(完整版)导数与单调性习题
导数与单调性习题
1、函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是（ ）
A ．)2,(-∞
B ．(0,3)
C ．(1,4)
D ．),2(+∞
2、设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（ ）
3函数x x y 142+=的单调递增区间是（ ）A ．),0(+∞ B ．),21(+∞ C ．)1,(--∞ D ．)2
1,(--∞ 4.求函数2()2ln f x x x =-的单调区间．
5. 已知函数2()ln 3,f x x x x a R =+-∈．求()f x 的单调区间
6．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝(x 0－2)(x 0＋1)2，则该函数的单调递减区间为
( )A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，2] C ．(－∞，－1)和(1,2) D ．[2，＋∞)
7．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图(1)所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )
8．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( )
A.????－π，－π2和????0，π2
B.????－π2，0和????0，π2
C.????－π，－π2和????π2，π
D.????－π2，0和???
?π2，π 9．
x y O 图1
x y O A x y O B x y O C y O
D x
10．已知函数()2ln ()f x x ax a a R =-+∈.讨论()f x 的单调性
11．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a 、b ，若a
A ．af (a )≤f (b )
B ．bf (b )≤f (a )
C ．af (b )≤bf (a )
D ．bf (a )≤af (b )
12．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )
A ．f (0)＋f (2)<2f (1)
B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)
C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)
D ．f (0)＋f (2)>2f (1)
13.已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )
A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0
B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0
C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0
D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0
14．已知y ＝13
x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上不是单调增函数，则b 的范围为________． 15．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a 的取值范围为________．
16．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________．
17．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)．
(1)求a 、b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．
18．设函数f (x )＝x (e x －1)－12
x 2. 求f (x )的单调区间；
19、函数3()f x ax x =-在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是______________．
20. 已知函数()22ln f x x a x x
=++在区间[2,3]上单调递增，求实数a 的取值范围
21.已知函数32
()f x x ax bx c =+++，()124g x x =-，若(1)0f -=，且()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为()y g x =．（1）求实数a ，b ，c 的值；（2）求单调区间
知识点一-导数与函数的单调性
1.函数的单调性：在某个区间( a,b )内，如果f (x) . 0 ,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果f (x) ：：：0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减?如果f(x)=0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数? 注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x)亠0，f (x) . 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件? 2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为 负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正. 一般地，当函数 y = f(x)在点沧处连续时，判断f(X。)是极大(小)值的方法是： (1)如果在X。附近的左侧f ' (x) 0 ，右侧f'(x)：：： ，那么f(X0)是极大值. (2)如果在X o附近的左侧f '(X)：：：0 ,右侧f'(x) 0，那么f(X0)是极小值. 注：导数为0的点不一定是极值点 知识点一：导数与函数的单调性 方法归纳： 在某个区间(a,b )内，如果f (x) ?0,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果「(x) ：：：0，那 么函数y二f(x)在这个区间内单调递减?如果f (x) =0，那么函数y二f(x)在这个区间上是常数函数?注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x) _ 0 , f (x) 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的 充分不必要条件? 例1】(B类)已知函数f(x)=x3 bx2 cx d的图象过点P(0, 2)，且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x「y ?7 = 0 ? (I)求函数y = f(x)的解析式；(n)求函数y=f(x)的单调区间? 【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上?函数f(x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0 ；函数 f (x)在区间［a,b］上递减可得：f'(x) E0. 3 【例2】(A类)若f(x)二ax x在区间［—1,1］上单调递增，求a的取值范围? 【解题思路】利用函数 f (x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0;函数f(x)在区间［a,b］上递减可得： f '(x)岂0.得出恒成立的条件，再利用处理不等式恒成立的方法获解 a 【例 3 】(B 类)已知函数f(x)=l nx,g(x) (a 0),设F(x^ f (x) - g(x). x (I)求函数F(x)的单调区间；
导数与函数的单调性练习题
2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0
利用导数求函数的单调区间
利用导数求函数的单调区间 一学习目标： 1结合实例，找出函数的单调性与导数的关系； 2会利用导数研究函数的单调性，会求简单函数的单调区间。 二重点、难点： 重点：求函数的单调区间. 难点：求含参数函数的单调区间。. 三教材分析 本节课主要对函数单调性求法的学习； 它是在学习导数的概念的基础上进行学习的，同时又为导数的应用学习奠定了基础，所以他在教材中起着承前启后的重要作用；（可以看看这一课题的前后章节来写） 它是历年高考的热点、难点问题 四教学方法 开放式探究法、启发式引导法、小组合作讨论法、反馈式评价法 五教学过程 预习学案: 1.函数单调性的定义是什么？函数的单调区间怎样求？ 2.讨论以下问题 （1）求函数y=x的导数，判断其导数的符号； （2）求函数y=x2的导数，判断其导数的符号. 3.根据上述问题，思考导数的符号与函数的单调性之间的关系，并加以总结： 设函数y=f(x)在区间（a,b）内可导： 如果在(a,b)内，______________,则f(x)在此区间是增函数； 如果在(a,b)内，______________,则f(x)在此区间是减函数. 4.根据上述总结，思考一下，函数在某个区间上是单调递增函数，是不是其导数就一定大于零呢？如果函数在某个区间上是单调递减函数，是不是其导数就一定小于零?能否举个例子说明一下？
小测验： 1.当0>x 时，()x x x f 4+ =的单调减区间 2.函数53 123++-=x x y 的单调增区间为_______________,单调减区间为______________. 利用导数求函数的单调区间（讲授学案）——冯秀转 题型：求函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间; (1)x x y 23+= (2)()221 ln x x x f -= 注意：求函数单调区间时必须先考虑函数的定义域. （小结）求函数单调区间的步骤： 练习：求()x e x x f 2=的单调区间。
用导数求函数的单调性
用导数求函数的单调性 南江县第四中学 何其孝 指导老师：范永德 一、第一段：点明课题、展示目标、自主学习 1、展示学习目标 （1）理解)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性； （2）掌握用导数求函数的单调区间。 2、板书课题：用导数求函数的单调性 3、学生围绕学习目标看教材第89-93页，进行自主学习。（约10分钟） 二、第二段：合作探究、启发点拨 1、探究1：怎样从导数的几何意义，判断)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性？点拨：以直代曲 探究2：用导数求函数单调性的步骤 点拨：(1)求定义域 (2)求导函数(x)f ' (3)求)0(0(x)f <>'，判断函数的单调性 (4)写出f(x)的单调区间 2、应用举例 例 判断下列函数的单调性，写出f(x)区间 (1) )(0,x x,-sinx f(x)π∈= (2) 12432f(x)23+-+=x x x
解：f′(x)=6x2 + 6x -24 当f′(x)＞0，解得：2 1712171+->--
高中数学选修2-2函数的单调性与导数
1.3.1函数的单调性与导数 [学习目标] 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数的最高次数一般不超过三次). 知识点一函数的单调性与其导数的关系 在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系： 思考以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1＜x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易，如何利用导数来判断函数的单调性？ 答案根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减. 知识点二利用导数求函数的单调区间 利用导数确定函数的单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求出函数的导数f′(x). (3)解不等式f′(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f′(x)＜0，得函数的单调递减区间. 知识点三导数绝对值的大小与函数图象的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些.也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度. 如图，函数y ＝f (x )在(a,0)和(0，b )内的图象“陡峭”，在(－∞，a )和(b ，＋∞)内的图象“平缓”. 题型一 利用导数确定函数的单调区间 例1 求下列函数的单调区间. (1)f (x )＝3x 2－2ln x ；(2)f (x )＝x 2·e － x ； (3)f (x )＝x ＋1x . 解 (1)函数的定义域为D ＝(0，＋∞).∵f ′(x )＝6x －2x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝33，x 2＝－ 3 3(舍去)，用x 1分割定义域D ，得下表： ∴函数f (x )的单调递减区间为? ???0， 33，单调递增区间为??? ?3 3，＋∞. (2)函数的定义域为D ＝(－∞，＋∞).∵f ′(x )＝(x 2)′e － x ＋x 2(e － x )′＝2x e － x －x 2e － x ＝e － x (2x －x 2)，令f ′(x )＝0，由于e － x ＞0，∴x 1＝0，x 2＝2，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表： ∴f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2). (3)函数的定义域为D ＝(－∞，0)∪(0，＋∞). ∵f ′(x )＝1－1 x 2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表：
导数讨论含参函数的单调性
导数讨论含参函数的单调性 【思想方法】 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 【典例讲解】 例1 讨论x a x x f +=)(的单调性，求其单调区间 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号)I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立，此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数，即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)('， a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或，此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调 增函数，)(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(a --∞和 ),(+∞a ;)(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间 解：x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(1)('>+=+ =x x a x x a x f (它与a x x g +=)(同号) I ）当0≥a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立，此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数， 即)(x f 的增区间为),0(+∞，不存在减区间; II) 当0?>>)0(0)(';a x x x f -<<0)0(0)(' 此时)(x f 在),(+∞-a 为单调增函数，)(x f 在),0(a -是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(+∞-a ;)(x f 的减区间为),0(a -. 例2．讨论x ax x f ln )(+=的单调性 解：x ax x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(11)('>+=+ =x x ax x a x f (它与1)(+=ax x g 同号)
专题2.13 利用导数求函数的单调性、极值、最值(解析版)
第十三讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值 【套路秘籍】 一．函数的单调性 在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 二．函数的极值 (1)一般地，求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时： ①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )； ②求方程f ′(x )＝0的根； ③考查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 三．函数的最值 (1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值． (2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． 【套路修炼】 考向一 单调区间 【例1】求下列函数的单调区间： （1）3 ()23f x x x =-； （2）2 ()ln f x x x =-. （3）)f (x )＝2x －x 2. 【答案】见解析 【解析】（1）由题意得2 ()63f x x '=-. 令2 ()630f x x '=->，解得2x <- 或2 x >. 当(,2x ∈-∞- 时，函数为增函数；当)2 x ∈+∞时，函数也为增函数. 令2 ()630f x x '=-<，解得22x - <<.当(22 x ∈-时，函数为减函数.
(完整版)利用导数求函数单调性题型全归纳
利用导数求函数单调性题型全归纳 一.求单调区间 二.函数单调性的判定与逆用 三.利用单调性求字母取值范围 四.比较大小 五.证明不等式 六.求极值 七.求最值 八.解不等式 九.函数零点个数（方程根的个数） 十.探究函数图像 一.求单调区间 例1. 已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，求函数)(x f 的单调区间 解： ()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++. 则令()()g x f x '=，因为当0,1a a >≠，所以2 ()2ln 0x g x a a '=+> 所以()f x '在R 上是增函数,又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+, 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+ 减区间为：(0)-∞， 变式：已知()x f x e ax =-，求()f x 的单调区间 解：' ()x f x e a =-，当0a ≤时，' ()0f x >，()f x 单调递增 当0a >时，由' ()0x f x e a =->得：ln x a >，()f x 在(ln ,)a +∞单调递增 由' ()0x f x e a =-<得：ln x a <，()f x 在(ln )a -∞，单调递增 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为：-∞+∞（，），无单调递减区间 当0a >时，()f x 的单调递增区间为：(ln ,)a +∞，递减区间为：(ln )a -∞， 二.函数单调性的判定与逆用 例2.已知函数32 ()25f x x ax x =+-+在1132 （，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减 函数，求正整数a 的取值集合 解：2 ()322f x x ax '=+-
利用导数研究函数的单调性之二阶求导型
利用导数研究函数的单调性之二阶求导型 一、解答题（题型注释） 1．已知函数ax x xe x f x --=ln )(2． （1）当0=a 时，求函数)(x f 在]1,2 1[上的最小值； （2）若0>?x ，不等式1)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围； （3）若0>?x ，不等式e x x e x e e x x f 1111 1)1(2+ -+≥-恒成立，求a 的取值范围． 1．（1） ln 22 e +； （2）2a ≤；（3）11(1)e e a e e ≤---． 【解析】 试题分析：（1）由0=a 时，得出x xe x f x ln )(2-=，则21 ()(21)x f x x e x '=+- ，再求导()f x ''，可得函数)(/ x f 在),0(+∞上是增函数，从而得到函数()f x 的单调性，即可求解函数)(x f 在]1,2 1[上的最小值； （2）由（1）知函数)(/ x f 在),0(+∞上是 增函数，且00>?x ，使得0()0f x '=，得01 )12(0 200 =-- +a x e x x ，即022000(2)1x ax x x e =+-，设022000()1ln 2x f x x x e =--，利用函数0()f x 的单调性， 即可求解求a 的取值范围；（3）根据题意，转化为1 1ln x e x e a x x x e +-≤--对任意0>x 成 立，令e x e e x x x x x g 11ln )(+---=，所以()g x '，可得出()g x 的单调性，求解出()g x 的最小值，即可a 的取值范围． 试题解析：（1）0=a 时，x xe x f x ln )(2-=，x e x x f x 1)12()(2/-+=∴， 01 )44()(22//>++=?x e x x f x ，所以函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数，
导数与函数的单调性(word解析版)
导数与函数的单调性 【考纲要求】 （1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. （2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 【命题规律】 利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值. 预计2018年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数单调性的问题，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】 （一）原函数与其导函数的图像问题 例1.【2017浙江高考】函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是（ ）. 【答案】 D C.
【解析】导数大于零，原函数递增，导数小于零，原函数递减，对照导函数图像和原函数图像.故选D ． 【方法技巧归纳】在(,)a b 内可导函数()f x ，'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0. '()0()f x f x ≥?在(,)a b 上为增函数．'()0()f x f x ≤?在(,)a b 上为减函数．且 导函数单调性可以判原函数图像的凹凸性：若)('x f 大于0且递增，则原函数)(x f 图像递增且下凹；若大于0且递减，则原函数)(x f 图像递增且上凸. 【变式1】【2018河北内丘中学8月月考（理）】设函数()f x 的导函数为()f x '， 若()f x 为偶函数，且在()0,1上存在极大值，则()f x '的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意,若f (x )为偶函数,则其导数f ′(x )为奇函数，结合函数图象可以排除B . D ，又由函数f (x )在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负， 结合选项可以排除A ，只有C 选项符合题意；本题选择C 选项.
利用导数求单调性与已知单调性求参数范围
利用导数求单调性与已知单调性求参数范围，天差地别，你了解了吗？ 前面小数老师已经讲过两道了，分别是“通过分类讨论求函数的单调区间”与“不等式恒成立问题”，大家还记得吗？今天又是一道导数题，小数老师带大家来看第三种常考的类型，“已知函数的单调性，求参数的取值范围”，大家往下看吧！还是建议同学自己先试着做一下！ 这道导数题，函数解析式看着不是很复杂，第（1）问求函数的单调区间与最值，也不需要讨论，因为参数k的值已知，按照我们以前说的方法求解即可；第（2）问已知函数的单调性，求参数取值范围，是一个容易出错的点，下面小数老师重点与大家一起分析下！ 回顾1、对于函数y=f(x)， 若导数f’(x)在区间M上大于0，则函数y=f(x)在区间M上单调递增； 若导数f’(x)在区间M上小于0，则函数y=f(x)在区间M上单调递减。 2、对于函数y=f(x)， 若函数y=f(x)在区间M上单调递增，则导函数f’(x)在区间M上大于等于0； 若函数y=f(x)在区间M上单调递减，则导函数f’(x)在区间M上小于等于0； 3、关于含参不等式的恒成立问题，你还记得怎么做吗？ 小数老师再提醒下：首先先看能否参变量分离，如果能分离是最好的，如果不能分离，就按照之前说的规律寻找最值即可。有疑问的同学可以翻一下历史消息哈！ 4、关于函数单调性的说法，并不仅仅是像题目中直接告诉你哦，你看到的也有可能是这样的，还有可能是这样的： 这两种情况，都是告诉你函数y=f(x)在区间[1,2]上单调递增哦。好了，接下来跟小数老师一起来解题吧！
解析 （1）当k=0时，所以 x (0,1) 1 (1,+ ∞) f’(x)+ 0 - f(x) 递增极大值递减 所以y=f(x)的最大值是f(1)=2. 注意：求函数的单调区间之前，千万别忘了函数的定义域哈！ （2）函数y=f(x)在区间[1,2]上单调，（未说明单调增还是单调减，所以此处应该有分类讨论） ①若函数y=f(x)在区间[1,2]上单调递增，根据回顾中的，我们可以知道导数f’(x) ≥0，x∈[1,2], ②若函数y=f(x)在区间[1,2]上单调递减， 根据回顾中的，我们可以知道导数f’(x) ≤0，x∈[1,2],
专题5 导数的应用-含参函数的单调性讨论(答案)
〖专题5〗 导数的应用—含参函数的单调性讨论 “含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点．从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视． 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论． 二、典例讲解 [典例1] 讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间． 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立， 此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)(' a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或 此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数， )(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ; )(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并． [变式练习1] 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间．
利用导数求函数的单调性
利用导数求函数的单调性 例 讨论下列函数的单调性： 1．x x a a x f --=)(（0>a 且1≠a ）； 2．)253(log )(2-+=x x x f a （0>a 且1≠a ）； 3．)0,11(1 )(2≠<<--=b x x bx x f ． 分析：利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数)(x f '，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间)(x f '的符号，来确定函数)(x f 在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时，分类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性． 解： 1．函数定义域为R ． ).(ln )(ln ln )(x x x x a a a x a a a a x f --+='-??-=' 当1>a 时，.0)(,0,0ln >'∴>+>-x f a a a x x ∴函数)(x f 在),(+∞-∞上是增函数． 当10<+<-x f a a a x x ∴函数)(x f 在),(+∞-∞上是减函数． 2．函数的定义域是3 1>x 或.2-
利用导数判断函数的单调性(理)
3.2利用导数判断函数的单调性 知识要点梳理 1. 函数的导数与函数的单调性的关系： （1）（函数单调性的充分条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。 （2）（函数单调性的必要条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果函数y=f(x) 在这个区间内为增函数，那么在这个区间内/y ≥0；如果函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。 那么在这个区间内/y ≤0。 2. 求可导函数的单调区间的一般步骤和方法： ①确定函数()f x 的定义域； ②计算导数'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根； ③把函数()f x 的间断点（即f(x)的无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把()f x 的定义域分成若干个小区间； ④确定'()f x 在各个开区间内的符号，根据'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区间的增减性（若'()f x >0,则f(x)在相应区间内为增函数；若'()f x <0,则f(x)在相应区间内为减函数。） 疑难点、易错点剖析： 1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f ’(x)>0（或f ’(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。在区间（a,b ）内可导的函数f(x)在（a,b ）上递增（或递减）的充要条件应是'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立，且f ’(x)在（a,b ） 的任意子区间内都不恒等于0。这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x 0处有f ’(x 0)=0,甚至可以在无穷多个点处f ’(x 0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令 '()0('()0)f x f x ≥≤或恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f ’(x)恒 等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f ’(x)不恒为0，则由 '()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立解出的参数的取值范围确定。 2.用导数求函数单调区间也可按如下步骤进行：①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②令f ′(x )＞0，解不等式得x 的范围就是递增区间；③令f ′(x )＜0，解不等式得x 的范围，就是递减区间。 3.讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论。 直击考点 考点一 求不含参数的函数的单调区间
利用导数判断函数的单调性的方法
利用导数判断函数的单调性的方法 利用导数判定函数的单调性，其理论依据如下： 设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数。如果0)(='x f ，则)(x f 为常数。 要用导数判定好函数的单调性除把握以上依据外还须把握好以下两点： 导数与函数的单调性的三个关系 我们在应用导数判定函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判定函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件差不多上函数)(x f y =在某个区间内可导。 1．0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。 由前知，0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。如函数3 )(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。 2．0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。 若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，现在)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。 3．0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。 由前分析，)(x f 为增函数，一定能够推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。 函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中时期研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判定好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点咨询题，都一律用开区间作为单调区间，幸免讨论以 上咨询题，也简化了咨询题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论咨询题，专门是研究以下咨询题时。 二．函数单调区间的合并 函数单调区间的合并要紧依据是函数)(x f 在),(b a 单调递增，在),(c b 单调递增，又知函数在b x f =)(处连续，因此)(x f 在),(c a 单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就能够合并为一个区间。 【例】用导数求函数3)(x x f =（R x ∈）的单调区间。 解：（用第一种关系及单调区间的合并）23)(x x f ='，当032>x ，即0
导数与函数的单调性
导数与函数的单调性 [考纲传真]1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题)． 【知识通关】 1．函数的单调性 在(a，b)内函数f(x)可导，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0. f′(x)≥0?f(x)在(a，b)上为增函数． f′(x)≤0?f(x)在(a，b)上为减函数． 2．函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．[常用结论] 1．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 2．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
利用导数求函数的单调性
利用导数求函数的单调性 例 讨论下列函数的单调性: 1.x x a a x f --=)((0>a 且1≠a ); 2.)253(log )(2-+=x x x f a (0>a 且1≠a ); 3.)0,11(1 )(2≠<<--=b x x bx x f . 分析:利用导数可以研究函数的单调性,一般应先确定函数的定义域,再求导数)(x f ',通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内)(x f '的符号,来确定函数)(x f 在该区间上的单调性.当给定函数含有字母参数时,分类讨论难于避免,不同的化归方法与运算程序往往使分类方法不同,应注意分类讨论的准确性. 解: 1.函数定义域为R. ).(ln )(ln ln )(x x x x a a a x a a a a x f --+='-??-=' 当1>a 时,.0)(,0,0ln >'∴>+>-x f a a a x x ∴函数)(x f 在),(+∞-∞上就是增函数. 当10<+<-x f a a a x x ∴函数)(x f 在),(+∞-∞上就是减函数. 2.函数的定义域就是3 1>x 或.2-
利用导数研究函数的单调性的题型分析
利用导数研究函数的单调性题型分析 题型一：利用导数求函数的单调区间 例：求下列函数的单调区间． (1)y ＝2x 3－3x (2)f (x )＝3x 2－2ln x . 解：(1)由题意得y ′＝6x 2－3. 令y ′＝6x 2－3＞0，解得x ＜－ 22或x ＞22 ， 当x ∈(－∞，－22)时，函数为增函数，当x ∈(2 2，＋∞)时，函数也为增函数． 令 y ′＝6x 2－3＜0， 解得－22＜x ＜2 2 ， 当x ∈(－ 22，22 )时，函数为减函数． 故函数的递增区间为(－∞，－2 2)和(2 2，＋∞)，递减区间为(－2 2，2 2)． (2)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1 x . 令f ′(x )＞0，即2·3x 2－1x ＞0.且x ＞0，可解得x ＞ 3 3； 令f ′(x )＜0，即2·3x 2－1 x ＜0，由x ＞0得，0＜x ＜33 ， ∴f (x )的增区间为(33 ，＋∞)，减区间为(0， 3 3 )． 规律总结： 1．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R 可以省略不写． 2．当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接，如(1)题中的增区间． 变式训练：求下列函数的单调区间： (1)求函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x －3的单调区间； (2)求函数y ＝x 3－2x 2＋x 的单调区间． 【解】(1)此函数的定义域为R ， f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)． 令6(x －1)(x －2)＜0，解得1＜x ＜2， 所以函数f (x )的单调递减区间是(1,2)．
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