高等代数(上)期末复习题培训课件
高等代数（1）复习题
一、判断题
1、四阶行列式中含因子2311a a 的项为42342311a a a a 和44322311a a a a 。（ ）
2、设D 为六阶行列式，则162534435261a a a a a a 是D 中带负号的项。（ ）
3、对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变。（ ）
4、排列()3211Λ-n n 的逆序数为n 。（ ）
5、排列()3211Λ-n n 为偶排列。（ ）
6、若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数。（ ）
7、若22B A =，则B A =或B A -=。（ ）
8、若AC AB =，0≠A ，则C B =。（ ）
9、若矩阵A 满足A A =2，则0=A 或E A =。（ ） 10、设A 是n 阶方阵，若0≠A ，则必有A 可逆。（ ） 11、若矩阵A 满足02=A ，则0=A 。（ ）
12、若矩阵B A ,满足0AB =，且0A ≠，则0B =。（ ） 13、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111
---=B A AB 。（ ）
14、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111
---+=+B A B A 。（ ）
15、设A ，B 为n 阶方阵，则必有B A B A +=+。（ ） 16、设A ，B 为n 阶方阵，则必有BA AB =。（ ） 17、若矩阵A 与B 等价，则B A =。（ ）
18、若A 与B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵。（ ）
19、若矩阵A 的所有1r +级的子式全为零，则A 的秩为r 。（ ） 20、设n m A ?，n m B ?为矩阵，则()()()B R A R B A R +≤+。（ ） 21、设A =0，则()0=A R 。（ ）
22、线性方程组0=?X A n n 只有零解，则0≠A 。（ ） 23、若b AX =有无穷多解，则0=AX 有非零解。（ ）
24、设n 级方阵C B A ,,满足ABC E =，E 为单位矩阵，则CAB E =。（ ）
25、要使????? ??=→
2111ξ，???
?
?
??-=→0112ξ都是线性方程组0=AX 的解，则系数矩阵A 可为()111-。（ ）
26、若n ，，，αααΛ21线性无关，且02211=+++n n k k k αααΛ，则021====n k k k Λ。（ ）
27、单独的一个零向量是线性相关的。（ ）
28、若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同。（ ） 29、一个向量组若线性无关，则它的任何部分组都线性无关。（ ）
30、向量组n ，，，αααΛ21（2≥n ）线性相关，则其任何部分向量组也线性相关。（ ）
31、若向量组有一个部分向量组线性无关，则原来的向量组也线性无关。（ ）
32、向量组n ，，，αααΛ21线性相关，则n α必由121-n ，，，αααΛ线性表示。（ ）
33、若向量组n ，，，αααΛ21线性相关，那么其中每个向量都是其余向量的线性组合。（ ）
34、若向量组12,,,s αααL （2s ≥）线性相关，则存在某个向量是其余向量的线性组合。（ ） 35、两个向量线性相关，则它们的分量对应成比例。（ ） 36、任意n 个1+n 维向量必线性相关。（ ） 37、任意1+n 个n 维向量必线性相关。（ ）
38、向量组n ，，，αααΛ21的秩为零的充要条件是它们全为零向量。（ ）
39、线性方程组的任意两个解向量之和仍为原线性方程组的解。（ ） 40、齐次线性方程组的任意两个解向量之和仍为原线性方程组的解。（ ）
二、填空题 第一组：
1、已知排列1s46t5为奇排列，则s 、t 依次为
2、若排列n x x x ,...,,21的逆序数是k ，则排列11,...,,x x x n n -的逆序数是
3、四阶行列式
6
5
9
4
3
825071643
2
1
---中元素23a 的代数余子式为
4、44322311a a a a 在四阶行列式中应带 号
5、
=0
000000
000
00d c b a 6、()=????? ??--123321 7、()=?
??
?? ??123321 8、=???? ??n 101λ 9、=???
? ??k
1011 10、设()()1,2,2,1==B A ，则()
=99
B A T
11、设???
?
?
??=600230321A ，则()
=-1
*
A 12、设A 为三阶方阵，3=A ，则*125A A --=
13、设???
?
??-=θθ
θθ
cos sin sin cos A ，则=-1A 14、设???? ??=d c b a A ，当d c b a ,,,满足 时，1-A 存在，此时=-1
A 17、设n 阶方阵A 满足022=+-E A A ，则=-1A
18、要使矩阵???
?
? ??01112421λ的秩取得最小值，则=λ
19、列向量组n ，，
，αααΛ21的秩与矩阵A=()n ，，，αααΛ21的秩 20、设向量组()3211=α，()4132=α，()7653=α，()1204=α线性 关
21、设()11111，，，
=α，()11102，，，=α，()11003，，，=α，()10004，，，=α线性 关 22、已知()0011，，
=α，()0102，，=α，()1003，，=α，()1204，，=α，用321ααα，，线性表示=4α 23、21ααβ，，线性相关，则321αααβ，，，线性 关 24、321αααβ，，，线性无关，则321ααα，，线性 关
25、由m 个n 维向量组成的向量组，当m n 时，向量组一定线性相关
26、b x A n m =?有唯一解的充要条件是 有无穷多解的充要条件是 无解的充要条件是 27、设n 阶方阵A ，若()2-=n A R ，则0=Ax 的基础解系所含向量的个数= 28、已知b Ax =有两个不同的解21,x x ，则0=Ax 有一个非零解为
29、若???
? ??=101a A ，且T
A A =-1，则=a
30、若242(1)1x ax bx -∣
++，则a = ，b = 。
第二组：
1.
32153320537228472184
=
2．123
10120230310
20
30
= 3. 0
000100
200
1
000
Λ
ΛΛΛΛ
Λ
Λ
ΛΛn
n D n -==______________。 4. 设行列式122
03369a
中，余子式213A =，则a ＝__________。 5. 设4
1
2
20
111
21113
1
1
----=
A ，则=+++44342414A A A A 。
6. 行列式9
4132
11
11 的余子式232221M M M ++的值为 。
7．设矩阵A 可逆，且1A =，则A 的伴随矩阵A *
的逆矩阵为 。 8．设A 、B 为n 阶方阵，则2
2
2
()2A B A AB B +=++的充要条件是 。 9．一个n 级矩阵A 的行（或列）向量组线性无关，则A 的秩为 。 10. 设P 、Q 都是可逆矩阵，若PXQ B =，则X = 。
11. 设矩阵1112312536A λμ-?? ?
=- ? ???
，且()2R A =,则(
)()==μλ,。
12. 设A 为n 阶矩阵，且1=A ,则 =)(A R ______________。
13. 2153A ??=
???
,则=-1
A ________________。 14. 已知A 01011,001k ?? ?
=- ? ???
其中0≠k ，则=-1A _________________。
15. 若A 为n 级实矩阵，并且O AA T
=，则A = 。 16. 设A 为5阶方阵，且3det =A ，则=-1
det A
，=')det(A A ， =*)det(A 。
17.=????
? ??=-1
*)(,121210421A A 则 ____________。
18. 设A 为4阶矩阵，且2=A ,则 *2AA =____________。 19. 设)(2
1
I B A +=
，则A A =2的充要条件是 。 20. 设A 为n 阶矩阵，且r A rank =)(，则0=AX 的基础解系中有 个解向量.
21.一个齐次线性方程组中共有1n 个线性方程、2n 个未知量，其系数矩阵的秩为3n ，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数为 。
22.含有n 个未知量n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是 。 23. A 是n n ?矩阵，对任何1?n b 矩阵，方程b AX =都有解的充要条件是_____ __。 24.若120s ααα+++=L ，则向量组12,,,s αααL 必线性
25.已知向量组)4,3,2,1(1=α，)5,4,3,2(2=α，)6,5,4,3(3=α，)7,6,5,4(3=α，则该向量组的秩是 。
26. 单个向量α线性无关的充要条件是_____________。
27. 设m ααα,,,21Λ为n 维向量组, 且n R m =),,,(21αααΛ，则n m 。 28. 1+n 个n 维向量构成的向量组一定是线性 的。（无关，相关） 29.已知向量组),3,1(),3,2,2(),1,0,1(321t ===ααα线性无关，则=t _______。 30. 向量组},,,{21n αααΛ的极大无关组的定义是___________。
31. 设s t t t ,,,21Λ两两不同, 则向量组r i t t t r i i i i ,,2,1,),,,,1(1
2ΛΛ==-α线性 。
32． 多项式可整除任意多项式。
33．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个 条件。
34．实数域上不可约多项式的类型有 种。 35．若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则()p x 是(1)
()
k f x -的 重因式。
三、选择题
1.行列式4
10
3
26
5
7
a --中，元素a 的代数余子式是（ ）。 A ．
40
67
- B ．
4165
C ．4067-
- D ．41
65
-
2. 设,A B n 均为阶矩阵，则下列选项中正确的为（ ）。
A . det()det det A
B A B +=+ B .AB BA =
C ． det()det()AB BA =
D .222()2A B A AB B -=-+
3. 设A 为3阶方阵，321,,A A A 为按列划分的三个子块，则下列行列式中与A 等值的是（ ）
A .133221A A A A A A ---
B .3212
11A A A A A A +++ C ．32
12
1A A A A A -+ D .311
1
32A A A A A +-
4. 设A 为四阶行列式，且2-=A ，则=A A （ ）
A .4
B .52
C ．52-
D .8
5.A 是n 阶矩阵，k 是非零常数，则kA = ( )。
A . k A ；
B . k A ；
C ． n k A
D . ||n k A
6.设A ，B 为数域F 上的n 阶方阵，下列等式成立的是（ ）。
A .det()det()det()A
B A B +=+；B . det()det()kA k A =；
C ．1det()det()n kA k A -=；
D .det()det()det()AB A B =
7. 设*A 为n 阶方阵A 的伴随矩阵且A 可逆，则结论正确的是（ ）
A . **1()||n A A A -=
B . **1()||n A A A +=
C ．**2()||n A A A -=
D .**2()||n A A A +=
8.如果1
1
AA A A I --==，那么矩阵A 的行列式A 应该有（ ）。
A .0A =；
B .0A ≠；
C ．,1A k k =>；
D .,1A k k =<-
9.设A , B 为n 级方阵, m N ∈, 则“命题甲：A A -=-；命题乙：()m
m
m
AB A B =”中正确的是( ) 。
A . 甲成立, 乙不成立；
B . 甲不成立, 乙成立；
C ．甲, 乙均成立；
D .甲, 乙均不成立
10.设*A 为n 阶方阵A 的伴随矩阵，则*
A A =（ ）。
A .2
n A B .n
A C ．2n n
A
- D .21
n n A
-+
11.若矩阵A ，B 满足AB O =，则（ ）。
A .A O =或
B O =；B .A O ≠且B O ≠；
C ．A O =且B O =；
D .以上结论都不正确 12.如果矩阵A 的秩等于r ，则（ ）。
A .至多有一个r 阶子式不为零；
B .所有r 阶子式都不为零；
C ．所有1r +阶子式全为零，而至少有一个r 阶子式不为零；
D .所有低于r 阶子式都不为零 13.如果()r A r =,则 （ ）
A . 至多有一个r 阶子式不为零；
B .所有r 阶子式都不为零
C . 所有1r +阶子式全为零，且至少有一个r 阶子式不为零；
D ．所有低于r 阶子式都不为零
14. 设A 为数域F 上的n 阶方阵，满足2
20A A -=，则下列矩阵哪个可逆（ ）。
A .A
B .A I -
C ．A I +
D 2A I -
15. B A ,为n 阶方阵，O A ≠，且()0R AB =，则（ ）。
A .O
B =； B .()0R B =；
C ．O BA =；
D .()()R A R B n +≤
16. A ，B ，C 是同阶方阵，且ABC I =，则必有（ ）。
A . AC
B I =； B . BA
C I =； C ．CAB I =
D ． CBA I = 17. 设A 为3阶方阵，且()1R A =，则（ ）。
A .*()3R A =；
B .*()2R A =；
C ．*()1R A =；
D .*()0R A =
18. 设B A ,为n 阶方阵，O A ≠，且O AB =，则（ ）.
A .O
B = B .0=B 或0=A
C ．O BA =
D .()222
B A B A +=-
19. 设A 是m n ?矩阵，若（ ），则AX O =有非零解。
A .m n <；
B .()R A n =；
C ．m n >
D .()R A m =
20. A ，B 是n 阶方阵，则下列结论成立得是（ ）。
A .A
B O A O ≠?≠且B O ≠； B . 0A A O =?=；
C ．0AB A O =?=或B O =；
D . 1||=?=A I A
21. 设A 为n 阶方阵，且()n r A R ＜=，则A 中（ ）.
A .必有r 个行向量线性无关
B .任意r 个行向量线性无关
C ．任意r 个行向量构成一个极大无关组
D .任意一个行向量都能被其他r 个行向量线性表示 22. 设A 为34?矩阵，B 为23?矩阵，C 为43?矩阵，则下列乘法运算不能进行的是（ ）。 A .T T A BC B .T
ACB C ．BAC D .ABC
23.设A 是n 阶方阵，那么A A '是（ ）
A . 对称矩阵；
B . 反对称矩阵；
C ．可逆矩阵；
D .对角矩阵 24.设A 为任意阶)3(≥n 可逆矩阵，k 为任意常数，且0≠k ，则必有=-1
)
(kA （ ）
A .1-A k n
B .11--A k n
C ．1-kA
D .
11-A k
25. 设)(2
1
I B A +=
，则A A =2的充要条件是（ ） A .B I =； （B ）I B -=；C ．I B =2 D .I B -=2
26. 设n 阶矩阵A 满足220A A I --=，则下列矩阵哪个可能不可逆（ ）
A . 2A I +
B . A I -
C ． A I +
D . A
27. 设n 阶方阵A 满足220A A -=，则下列矩阵哪个一定可逆（ ）
A . 2A I -；
B . A I -；
C ． A I +
D . A 28.设A 是m n ?矩阵，若（ ），则n 元线性方程组0AX =有非零解。
A . m n <
B .A 的秩等于n
C ．m n >
D .A 的秩等于m 29. 设矩阵()
n
m ij
a A ?=，0=AX 仅有零解的充分必要条件是( ).
A . A 的行向量组线性相关
B .A 的行向量组线性无关
C ．A 的列向量组线性相关
D .A 的列向量组线性无关
30. 当λ=（ ）时，方程组1231231
222x x x x x x λ
++=??
++=?，有无穷多解。
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 31. 设线性方程组AX b =及相应的齐次线性方程组0AX =，则下列命题成立的是（ ）。
A .0AX =只有零解时，AX b =有唯一解；
B .0AX =有非零解时，AX b =有无穷多个解；
C ．AX b =有唯一解时，0AX =只有零解；
D . AX b =解时，0AX =也无解
32. 设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵A 的秩为r ，则0AX =有非零解的充分必要条件是（ ）。 A .r n = B .r n < C ．r n ≥ D .r n >
33. 若向量组中含有零向量，则此向量组（ ）
A .线性相关；
B . 线性无关；
C ．线性相关或线性无关；
D .不确定 34．设α为任意非零向量，则α（ ）。
A .线性相关；
B .线性无关；
C ． 线性相关或线性无关；
D ．不确定 35． 设向量组321,,ααα线性无关，而421,,ααα线性相关，则（ ）。 A .4321,,αααα必可由线性表示；B .3214,,αααα必可由线性表示；
C ．3214,,αααα必可由线性表示；
D .3214,,αααα必不可由线性表示
36. 设向量组321,,ααα线性无关。421,,ααα线性相关，则（ ）。
A .4321,,αααα必可由线性表示；
B .3214,,αααα必可由线性表示；
C ．3214,,αααα必可由线性表示；
D .3214,,αααα必不可由线性表示
37． 1110()[]n n n n f x a x a x a x a Z x --=++++∈L ，若既约分数
p
q
是()f x 的有理根，则下列结论正确的是（ ） A. 0,n p a q a ∣∣ B. ,n n p a q a ∣∣ C. 0,n p a q a ∣∣ D. 00,p a q a ∣∣
38. 若既约分数
r
s
是整系数多项式()f x 的根，则下面结论那个正确（ ） A. (1),(1)s r
f s r f +∣-∣- B. (1),(1)s r f s r f +∣+∣- C. (1),(1)s r
f s r f +∣--∣ D. (1),(1)s r f s r f +∣-+∣-
四、计算题
1.求行列式199
4210221
301
13的值。 2.求行列式3
214214314324321=
D 的值。
3.求行列式20104110
6
3
14321111
1=
D 的值。 4.求行列式1222222222322224D =
的值。
5.求行列式1234
234134124123D =
的值。 6.求行列式3
112513420111
53
3
D ---=
---的值。
7.求行列式
3643141
227251531
-------的值。 8.求行列式
000000x
y
y x y x x y 的值。
9.把行列式
1
1
111
101101
------d c b
a
依第三行展开然后加以计算。
10.求行列式a
a a a a a
b a a D a a a
c a a
a
a
a d
+=
++的值。 11.求行列式1111111111111111x x D y y +-=
+-的值。
12.求行列式x
y x y D y x y x x y
x y +=
++的值。 13.计算n 阶行列式
1111111
1
1a a a +++L L
L L L L L
14. 计算n 阶行列式
a
x a
a
a a x a a a a
x ---Λ
ΛΛΛΛΛ
Λ 15. 计算n 阶行列式x
y
y x y x y
x
(00)
...000 0
0 (00)
...0
16. 计算n 阶行列式x
z
z
z
z
y x z z z y y x z z
y y y x z
y y y y x D n Λ
ΛΛΛΛΛΛΛ
ΛΛΛ=
17.计算n 阶行列式n
n a a a D +++=
11111111111121
ΛΛΛΛΛΛΛΛ(其中021≠n a a a Λ)
18.计算n 阶行列式b
a b a ab b a ab
b a D n ++++=
1
00100
01000
Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
(其中b a ≠)
19.计算n 阶行列式n
n n a a a a a D 0
1
00010001000111111210Λ
ΛΛΛ
ΛΛΛΛΛ
ΛΛ-=
20.计算n 阶行列式
m
a a a a m a a a a m
a n n n ---Λ
ΛΛΛΛΛΛ
2
1
212
1 21.计算n 阶行列式
12121
2
111
n n
n x x x x x x x x x +++L
L M M M M L
22.解方程10
2301
7
x
x x
-=。 23.解方程201101
2
x x x
-=。
24.设A 为33?矩阵，2-=A ，把A 按列分块为123(,,)A A A A =。其中(1,2,3)j A j =是A 的第j 列。 求（1）132,2,A A A ；（2）31212,3,A A A A -。 25．如果a 是()f x '''的一个k 重根，证明a 是()[()()]()()2
x a
g x f x f a f x f a -''=+-+的一个3k +重根。 26. 设4
3
()41f x x x =-+，3
2
()31g x x x =-+，
求((),())f x g x ，并求(),()u x v x 使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+
五、解答题
1、设()T
321=α，()T
3/12/11=β，（1）计算T αβ、αβT ；（2）求()
n
T αβ。
2、解矩阵方程???
?
?
??-=????? ??-635132012411210X 。
3、设矩阵???
?
? ??-=321011330A ，且X A AX 2+=，求X 。
4、设矩阵X 满足方程B AX X +=，其中???
??
??--=????? ??--=350211,101111010B A ，求X 。
5、设?????
?
? ??-------=131114
2415432
41
21A ，（1）求()A R ；（2）求A 的列向量组的一个最大无关组；
（3）把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。
6、设()T
，，，，122111=α，()T
，，，，151202-=α，()T
，，，，313023-=α，()T
，，，，
140114-=α， 求此向量组的秩和一个最大无关组，并用该最大无关组表示其余向量。
7、设()42111，，
，-=α，()21302，，，=α，()147033，，，=α，()65124，，，=α，()02115，，，-=α 求此向量组的秩和一个最大无关组，并用该最大无关组表示其余向量。
8、讨论a 取何值时，方程组???
??=++=++=++0
00
321
321321ax x x x x x x ax x 有非零解？在有非零解时，求其通解。
9、求齐次线性方程组???????=++=++=++=-+0
3307402520
23213213
21321x x x x x x x x x x x x 的基础解系及通解。
10、对于线性方程组???
??-=++-=++-=++2
23321
321321x x x x x x x x x λλλλ，讨论λ为何值时方程组有无穷多解，
并在有无穷多解时求其通解。
11、已知)1,1,1(-=α,)3,2,1(=β，试求：①T
αβ ；②()
2
T
αβ
。
12、已知1111A ??=?
?
--??
，求3
A 13、设A =????? ??-321011330，
B A AB 2+=，求B 。 14、设A =???
?
? ??----32321321k k k ，已知1)(=A R ,求k 。
15、求矩阵?
????
?
?
? ??534233
11633的秩 16、求矩阵A =121221113101--????-????-??
的秩
17、求矩阵A =314
51
11220131
125--?????
???
--??-??的秩 18、求矩阵A =24104120140312131033--??
??---??????
-??
的秩
19、求矩阵A =112102*********-????????--??的秩 20、求矩阵241152111A -????=-????-??的逆矩阵
21、求矩阵202420645A ????=????-??的逆矩阵 22、求矩阵021111312A ????=-????-??的逆矩阵 23、求矩阵??
??
??????---=201013121A 的逆矩阵。
24、设000a A b a c b a ?? ?
= ? ???，给出A 可逆的充分必要条件，并在A 可逆时求其逆．
25、设??
????????---=201013121A ，请用两种方法（行初等变换，伴随矩阵）求1-A 。
26、已知矩阵A =???
??
??---145243121, 用矩阵的初等变换求A 的逆矩阵。
27、已知矩阵A =???
?
? ??---032203
120，用矩阵的初等变换求A 的逆矩阵。 28、设A 为三阶矩阵，A *
为A 的伴随矩阵，已知A =
1
2
，求(1) 1A -的值；(2) 1(3)2A A -*-的值。 29、设A 为n 阶方阵，0652
=+-E A A ，判断E A 3+与E A 3-是否一定可逆，如果可逆，求出其逆。
30、设矩阵A =2312????
-??
，求矩阵X , 使得=AX T
A 。 31、用求逆矩阵的方法解矩阵方程3541212301X -????
=?
???
-????
。 32、解矩阵方程111110*********X --????
? ?
= ? ? ? ?
-???? 33、解矩阵方程???? ??-=????? ??--234311*********X
34、解矩阵方程????
?
?????-=???????
???--112011111011220111X 35、解矩阵方程????????---=????????--112011111011220111X
36、求解矩阵方程???
?? ??-=????? ??--11201113201124
0101X 37、判断齐次线性方程组1231231
2320
20320
x x x x x x x x x -+=??
++=??-+=?是否有非零解？
38、用求逆矩阵的方法解线性方程组121224351x x x x +=??+=? 39、用求逆矩阵的方法解线性方程组123231221223
x x x x x x x -+=??
-=??+=?
40、用克莱姆法则解线性方程组1231231231
11
ax ax bx ax bx ax bx ax ax ++=??
++=??++=? （其中,)2b a b a ≠≠-
41、用克莱姆法则解线性方程组20
2300bx ay ab cy bz bc cx az -+=??
-+-=??+=?（其中0abc ≠）
42、用克莱姆规则解方程组???
??=+-=++-=++3
244321
32131x x x x x x x x
43、讨论a 取何值时，方程组有解，并求解。???
??-=++-=++-=++2
23
321
321321ax x x x ax x a x x ax
44、讨论a 取什么值时，方程组有解，并求解。???
??=+++=+++=+++2
2)12(0)12(2)1(321
3213221x x a x x a ax ax a x x a x
45、选择λ，使方程组123123123
4
2264x x x x x x x x x λ+-=??
+-=??+-=?无解
46、确定λ的值，使齐次线性方程组1231231202020
x x x x x x x x λλ-+=??
++=??+=?有非零解
47、k 取何值时，齐次线性方程组1231231
23230
347020
x x x x x x x x kx -+=??
-+=??-++=?有非零解？
48、齐次线性方程组
123
123
123
20
kx x x
x kx x
x x x
++=
?
?
+-=
?
?-+=
?
有非零解，则k为何值？
49、问λ，μ取何值时，齐次线性方程组
123
123
123
20
x x x
x x x
x x x
λ
μ
μ
++=
?
?
++=
?
?++=
?
有非零解？
50、问λ取何值时，非线性方程组
()
()
()
123
123
123
10
13
1
x x x
x x x
x x x
λ
λ
λλ
+++=
?
?
+++=
?
?
+++=
?
有无限多个解？
51、齐次线性方程组
1234
1234
1234
1234
20
30
x x x ax
x x x x
x x x x
x x ax bx
+++=
?
?+++=
?
?
+-+=
?
?+++=
?
有非零解，则,a b应满足什么条件？
52、确定λ的值，使线性方程组
123
123
123
1
233
32
x x x
x x x
x x x
λ
λ
+-=
?
?
++=
?
?++=
?
无解？有惟一解？有无穷多解？
53、λ取怎样的数值时，线性方程组
1234
1234
1234
21
21
2935
x x x x
x x x x
x x x xλ
++-=-
?
?
-++=
?
?++-=
?
有解，并求出一般解
54、问当λ取何值时，线性方程组
123
123
2
123
1
x x x
x x x
x x x
λ
λλ
λλ
?++=
?
++=
?
?++=
?
有唯一解？无解？有无穷多解？并在有解时写出解
55、问λ取何值时，线性方程组
123
123
123
(1)0
(1)3
(1)
x x x
x x x
x x x
λ
λ
λλ
?
+++=
?
?
+++=
?
?
?+++=
?
有唯一解？无解？有无穷多解？并在有解时写出解
56、设线性方程组为
1234
1234
1234
1234
1
2
3
(1)1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
λ
λ
λ
+++=
?
?+++=
?
?
+++=
?
?+++-=
?
讨论λ为何值时，下面线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？
并在有无穷多解时求其通解（要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解）
57、设非齐次线性方程组为
123
123
123
30
4
235
x x x
x x ax b
x x x
--=
?
?
-+=
?
?-+=
?
试问:,a b取何值时，方程组无解？有唯一的解？有无穷多个解？有
解时请求出解
58、设非齐次线性方程组为???
??=+++=+++=+++λ
λλλ321
321321)1(3)1(0)1(x x x x x x x x x 试问: λ取何值时，方程组无解？有唯一的解？有无穷多个解？
当有解时请求出解来
59、求线性齐次方程组???????=-+++=--+-=-+++=-+++07653023055320
3454321543215
432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系
60、求线性齐次方程组???
????=++=--+=+-+--=+-+00203202254353215
43215321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系
61、求线性齐次方程组???
??=+--=-+-=+--0
320304321
43214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系
62、求线性齐次方程组???
????=++=--+=+-+--=+-+00203202254353215
43215321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系
63、求线性齐次方程组 ???
??=+++=-++=-++0
2220202232143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系
64、求线性齐次方程组???
??=-+--=+--+=+--+0
68650353220
246354321
5432154321x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系
65、求齐次线性方程组???????=+-+=++-=+-+=-+-0
7930830320
5432143214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系
66、求齐次线性方程组???
??=---=--++=+++0
340222022432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解
67、求齐次线性方程组???
??=-++=-++=++-0
268305420
21084321
43214321x x x x x x x x x x x x 的通解
68、求非齐次线性方程组???
?
???
-
=+--=-+-=+--2132130432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解
69、求非齐次线性方程组??
?
??=--+=+-+=+-+1222241
2w z y x w z y x w z y x 的通解
70、判别向量组1α=(0,0,2,3), 2α=(1,2,3,4)，3α=(1,2,1,1)，4α=(1,0,1,0)是否线性相关，并求1α,2α,3α,4
α的一个极大线性无关组
71、求向量组(1,1,1)α=，(1,2,3)β=，(3,4,5)γ=的一个极大线性无关组，并将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合
72、已知向量?
??
? ??=111a α,???? ??-=112a α,????
??-=a 113α线性相关，求的a 值
73、设矩阵),,,(4321αααα=A ,其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=，向量
=β4321αααα+++求方程β=AX 的解
74、试证：2
2
2
111
2
22
22
211111
12c b a c b a c b a b a a c c b b a a c c b b a a c c
b =+++++++++。 75、若n 阶矩阵A 满足O E A A =--22
，证明E A -可逆，并求()1
--E A 76、若n 阶矩阵A 满足O E A A =--422
，证明E A +可逆，并求()1
-+E A
77、设n 阶方阵A 的伴随方阵为*
A ,证明：若0A ,0*==则A 78、设,A
B 是n 阶可逆矩阵,证明: (1) 1
1()
()A A --''=； (2) 乘积AB 可逆
79、证明：1）若向量组n ααΛ1线性无关，则它们的部分向量组也线性无关 2）若向量组n ααΛ1中部分向量线性相关，则向量组n ααΛ1必线性相关 80、已知A 为n 阶方阵，*A 为A 的伴随阵，0=A ，则*
A 的秩为1或0 81、 设A 为n 阶阵，求证，n I A rank I A rank ≥-++)()(
82、设n 阶可逆方阵A 的伴随方阵为*
A ,证明：1
-*
=n A A
83、已知n 阶方阵A 可逆，证明：A 的伴随方阵*A 也可逆,且*11
*)()(--=A A
84、设A ，B 均为n 阶方阵，证明：
B A B A A
B
B A -?+=
85、设A ，B ，C ，D 都是n 阶矩阵，其中0≠A 并且CA AC =，证明：CB AD D
C B A -=
86、已知方阵A 满足022
=+-I A A ，试证：A 可逆，并求出1-A
87、设A 是一个秩为r 的m n ?矩阵，证明：存在一个秩为n r -的()n n r ?-矩阵B ，使0AB =
88、设矩阵T n x x x X ),,(21Λ=满足1=X X T ，E 为n 阶单位阵，T XX E H 2-=，证明H 是对称阵，且E HH T
=
89、设向量组12,,,r αααL 线性无关，而向量组12,,,,r αααβL 线性相关，证明：β可以由12,,,r αααL 线性表出，且表示法唯一
90、证明向量12,,,r αααL （2≥r ）线性相关当且仅当其中某一个向量是其余向量的线性组合
91、设向量β可由向量组12,,,s αααL 线性表示，证明表示法唯一的充要条件是12,,,s αααL 线性无关
92、设在向量组12,,,r αααL 中，01≠α并且每一i α都不能表成它的前1-i 个向量121,,,i ααα-L 的线性组合，证明12,,,r αααL 线性无关 93、设
γβα,,线性无关，证明αγγββα+++,,也线性无关
94、设向量组},,,{21n αααΛ线性无关，且∑==
n
i i
ki k b 1
α
β ),,2,1(n k Λ=
证明：12n βββL ，，
，线性无关的一个充要条件是021
222
2111211
≠nn
n n n
n
b b b b b b b b b Λ
ΛΛ
Λ
ΛΛΛ 95、设112βαα=+,223βαα=+,334βαα=+,441βαα=+,证明向量组1234,,,ββββ线性相关 96、已知123(,,)2R ααα=，234(,,)3R ααα=，试证向量组1α能用2α，3α线性表示
97、设12,,,s ξξξL 是非齐次线性方程组b AX =的s 个解，1k ,2k ,…,s k 为实数，且121s k k k +++=L ，证明
1122s s x k k k ξξξ=+++L 也是它的解
98、设*
η是非齐次线性方程组b AX =的一个解，12,,,n r ξξξ-L 是对应的齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系,证明：*
η, 12,,,n r ξξξ-L 线性无关
99、设*
η是非齐次线性方程组b AX =的一个解，12,,,n r ξξξ-L 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明：
*η, ***12,,,n r ηξηξηξ-+++L 线性无关
100、设 4
3
2
()343f x x x x x =+---，3
2
()31023g x x x x =++- 求((),())f x g x ，并求(),()u x v x 使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+
《高等代数》期末试卷B
教育科学系14级小学教育（科学与数学）专业2014—2015学年度春学期 期末考试《高等代数Ⅱ》试卷(B ) 试卷说明：1.本试卷共2页，4个大题，满分100分，120分钟完卷； 2.试题解答全部书写在本试卷上。 班号： 学号 姓名 一、选择题：（每题3分，共15分） 1．当λ=（ ）时，方程组1231 231 222x x x x x x λ++=??++=?，有无穷多解。 A 1 B 2 C 3 D 4 2．若向量组中含有零向量，则此向量组（ ）。 A 线性相关 B 线性无关 C 线性相关或线性无关 D 不一定 3．设α是n 阶可逆矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，在下列矩阵中，α不是（ ） 的特征向量。 A 2()A E + B -3A C *A D T A 4．若A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶正交阵，则1P A P -为（ ）。 A 实对称阵 B 正交阵 C 非奇异阵 D 奇异阵 5．设矩阵 A ， B ， C 均为n 阶矩阵，则矩阵A B 的充分条件是（ ）。 A A 与 B 有相同的特征值 B A 与B 有相同的特征向量 C A 与B 与同一矩阵相似 D A 一定有n 个不同的特征值 1．已知向量组)4,3,2,1(1=α，)5,4,3,2(2=α，)6,5,4,3(3=α，)7,6,5,4(4=α，则向量=+-+4321αααα 。 2．若120s ααα++ +=，则向量组12,, ,s ααα必线性 。 3．设向量空间1212{(,, )|0,}n n i V x x x x x x x R =++ +=∈，则V 是 维 空间。 4．A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为1，2，3，1B =-，则*A B B += 。 5．设矩阵A 满足条件2560A A E -+=，则矩阵A 的特征值 是 。 6.二次型yz xz xy z y x z y x f 222),,(222---++=的矩阵是____________。 二、填空题：（每题3分，共27分）
大一高数期末考试,下学期高数(下)3,高数期末试题,总结归纳[1]河南理工大学
河北科技大学 高等数学（下）考试试题3 一、 填空题(每题4分,共16分) 1.(4分) 级数1n n u ∞ =∑收敛的必要条件是 . 2. (4分) 交换二次积分的次序100(,)y dy f x y dx ??= . 3. (4分) 微分方程2442x y y y xe '''-+=的一个特解形式可以设为 . 4. (4分) 在极坐标系下的面积元素d σ= . 二、 选择题(每题4分,共16分) 1. (4分) 已知曲面22 4z x y =--上点P 处的切平面平行于平面 2210x y z ++-=,则点P 的坐标是 ( ). A. (1,-1,2); B. (-1,1,2); C. (1,1,2); D. (-1,-1,2). 2. (4分) 级数1 312 1(1) n n n ∞ -=-∑为（ ）. A.绝对收敛; B. 条件收敛; C.发散; D. 收敛性不确定. 3. (4分) 若∑是锥面222 x y z +=被平面0z =与1z =所截下的部分,则曲面积分2 2 ()x y dS ∑ +=??( ). A. 1200d r rdr πθ???; B. 21 2 00d r rdr πθ???; C. 1200 d r rdr π θ??; D. 21200 d r rdr π θ??. 4. (4分) 幂级数1(1)n n n n ∞ -=-∑的收敛半径为( ). A. 2;R = B.1;2R = C.3;R = D.1 .3 R = 三、 解答题(每题7分,共63分)
1．(7分) 设sin(),xy z x y e =++求dz . 2． (7分) 计算三重积分,I xdxdydz Ω =???其中Ω为三个坐标面及平面 21x y z ++=所围成的闭区域. 3． (7分) 求(1)I y z dS ∑ =++??,其中∑是平面5y z +=被圆柱面 2225x y +=截出的有限部分. 4． (7分) 求幂级数1 (1)(1)n n n x n ∞ =--∑的收敛域. 5． (7分) 将2 1 ()2f x x x = --展开为麦克劳林级数. 6． (7分) 求曲线积分(sin )(cos 1)x x L I e y y dx e y dy =-+-?,其中L 为 22x y ax +=上从(,0)A a 到(0,0)O 的上半圆周. 7． (7分) 求微分方程24y xy x '+=在初始条件03x y ==下的特解. 8． (7分) 求曲面积分(1)(22)(33)I x dydz y dzdx z dxdy ∑ =+++++?? , 其中∑为曲面222 4x y z ++=的内侧. 9．(7分) 计算曲线积分()L I x y ds =+?,其中L 是以(0,0)O ,(1,0),(0,1) A B 为顶点的三角形折线. 四、(5分) 试确定参数t 的值,使得在不含直线0y =上点的区域上,曲线积分 222222 ()()t t C x x y x x y I dx dy y y ++=-?与路径无关，其中C 是该区域上一条光滑曲线，并求出当C 从(1,1)A 到(0,2)B 时I 的值.
2013_814高等代数(试题)
南京航空航天大学 2013年硕士研究生入学考试初试试题（ A 卷） 科目代码: 814 科目名称: 高等代数 满分: 150 分 注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无 效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！ 一、(15分)设有向量组T T T a a )1,,3(,)3,1,1(,)1,1,2(321?=?==ααα，这里“T ”表示转置，以下各题相同． １．求参数a ，使得321,,ααα线性相关； ２．在题1的基础上，记T A 21αα=，求方程组3α=AX 的通解． 二、(25分)设二次型AX X X f T =)(的秩为3，其中???? ??????=212111b b a A ，???????????=121α是A 的伴随 矩阵*A 的特征向量. １．求参数a 和b ； ２．求正交矩阵P ,使得AP P T 为对角矩阵; ３．求二次型)(X f 在条件1232221=++x x x 下的最大值． 三、(15分)设1V 是由向量组T T T )7,6,9(,)1,0,3(,)3,2,1(321?==?=ααα生成的子空间, 2V 是由向量组T T T b a )1,2,(,)1,1,0(,)0,1,(321=?==βββ生成的子空间. １．若11V ∈β,求参数a ； ２．若1V 与2V 有相同的维数,求参数b a ,满足的条件； ３．问:对任意给定的常数b a ,,21V V +是否有可能是直和?说明理由. 四、(25分)设3R 的线性变换Γ使得,222321 321321321??????????++++?+=??????????Γbx x x ax x x x x x x x x 且T )1,1,1(=α是Γ的一个特征 向量.
高等数学[下册]期末考试试题和答案解析
高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．
2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．
(完整版)高等代数(下)期终考试题及答案(B卷)
高等代数(下）期末考试试卷及答案（B 卷） 一．填空题（每小题3分，共21分） 1. 22 3[]-2-31,(-1),(-1)P x x x x x 在中,在基下的坐标为 2. 设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλL ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为 . 3.'=n 在数域P 上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()A A f x f x A ()-n P[x]= ,的核(0)= 1A A A 4．已知3阶λ-矩阵A （λ）的标准形为21 0 00 00 0λλλ?? ? ? ?+?? ，则A （λ）的不变 因子________________________； 3阶行列式因子 D 3 =_______________. 5. 若4阶方阵A 的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A 的若当标准形 J= 6.在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηηL 下的坐标是 12(,,,)n x x x L ，那么(,)i ξη＝ 7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是 ． 二. 选择题( 每小题2分，共10 分) 1.( ) 已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间， 则dim(V)为 (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4 2. ( ) 下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A 可对角化的充要条件 (A) A 有n 个线性无关的特征向量； (B) A 的初等因子全是1次的； (C) A 的不变因子都没有重根； (D) A 有n 个不同的特征根； 3．( ) 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A
高等数学下册期末考试题及答案
高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )12 2（ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??2 201 3 cos sin π π ???θdr r d d ；（B ）???20 1 2 sin π π??θdr r d d ；
高数 下 期末考试试卷及答案
2017学年春季学期 《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ） 注意： 1、本试卷共 3 页； 2、考试时间110分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方 一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中． 1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0?=a b (D)?=0a b 2.极限2 2 22 00 1 lim()sin x y x y x y →→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =?的是( ). （A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数 （C ）(,)f x y = （D ）(,)e x y f x y += 4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ). （A ）驻点与极值点 （B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域2 2 :(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+= ??，2D I σ=，3D I σ=，则有（ ）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I << 6．设椭圆L ： 13 42 2=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=?（ ）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12 7．设级数 ∑∞ =1 n n a 为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）. (A)该级数收敛 (B)该级数发散 (C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（ ）. （A ）若级数1n n a ∞ =∑发散，则级数21n n a ∞ =∑也发散 （B ）若级数21n n a ∞ =∑发散，则级数1n n a ∞=∑也发散 （C ）若级数 21 n n a ∞ =∑收敛，则级数 1 n n a ∞ =∑也收敛 （D ）若级数 1 ||n n a ∞ =∑收敛，则级数2 1 n n a ∞ =∑也收敛 二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)． 1.直线34260 30 x y z x y z a -+-=?? +-+=?与z 轴相交，则常数a 为 . 2．设(,)ln(),y f x y x x =+则(1,0)y f '=______ _____. 3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 . 4．设2 2 :2D x y x +≤，二重积分 ()d D x y σ-??= . 5．设()f x 是连续函数，22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--，22()d f x y v Ω +???在柱面坐标系下 的三次积分为 . 6.幂级数11 (1)!n n n x n ∞-=-∑ 的收敛域是 . 7.将函数2 1,0 ()1,0x f x x x ππ--<≤??=?+<≤?? 以2π为周期延拓后，其傅里叶级数在点x π=处收敛 于 . 三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 ……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………
高等代数试题附答案
科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向 量 组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别 为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ）
5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变 换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是 )(2R M 的 子空间。（ ） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。（ ） 三、明证题（每小题××分，共31分） 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。 （10） 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻， 2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。（11） 3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。（10） 四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使 得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '使对角形式，其中
高等数学下册期末考试试题附标准答案75561
高等数学(下册)期末考试试题 考试日期：2012年 院（系）别 班级 学号姓名 成绩 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?=-4． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=??-(1/y2)． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 2 (x-1)+4(y-2)+z-4=0． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于，在x π=处收敛于． 5、设L 为连接(1,0) 与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=?√2． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 故所求的体积为V dv Ω =???22 2620 20 2(63)6d d dz d πρρθρπρρπ-==-=?? (7) 3、判定级数 1 1 (1) ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????．
-2大学高数历年期末试题
2010-2011年一. 填空题(共4小题，每小题4分，共计16分) 1． 22 (1,0) ln(), y z xe x y dz =++=设则 2．设 xy y x y x f sin ) , (+ - =,则dx x x f dy y ? ?1 1 ) , ( = 3．设函数 2 1cos ,0 () 1,0 x x f x x x x π π π + ? << ? =- ? ?+-≤≤ ?以2π为周期，() s x为的() f x的傅里叶级数的和函 数，则 (3) sπ -= . 4．设曲线C为圆周 2 2 2R y x= + ,则曲线积分 ds x y x C ?+） — （3 2 2 = 二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1.设直线L为 320 21030, x y z x y z ++= ? ? --+= ?平面π为4220 x y z -+-=,则（） . (A) L平行于平面π (B) L在平面π上 (C) L垂直于平面π (D) L与π相交，但不垂直 2．设有空间区域 2222 :x y z R Ω++≤ ，则Ω等于（）. (A) 4 3 2 R π (B) 4 R π (C) 4 3 4 R π (D) 4 2R π 3．下列级数中，收敛的级数是（）. (A) ∑∞ =+ - 1 ) 1 ( )1 ( n n n n n (B) ∑∞ =+ - + 11 )1 ( n n n n (C) n n e n- ∞ = ∑ 1 3 (D) ∑∞ = + 1 ) 1 1 ln( n n n n 4. 设∑∞ =1 n n a 是正项级数，则下列结论中错误的是（） （A）若∑∞ =1 n n a 收敛，则 ∑∞ =1 2 n n a 也收敛（B）若 ∑∞ =1 n n a 收敛，则 1 1 + ∞ = ∑n n n a a 也收敛 （C）若∑∞ =1 n n a 收敛，则部分和n S 有界（D）若 ∑∞ =1 n n a 收敛，则 1 lim1< = + ∞ → ρ n n n a a
高等代数试题及答案
中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷
授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共 2 页第 2 页
中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷 五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换，且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ?? ??????? O N N O ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==
中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'α＝. 所以正交阵1 212 102610 2 T ?????? ?=??- ?? ???????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 010011 0n E D E -???? ? ??? ??== ????? ?????? O O O ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1 ,,,,n n D D D D E -=L 在P 上线性无关.
高等数学下期末考试题
《高等数学一（下）》期末考试模拟试题 一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，满分20分）。 1．函数()3x f x =的一个原函数是 13ln 3 x （ ） A ．正确 B ．不正确 2．定积分 1 1 430 d d x x x x >? ? （ ） A ．正确 B ．不正确 3．（ ）是2 sin x x 的一个原函数 （ ） A ．2 2cos x - B ． 2 2cos x C ．2 1cos 2 x - D ． 21 cos 2 x 4．设函数0 ()sin ,x f x tdt = ? 则()f x '= ( ) A ．sin x B ． sin x - C ．cos x D ． cos x - 5．微分方程x y e '=的通解是（ ） （ ） A ．x y Ce -= B ． x y e C -=+ C ．x y Ce = D ． x y e C =+ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，满分16分）。 1． 21 9dx x =+? ．
2. ()cos ,f x dx x C =-+?,则()f x '= ． 3. 定积分 20 cos d 1sin x x x π =+? ． 4．微分方程440y y y '''-+=的通解为 . 三、计算下列各题（本大题共5个小题，每小题8分，共40分） 1．求不定积分 cos 2cos sin x dx x x -?. 2．求不定积分 ? . 3．已知()f x 的一个原函数是2 x e -,求()xf x dx '?. 4．求定积分 4 x ? . 5．求定积分 1 x xe dx ? 四、（8分）求椭圆22 221x y a b +=绕x 轴旋转构成的旋转体的体积. 五、（8分）求方程2 2 (1)(1)0x y dx y x dy +-+=的通解. 六、（8分）求方程22 sin y y x x x '-=的通解.
厦门大学《高等代数》期末试题及答案(数学系)
10-11学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷 厦门大学《高等代数》课程试卷 数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业 主考教师：杜妮、林鹭 试卷类型：（A 卷） 2011.1.13 一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分） 1) 设b 为 3 维行向量， 123123 V {(,,)|(,,)} x x x x x x b == ，则____。C A)对任意的b ，V 均是线性空间；B)对任意的b ，V 均不是线性空间；C)只有当 0 b = 时，V 是线性空间；D)只有当 0 b 1 时，V 是线性空间。 2)已知向量组 I ： 12 ,,..., s a a a 可以由向量组 II ： 12 ,,..., t b b b 线性表示，则下列叙述正确的是____。 A A)若向量组 I 线性无关，则s t ￡ ；B)若向量组 I 线性相关，则s t > ； C)若向量组 II 线性无关，则s t ￡ ；D)若向量组 II 线性相关，则s t > 。 3)设非齐次线性方程组AX b = 中未定元个数为 n ，方程个数为m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则____。 D A)当r n < 时，方程组AX b = 有无穷多解； B) 当r n = 时，方程组AX b = 有唯一解；C)当r m < 时，方程组AX b = 有解；D)当r m = 时，方程组AX b = 有解。 4) 设 A 是m n ′ 阶矩阵，B 是n m ′ 阶矩阵，且AB I = ，则____。A A)(),() r A m r B m == ；B)(),() r A m r B n == ；C)(),() r A n r B m == ； D)(),() r A n r B n == 。 5) 设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换j 在基 123 ,, x x x 下的表示矩阵是 111 101 111 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ，则j 在基 123 ,2, x x x 下的表示矩阵是____。C A) 121 202 121 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； B) 1 2 11 22 1 2 11 0 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； C)11 22 121 0 121 ?? ?÷ ? ÷ ?÷ è? ；D) 1 2 1 2 11 202 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? 。 6) 设j 是 V 到 U 的线性映射，dim V ,dim U n m == 。若m n < ，则j ____。B A)必是单射； B)必非单射； C)必是满射；D)必非满射。
大一上学期(第一学期)高数期末考试题
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 221 n n n n n n ππ ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求
高等数学下册期末考试试题及答案
考试日期：2012年 院（系）别 班级 学号 姓名 成绩 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222 x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分）
抛物面22 z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值． 四、 （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 五、（本题满分10分） 求幂级数13n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数． 六、（本题满分10分） 计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑ = ++-??， 其中∑为曲面2 2 1(0)z x y z =--≥的上侧． 七、（本题满分6分） 设()f x 为连续函数，(0)f a =，2 22()[()]t F t z f x y z dv Ω= +++???，其中t Ω 是由曲面z = 与z = 3 () lim t F t t + →． ------------------------------------- 备注：①考试时间为2小时； ②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。 高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】
大一上学期高数期末考试题
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.. （A）（B）（C）（D）不可导. 2.. （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小. 3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）. （A）函数必在处取得极大值； （B）函数必在处取得极小值； （C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点； （D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。 4. （A）（B）（C）（D）. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.设函数由方程确定，求以及. 10. 11. 12.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性. 13.求微分方程满足的解. 四、解答题（本大题10分） 14.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此 曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，. 17.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示： 设） 解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6.. 7. . 8.. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.解：方程两边求导 ， 10.解： 11.解： 12.解：由，知。 ，在处连续。 13.解： ， 四、解答题（本大题10分） 14.解：由已知且， 将此方程关于求导得 特征方程：解出特征根： 其通解为 代入初始条件，得 故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题10分） 15.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程： 由于切线过原点，解出，从而切线方程为： 则平面图形面积 （2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则 曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分） 16.证明： 故有： 证毕。
大一下学期高等数学期中考试试卷及答案
大一第二学期高等数学期中考试试卷 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。 1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________ 2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为 3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为 4、 22 22222 (,)(0,0) (1cos())sin lim ()e x y x y x y xy x y +→-+=+ 5、设二元函数y x xy z 3 2 +=，则 =???y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。 1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ） （A ）．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成． 2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数. (A).2 12211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++; (B).322 12211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).322 12211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++; (D).322 111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++ 3、已知直线π 22122 : -= += -z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ） (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 4、下列说法正确的是（ ） (A) 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=； (B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ??,22y z ??在区域D 内连续，则在该区 域内两个二阶混合偏导必相等；
高等代数期末试题及解答xxl
西南财经大学2010 — 2011学年第二学期 周二 学 号 评定成绩 （分） 学生 担任教师 《 高等代数 》 期末 A 卷 一、填空（每小题2分，共10分） 1.设向量空间1212{(,, )|0,}n n i V x x x x x x x R =+++=∈，则V 是 n-1 维空间。 2．A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为1，2，3，1B =-，则*A B B += -84 3．设二次型222 1231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++正定，则t 满足t > 4．设矩阵A 满足条件2 560A A E -+=，则矩阵A 的特征值是 2 ，3 5．三维线性空间V 的秩为2，则零度为 1 。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号。 每小题2分，共20分） 1．设α是n 阶可逆矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，在下列矩阵中，α不是（ D ） 的特征向量 （A ）2 ()A E + （B ）-3A （C ）*A （D ）T A 2．已知A ， B 为同阶正交矩阵，则下列（ C ）是正交阵。 （A ）A B + （B ）A-B （C ）AB （D ）kA 3， 设A 为n 阶方阵，则下列结论不成立的是（ C ） （A ）若A 可逆，则矩阵A 的属于特征值λ的特征向量也是矩阵1 A -的属于特征值 1 λ 的特征向量 （B ）若矩阵A 存在属于特征值λ的n 个线性无关的特征向量，则A E λ=
（C ）矩阵A 的属于特征值λ的全部特征向量为齐次线性方程组()0E A X λ-=的全部解 （D ）A 与T A 有相同的特征值 4．若A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶正交阵，则1P A P -为（ A ）。 （A ）实对称阵 （B ）正交阵 （C ）非奇异阵 （D ）奇异阵 5．设A ，B 都是正定阵，则（ C ） （A ）AB ，A+B 一定都是正定阵 （B ）AB 是正定阵，A+B 不一定是正定矩阵 （C ）AB 不一定是正定阵，A+B 是正定阵 （D ）AB ，A+B 都不是正定阵 6．当（ C ）时，0a A b c ?? = ??? 是正交阵。 （A ）1,2,3,a b c === （B ）1a b c === （C ）1,0,1a b c ===- （D ）1,0a b c === 7．设A ，B 均为n 阶矩阵，且A 与B 合同，，则( D) （A ）A,B 有相同的特征值 （B ）A,B 相似 （C ）A B = （D ）()()r A r B = 8. 3 R 上的线性变换T 在基1111000,1,0001ααα?????? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????下的矩阵为 121012111A ?? ? = ? ?-?? 则基在123,2,ααα下的矩阵为（ A ） （A ）141011121?? ? ? ?-?? （B ）141044121?? ? ? ?-?? （C ）1211012111?? ? ? ? ?-?? （D ）242024222?? ? ? ? -?? 9．对于n 阶实对称矩阵A ，结论（ C ）正确。 （A ）A 一定有n 个不同的特征值 （B ）A 一定有n 个相同的特征值 （C ）必存在正交矩阵P ，使1 P AP -成为对角矩阵
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