2.4.2 圆的一般方程
2.4.2 圆的一般方程
基础过关练
题组一 圆的一般方程
1.圆x 2+y 2-2x+6y+8=0的面积为( ) A.8π B.4π C.2π D.π
2.若方程x 2+y 2-x+y+m=0表示圆,则实数m 的取值范围是( ) A.m<12
B.m>12
C.m<1
D.m>1
3.若圆x 2+y 2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为√2
2
,则a 的值为( )
A.-2或2
B.12或23
C.2或0
D.-2或0
4.方程x 2+y 2+2ax-b 2=0表示的图形是( ) A.一个圆 B.只有当a=0时,才能表示一个圆 C.一个点 D.a,b 不全为0时,才能表示一个圆
5.下列方程分别表示什么图形?若表示圆,则写出圆心和半径. (1)x 2+y 2+5x-3y+1=0;(2)x 2+y 2+4x+4=0; (3)x 2+y 2+x+2=0;(4)x 2+y 2+2by=0(b ≠0).
6.圆x 2+y 2-2x-1=0关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是( ) A.(x+3)2+(y-2)2=12
B.(x-3)2+(y+2)2=12
C.(x+3)2+(y-2)2=2
D.(x-3)2+(y+2)2=2
7.与圆C:x 2+y 2-2x+4y-1=0有相同的圆心,且半径是圆C 的半径的一半的圆的方程为( )
A.x 2+y 2-2x+4y+2=0
B.x 2+y 2-2x+4y+1=0
C.x 2+y 2-2x+4y-12=0
D.x 2+y 2-2x+4y+72
=0
8.已知两定点A(-2,0),B(1,0),若动点P 满足|PA|=2|PB|,则P 的轨迹为( ) A.直线
B.线段
C.圆
D.半圆
9.设A 为圆(x-1)2+y 2=1上的动点,PA 是圆的切线且|PA|=1,则点P 的轨迹方程是 .
10.(2020四川绵阳中学高二上期末)已知△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点分别是D(5,3),E(4,2),F(1,1).
(1)求△ABC 的边AB 所在直线的方程及点A 的坐标; (2)求△ABC 的外接圆的方程.
11.若点M(3,0)是圆x2+y2-8x-4y+10=0内一点,则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是()
A.x+y-3=0
B.x-y-3=0
C.2x-y-6=0
D.2x+y-6=0
12.若直线2x-5y+a=0平分圆x2+y2-4x+2y-5=0,则a=()
A.9
B.-9
C.1
D.-1
13.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC的面积的最小值是()
A.3-√2
B.3+√2
C.3-√2
2D.3-√2
2
14.已知圆x2+y2+2x-4y+1=0上任一点A关于直线x-ay+2=0对称的点A'仍在该圆上,则a=.
15.已知定点A(a,2)在圆x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,则a的取值范围为.易错
能力提升练
题组一圆的一般方程
1.()当方程x2+y2+ax+2y+a2=0所表示的圆的面积最大时,直线y=(a-1)x+2的倾斜角为()
A.π
4B.3π
4
C.3π
2
D.5π
4
2.(2020河南郑州高一上期末,)已知圆x2+y2-2mx-(4m+2)y+4m2+4m+1=0(m≠0)的圆心在直线x+y-7=0上,则该圆的面积为()
A.4π
B.2π
C.π
D.π
2
3.(多选)()已知方程x2+y2+3ax+ay+5
a2+a-1=0,若方程表示圆,则a的值可能为
2
()
A.-2
B.0
C.1
D.3
题组二圆的方程的求法
4.()点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任意一点连线的中点的轨迹方程是()
A.(x+2)2+(y-1)2=1
B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4
D.(x-2)2+(y+1)2=1
5.(2019北京丰台高一期末,)过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程为()
A.x2+y2-7x-3y+2=0
B.x2+y2+7x-3y+2=0
C.x2+y2+7x+3y+2=0
D.x2+y2-7x+3y+2=0
6.(2020浙江温州中学高二上期中,)如图,已知正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(0,-2),C(4,2),B(4,-2),D(0,2).
(1)求对角线AC所在直线的方程;
(2)求正方形ABCD外接圆的方程;
(3)若动点P为外接圆上一点,点N(-2,0)为定点,问线段PN中点的轨迹是什么?并求出该轨迹方程.
题组三 圆的方程的应用 7.(2019福建福田高三月考,
)已知B(0,0),A(√3,3),C(2√3,0),平面ABC 内的动点
P,M 满足|AP ????? |=1,PM ?????? =MC ?????? ,则|BM ?????? |2的最大值是( )
A.37+2√334
B.
37+6√33
4
C.434
D.494
8.()已知圆的方程为x 2+y 2-6x-8y=0.设该圆过点(2,6)的最长弦和最短弦分别为
AC 和BD,则四边形ABCD 的面积为 . 9.(2020湖南长沙明德中学高一期中,
)如图,O 是坐标原点,圆O 的半径为1,点A(-
1,0),B(1,0),点P,Q 分别从点A,B 同时出发,在圆O 上按逆时针方向运动,若点P 的速度大小是点Q 的两倍,则在点P 运动一周的过程中,AP ????? ·AQ ????? 的最大值为 .
10.(
)已知以点C 为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),且圆心在直线x+3y-15=0上.
设点P 在圆C 上,求△PAB 面积的最大值.
答案全解全析 基础过关练
1.C 原方程可化为(x-1)2+(y+3)2=2, ∴半径r=√2,∴圆的面积S=πr 2=2π.
2.A 由二元二次方程表示圆的充要条件可知,(-1)2+12-4m>0,解得m<1
2,故选A.
3.C 由题意得圆心为(1,2).则圆心(1,2)到直线的距离为
2
=√2
2
,解得a=0或a=2. 4.D (2a)2+4b 2=4(a 2+b 2),所以当a=b=0时,方程表示一个点;当a ≠0或b ≠0时,方程表
示一个圆.
5.解析 (1)原方程配方得(x +5
2)2
+(y -3
2)2=15
2,故该方程表示以(-52,3
2)为圆心,
√30
2
为半
径的圆.
(2)原方程配方得(x+2)2+y 2=0,表示一个点(-2,0).
(3)∵原方程配方得(x +1
2)2
+y 2
=-7
4
,无实数解,∴该方程不表示任何图形. (4)原方程配方得x 2+(y+b)2=b 2(b ≠0),故该方程表示圆心为(0,-b),半径为|b|的圆. 6.C 由x 2+y 2-2x-1=0得(x-1)2+y 2=2,所以(x-1)2+y 2=2的圆心O 1的坐标为(1,0),半径为√2,故排除A,B.又易求C 中圆(x+3)2+(y-2)2=2的圆心O 2的坐标为(-3,2),O 1O 2的中点(-1,1)在直线2x-y+3=0上,而D 中圆(x-3)2+(y+2)2=2的圆心O 3的坐标为(3,-2),O 1O 3的中点(2,-1)不在直线2x-y+3=0上,故选C.
7.D 易知圆C 的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=6,所以圆C 的圆心坐标为(1,-2),半径为√6,故所求圆的圆心坐标为(1,-2),半径为√6
2,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=(√6
2)2
=3
2,即x 2+y 2-2x+4y+7
2=0.
8.C 设点P 的坐标为(x,y),
∵A(-2,0),B(1,0),动点P 满足|PA|=2|PB|,
∴√(x +2)2+y 2=2√(x -1)2+y 2,两边平方得(x+2)2+y 2=4[(x-1)2+y 2], 即(x-2)2+y 2=4.
∴P 的轨迹为圆.故选C. 9.答案 (x-1)2+y 2=2
解析 设P(x,y),易知圆(x-1)2+y 2=1的圆心B(1,0),半径r=1,
则|PA|2+r 2=|PB|2,∴|PB|2=2.
∴点P 的轨迹是以(1,0)为圆心,√2为半径的圆. ∴点P 的轨迹方程是(x-1)2+y 2=2.
10.解析 (1)由题意可知k ED =k AB =3-2
5-4=1,又F(1,1)为AB 的中点,
∴AB 所在直线的方程为y-1=1·(x-1),即x-y=0.① 同理CA 所在直线的方程为x-2y=0,② 联立①②,得A(0,0). 同理可得B(2,2),C(8,4). (2)由(1)可得B(2,2),C(8,4),
设△ABC 的外接圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,将A,B,C 的坐标代入圆的方程可得{F =0,
4+4+2D +2E +F =0,64+16+8D +4E +F =0,
解方程组可得{D =-16,
E =12,
F =0,
∴圆的方程为x 2+y 2-16x+12y=0.
11.C 圆x 2+y 2-8x-4y+10=0的圆心坐标为(4,2),则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.则最长弦所在直线的斜率k=2-0
4-3=2,结合选项知C 正确.
12.B 因为直线2x-5y+a=0平分圆x 2+y 2-4x+2y-5=0,所以直线2x-5y+a=0经过该圆的圆心(2,-1),则2×2-5×(-1)+a=0,解得a=-9.故选B. 13.A 易得直线AB 的方程为x-y+2=0,圆心坐标为(1,0),半径为1,则圆心到直线AB 的距离d=
=3√22
,所以点C 到直线AB 的最小距离为
3√22
-1,所以△ABC 面积
的最小值为12
×|AB|×(3√22
-1)=1
2
×2√2×(3√22
-1)=3-√2.
14.答案 1
2
解析 根据题意得,圆心在直线x-ay+2=0上.由x 2+y 2+2x-4y+1=0,得(x+1)2+(y-2)2=4,所以该圆的圆心是(-1,2),将(-1,2)代入x-ay+2=0中,得-1-2a+2=0,解得a=1
2.
15.答案 (2,9
4
)
解析 因为点A(a,2)在圆的外部,
所以{a 2+22-2a 2-3×2+a 2+a >0,(-2a)2+(-3)2-4(a 2
+a)>0. 所以2 4.所以a 的取值范围为(2,9 4 ). 易错警示 在运用圆的一般方程时,要注意隐含条件:D 2+E 2-4F>0,防止忽略此条件 导致解题错误. 能力提升练 1.B 方程x 2+y 2+ax+2y+a 2=0可化为 (x +a 2)2 +(y+1)2 =-34a 2 +1, 设圆的半径为r(r>0),则r 2=1-3 4 a 2, ∴当a=0时,r 2取得最大值,从而圆的面积最大. 此时,直线方程为y=-x+2,斜率k=-1,倾斜角为3π 4,故选B. 2.A 圆的方程可化为(x-m)2+(y-2m-1)2=m 2(m ≠0),其圆心为(m,2m+1). 依题意得,m+2m+1-7=0,解得m=2, ∴圆的半径为2,面积为4π,故选A. 3.AB 由(3a)2+a 2-4(5 2a 2+a -1)>0,得a<1,所以满足条件的只有-2与0.故选AB. 4.D 设圆上任意一点为Q(x 1,y 1),PQ 的中点为M(x,y),则{ x =x 1+42 , y = y 1-22 , 即{x 1=2x -4,y 1=2y +2, 因为x 12+y 12 =4,所以(2x-4)2+(2y+2)2=4. 化简得(x-2)2+(y+1)2=1.故选D. 5.A 设所求的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0. 依题意得{D -E +F +2=0,D +4E +F +17=0,4D -2E +F +20=0,解得{D =-7, E =-3, F =2. 因此,所求圆的方程为x 2+y 2-7x-3y+2=0,故选A. 6.解析 (1)由两点式可知,对角线AC 所在直线的方程为y -2-2-2=x -4 0-4 ,整理得x-y-2=0. (2)设G 为外接圆的圆心,则G 为AC 的中点,∴G (0+42 , -2+22 ),即(2,0), 设r 为外接圆的半径,则r=1 2|AC|, 而|AC|=√(4-0)2+(2+2)2=4√2, ∴r=2√2. ∴外接圆方程为(x-2)2+y 2=8. (3)设点P 坐标为(x 0,y 0),线段PN 的中点M 坐标为(x,y),则x=x 0-22 ,y=y 02 , ∴x 0=2x+2,y 0=2y,① ∵点P 为外接圆上一点,∴(x 0-2)2+y 02 =8,将①代入并整理,得x 2+y 2=2, ∴该轨迹是以原点为圆心,√2为半径的圆,轨迹方程为x 2+y 2=2. 7.D 由题易得,点P 的轨迹为以A 为圆心,1为半径的圆.如图所示,建立平面直角坐标系,取AC 的中点N, ∵PM ?????? =MC ?????? ,∴M 为PC 的中点, ∵|AP ????? |=1,∴|MN ??????? |=12 ,从而M 的轨迹为以N 为圆心,1 2 为半径的圆, ∴B,N,M 三点共线时,BM 最大. 又∵A(√3,3),C(2√3,0),∴N (3√32 ,32 ),则BN=√( 3√32 )2 +(3 2)2 =3, ∴|BM ?????? |的最大值为3+12=72 , ∴|BM ?????? |2的最大值是494 ,故选D. 8.答案 20√ 解析 设圆心为P,圆的方程x 2+y 2-6x-8y=0可化为(x-3)2+(y-4)2=25.圆心坐标为P(3,4),半径为5.由于点(2,6)到圆心的距离为√5,小于半径,故点(2,6)在圆内,则最长弦AC 是直径,最短弦BD 的中点是E(2,6),且AC ⊥BD. |PE|=√5,|BD|=2×√52-(√5)2=4√5,|AC|=2×5=10,所以S 四边形 ABCD =12 |AC|·|BD|=1 2 ×10×4√5=20√5. 9.答案 2 解析 设∠BOQ=α,根据题意得,点P 逆时针旋转2α,且α∈[0,π], 依题意得Q(cos α,sin α),P(-cos 2α,-sin 2α), ∴AP ????? ·AQ ????? =(-cos 2α+1,-sin 2α)·(cos α+1,sin α) =(-cos 2α+1)(cos α+1)-sin 2αsin α =1-cos 2α=2sin 2α≤2, 当且仅当α=π 2时,等号成立.故答案为2. 10.解析 易求线段AB 的中点为(1,2),直线AB 的斜率为1,所以线段AB 的垂直平分线的方程为y-2=-(x-1),即y=-x+3. 由{y =-x +3,x +3y -15=0解得{x =-3,y =6,即圆心C 为(-3,6),则半径r=√(-3+1)2+62=2√10. 又|AB|=√(3+1)2+42=4√2, 所以圆心C 到AB 的距离d=√(2√10)2-(2√2)2=4√2. 所以点P 到AB 的距离的最大值为4√2+2√10. 所以△PAB 的面积的最大值为1 2×4√2×(4√2+2√10)=16+8√5. （数学2必修）第四章 圆与方程 [基础训练A 组] 一、选择题 １．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( ) A ．22(2)5x y -+= B ．22(2)5x y +-= C ．22(2)(2)5x y +++= D ．22(2)5x y ++= 2．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x 3．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ．2 B ．21+ C ．2 21+ D ．221+ 4．将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与 圆22 240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为（ ） A ．37-或 B ．2-或8 C ．0或10 D ．1或11 5．在坐标平面，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ） A ．023=-+y x B ．043=-+y x C ．043=+-y x D ．023=+-y x 二、填空题 1．若经过点(1,0)P -的直线与圆03242 2=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 __________________. 2．由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0 ,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为 。 3．圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 . ４．已知圆()4322 =+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ?的值为________________。 《圆的标准方程》教学设计 一、教材分析 1、教学内容 人教B版教科书《数学》必修2第二章平面解析几何初步中2﹒3节圆的方程。本节主要研究圆的标准方程、一般方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，以及他们在生活中的简单运用。 2、教材的地位与作用 圆是最简单的曲线之一，这节教材安排在学习了直线之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论为后继学习作好准备。同时有关圆的问题，特别是直线与圆的位置问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法。应此教学中应加强练习，使学生确实掌握这单元的知识和方法。 本课是单元的第一课，和直线方程一样，教学中先设计一个问题情景，让学生讨论，并引导学生观察圆上点在运动时，不变的是什么，抓住圆的本质，突破难点。 3、三维目标 （1）知识与技能：掌握圆的标准方程的形式；能够根据题目给定条件求圆的标准方程；能够根据圆的标准方程找到圆心和半径。 （2）过程与方法：加深对数形结合思想和待定系数法的理解；增强应用数学的意识。 （3）情感、态度、价值观：培养主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学习兴趣，从而培养勤于思考、勤于动手的良好品质。 4．教学重点 圆的标准方程的推导以及根据条件求圆的标准方程 5. 教学难点 根据条件求圆的标准方程。 二．教法分析 高一学生，在老师的引导下，已经具备一定探究与研究问题的能力。所以在设计问题时应考虑周全和灵活性，采用启发式探索式教学，师生共同探讨，共同研究，让学生积极思考，主动学习。 在教学过程中采用讨论法，向学生提供具备启发式和思考性的问题。因此，要求学生在课上讨论，提高学生的探索，推理，想象，分析和总结归纳等方面的能力。 4.1.2 圆的一般方程 1.方程064222=--++y x y x 表示的图形是【 】 A.以)2,1(-为圆心，11为半径的圆 B.以)2,1(为圆心，11为半径的圆 C.以)2,1(--为圆心，11为半径的圆 D.以)2,1(-为圆心，11为半径的圆 2.方程224250x y x y m ++-+=表示圆的条件是【 】 A. 114 m << B. 1m > C. 14m < D. 1m < 3.已知圆的方程为086222=++-+y x y x ，那么通过圆心的一条直线方程是【 】 A.012=--y x B.012=++y x C.012=+-y x D.012=-+y x 4.圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为【 】 A . 2 B. C. 1 D. 5.与圆0352:22=--+x y x C 同圆心，且面积为其一半的圆的方程是【 】 A.3)1(22=+-y x B.6)1(22=+-y x C.9)1(22=+-y x D.18)1(22=+-y x 6.圆x 2+y 2－4x －5=0的弦AB 的中点为P （3，1），则直线AB 的方程是 . 7.已知方程042422=--++y x y x ，则22y x +的最大值是 . 8.已知圆C ：(x -1)2+y 2=1，过坐标原点O 作弦OA ，则OA 中点的轨迹方程是 . 9.求经过三点(1,1)A -，(1,4)B ，(4,2)C -的圆的方程,并求出圆的圆心与半径. 参考答案 1. D 2. D 3. B 4. D 5. D 6. x +y －4=0 7. 14+ 8. 2211()24x y -+=（x ≠0） 9. 设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=， ∵ (1,1)A -、(1,4)B 、(4,2)C -三点在圆上，代入圆的方程并化简，得 24174220D E F D E F D E F -+=-??++=-??-+=-?，解得D ＝－7，E ＝－3，F ＝2. ∴ 所求圆的方程为227320x y x y +--+=. 《圆与方程》知识点整理 一、标准方程()() 222 x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材 119 P例2 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 二、一般方程 () 2222 040 x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220 Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 22 22 00 00 40 40 A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠ ? ? ?? =?= ?? ??+-> ? ???? ?+-?> ? ? ????? ? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法： 3.2240 D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、圆系方程： 四、参数方程： 五、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ （2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值 m i n P A A N r A C ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC） 六、直线与圆的位置关系 1.判断方法（d 为圆心到直线的距离） （1）相离?没有公共点?0d r ? （2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?= （3）相交?有两个公共点?0d r ?>?< 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？ 圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数 点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点．．． i ）点在圆外 如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22 200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=- 第二步：通过d r =k ?，从而得到切线方程 特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！ 如：过点()1,1P 作圆22 46120x y x y +--+=的切线，求切线方程. 答案：3410x y -+=和1x = ii ）点在圆上 1） 若点()00x y ，在圆222x y r +=上，则切线方程为200x x y y r += 会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目. 2） 若点()00x y ，在圆()()22 2x a y b r -+-=上，则切线方程为 ()()()()200x a x a y b y b r --+--= 碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果. 由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数. ③求切线长：利用基本图形，222AP CP r AP =-?= 3.直线与圆相交 （1）求弦长及弦长的应用问题 垂径定理．．．．及勾股定理——常用 标准方程(x - a )2 + (y - b )2 = r 2 ，圆心 (a , b )，半径为 r 11 11 11 11 0 0 第二节：圆与圆的方程典型例题 一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。二、圆的方程 （1） ； 点 M (x , y ) 与圆(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 的位置关系： 当(x - a )2 + ( y - b )2 > r 2 ，点在圆外 当(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 ，点在圆上 当(x - a )2 + ( y - b )2 < r 2 ，点在圆内 （2） 一般方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 当 D 2 + E 2 - 4F > 0 时，方程表示圆，此时圆心为?- D E ? ，半径为r = 当 D 2 + E 2 - 4F = 0 时，表示一个点； 当 D 2 + E 2 - 4F < 0 时，方程不表示任何图形。 ,- ? ? 2 2 ? 2 （3） 求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出 a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出 D ，E ，F ； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 例 1 已知方程 x 2 + y 2 - 2(m - 1)x - 2(2m + 3) y + 5m 2 + 10m + 6 = 0 . （1） 此方程表示的图形是否一定是一个圆？请说明理由； （2） 若方程表示的图形是是一个圆，当 m 变化时，它的圆心和半径有什么规律？请说明理由. 答案：(1)方程表示的图形是一个圆；（2）圆心在直线 y =2x +5 上，半径为 2. 练习： 1．方程 x 2 + y 2 + 2x - 4 y - 6 = 0 表示的图形是（ ） Ａ．以(1，- 2) 为圆心， 为半径的圆 Ｂ．以(1，2) 为圆心， 为半径的圆 Ｃ．以(-1，- 2) 为圆心， 为半径的圆 Ｄ．以(-1，2) 为圆心， 为半径的圆 2．过点 A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线 x ＋y －2＝0 上的圆的方程是( )． A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 3．点(1，1) 在圆(x - a )2 + ( y + a )2 = 4 的内部，则 a 的取值范围是（ ） Ａ． -1 < a < 1 Ｂ． 0 < a < 1 Ｃ． a < -1 或 a > 1 Ｄ． a = ±1 4．若 x 2 + y 2 + ( -1)x + 2y + = 0 表示圆，则的取值范围是 5. 若圆 C 的圆心坐标为(2，－3)，且圆 C 经过点 M (5，－7)，则圆 C 的半径为 . 6. 圆心在直线 y ＝x 上且与 x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为 ． 7. 以点 C (－2，3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 ． 1 D 2 + E 2 - 4F 4.1.1圆的标准方程 教学目标： (1)掌握圆的标准方程，会由标准方程得出圆心与半径，能根据圆 心、半径写出圆的标准方程． (2)会用待定系数法与数形结合法求圆的标准方程． (3)培养学生用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想， (4)在探索圆的知识与特点时感受数学中的对称美与和谐美． 教学重点：圆的标准方程的得出与应用． 教学难点：根据不同的已知条件，求圆的标准方程 教学方法: 启发、引导、讨论． 教学过程： 一、新课引入 1.引入语： 通过上一章的学习，我们知道直线这一平面图形可以由一个代数中的二元一次方程来表示，称此方程为直线的方程。从而，通过方程利用代数的方法研究了直线的性质与特点。事实上，这种方法是解析几何解决问题的基本方法，我们还可以采用它研究其他的一些平面图形，比如：圆。 在直角坐标系中，两点确定一条直线，或者一点和倾斜角也能确定一条直线。圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？ （圆心，半径。圆心决定位置，半径决定大小） 那么我们能否在圆心与半径确定的条件下，找到一个方程与圆对应呢？这就是我们这节课的主要任务。（书写标题） 回顾直线方程得出的过程：在直线l 上任取一点P(x,y),找到该点的横纵坐标满足的一个关系式，通过验证，称此方程为直线的方程。 类似的，我们用得出直线方程方法来探求圆的方程。 二、讲授新课 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为(,)A a b ，半径为r （其中a 、b 、r 都是常数，0r ）．设(,)M x y 为这个圆上任意一点， 那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）{}P M MA r ==,由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条 件r =① 引导学生自己 证明r =为圆的方程，得出结论． 1.若点),(00y x M 在圆上，由上述讨论可知，点M 的坐标适用方程①． 2.若),(00y x 是方程①的一组解，则以这组解为坐标的点),(00y x M 到圆心A 的距离为r ，即点M 在圆心为A 的圆上． 故方 程r =为圆的一个方程。 方程①可等价变为：222()()x a y b r -+-= ② 方程②形式较①式更为和谐美观。 方程②也是圆心为(,)A a b ,半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程． 特别地,若圆心为O （0，0），则圆的标准方程为：222r y x =+ 练习1 (口答) 、求圆的圆心及半径 (1)、422=+y x (2)、1)1(22=+-y x 练习2、写出下列圆的方程 （1）、圆心在原点，半径为3； 922=+y x （2）、圆心在(-3、4),半径为5 5)4()3(22=+++y x 三、例题解析 例1 已知两点A(4,9)、B(6,3)，求以AB 为直径的圆的方程 分析：可以从计算圆心与半径． 解：解:圆心C （5，6）半径r=10 所求的圆的标准方程是10)6()5(22=-+-y x 把点)7,8(1M 的坐标代入方程10)6()5(22=-+-y x ，左右两边相等，点1M 的坐标适合圆的方程，所以点1M 在这个圆上；把点)5,3(2M 的坐标代入方程10)6()5(22=-+-y x ，左右两边不相等，点2M 的坐标不适合圆的方 程，所以点2M 不在这个圆上． 是否在这个圆上？并判断点 )5,3(),7,8(21M M 必修二圆与方程专题讲义 一、标准方程 ()()2 2 2x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 二、一般方程 ( )222 2040x y D x E y F D E F ++++=+- > 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程，则 2222 0004040 A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠????=?=????+->??????+-?> ? ?????? ? 2.求圆的一般方程方法 ①待定系数：往往已知圆上三点坐标 ②利用平面几何性质 涉及点与圆的位置关系：圆上两点的中垂线一定过圆心 涉及直线与圆的位置关系：相切时，利用到圆心与切点的连线垂直直线；相交时，利用到点到直线的距离公式及垂径定理 3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ （2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 3.以1122(,),(,)A x y B x y 为直径两端点的圆方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--= 四、直线与圆的位置关系 1.判断方法（d 为圆心到直线的距离） （1）相离?没有公共点?0d r ? （2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?= （3）相交?有两个公共点?0d r ?>?<人教版高中数学必修二圆与方程题库完整
高中数学必修二教案圆的标准方程
人教课标版高中数学必修2基础训练：圆的一般方程
高一数学必修二《圆与方程》知识点整理
(完整版)高中数学必修2圆与方程典型例题(可编辑修改word版)
人教版高中数学必修二圆的标准方程教学设计
数学必修2圆与方程知识点专题讲义
新课标高中数学必修二第四章圆与方程-经典例题-[含答案]
- 高中数学必修二圆的标准方程课件
- 高一数学必修二《圆与方程》的知识点整理
- 高中数学必修2圆的一般方程
- 人教课标版高中数学必修2《圆的一般方程》提升训练
- 【数学】2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)
- 高中数学必修二圆的标准方程-课件.ppt
- 数学必修2 第四章 圆与方程教案
- 高中数学 第二章 解析几何初步 2.2.2 圆的一般方程练习 北师大版必修2
- 必修2圆的一般方程
- 人教A版高中数学必修2 圆的一般方程优秀课件
- (北师大版)数学必修二课件：2.2.2圆的一般方程
- 2.2.2《圆的一般方程》课件(北师大版必修2)
- 人教版高中数学必修二圆的标准方程课件
- 高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)
- 高中数学必修2知识点总结：第四章_圆与方程
- 必修2圆的一般方程PPT优选课件
- 人教版数学必修二圆与方程知识点总结
- 人教课标版高中数学必修2基础训练：圆的一般方程
- 2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)
- 必修2圆的一般方程