2019年江苏省高考数学一模试卷(解析版)

2019年江苏省淮安市高考数学一模试卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．把每小题的答案填在答题纸相应的位置上）

1．若集合A={0，1}，集合B={0，﹣1}，则A∪B=．

2．命题：“?x∈R，x2+2x+m≤0”的否定是．

3．复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，是Z的虚部为．

4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽出人．

5．如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是．

6．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则摸到同色球的概率为．

7．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点，则双曲线的右准线方程．

8．已知函数的定义域是，则实数a的值为．

9．若函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数的单调增区间为．

10．已知等差数列{a n}的首项为1，公差为2，若a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…对n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是．11．在等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，点M满足=2，则?等于．

12．若对满足条件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x，y，（x+y）2﹣a

（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是．

13．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是．

14．已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）是函数f（x）=x3﹣|x|图象上的两个不同点，且在A，B两点处的切线互相平行，则的取值范围为．

二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B=

（1）若a=2，b=2，求c的值；

（2）若tanA=2，求tanC的值．

16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ACB=90°，BC=CC1，E、F分别为AB、AA1的中点．

（1）求证：直线EF∥平面BC1A1；

（2）求证：EF⊥B1C．

17．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN

（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？

18．已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求线段MN的长度的最小值；

（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．

19．已知数列{a n}的首项为a（a≠0），前n项和为S n，且有S n+1=tS n+a （t≠0），b n=S n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）当t=1，a=2

时，若对任意n∈N*，都有k（++…+）≤b n，求k的取值范围；（Ⅲ）当t≠1时，若c n=2+b1+b2+…+b n，求能够使数列{c n}为等比数列的所有数对（a，t）．

20．已知函数f（x）=e x﹣a（x﹣1），其中，a∈R，e是自然对数的底数．

（1）当a=﹣1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性，并写出相应的单调区间；

（3）已知b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．

数学Ⅱ（附加题）A．（几何证明选讲）

21．如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．

B．（矩阵与变换）

22．已知矩阵的属于特征值b的一个特征向量为，求实数a、b的值．

C．（极坐标与参数方程）

23．将参数方程（θ为参数，t为常数）化为普通方程（结果可保留e）．

D．（不等式选讲）

24．设a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1，求证： ++≥9．

三.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．已知一口袋中共有4只白球和2只红球

（1）从口袋中一次任取4只球，取到一只白球得1分，取到一只红球得2分，设得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；

（2）从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求6次取球后恰好被停止的概率．

26．在平面直角坐标系xoy中，已知焦点为F的抛物线x2=4y上有两个动点A、B，且满足，过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M．

（1）求：?的值；

（2）证明：为定值．

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．把每小题的答案填在答题纸相应的位置上）

1．若集合A={0，1}，集合B={0，﹣1}，则A∪B={﹣1，0，1} ．【考点】并集及其运算．

【分析】A∪B={x|x∈A或x∈B}．

【解答】解：A∪B={﹣1，0，1}．

故答案为：{﹣1，0，1}．

2．命题：“?x∈R，x2+2x+m≤0”的否定是?x∈R，x2+2x+m＞0．【考点】命题的否定．

【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．

【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是“?x∈R，x2+2x+m＞0”，

故答案为“?x∈R，x2+2x+m＞0”

3．复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，是Z的虚部为．

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式、虚部的定义即可得出．【解答】解：∵复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，

∴Z===i，

∴Z的虚部为﹣．

故答案为：﹣．

4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽出25人．

【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．

【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．

【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人

按分层抽样应抽出2500×=25人．

故答案为：25．

5．如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是54．

【考点】程序框图．

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S=10+9+8+ (2)

值．

【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，

再根据流程图所示的顺序，

可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S=10+9+8+…+2的值．∵S=10+9+8+…+2=54的值，

故输出54．

故答案为：54．

6．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则摸到同色球的概率为．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

【分析】先求出基本事件总数n==10，再求出摸到同色球包含的基本事件个数m=，由此能求出摸到同色球的概率．

【解答】解：一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2

只黑球，

从中一次性随机摸出2只球，

基本事件总数n==10，

摸到同色球包含的基本事件个数m=，

∴摸到同色球的概率p==．

故答案为：．

7．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点，则双曲线的右准线方程x=．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】根据抛物线的方程，算出它的焦点为F（2，0），即为双曲线的右焦点，由此建立关于a的等式并解出a值，进而可得此双曲线的右准线方程．

【解答】解：∵抛物线方程为y2=8x，

∴2p=8，可得抛物线的焦点为F（2，0）．

∵抛物线y2=8x的焦点是双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点，

∴双曲线的右焦点为（2，0），可得c==2，解得a2=1，

因此双曲线的右准线方程为x=．

故答案为：x=．

8．已知函数的定义域是，则实数a的值为

．

【考点】对数函数的定义域．

【分析】根据函数的定义域，得出x＞时，1﹣＞0；由此求出函数的自变量x＞log2a；令log2a=，即可求出a的值．

【解答】解：∵函数的定义域是，

∴当x＞时，1﹣＞0；

即＜1，

∴a＜2x，

∴x＞log2a；

令log2a=，

得a==；

∴实数a的值为．

故答案为：．

9．若函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数的单调增区间为[16k﹣6，16k+2]，k∈Z．

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求

得函数的单调增区间．

【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得A=，

==2+2，求得ω=，再根据五点法作图可得?2+φ=，∴φ=，

∴f（x）=sin（x+）．

令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，求得16k﹣6≤x≤16k+2，

可得函数的增区间为[16k﹣6，16k+2]，k∈Z，

故答案为：[16k﹣6，16k+2]，k∈Z．

10．已知等差数列{a n}的首项为1，公差为2，若a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…对n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣12] ．

【考点】数列的求和．

【分析】由a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）=4（a2+a4+…+a2n），结合等差数列的性质及求和公式可得关于n的不等式，解不等式可求对n∈N*恒成立，转化为求解函数的最值即可

【解答】解：a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1

=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）

=﹣4（a2+a4+…+a2n）

=，

所以﹣8n2﹣4n≥tn2，

所以t≤﹣8﹣对n∈N*恒成立，

t≤﹣12，

故答案为（﹣∞，﹣12]

11．在等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，点M满足=2，则?等于0．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】由向量加法的三角形法则得出=+，再利用向量数量积的运算性质求出结果．

【解答】解：等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，且=2，

∴=+

=+（﹣）

=+，

∴?=（+）?

=?+

=×6×6×cos120°+×62

=0．

故答案为：0．

12．若对满足条件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x，y，（x+y）2﹣a （x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是a．

【考点】函数恒成立问题；基本不等式．

【分析】由基本不等式可得，x+y+3=xy≤，从而可求x+y的范围，然后由（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0得a恒成立，则只要a ≤即可

【解答】解：∵x＞0，y＞0

∴x+y+3=xy≤

∴x+y≥6

由（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0可得a恒成立

令x+y=t，f（t）=t+在[6，+∞）上单调递增，则当t=6时f（t）min=f （6）=

∴a≤

故答案为：a≤

13．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是[4，6] ．

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，从而得到答案．

【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，

∵圆心C到O（0，0）的距离为5，

∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，

再由∠APB=90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有4≤m≤6，

故答案为：[4，6]．

14．已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）是函数f（x）=x3﹣|x|图象上的两个不同点，且在A，B两点处的切线互相平行，则的取值范围为（﹣1，0）．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】首先把含有绝对值的函数写成分段函数的形式，然后求导，通过在A，B两点处的切线互相平行，即在A，B两点处的导数值相等，分析出A点在y轴的右侧，B点在y轴的左侧．根据A，B两点处的导数相等，得到x1与x2的关系式，根据关系式得出它表示的曲线，然后利用式子的几何意义求解．

【解答】解：由题意，f（x）=x3﹣|x|=，

当x≥0时，f′（x）=3x2﹣1，

当x＜0时，f′（x）=3x2+1，

因为在A，B两点处的切线互相平行，且x1＞x2，

所以x1＞0，x2＜0 （否则根据导数相等得出A、B两点重合），

所以在点A（x1，y1）处切线的斜率为f′（x1）=3﹣1，