南京大学《高等代数》期末考试题及答案

南京大学

高等代数xx 期末考试试卷及答案（A 卷）

一、 填空题（每小题3分，共15分）

1、线性空间[]P

x 的两个子空间的交()()11L x L x -+=

I

2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是

3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是

4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2

1,,1,λλ

λ+

则其特征矩阵E A λ-的标准形是

5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：

二、 单项选择题（每小题3分，共15分）

1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：

（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。 2、（ ）设A 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：

（A ）A 的核是零子空间的充要条件是A 是满射； （B ）A 的核是V 的充要条件是A 是满射；

（C ）A 的值域是零子空间的充要条件是A 是满射； （D ）A 的值域是V 的充要条件是A 是满射。 3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;

A A

B A λλ≠是一个非零常数；

()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。

4、（ ）设实二次型

f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：

222

1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：

()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。

5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是：

()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---??

??

??

?

?

?

--- ? ? ? ? ? ?---??????

()D 以上各情形皆有可能。

三、 是非题（每小题2分，共10分）

（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}120V V =I

则12V

V V =⊕。

2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。

3、（ ）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。

4、（ ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。

5、（ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。

四、 解答题（每小题10分，共30分）

1、在线性空间4

P 中，定义线性变换：

()()()(

)

4

,,,,,,,,,a b c d a b a c b d a b c d P ''

'=++?∈A

（1）求该线性变换A 在自然基：()()121,0,0,0,0,1,0,0εε''==

()()340,0,1,0,0,0,0,1εε''==下的矩阵A ；

（2）求矩阵A 的所有特征值和特征向量。

2、（1）求线性空间[]3P x 中从基()()()2

:1,1,1I x x --到基

()()()2

:1,1,1II x x ++的过渡矩阵；

（2）求线性空间[]3P

x 中向量()2123f x x x =-+在基

()()()2

:1,1,1I x x --下的坐标。

3、在R 2中，()()1212,,,a a b b α

β?==，规定二元函数：

()11122122,4a b a b a b a b αβ=--+

（1） 证明：这是R 2的一个内积。 （2） 求R 2的一个标准正交基。

五、 证明题（每小题10分，共30分）

1、 设P 3的两个子空间分别为：

(){}(){}

11

2

3

12

321

2

3

1

2

3,,0,,,0

W x x x x x

x W x x x x x

x =

++==

--= 证明：（1）3

12P W W =+；

（2）12W W +不是直和。

2、设A 是数域P 上线性空间V 的线性变换，证明()12,,...,r W L ααα= 是A 的不变子空间的兖要条件是()1,2,...,i W i r α∈=A

3、已知A E -是n 级正定矩阵，证明： （1）A 是正定矩阵； （2）23n A E +>

参考答案

一、 填空题（每小题3分，共15分）

1、线性空间[]P

x 的两个子空间的交()()11L x L x -+=I {}

2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是

1C X

-

3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 相似关系

4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2

1,,1,λλ

λ+

则其特征矩阵E A λ-的标准形是

()10

000001λλλ?? ? ? ?+??

5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：

A AX A B

''=

二、 单项选择题（每小题3分，共15分）

2、 （ A ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：

（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；

（D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。

2、（ D ）设A 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是： （A ）A 的核是零子空间的充要条件是A 是满射； （B ）A 的核是V 的充要条件是A 是满射；

（C ）A 的值域是零子空间的充要条件是A 是满射； （D ）A 的值域是V 的充要条件是A 是满射。 3、（ B ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;

A A

B A λλ≠是一个非零常数；

()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。

4、（ C ）设实二次型

f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：

222

1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：

()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。

5、（ A ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是：

()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---??

??

??

?

?

?

--- ? ? ? ? ? ?---??????

()D 以上各情形皆有可能。

三、 是非题（每小题2分，共10分）

（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（ × ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}120V V =I

则12V

V V =⊕。

2、（ √ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。

3、（ √ ）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。

4、（ × ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。

5、（ √ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。

四、 解答题（每小题10分，共30分）

1、在线性空间4

P 中，定义线性变换：

()()()(

)

4

,,,,,,,,,a b c d a b a c b d a b c d P ''

'=++?∈A

（1）求该线性变换A 在自然基：()()121,0,0,0,0,1,0,0εε''==

()()340,0,1,0,0,0,0,1εε''==下的矩阵A ；

（2）求矩阵A 的所有特征值和特征向量。

解：（1）线性变换A 在自然基下的矩阵是1

000010010100

10

1A ?? ? ?

= ? ???

（5分） （2）因为

()

4

1E A λλ-=-

所以矩阵A 的所有特征值是12341λλλλ====

解齐次线性方程组

()0E A X -=

得矩阵A 的所有特征向量：

()()120,0,1,00,0,0,1k k ''+，其中12,k k 不全为零。 （5分）

2、（1）求线性空间[]3P x 中从基()()()2

:1,1,1I x x --到基

()()()2

:1,1,1II x x ++的过渡矩阵；

（2）求线性空间[]3P

x 中向量()2123f x x x =-+在基

()()()2

:1,1,1I x x --下的坐标。

解：（1）因为()()

(

)

()2

21111,1,11,,012001x x x x -??

?

--=- ? ???

()()()

()2

21111,1,11,,012001x x x x ?? ?

++= ? ???

所以

()()

(

)()()

(

)

1

2

2

1111111,1,11,1,1012012001001x x x x --????

? ?++=--- ? ? ? ?????

()()

(

)

2

1111111,1,1012012001001x x ???? ???=-- ??? ???????

即所求的过渡矩阵为124014001??

?

? ???

（5分）

（2）因为()()()

()

2

2

1111,,1,1,1012001x x x x ??

?=-- ? ???

()()

(

)

2

1241,1,1014001x x ?? ?=-- ? ???

故()()2211231,,23f x x x x x ??

?=-+=- ? ???

()()

(

)

()()2

211111,1,10122241310013x x x x ????

???

=---=+-+- ??? ???????

所以()f x 在基()()()2

:1,1,1I x x --下的坐标是：243??

? ? ???

（5分）

3、在R 2中，()()1212,,,a a b b α

β?==，规定二元函数：

()11122122,4a b a b a b a b αβ=--+

（3） 证明：这是R 2的一个内积。 （4） 求R 2的一个标准正交基。 （1）证明：

()11122122,4a b a b a b a b αβ=--+

()112211,14b a a b -??

??= ? ?-????

因为1114-??

?-??

是正定矩阵，

所以这个二元函数是R 2的一个内积。 （5分） （2）解：考察自然基()()121,0,

0,1εε==

它的度量矩阵正是1114-?? ?-??

令：()1

11,0,αε==

()()()()

()

212122*********,,1

1,1,,1εαεεαεαεεεεααεε-=-=-=-=

再令：)111221211

,1,1βααβααα==== 则12,ββ是R 2的一个标准正交基。 （5分） （2）解法二：考察自然基()()121,0,

0,1εε==

它的度量矩阵正是1114-??

?-??

(

(

2212121

011101010101401031101r r r c c c ???+?-??? ? ?

-+??????u u u u u u r

u u u u u 令：()(

)12121,,0ααεε?= ?

即：(

()11

21,1αεα=???

=??

则12,αα 的度量矩阵是E ，从而是R 2的一个标准正交基。

五、 证明题（每小题10分，共30分）

2、 设P 3的两个子空间分别为：

(){}(){}

11

2

3

12

321

2

3

1

2

3,,0,,,0

W x x x x x

x W x x x x x

x =

++==

--= 证明：（1）3

12P W W =+；

（2）12W W +不是直和。

证明：（1）W 1的一个基是：()()121,1,0,1,0,1αα=-=-

W 2的一个基是：()()121,1,0,1,0,1ββ==

因为()12

1212,,,W W L ααββ+=

其中121,,ααβ是12W W +的生成元的一个极大无关组 从而是12W W +的一个基， 所以()31212dim

3W W P W W +=?=+ （5分）

（2）因()1212dim 2,dim 2,dim 3W W W W ==+=

即()121dim

dim dim W W W W +≠+

所以12W W +不是直和。 （5分） （2）之证法二：因为()(

)

{}120,1,10W W L =-≠I 所以12W W +不是直和。

2、设A 是数域P 上线性空间V 的线性变换，证明()12,,...,r W L ααα= 是A 的不变子空间的兖要条件是()1,2,...,i W i r α∈=A

证明：（充分性）设有()1,2,...,i W

i r α∈=A

1122...r r k k k W

αααα?=+++∈

1122...r r k k k W αααα?=+++∈A A A A

()12,,...,r W L ααα?=是A 的不变子空间。 （5分）

（必要性）设()12,,...,r W

L ααα=是A 的不变子空间，

由()(),1,2,...,,1,2,...,i i W i r W i r αα∈=?∈=A （5分） 3、已知A E -是n 级正定矩阵，证明： （1）A 是正定矩阵； （2）

23n A E +>

证明：（1）设A 的特征值为12,,...,n λλλ

因为A E -是正定矩阵， 故其特征值()10,1,2,...,i

i n λ->=

于是A 的特征值()1,1,2,...,i

i n λ>=

所以A 是正定矩阵。 （5分） （2） 因为A 的特征值()1,1,2,...,i i n λ>= 所以A+2E 的特征值()23,1,2,...,i i n λ+>=

()1

223n

n i i A E λ=?+=+>∏ （5分）

毛概期末考试试题及答案

毛概期末考试试题项选择题（每题1分，共15分） 1、全面贯彻“三个代表”重要思想的关键在（A ） A、坚持与时俱进 B、坚持党的先进性 C、坚持执政为民 D、坚持党的领导 2、邓小平理论的精髓是（B） A、解放生产力, 发展生产力 B、解放思想, 实事求是 C、坚持四项基本原则 D、“ 三个有利于”标准 3、消灭剥削的物质前提是（B ） A、实行公有制 B、生产力的高度发达 C、实行人民民主专政 D、实行按劳分配 4、我国社会主义初级阶段的时间是指（B） A、中华人民共和国成立到社会主义现代化基本实现 B、社会主义改造基本完成到社会主义现代化基本实现 C、中华人民共和国成立到社会主义改造基本完成 D、社会主义改造基本完成到共产主义社会 5、坚持党的基本路线一百年不动摇的关键是（A ） A、坚持以经济建设为中心不动摇 B、坚持“两手抓, 两手都要硬”的方针不动摇 C、坚持四项基本原则不动摇 D、坚持改革开放不动摇

6、我国社会主义建设的战略目标是（D） A、实现农业、工业、国防和科学技术现代化 B、实现工业化、社会化、市场化、和现代化 C、实现政治、经济和文化的现代化 D、把我国建设成为富强、民主、文明的社会主义现代化国家 7、我国的工业化任务还没有完成，总体上看，现在还处于（C） A、农业社会 B、现代化工业社会 C、工业化中期阶段 D、工业化高级阶段 8、实现全面建设小康社会的目标重点和难点在（D） A、大城市 B、中等城市 C、小城镇 D、农村 9、实行以家庭承包经营为基础、统分结合的双层经营体制，是党在农村的基本政策，必须长期坚持。稳定和完善这一双层经营体制的关键和核心是（A ） A、稳定和完善土地承包关系 B、完善农村所有制结构 C、尊重农民的首创精神 D、发展规模经济 10、改革开放以来，对社会主义可以实行市场经济在理论认识上重大突破是（D ） A、市场经济是法治经济 B、市场对资源配置起基础性作用 C、市场经济是国家宏观调控的经济 D、市场经济不属于社会基本制度的范畴 11、社会主义市场经济条件下，市场机制（A ） A、对资源配置起基础性作用 B、能确保经济总量的平衡 C、可以实现经济结构的平衡 D、可以保障社会公平 12、私营经济中的劳动者的收入属于（C）

同济大学2009-高数B期末考试题

同济大学２00９-２0１0学年第一学期高等数学Ｂ(上)期终试卷 一. 填空题(4'416'?=） １. 设函数()f x 具有二阶导数, 且1'0, 'dx y dy y ≠=, 则223 " 'd x y dy y =- . 2. 设函数()f u 为可导函数, 且'(0)0f ≠, 由参数方程3(sin 2)(1) t x f t y f e π =-?? =-?所确定的函数的 导数 32 t dy dx ==. 3. 极限111lim( )ln 2 12 n n n n n →∞ +++ =+++. 4. 微分方程22"5'6sin x y y y xe x -++=+的特解形式为(不需确定系数) 2()cos2sin 2x x Ax B e C x D x E -++++. 二. 选择题(4'416'?=) 5. 设函数sin ()bx x f x a e =+在(,)-∞+∞内连续, 且lim ()0x f x →-∞=, 则常数,a b 满足： [D ]. ()0,0A a b <>; ()0,0B a b ><； ()0,0C a b ≤>; ()0,0D a b ≥< 6. 曲线 1 ln(1)x y e x -= ++, [D ] ()A 没有水平渐近线但有铅直渐近线； ()B 没有铅直渐近线但有水平渐近线； ()C 没有水平和铅直渐近线; ()D 有水平和铅直渐近线 7． 将0x + →时的无穷小量2 sin ,,(1)x x t tdt tdt e dt αβγ= ==-? ?排列起来, 使 得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: [C ］ (),,A αβγ; (),,B αγβ; (),,C βαγ;

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .

大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 　求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x

毛概期末考试试题及答案

毛概期末考试试题 项选择题（每题1分，共15分） 1、全面贯彻“三个代表”重要思想的关键在（A ） A、坚持与时俱进 B、坚持党的先进性 C、坚持执政为民 D、坚持党的领导 2、邓小平理论的精髓是（B） A、解放生产力, 发展生产力 B、解放思想, 实事求是 C、坚持四项基本原则 D、“ 三个有利于”标准 3、消灭剥削的物质前提是（B ） A、实行公有制 B、生产力的高度发达 C、实行人民民主专政 D、实行按劳分配 4、我国社会主义初级阶段的时间是指（B） A、中华人民共和国成立到社会主义现代化基本实现 B、社会主义改造基本完成到社会主义现代化基本实现 C、中华人民共和国成立到社会主义改造基本完成 D、社会主义改造基本完成到共产主义社会 5、坚持党的基本路线一百年不动摇的关键是（A ） A、坚持以经济建设为中心不动摇 B、坚持“两手抓, 两手都要硬”的方针不动摇 C、坚持四项基本原则不动摇 D、坚持改革开放不动摇 6、我国社会主义建设的战略目标是（D） A、实现农业、工业、国防和科学技术现代化 B、实现工业化、社会化、市场化、和现代化 C、实现政治、经济和文化的现代化 D、把我国建设成为富强、民主、文明的社会主义现代化国家 7、我国的工业化任务还没有完成，总体上看，现在还处于（C） A、农业社会 B、现代化工业社会 C、工业化中期阶段 D、工业化高级阶段 8、实现全面建设小康社会的目标重点和难点在（D） A、大城市 B、中等城市 C、小城镇 D、农村 9、实行以家庭承包经营为基础、统分结合的双层经营体制，是党在农村的基本政策，必须长期坚持。稳定和完善这一双层经营体制的关键和核心是（A ）A、稳定和完善土地承包关系B、完善农村所有制结构 C、尊重农民的首创精神 D、发展规模经济 10、改革开放以来，对社会主义可以实行市场经济在理论认识上重大突破是（D ） A、市场经济是法治经济 B、市场对资源配置起基础性作用 C、市场经济是国家宏观调控的经济 D、市场经济不属于社会基本制度的范畴 11、社会主义市场经济条件下，市场机制（A ） A、对资源配置起基础性作用 B、能确保经济总量的平衡 C、可以实现经济结构的平衡 D、可以保障社会公平 12、私营经济中的劳动者的收入属于（C）

大学高等数学期末考试题及答案详解(计算题)

大学数学期末高等数学试卷（计算题） 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) .d )1(22x x x ? +求 2、(本小题5分) 求极限　lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数　的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设　dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题

高数2-期末试题及答案

北京理工大学珠海学院 2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为 分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题（每小题6分，共36分）

最新高数期末考试题.

往届高等数学期终考题汇编 2009-01-12 一．解答下列各题(6*10分): 1．求极限)1ln(lim 1 x x e x ++ →. 2.设?? ? ??++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d . 3.设?????-=-=3 232t t y t t x ，求22d d x y . 4.判定级数()()0!1 2≥-∑∞ =λλλn n n n n e 的敛散性. 5.求反常积分() ?-10 d 1arcsin x x x x . 6.求?x x x d arctan . 7.?-π 03d sin sin x x x . 8.将?????≤≤<=ππ πx x x x f 2,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数，并指出收敛于()x f 的区间. 9.求微分方程0d )4(d 2=-+y x x x y 的解. 10.求曲线1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域. 三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点() ()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L ,由直线L ,oy 轴及曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 及曲线 ()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值. 四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间? 五.(8分)(学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2）) （1）证明级数∑∞ =-02n nx e x 在[),0+∞上一致收敛. （2）求幂级数()∑ ∞ =-----1 221 21212)1(n n n n x n 的收敛域及和函数. 六.(6分)设()[]b a C x f ,2∈,试证存在[]b a ,∈ξ,使()()()()?''-+ ??? ??+-=b a f a b b a f a b dx x f ξ324 1 2

毛概期末考试题及答案

厦门大学《毛泽东思想与中国特色社会主义理论体系概论》课程试卷＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业 主考教师：＿吴茜＿试卷类型：（A卷/B卷） 一、单项选择题：（本大题共50小题，每题1分，共50分。答案填写在下面相应的括号内。）10,628 1．在中共的历史上，第一次鲜明提出“马克思主义中国化”这个命题的会议是（）Ａ．党的二大 B．遵义会议 Ｃ．党的六届六中全会 D．党的七大 2．中国共产党把毛泽东思想确定为党的指导思想的会议是在（）。 A．遵义会议上 B．党的七大上 C．党的八大上 D．党的十一届六中全会上 3．“三个代表”重要思想在邓小平理论基础上，创造性地回答了（）。 A．什么是马克思主义、怎样坚持和发展马克思主义的问题 B．什么是社会主义、怎样建设社会主义的问题 C．建设什么样的党、怎样建设党的问题 D．什么是小康社会、怎样建设小康社会的问题 4．中国共产党实现了马克思主义同中国实际相结合的两次历史性飞跃，所产生的两大理论成果为（）。 A．毛泽东思想和邓小平理论 B．邓小平理论和“三个代表”重要思想 C．“三个代表”重要思想和科学发展观 D．毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系 5．以下不是党和人民九十多年奋斗、创造、积累的根本成就的是（）。A．中国特色社会主义道路B．中国特色社会主义理论体系 C．中国特色社会主义制度D．中国特色社会主义实践 6．党的十八大报告指出，改革开放是坚持和发展中国特色社会主义的（）。A．必由之路 B．根本保障 C．根本方向 D．本质属性 7．科学发展观的根本方法是（）。 A．把发展作为第一要义 B．统筹兼顾 C．以人为本 D．全面协调发展 8．1927年大革命失败后，毛泽东在八七会议上提出的著名论断是（）。

合肥工业大学大一上学期高数期末考试题

高数期末考试 一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 2. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x = ??x x x x f d cos )(则 . 3. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221L n n n n n n π π ππ . 4. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 5. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 6. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 7. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 8. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 9. 设函数)(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且→=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 并讨论' ()g x 在=0x 处的连续性. 10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足 =- 1 (1)9y 的解. 四、 解答题（本大题10分）

大学高等数学高数期末考试试卷及答案

大学高等数学高数期末考 试试卷及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

华南农业大学2010/2011学年第一学期经济数学期中考试试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1、设函数3()1f x x =-，则()f x -=（） 31x -31x --31x -+31x +、函数y = A ．3x < B ．3x ≤ C ．4x < D ．4x ≤ 3、（）中的两个函数相同． A ．()f x x =，()g t =．2()lg f x x =，()2lg g x x = C ．21()1x f x x -=+，()1g x x =- D ．sin 2()cos x f x x =，()2sin g x x = 4、下列函数中()是奇函数。 A ．3sin()4x x - B ．1010x x -+ C ．2cos x x - D ． sin x x 5、1 lim(1)n n n →∞-=（） A ．1 B ．2e C ．1e - D ．∞+ 6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是（） 1 sin (0)x x x →.(0)x e x → ln (0)x x +→.sin ()x x x →∞ 7、设10 ()10x e x f x x x ?+≤=?->?，则在0=x 处，)(x f （） A ．连续 B ．左、右极限不存在 C ．极限存在但不连续 D ．左、右极限存在但不相等 8、若曲线()f x 在点0x x =处的切线平行于直线234x y +=，则0()f x '=（） A ．2 B ．3 C ． 23D ．23 - 9、设()x f x e =，则[(sin )]f x '=（）。 A ．x e B ．sin x e C ．sin cos x x e D ．sin sin x x e

大一高数同济版期末考试题(精) - 副本

高等数学上（1） 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 　求，， 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x

毛概期末复习题及答案

揭秘毛概 第一章 1、马克思主义为什么要中国化？马克思主义中国化的科学内涵是什么？它有哪些理论成果？ 答：原因：1.马克思主义中国化是源于对中国革命进程中正反两个方面的实践经验和科学总结。2.马克思主义中国化是解决中国问题的需要。3.马克思主义中国化是保持党的先进性，实现党的历史使命的客观要求。 科学内涵：1.马克思主义中国化就是运用马克思主义解决中国革命、建设和改革的实际问题。2.马克思主义中国化就是把中国革命建设和改革的实践经验和历史经验提升为理论。3.马克思主义中国化就是把马克思主义根植于中国的优秀文化之中。 理论成果：毛泽东思想中国特色社会主义理论体系包括邓小平理论、三个代表重要思想、科学发展观 2、中国特色社会主义理论体系包括哪些理论成果？这些理论成果创造性地探索和回答了哪些重大的理论与实践问题？ 答：中国特色社会主义理论体系包括邓小平理论、三个代表重要思想和科学发展观。这些理论成果创造性的探索和回答了：怎样对待马克思主义，什么是社会主义，怎样建设社会主义，建设什么样的党，怎样建设党，实现什么样的发展以及怎样发展。除此之外，邓小平理论第一次比较系统的回答了中国社会主义的发展道路、发展阶段、根本任务、发展动力、外部条件、政治保证、战略步骤、领导力量和依靠力量、祖国统一等一系列基本问题，指导我们党制订了在社会主义初级阶段的基本路线。 3、如何理解中国特色社会主义理论体系？为什么说在当代中国，坚持中国特色社会主义理论体系就是真正坚持马克思主义？ 答：1. 中国特色社会主义理论体系包括邓小平理论、三个代表重要思想和科学发展观。2. 这些理论成果创造性的探索和回答了：怎样对待

大学高数期末考试题

高等数学（上）期中测试题 一 填空题：（每小题4分，共32分，要求：写出简答过程，并且把答案填在横线上） 1.设 1 (1) ,0 (),0 x x x f x x a x ?? -<=??+≥?在 (,)-∞+∞上处处连续，则a =---。 解 ()()1 11 10 lim 1lim 1x x x x x x e - - ---→→????-=+-=?????? ()0 lim x x a a + →+=,有连续性有a =-1 e 2. 已 知 (3)2f '=,则 0 (3)(3)lim 2h f h f h →--=1-。 解 已知 ()0(3)(3) 3lim 2h f f h f h →--'== 则 00(3)(3)1(3)(3)lim lim 22h h f h f f f h h h →→----=- 3.函数()2cos f x x x =+在[0, ] 2 π 上的最大值为6 π+解 令 ()12sin 0f x x '=-=得6 x π = 则最大值为 6 π + 4. 设 5(sin )5(1cos ) x t t y t =+?? =-? ， 则 t dy dx =0,2 2t d y dx ==120 解 () 5sin 0 51cos t t t dy dy t dt dx dx t dt ===== =+ 5. 设 1(0)x y x x +=>，则y '= ()1ln x x x x x ++ 解 两边取对数有 ()ln 1ln y x x =+

两边关于 x 求导得1ln y x x y x ' +=+,整理后即得结果 6. 设函数 ()y y x =由方程 cos()0 x y xy ++=确定，则 dy =sin 1 1sin y xy dx x xy --。 解 对方程两边关于x 求导 得: sin 11sin y xy y x xy -'=- 则dy = sin 11sin y xy dx x xy -- 7. 曲线 2x y e -=在点(0,1)M 处的曲率K =25 解 200 22x x x y e -=='=-=- 200 44x x x y e -==''== 则 () ( )3 3 222 2 4 25 112y k y '' = = =??'++-?? 8.函数()x f x xe =在0 1x =处的二阶泰勒公式为()f x = 解 由 () ()()n x f x n x e =+,代入泰勒公式即得 二．选择题：（每小题4分，共32分，每小题的四个选项中只有一个是正确的，要求写出简答过程，并且将答案对应的选项的字母填入题后括号里） 1.当 0x →时，下列函数中为无穷小的函数是（D ） 。

大一上学期高数期末考试题

大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.. （A）（B）（C）（D）不可导. 2.. （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小. 3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）. （A）函数必在处取得极大值； （B）函数必在处取得极小值； （C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点； （D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。 4. （A）（B）（C）（D）. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.设函数由方程确定，求以及. 10. 11. 12.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性. 13.求微分方程满足的解. 四、解答题（本大题10分） 14.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此 曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，. 17.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示： 设） 解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6.. 7. . 8.. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.解：方程两边求导 ， 10.解： 11.解： 12.解：由，知。 ，在处连续。 13.解： ， 四、解答题（本大题10分） 14.解：由已知且， 将此方程关于求导得 特征方程：解出特征根： 其通解为 代入初始条件，得 故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题10分） 15.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程： 由于切线过原点，解出，从而切线方程为： 则平面图形面积 （2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则 曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分） 16.证明： 故有： 证毕。

大学毛概期末考试试题及答案(2017)

大学毛概期末考试试题及答案（2017） 一、单项选择题 1、中国共产党确定毛泽东思想为指导思想的会议是(B ) A、遵义会议 B、党的第七次全国代表大会 C、党的第八次全国代表大会 D、中共十一届六中全会 2、当今世界的时代主题是( B) A战争与革命 B和平与发展 C改革与开放 D民主与法制 3、邓小平提出建设有中国特色社会主义理论的命题是在( C ) A十一届三中全会 B十一届六中全会 C 十二大 D十三大 4、邓小平理论形成轮廓是在：( C ) A十二大 B十三大 C十四大 D十五大 5、第一次系统阐述社会主义初级阶段的理论是在(B ) A党的十二大 B党的十三大 C党的十四 D党的十五大 6、邓小平理论形成一个比较完整的理论体系是在( C ) A党的十二大 B党的十三大 C党的十四 D党的十五大 7、邓小平理论被确定为党的指导思想是在( D ) A党的十二大 B党的十三大 C党的十四 D党的十五大 8、第一次科学而准确地使用“邓小平理论”的概念是在( D ) A党的十二大 B党的十三大 C党的十四 D党的十五大 9、马列主义同中国实际相结合的历史性飞跃有( B ) A一次 B二次 C三次 D四次 10、邓小平理论的首要的基本问题是( B ) A建设有中国特色的社会主义B什么是社会主义，怎样建设社会主义

C社会主义的根本任务 D建设一个什么样的党，怎样建设党 11、邓小平理论包含几个方面的内容( B ) A八个 B九个 C十个D十一个 12、党的十五大载入史册的标志是(D) A制定跨世纪的宏伟蓝图B坚持社会主义初级阶段的理论 C提出社会主义初级阶段的基本纲领D高举邓小平理论的伟大旗帜 13、建国后，我国社会主义建设照搬了( A ) A苏联模式 B朝鲜模式 C波兰模式 D匈牙利模式 14、开创建设有中国特色社会主义道路的第一个宣言书是(D) A“三个有利于”标准理论B提出坚持四项基本原则 C改革开放的决策D《解放思想，实事求是，团结一致向前看》 15、把改革开放和现代化建设推进到新阶段的又一个解放思想、实事求是的宣言书是(B) A《解放思想，实事求是，团结一致向前看》 B邓小平南方谈话 C《中国共产党第十二次全国代表大会开幕词》 D科学技术是第一生产力的提出 16、邓小平理论活的灵魂是(D ) A独立自主B.“三个有利于”标准 C.群众路线 D.解放思想，实事求是 17、解放思想，实事求是贯穿于(D) A.邓小平理论形成阶段 B.邓小平理论发展阶段 C.邓小平理论成熟阶段 D邓小平理论形成和发展的全过程 18 “三个代表”重要思想首次提出是在(B ) A 1999年 B 2000年 C 2001年 D2002年 19、(C)，是中国共产党的立党之本、执政之基、力量之源。 A 坚持“四项基本原则” B 坚持改革开放

同济大学版高等数学期末考试试卷

同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???

大学高数期末考试题及答案

第一学期高等数学期末考试试卷答案 一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分）， 1．求极限()x x x x x 30 sin 2cos 1lim -+→． 解： ()30303012cos 1lim 12cos 12lim sin 2cos 1lim x x x x x x x x x x x x x x -??? ??+=????????-??? ??+=-+→→→ 20302cos 1ln 0 3 2cos 1ln 0 2cos 1ln lim 2cos 1ln lim 2 cos 1ln 1lim 1 lim x x x x x x x e x e x x x x x x x x +=+?+-=-=→→?? ? ??+→?? ? ??+→ ()4 1 2cos 1sin lim 0-=+-=→x x x x ． 2．设0→x 时，()x f 与2 2 x 是等价无穷小， ()?3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，求常数k 与A ． 解： 由于当0→x 时， ()? 3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小，所以()1lim 3 =?→k x x Ax dt t f ．而 ()() () 1013 2 3201 3232 3 230132 3 00061lim 6lim 3122lim 31lim lim 3 -→--→-→-→→=?=??????? ? ? ???=??=?k x k x k x k x k x x Akx Akx x x Akx x x x x f Akx x x f Ax dt t f 所以，161lim 10=-→k x Akx ．因此，6 1 ,1==A k ． 3．如果不定积分 ()() ?++++dx x x b ax x 2 2 211中不含有对数函数，求常数a 与b 应满足的条件． 解：

高等数学学期期末考试题(含答案全)

05级高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷) 专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________ 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位” 一,填空题 (每题4分,共32分) 1. 213______4 x y kx y z k π +-=-==若平面与平面成 角,则 1/4 2. 曲线20 cos ,sin cos ,1t u t x e udu y t t z e = =+=+? 在t = 0处的切线方程为________________ 3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x ??为____________ 4. ( ),dy f x y dx ?1 交换的积分次序为_________________________ 5．()2221,L x y x y ds +=-=?L 已知是圆周则 _________π- 6. 收敛 7. 设幂级数0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径是2,则幂级数 21 n n n a x ∞ +=∑的收敛半径是 8. ()211x y ''+=微分方程的通解是 ()2121 arctan ln 12 y x x c x c =-+++_______________________ 二．计算题 (每题7分,共63分) 1．讨论函数 f ( x, y ) = 221 ,x y + 220x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0 在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。 P 。330 2．求函数2 222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿P 0方向的方向导数，其中O 为坐 标原点。 3．2 1 2.1n n n n n ∞ =?? ?+?? ∑判别级数的敛散性 P ．544 4．设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，求du dz f dy f x f dx y f '+??? ??'+'+?'2211. 012 112x y z ---==z z yz x e xy ?=?-211sin ____________1 n n n ∞ =++∑级数的敛散性为

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为12 2++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ? ??+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为 2π． 3．设函数2 2232),,(z y x z y x f ++=，则= )1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则=∞ →n n u lim 0 ． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10 ,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处 收敛于 2 1π+． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式 x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 20 32z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分 ???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(22 2y x z +-=及22y x z += 所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分) ??? Ω v z y x f d ),,(? ??-=2 210 20 d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分)