高等代数期末复习试题

数学系《高等代数》期末考试试卷

年级 专业 学号 姓名

注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。

；错误的在题后的括号内打“×”.每小题2分，共18分） 1．向量空间一定含有无穷多个向量. ( )

2．若向量空间

V 的维数2dim ≤V ,则V 没有真子空间. ( )

3. n 维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵必为可逆矩阵. ( )

4．线性变换把线性无关的向量组映成线性无关的向量组. ( )

5．每一个线性变换都有本征值. ( )

6．若向量ξ是线性变换σ的属于本征值λ的本征向量，则由ξ生成的子空间 为σ的不变子空间. ( )

7．保持向量间夹角不变的线性变换是正交变换. ( )

8．两个复二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩. ( )

9. 若两个n 阶实对称矩阵B A ,均正定,则它们的和B A +也正定. ( )

号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分）

1. 下列命题不正确的是 ( ).

A. 若向量组},,,{21r αααΛ线性无关，则它的任意一部分向量所成的向量

组也线性无关；

B. 若向量组},,,{21r αααΛ线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的

线性组合；

C.若向量组},,,{21r αααΛ线性无关，且每一i α可由向量},,,{21s βββΛ 线

装

订

线

性表示，则s r ≤；

D. )0(>n n 维向量空间的任意两个基彼此等价.

2. 下列关于同构的命题中，错误的是( ).

A ．向量空间V 的可逆线性变换是V 到V 的同构映射；

B ．数域F 上的n 维向量空间的全体线性变换所成向量空间与数域F 上的所有n 阶矩阵所成向量空间同构；

C ．若σ是数域F 上向量空间V 到W 的同构映射，则1-σ是W 到V 的同构映射；

D ．向量空间不能与它的某一个非平凡子空间同构.

3．n 阶矩阵A 有n 个不同的特征根是A 与对角矩阵相似的 ( ).

A ．充分而非必要条件；

B ．必要而非充分条件；

C ．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件．

4．二次型???

? ?????? ??-=21213211312),(),,(x x x x x x x q 的矩阵是( ). A ．???? ??-1312； B ．???

? ??1112；

C ．????? ??-000013013；

D ．????

? ??000011012

5.实二次型Ax x x x x q '=),,(321正定的充分且必要条件是 ( ).

A ．0>A ；

B ．秩为3；

C ．A 合同于三阶单位矩阵；

D ．对某一,0),,(321≠'=x x x x 有0>'Ax x .

1. 复数域C 作为实数域R 上的向量空间，它的一个基是________.

2. 设},,2,1,),,,{(21n i F x x x x F i n n ΛΛ=∈=是数域F 上n 元行空间，对任意n n F x x x ∈),,,(21Λ，定义),,,,0,0()),,,((22121-=n n x x x x x x ΛΛσ，则σ是一个线性变换，且σ的核)(σKer 的维数等于______.

3. 若A 是一个正交矩阵，则2A 的行列式2A =________.

4. 在欧氏空间3R 中向量)0,0,1(1=α与)0,1,0(2=α的夹角θ=______.

5. 实数域Ｒ上5元二次型可分为_______类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价.

42分）

1．求齐次线性方程组

???????=+++=++=+++=+++0

33450220230432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 的解空间的一个基，再进一步实施正交化，求出规范正交基．

2．设????

? ??--=230120001A ,求A 的特征根及对应的特征向量.问A 是否可以对角化？若可以，则求一可逆矩阵T ，使AT T 1-为对角形.

3． 写出3元二次型32213214),,(x x x x x x x q +=的矩阵．试用非奇异的线性变换，将此二次型变为只含变量的平方项.

五．证明题（每小题10分，共20分）

1．设21,λλ为n 阶矩阵A 的属于不同特征根，21,ξξ分别是A 的属于21,λλ的特征向量，证明21ξξ+不是A 的特征向量.

2．设σ是n 维欧氏空间V 的正交变换，且ισ=2为单位变换，

A 是σ关于V 的

某一规范正交基的矩阵，证明A 为对称矩阵．

数学系《高等代数》期末考试试卷（A 卷）

年级 专业 学号 姓名 注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。

；错误的在题后的括号内打“×”.每小题2分，共18分） 1．任意数域F 可以看成是它自身上的向量空间. ( )

2．欧氏空间的两个子空间的并还是子空间．

( )

3.一个向量组存在两个极大无关组，它们所含向量的个数不相同. ( )

4．两个向量空间之间的同构映射σ的逆映射1-σ还是同构映射. ( )

5．若数域F 上的两个n 阶矩阵A 、B 相似，则A 、B 合同. ( )

6．任何一个n 阶实对称矩阵A 都相似且合同于一个实对角矩阵. ( )

7．两个复二次型等价的充要条件是它们有相同的秩. ( )

8．向量空间V 的可逆线性变换σ的核)(σKer 是空集. ( )

9．两个n 阶正交矩阵A 、B 的和还是正交矩阵. ( )

号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分）

1. 下列命题正确的是 ( ) .

A. 线性变换保持向量长度不变；

B. 对称变换保持向量的内积不变；

C. 正交变换保持向量夹角不变；

D. 线性变换保持向量的线性无关性.

2．两个n 元实二次型等价的充要条件是( ) .

A ．它们的秩相等；

B ．它们的惯性指标相等；

C ．它们的符号差相同；

D ．它们有相同的秩和符号差.

3．数域F 上所有对称矩阵的全体关于矩阵的加法及数乘所成的向量空间的维数是( ) .

A.2)1(+n n ；

B.1+n ；

C.2n ；

D. 2

)1(-n n . 装

订

线

4. 向量空间2R 中的下列变换，只有( )不是 2R 的线性变换.

A. ),()),((x y y x =σ；

B. ),()),((y x y x =σ；

C.)0,0()),((=y x σ；

D.),()),((y x y x y x -+=σ

5．设U 是一个n 阶酉矩阵，则 ( ) .

A. U 的行列式等于1；

B. U 的特征根的模为1；

C. U 的行列式的模等于1或1-；

D. U 的特征根为1或1-.

1. 3元实二次型3231232221321222),,(x mx x x x x x x x x f ++++=是正定的，则m 取值

范围为 .

2. 设A 是n 阶实对称矩阵,则A 为正定的充要条件是 .

3. 向量空间3R 中, 向量(1,2,3)在基{(1,1,1),(0,1,1),(0,0，1)}下的坐标为 .

4.设σ是数域F 上向量空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，则W 是σ的不变子空间的充分必要条件是 ．

5.在欧氏空间V 中， V ∈?ηξ,[]b a C ,柯西-施瓦茨不等式成立，且等式成立：ηηξξηξ,,,2

=的充要条件是 ．

42分）

1．求齐次线性方程组

?????=-+-=+-+=++-0330304321

43214321x x x x x x x x x x x x

的解空间的一个基，再进一步实施正交化，求出规范正交基．

2．设????

? ??-=110310002A ,求A 的特征根及对应的特征向量.问A 是否可以对角化？若可以，则求一可逆矩阵T ，使AT T 1-为对角形.

3． 写出3元二次型32212132122),,(x x x x x x x x q ++=的矩阵．试用非奇异的线性变换，将此二次型变为只含变量的平方项.

1．设σ是数域F 上n 维向量空间V 线性变换)0(φn ，V ∈ξ，若,0)(1≠-ξσn 但,0)(=ξσn 试证)(,,)(,)(,12ξσξσξσξ-n Λ是V 的一个基，并写出σ关于此基的矩阵．

2．设σ是n 维欧氏空间V 的正交变换，同时又是对称变换，A 是σ关于V 的某一规范正交基的矩阵，证明2A 为单位矩阵．

《高等代数》期末试卷B

教育科学系14级小学教育（科学与数学）专业2014—2015学年度春学期 期末考试《高等代数Ⅱ》试卷(B ) 试卷说明：1.本试卷共2页，4个大题，满分100分，120分钟完卷； 2.试题解答全部书写在本试卷上。 班号： 学号 姓名 一、选择题：（每题3分，共15分） 1．当λ=（ ）时，方程组1231 231 222x x x x x x λ++=??++=?，有无穷多解。 A 1 B 2 C 3 D 4 2．若向量组中含有零向量，则此向量组（ ）。 A 线性相关 B 线性无关 C 线性相关或线性无关 D 不一定 3．设α是n 阶可逆矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，在下列矩阵中，α不是（ ） 的特征向量。 A 2()A E + B -3A C *A D T A 4．若A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶正交阵，则1P A P -为（ ）。 A 实对称阵 B 正交阵 C 非奇异阵 D 奇异阵 5．设矩阵 A ， B ， C 均为n 阶矩阵，则矩阵A B 的充分条件是（ ）。 A A 与 B 有相同的特征值 B A 与B 有相同的特征向量 C A 与B 与同一矩阵相似 D A 一定有n 个不同的特征值 1．已知向量组)4,3,2,1(1=α，)5,4,3,2(2=α，)6,5,4,3(3=α，)7,6,5,4(4=α，则向量=+-+4321αααα 。 2．若120s ααα++ +=，则向量组12,, ,s ααα必线性 。 3．设向量空间1212{(,, )|0,}n n i V x x x x x x x R =++ +=∈，则V 是 维 空间。 4．A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为1，2，3，1B =-，则*A B B += 。 5．设矩阵A 满足条件2560A A E -+=，则矩阵A 的特征值 是 。 6.二次型yz xz xy z y x z y x f 222),,(222---++=的矩阵是____________。 二、填空题：（每题3分，共27分）

大一高数期末考试,下学期高数(下)3,高数期末试题,总结归纳[1]河南理工大学

河北科技大学 高等数学（下）考试试题3 一、 填空题(每题4分,共16分) 1.(4分) 级数1n n u ∞ =∑收敛的必要条件是 . 2. (4分) 交换二次积分的次序100(,)y dy f x y dx ??= . 3. (4分) 微分方程2442x y y y xe '''-+=的一个特解形式可以设为 . 4. (4分) 在极坐标系下的面积元素d σ= . 二、 选择题(每题4分,共16分) 1. (4分) 已知曲面22 4z x y =--上点P 处的切平面平行于平面 2210x y z ++-=,则点P 的坐标是 ( ). A. (1,-1,2); B. (-1,1,2); C. (1,1,2); D. (-1,-1,2). 2. (4分) 级数1 312 1(1) n n n ∞ -=-∑为（ ）. A.绝对收敛; B. 条件收敛; C.发散; D. 收敛性不确定. 3. (4分) 若∑是锥面222 x y z +=被平面0z =与1z =所截下的部分,则曲面积分2 2 ()x y dS ∑ +=??( ). A. 1200d r rdr πθ???; B. 21 2 00d r rdr πθ???; C. 1200 d r rdr π θ??; D. 21200 d r rdr π θ??. 4. (4分) 幂级数1(1)n n n n ∞ -=-∑的收敛半径为( ). A. 2;R = B.1;2R = C.3;R = D.1 .3 R = 三、 解答题(每题7分,共63分)

1．(7分) 设sin(),xy z x y e =++求dz . 2． (7分) 计算三重积分,I xdxdydz Ω =???其中Ω为三个坐标面及平面 21x y z ++=所围成的闭区域. 3． (7分) 求(1)I y z dS ∑ =++??,其中∑是平面5y z +=被圆柱面 2225x y +=截出的有限部分. 4． (7分) 求幂级数1 (1)(1)n n n x n ∞ =--∑的收敛域. 5． (7分) 将2 1 ()2f x x x = --展开为麦克劳林级数. 6． (7分) 求曲线积分(sin )(cos 1)x x L I e y y dx e y dy =-+-?,其中L 为 22x y ax +=上从(,0)A a 到(0,0)O 的上半圆周. 7． (7分) 求微分方程24y xy x '+=在初始条件03x y ==下的特解. 8． (7分) 求曲面积分(1)(22)(33)I x dydz y dzdx z dxdy ∑ =+++++?? , 其中∑为曲面222 4x y z ++=的内侧. 9．(7分) 计算曲线积分()L I x y ds =+?,其中L 是以(0,0)O ,(1,0),(0,1) A B 为顶点的三角形折线. 四、(5分) 试确定参数t 的值,使得在不含直线0y =上点的区域上,曲线积分 222222 ()()t t C x x y x x y I dx dy y y ++=-?与路径无关，其中C 是该区域上一条光滑曲线，并求出当C 从(1,1)A 到(0,2)B 时I 的值.

2013_814高等代数(试题)

南京航空航天大学 2013年硕士研究生入学考试初试试题（ A 卷） 科目代码: 814 科目名称: 高等代数 满分: 150 分 注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无 效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！ 一、(15分)设有向量组T T T a a )1,,3(,)3,1,1(,)1,1,2(321?=?==ααα，这里“T ”表示转置，以下各题相同． １．求参数a ，使得321,,ααα线性相关； ２．在题1的基础上，记T A 21αα=，求方程组3α=AX 的通解． 二、(25分)设二次型AX X X f T =)(的秩为3，其中???? ??????=212111b b a A ，???????????=121α是A 的伴随 矩阵*A 的特征向量. １．求参数a 和b ； ２．求正交矩阵P ,使得AP P T 为对角矩阵; ３．求二次型)(X f 在条件1232221=++x x x 下的最大值． 三、(15分)设1V 是由向量组T T T )7,6,9(,)1,0,3(,)3,2,1(321?==?=ααα生成的子空间, 2V 是由向量组T T T b a )1,2,(,)1,1,0(,)0,1,(321=?==βββ生成的子空间. １．若11V ∈β,求参数a ； ２．若1V 与2V 有相同的维数,求参数b a ,满足的条件； ３．问:对任意给定的常数b a ,,21V V +是否有可能是直和?说明理由. 四、(25分)设3R 的线性变换Γ使得,222321 321321321??????????++++?+=??????????Γbx x x ax x x x x x x x x 且T )1,1,1(=α是Γ的一个特征 向量.

高等数学[下册]期末考试试题和答案解析

高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．

2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．

(完整版)高等代数(下)期终考试题及答案(B卷)

高等代数(下）期末考试试卷及答案（B 卷） 一．填空题（每小题3分，共21分） 1. 22 3[]-2-31,(-1),(-1)P x x x x x 在中,在基下的坐标为 2. 设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλL ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为 . 3.'=n 在数域P 上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()A A f x f x A ()-n P[x]= ,的核(0)= 1A A A 4．已知3阶λ-矩阵A （λ）的标准形为21 0 00 00 0λλλ?? ? ? ?+?? ，则A （λ）的不变 因子________________________； 3阶行列式因子 D 3 =_______________. 5. 若4阶方阵A 的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A 的若当标准形 J= 6.在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηηL 下的坐标是 12(,,,)n x x x L ，那么(,)i ξη＝ 7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是 ． 二. 选择题( 每小题2分，共10 分) 1.( ) 已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间， 则dim(V)为 (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4 2. ( ) 下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A 可对角化的充要条件 (A) A 有n 个线性无关的特征向量； (B) A 的初等因子全是1次的； (C) A 的不变因子都没有重根； (D) A 有n 个不同的特征根； 3．( ) 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A

高等数学下册期末考试题及答案

高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )12 2（ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??2 201 3 cos sin π π ???θdr r d d ；（B ）???20 1 2 sin π π??θdr r d d ；

高数 下 期末考试试卷及答案

2017学年春季学期 《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ） 注意： 1、本试卷共 3 页； 2、考试时间110分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方 一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中． 1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0?=a b (D)?=0a b 2.极限2 2 22 00 1 lim()sin x y x y x y →→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =?的是( ). （A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数 （C ）(,)f x y = （D ）(,)e x y f x y += 4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ). （A ）驻点与极值点 （B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域2 2 :(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+= ??，2D I σ=，3D I σ=，则有（ ）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I << 6．设椭圆L ： 13 42 2=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=?（ ）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12 7．设级数 ∑∞ =1 n n a 为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）. (A)该级数收敛 (B)该级数发散 (C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（ ）. （A ）若级数1n n a ∞ =∑发散，则级数21n n a ∞ =∑也发散 （B ）若级数21n n a ∞ =∑发散，则级数1n n a ∞=∑也发散 （C ）若级数 21 n n a ∞ =∑收敛，则级数 1 n n a ∞ =∑也收敛 （D ）若级数 1 ||n n a ∞ =∑收敛，则级数2 1 n n a ∞ =∑也收敛 二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)． 1.直线34260 30 x y z x y z a -+-=?? +-+=?与z 轴相交，则常数a 为 . 2．设(,)ln(),y f x y x x =+则(1,0)y f '=______ _____. 3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 . 4．设2 2 :2D x y x +≤，二重积分 ()d D x y σ-??= . 5．设()f x 是连续函数，22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--，22()d f x y v Ω +???在柱面坐标系下 的三次积分为 . 6.幂级数11 (1)!n n n x n ∞-=-∑ 的收敛域是 . 7.将函数2 1,0 ()1,0x f x x x ππ--<≤??=?+<≤?? 以2π为周期延拓后，其傅里叶级数在点x π=处收敛 于 . 三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 ……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………

高等代数试题附答案

科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向 量 组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别 为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ）

5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变 换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是 )(2R M 的 子空间。（ ） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。（ ） 三、明证题（每小题××分，共31分） 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。 （10） 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻， 2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。（11） 3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。（10） 四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使 得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '使对角形式，其中

高等数学下册期末考试试题附标准答案75561

高等数学(下册)期末考试试题 考试日期：2012年 院（系）别 班级 学号姓名 成绩 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?=-4． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=??-(1/y2)． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 2 (x-1)+4(y-2)+z-4=0． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于，在x π=处收敛于． 5、设L 为连接(1,0) 与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=?√2． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 故所求的体积为V dv Ω =???22 2620 20 2(63)6d d dz d πρρθρπρρπ-==-=?? (7) 3、判定级数 1 1 (1) ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????．

-2大学高数历年期末试题

2010-2011年一. 填空题(共4小题，每小题4分，共计16分) 1． 22 (1,0) ln(), y z xe x y dz =++=设则 2．设 xy y x y x f sin ) , (+ - =,则dx x x f dy y ? ?1 1 ) , ( = 3．设函数 2 1cos ,0 () 1,0 x x f x x x x π π π + ? << ? =- ? ?+-≤≤ ?以2π为周期，() s x为的() f x的傅里叶级数的和函 数，则 (3) sπ -= . 4．设曲线C为圆周 2 2 2R y x= + ,则曲线积分 ds x y x C ?+） — （3 2 2 = 二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1.设直线L为 320 21030, x y z x y z ++= ? ? --+= ?平面π为4220 x y z -+-=,则（） . (A) L平行于平面π (B) L在平面π上 (C) L垂直于平面π (D) L与π相交，但不垂直 2．设有空间区域 2222 :x y z R Ω++≤ ，则Ω等于（）. (A) 4 3 2 R π (B) 4 R π (C) 4 3 4 R π (D) 4 2R π 3．下列级数中，收敛的级数是（）. (A) ∑∞ =+ - 1 ) 1 ( )1 ( n n n n n (B) ∑∞ =+ - + 11 )1 ( n n n n (C) n n e n- ∞ = ∑ 1 3 (D) ∑∞ = + 1 ) 1 1 ln( n n n n 4. 设∑∞ =1 n n a 是正项级数，则下列结论中错误的是（） （A）若∑∞ =1 n n a 收敛，则 ∑∞ =1 2 n n a 也收敛（B）若 ∑∞ =1 n n a 收敛，则 1 1 + ∞ = ∑n n n a a 也收敛 （C）若∑∞ =1 n n a 收敛，则部分和n S 有界（D）若 ∑∞ =1 n n a 收敛，则 1 lim1< = + ∞ → ρ n n n a a

高等代数试题及答案

中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷

授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共 2 页第 2 页

中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷 五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换，且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ?? ??????? O N N O ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==

中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'α＝. 所以正交阵1 212 102610 2 T ?????? ?=??- ?? ???????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 010011 0n E D E -???? ? ??? ??== ????? ?????? O O O ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1 ,,,,n n D D D D E -=L 在P 上线性无关.

高等数学下期末考试题

《高等数学一（下）》期末考试模拟试题 一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，满分20分）。 1．函数()3x f x =的一个原函数是 13ln 3 x （ ） A ．正确 B ．不正确 2．定积分 1 1 430 d d x x x x >? ? （ ） A ．正确 B ．不正确 3．（ ）是2 sin x x 的一个原函数 （ ） A ．2 2cos x - B ． 2 2cos x C ．2 1cos 2 x - D ． 21 cos 2 x 4．设函数0 ()sin ,x f x tdt = ? 则()f x '= ( ) A ．sin x B ． sin x - C ．cos x D ． cos x - 5．微分方程x y e '=的通解是（ ） （ ） A ．x y Ce -= B ． x y e C -=+ C ．x y Ce = D ． x y e C =+ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，满分16分）。 1． 21 9dx x =+? ．

2. ()cos ,f x dx x C =-+?,则()f x '= ． 3. 定积分 20 cos d 1sin x x x π =+? ． 4．微分方程440y y y '''-+=的通解为 . 三、计算下列各题（本大题共5个小题，每小题8分，共40分） 1．求不定积分 cos 2cos sin x dx x x -?. 2．求不定积分 ? . 3．已知()f x 的一个原函数是2 x e -,求()xf x dx '?. 4．求定积分 4 x ? . 5．求定积分 1 x xe dx ? 四、（8分）求椭圆22 221x y a b +=绕x 轴旋转构成的旋转体的体积. 五、（8分）求方程2 2 (1)(1)0x y dx y x dy +-+=的通解. 六、（8分）求方程22 sin y y x x x '-=的通解.

厦门大学《高等代数》期末试题及答案(数学系)

10-11学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷 厦门大学《高等代数》课程试卷 数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业 主考教师：杜妮、林鹭 试卷类型：（A 卷） 2011.1.13 一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分） 1) 设b 为 3 维行向量， 123123 V {(,,)|(,,)} x x x x x x b == ，则____。C A)对任意的b ，V 均是线性空间；B)对任意的b ，V 均不是线性空间；C)只有当 0 b = 时，V 是线性空间；D)只有当 0 b 1 时，V 是线性空间。 2)已知向量组 I ： 12 ,,..., s a a a 可以由向量组 II ： 12 ,,..., t b b b 线性表示，则下列叙述正确的是____。 A A)若向量组 I 线性无关，则s t ￡ ；B)若向量组 I 线性相关，则s t > ； C)若向量组 II 线性无关，则s t ￡ ；D)若向量组 II 线性相关，则s t > 。 3)设非齐次线性方程组AX b = 中未定元个数为 n ，方程个数为m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则____。 D A)当r n < 时，方程组AX b = 有无穷多解； B) 当r n = 时，方程组AX b = 有唯一解；C)当r m < 时，方程组AX b = 有解；D)当r m = 时，方程组AX b = 有解。 4) 设 A 是m n ′ 阶矩阵，B 是n m ′ 阶矩阵，且AB I = ，则____。A A)(),() r A m r B m == ；B)(),() r A m r B n == ；C)(),() r A n r B m == ； D)(),() r A n r B n == 。 5) 设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换j 在基 123 ,, x x x 下的表示矩阵是 111 101 111 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ，则j 在基 123 ,2, x x x 下的表示矩阵是____。C A) 121 202 121 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； B) 1 2 11 22 1 2 11 0 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； C)11 22 121 0 121 ?? ?÷ ? ÷ ?÷ è? ；D) 1 2 1 2 11 202 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? 。 6) 设j 是 V 到 U 的线性映射，dim V ,dim U n m == 。若m n < ，则j ____。B A)必是单射； B)必非单射； C)必是满射；D)必非满射。

大一上学期(第一学期)高数期末考试题

大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 221 n n n n n n ππ ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求

高等数学下册期末考试试题及答案

考试日期：2012年 院（系）别 班级 学号 姓名 成绩 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222 x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分）

抛物面22 z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值． 四、 （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 五、（本题满分10分） 求幂级数13n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数． 六、（本题满分10分） 计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑ = ++-??， 其中∑为曲面2 2 1(0)z x y z =--≥的上侧． 七、（本题满分6分） 设()f x 为连续函数，(0)f a =，2 22()[()]t F t z f x y z dv Ω= +++???，其中t Ω 是由曲面z = 与z = 3 () lim t F t t + →． ------------------------------------- 备注：①考试时间为2小时； ②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。 高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】

大一上学期高数期末考试题

大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.. （A）（B）（C）（D）不可导. 2.. （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小. 3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）. （A）函数必在处取得极大值； （B）函数必在处取得极小值； （C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点； （D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。 4. （A）（B）（C）（D）. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.设函数由方程确定，求以及. 10. 11. 12.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性. 13.求微分方程满足的解. 四、解答题（本大题10分） 14.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此 曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，. 17.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示： 设） 解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6.. 7. . 8.. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.解：方程两边求导 ， 10.解： 11.解： 12.解：由，知。 ，在处连续。 13.解： ， 四、解答题（本大题10分） 14.解：由已知且， 将此方程关于求导得 特征方程：解出特征根： 其通解为 代入初始条件，得 故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题10分） 15.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程： 由于切线过原点，解出，从而切线方程为： 则平面图形面积 （2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则 曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分） 16.证明： 故有： 证毕。

大一下学期高等数学期中考试试卷及答案

大一第二学期高等数学期中考试试卷 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。 1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________ 2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为 3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为 4、 22 22222 (,)(0,0) (1cos())sin lim ()e x y x y x y xy x y +→-+=+ 5、设二元函数y x xy z 3 2 +=，则 =???y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。 1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ） （A ）．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成． 2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数. (A).2 12211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++; (B).322 12211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).322 12211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++; (D).322 111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++ 3、已知直线π 22122 : -= += -z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ） (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 4、下列说法正确的是（ ） (A) 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=； (B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ??,22y z ??在区域D 内连续，则在该区 域内两个二阶混合偏导必相等；

高等代数期末试题及解答xxl

西南财经大学2010 — 2011学年第二学期 周二 学 号 评定成绩 （分） 学生 担任教师 《 高等代数 》 期末 A 卷 一、填空（每小题2分，共10分） 1.设向量空间1212{(,, )|0,}n n i V x x x x x x x R =+++=∈，则V 是 n-1 维空间。 2．A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为1，2，3，1B =-，则*A B B += -84 3．设二次型222 1231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++正定，则t 满足t > 4．设矩阵A 满足条件2 560A A E -+=，则矩阵A 的特征值是 2 ，3 5．三维线性空间V 的秩为2，则零度为 1 。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号。 每小题2分，共20分） 1．设α是n 阶可逆矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，在下列矩阵中，α不是（ D ） 的特征向量 （A ）2 ()A E + （B ）-3A （C ）*A （D ）T A 2．已知A ， B 为同阶正交矩阵，则下列（ C ）是正交阵。 （A ）A B + （B ）A-B （C ）AB （D ）kA 3， 设A 为n 阶方阵，则下列结论不成立的是（ C ） （A ）若A 可逆，则矩阵A 的属于特征值λ的特征向量也是矩阵1 A -的属于特征值 1 λ 的特征向量 （B ）若矩阵A 存在属于特征值λ的n 个线性无关的特征向量，则A E λ=

（C ）矩阵A 的属于特征值λ的全部特征向量为齐次线性方程组()0E A X λ-=的全部解 （D ）A 与T A 有相同的特征值 4．若A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶正交阵，则1P A P -为（ A ）。 （A ）实对称阵 （B ）正交阵 （C ）非奇异阵 （D ）奇异阵 5．设A ，B 都是正定阵，则（ C ） （A ）AB ，A+B 一定都是正定阵 （B ）AB 是正定阵，A+B 不一定是正定矩阵 （C ）AB 不一定是正定阵，A+B 是正定阵 （D ）AB ，A+B 都不是正定阵 6．当（ C ）时，0a A b c ?? = ??? 是正交阵。 （A ）1,2,3,a b c === （B ）1a b c === （C ）1,0,1a b c ===- （D ）1,0a b c === 7．设A ，B 均为n 阶矩阵，且A 与B 合同，，则( D) （A ）A,B 有相同的特征值 （B ）A,B 相似 （C ）A B = （D ）()()r A r B = 8. 3 R 上的线性变换T 在基1111000,1,0001ααα?????? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????下的矩阵为 121012111A ?? ? = ? ?-?? 则基在123,2,ααα下的矩阵为（ A ） （A ）141011121?? ? ? ?-?? （B ）141044121?? ? ? ?-?? （C ）1211012111?? ? ? ? ?-?? （D ）242024222?? ? ? ? -?? 9．对于n 阶实对称矩阵A ，结论（ C ）正确。 （A ）A 一定有n 个不同的特征值 （B ）A 一定有n 个相同的特征值 （C ）必存在正交矩阵P ，使1 P AP -成为对角矩阵