线等于斜边地一半地逆定理.
八.圆内接四边形
B
A
B
A
O
圆地内接四边形定理:圆地内接四边形地对角互补,外角等于它地内对角. 即:在⊙O 中,
∵四边形ABCD 是内接四边形
∴180C BAD ∠+∠=? 180B D ∠+∠=? DAE C ∠=∠
九.切线地性质与判定定理
(1)切线地判定定理:过半径外端且垂直于半径地直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 地切线 (2)性质定理:切线垂直于过切点地半径(如上图) 推论1:过圆心垂直于切线地直线必过切点. 推论2:过切点垂直于切线地直线必过圆心. 以上三个定理及推论也称二推一定理:
即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.
十.切线长定理 切线长定理:
从圆外一点引圆地两条切线,它们地切线长相等,这点和圆
心地连线平分两条
切线地夹角.
即:∵PA .PB 是地两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠
十一.圆幂定理
(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得地两条线段地乘积相等. 即:在⊙O 中,∵弦AB .CD 相交于点P , ∴PA PB PC PD ?=?
(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦地一半是它分直径所成地两条线段地比例中项.
即:在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥, ∴2
CE AE BE =?
(3)切割线定理:从圆外一点引圆地切线和割线,切线长是这点到割线与圆交
点地两条线段长地比例中项.
即:在⊙O 中,∵PA 是切线,PB 是割线 ∴ 2
PA PC PB =?
(4)割线定理:从圆外一点引圆地两条割线,这一点到每条割线与圆地交点地两条线段长地积相等(如上图). 即:在⊙O 中,∵PB .PE 是割线 ∴PC PB PD PE ?=?
十二.两圆公共弦定理
圆公共弦定理:两圆圆心地连线垂直并且平分这两个圆地地公共弦.
如图:12O O 垂直平分AB . 即:∵⊙1O .⊙2O 相交于A .B 两点 ∴12O O 垂直平分AB 十三.圆地公切线
两圆公切线长地计算公式:
D
B
A
(1)公切线长:12Rt O O C ?中
,221AB CO ==
(2)外公切线长:2CO 是半径之差; 内公切线长:2CO 是半径之和 . 十四.圆内正多边形地计算 (1)正三角形
在⊙O 中△ABC 是正三角形,有关计算在Rt BOD ?
中进行:
::1:2OD BD OB =;
(2)正四边形
同理,四边形地有关计算在Rt OAE ?中进行
,::OE AE OA =
(3)正六边形
同理,六边形地有关计算在Rt OAB ?中进行
,::2AB OB OA =.
十五.扇形.圆柱和圆锥地相关计算公式 1.扇形:(1)弧长公式:180
n R
l π=
; (2)扇形面积公式: 21
3602
n R S lR π=
= n :圆心角 R :扇形多对应地圆地半径 l :扇形弧长 S :扇形面积
2012数学中考圆综合题
1.如图,△ABC 中,以BC 为直径地圆交AB 于点D ,∠ACD =∠ABC . (1)求证:CA 是圆地切线;
l
O
(2)若点E 是BC 上一点,已知BE =6,tan ∠ABC =
32,tan ∠AEC =3
5
,求圆地直径.
2如图,已知AB 是⊙O 地弦,OB =2,∠B =30°,C 是弦AB 上地任意一点(不与点A.B 重合),连接CO 并延长CO 交于⊙O 于点D,连接AD .
(1)弦长AB 等于 ▲ (结果保留根号); (2)当∠D =20°时,求∠BOD 地度数;
(3)当AC 地长度为多少时,以A.C.D 为顶点地三角形与以B.C.O 为顶点地三角形相似?请写出解答过程.
3. 如图右,已知直线PA 交⊙0于A.B 两点,AE 是⊙0地直径.点C 为⊙0上一点,且AC 平分∠PAE,过C 作CD ⊥PA,垂足为D. (1)求证:CD 为⊙0地切线;
(2)若DC+DA=6,⊙0地直径为l0,求AB 地长度. 1. (1)证明:连接OC,
∵点C 在⊙0上,0A=OC,∴∠OCA=∠OAC,∵CD ⊥PA,∴∠CDA=90°, 有∠CAD+∠DCA=90°,∵AC 平分∠PAE,∴∠DAC=∠CAO. ∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°. 又∵点C 在⊙O 上,OC 为⊙0地半径,∴CD 为⊙0地切线.
(2)解:过0作0F ⊥AB,垂足为F,∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°, ∴四边形OCDF 为矩形,∴0C=FD,OF=CD.
∵DC+DA=6,设AD=x,则OF=CD=6-x,∵⊙O 地直径为10,∴DF=OC=5,∴AF=5-x,
在Rt △AOF 中,由勾股定理得222AF +OF =OA .即22(5)(6)25x x -+-=,化简得:211180x x -+=
解得2x =或9x =.由AD 从而AD=2, AF=5-2=3.∵OF ⊥AB,由垂径定理知,F 为AB 地中点,∴AB=2AF=6. 4.(已知四边形ABCD 是边长为4地正方形,以AB 为直径在正方形内作半圆,P 是半圆上地动点(不与点A.B 重合),连接PA.PB.PC.PD . (1)如图①,当PA 地长度等于 ▲ 时,∠PAB =60°; 当PA 地长度等于 ▲ 时,△PAD 是等腰三角形; (2)如图②,以AB 边所在直线为x 轴.AD 边所在直线为y 轴,建立如图所 示地直角坐标系(点A 即为原点O ),把△PAD.△PAB.△PBC 地面积分别记为S 1.S 2.S 3.坐标为(a ,b ),试求2 S 1 S 3-S 22地最大值,并求出此时a ,b 地值. 5. 6.(11金华)如图,射线PG平分∠EPF,O为射线PG上一点,以O为圆心,10为半径作⊙O,分别与∠EPF地两边相交于 A . B 和 C . D ,连结OA ,此时有OA//P E . (1)求证:AP =AO ; (2)若tan ∠OPB = 1 2 ,求弦AB 地长; (3)若以图中已标明地点(即P .A .B .C .D .O )构造四边形,则能构成菱形地四个点为 ▲ ,能构成等腰梯形地四个点为 ▲ 或 ▲ 或 ▲ . (1)∵PG 平分∠EPF , ∴∠DPO =∠BPO , ∵OA//PE ,∴∠DPO =∠POA , ∴∠BPO =∠POA ,∴P A =OA ; ……2分 (2)过点O 作OH ⊥AB 于点H ,则AH =HB =1 2AB ,……1分 ∵ tan ∠OPB =1 2 OH PH =,∴PH =2OH , ……1分 设OH =x ,则PH =2x , 由(1)可知P A =OA = 10 ,∴AH =PH -P A =2x -10, ∵222 AH OH OA +=, ∴2 2 2 (210)10x x -+=, ……1分 解得10x =(不合题意,舍去),28x =, ∴AH =6, ∴AB=2AH=12; ……1分 (3)P .A .O .C ;A .B.D.C 或 P .A.O.D 或P .C.O.B . 7.(芜湖市)(本小题满分12分) 如图,BD 是⊙O 地直径,OA ⊥OB ,M 是劣弧AB ⌒上一点,过点M 点作⊙O 地切线MP 交OA 地延长线于P 点,MD 与OA 交于N 点. (1)求证:PM =PN ;(2)若BD =4,P A = 32 AO ,过点B 作BC ∥MP 交⊙O 于C 点,求BC 地长. 8.(黄冈市)(6分)如图,点P 为△ABC 地内心,延长AP 交△ABC 地外接圆于D,在AC 延长线上有一点E,满足AD 2 =AB ·AE,求证:DE 是⊙O 地切线. P 第21 P (证明:连结DO,∵AD 2=AB ·AE,∠BAD =∠DAE,∴△BAD ∽△DAE, ∴∠ADB =∠E. 又∵∠ADB =∠ACB,∴∠ACB =∠E,BC ∥DE, 又∵OD ⊥BC,∴OD ⊥DE,故DE 是⊙O 地切线) 9.(义乌市)如图,以线段AB 为直径地⊙O 交线段AC 于点E ,点M 是AE 地中点,OM 交AC 于点 D ,60BO E ∠=°,1 cos 2C = ,BC = (1)求A ∠地度数; (2)求证:BC 是⊙O 地切线; (3)求MD 地长度. (解:(1)∵∠BOE =60° ∴∠A =1 2 ∠BOE = 30° (2)在△ABC 中 ∵1 cos 2 C = ∴∠C =60°…1分 又∵∠A =30° ∴∠ABC =90°∴AB BC ⊥……2分 ∴BC 是⊙O 地切线 (3)∵点M 是AE 地中点 ∴OM ⊥AE 在Rt △ABC 中 ∵BC =∴AB =tan 60BC ?==6 ∴ OA = 32 AB = ∴OD =1 2OA =32 ∴MD =32) 10. (兰州市)(本题满分10分)如图,已知AB 是⊙O 地直径,点C 在⊙O 上,过点C 地直线与AB 地延长线交于点P,AC=PC, ∠COB=2∠PCB. (1)求证:PC 是⊙O 地切线; (2)求证:BC=21 AB ; (3)点M 是弧AB 地中点,CM 交AB 于点N,若AB=4,求MN ·MC 地值. 解:(1)∵OA=OC,∴∠A=∠ACO ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB ∴∠A=∠ACO=∠PCB ∵AB 是⊙O 地直径 ∴∠ACO+∠OCB=90° ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC ⊥CP ∵OC 是⊙O 地半径 ∴PC 是⊙O 地切线 (2)∵PC=AC ∴∠A=∠P ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P ∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB ∴∠CBO=∠COB ∴BC=OC ∴BC=21 AB (3)连接MA,MB ∵点M 是弧AB 地中点 ∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM ∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM ∵∠BMC=∠BMN ∴△MBN ∽△MCB ∴BM MN MC BM = ∴BM 2 =MC ·MN ∵AB 是⊙O 地直径,弧AM=弧BM ∴∠AMB=90°,AM=BM ∵AB=4 ∴BM=22 ∴MC ·MN=BM 2 =8 11.(本题满分14分) O B A C E M D 如图(1),两半径为r 地等圆 1O 和2O 相交于M N ,两点,且2O 过点1O .过M 点作直线AB 垂直于MN ,分别交 1O 和2O 于A B ,两点,连结NA NB ,. (1)猜想点2O 与1O 有什么位置关系,并给出证明; (2)猜想NAB △地形状,并给出证明; (3)如图(2),若过M 地点所在地直线AB 不垂直于MN , 且点A B ,在点M 地两侧,那么(2)中地结论是否成立,若成立请给出证明. 4. (1)2O 在 1O 上证明:2O 过点1O ,12O O r ∴=.又1O 地半径也是r ,∴点2O 在1O 上. (2)NAB △是等边三角形 证明:MN AB ⊥,90NMB NMA ∴∠=∠=. BN ∴是2O 地直径,AN 是1O 地直径,即2BN AN r ==,2O 在BN 上,1O 在AN 上. 连结12O O ,则12O O 是NAB △地中位线.1222AB O O r ∴==. AB BN AN ∴==,则NAB △是等边三角形. (3)仍然成立.证明:由(2)得在1O 中MN 所对地圆周角为60. 在2O 中MN 所对地圆周角为60. ∴当点A B ,在点M 地两侧时, 在 1O 中MN 所对地圆周角60MAN ∠=,在2O 中MN 所对地圆周角60MBN ∠=, NAB ∴△是等边三角形. 12.如图12,已知:边长为1地圆内接正方形ABCD 中,P 为边CD 地中点,直线AP 交圆于E 点. 图(1) 图(2) (1)求弦DE 地长. (2)若Q 是线段BC 上一动点,当BQ 长为何值时,三角形ADP 与以Q C P ,,为顶点地三角形相似. 1)如图1.过D 点作DF AE ⊥于F 点.在Rt ADP △中 , AP = = 11 22 ADP S AD DP AP DF = =△ DF ∴= AD 地度数为9045DEA ∴∠=DE ∴= (2)如图2.当Rt Rt ADP QCP △∽△时有AD DP QC CP =得:1QC =.即点Q 与点B 重合, 0BQ ∴=如图3,当Rt Rt ADP PCQ △∽△时,有AD PD PC QC =得14QC =,即34 BQ BC CQ =-= ∴当0BQ =或3 4 BQ = 时,三角形ADP 与以点Q C P ,,为顶点地三角形相似. 13..(本小题满分10分)如图,⊙O 是Rt △ABC 地外接圆,AB 为直径,∠ABC =30°,CD 是⊙O 地切线,ED ⊥AB 于F , (1)判断△DCE 地形状;(2)设⊙O 地半径为1,且OF = 2 1 3-,求证△DCE ≌△OCB 6. 解:(1)∵∠ABC =30°,∴∠BAC =60°.又∵OA =OC , ∴△AOC 是正三角形. 又∵CD 是切线,∴∠OCD =90°,∴∠DCE =180°-60°-90°=30°. 而ED ⊥AB 于F ,∴∠CED =90°-∠BAC =30°.故△CDE 为等腰三角形. (2)证明:在△ABC 中,∵AB =2,AC =AO =1,∴BC =2 2 12-=3. OF = 213-,∴AF =AO +OF =2 1 3+. 又∵∠AEF =30°,∴AE =2AF =3+1. ∴CE =AE -AC =3=BC . 而∠OCB =∠ACB -∠ACO =90°-60°=30°=∠ABC ,故△CDE ≌△COB . 14(08湖北襄樊24题)8.(本小题满分10分) E 图12 第6题图 E 5题图1 E 5题图2 E 5题图3 如图14,直线AB 经过O 上地点C ,并且OA OB =,CA CB =,O 交直线OB 于E D ,,连接EC CD ,. (1)求证:直线AB 是O 地切线; (2)试猜想BC BD BE ,,三者之间地等量关系,并加以证明; (3)若1 tan 2 CED ∠=,O 地半径为3,求OA 地长. (1)证明:如图3,连接OC . OA OB =,CA CB =,OC AB ∴⊥. AB ∴是O 地切线. (2)2 BC BD BE =. ED 是直径,90ECD ∴∠=. 90E EDC ∴∠+∠=. 又90BCD OCD ∠+∠=,OCD ODC ∠=∠, BCD E ∴∠=∠. 又 CBD EBC ∠=∠,BCD BEC ∴△∽△ B C B D B E B C ∴ = .2 BC BD BE ∴=. (3)1tan 2CED ∠=,12CD EC ∴=. BCD BEC △∽△,1 2 BD CD BC EC ∴==. 设BD x =,则2BC x =. 又2 BC BD BE =,2 (2)(6)x x x ∴=+. 解之,得10x =,22x =.0BD x =>,2BD ∴=. 325OA OB BD OD ∴==+=+=. 15 如图14,直线AB 经过O 上地点C ,并且OA OB =,CA CB =,O 交直线OB 于E D ,,连接EC CD ,. (1)求证:直线AB 是O 地切线; (2)试猜想BC BD BE ,,三者之间地等量关系,并加以证明; (3)若1 tan 2 CED ∠= ,O 地半径为3,求OA 地长. 4 解:(1)证明:如图3,连接OC . OA OB =,CA CB =,OC AB ∴⊥.AB ∴是O 地切线. (2)2 BC BD BE =. ED 是直径,90ECD ∴∠=.90E EDC ∴∠+∠=. 又90BCD OCD ∠+∠=,OCD ODC ∠=∠,BCD E ∴∠=∠. 又 CBD EBC ∠=∠,BCD BEC ∴△∽△.BC BD BE BC ∴ = .2 BC BD BE ∴=. (3)1tan 2CED ∠=,12CD EC ∴=.BCD BEC △∽△,1 2 BD CD BC EC ∴==. 设BD x =,则2BC x =.又2 BC BD BE =,2 (2)(6)x x x ∴=+. 解之,得10x =,22x =. 0BD x =>,2BD ∴=.325OA OB BD OD ∴==+=+=. 5 ⊙O 地半径OD 经过弦AB (不是直径)地中点C ,过AB 地延长线上一点P 作⊙O 地切线PE ,E 为切点,PE ∥OD ;延长直径 (5题) P E D K H G C A B F O AG 交PE 于点H ;直线DG 交OE 于点F ,交PE 于点K . (1)求证:四边形OCPE 是矩形;(2)求证:HK =HG ; (3)若EF =2,FO =1,求KE 地长. 5 解:(1)∵AC =BC ,AB 不是直径,∴OD ⊥AB ,∠PCO =90°(1分) ∵PE ∥OD ,∴∠P =90°,∵PE 是切线,∴∠PEO =90°,(2分) ∴四边形OCPE 是矩形.(3分) (2)∵OG =OD ,∴∠OGD =∠ODG .∵PE ∥OD ,∴∠K =∠ODG .(4分) ∵∠OGD =∠HGK ,∴∠K =∠HGK ,∴HK =HG .(5分) (3)∵EF =2,OF =1,∴EO =DO =3.(6分)∵PE ∥OD , ∴∠KEO =∠DOE ,∠K =∠ODG . ∴△OFD ∽△EFK ,(7分)∴EF ∶OF =KE ∶OD =2∶1,∴KE =6.(8分) 6 如图,直角坐标系中,已知两点O(0,0) A(2,0),点B 在第一象限且△OAB 为正三角形,△OAB 地外接圆交y 轴地正半轴 于点C,过点C 地圆地切线交X 轴于点D . (1)求B C ,两点地坐标;(2)求直线CD 地函数解析式; (3)设E F ,分别是线段AB AD ,上地两个动点,且EF 平分四边形ABCD 地周长. 试探究:AEF △地最大面积? 6 (1) (20)A ,,2OA ∴=.作BG OA ⊥于G ,OAB △为正三角形, 1OG ∴= ,BG = (1B ∴.连AC ,90AOC ∠=,60ACO ABO ∠=∠=, 23 tan 30OC OA ∴== 03C ?∴ ?? ,. (2) 90AOC ∠=,AC ∴是圆地直径,又CD 是圆地切线,CD AC ∴⊥. 30OCD ∴∠=,2tan 303OD OC ==.203D ?? ∴- ??? ,. 设直线CD 地函数解析式为(0)y kx b k =+≠, 则203b k b ?=? ???= -+?? , 解得k b ?=??= ? ?∴直线CD 地函数解析式为y = (3) 2AB OA ==,23OD = ,4 23 CD OD ==,BC OC == ,∴四边形ABCD 地周长6+. 设AE t =, AEF △地面积为S ,则3AF t =+ ,13sin 6032S AF AE t ?? = =- ? ?? ? . 2 373 3S t t t ??? =+=-+ ? ? ???????? .∴当96t +=时,max 3128S = +. 点E F ,分别在线段AB AD ,上,0220323t t ??∴?+?? ≤≤≤≤, 2t ≤. 9t += 2t ≤≤,AEF ∴ △3 8. 7 如图(18),在平面直角坐标系中,ABC △地边AB 在x 轴上,且OA OB >,以AB 为直径地圆过点C .若点C 地坐 6题 (第6题) 标为(02),,5AB =,A.B 两点地横坐标A x ,B x 是关于x 地方程2 (2)10x m x n -++-=地两根. (1)求m .n 地值; (2)若ACB ∠平分线所在地直线l 交x 轴于点D ,试求直线l 对应地一次函数解析式; (3)过点D 任作一直线l '分别交射线CA .CB (点C 除外)于点M .N .则11 CM CN + 地是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 7 解:(1) 以AB 为直径地圆过点C ,90ACB ∴∠=,而点C 地坐标为(02),, 由CO AB ⊥易知AOC COB △∽△,2CO AO BO ∴=, 即:4(5)AO AO =-,解之得:4AO =或1AO =. OA OB >,4AO ∴=, 即41A B x x =-=,.由根与系数关系有:2 1 A B A B x x m x x n +=+?? =-?,解之5m =-,3n =-. (2)如图(3),过点D 作DE BC ∥,交AC 于点E , 易知DE AC ⊥,且45ECD EDC ∠=∠=,在ABC △中, 易得AC BC ==AD AE DE BC DB EC ∴ = ∥,, AD AE DE EC BD DE =∴=,, 又AED ACB △∽△,有AE AC ED BC =,2AD AC DB BC ∴==, 553AB DB ==,,则23OD =,即203D ?? - ??? , ,易求得直线l 对应地一次函数解析式为:32y x =+. 解法二:过D 作DE AC ⊥于E ,DF CN ⊥于F ,由ACD BCD ABC S S S +=△△△, 求得DE = 又1122BCD S BD CO BC DF = =△求得5233BD DO ==,.即203D ?? - ??? ,,易求直线l 解析式为:32y x =+. (3)过点D 作DE AC ⊥于E ,DF CN ⊥于F .CD 为ACB ∠地平分线,DE DF ∴=. 由MDE MNC △∽△,有 DE MD CN MN = 由DNF MNC △∽△, 有 DF DN CM MN =1DE DF MD DN CN CM MN MN ∴+=+ =, 即 111CM CN DE +== 8 如图,在ABC △中90ACB ∠=,D 是AB 地中点,以DC 为直径地O 交 ABC △地三边,交点分别是G F E ,, 点.GE CD ,地交点为M ,且ME =, :2:5MD CO =. (1)求证:GEF A ∠=∠. (2)求O 地直径CD 地长. 8 (1)连接DF CD 是圆直径,90CFD ∴∠=,即DF BC ⊥ 90ACB ∠=,DF AC ∴∥. BDF A ∴∠=∠.在O 中BDF GEF ∠=∠,GEF A ∴∠=∠. 2分 (2)D 是Rt ABC △斜边AB 地中点,DC DA ∴=,DCA A ∴∠=∠, 又由(1)知GEF A ∠=∠,DCA GEF ∴∠=∠. 图(3) l ' 第25题图 又OME EMC ∠=∠,OME ∴△与EMC △相似OM ME ME MC ∴ = 2 ME OM MC ∴=?4分 又 4ME =,296OM MC ∴?== :2:5MD CO =,:3:2OM MD ∴=,:3:8OM MC ∴=设3OM x =,8MC x =,3896x x ∴?=,2x ∴= ∴直径1020CD x ==. 圆知识点归纳 一、圆的定义。 1、以定点为圆心,定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内,到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径:圆上一点与圆心的连线段。 2、直径:连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦:连接圆上两点线段(直径也是弦)。 4、弧:圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 (1)劣弧:小于半圆周的弧。 (2)优弧:大于半圆周的弧。 5、圆心角:以圆心为顶点,半径为角的边。 6、圆周角:顶点在圆周上,圆周角的两边是弦。 7、弦心距:圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 (1)圆是轴对称图形,它的对称轴是直径所在的直线。 (2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。 (3)圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 (1)垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧。 (2)推论: ? 平分弦(非直径)的直径,垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 ? 平分弧的直径,垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 (1)同弧所对的圆周角相等。 (2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角,它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中,两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等,其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O 的半径为r ,OP=d 。 7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 (2)不在同一直线上的三点确定一个圆,圆心是三边中垂线的交点,它到三个点的距 离相等。 (直角三角形的外心就是斜边的中点。) 8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离,r 表示圆的半径。 直线与圆有两个交点,直线与圆相交;直线与圆只有一个交点,直线与圆相切; d = r 点P 在⊙O 上 d < r (r > d 点P 在⊙O 内 d > r (r 2015中考数学真题分类汇编圆综合题 一.解答题(共30小题) 1.(2015?大连)如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且AD平分∠CAB,过点D作AC的垂线,与AC的延长线相交于点E,与AB的延长线相交于点F. (1)求证:EF与⊙O相切; (2)若AB=6,AD=4,求EF的长. 2.(2015?潍坊)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交BC于点D,交AB于点E,过点D作DF⊥AB,垂足为F,连接DE. (1)求证:直线DF与⊙O相切; (2)若AE=7,BC=6,求AC的长. 3.(2015?枣庄)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接DE,OE. (1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由; (2)求证:BC2=CD?2OE; (3)若cos∠BAD=,BE=6,求OE的长. 4.(2015?西宁)如图,已知BC为⊙O的直径,BA平分∠FBC交⊙O于点A,D是射线BF上的一点,且满足=,过点O作OM⊥AC于点E,交⊙O于点M,连接BM, AM. (1)求证:AD是⊙O的切线; (2)若sin∠ABM=,AM=6,求⊙O的半径. 5.(2015?广元)如图,AB是⊙O的弦,D为半径OA的中点,过D作CD⊥OA交弦于点E,交⊙O于点F,且CE=CB. (1)求证:BC是⊙O的切线; (2)连接AF、BF,求∠ABF的度数; (3)如果CD=15,BE=10,sinA=,求⊙O的半径. 6.(2015?北海)如图,AB、CD为⊙O的直径,弦AE∥CD,连接BE交CD于点F,过点E作直线EP与CD的延长线交于点P,使∠PED=∠C. (1)求证:PE是⊙O的切线; (2)求证:ED平分∠BEP; (3)若⊙O的半径为5,CF=2EF,求PD的长. 7.(2015?莆田)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,对角线AC,BD交于点E,点O 在线段AE上,⊙O过B,D两点,若OC=5,OB=3,且cos∠BOE=.求证:CB是⊙O的切线. 25题汇编 1. 如图,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,切点为B ,AD 为弦,OC ∥AD 。 (1)求证:DC 是⊙O 的切线; (2)若OA=2,求OC AD 的值。 2. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠B=60°,CD 是⊙O 的直径,P 是CD 延长线上的一点,且AP=AC (1)求证:直线AP 是⊙O 的切线; (2)若AC=3,求PD 的长。 3. 如图,已知AB 是⊙O 的直径,AM 和BN 是⊙O 的两条切线,点E 是⊙ O 上一点,点D 是AM 上一点,连接DE 并延长交BN 于点C ,连接OD 、BE ,且OD ∥BE 。 (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若AD=1,BC=4,求直径AB 的长。 D C B A O C B M N E D B A O 4. 如图,△ABC 内接于⊙O ,弦AD ⊥AB 交BC 于点E ,过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ,且∠ABF=∠ABC 。 (1)求证:AB=AC ; (2)若EF=4,2 3 tan = F ,求DE 的长。 5. 在△ABC 中,AB=AC ,以AB 为直径作⊙O ,交BC 于点D ,过点D 作DE ⊥AC ,垂足为E 。 (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若AE=1,52=BD ,求AB 的长。 6. 如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,AD 垂直于过点C 的直线,垂足为D ,且AC 平分 ∠BAD 。 (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若62=AC ,AD=4,求AB 的长。 A 7. 如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,AD 和过C 点的切线互相垂直,垂足为点D ,AD 交⊙O 于点E 。 求证:(1)AC 平分∠DAB ; (2)若∠B=60°,32 CD ,求AE 的长。 8. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AC 是⊙O 的直径,弦BD=BA ,AB=12,BC=5,BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E 。 (1)求证:BE 是⊙O 的切线; (2)求DE 的长。 9. 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,CB=CA=6,半径为2的⊙F 与射线BA 相切于点G ,且AG=4,将Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转135°后得到Rt △ADE ,点B 、C 的对应点分别是点D 、E 。 (1)求证:DE 为⊙F 的切线; (2)求出Rt △ADE 的斜边AD 被⊙ F 截得的弦PQ 的长度。 A E A D 圆 章节知识点 一、圆的概念 集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念: 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ?d r 点C 在圆内; 2、点在圆上 ?d r =? 点B 在圆上; 3、点在圆外 ?d r >? 点A 在圆外; 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点; 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点; 3、直线与圆相交?d r +;外切(图2)? 有一个交点?d R r =+; 相交(图3)? 有两个交点?R r d R r -<<+;内切(图4)? 有一个交点?d R r =-; 内含(图5)? 无交点 ?d R r <-; A r R d 图3 r R d 五、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理 r R d O E D C O D A B 中考数学圆的综合-经典压轴题及答案 一、圆的综合 1.如图,点A、B、C分别是⊙O上的点, CD是⊙O的直径,P是CD延长线上的一点,AP=AC. (1)若∠B=60°,求证:AP是⊙O的切线; (2)若点B是弧CD的中点,AB交CD于点E,CD=4,求BE·AB的值. 【答案】(1)证明见解析;(2)8. 【解析】 (1)求出∠ADC的度数,求出∠P、∠ACO、∠OAC度数,求出∠OAP=90°,根据切线判定推出即可; (2)求出BD长,求出△DBE和△ABD相似,得出比例式,代入即可求出答案. 试题解析:连接AD,OA, ∵∠ADC=∠B,∠B=60°, ∴∠ADC=60°, ∵CD是直径, ∴∠DAC=90°, ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°, ∵AP=AC,OA=OC, ∴∠OAC=∠ACD=30°,∠P=∠ACD=30°, ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°, 即OA⊥AP, ∵OA为半径, ∴AP是⊙O切线. (2)连接AD,BD, ∵CD是直径, ∴∠DBC=90°, ∵CD=4,B为弧CD中点, ∴BD=BC=, ∴∠BDC=∠BCD=45°, ∴∠DAB=∠DCB=45°, 即∠BDE=∠DAB, ∵∠DBE=∠DBA, ∴△DBE∽△ABD, ∴, ∴BE?AB=BD?BD=. 考点:1.切线的判定;2.相似三角形的判定与性质. 2.如图,已知△ABC内接于⊙O,BC交直径AD于点E,过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G,垂足为F.连接OC. (1)若∠G=48°,求∠ACB的度数; (2)若AB=AE,求证:∠BAD=∠COF; (3)在(2)的条件下,连接OB,设△AOB的面积为S1,△ACF的面积为S2.若 tan∠CAF= 1 2,求1 2 S S的值. 【答案】(1)48°(2)证明见解析(3)3 4 一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,点P在⊙O的直径AB的延长线上,PC为⊙O的切线,点C为切点,连接AC,过点A作PC的垂线,点D为垂足,AD交⊙O于点E. (1)如图1,求证:∠DAC=∠PAC; (2)如图2,点F(与点C位于直径AB两侧)在⊙O上,BF FA =,连接EF,过点F作AD 的平行线交PC于点G,求证:FG=DE+DG; (3)在(2)的条件下,如图3,若AE=2 3 DG,PO=5,求EF的长. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF=32. 【解析】 【分析】 (1)连接OC,求出OC∥AD,求出OC⊥PC,根据切线的判定推出即可; (2)连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形HGDE是矩形,求出DE=HG,FH=EH,即可得出答案; (3)设OC交HE于M,连接OE、OF,求出∠FHO=∠EHO=45°,根据矩形的性质得出 EH∥DG,求出OM=1 2 AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE= 2 3 DG,DG=3a, 求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角三角形得出tan∠MBO= 1 2 MO BM =,tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k,则PC=2k,根据OP=5k=5求出k=5,根据勾股定理求出a,即可求出答案.【详解】 (1)证明:连接OC, ∵PC为⊙O的切线, ∴OC⊥PC, ∵AD⊥PC, ∴OC∥AD, ∴∠OCA=∠DAC, ∵OC=OA, ∴∠PAC=∠OCA, ∴∠DAC=∠PAC; (2)证明:连接BE交GF于H,连接OH, ∵FG∥AD, ∴∠FGD+∠D=180°, ∵∠D=90°, ∴∠FGD=90°, ∵AB为⊙O的直径, ∴∠BEA=90°, ∴∠BED=90°, ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°, ∴四边形HGDE是矩形, ∴DE=GH,DG=HE,∠GHE=90°, ∵BF AF =, ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°, ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°, ∴∠HEF=∠HFE, ∴FH=EH, ∴FG=FH+GH=DE+DG; (3)解:设OC交HE于M,连接OE、OF, ∵EH=HF,OE=OF,HO=HO, ∴△FHO≌△EHO, ∴∠FHO=∠EHO=45°, 九年级圆测试题 一、选择题(每题3分,共30分) 1.如图,直角三角形A BC 中,∠C =90°,A C =2,A B =4,分别以A C 、BC 为直径作半圆,则图中阴影的面积为 ( ) A 2π- 3 B 4π-4 3 C 5π-4 D 2π-23 2.半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 ( ) A 1∶2∶3 B 1∶ 2∶3 C 3∶2∶1 D 3∶2∶1 3.在直角坐标系中,以O(0,0)为圆心,以5为半径画圆,则点A(3-,4)的位置在 ( ) A ⊙O 内 B ⊙O 上 C ⊙O 外 D 不能确定 4.如图,两个等圆⊙O 和⊙O ′外切,过O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ,A 、B 是切点,则∠AOB 等于 ( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5.在Rt △A BC 中,已知A B =6,A C =8,∠A =90°,如果把此直角三角形绕直线A C 旋转一周得到一个圆锥,其表面积为S 1;把此直角三角形绕直线A B 旋转一周得到另一个圆锥,其表面积为S 2,那么S 1∶S 2等于 ( ) A 2∶3 B 3∶4 C 4∶9 D 5∶12 6.若圆锥的底面半径为 3,母线长为5,则它的侧面展开图的圆心角等于 ( ) A . 108° B . 144° C . 180° D . 216° 7.已知两圆的圆心距d = 3 cm ,两圆的半径分别为方程0352 =+-x x 的两根,则两圆的位置关系是 ( ) A 相交 B 相离 C 相切 D 内含 8.四边形中,有内切圆的是 ( ) A 平行四边形 B 菱形 C 矩形 D 以上答案都不对 9.如图,以等腰三角形的腰为直径作圆,交底边于D ,连结AD ,那么 1.在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另 一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。 2.连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径。 3.圆上任意两点间的部分叫作圆弧,简称弧。圆的任意一条直 径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。能够重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。 4.P108圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称 轴,圆心是它的对称中心(p110) 5.垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。(逆定理: 经过弦中点的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧) 6.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所 对的两条弧。 7.我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。 8.定理1:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对 的弦也相等。 9.在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等,所对的弦相 等。 10.定理3:在同圆或等圆中,相等的弦所对的两条劣弧(优弧) 相等,相等的劣弧(优弧)所对的圆心角相等。相等的圆心角所对的弦相等的优劣弧之间的关系 11.不在同一条直线上的三个点确定一个圆(P117) 12.顶点在圆上,并且两边都与圆相交(弦)的角叫做圆周角。 13.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这 条弧所对的圆心角的一半。(p122)4-23 14.定理:(p119-120)半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90° 的圆周角所对的弦是直径。 15.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫 做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆。 16.P123推论:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,他们所 对的弧一定相等。 17.圆内接四边形的对角互补,圆内接四边形的一个外角等于互 补角的内对角;对角互补的四边形内接于圆 下接PPT 18.点P在圆外——d > r 点P在圆上——d = r 点P在圆内— —d < r 九年级上册圆单元测试 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共计30分) 1.下列命题:①长度相等的弧是等弧②任意三点确定一个圆③相等的圆心角所对的弦相等④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形,其中真命题共有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.同一平面内两圆的半径是R和r,圆心距是d,若以R、r、d为边长,能围成一个三角形,则这两个圆 的位置关系是( ) A.外离 B.相切 C.相交 D.内含 3.如图,四边形ABCD内接于⊙O,若它的一个外角∠DCE=70°,则∠BOD=( ) A.35° B.70° C.110° D.140° 4.如图,⊙O的直径为10,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则OM的长的取值范围( ) A.3≤OM≤5 B.4≤OM≤5 C.3<OM<5 D.4<OM<5 5.如图,⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E,若DE=OB,∠AOC=84°,则∠E等于( ) A.42 ° B.28° C.21° D.20° 6.如图,△ABC内接于⊙O,AD⊥BC于点D,AD=2cm,AB=4cm,AC=3cm,则⊙O的直径是( ) A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm 7.如图,圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起,OA=3,OC=1,分别连结AC、BD,则图 中阴 影部分的面积为( ) A. B. C. D. 8.已知⊙O1与⊙O2外切于点A,⊙O1的半径R=2,⊙O2的半径r=1,若半径为4的⊙C与⊙O1、⊙O2都相 切,则满足条件的⊙C有( ) A.2个 B.4个 C.5个 D.6个 9.设⊙O的半径为2,圆心O到直线的距离OP=m,且m使得关于x的方程有实数 根,则直线与⊙O的位置关系为( ) A.相离或相切 B.相切或相交 C.相离或相交 D.无法确定 10.如图,把直角△ABC的斜边AC放在定直线上,按顺时针的方向在直线上转动两次,使它转到△A2B2C2的位置,设AB=,BC=1,则顶点A运动到点A2的位置时,点A所经过的路线为( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共5小题,每小4分,共计20分) 11.(山西)某圆柱形网球筒,其底面直径是10cm,长为80cm,将七个这样的网球筒如图所示放置并包 装侧面,则需________________的包装膜(不计接缝,取3). 12.(山西)如图,在“世界杯”足球比赛中,甲带球向对方球门PQ进攻,当他带球冲到A点时,同样乙已经被攻冲到B点.有两种射门方式:第一种是甲直接射门;第二种是甲将球传给乙,由乙射门.仅 2019年中考数学圆的知识点总结 一、圆及圆的相关量的定义(28个) 1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。 2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。 5.直线与圆有3种位置关系:无公共点为相离;有2个公共点为相交;圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。 6.两圆之间有5种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切;有2个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。 7.在圆上,由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。 二、有关圆的字母表示方法(7个) 圆--⊙半径—r 弧--⌒直径—d 扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—S三、有关圆的基本性质与定理(27个) 1.点P与圆O的位置关系(设P是一点,则PO是点到圆心的距离): P在⊙O外,POP在⊙O上,PO=r;P在⊙O内,PO 2.圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。 3.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。 4.在同圆或等圆中,如果2个圆心角,2个圆周角,2条弧,2条弦中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 5.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 6.直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 7.不在同一直线上的3个点确定一个圆。 8.一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形3个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形3边距离相等。 9.直线AB与圆O的位置关系(设OP⊥AB于P,则PO是AB 中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1.(北京市西城区)如图,BC 是⊙O 的直径,P 是CB 延长线上一点,PA 切⊙O 于点A ,如果PA =3,PB =1,那么∠APC 等于 ( ) (A ) 15 (B ) 30 (C ) 45 (D ) 60 2.(北京市西城区)如果圆柱的高为20厘米,底面半径是高的 41,那么这个圆柱的侧面积是 ( ) (A )100π平方厘米 (B )200π平方厘米 (C )500π平方厘米 (D )200平方厘米 3.(北京市西城区)“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题,“今在圆材,埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用 现在的数学语言表述是:“如图,CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD ,垂足为E ,CE =1寸,AB =寸,求直径CD 的长”.依题意,CD 长为 ( ) (A )2 25寸 (B )13寸 (C )25寸 (D )26寸 4.(北京市朝阳区)已知:如图,⊙O 半径为5,PC 切⊙O 于点C ,PO 交⊙O 于点A ,PA =4,那么PC 的长等于 ( ) (A )6 (B )25 (C )210 (D )214 5.(北京市朝阳区)如果圆锥的侧面积为20π平方厘米,它的母线长为5厘 米,那么此圆锥的底面半径的长等于 ( ) (A )2厘米 (B )22厘米 (C )4厘米 (D )8厘米 6.(天津市)相交两圆的公共弦长为16厘米,若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米,则这两圆的圆心距为 ( ) (A )7厘米 (B )16厘米 (C )21厘米 (D )27厘米 7.(重庆市)如图,⊙O 为△ABC 的内切圆,∠C = 90,AO 的延长线交BC 于点D ,AC =4,DC =1,,则⊙O 的半径等于 ( ) 一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,AB 是半圆的直径,过圆心O 作AB 的垂线,与弦AC 的延长线交于点D ,点E 在OD 上DCE B ∠=∠. (1)求证:CE 是半圆的切线; (2)若CD=10,2 tan 3 B = ,求半圆的半径. 【答案】(1)见解析;(2)413 【解析】 分析: (1)连接CO ,由DCE B ∠=∠且OC=OB,得DCE OCB ∠=∠,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°,即可得出结论; (2)设AC=2x ,由根据题目条件用x 分别表示出OA 、AD 、AB ,通过证明△AOD ∽△ACB ,列出等式即可. 详解:(1)证明:如图,连接CO . ∵AB 是半圆的直径, ∴∠ACB =90°. ∴∠DCB =180°-∠ACB =90°. ∴∠DCE+∠BCE=90°. ∵OC =OB , ∴∠OCB =∠B. ∵=DCE B ∠∠, ∴∠OCB =∠DCE . ∴∠OCE =∠DCB =90°. ∴OC ⊥CE . ∵OC 是半径, ∴CE 是半圆的切线. (2)解:设AC =2x , ∵在Rt △ACB 中,2 tan 3 AC B BC ==, ∴BC =3 x . ∴()() 22 2313AB x x x = +=. ∵OD ⊥AB , ∴∠AOD =∠A CB=90°. ∵∠A =∠A , ∴△AOD ∽△ACB . ∴ AC AO AB AD =. ∵1132OA AB x = =,AD =2x +10, ∴ 1 132210 13x x x = +. 解得 x =8. ∴13 8413OA = ?=. 则半圆的半径为413. 点睛:本题考查了切线的判定与性质,圆周角定理,相似三角形. 2.如图,在平面直角坐标系xoy 中,E (8,0),F(0 , 6). (1)当G(4,8)时,则∠FGE= ° (2)在图中的网格区域内找一点P ,使∠FPE=90°且四边形OEPF 被过P 点的一条直线分割成两部分后,可以拼成一个正方形. 要求:写出点P 点坐标,画出过P 点的分割线并指出分割线(不必说明理由,不写画法). 【答案】(1)90;(2)作图见解析,P (7,7),PH 是分割线. 【解析】 试题分析:(1)根据勾股定理求出△FEG 的三边长,根据勾股定理逆定理可判定△FEG 是直角三角形,且∠FGE="90" °. (2)一方面,由于∠FPE=90°,从而根据直径所对圆周角直角的性质,点P 在以EF 为直径 A 图5 圆的总结 一 集合: 圆:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹: 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是:以定点为圆心,定长为半径的圆; 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是:线段的中垂线; 3、到角两边距离相等的点的轨迹是:角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 三 位置关系: 1点与圆的位置关系: 点在圆内 d D B B A B A 四 垂径定理: 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙O 中,∵AB ∥CD 五 圆心角定理 六 圆周角定理 圆周角定理:同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即:∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论: 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧 即:在⊙O 中,∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径 即:在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴ AB 是直径 推论3:三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 ??BC BD =??AC AD = 中考数学圆的综合综合经典题及详细答案 一、圆的综合 1.如图,四边形OABC 是平行四边形,以O 为圆心,OA 为半径的圆交AB 于D ,延长AO 交O 于E ,连接CD ,CE ,若CE 是⊙O 的切线,解答下列问题: (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若BC=4,CD=6,求平行四边形OABC 的面积. 【答案】(1)证明见解析(2)24 【解析】 试题分析:(1)连接OD ,求出∠EOC=∠DOC ,根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ,推出∠ODC=∠OEC=90°,根据切线的判定推出即可; (2)根据切线长定理求出CE=CD=4,根据平行四边形性质求出OA=OD=4,根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解. 试题解析:(1)证明:连接OD , ∵OD=OA , ∴∠ODA=∠A , ∵四边形OABC 是平行四边形, ∴OC ∥AB , ∴∠EOC=∠A ,∠COD=∠ODA , ∴∠EOC=∠DOC , 在△EOC 和△DOC 中, OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC (SAS ), ∴∠ODC=∠OEC=90°, 即OD ⊥DC , ∴CD 是⊙O 的切线; (2)由(1)知CD 是圆O 的切线, ∴△CDO 为直角三角形, ∵S △CDO = 1 2 CD?OD , 又∵OA=BC=OD=4, ∴S△CDO=1 2 ×6×4=12, ∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24. 2.如图,⊙M交x轴于B、C两点,交y轴于A,点M的纵坐标为2.B(﹣33,O),C(3,O). (1)求⊙M的半径; (2)若CE⊥AB于H,交y轴于F,求证:EH=FH. (3)在(2)的条件下求AF的长. 【答案】(1)4;(2)见解析;(3)4. 【解析】 【分析】 (1)过M作MT⊥BC于T连BM,由垂径定理可求出BT的长,再由勾股定理即可求出BM的长; (2)连接AE,由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC,再由AAS定理得出△AEH≌△AFH,进而可得出结论; (3)先由(1)中△BMT的边长确定出∠BMT的度数,再由直角三角形的性质可求出CG 的长,由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形,进而可求出答案.【详解】 (1)如图(一),过M作MT⊥BC于T连BM, ∵BC是⊙O的一条弦,MT是垂直于BC的直径, ∴BT=TC=1 2 3 ∴124 ; (2)如图(二),连接AE,则∠AEC=∠ABC,∵CE⊥AB, ∴∠HBC+∠BCH=90° 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 B . C . 一.选择 1. (2009 年泸州)已知⊙O 1 与⊙O 2 的半径分别为 5cm 和 3cm ,圆心距 020=7cm ,则两圆的位置关系为 A .外离 B .外切 C .相交 D .内切 2. (2009 年滨州)已知两圆半径分别为 2 和 3,圆心距为 d ,若两圆没有公共点,则下列结论正确的是( ) A . 0 < d < 1 B . d > 5 C . 0 < d < 1或 d > 5 D . 0 ≤ d < 1 或 d > 5 3.(2009 年台州市)大圆半径为 6,小圆半径为 3,两圆圆心距为 10,则这两圆的位置关系为( ) A .外离 B .外切 C.相交 D .内含 4.(2009 桂林百色)右图是一张卡通图,图中两圆的位置关系( ) A .相交 B .外离 C .内切 D .内含 5.若两圆的半径分别是 1cm 和 5cm ,圆心距为 6cm ,则这两圆的位置关系是( ) A .内切 B .相交 C .外切 D .外离 6(2009 年衢州)外切两圆的圆心距是 7,其中一圆的半径是 4,则另一圆的半径是 A .11 B .7 C .4 D .3 7.(2009 年舟山)外切两圆的圆心距是 7,其中一圆的半径是 4,则另一圆的半径是 A .11 B .7 C .4 D .3 8. .(2009 年益阳市)已知⊙O 1 和⊙O 2 的半径分别为 1 和 4,如果两圆的位置关系为相交,那么圆心距 O 1O 2 的 取值范围在数轴上表示正确的是 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 A . D . 9. (2009 年宜宾)若两圆的半径分别是 2cm 和 3cm,圆心距为 5cm ,则这两个圆的位置关系是( ) A. 内切 B.相交 C.外切 D. 外离 10.. (2009 肇庆)10.若⊙O 与 ⊙O 相切,且 O O = 5 ,⊙O 的半径 r = 2 ,则⊙O 的半径 r 是( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 A . 3 B . 5 C . 7 D . 3 或 7 11. .(2009 年湖州)已知⊙O 与 ⊙O 外切,它们的半径分别为 2 和 3,则圆心距 O O 的长是( ) 1 2 1 2 A . O O =1 B . O O =5 C .1< O O <5 D . O O >5 1 2 1 2 1 2 1 2 初三数学圆知识点总结 一、本章知识框架 二、本章重点 1.圆的定义: (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线,叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 2.判定一个点P是否在⊙O上. 设⊙O的半径为R,OP=d,则有 d>r点P在⊙O 外; d=r点P在⊙O 上; d (1)旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形,对称中心是圆心. 在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等. (2)轴对称:圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 垂径定理及推论: (1)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. (3)弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧. (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦. (5)平行弦夹的弧相等. 5.三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心:是三角形三个角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心,在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“I”表示. (2)三角形的外心:是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心,锐角三角形外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三个顶点的距离相等,通常用O表示.(3)三角形重心:是三角形三边中线的交点,在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍,通常用G表示. (4)垂心:是三角形三边高线的交点. 6.切线的判定、性质: (1)切线的判定: ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质: ①圆的切线垂直于过切点的半径. ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心. (3)切线长:从圆外一点作圆的切线,这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. (4)切线长定理:从圆外一点作圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 7.圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形,圆内接四边形对角互补,外角等于内对角. (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形,圆外切四边形对边之和相等.8.直线和圆的位置关系: 设⊙O 半径为R,点O到直线l的距离为d. (1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R. (2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d=R. (3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d 中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附详细答案 一、圆的综合 1.如图,点P在⊙O的直径AB的延长线上,PC为⊙O的切线,点C为切点,连接AC,过点A作PC的垂线,点D为垂足,AD交⊙O于点E. (1)如图1,求证:∠DAC=∠PAC; (2)如图2,点F(与点C位于直径AB两侧)在⊙O上,?? BF FA =,连接EF,过点F作AD 的平行线交PC于点G,求证:FG=DE+DG; (3)在(2)的条件下,如图3,若AE=2 3 DG,PO=5,求EF的长. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF=32. 【解析】 【分析】 (1)连接OC,求出OC∥AD,求出OC⊥PC,根据切线的判定推出即可; (2)连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形HGDE是矩形,求出DE=HG,FH=EH,即可得出答案; (3)设OC交HE于M,连接OE、OF,求出∠FHO=∠EHO=45°,根据矩形的性质得出 EH∥DG,求出OM=1 2 AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE= 2 3 DG,DG=3a, 求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角三角形得出tan∠MBO= 1 2 MO BM =,tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k,则PC=2k,根据OP=5k=5求出k=5,根据勾股定理求出a,即可求出答案.【详解】 (1)证明:连接OC, ∵PC为⊙O的切线, ∴OC⊥PC, ∵AD⊥PC, ∴OC∥AD, ∴∠OCA=∠DAC, ∵OC=OA, ∴∠PAC=∠OCA, ∴∠DAC=∠PAC; (2)证明:连接BE交GF于H,连接OH, ∵FG∥AD, ∴∠FGD+∠D=180°, ∵∠D=90°, ∴∠FGD=90°, ∵AB为⊙O的直径, ∴∠BEA=90°, ∴∠BED=90°, ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°, ∴四边形HGDE是矩形, ∴DE=GH,DG=HE,∠GHE=90°, ∵?? BF AF =, ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°, ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°, ∴∠HEF=∠HFE, ∴FH=EH, ∴FG=FH+GH=DE+DG; (3)解:设OC交HE于M,连接OE、OF, ∵EH=HF,OE=OF,HO=HO, ∴△FHO≌△EHO, ∴∠FHO=∠EHO=45°, 《圆》中考数学知识点_中考数学知识点总结 一、圆的基本性质 1.圆的定义(两种) 2.有关概念:弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 3.“三点定圆”定理 4.垂径定理及其推论 5.“等对等”定理及其推论 5.与圆有关的角:⑴圆心角定义(等对等定理) ⑵圆周角定义(圆周角定理,与圆心角的关系) ⑶弦切角定义(弦切角定理) 二、直线和圆的位置关系 1.三种位置及判定与性质: 2.切线的性质(重点) 3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴…⑵… 4.切线长定理 三、圆换圆的位置关系 1.五种位置关系及判定与性质:(重点:相切) 2.相切(交)两圆连心线的性质定理 3.两圆的公切线:⑴定义⑵性质 四、与圆有关的比例线段 1.相交弦定理 2.切割线定理 五、与和正多边形 1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形) 2.三角形的外接圆、内切圆及性质 3.圆的外切四边形、内接四边形的性质 4.正多边形及计算 中心角: 内角的一半:(右图) (解Rt△OAM可求出相关元素,、等) 六、一组计算公式 1.圆周长公式 2.圆面积公式 3.扇形面积公式 4.弧长公式 5.弓形面积的计算方法 6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算 七、点的轨迹 六条基本轨迹 八、有关作图 1.作三角形的外接圆、内切圆 2.平分已知弧 3.作已知两线段的比例中项 4.等分圆周:4、8;6、3等分 九、基本图形 十、重要辅助线 1.作半径 2.见弦往往作弦心距 3.见直径往往作直径上的圆周角 4.切点圆心莫忘连 5.两圆相切公切线(连心线) 6.两圆相交公共弦 感谢您的阅读! 数学中考圆综合题附参考答案 1.如图,△ABC 中,以BC 为直径的圆交AB 于点D ,∠ACD =∠ABC . (1)求证:CA 是圆的切线; (2)若点E 是BC 上一点,已知BE =6,tan ∠ABC = 32,tan ∠AEC =3 5 ,求圆的直径. 2. 如图右,已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点,AE 是⊙0的直径.点C 为⊙0上一点,且AC 平分∠PAE ,过C 作CD ⊥PA ,垂足为D 。 (1)求证:CD 为⊙0的切线; (2)若DC+DA=6,⊙0的直径为l0,求AB 的长度. 1. (1)证明:连接OC, ∵点C 在⊙0上,0A=OC,∴∠OCA=∠OAC ,∵CD ⊥PA ,∴∠CDA=90°, 有∠CAD+∠DCA=90°,∵AC 平分∠PAE ,∴∠DAC=∠CAO 。 ∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。 又∵点C 在⊙O 上,OC 为⊙0的半径,∴CD 为⊙0的切线. (2)解:过0作0F ⊥AB ,垂足为F ,∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°, ∴四边形OCDF 为矩形,∴0C=FD ,OF=CD. ∵DC+DA=6,设AD=x ,则OF=CD=6-x ,∵⊙O 的直径为10,∴DF=OC=5,∴AF=5-x , 在Rt △AOF 中,由勾股定理得222AF +OF =OA .即22(5)(6)25x x -+-=,化简得:211180x x -+= 解得2x =或9x =。由AD中考数学圆知识点归纳
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