高等数学上册,必背的知识点,期末考试备考的重点知识

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高等数学上册，必背的知识点，期末考试备考的重点知识 东西不多，但都是经典，多了也记不住，是吧。

(14)C x dx x +-=?csc cot csc (15)C x xdx x +=?sec tan sec (16)C x xdx +-=?|cos |ln tan ,

(17)C x xdx +=?|sin |ln cot , (18)C x x xdx ++=?|tan sec |ln sec , (19)C x x xdx +-=?|cot csc |ln csc , (20)C a x a dx x a +=+?arctan 112

2

,

(21)C a x a x a dx a x ++-=-?||ln 2112

2

,

(22)C a x dx x a +=-?arcsin 12

2,

(23)C a x x a x dx +++=+?

)ln(222

2, (24)C a x x a x dx +-+=-?

||ln 222

2.

用于三角函数有理式积分的变换:

把sin x 、cos x 表成2tan x 的函数, 然后作变换2tan x u =:

2

22122tan 12tan 22sec 2tan 22cos 2sin 2sin u u x x x x x x x +=+==

=, 2

2

2222112

sec 2tan 12sin 2cos cos u u x x x x x +-=-=-=.

变换后原积分变成了有理函数的积分.

二

3.1泰勒多项式

若在点处N 阶可导，称

x

~ 1-)

1(αα

x +)(x f x

)

()()(!

1....)(!

21))(()()(0)

(2

0//

0/

0x x x f

x x x f

x x f

x p

o n o x f x n

n o n

--+

++

-+

=

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的多项式

为函数

在点的（n 次）泰勒多项式。

的麦克劳林公式

3.4几个初等函数的麦克劳林公式

。 （0,1，-1,0的循环）。

（也是类似的循环） 。

。

。

)(x p n

)(x f x 0)

()0(!

1....)0(!

21)0()0()(2

//

/

x x f

x f

f

n

n n

n x f x f ++

++

+

=)(!1....!2112x x

x e

n

n x

n x ++++

+=....!31sin 3

+-

=x x x ....!211cos 2

+-

=x x )(1.....3121)1ln()1(132x x x x n

n n n x x ++-

=+--)

(!

)

1)...(1(...!

2)

1(!

112

)

1(x x

x

x n

n

n n x ++--+

+++

+

=+αααααα

α

高等数学上册知识点

高等数学上册 第一章 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函 数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在。 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定 理、介值定理及其推论。 （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限

εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 δδε-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+ = )()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷 大量。 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无 穷小 Th1 )(~ααββαo +=?;

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））

高等数学知识点总结 (1)

高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程 1、 一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-

大学全册高等数学知识点(全)

大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→

四年级数学期末考试必背知识点

四年级数学期末考试必背知识点 四年级数学期末考试必背知识点 1。整数加法 （1）把两个数合并成一个数的运算叫做加法。 （2）在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。 （3）加数+加数=和，一个加数=和—另一个加数 2。整数减法 （1）已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。 （2）在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。 （3）加法和减法互为逆运算。 3。整数乘法 （1）求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。 （2）在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。 （3）在乘法里，0和任何数相乘都得0。 （4）1和任何数相乘都的任何数。 （5）一个因数×一个因数=积;一个因数=积÷另一个因数 4。整数除法

（1）已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算 叫做除法。 （2）在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。 （3）乘法和除法互为逆运算。 （4）在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商。 （5）被除数÷除数=商，除数=被除数÷商被除数=商×除数。 5。整数加法计算法则： 相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。 6。整数减法计算法则 相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的.数合并在一起，再减。 7。整数乘法计算法则 先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把 各次乘得的数加起来。 8。整数除法计算法则 先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位; 如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位 的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数 要小于除数。 9。运算顺序 （1）小数、分数、整数

高等数学基本知识点大全

高等数学基本知识点

一、函数与极限 1、集合的概念 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 ⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 2、函数 ⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 ⑵、函数相等 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。 ⑶、域函数的表示方法 a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2 b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。 c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为： 3、函数的简单性态 ⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。 注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. ⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则

最新-单片机原理及应用期末考试必考知识点重点总结 精品

单片机概述 单片机是微单片微型计算机的简称，微型计算机的一种。 它把中央处理器（CPU）,随机存储器（RAM），只读存储器（ROM）,定时器\计数器以及I\O 接口，串并通信等接口电路的功能集成与一块电路芯片的微型计算机。 字长：在计算机中有一组二进制编码表示一个信息，这组编码称为计算机的字，组成字的位数称为“字长”，字长标志着精度，MCS-51是8位的微型计算机。 89c51 是8位（字长）单片机（51系列为8位） 单片机硬件系统仍然依照体系结构：包括CPU(进行运算、控制)、RAM(数据存储器)、ROM(程序存储器）、输入设备和输出设备、内部总线等。 由于一块尺寸有限的电路芯片实现多种功能，所以制作上要求单片机的高性能，结构简单，工作可靠稳定。 单片机软件系统包括监控程序，中断、控制、初始化等用户程序。 一般编程语言有汇编语言和C语言，都是通过编译以后得到机器语言（二进制代码）。 1.1单片机的半导体工艺 一种是HMOS工艺，高密度短沟道MOS工艺具有高速度、高密度的特点； 另一种是CHMOS工艺，互补金属氧化物的HMOS工艺，它兼有HMOS工艺的特点还具有CMOS的低功耗的特点。例如：8181的功耗是630mW,80C51的功耗只有110mW左右。1.2开发步5骤： 1.设计单片机系统的电路 2.利用软件开发工具（如：Keil c51）编辑程序，通过编译得到.hex的机器语言。 3.利用单片机仿真系统（例如：Protus）对单片机最小系统以及设计的外围电路，进行模拟的硬软件联合调试。 4.借助单片机开发工具软件（如：STC_ISP下载软件）读写设备将仿真中调试好的.hex程序拷到单片机的程序存储器里面。 5.根据设计实物搭建单片机系统。 2.1MCS-51单片机的组成：(有两个定时器) CPU(进行运算、控制)、RAM(数据存储器)、ROM(程序存储器）、I/O口(串口、并口）、内部总线和中断系统等。 工作过程框图如下：

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、 向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、 两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1)1(+- x x b a y y b a k ) =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、 二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222； （旋转抛物面： z a y x =+2 2 2（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面： 122 222=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转） ）

大一上学期高数知识点电子教案

第二章 导数与微分 一、主要内容小结 1. 定义·定理·公式 （1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义 （2） 定理与运算法则 定理1 )(0x f '存在?='- )(0x f )(0x f +' . 定理2 若)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f y =在点x 0处连续；反之不真. 定理3 函数)(x f 在0x 处可微?)(x f 在0x 处可导. 导数与微分的运算法则：设)(,)(x v v x u u ==均可导，则 v u v u '±'='±)(, dv du v u d ±=±)( u v v u uv '+'=')(, vdu udv uv d +=)( )0()(2≠'-'='v v v u u v v u ， )0()(2≠-=v v udv vdu v u d （3）基本求导公式 2. 各类函数导数的求法 （1）复合函数微分法 （2）反函数的微分法 （3）由参数方程确定函数的微分法 （4）隐函数微分法 （5）幂指函数微分法 （6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法. 方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对x 求导）. （7）分段函数微分法 3. 高阶导数 （1）定义与基本公式

高阶导数公式：a a a n x n x ln )()(= )0(>a x n x e e =)()( )2sin()(sin )(π?+=n kx k kx n n )2cos()(cos )(π ?+=n kx k kx n n n m n m x n m m m x -+-???-=)1()1()()( !)()(n x n n = n n n x n x )! 1()1()(ln 1)(--=- 莱布尼兹公式： （2）高阶导数的求法 ① 直接法② 间接法 4. 导数的简单应用 (1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率——相关变化率 二、 例题解析 例2.1 设?? ???=≠?=0,00,1sin )(x x x x x f K , （K 为整数）.问： （1）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处不可导； （2）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处可导，但导函数不连续； （3）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处导函数连续？ 解 函数)(x f 在x=0点的导数： 0lim →x =--0 )0()(x f x f 0lim →x x f x f )0()(-=0lim →x x x x K 1sin )(? = 0lim →x x x K 1sin )(1?-= ? ??>≤101 K K 当，，当发散 即 ? ??>≤='1,01)0(K K f 不存在， 当1>K 时, )(x f 的导函数为： ?????=≠?-?='--0,00,1cos 1sin )(21x x x x x Kx x f K K

《马原》大学期末考试必背知识点汇总

最新《马原》大学期末考试必背知识点汇总 第一章马克思主义是关于无产阶级和人类解放的科学 1、《共产党宣言》的发表，标志着马克思主义的公开问世 2、马克思主义产生的社会根源（或经济、社会历史条件）是资本主义经济的发展 3、马克思、恩格斯完成了从唯心主义同唯物义、从革命民主主义向共产主义的转变，为创立马克思主义奠定思想前提 4、在马克思主义创立过程中，第一次比较系统地阐述了历史唯物主义基本原理的着作是《德意志意识形态》 5、在马克思主义的经典着作中，被誉为“工人阶级的圣经”的着作是《资本论》 6、马克思主义经济理论的基石是剩余价值理论 7、世界上第一个无产阶级政党是共产主义者同盟 8、马克思主义理论区别于其他理论的显着特征是实践性 第二章世界的物质性及发展规律 9、唯物主义与唯心主义的对立和斗争中交织着辩证法与形而上学的对立和斗争 10、全部哲学，特别是近代哲学的重大的基本问题，是思维和存在的关系问题；唯物主义和唯心主义这两个专门的哲学术语有着特定的含义和确定的标准，不能随意乱用，也不能另立标准，否则会造成混乱。这里所说的特定含义和确定标准是指对世界本原究竟是物质还是精神的回答；存在和思维是否具有同一性，是哲学基本问题的第二方面的内容，对这个问题的不同回答，是划分可知论和不可知论的标准， 11、唯物主义一元论同唯心主义一元论对立的根本点在于世界本原问题 12、物质的唯一特性是客观实在性，“客观实在”是指存在于人的意识之外，不以人的意志为转移 13、相信“意念移物”，甚至相信可以用意念来直接改变物质结构，就是信奉主张精神主宰客观物质世界的主观唯心论 14、“心诚则灵，心不诚则不灵”的说法是夸大了意识能动作用的唯心主义观点 15、哲学物质概念与自然科学关于具体的物质形态和物质结构的概念之间共性与个性的关系（不是整体和部分的关系、系统与要素的关系） 16、列宁对辩证唯物主义物质范畴的定义是通过物质与意识的关系界定的 17、物质和意识的对立只有在非常有限的范围内才有绝对的意义，超过这个范围便是相对的了，这个范围是指物质和意识何者为第一性 18、对同一张事物的不同看法都是客观事物的主观映象 19、意识是客观世界的主观映象，这说明意识是客观精神的主观映象 20、“思想实验”体现了意识活动的创造性 21、运动是物质的存在方式和根本属性 22、“寒路神麦正当时”说明一切事物都处在永恒的运动、变化和发展之中 23、物质决定意识，意识对物质具有反作用。这种反作用也就是意识的能动作用，即人特有的积极认识世界和改造世界的能力和活动。 24、运动是物质的根本属性，是物质的存在方式 25、运动是物质的存在方式和根本属性，物质是运动着的物质，脱离运动的物质是不存在的 26、柏格森所说的运动变化不是指任何具体的事物的运动变化，而只是纯粹的“动作”，是没有物质承担者的运动

高数知识点总结

高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -? ? ? ? ?-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+- =?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin

(完整版)同济大学___高数上册知识点

高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+=

)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -

高等数学(下)知识点总结

主要公式总结 第八章空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程

高等数学上册知识点

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高等数学上册 第一章 函数与极限 （一）函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函 数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续)()00 x f x = 第一类：左右极限均存在。 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定 理、介值定理及其推论。 （二）极限 1、 定义 1） 数列极限 2） 函数极限 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+ = 2、 极限存在准则

1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ → 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α 则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大 量。 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b)e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x e x ~1- （a x a x ln ~1-） b) x x ~)1ln(+ （a x x a ln ~ )1(log +） 第二章 导数与微分

高等数学上册必背的知识点期末考试备考的重点知识

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高等数学上册，必背的知识点，期末考试备考的重点知识 东西不多，但都是经典，多了也记不住，是吧。 (14)C x dx x +-=?csc cot csc (15)C x xdx x +=?sec tan sec (16)C x xdx +-=?|cos |ln tan (17)C x xdx +=?|sin |ln cot (18)C x x xdx ++=?|tan sec |ln sec (19)C x x xdx +-=?|cot csc |ln csc (20)C a x a dx x a +=+?arctan 1122 (21)C a x a x a dx a x ++-=-?||ln 21122 (22)C a x dx x a +=-?arcsin 12 2 (23)C a x x a x dx +++=+? )ln(222 2 (24)C a x x a x dx +-+=-? ||ln 222 2 用于三角函数有理式积分的变换: 把sin x 、cos x 表成2 tan x 的函数 然后作变换2 tan x u = 2 22122tan 12tan 22sec 2tan 22cos 2sin 2sin u u x x x x x x x +=+== = 2 22222112 sec 2tan 12sin 2cos cos u u x x x x x +-=-= -= 变换后原积分变成了有理函数的积分 二 泰勒多项式 若)(x f 在点x 0处N 阶可导，称 ) ()()(! 1....)(! 21))(()()(0) (2 0// 0/ 0x x x f x x x f x x f x p o n o x f x n n o n --+ ++ -+=的 多项式 ) (x p n 为函数)(x f 在点x 0的（n 次）泰勒多项式。 的麦克劳林公式

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高等数学上册，必背的知识点，期末考试备考的重点知识 东西不多，但都是经典，多了也记不住，是吧。 (14)C x dx x +-=?csc cot csc (15)C x xdx x +=?sec tan sec (16)C x xdx +-=?|cos |ln tan (17)C x xdx +=?|sin |ln cot (18)C x x xdx ++=?|tan sec |ln sec (19)C x x xdx +-=?|cot csc |ln csc (20)C a x a dx x a +=+?arctan 112 2 (21)C a x a x a dx a x ++-=-?||ln 2112 2 (22)C a x dx x a +=-?arcsin 12 2 (23)C a x x a x dx +++=+? )ln(222 2 (24)C a x x a x dx +-+=-?||ln 222 2 用于三角函数有理式积分的变换: 把sin x 、cos x 表成2 tan x 的函数然后作变换2 tan x u = 2 22122tan 12tan 22sec 2tan 22cos 2sin 2sin u u x x x x x x x +=+== =? 2 2 2222112 sec 2tan 12sin 2cos cos u u x x x x x +-=-=-=? 变换后原积分变成了有理函数的积分 二 泰勒多项式 若)(x f 在点x 0处N 阶可导，称

人教版六年级上学期语文期末复习知识点：必背内容

人教版六年级上学期语文期末复习知识点：必背内容本文是关于人教版六年级上学期语文期末复习知识点：必背内容，感谢您的阅读！ 好好学习，天天向上。我们从小就把这就挂在嘴边，不知道有多少同学做到了呢?不管以前是否做到了，从现在开始也不迟。六年级上学期语文期末复习知识点向大家推荐，希望对大家有所帮助。 1.日积月累 轻诺必寡信《老子》民无信不立。《论语》 不精不诚，不能动人。《庄子》诚者，天之道也;诚之者，人之道也。《礼记》 有所期诺，纤毫必偿;有所期约，时刻不易。《袁氏世范》 2.加拿大作家蒙格玛丽的《绿山墙的安妮》读来引人入胜，这是一个孤儿长大成人的故事。许多文学作品都动情地歌颂了人的美好心灵。例如，中国作家曹文轩的《根鸟》、日本作家黑柳彻子的《窗边的小豆豆》、瑞士作家斯比丽的《小海蒂》。 《只有一个地球》 采用科学小品文(文艺性说明文)的形式，从人类生存的角度介绍了地球的有关知识，阐明了人类的生存“只有一个地球”的事实，呼吁人类应该珍惜资源，保护地球。 《这片土地是神圣的》 这篇文章被誉为是有史以来在环境保护方面最动人心弦的演说，文章生动形象地描述了人类与大地上河水、空气、动植物等的血肉关

系，强烈地表达了印第安人对土地无比眷恋的真挚情感，表达了人们对土地的爱。 “如果我们放弃这片土地，转让给你们，你们一定要记住：这片土地是神圣的”反复出现，产生一咏三叹的表达效果，不仅使主题深化，而且强化了作者想要表达的情感。 《少年闰土》作者鲁迅 本文节选自鲁迅的短篇小说《故乡》。课文通过“我”的回忆，刻画了一个见识丰富而又活泼可爱、聪明能干的农村少年──闰土的形象，反映了“我”与他儿时短暂而又真挚的友谊以及对他的怀念之情。 重点写了闰土给“我”讲雪地捕鸟、海边拾贝、看瓜刺猹、看跳鱼儿四件事。 1、我那时并不知道这所谓猹的是怎么一件东西──便是现在也没有知道──只是无端地觉得状如小狗而很凶猛。 这句话中的两个破折号是起补充说明的作用。整句的意思是说“我”不仅那时，就是现在也都不知道猹是一种什么动物，只是主观上认为它的样子像狗而且很凶猛。 2、我素不知道天下有这许多新鲜事：海边有如许五色的贝壳;西瓜有这样危险的经历，我先前单知道它在水果店里出卖罢了。 句子从两个方面述说这些新鲜事：一是海边有如此多的五色的贝壳，二是讲关于西瓜被猹等动物咬食破坏的危险。“我”向来不知道这许多新鲜事，因为“我”过着衣来伸手、饭来张口的生活，从未接

《高等数学》-各章知识点总结——第1章

第1章 函数与极限总结 1、极限的概念 (１）数列极限的定义 给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε (不论它多么小)， 总存在正整数N ， 使得对于n >N 时的一切n , 恒有 |x ｎ-ａ ｜<ε 则称a 是数列｛x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为 a x n n =∞ →lim 或xn →ａ (ｎ→∞)． (2)函数极限的定义 设函数f （ｘ)在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>)有定义,如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小)， 总存在正数δ,（或存在X ） 使得当ｘ满足不等式0<|x －ｘ0|<δ 时，(或当x X >时） 恒有 |f (ｘ)－A ｜<ε , 那么常数Ａ就叫做函数f (ｘ)当0x x →（或x →∞)时的极限， 记为 A x f x x =→)(lim 0 或f (x ）→A (当x →ｘ０).（ 或lim ()x f x A →∞ =) 类似的有：如果存在常数A ,对0,0,εδ?>?>当00:x x x x δ-<<(00x x x δ<<-）时,恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当0x x →时的左极限(或右极限）记作 00 lim ()(lim ())x x x x f x A f x A - +→→==或 显然有0 lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?== 如果存在常数A ,对0,0,X ε?>?>当()x X x X <->或时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当x →-∞（或当x →+∞)时的极限 记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞ →+∞ ==或 显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞ →-∞ →+∞ =?== ２、极限的性质 (１）唯一性 若a x n n =∞ →lim ,lim n n x b →∞ =，则a b = 若0() lim ()x x x f x A →∞→=0() lim ()x x x f x B →∞→=，则A B = (２)有界性 (i)若a x n n =∞ →lim ，则0M ?>使得对,n N + ?∈恒有n x M ≤

考研高等数学知识点总结

高等数学知识点总结 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π