高等数学I (大一第一学期期末考试题及答案)
1. 当0x x →时,()(),x x αβ都是无穷小,则当0x x →时( D )不一定是
无穷小. (A) ()()x x βα+
(B)
()()x x 22βα+ (C)
[])()(1ln x x βα?+
(D) )()
(2x x βα
2. 极限
a
x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是( C ). (A ) 1
(B ) e
(C ) a
e
cot (D ) a
e
tan
3.
???
??=≠-+=001
sin )(2x a x x
e x x
f ax 在0x =处连续,则a =( D ). (A ) 1
(B ) 0
(C ) e (D ) 1-
4. 设)(x f 在点x a =处可导,那么=
--+→h h a f h a f h )2()(lim 0( A ). (A ) )(3a f ' (B ) )(2a f '
(C) )(a f ' (D ) )
(31
a f '
二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)
5. 极限)
0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1. 6. 由
x x y e y
x 2cos ln =+确定函数y (x ),则导函数='y x
xe ye x y
x xy
xy
ln 2sin 2+++- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行,则直
线l 的方程为 13
121
1--=--=-z y x . 8. 求函数2
)4ln(2x x y -=的单调递增区间为 (-∞,0)和(1,+∞ ) .
三、解答题(本大题有4小题,每小题8分,共32分)
9. 计算极限10(1)lim
x
x x e
x →+-.
解:1
1
ln(1)120
00(1)1
ln(1)lim
lim lim
2x x
x
x x x x e e x x e
e e x x
x +-→→→+--+-===-
10. 设)(x f 在[a ,b ]上连续,且
]
,[)()()(b a x dt
t f t x x F x
a
∈-=?,试求出)(x F ''。
解:
??-=x
a
x
a
dt
t tf dt t f x x F )()()(
??=-+='x
a
x
a
dt
t f x xf x xf dt t f x F )()()()()( )()(x f x F =''
11. 求
3
cos .sin x
x
dx x ?
解
:
2
3cos 1sin sin 2x x
dx xd x x -=-??2221111
sin sin sin cot 2222x x xdx x x x C
---=-+=--+?
四、解答题(本大题有4小题,每小题8分,共32分)
12. 求
?
-2
3
2
21
x x dx .
令
1x t =
?
--=21
2
322)1
(11
11dt t t t
原式
=-?dt
t 121
2
3
2
=arcsin t
12
3
2=
π
6
13. 求函数
212x x y +=
的极值与拐点. 解:函数的定义域(-∞,+∞)
22)1()1)(1(2x x x y ++-='
3
22)1()3(4x x x y +--='' 令0='y 得 x 1 = 1, x 2 = -1
0)1(<''y x 1 = 1是极大值点,0)1(>-''y x 2 = -1是极小值点
极大值1)1(=y ,极小值1)1(-=-y
0=''y 33故拐点(-3,-23),(0,0)(3,23
)
14. 求由曲线43x y =与2
3x x y -=所围成的平面图形的面积.
解 :,,
x x x x x x 3232431240=--+=
x x x x x x ()(),,,.+-==-==620602123
S x x x dx x x x dx
=-++---??()()3260
2
3024334 =-++---()()x x x x x x 423602340
21632332316
=+=4521347
1
3 15. 设抛物线2
4x y -=上有两点(1,3)A -,(3,5)B -,在弧 A B 上,求一点(,)P x y 使ABP ?的面积最大.
AB y x AB P AB x y x x x ABP 连线方程: 点到的距离 的面积
+-==+-=-++-≤≤2104521
5
235
132()
?
S x x x x x ()()=
??-++=-++12452352232
2
当 '=-+='=S x x x S x ()()4410 当时取得极大值也是最大值''=-<=S x x S x ()()401 此时 所求点为,y =313()
另解:由于的底一定故只要高最大而过点的抛物线
的切线与平行时高可达到最大值问题转为求,使 解得所求点为?ABC AB C AB C x x f x x x C ,,,()
,(),,(,)
002
0004253312113-'=-=--+=-=
六、证明题(本大题4分)
16. 设0x >,试证x x e x +<-1)1(2.
证明:设0),1()1()(2>+--=x x x e x f x
1)21()(2--='x e x f x
,x xe x f 24)(-='',0)(,0≤''>x f x ,因此)(x f '在(0,+∞)内递减。在(0,+∞)内,)(,0)0()(x f f x f ='<'在(0,+∞)内递减,在(0,+∞)内,),0()(f x f <即0)1()1(2<+--x x e x 亦即当 x >0时,x x e x +<-1)1(2 试证x x e x +<-1)1(2.
高等数学I 1. 当0x x →时,()(),x x αβ都是无穷小,则当0x x →时( D )不一定是 无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 22βα+ (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2x x βα 2. 极限a x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是( C ). (A ) 1 (B ) e (C ) a e cot (D ) a e tan 3. ??? ??=≠-+=001 sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续,则a =( D ). (A ) 1 (B ) 0 (C ) e (D ) 1- 4. 设)(x f 在点x a =处可导,那么= --+→h h a f h a f h )2()(lim 0( A ). (A ) )(3a f ' (B ) )(2a f ' (C) )(a f ' (D ) ) (31 a f ' 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. 极限) 0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1. 6. 由 x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x ),则导函数='y x xe ye x y x xy xy ln 2sin 2+++- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行,则直 线l 的方程为 13 121 1--=--=-z y x . 8. 求函数2 )4ln(2x x y -=的单调递增区间为 (-∞,0)和(1,+∞ ) . 三、解答题(本大题有4小题,每小题8分,共32分) 9. 计算极限10(1)lim x x x e x →+-.
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. ) 时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()() x x αβ与是等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt = -? ,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ()( , )(2)( )(1 =+=? x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且 设 (A )2 2x (B )2 2 2 x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. = +→x x x sin 2 )31(lim . 6. , )(cos 的一个原函数 是已知 x f x x = ? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 22 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 121 2 2 11 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. . d ) 1(17 7x x x x ? +-求
高数总复习(上) 一、求极限的方法: 1、利用运算法则与基本初等函数的极限; ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =g (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论
结论2: ()f x 是基本初等函数,其定义区间为D ,若0x D ∈,则 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质; ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或(lim ()0x f x →∞ =) 则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ:. ②性质1:有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设 ~,~ααββ'',
且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则; ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。
大一高等数学期末考试卷(精编试题)及答案详解 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是 等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )2 2x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求
(本小题5分) t 2 设 x e 2^ st 确定了函数y y (x ),求 dy . y e si nt dx (本小题5分) 求 x.、1 xdx . (本小题5分) (本小题5分) sin x , 2 dx. sin x (本小题5分) 设 x(t) e kt (3cos t 4sin t),求 dx . (本小题5分) 设函数y y (x )由方程y 2 ln y 2 x 6 所确定,求史. dx (本小题5分) 求函数y 2e x e x 的极值 (本小题5分) 求极限 H m (X 1)2 (2x 1)2 (3x 1)2 吃」 x (10x 1)(11x 1) (本小题5分) 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题,总计80分) (本小题5 分) 求极限 lim x 2 (本小题5 分) (1 (本小题5 分) 3 X 3 12x 16 2x 3 9x 2 12x dx. 求极限 limarctan x x (本小题5分) arcsin 丄 求一^dx. 1 x (本小题5分) 求—x ,1 t 2 dt . dx 0 (本小题5分) 求 cot 6 x csc 4 xd x. (本小题5分) 1 2 x cos dx. 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 求函数 y 4 2x x 2的单调区间 Y
求 cos 空 dx. 1 sin xcosx 二、 解答下列各题 (本大题共2小题,总计14分) 1、 (本小题7分) 某农场需建一个面积为 另三边需砌新石条围沿 2、 (本小题7分) 2 求由曲线y -和y 2 三、 解答下列各题 (本大题6分) 设f (x ) x (x 1)( x 2)( x 3),证明f (x ) 0有且仅有三个实根. 512平方米的矩形的晒谷场, 一边可用原来的石条围 沿, , 问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省. 3 —所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的 体积. 8 一学期期末高数考试( 答案) 一、解答下列各题 (本大题共16小题,总计77分) 1、(本小题3分) 解:原式 lim 23x 12 - x 2 6x 18x 12 6x lim x 2 12x 18 2 2、(本小题3分) x 2 2 d x x ) d(1 x 2) "~L 2\ 2 (1 x ) 1 c. (1 丄 2 2 1 x 3、(本小题3分) 因为 arctanx 故 limarctan x x 4、 (本小题3分) x . dx 1 x 1x1, dx 1 x , dx dx 1 x x In 1 x 5、 (本小题3分) 1 而 limarcsin o 2 x x arcsin - o x C .
总复习(上) 一、求极限的方法: 1、利用运算法则与基本初等函数的极限; ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =g (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论 结论2: ()f x 是基本初等函数,其定义区间为D ,若0x D ∈,则 0lim ()()x x f x f x →= 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质; ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或(lim ()0x f x →∞ =) 则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ:. ②性质1:有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
定理2(等价无穷小替换定理) 设~,~ααββ'', 且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x ()()2 12 1cos ~,1~,11~,ln 1~,x x x e x x x x x μ μ--+-+ 1~ln ,x a x a -()0→x 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则; ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。 0sin lim 1x x x →= 1 0lim(1)x x x e →+= 1lim(1)x x e x →∞+= 5、利用洛必达法则。 未定式为0,,,0,00∞ ∞∞-∞?∞∞ 类型. ①定理(x a →时的0 型): 设 (1)lim ()lim ()0x a x a f x F x →→==; (2) 在某(,)U a δo 内, ()f x 及()F x 都存在且()0F x ≠;
大一下学期高等数学考试 题 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.
一、单项选择题(6×3分) 1、设直线,平面,那么与之间的夹角为() 、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的() A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数,则等于() . C. D. 4、二次积分交换次序后为() . . 5、若幂级数在处收敛,则该级数在处() A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解,若,则在 处() A.某邻域内单调减少 B.取极小值
C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题(7×3分) 1、设=(4,-3,4),=(2,2,1),则向量在上的投影 = 2、设,,那么 3、D为,时, 4、设是球面,则= 5、函数展开为的幂级数为 6、= 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设,其中具有二阶导数,且其一阶导数不为1,求。 2、求过曲线上一点(1,2,0)的切平面方程。 3、计算二重积分,其中 4、求曲线积分,其中是沿曲线由点(0,1)到点(2,1)的弧段。 5、求级数的和。
四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3,求此曲线方程。 五、证明题(6分) 设收敛,证明级数绝对收敛。 一、单项选择题(6×3分) 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题(7×3分) 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、 三、计算题(5×9分) 1、解:令则,故 2、解:令 则 所以切平面的法向量为: 切平面方程为: 3、解:=== 4、解:令,则 当,即在x轴上方时,线积分与路径无关,选择由(0,1)到(2,1)则
大一上学期高数期末考试卷 一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 1 (X)= cos x(x + |sinx|),贝= O处有( ) (A) n°)= 2(B)广(°)= 1 (C)广(°)= °(D) /(X)不可导. 设a(x) = |—0(兀)=3-3坂,则当^ —1时( ) 2. 1 + 兀? 9 9 (A) &⑴与0(力是同阶无穷小,但不是等价无穷小;(B) a(“)与仪兀)是 等价无穷小; (C) °(x)是比0(力高阶的无穷小;(D) 0(")是比°(x)高阶的 无穷小. 3. 若F(x)= Jo(力-兀)")力,其中/(兀)在区间上(71)二阶可导且广(小>0,则(). (A) 函数尸⑴ 必在x = 0处取得极大值; (B) 函数尸⑴必在“ °处取得极小值; (C) 函数F(x)在x = 0处没有极值,但点(0,F(0))为曲线>'=F(x)的拐点; (D) 函数F(x)在* = °处没有极值,点(°,F(0))也不是曲线〉'=F(x)的拐点。 4 设f(x)是连续函数,-W(x) = x + 2j o* f(t)dt,贝!j f(x)=( ) 十竺+ 2 (A) 2 (B) 2 +(C) —I (D) x + 2. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5.腳(f ____________________________________ 己知竿是/(X)的一个原函数贝IJ“(x)?竽dx = (? 7C #2兀 2 2龙2刃—1 \ lim —(cos —+ cos ——H ------ cos -------- 兀)= 7. nfg n n n n i x2arcsinx + l , ------ / ——dx = 8. 飞__________________________ . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数尸曲由方程严+sing)"确定,求0(兀)以及以。).
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. ) 时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是 等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y .
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3 分)定积分22 ππ-?的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. (3分) 201lim sin x x x →= . 4. (3分) 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. (6 分)设2,1 y x =+求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. (6分)求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>?
5. (6分)设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 3 1;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分
大一上学期高数期末考试 、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 1 设 f ( X )cos x (x sin x ),则在 x 0 处有( (A) f (0) 2 (B) f (0)1 (C) f (0)° c 设(x) 1 x , (x) 3 33 x ? 则当 x 1 时( 2. 1 X (A) g 与 M 是同阶无穷小,但不是等价无穷小; 是等价无穷小; (C) (X )是比(x)高阶的无穷小; (D) 无穷小? (A) 函数F (x )必在X 0处取得极大值; (B) 函数F (x)必在x 0处取得极小值; (C) 函数F(x)在xo 处没有极值,但点(o,F (o ))为曲线yF(x)的拐点; (D) 函数F”)在xO 处没有极值,点(:F (o ))也干是曲 线YF(x)的拐点。4设f (x)是连续函数,且 "X ) 22 X X 、僅產题(本夫龊右4小题' 2 8. 斥曰 二 ' 解答题(本大题有 5小题,每小题8分,共40分)exy sin(xy)1 9. 设函数y y (x)由方程确定,求y (x)以及y (0). 求I X 10. x(心 3?若F f(x) (X) 0 (2t x)f(t )dt ,其中f (x)在区间上(")二阶可导且 )? (D) MX)不可导. ) (B) (X)与(X) (X )是比(x)高阶的 2of(t)dt,则 f(x)( (D)? 4分,共16分) 5. lim (1 3x)办 x0\ / 6. 已知沪空是f(X)的一个原函数 X I r COS X 则 7. lim n —(cos 2 — n n cos3 ) n 2 x arcsin x i dx x 2 1 V1 A 2
第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题,总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) . d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) . 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??. d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) . 求? ππ 212 1cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求.x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) . 求dx x x ?+30 1 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间 y x x =+-422Y 11、(本小题5分) .求? π +20 2 sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) .,求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求 .y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分)
高等数学I (大一第一学期期末考试题及答案) 1. 当0x x →时,()(),x x αβ都是无穷小,则当0x x →时( D )不一定是 无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 22βα+ (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2x x βα 2. 极限 a x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是( C ). (A ) 1 (B )e (C )a e cot (D )a e tan 3. ??? ??=≠-+=001 sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续,则a =( D ). (A ) 1 (B ) 0 (C )e (D )1- 4. 设)(x f 在点x a =处可导,那么= --+→h h a f h a f h )2()(lim 0( A ). (A ))(3a f '(B ))(2a f ' (C) )(a f '(D )) (31 a f ' 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. 极限) 0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是a 1. 6. 由x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x ),则导函数='y x xe ye x y x xy xy ln 2sin 2+++- . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行,则直 线l 的方程为13 1211--=--=-z y x . 8. 求函数2 )4ln(2x x y -=的单调递增区间为(-∞,0)和(1,+∞). 三、解答题(本大题有4小题,每小题8分,共32分) 9. 计算极限10(1)lim x x x e x →+-. 解:1 1 ln(1)120 00(1)1 ln(1)lim lim lim 2x x x x x x x e e x x e e e x x x +-→→→+--+-===-
一.填空题(共5小题,每小题4分,共计20分) 1. 2 1 lim() x x x e x →-= .2. ()()1 2005 1 1x x x x e e dx --+-= ? .3.设函数()y y x =由方程 2 1 x y t e dt x +-=? 确定,则 x dy dx == .4. 设()x f 可导,且1 ()()x tf t dt f x =?,1)0(=f , 则()=x f .5.微分方程044=+'+''y y y 的通解 为 . 二.选择题(共4小题,每小题4分,共计16分) 1.设常数0>k ,则函数 k e x x x f +- =ln )(在),0(∞+内零点的个数为( ). (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2. 微分 方程43cos2y y x ''+=的特解形式为( ). (A )cos2y A x *=; (B )cos 2y Ax x * =; (C )cos2sin 2y Ax x Bx x * =+; (D ) x A y 2sin *=.3.下列结论不一定成立的是( ). (A )若[][]b a d c ,,?,则必有()()??≤b a d c dx x f dx x f ;(B )若0)(≥x f 在[]b a ,上可积, 则()0b a f x dx ≥?;(C )若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有 ()()?? +=T T a a dx x f dx x f 0 ;(D )若可积函数()x f 为奇函数,则()0 x t f t dt ?也为奇函数.4. 设 ()x x e e x f 11 321++= , 则0=x 是)(x f 的( ). (A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三.计算题(共5小题,每小题6分,共计30分) 1. 计算定积分 2 30 x e dx - 2.2.计算不定积分dx x x x ? 5cos sin . 求摆线???-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在 2π= t 处的切线的方程.
咼数期末考试 一、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 2 .lim (1 + 3x)sin x = 1. x -0 _______________________________________ . 已知cosx 是f(x)的一个原函数, 则 2. x x 兀 2兀 2 2兀 2 n — 1 lim — (cos 2 — + cos 2 ——+||| + cos 2 兀)= 3. “世 n n n n ______________ . 1 2 2 x arcsin x 1 , dx 二 2 — 1 书1 一 X 4. _ 运 ______________________ . 二、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 设口(x) = —x , P (x)=3-3%'x ,则当 X T 1 时( ) 5. 1 x . (A) 〉(x)与-(x) 是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )〉(x)与](x) 是等价无穷小; (C (X)是比-(x)高阶的无穷小; (D ) -(x) 是比〉(X)高阶的 无穷小. 6 设 f (x) = cos x( x + sin x ),则在 x = 0处有 ( A C ) ■ (D ) f(x) 不可导. x 7.若 F (x ) 二0( 2 —x ) f ( t ) dt ,其中f (x)在区间上(-1,1)二阶可导且 f (x) ,则( ). (A) 函数F(x)必在x=0处取得极大值; (B) 函数F (x)必在x = 0处取得极小值; (C) 函数 F(x)在x=0处没有极值,但点(0, F(0))为曲线y = F(x)的拐点; (D) 函数F (x)在x=0处没有极值,点(0 ,F(0) )也不是曲线y 二F(x)的拐点。 1 设f (x)是连续函数,且 f (x) = x + 2 j° f (t)dt ,贝U f (x)=( (A ) 2 解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 10. 设函数厂y (x) 由方程e x y - sin(x y)二1 确定,求y (x) 以及y (°). 1 - x 7 8. 2 —+2 (B ) 2 (C ) x 1 (D ) x 2. 9. 三
第二章 导数与微分 一、主要内容小结 1. 定义·定理·公式 (1)导数,左导数,右导数,微分以及导数和微分的几何意义 (2) 定理与运算法则 定理1 )(0x f '存在?='- )(0x f )(0x f +' . 定理2 若)(x f y =在点0x 处可导,则)(x f y =在点x 0处连续;反之不真. 定理3 函数)(x f 在0x 处可微?)(x f 在0x 处可导. 导数与微分的运算法则:设)(,)(x v v x u u ==均可导,则 v u v u '±'='±)(, dv du v u d ±=±)( u v v u uv '+'=')(, vdu udv uv d +=)( )0()(2≠'-'='v v v u u v v u , )0()(2≠-=v v udv vdu v u d (3)基本求导公式 2. 各类函数导数的求法 (1)复合函数微分法 (2)反函数的微分法 (3)由参数方程确定函数的微分法 (4)隐函数微分法 (5)幂指函数微分法 (6)函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法. 方法:对数求导法(即先对式子的两边取自然对数,然后在等式的两端再对x 求导). (7)分段函数微分法 3. 高阶导数 (1)定义与基本公式
高阶导数公式:a a a n x n x ln )()(= )0(>a x n x e e =)()( )2sin()(sin )(π?+=n kx k kx n n )2cos()(cos )(π ?+=n kx k kx n n n m n m x n m m m x -+-???-=)1()1()()( !)()(n x n n = n n n x n x )! 1()1()(ln 1)(--=- 莱布尼兹公式: (2)高阶导数的求法 ① 直接法② 间接法 4. 导数的简单应用 (1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率——相关变化率 二、 例题解析 例2.1 设?? ???=≠?=0,00,1sin )(x x x x x f K , (K 为整数).问: (1)当K 为何值时,)(x f 在0=x 处不可导; (2)当K 为何值时,)(x f 在0=x 处可导,但导函数不连续; (3)当K 为何值时,)(x f 在0=x 处导函数连续? 解 函数)(x f 在x=0点的导数: 0lim →x =--0 )0()(x f x f 0lim →x x f x f )0()(-=0lim →x x x x K 1sin )(? = 0lim →x x x K 1sin )(1?-= ? ??>≤101 K K 当,,当发散 即 ? ??>≤='1,01)0(K K f 不存在, 当1>K 时, )(x f 的导函数为: ?????=≠?-?='--0,00,1cos 1sin )(21x x x x x Kx x f K K
大一高等数学期末考试试卷 (一) 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3 分)定积分22 π π -?的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. (3分) 2 1lim sin x x x →= . 4. (3分) 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. (6 分)设1 y x = +求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. (6分)求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. (6分)设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? (二) 一、 填空题(每小题3分,共18分) 1.设函数()2 312 2 +--= x x x x f ,则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2.函数()2 1ln x y +=,则= 'y . 3. =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4.曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .
大一上学期高数期末考试卷 一、单项选择题 本大题有 小题 每小题 分 共 分 )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f ( )(0)2f '= ( )(0)1f '=( )(0)0f '= ( )()f x 不可导 )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα ( )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; ( )()()x x αβ与是等价无穷小; ( )()x α是比()x β高阶的无穷小; ( )()x β是比()x α高阶的无穷小 若 ()()()02x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( ) ( )函数()F x 必在0x =处取得极大值; ( )函数()F x 必在0x =处取得极小值; ( )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; ( )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 ) ()( , )(2)( )(10=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 ( )22x ( )222x +( )1x - ( )2x + 二、填空题(本大题有 小题,每小题 分,共 分) =+→x x x sin 20)31(lim
,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =??x x x x f d cos )(则 lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππππ =-+? 21 21 2211arcsin -dx x x x 三、解答题(本大题有 小题,每小题 分,共 分) 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y .d )1(177x x x x ?+-求 . 求,, 设?--?????≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x 设函数)(x f 连续, =?1 0()()g x f xt dt ,且→=0()lim x f x A x ,A 为常数 求'()g x 并讨论 '()g x 在=0x 处的连续性 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1 (1)9y 的解 四、 解答题(本大题 分) 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点 M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的 倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程 五、解答题(本大题 分) 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及 轴围成 平面图形
大一第一学期期末高等数学上试题及答案 Last revision on 21 December 2020
1、(本小题5分) 2、(本小题5分) 3、(本小题5分) 4、(本小题5分) 5、(本小题5分) 6、(本小题5分) (第七题删掉了) 8、(本小题5分) 9、(本小题5分) 10、(本小题5分) 11、(本小题5分) 12、(本小题5分) 13、(本小题5分) 14、(本小题5分) 15、(本小题5分) 16、(本小题5分) 二、解答下列各题 (本大题共2小题,总计14分) 1、(本小题7分) 2、(本小题7分) 三、解答下列各题 ( 本大题6分 ) (答案) 一、解答下列各题 (本大题共16小题,总计77分) 1、(本小题3分) 2、(本小题3分) 3、(本小题3分) 4、(本小题3分) 5、(本小题3分) 6、(本小题4分) 8、(本小题4分) 9、(本小题4分) 10、(本小题5分) 解: ) , (+∞ -∞ 函数定义域 11、(本小题5分) 12、(本小题6分) 解:dx x t dt ='() 13、(本小题6分)
14、(本小题6分) 解:定义域,且连续(),-∞+∞ 15、(本小题8分) 16、(本小题10分) 二、解答下列各题 (本大题共2小题,总计13分) 1、(本小题5分) 2、(本小题8分) 三、解答下列各题 ( 本 大 题10分 ) 一、填空题(每小题3分,本题共15分) 1、.______)31(lim 2 0=+→x x x 。 2、当 时,?????>+≤=00 e )(2x k x x x f x 在0=x 处连续. 3、设x x y ln +=,则______=dy dx 4、曲线x e y x -=在点(0,1)处的切线方程是 5、若?+=C x dx x f 2sin )(,C 为常数,则=)(x f 。 二、单项选择题(每小题3分,本题共15分) 1、若函数x x x f =)(,则=→)(lim 0x f x ( ) A 、0 B 、1- C 、1 D 、不存在 2、下列变量中,是无穷小量的为( ) A. )0(1 ln +→x x B. )1(ln →x x C. ) 0(cosx →x D. )2(422→--x x x