华东师大版九年级数学上全册完整教案

华东师大初中九年级数学上册教案

21．1. 二次根式（1）

教学目标：1a ≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

教学重难点关键：1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；

2a ≥0）”解决具体问题． 教学过程：一、回顾

当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根． 当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a 是负数时，a 没有意义．

二、概括：a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，它的平方

等于a ．即有： （1）a ≥0（a ≥0）； （2）2)(a =a （a ≥0）．

形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式．

注意：在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数．

三、例题讲解

例题： x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？

分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数．

解： 被开方数x-1≥0，即x ≥1．

所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义．

思考：2a 等于什么？

我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律：

概括: 当a ≥0时，a a =2； 当a ＜0时，a a -=2．

这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”

出来，从而达到化简的目的．例如：

22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==．

四、练习: x 取什么实数时，下列各式有意义.

（1）x 43-； （2）23-x ； （3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+-

五、 拓展

例：当x 1

1

x +在实数范围内有意义？

11x +0和11

x +中的x+1≠0． 解：依题意，得230

10

x x +≥??+≠?

由①得：x ≥-

32

由②得：x ≠-1

当x ≥-

32且x ≠-1+11

x +在实数范围内有意义．

例：(1)已知，求

x

y

的值．(答案:2)

(2)，求a

2004

+b 2004的值．(答案:2

5

)

六、 归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：

1a ≥0）的式子叫做二次根式，

2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 七、布置作业：教材P4：1、2

21.1 二次根式（2）

教学目标：1a ≥02=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．

2、 a ≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平

2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题．

教学重难点关键：1a ≥0）是一个非负数；2=a （a ≥0）及其运用．

2a ≥0）是一个非负数；?2=a

（a ≥0）．

教学过程： 一、复习引入（学生活动）口答 1．什么叫二次根式？

2．当a ≥0a<0

二、探究新知

议一议：（学生分组讨论，提问解答）

a ≥0）是一个什么数呢？

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

做一做：根据算术平方根的意义填空：

（2=_______；2=_______；2=______；2=_______；

（

2=______；2

=_______；2=_______．

4的算术平方根，根据算术平方根的意义，

42=4．

同理可得：2=2，2=9，2=3，2=1

3，2=72，2=0，所以

三、例题讲解

例1 计算： 1．2 ， 2．（2 ， 3．2 ， 4．2

2=a （a ≥0）的结论解题．

解：1. 2 =3

2， 2.（2 =32·2=32·5=45，

3.2=56，

4.（2）2=227

24=．

四、巩固练习

计算下列各式的值：

2 2 （42

2 （222-

五、应用拓展

例2 计算

1．2（x ≥0），2．2 ，3．2 ，4．2

分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；

（2）a 2≥0；

（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0；

（4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．

所以上面的42=a （a ≥0）的重要结论解题．

解：（1）因为x ≥0，所以x+1>0,2=x+1

（2）∵a 2≥02=a 2

（3）∵a 2+2a+1=（a+1）2 , 又∵（a+1）2≥0，

∴a 2+2a+1≥0 2+2a+1

（4）∵4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2 , 又∵（2x-3）2≥0

∴4x 2-12x+9≥02=4x 2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式:

（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3 六、归纳小结：本节课应掌握：

1a ≥0）是一个非负数； 2．2=a （a ≥0）;反之:a=2（a ≥0）．

七、布置作业：教材P4：3、4

21.1 二次根式（3）

教学目标：1（a ≥0）并利用它进行计算和化简．

2、 （a ≥0），并利用这个结论解决具体问题．

教学重难点关键：1a （a ≥0）．

2．难点：探究结论．

3．关键：讲清a ≥0a 才成立． 教学过程： 一、复习引入：（老师口述并板收上两节课的重要内容）

1a ≥0）的式子叫做二次根式；

2a ≥0）是一个非负数；

3．2＝a （a ≥0）．

那么，我们猜想当a ≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知：（学生活动）填空：

=_______=_______=______；

． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：

=2=0.01=11023=037．

三、例题讲解：

例1 化简：（1（2（3（4

分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，

（a≥0）?去化简．

解：（1（2

（3（4

四、巩固练习：（见小黑板）

五、应用拓展

例2 填空：当a≥0；当a<0，?并根据这一性质回答下列问题．

（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？

（3，则a可以是什么数？

（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数

是正数，因为，当a≤0-a≥0．

（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．

解：（1，所以a≥0；（2，所以a≤0；

（3）因为当a≥0，，即使a>a所以a不存在；当a<0，，即使-a>a，a<0综上，a<0

例3当x>2

（a≥0）及运用，同时理解当a<0a的应用拓展．

七、布置作业:1．先化简再求值：当a=9时，求

甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．

两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．

2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：注意根式有意义的隐含条件）

3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│

21．2 二次根式的乘除（1）

教学目标：1a≥0，b≥0）a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简

2a≥0，b≥0）并运用它进行计算；?利用逆向思维，得

a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．

教学重难点关键

1a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及它们的运用．

2a≥0，b≥0）．

教学过程：一、设疑自探——解疑合探

自探.（学生活动）请同学们完成下列各题．

1．填空：（1；（2．

（3．

参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．

2．利用计算器计算填空

（1（2

（3（4

（5

（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．

老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，?并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．

一般地，对二次根式的乘法规定为

反过来:

合探1. 计算：（1，（2，（3，（4

a≥0，b≥0）计算即可．

合探2 化简（1，（2，（3，（4（5

a≥0，b≥0）直接化简即可．

二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！

三、应用拓展：判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1

（2=4

四、巩固练习（1）计算（生练，师评）①②

(2) 化简:

五、归纳小结（师生共同归纳）

本节课掌握：（1（a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及运用．

六、作业设计（写在小黑板上）

（一）、选择题

1，?那么此直角三角形斜边长是（）

A．B．C．9cm D．27cm

2．化简）．A B C．D．

31

x-=）

A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1

4．下列各等式成立的是（）．

A．B．C．D．

（二）、填空题：

1．

2．自由落体的公式为S=1

2

gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是

_________．

（三）、综合提高题探究过程：观察下列各式及其验证过程．

（1）

验证：

=

（2）

验证：

=

同理可得：==

通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．

21．2 二次根式的乘除（2）

教学目标;1a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算．

2、利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它

们进行计算和化简．

教学重难点关键

1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及用它们进行计算和化简．

2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．

教学过程; 一、设疑自探——解疑合探

自探.（学生活动）请同学们完成下列各题：

1．填空（1；（2；

（3；（4．

2．利用计算器计算填空:

（1=_____，（2=_____，（3=____，（4．

每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评），根据大家的练习和回答，

我们进行合探：

二次根式的除法规定：

一般地，对二次根式的除法规定：

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．

（2（3（4

合探1．计算：（1

分析：上面4a≥0，b>0）便可直接得出答案．

合探2．化简：（1（2（3（4

a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的． 二、应用拓展

=

，且x 为偶数，求（1+x

a ≥0，b>0时才能成立． 因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6

三、归纳小结（师生共同归纳）

a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及其运用．

四、作业：（写在小黑板上） (一)、选择题:

1 ）．

A ．2

7

； B ．27

； C ； D

2

=

==

=

数学上将这种把分母的根号去掉的过程

称作“分母有理化”

）．

A ．2

B ．6

C ．13

D

(二)、填空题 1．分母有理化:(1)

=_________;(2)

2．已知x=3，y=4，z=5_______．

(三)、综合提高题 计算

（1·（m>0，n>0）

（2）（a>0）

五、反思及感想：

B A C

22.1 二次根式的乘除(3)

教学目标：1、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．

2、通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二

次根式的要求．

重难点关键：1．重点：最简二次根式的运用．

2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．

教学过程

一、设疑自探——解疑合探

自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）

计算（1

（2

，（3

自探2. 观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．）

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

合探1. 把下面的二次根式化为最简二次根式：

(1)

; (2)

合探2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．

13

2

====6.5（cm）

因此AB的长为6.5cm．

二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！

三、应用拓展

观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：

1

21

=

-

，

=

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

）

）的值．

分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．

四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．

五、作业设计（写在小黑板上）

（一）、选择题

1

（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．

2．把（a-1a-1）移入根号内得（ ）．

A B C ． D ． 3．在下列各式中，化简正确的是（ ）

A B ±12

C 2

D ．

4

的结果是（ ） A ． ； B ．； C ．； D ．（二）、填空题

1．（x ≥0）

2．_________．

（三）、综合提高题

1．已知a ?请写出正确的解

答过程：

·1

a

（a-1

2．若x 、y 为实数，且x y -的值．

21.3 二次根式的加减(1)

教学内容 ： 二次根式的加减

教学目标 ： 理解和掌握二次根式加减的方法． 重难点关键：1．重点：二次根式化简为最简根式．

2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．

教学过程：

一、设疑自探——解疑合探 自探（学生活动）：计算下列各式．

（1）；（2）；（3；（4）

因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如

的．（板书）和 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将被开方数相同的二次根式进行合并．

合探1．计算：（1 （2 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并． 合探2．计算

（1） （2）

）+ 二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！

三、应用拓展

已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（2

3

+y 2

-（x ）的值．

分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，

即x=

1

2

，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类二次根式，最后代入求值．

四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握：

（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式； （2）相同的最简二次根式进行合并． 五、作业设计（写在小黑板上） （一）、选择题

1 ）

． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④

2．下列各式：①3

+3=6；②

1

7

=1；③+==2；④

=2，其中错误的有

（ ）． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 （二）、填空题

1

是同类二次根式的有________．

2．计算二次根式________． （三）、综合提高题

1 2.236

-（结果精确到0.01）

2．先化简，再求值．

（

-（，其中x=32

，y=27． 21.3 二次根式的加减(2)

教学目标 ： 运用二次根式、化简解应用题．

重难点关键：讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点． 教学过程：

一、设疑自探——解疑合探

上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固．

自探1．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/?秒的速度向

点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示） 分析：设x 秒后△PBQ 的面积为35平方厘米，那么PB=x ，BQ=2x ，?根据三角形面积公式就可以求出x 的值．

解：设x 后△PBQ 的面积为35平方厘米． 则有PB=x ，BQ=2x

依题意，得：

1

2

x ·2x=35 x 2=35

PBQ 的面积为35平方厘米．

=

==

PBQ 的面积为35平方厘米，PQ 的距离为 自探2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m ）？

解：由勾股定理，得 ==

=

所需钢材长度为 ≈3×2.24+7≈13.7（m ）

答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m 的钢材．）

三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 四、应用拓展

若最简根式3a a 、b 的值． 注：（?同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）

分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；?

是最简二次根式，因此把化简成|b|·，才由同类二次根式的定义得3a-?b=?2，

2a-b+6=4a+3b ．

由题意得432632

a b a b a b +=-+??

-=? ∴24632

a b a b +=??

-=? ∴a=1，b=1

五、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题． 六、作业设计（写在小黑板上） （一）、选择题

1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．

A ．

B

C ．

D ．以上都不对

2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形的木框，?为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉

上了一根木条，木条的长应为（ ）米．

A ．

B

C ．

D ． （二）、填空题

1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m 2，?鱼塘的宽是_______m ．

2?那么这个等腰直角三角形的周长是________．

（三）、综合提高题

1n m 、n 的值． 2．同学们，我们以前学过完全平方公式a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，

那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=2，

5=2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：

）2=2-2·12

反之，）2 ∴）2

求：（1 （2（3

（4，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由．

21.3 二次根式的加减(3)

教学内容：含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；

乘法公式的应用．

教学目标：1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算． 重难点关键：1、重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；

2、难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．

教学过程

一、设疑自探——解疑合探 自探1.（学生活动）：请同学们完成下列各题: 1．计算：（1）（2x+y ）·zx （2）（2x 2y+3xy 2）÷xy 2．计算：（1）（2x+3y ）（2x-3y ） （2）（2x+1）2+（2x-1）2

老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）?单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）

多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．

如果把上面的x 、y 、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？?仍成立．

整式运算中的x 、y 、z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，?当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．

自探2.计算：（1） （2）（ 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，?所以直接可用整式的运算规律．

自探3. 计算：（1））（ （2）

分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立． 二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！ 三、应用拓展：已知x b a

-=2-x a b

-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，

=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可．

解：原式2

=2(1)x x +-+2(1)x x

+- =（x+1） =4x+2

∵

x b a

-=2-x a b - ∴b （x-b ）=2ab-a （x-a ） ∴bx-b 2=2ab-ax+a 2 ∴（a+b ）x=a 2+2ab+b 2 ∴（a+b ）x=（a+b ）2 ∵a+b ≠0 ∴x=a+b

∴原式=4x+2=4（a+b ）+2

四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算． 五、作业设计（写在小黑板上） （一）、选择题

1． ）．

A ．20

3

B ．2

3

C ．2

3

D ．20

3

2 ）．A ．2 B ．

3 C ．

4 D ．1 （二）、填空题

1．（-12

2的计算结果（用最简根式表示）是________．

2．（（-（）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．

3．若，则x 2+2x+1=________．

4．已知a 2b-ab 2=_________． （三）、综合提高题

1

2．当

的值．（结果用最简二次根式表示）

六、反思及感想：

23.1 一元二次方程

教学目标：

1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02

=++c bx ax （a ≠0）2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关

系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。 重点难点：

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华东师大版数学九年级上知识点小结 第21章 二次根式 1、二次根式的意义 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式。 二次根式a 有意义，a 的取值范围是;0≥a 当a 0<时，a 在实数范围内没有意义。 2、最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（被开方数因数因式的次数为1）； ③分母不含根式。 3、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式 以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 4、二次根式的主要性质 （1）双重非负性：)0(0≥≥a a （2）还原性：（a 2)=a )0(≥a 。 ＊（3）绝对性：?? ???<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a 5、二次根式的运算 （1）因式的外移和内移 如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根 号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。 反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。 （2）有理化因式与分母有理化 两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 （3）二次根式的加、减法 先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。步骤：一化二找三合并 （4）二次根式的乘、除法 二次根式相乘（除），就是把被开方数相乘（除），并将运算结果化为最简二次根 式。 0,0).a b ?=≥≥ = (0,0)b a ≥> （5）加法、乘法运算律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。

华东师大版数学九年级上册教案

23.1 一元二次方程 教学目标： 1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02 =++c bx ax （a ≠0）2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。 重点难点： 1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。 2． 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。 教学过程： 一 做一做： 1．问题一 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 分 析：设长方形绿地的宽为x 米，不难列出方程 x(x ＋10)＝900 整理可得 x 2＋10x －900=0. （1） 2．问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为x ，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x ）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x ）倍，即5（1＋x ）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.可列得方程 5（1＋x ）2=7.2, 整理可得 5x 2＋10x －2.2=0. （2） 3．思考、讨论 这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ （ 学生分组讨论，然后各组交流 ）共同特点：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2 二、 一元二次方程的概念 上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式： ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 是已知数，a ≠0)。 其中2 ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。.

华东师大版九年级数学中考复习模拟试题

华东师大版九年级数学中考复习模拟试题 一、 填空题（20102=?） 1、1-2的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 。 2、因式分解=-+-++121232826m m m x x x 。 3、桌上摆着一个由正方体木块组成，主视图如A 所示，左视图如B 所示，这个几何体最多有 块木块，最少有 块木块。 4、一幢大楼有三个楼梯，4个人从楼上下来，4个人同走一个楼梯的概率 是 。 5、已知点)3,(-a P 与O(2,b)关于原点对称，则a= ,b= . 6、已知函数x k y = 与8+-=x y 有两个不同的交点，则k 的取值范围为 。 7、关于x 的方程(n-1)x n-1-2x n+1 +n=0是一元二次方程，则n= . 8、已知半径分别9CM 为3CM 和的两圆外切，那么它们的外公切线的中点到两圆切点的离是 。 9、如图AB=8CM ，BC=7CM ，AC=6CM ，BE=CE ，那么CD= 。 10、如图，矩形ABCD 的顶点A 在坐标原点，AB ，AD 分别在X 轴，Y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（1，0），点D 的坐标为)3,0(，当此矩形绕点B 旋转到如图 A ’B’C’D’位置时C’的坐标为 . 二、选择题（20102=?） 11、在同一坐标系中，若直线x k y 1=与双曲线x k y 2=没有交点，那么一定 满足（ ） A B B C E D （9） A D B O A’ C’ D’ C (10) X Y

A 0 ,021<>k K B 0,021>K K D 021

2018年华师大版初中数学知识点总结

华师大版初中数学知识点总结 七年级上 第二章有理数 1．相反意义的量向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。 2．正数和负数 像+，+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。 像-5，-2.8，-等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。 【注】0既不是正数也不是负数。 3．有理数 （1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。 分数：正分数和负分数统称为分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 （2）有理数分类 1)按有理数的定义分类2）按正负分类 正整数正整数 整数0 正有理数 有理数负整数有理数正分数 正分数0 负整数 分数负有理数 负分数负分数 【注】有限循环小数叫做分数。 （3）数集把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负数和零组成的数集叫做非负数集。 4．数轴 （1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。 2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数． （2）在数轴上比较有理数的大小 1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 5．相反数 （1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。 （2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义）（3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。 （4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。 （5）数a的相反数是—a。 （6）多重符号化简 多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。 6．绝对值

华师大版九年级数学上册全册教案

第22章一元二次方程 22.1 一元二次方程 【知识与技能】 1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）. 2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识. 【过程与方法】 通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力. 【情感态度】 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情. 【教学重点】 判定一个数是否是方程的根. 【教学难点】 由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.

一、情境导入，初步认识 问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整理可得x2+10x-900=0.（1） 问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5 （1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0（2） 【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题. 二、思考探究，获取新知 思考、讨论 问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点： （1）都是整式方程 （2）只含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2 【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：

九年级上学期-数学-知识点总结(华东师大版)

? ? ? ? 华师大版九年级上册数学知识点总结 第21 章二次根式 1.二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式． 2.二次根式的性质： ?(a > 0)（1）( a ) 2 =（a≥0）；（2） 0)；（3） 3.二次根式的乘除： a 2 = = ? (a = 0) ?(a < 0) ?= (a ≥0,b≥0) 计算公式：? ? ? = (a ≥0,b>0) 4.概念：?1.最简二次根式：(1) (2) (3) ? 2.同类二次根式： 5.二次根式的加减：(一化，二找，三合并) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式． 6.二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：根据算 术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母． 7.二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． （3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 1.一元二次方程： 第22 章一元二次方程 1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程． 2) 一元二次方程的一般形式：ax2 +bx +c = 0(a ≠ 0) ．它的特征：等式左边 是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零． ax 2 叫做二次项，a叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c叫做常数项．2.一元二次方程的解法： 1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法． 直接开平方法适用于解形如(x +a)2 =b 的一元二次方程．根据平方根的定义可知，x +a 是b 的平方根，当b ≥0时，x +a =± b ，x =-a ± b ，当b<0 时，方程没有实数根． 2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式a2 ± 2ab +b2 = (a +b)2 ，把公式中的a 看做未知 数x，并用x 代替，则有x2 ± 2bx +b2 = (x ±b)2 ．

华东师范大学出版社九年级上册数学知识点总结

华师大版九年级上册数学知识点总结 第21章 二次根式 1. 二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式． 2. 二次根式的性质： （1）=2)( a （a ≥0）；（2 ；（3） ?? ? ??<=>==)0___()0___() 0___(____2a a a a 3. 二次根式的乘除： 计算公式：___(0,0) ___(0,0) a b a b ?=≥≥??=≥>?? 4. 概念： 1.2.?? ?最简二次根式：(1) (2) (3) 同类二次根式： 5. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式． 6. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母． 7. 二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． （3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 第22章 一元二次方程 1. 一元二次方程： 1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整

式方程． 2) 一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ． 它的特征：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零． 2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项 系数；c 叫做常数项． 2. 一元二次方程的解法： 1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法． 直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程．根据平方根 的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+， b a x ±-=， 当b <0时，方程没有实数根． 2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式22 2)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有22 2)(2b x b bx x ±=+±． 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式． 3) 公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法． 一元二次方程 ) 0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 4) 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法． 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式． 3. 一元二次方程根的判别式： 一元二次方程 ) 0(02≠=++a c bx ax 中， ac b 42-叫做一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=?． 1) 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

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华东师大版数学九年级上知识点小结 第21章 二次根式 1、二次根式的意义 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式。 二次根式a 有意义，a 的取值范围是;0≥a 当a 0<时，a 在实数范围内没有意义。 2、最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（被开方数因数因式的次数为1）； ③分母不含根式。 3、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式 以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 4、二次根式的主要性质 （1）双重非负性：)0(0≥≥a a （2）还原性：（a 2 )=a )0(≥a 。 ＊（3）绝对性：?? ???<-=>==)0()0(0) 0(2 a a a a a a a 5、二次根式的运算 （1）因式的外移和内移 如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。 反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。 （2）有理化因式与分母有理化 两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 （3）二次根式的加、减法 先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。步骤：一化二找三合并 （4）二次根式的乘、除法 二次根式相乘（除），就是把被开方数相乘（除），并将运算结果化为最简二次根式。 0,0).a b ? =≥≥ = (0,0)b a ≥> （5）加法、乘法运算律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。 附：1、根式 )0,0(>≥a b a b 的化简方法 （1）把 a b 化为,a b 然后分母有理化为 .a ab （2）把a b 化为a a a b ??，然后化为 .a ab 2、 分母有理化的关健是确定有理化因式，其基本方法为： (1)根据（a ）a =2 )0(≥a 可知a (2)根据平方差公式，可知b ±a 的有理化因式为b a μ，y b x a ±的有理化因式是y b x a μ 第22章 一元二次方程： 1、只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这

华东师大版九年级数学上全册完整教案

华东师大初中九年级数学上册教案 21．1. 二次根式（1） 教学目标：1a ≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键：1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2a ≥0）”解决具体问题． 教学过程：一、回顾 当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根． 当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a 是负数时，a 没有意义． 二、概括：a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，它的平方 等于a ．即有： （1）a ≥0（a ≥0）； （2）2)(a =a （a ≥0）． 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式． 注意：在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数． 三、例题讲解 例题： x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？ 分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数． 解： 被开方数x-1≥0，即x ≥1． 所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义． 思考：2a 等于什么？ 我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律： 概括: 当a ≥0时，a a =2； 当a ＜0时，a a -=2． 这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方” 出来，从而达到化简的目的．例如： 22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==． 四、练习: x 取什么实数时，下列各式有意义. （1）x 43-； （2）23-x ； （3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+- 五、 拓展

2017年华东师大版九年级数学上册全册教案(含教学反思)

二次根式 21.1 二次根式 【知识与技能】 1.理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目. 2.理解a（a≥0）是非负数和(a)2=a. a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简. 3.理解2 【过程与方法】 1.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题. 2.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出(a)2=a（a≥0），最后运用结论严谨解题. 3.通过具体数据的解答，探究并利用这个结论解决具体问题. 【情感态度】 通过具体的数据体会从特殊到一般、分类的数学思想，理解二次根式的概念及二次根式的有关性质. 【教学重点】 1.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式. 2. a（a≥0）是一个非负数；(a)2=a（a≥0）及其运用. 3. 【教学难点】 利用“a（a≥0）”解决具体问题. 关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出

一、情境导入，初步认识 回顾： 当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根. 当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根. 当a是负数时，a没有意义. 【教学说明】通过对算术平方根的回顾引入二次根式的概念. 二、思考探究，获取新知 概括：a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，它的平方等于a.即有： （1）a≥0；（2）(a)2=a（a≥0）. 形如a（a≥0）的式子叫做二次根式. 注意：在a中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数. 思考：2a等于什么？ 我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3等，分别计算对应的2a的值，看看有什么规律. 概括：当a≥0时，2a=a；当a＜0时，2a=-a. 三、运用新知，深化理解 1.x取什么实数时，下列各式有意义？ 2.计算下列各式的值：

(完整版)华师大版初中数学目录(新)

最新华师大版初中数学教科书目录 七年级上 第1章走进数学世界 数学伴我们成长 人类离不开数学 人人都能学会数学 第2章有理数 § 2.1有理数 1. 正数与负数 2. 有理数 § 2.2数轴 1. 数轴 2. 在数轴上比较数的大小 § 2.3相反数 § 2.4绝对值 § 2.5有理数的大小比较 § 2.6有理数的加法 1. 有理数的加法法则 2. 有理数加法的运算律 § 2.7有理数的减法 § 2.8有理数的加减混合运算 1. 加减法统一成加法 2. 加法运算律在加减混合运算中的应用§ 2.9有理数的乘法 1. 有理数的乘法法则 2. 有理数乘法的运算律 § 2.10有理数的除法 § 2.11有理数的乘方 § 2.12科学记数法 § 2.13有理数的混合运算 § 3.1列代数式 1.用字母表示数 2.代数式 3.列代数式 § 3.2代数式的值 § 3.3整式 1.单项式 2.多项式 3.升幕排列与降幕排列§ 3.4整式的加减 1. 同类项 2. 合并同类项 3. 去括号与添括号 4. 整式的加减 第4章图形的初步认识 § 4.1生活中的立体图形 § 4.2立体图形的视图 1. 由立体图形到视图 2. 由视图到立体图形 § 4.3立体图形的表面展开图 § 4.4平面图形 § 4.5最基本的图形一点和线 1. 点和线 2. 线段的长短比较 § 4.6 角 1. 角 2. 角的比较和运算 3. 余角和补角 第5章相交线与平行线 § 5.1相交线 1. 对顶角 2. 垂线 3. 同位角、内错角、同旁内角§ 5.2平行线 1. 平行线 2. 平行线的判定 3. 平行线的性质 七年级下 第6章一元一次方程 § 6.1从实际问题到方程 § 6.2解一元一次方程 1. 等式的性质与方程的简单变形 2. 解一元一次方程 § 6.3实践与探索 第7章一次方程组 § 7.1二元一次方程组和它的解 § 7.2二元一次方程组的解法

华东师大版数学教材九年级

华东师大版数学教材九年级(上)教材分析 作者：李伟金(课堂教学评价技能与方法广西崇左大新课堂教学评价技能与方法六班) 评论数/浏览数： 0 / 613 发表日 期： 2010-12-13 23:25:27 二次根式一元二次方程图形的相似解直角三角形随机事件的概率 第二十二章二次根式 一、教学内容： 本章的主要内容是二次根式的概念和基本性质，二次根式的化简以及二次根式的运算。 二、教学目标： 1．了解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件和基本性质。 2．了解二次根式的性质，并会用来化简二次根式。 3．理解二次根式的乘除法法则，会进行简单的二次根式的乘除运算。 4．理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会进行简单的二次根式的加减运算。5．了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简。 三、课时安排： 22．1二次根式…………（2课时） 22．2二次根式的乘除法…（3课时） 22．3二次根式的加减法…………（1课时） 复习……………………………（2课时） 第23章一元二次方程 一、教学目标 1．联系一次方程、方程组和函数的基本知识，继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律，让学生进一步体会“方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”。 2．了解一元二次方程的基本概念，理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法。

3．理解配方法的意义，会用直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。 4．会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否和合理。 5．联系实际，让学生进一步经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程，获得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，更好地体会数学的价值。 6．结合实践与探索，让学生经历探究性学习的过程，从根本上改变学习方式，发展思维，提高学生自主学习和合作交流两方面的能力。 二、教材特点 本章的内容主要有两个方面： （1）一元二次方程的基本概念及其解法； （2）一元二次方程在实际问题中的应用——实践与探索。教材充分注意了两者的关系，始终将本章的教学置于实际情境之中，让学生充分感受和经历在实际问题中抽象出数学模型，并回到实际问题中进行解释、检验和应用的过程，体会数学的价值。 一元二次方程的学习是一次方程、方程组和不等式知识的延续与深化，也是函数等重要数学思想方法的基础，根据课程改革的基本理念，教材中作了如下安排： 1．创设学生熟悉的生活情境，联系实际，导入对基本内容的学习与探索，选用的题材贴近学生生活，具有时代气息，有利于激发学生的学习兴趣，体现数学的价值。注重引导学生对实际问题进行数量关系的分析，体现数学建模的思想和方法，破除形式化的概念教学和繁琐的模式训练。 2．删繁就简，注意数学思想方法的渗透，重视学生能力的培养。教材简化了概念的引入，删除了一些繁琐而实际意义不大的解方程运算，以及一些繁、难、偏、旧的应用问题。注重引导学生参与知识的探索过程，在介绍一元二次方程的解法时，注意与一元一次方程知识的联系与转化，并引导学生体会和熟悉几种解法之间的相互关系。 3．充分体现以学生为主体的教育理念，教材从例题、练习的安排及其开放性设计，到设置“实践与探索”单元，都力图创设有利于学生进行自主探索与合作交流的情境。

华东师大版初中数学按章节目录(最新整理)

华东师大版 初中数学按章节目录七年级上 第1章走进数学世界 §1.1 从实际问题到方程：1. 数学伴我们成长；2. 人类离不开数学；3. 人人都能学会数学；阅读材料华罗庚的故事；视数学为生命的陈景润；少年高斯的速算； §1.2 让我们来做数学；1. 跟我学；2. 试试看；阅读材料幻方. 第2章有理数 §2.1 正数和负数：1. 相反意义的量；2. 正数与负数；3. 有理数； §2.2 数轴；1. 数轴；2. 在数轴上比较数的大小； §2.3 相反数； §2.4 绝对值； §2.5 有理数的大小比较；1. 数轴；2. 在数轴上比较数的大小； §2.6 有理数的加法；1. 有理数的加法法则； 2. 有理数加法的运算律； §2.7 有理数的减法； §2.8 有理数的加减混合运算；1. 加减法统一成加法；2. 加法运算律在加减混合运算中的应用； 阅读材料中国人最早使用负数； §2.9 有理数的乘法；1. 有理数的乘法法则； 2. 有理数乘法的运算律； §2.10 有理数的除法； §2.11 有理数的乘方； 阅读材料10003与31000； §2.12 科学记数法； 阅读材料光年和纳米； §2.13 有理数的混合运算； §2.14 近似数和有效数字； §2.15 用计算器进行数的简单运算； 阅读材料从结绳记数到计算器； 小结； 复习题 第3章整式的加减 §3.1 列代数式：1. 用字母表示数；2. 代数式； 3. 列代数式；§3.2 代数式的值； 阅读材料有趣的“3x+ 1”问题； §3.3 整式；1. 单项式；2. 多项式；3. 升幂排列与降幂排列； §3.4 整式的加减；1. 同类项；2. 合并同类项； 3. 去括号与添括号； 4. 整式的加减； 阅读材料用分离系数法进行整式的加减运算；供应站的最佳位置在哪里； 复习题； 课题学习身份证号码与学籍号 第4章图形的初步认识 §4.1 生活中的立体图形； 阅读材料欧拉公式； §4.2 画立体图形；1. 由立体图形到视图；2. 由视图到立体图形； §4.3 立体图形的表面展开图； §4.4 平面图形； 阅读材料七巧板； §4.5 最基本的图形－点和线；1. 点和线；2. 线段的长短比较； §4.6 角；1. 角；2. 角的比较和运算；3. 角的特殊关系； §4.7 相交线；1. 垂线；2. 相交线中的角；§4.8 平行线；1. 平行线；2. 平行线的识别； 3. 平行线的特征； 小结； 复习题； 第5章数据的收集与表示 §5.1 数据的收集；1. 数据有用吗；2. 数据的收集； 阅读材料赢在哪里；谁是《红楼梦》的作者；§5.2 数据的表示；1. 利用统计图表传递信息；2. 从统计图表获取信息； 阅读材料计算机帮我们画统计图 小结； 复习题； 课题学习图标的收集与探讨 七年级下： 第6章一元一次方程； §6.1 从实际问题到方程； §6.2 解一元一次方程；1. 方程的简单变形； 2. 解一元一次方程； 阅读材料丢番图的墓志铭与方程；

(完整word版)华师大版九年级下册数学知识点总结

华师大版九年级下册数学知识点总结 第二十六章 二次函数 一、二次函数概念： 1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零。二次函数的定义域是全体实数。 2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。 ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：

3. ()2 y a x h =-的性质： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。 概括成八个字“左加右减，上加下减”。 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）

华师大版初中数学知识点总结

数学知识点总结 1 2 像+12（2 1) 有理数（3 4（1）【注】 （2 1）2） 5 （1 5 （几何意义）不能单独存在。 如果是偶数个， 叫做数

（3(4)(5)（6123）7(1)12）34（28. 9-8+6，负4的和”

（2 （3 13 （1 （2 数法。 （3） 14 （1 （2 （3 15 （1 （2 （3 （4） 2 1 2 （1） （2 1)代数式中出现的乘号，通常写作“”或省略不写。 但数字与数字相乘时，要用“”。 2 3 4) 5) 3．单项式 （1）如100t、6a、2.5x、vt、- n，它们都是数或 字母的积，像这样的式子叫做单项式，单独的一个数 或一个字母也是单项式。 （2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单 1时，“1”通常 (3)一个多项式含有几项，就叫几项式；例如：x

7（1（2(3)1面的“2（41（1（212（312（42（1） 、“一三二Z n 边a 。 a

（3 （4 2 （5 做法： （6 7．角 （1 （2） 无关。 （3 1）用数字表示单独的一个角。如∠1，∠2等 2）用小写的希腊字母表示单独的一个角。如∠， ∠等 3）用一个大写的英文字母表示独立（在一个顶点处只 4 等。 （4 直角∠= 交前 （直角），就说 （平角），就

（2 （3 9 直线l截直线a、b得到八个角。 ∠6 与∠5 10．平行线 （1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 若直线a与直线b互相平行，记作“//b”。 【注】 行。 （2 （3 画 （4 明确调查对确定调查对象选择调查方法 展开调查记录结果得出结 论 2．频数：表示每个对象出现的次数 方程 从方程的一 这样的方程叫

2020华东师大版初中数学9年级全册知识点汇总

九年级上 第二十一章 二次根式 1．二次根式 )0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，也就是说，)0(≥a a 是一个非负数，它的平方等于a ，即有：（1）)0(0≥≥a a （2）())0(2≥=a a a 形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式。 二次根式的性质：???<-≥=) 0()0(2a a a a a 2．二次根式的乘法 两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘。 )0,0(≥≥=?b a ab b a 3．积的算术平方根 积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。主要用于二次根式的化简。 )0,0(≥≥?=b a b a ab 4．二次根式的除法 两个二次根式相除，将它们的被开方数相除。 )0,0(>≥=b a b a b a 1． 商的算术平方根 商的算术平方根，等于各因式算术平方根的商。主要用于分母有理化，就是使分母中不含有二次根式，并且二次根式中不含有分母。 )0,0(>≥=b a b a b a 7．最简二次根式 被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，这样的二次根式称为最简二次根式。 8．二次根式化简主要包括两方面 （1）如果被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将分母配成完全平方，再“开方”出来。 （2）如果被开方数中含有完全平方的因式（或因数），可利用积的算术平方根的性质，将它“开方”出来。 9．同类二次根式 像33与32-， a 3、 a 2-与 a 4这样的几个二次根式，称为同类二次根式。 二次根式的加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。

第二十二章 一元二次方程 1．一元二次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。 一般形式：c b a c bx ax ,,(02 =++是已知数，)0≠a 。其中c b a ,,分别叫做二次项的系数，一次项的系数，常数项。 2．一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 （2）因式分解法 （3）配方法 （4）公式法 () 042422≥--±-=ac b a ac b b x 3．一元二次方程的判别式，ac b 42 -=? 当0>?时，方程有两个不等的实根。 当0=?时，方程有两个相等的实根。 当0

华东师大版九年级上数学期末模拟试题

B 初中九年级12月月考试题 数 学 （120分钟完卷，满分120分） 友情提示：亲爱的同学，你好！今天是你展示才能的时候了，只要你仔细审题，认真答题，把你正常的水平发挥出来，你就有出色的表现。放松一点，请相信自己的实力！ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。 1、下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A 、12+a B 、a 4 C 、5 1 D 、4a 2、函数y=1+x + 2 1 -x 的自变量x 的取值范围是（ ） A 、x≥-1 B 、x≤-1 C 、x≠2 D 、x≥-1且x≠2 3、若关于x 的方程 x 2-m=2x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A 、m ＞-1 B 、m ＜-2 C 、m≥0 D 、m ＜0 4、已知实数x 满足x 2+ 2 1x +x+x 1 =0，如果设 x+x 1 =y ,则原方程可变形为（ ） A 、y 2 +y-2=0 B 、y 2 +y+2=0 C 、y 2 +y=0 D 、y 2 +2y=0 5、太阳光照射下的某一时刻，1.5m 高的竹竿影长2.5m,那么影长为30m 的旗杆的高是（ ）. A 、20m B 、18m C 、16m D 、15m 6、如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 么S △ABC ∶S △BCD =( ) A 、2∶1 B 、3∶1 C 、3∶1 D 、4∶1 7、sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（ ） A 、cos28°＜ cos58° ＜ sin58° B 、sin58° ＜ cos28°＜cos58° 2013.12

华东师大版九年级上册数学期末试卷及答案

1 / 5 九年级数学试题 一.选择题 1. 下列各式中，与2是同类二次根式的是（） A.4 B.8 C.12 D.24 2. 下列方程中是一元二次方程的是（） A.210x?? B.21yx?? C.210x?? D.211xx?? 3. 用配方法解方程210xx???，配方后所得方程是（） A.(x－12)2 ＝ 34 B.(x＋12)2 ＝ 34 C.(x＋12)2 ＝ 54 D. (x－12)2 ＝ 54 4. 在“红桃5、红桃7、红桃9”这三张扑克牌中任取一张，抽到“红桃7”的概率是( ) A.21 B.31 C.23 D.1 5．如图，∠1=∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（） A.∠D=∠B B.∠E=∠C C.ACAEABAD? D.BCDEABAD? 6. 如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m，他在地面上的影长为2.1m．若小芳比爸爸矮0.3m，则她的影长为（） A.1.3m B.1.65m C.1.75m D.1.8m 7.

在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则sin α的值为（） A.12 B.22 C.32 D.33 8.如图，R t△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=4，CD=3．下列结论①∠AED=∠ADC；②=；③AC?BE=12；④3BF=4AC，其中结论正确的个数有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二.填空题 9．若x<2，化简xx???3)2(2的正确结果是 10．若关于x的一元二次方程0235)1(22??????mmxxm的一个根为0，则m的值等于 11. 计算：2cos30tan60?＝_________．． 12. 关于x的一元二次方程220xxm???有两个实数根，则m的取值范围是 2.1m (第6题图) 太阳光线 α (第7题图) ED21CBA(第5题图) (第8题图) 2 / 5 第15题图13. 商店举办有奖销售活动，活动办法如下：凡购货满100元者发奖券一张，多购多得，每10000张奖券为一组进行开奖，每组设特等奖1个，一等奖50个，二等奖100个，那么买100元商品的中奖概率是__________. 14. 设12,xx是方程????1310xxx????的两根，则12xx?? . 15．如图，已知AD是△ABC的中线，AE=EF=FC，下面给出三个关系式： ①. AG:AD=1:2；②. GE:BE=1:3 ③. BE:BG= 4:3，其中正确的为

2020最新华东师大版九年级数学下册期末试卷(有答案)

2020 年春学期初三数学期末试卷 一、选择题 1．下列函数是二次函数的是（ ） 2 A ．y=x+1 B ．y=x +1 2．以下问题，不适合普查的是（ ） A ．了解一批灯泡的使用寿命 B ．学校招聘教师，对应聘人员的面试 C ．了解全班 学生每周体育锻炼时间 D ．进入地铁站对旅客携带的包进行的安检 3．下随有关圆的一些结论：①任意三 点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等； ③平分弦的直径垂宜于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补．其中 错误的结论有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3 个 D ．4个 4．中华汉字，源远流长．某校为了传承中华优秀传统文化，组织了一次全校 3000 名 学生参加的“汉字听写”大赛为了解本次大赛的成绩，学校随机抽取了其中 200 名 学生的成绩进行统计分析在这个问题中，下列说法： ①这 3000 名学生的“汉字听写”大赛成绩的全体是总体 ②每个学生是个体 ③200名学生是总体的一个样本 ④样本容量是 200．其中说法正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3 个 D ．4个 5．矩形的周长为 12cm ，设其一边长为 xcm ，面积为 ycm 2，则 y 与 x 的函数关系式 及其 自变量 x 的取值范围均正确的是（ ） 22 A ．y=﹣x 2+6x （30；② a+b+c=2；③ b 2﹣4ac <0；④ b <2a ． 其中正确的结论是（ ） 2 D ．y=ax