第二讲整除与同余(教师版)
第二讲 整除与同余
一、整数的进位制
1、【十进制数】给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m ， A 可以表示成10
的1 m 次多项式，即01221
1101010
a a a a A m m m m ，其中{0,1,2,,9},i a L
01,2,,1i m L ，且01 m a ，简记为021a a a A m m .
2、【p 进制数】若十进制正整数A 可以表示为：012211a p a p a p a A m m m m ，其中
{0,1,2,,1},01,2,,1i a p i m L L ，且01 m a ，m 仍然为十进制数，则称A 为p 进制数，记为p m m a a a A )(021 .
【例题分析】
1、（2008）a 是由2005个9组成的2005位数，b 是由2005个8组成的2005为数，则ab 是（ ）位数.
A 4000
B 4004
C 4008 4010 2．求满足3
)(c b a abc 的所有三位数abc 。
解：由于999100 abc ，则999)(1003
c b a ，从而95 c b a ；
当5 c b a 时，3
3
)521(1255 ； 当6 c b a 时，3
3
)612(2166 ；
当7 c b a 时，3
3
)343(3437 ； 当8 c b a 时，3
3
)215(5128 ；
当9 c b a 时，3
3
)927(7299 ；
于是所求的三位数只有512.
3．一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与千位数字互换，十位数字与百位数字互换），所得的新数减去原数，所得的差为7812，求原来的四位数。 解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为z y x ,,，则 原数y z y x 1010102
3
①；
颠倒后的新数x y z y 1010102
3
②
由②－①得7812＝)(90)(999y z x y
即2
868111()10()10()10()()y x z y y x z x y x ③ 比较③式两端百位、十位、个位数字得6,8 x z x y .
由于原四位数的千位数字x 不能为0，所以1 x ，从而98 x y ，又显然百位数字9 y ， 所以76,1,9 x z x y ，所以所求的原四位数为1979.
二、整除的概念及其性质
（一）、基本概念
1、定义：设b a ,是给定的整数，0 b ，若存在整数c ，使得bc a ,则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是
a 的一个约数(或因数)，称a 是
b 的一个倍数，如果不存在上述
c ，则称b 不能整除a ,记作b a .
2、整除的性质
(1) 若c b |且a c |，则a b |(传递性)； (2) 若a b |且c b |，则)(|c a b ;
若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ; 更一般，若i b a |，则 n
i i
i b
c a 1
|
其中,1,2,,i c Z i n L ；
(3) 若a b |，则或者0 a ，或者||||b a ;特别地，若a b |且b a |，则b a ； (4) (带余除法定理)
设b a ,为整数，0b ，则存在一对整数q 和r ，使得r bq a ，其中0r b ，满足以上条件的整数q 和r 是唯一确定.整数q 称为a 被b 除得的商，数r 称为a 被b 除得的余数。
注意：r 共有b 种可能的取值：0,1，……，1 b ；若0 r ，即为a 被b 整除的情形； （5）若n 是正整数，则))((1221
n n n n n
n
y xy y x x
y x y x ；
(6) 如果在等式
m
k k
n i i
b
a 1
1
中去掉某一项外，其余项均为c 的倍数，则去掉项也是c 的倍数；
(7) m （m ≥2且m Z ）个连续整数中，有且只有一个是m 的倍数；
(8) 任何n （n ≥2且n Z ）个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续正整数之积能被6整
除；
（9）若一个整数的未位数字能被2（或5）整除，则这个数能被2（或5）整除，否则不能； （10）一个整数的数码之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除，否则不能； （11）若一个整数的未两位数字能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除，否则不能； （12）若一个整数的未三位数字能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除，否则不能； （13）若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除，否则不能。
（14）① 质数：一个大于1的正整数，如果它的因数只有1和它本身，则称为质数或素数；
② 合数：如果一个正整数包含有大于1且小于其本身的因子，则称这个正整数为合数。 （二）、奇数、偶数的性质
(1) 奇数 奇数=偶数，偶数 偶数＝偶数，奇数 偶数＝奇数，偶数 偶数＝偶数，奇数 偶数＝偶数，奇数 奇数＝奇数；任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数.
（2）奇数的平方都可以表示成18 m 的形式，偶数的平方可以表示为m 8或48 m 的形式，其中m Z ； （3）任何一个正整数n ，都可以写成l n m
2 的形式，其中m 为负整数，l 为偶数。
（4）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。 （三）、完全平方数及其性质
能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称为平方数，平方数有以下性质： （1）平方数的个位数字只可能是0, 1，4 , 5，6, 9；
（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；
（3）奇数平方的十位数字是偶数；
（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；
（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除。因而，平方数被9除的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7； （6）平方数的正约数的个数为奇数个；
（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。
（四）、格点：数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点或整点. 【例题分析】
1、（2005年11）若69222n 为一个平方数，则正整数n .
2、（2009）多项式
9
4
2
222012223+3-1
3+2=++++x x x a a x a x a x L ，则
13521++++=a a a a L
3、（2007）设数列 n a 满足:
2
11=1=5241,n n n a a a a n N
，,求证： n
a 的各项都是正整数.
4 、（2009）证明：平面直角坐标系xoy 内存在不在一条直线上的2009个整点，使得每条直线上至少有3个整点，且任意两点的距离都是整数.
5、（2008）
6．证明：若正整数b a ,满足b b a a 2
2
32，则b a 和122 b a 都是完全平方数。
证：已知b b a a 2232 2
2
2
)()(2b b a b a （b a ）（122 b a ）＝2
b ①
显然b a ，令d b a ),(，则d b b d a a 11, ，1),(11 b a
从而b a ＝d b a )(11 ，将其代入①得d b b a d a 2
1112
132 ②
因为|d d a 2
12，所以|d )(11b a ，从而 d 11b a ；
而②式又可写成)(11b a 2
111)122(d b b a ；
因为d b a ),(且1),(11 b a ，所以 1),(111b b a )(11b a 所以)(11b a d |，从而d b a 11。
所以11b a d ，所以b a ＝2
11)(d d b a ，从而b a 为完全平方数。
所以2
22)(122d b d
b b a 也是完全平方数。
三、同余的定义及其性质
【定义1】. 设m 是正整数，若用m 去除整数b a ,，所得的余数相同，则称a 与b 关于模m 同余，记作
)(mod m b a ，否则称a 与b 关于模m 不同余，记作a
)(mod m b .
例如：)15(mod 434 ，)7(mod 11000 ，9
8(mod 2) 等等。
当m b 0时，)(mod m b a ，则称b 是a 对模m 的最小非负剩余。 对于固定的模m ，通常有下面的性质：
性质1. )(mod m b a 的充要条件是,a mt b t Z 也即)(|b a m 。 性质2.同余关系满足以下规律： （1）（反身性）)(mod m a a ；
（2）（对称性）若)(mod m b a ，则)(mod m a b ；
（3）（传递性）若)(mod m b a ，)(mod m c b ，则)(mod m c a ；
（4）（同余式相加）若)(mod m b a ，)(mod m d c ，则)(mod m d b c a ； （5）（同余式相乘）若)(mod m b a ，)(mod m d c ，则)(mod m bd ac ；
注意：① 反复利用（4）（5），可以对多于两个的（模相同的）同余式建立加、减和乘法的运算公式 ；
② 特别地，由（5）易推出：若)(mod m b a ，c k ,为整数且0 k ，则)(mod m c b c a k
k
；
③ 同余式的消去律一般并不成立，即从)(mod m bc ac 未必能推出)(mod m b a ，可是我们却有以下结果：若)(mod m bc ac ，则
),(mod c m m b a .
由此可以推出：
（6）若,1),( m c )(mod m bc ac ，则有)(mod m b a ，即在c 与m 互素时，可以在原同余式两边约去c 而不改变模.
（7）若)(mod m b a ，d ｜m ，则)(mod d b a ； （8）若)(mod m b a ，0 d ，则)(mod dm db da ；
（9）若(mod )(1,2,,)i a b m i k L ，则12(mod [,,,])k a b m m m L ，特别地，若
12,,,k m m m L 两两互素时，则有12(mod )k a b m m m L ；
性质3.若k i m b a i i ,,2,1),(m od ，则
)(mod 1
1
m b a k i k i i
i
；1
1
(mod )k k
i
i
i i a b m ；
性质4.设)(x f 是系数全为整数的多项式，若)(mod m b a ，则))(mod ()(m b f a f 。
这一性质在计算时特别有用：在计算大数字的式子时，可以改变成与它同余的小数字，使计算大大地简化。
整数集合可以按模m 来分类，确切地说，若a 和b 模m 同余，则a 和b 属同一类，否则不属于同一类，每一个这样的类为模m 的一个同余类。由带余除法，任一整数必恰与0,1,……，1 m 中的一个模m 同余，而0,1,……，1 m 这m 个数彼此模m 不同余，因此模m 共有m 个不同的同余类， 例如，模2的同余类共有两个，即通常说的偶数类与奇数类，这两类中的数分别具有形式k 2和12 k （k 为任意整数）. 【例题分析】
1、（2006年3）在集合 1,2,3,,50L 的子集S 中任意两个元素和都不能被7整除，这样的子集S 中元素
个数最多的是（ ） A 22 B 7 C 23 D 6 2、（2005年15）试求最小的正整数n ，使得对于任何n 个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.
【练习题】
1、已知,p q 为质数，且317p q ，则
51
p
q 2、由7个数字0,1,2,3,4,5,6组成且能被55整除的最小七位数是
3、a 为正整数，记 21,22,23a a a 表示21,22,23a a a 的最小公倍数，以A 表示它.若24a 整除A ，则=a
4、设p 是给定的奇质数，正整数k 使得2k pk 也是一个正整数，则=k
5、对于正整数n ，如果能找到正整数,a b ，使n a b ab ，则称n 为“好数”，则在前100个正整数 中，共有“好数”的个数为
6、设n 是整数，且2
41715n n 表示两个相邻正整数的积，则=n
7、设991 m ，991 n ，则使得n m n m 3)(2
是完全平方数的有序整数对（n m ,）的个数为
8．设1 k 是一个奇数，证明：对于任意正整数n ，数k k k n 21 不能被2 n 整除。
9．设n m ,是正整数，2 m ，证明：（12 m
） （12 n
）。
10．1987可以在b 进制中写成三位数xyz ，如果7891 z y x ，试确定所有可能的z y x ,,,和
b 。
11．证明不存在正整数n ，使2n 2+1，3n 2+1，6n 2+1都是完全平方数。
12．证明：对于任意正整数n ，数20052005200521n 不能被2 n 整除。
13．已知n 为正奇数，求证：1236|60 n
n
n
.
14．设a 、b 、c 为满足不等式1＜a ＜b ＜c 的整数，且（ab-1）（bc-1）（ca-1）能被abc 整除，求所
有可能数组（a ，b ，c ）.
【试题参考答案】 一、填空题
1、 当2p 时，5q ；当11p 时，2q ；综上：
1
5113
p q 或 1. 2、 性质：若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除， 否则不能.设该七位数为105abcd ，于是=15a b c d ， 116621a c b d a c b d ， 七位数为：1042635.
3、任意连续三个正整数互质，则 212223A a a a ，由
2,a A 得a=1.
4
2
2
222
122,k 244221p k p n p p p n Z k n k p n
则，即，=.
5、由 n 111,1a b ab a b n n 知，即是合数，前101个正整数中共有26个，好数个数：101-26=74
6、设 2
2
4n 17152214211n n k n k n k n k k ，故215
154k k n k
.
当0k 时，n 1 ；当2k 时，n 3 ；当3k 时，n 9 ；
7．解：由于991 m ，991 n 可得：n m n m 3)(2
＜4)(4)(2
n m n m 2
)2( n m
又 2
)(n m n m n m 3)(2
，于是 2
)(n m n m n m 3)(2
2
)2( n m
若n m n m 3)(2
是完全平方数，则必有n m n m 3)(2
＝2
)1( n m 。
然而n m n m 3)(2
＝2
)1( n m 1 m n ，于是必有01 m n ，即1m n ，
此时1,2,,98n L ，2,3,,99m L 。
所以所求的有序整数对（n m ,）共有98对：(,)(2,1),(3,2),(4,3),,(99,98)m n L 。
二、简答题
8． 证明：1 n 时，结论显然成立。
设2 n ，记所说的和为A ，则：)2())1(3()2(22k
k
k
k
k
k
n n n A
由k 是正奇数，从而结于每一个2 i ，数k
k
i n i )2( 被2)2( n i n i 整除，故A 2被2 n 除
得余数为2，从而A 不可能被2 n 整除（注意22 n ）。
9．证明：首先，当m n 时，易知结论成立。事实上，n m 时，结论平凡；当m n 时，结果可由1212121 m m n 推出来（注意2 m ）
。 最后，m n 的情形可化为上述特殊情形：由带余除法m r r mp n 0,而0 q ，由于
122)12(12 r r mq n ，从而由若n 是正整数，则))((1221 n n n n n n y xy y x x y x y x 知
)12(|)12( mq m ；而m r 0，故由上面证明了的结论知)12( m )12( r （注意0 r 时结论平
凡），从而当m n 时，也有（12 m ） （12 n ）。
10．解：易知25,19872
z y x xb ，从而162)1()1(2
b y b x ，
即109321962])1)[(1(2
y x b b ，
由10 b 知91 b 。由119622
b 知451963 b 故4519 b ；
又因为1093219622
有12个正约数，分别为1,2，3,6，9,18,109,218,327,654,981,1962，所以
181 b ，从而19 b 。又由1119919519872 知.11,9,5 z y x
11．证明不存在正整数n ，使2n 2+1，3n 2+1，6n 2+1都是完全平方数。
证明：假设存在这样的正整数n ，使2n 2+1，3n 2+1，6n 2+1都是完全平方数，那么（2n 2+1）（3n 2+1）（6n 2+1）也必定是完全平方数。而（2n 2+1）（3n 2+1）（6n 2+1）＝36n 6+36n 4+11n 2+1； 2
3
)36(n n 36n 6+36n 4+9n 2； 2
3
)136(n n 36n 6+36n 4+12n 3+9n 2+6n +1；
所以 2
3)36(n n （2n 2+1）（3n 2+1）（6n 2+1）＜2
3
)136( n n 与（2n 2+1）（3n 2+1）（6n 2+1）为
完全平方数矛盾。
12．证明：对于任意正整数n ，数20052005200521n 不能被2 n 整除。 证明：只需证2（2 n ）（20052005200521n ）即可。 因为若n 是正整数，则))((1221
n n n n n
n
y xy y x x
y x y x ；
若n 是正奇数，则))((1221
n n n n n
n
y xy y x x
y x y x ；
故2 n ｜200520052n ；2 n ｜20052005
)1(3
n ，……， 2 n ｜200520052 n
所以2 n ｜2（200520052n ）。又因为232 n ，所以2 n 2，
所以2 n 2（200520052n ）＋2， 即（2 n ） 2（20052005200521n ）命题得证。 13．已知n 为正奇数，求证：1236|60 n
n
n
证明：因为若n 是正整数，则))((1221
n n n n n
n
y xy y x x
y x y x ；
若n 是正奇数，则))((1221
n n n n n
n
y xy y x x
y x y x ；
所以n n 36|3 ，12|3 n
，从而1236|3 n
n n ；
n
n
26|4 ，13|4 n
，从而1236|4 n
n
n
；
16|5 n ，n
n 23|5 ，从而1236|5 n
n
n
；
又1)5,4,3( 且60543 ，所以1236|60 n
n
n
。
14．设a、b、c为满足不等式1＜a＜b＜c的整数，且（ab-1）（bc-1）（ca-1）能被abc整除，求所有可能数组（a，b，c）.
解∵（ab-1）（bc-1）（ca-1）=a2b2c2-abc（a+b+c）+ab+ac+bc-1 ①
∵abc|（ab-1）（bc-1）（ca-1）∴存在正整数k,使ab+ac+bc-1=kabc, ②
k=＜＜＜＜∴k=1.
若a≥3，此时1=-＜矛盾，已知a＞1，∴只有a=2.
当a=2时，代入②中得2b+2c-1=bc，即1=＜
∴0＜b＜4，知b=3，从而易得c=5.
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一至六年级文言文 杨氏之子（南朝刘义庆《世说新语》） 梁国/杨氏子/九岁，甚聪慧。孔君平/诣/其父，父/不在，乃/呼儿出。为/设果，果/有杨梅。孔/指以示儿/曰：“此/是君家果。”儿/应声答曰：“未闻/孔雀/是夫子家/禽。” ①甚：很。②惠：智慧。③诣：拜见。④乃：就，于是。⑤示：给……看。 ⑥曰：说。⑦未：没有。⑧设：摆设。 梁国有一位杨家的孩子，才九岁，却很聪明。孔君平去拜见他的父亲，父亲不在家，就叫孩子出来。孩子为孔君平摆上水果，水果里有杨梅。孔君平指着杨梅给孩子看，说：“这是你们家的水果。”孩子应声回答说：“没有听说孔雀是先生家的禽鸟。” 伯牙绝弦 伯牙/善/鼓琴，钟子期/善听。伯牙/鼓琴，志在高山，钟子期曰：“善哉，峨峨兮/若/泰山！”志在流水，钟子期曰：“善哉，洋洋兮/若/江河！”伯牙/所念，钟子期/必得之。子期死，伯牙/谓/世再无知音，乃/破琴/绝弦，终身/不复鼓。 ①绝：断绝。②鼓：弹。③志在高山：心里想到高山。④哉：语气词。⑤峨峨：高。⑥兮：语气词。⑦洋洋：广大。 伯牙善于弹琴，钟子期善于听曲。伯牙弹琴，心里想到高山，钟子期说：“太好了，真像巍峨的泰山在前！”伯牙心里想到流水，钟子期说：“太好了，真像奔腾的江河向前！”伯牙心里想的，钟子期一定能领悟他的心意。子期去世了，伯牙觉得世上再也没有知音，就毁掉琴，一辈子不再弹琴。 学弈（《孟子·告子》） 弈秋，通国/之善弈者也。使/弈秋/诲/二人弈，其/一人/专心致志，惟/弈秋之为听；一人/虽听之，一心以为/有鸿鹄将至，思/援弓缴/而射之。虽/与之俱学，弗若之矣。为是/其智/弗若与？曰：非然也。 ①弈：下棋。②通国：全国。③诲：教导。④惟弈秋之为听：只听弈秋（的教导）。⑤援：引，拉。⑥缴：带丝绳的箭。⑦俱：一起。⑧弗：不。⑨矣：了。⑩为：因为。
五年级奥数精品讲义 第1讲 数的整除(有精讲,有分层精炼)
五年级奥数讲义 第一讲 数的整除 一、学法指导 数的整除特性： （1）能被2（或5）、3(或9)整除的数的特征（自己回忆整理）。 （2）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。 （3）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个数的末三位能被8（或125）整除这个数就能被（或）125整除。 （4）能被11整除的数的特征：如果一个整数奇数位数字与偶数位数字和的差能被11整除，那么这个数就能被11整除。 （5）能被7、11、13整除的数的特征：一个整数末三位与末三位以前的数的差（大减小）能被7（11或13）整除，那么这个数就能被7（11或13）整除。 补充结论： 1.abcabc 能被7、11、13整除。 2.如果数a 能同时被数b 、c 整除，而且b 、c 互质，那么a 就能被b 、c 的乘积整除。举例：比如能被72整除的数的特征，就是这个数能同时被8、9整除。因为72=8×9，而8、9互质，根据上面的结论，一个数能否被72整除，我们只要分析这个数能否同时被8和9整除就可以了。 有了这个结论，我们研究整除特性的范围就被大大地扩展，很多很多我们没学过的数的整除特征，都可以据此找到规律了。如能被20，26，28，45，91，99整除的数的特征等。我们研究整除特性有了有利的工具。 二、例题： 例1、 整数6427B A 能被72整除，这个数有那些可能？ 例2、 四位数Y X 47能被18整除，要使这个四位数尽可能小，那么这个四位数是
多少？ 例3、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被2、3、5、7整除，这个七位数最小是多少？ 例4、一个六位数B A1997，能被99整除，A和B各是多少？ 例5、在532后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，这样的六位数中最小的是□□□□□□。 例6、已知45|Y X1993,求所有满足条件的六位数？ 三、练习 A卷、基本能力训练 154能被72整除，求X+Y是多少？ 1、XY 2、1997□□□能被4、5、6整除，那么这个七位数最小是多少？ 3、一个能被11整除的最小四位数，去掉它的千位上和个位上的数字以后，是一个同时能被2、3、5整除的最大的两位数。这个四位数是□□□□。 4、在 5、 6、7的公倍数中，是五位数且最小的是________。
03.奥数第三讲.除法与余数(答案)
第三讲除法与余数 1．老师带来了12个苹果，要分给4个小朋友，并且想让每个小朋友分得的苹果一样多。那么有几种不同的分法呢？ 王老师这样分：先拿4个苹果，给每个小朋友一个；又拿出4个苹果，给每个小朋友一个苹果；……这样分下去一直到苹果分完为止。 李老师这样分：先拿3个苹果，给第一个小朋友；再拿出3个苹果，给第二个小朋友；……这样一直分到最后一个小朋友为止。 请小朋友们想一想，这两种分法效果一样吗？再想一想，你认为那一种方法好呢？请说出自己的理由。 提示：“平均分”的除法与“包含”除法，这两者既有区别又有联系，是对立统一的。2．在第1题中的问题中，我们学会了一种平均分配东西的方法，我们给它起一个名字叫做“除法”。我们想一想，如果时光倒转，把我们平均分配物品的过程反过来的话，是怎样的一个问题呢？ 对了，是一个求几个相同数和的问题，要用乘法来解决。也就是说，除法和乘法是很类似的。除法只不过是把乘法的过程反过来算而已。比如：被除数÷除数=商，反过来的话，商×除数=原来的被除数。这是很有趣的一个规律，请大家牢记。 因此，对于比较简单的除法算式，我们可以利用乘法口诀反推出结果！请列式计算： (1) 把10块大白兔奶糖平均分给牛牛和壮壮，他们俩每人可以分到几块大白兔奶糖？ (2) 把21本故事书，平均分给小明、小红和小花，他们每人可以分到几本故事书？ (3) 把48台电脑平均分给六个年级，每个年级可以分到几台电脑？ 总结：当每份都一样多时：平均分除法——总数÷份数= 每份数； 包含除法——总数÷每份数= 份数； 而对于除法的逆运算：乘法——每份数×份数= 总数。 3．利用乘法口诀计算： 1÷1 = 2÷1 = 2÷2 = 3÷1 = 3÷3 = 4÷1 = 4÷2 = 4÷4 = 6÷2 = 6÷3 = 8÷4 = 12÷3 = 12÷6 = 15÷5 = 18÷3 = 18÷6 = 18÷9 = 24÷3 = 24÷4 = 30÷5 = 36÷6 = 36÷4 = 32÷4 = 81÷9 = 72÷8 = 42÷7 = 63÷9 = 64÷8 = 49÷7 = 45÷9 = 并观察这些算式，你找到了什么规律呢？ 提示：既可以联想到乘积不变的性质，也可以联想到商不变的性质。可见，乘法与除法是相互依赖的。还有除以1等于自己的规律，除以自己等于1的规律，等等…… 4．会算除法算式固然很重要，但是懂得除法的意义更加重要，除法的意义可以帮助我们把口诀里没有的算式也能算出来。不信的话，请列式计算以下题目： (1) 把30根铅笔平均分装在两个文具盒中，平均每个文具盒中要装几支铅笔？ (2) 60粒草莓，每20粒装成一袋，一共需要装多少袋？ (3) 学校将50个足球平均分给10个班，请问每个班分到多少个足球？ (4) 100朵鲜花，每10朵扎成一束花，一共可以扎成多少束花？
人教版语文九年级文言文翻译
九年级文言文翻译 鱼我所欲也 鱼是我所想要的，熊掌也是我所想要的，（如果）这两种东西不能够同时得到的话，我宁愿舍弃鱼而选取熊掌。生命是我所想要的，道义也是我所想要的，（如果）这两种东西不能够同时拥有的话，我宁愿舍弃生命而追求道义。生命是我所想要的，所喜欢的有超过生命的东西，所以不做苟且偷生的事；死亡是我所厌恶的，所讨厌的有超过死亡的东西，所以有的灾祸不去躲避。如果人们所追求的东西没有比生命更宝贵的，那么凡是能够用来求得生存的手段，有什么不能采用呢？如果人们所厌恶的东西没有比死亡更可怕的，那么一切能够用来避开祸患的手段，有哪一桩不能采用呢？这样做就可以生存，却有人不采用它；照此就可以避祸，却有人不采纳它。因此，可知人们所追求的有胜过生命的，所厌恶的有胜过死亡的。不仅仅有道德的人有这样的本性，人人都有，只是道德高尚的人能够不丧失这种本性罢了。一碗饭，一碗汤，吃了它就能活命，不吃它就会死亡。但如果吆喝着施舍，路过的饥民也不愿接受；如果用脚踢着给人家，即使乞丐也会因轻视而不肯接受。面对高官厚禄如果不辨别是否合乎礼仪就接受它，那么高官厚禄对我来说有什么好处呢？难道是为了住宅的华丽、妻妾的侍奉和结识的穷苦人感激我吗？从前情愿舍弃生命也不愿意接受，现在却为了住宅的华丽而接受了；从前情愿舍弃生命也不愿意接受，现在却为了妻妾侍奉而接受了；从前情愿舍弃生命也不愿意接受，现在却为了自己所结识的穷人感激我的恩德而接受它：这种做法难道不应该停止了吗？这就叫做丧失了人原本的本性 得道多助，失道寡助 有利于作战的天气时令不如有利于作战的地理条件，有利于作战的地理条件不如人心向背，内部团结。方圆三里的内城，方圆七里的外城，包围起来攻打它却不能取胜。包围起来攻打它，必定是得到了有利于作战的天气时令，然而不能取胜，这是有利于作战的天气时令不如有利于作战的地理条件的原因。城墙并不是不高，护城河并不是不深，武器装备并不是不精良，粮食也并不是不充足，但（守城者）弃城而逃，是对作战有利的地理形势不如作战中的人们同心协力的原因。所以说，使百姓定居下来而不迁到别的地方去，不能依靠疆域的界限，巩固国防不能靠山川的险要，威慑天下不能靠武力的强大。施行仁政的君主，帮助支持他的人就多，不施行仁政的君主，帮助支持他的人就少。帮助他的人少到了极点，内外亲属都背叛他。帮助他的人多到了极点，天下人都归顺他。凭借天下人都归顺他的这一点，攻打被内外亲属背叛的君主，所以君子不战则已，战就一定能胜利。 生于忧患，死于安乐 舜是从农耕的田野中被发现的，傅说是从泥水匠中被选拔出来的，胶鬲是从鱼盐贩子人中被选拔出来的，管夷吾从狱官手里释放出来并加以任用的，孙叔敖从隐居的海边被提拔上来的，百里奚是从集奴隶市场被赎出后加以重用的。所以上天将要降临重大责任在这个人身上，一定要先使他的内心痛苦，使他的筋骨劳累，使他经受饥饿而体肤消瘦，使他缺乏钱财、
文言文专练(教师版)
文言文专练 阅读下面的文言文，完成6?9题。 与友人论师书 日者，足下枉过仆，仆以事他出，未得见。顷遇某舍人云，足下欲以仆为师，仆弗敢闻也。 师道之废久矣，古之所谓师者，曰经师，曰人师；令之所谓师者，曰童子之师，曰乡会试之师，曰投拜之师。人生五六岁，始能识字。稍长则习业之文，父兄皆延师教之。父兄曰：“汝师之。”吾从而师之。非必道德之可师也，巫医百工之人皆有师。童子之师，犹巫医百工之师，称之曰师可也。乡会试主司同考之于士子，朝廷未尝许其为师，而相沿师之者，三百余年。然甲令①又有外官、官小者回避之例,则固明予以师之称矣。汉人于主有为之制服者，而门生之名，唐宋以来有之。语其辈行，则先达也;语其交谊，则知己也。因其一日之知，而奉之以先生长者之号，称之曰师，亦可也。今之最无谓者，其投拜之师乎！外雅而内俗，名公而实私。师之所求于弟子者，利也，传道解惑无有也，束修之问，朝至而夕忘之矣；弟子之所藉于师者，势也，质疑问难无有也，今日得志，而明日背其师矣。是故一命以上，皆可抗颜而为师，而横目二足贩脂卖浆之子，皆引而为弟子。士习由此而偷，官方由此而隳，师道由此而坏。 孟子曰：“人之患在好为人师。”古之好为师也以名，今之好为师也以利。好名之心，仆少时不免，迄今方以为戒，而惟利是视，则仆弗敢出也。足下于仆，非有一日之好，而遽欲师之。仆自量文章道德，不足以为足下师，而势力又不足以引拔足下。若欲藉仆以纳交一二巨公，俾少为援手，则仆之硁硁②自守，不干人以私，友朋所共知。仆固不欲自误，而亦何忍以误足下乎？如以仆粗通经史，可备刍荛之询，他日以平交往还足矣。直谅多闻，谓之三益。不识仆之戅直，得附足下益友之一否？惟足下裁察。 注:①甲令：法令。②硁硁：固执。 .1加点词的意义和用法相同的一项是（3分） A. 师道之．废久矣稍长则习业之．文 B. 外雅而．内俗侣鱼虾而．友麋鹿 C. 古之好为师也以．名以．其无礼于晋，且贰于楚也 D. 语其辈行，则．先达也此则．岳阳楼之大观也 1.B 连词，表并列；A①主谓之间，取独；②助词“的”，中心语和定语之间。 C ①介词，表目的；②连词，因为。 D①连词，表因果，相当于“就”、“便”、“那么”；②副词，表示肯定，相当于乃，就是。 2.下列对原文有关内容的概括和分析，不正确的一项是（3分） A.友人前来拜访钱大昕，希望拜他为师，却没有遇到。不久，钱大昕从他人那里听说这件事，
四年级奥数第一讲 数的整除问题
第一讲数的整除问题 一、基本概念和知识： 1、整除： 定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b 能整除a）。用符号“b| a”表示。 2、因数和倍数： 如果a能被b整除，即a÷b=c 由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a的因数（或约数），a是b（c）的倍数.提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。 练习： 写出下面每个数的所有的因数： 1的因数：__________________； 7的因数：__________________； 2的因数：__________________； 8的因数：__________________； 3的因数：__________________； 9的因数：__________________； 4的因数：__________________； 10的因数：__________________； 5的因数：__________________； 11的因数：__________________； 6的因数：__________________； 12的因数：__________________； 公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。如：3和4的公因数是：___________，6和8的公因数是：___________， 3、质数与合数： 在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。 （１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。（２）合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 （３）0和１既不是质数，也不是合数。、 请写出20以内的所有质数：_____________________________________________________ 注意：最小的质数是____，质数里面除了______是偶数外，其它都是______数。 4、互质数：公因数只有1的两个自然数，叫做互质数。 这里所说的“两个数”是指除0外的所有自然数。“公因数只有1”，不能误说成“没有公因数。” 例如，2与7、13与19、3与10、5与 26等等
数论知识点之整除与余数
整除 一、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个 数能被11整除. 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这 个数能被7、11或13整除. 5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则 拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.） 二、整除性质 性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)． 性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a． 用同样的方法，我们还可以得出： 性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a． 性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a． 例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12． 性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）； 性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac； 余数 一、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的 余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2 2.余数的减法定理
人教版小学古诗词及文言文大全含注解译文
人教版小学古诗词 【小学一年级】 上册： 1、一去二三里 yī qù èr sān lǐ 【宋】·邵雍· 【sòng 】?shào yōng ? 一去二三里， yī qù èr sān lǐ 烟村四五家。 yān cūn sì wǔ jiā 亭台六七座， tíng tái liù qī zuò 八九十枝花。 bā jiǔ shí zhī huā 【注释】 ⑴去：从这里走出去的意思。 ⑵里：我国原用的长度单位，一里等于500米。 ⑶烟村：炊烟缭绕的村子。 ⑷亭台：供游人观赏、眺望和休息的亭子。 ⑸枝：通常是细长的从树主干或大枝上长出的细茎或者由植物芽苞长出的嫩茎或部分。【题解】 这是一首儿歌。此诗选取诗的第一句作标题，这是古诗标题的一种方法。“一去二三里”，即从这里走出去几里路远的意思。“二三”表概数，并非实指。下文中的数字也是这种用法。 【译诗】 从这里走出去几里路， 看见炊烟袅袅的小村庄住着几户人家。 村庄里还有一些亭台， 亭边村旁开满了许多美丽的野花。 【赏析】 这是儿歌中的数数歌。内容简单，又画面生动。富有节奏、韵律感，读来琅琅上口。诗句由一至十这十个数字串起来，却又描绘出了一幅宁静优雅、富有生气的乡村生活图。 2、画 huà 【唐】·王维· 【táng 】?wáng wéi ? 远看山有色， yuǎn kàn shān yǒu sè 近听水无声。 jìn tīng shuǐ wú shēng 春去花还在， chūn qù huā hái zài 人来鸟不惊 rén lái niǎo bú jīng 注词释义： ①色:颜色,也有景色之意 ②惊:吃惊,害怕. 〖译文〗 在远处可以看清山有青翠的颜色， 在近处却听不到流水的声音。 春天过去了但花儿还是常开不败， 人走近枝头上的鸟儿却纹丝不动。 （看远处的山往往是模糊的，但画上的山色 却很清楚。在近处听流水，应当听到水声， 但画上的流水却无声。在春天盛开的花，随 着春天的逝去就凋谢了；而画上的花，不管 在什么季节，它都盛开着。人走近停在枝头 上的鸟，它就会受惊飞走；但画上的鸟，即 使你走近了，它也不会惊飞。全诗读起来似 乎行行违反自然规律，其实正是暗中设谜， 写出了画的特点。） 【赏析】 远看山有色，远山含笑，有色便是好山，何 为有色？清秀俊朗红湿绿垂是色，寒色苍苍 亦是佳色，奇傀峭拔也是异色，只因其距离 而产生美感，让人觉其有无限的风光。此乃 是“静境”，静境之美出乎首句，在于有静心 者能品之。这就好比是阳春白雪，一开始就 将下里巴人给赶出了艺术空间。取消了浮躁 者的欣赏美的资格。在这里，任何的浮躁都 不行，有的只是心静如水.但不是死水而是活 水.你看画中有水呢?一汪春水有着挡不住的 盛情倾泻而出.一种流动之美跳跃于诗人的眼 中. 近听水无声。 源头活水本是“动境”，而无声二字又进入 静境，宁静致远.和首句并无矛盾之处.动静 的取舍上诗人可以说是能够做到游刃有余.是 什么如此神奇？静的如此让人难以放弃去一 探究竟，这样，我们就会接近此诗此画，这 样心神和山水便靠近了。一切的妙处只是因 为“无声”，无声是一种美。王羲之的诗中有 “在山阴道上行，如在镜中游”，便也是这种 美。有声无声都溶在一起，完美的天籁之 声！庄子所提的“天籁”之声就是如此，当“天 籁”与“人籁”“地籁”一起时，便共同构成一个 常人无法言语的自然之声。 春去花还在， 人来鸟不惊。 花儿在那个最美的季节里尽情的开放，并 最终将自己的生命燃烧般的开到最美。美到 极致后，飘然而去。但此中花儿不谢，只因 在画中。仅仅是如此吗？写的近近是画中的 花吗？是春尽之时，花儿尽逝，无处得美而 伤怀的感触在里面。 鸟儿不惊，不知青春已尽，岁月已逝。徒 留下多少悔恨？ 诗中的画似乎代表着一种梦想，一种可见 而不可得的梦想，但那种梦想只是在人的心 灵处于一种安静的状态中我们才能够想起。 但不可得已是事实，诗人唯有带着淡淡的幽 思去寻觅世间最后的能够寄托情怀的东西。 人已去，空留花，鸟未惊，人又来，没有永 恒的美丽，而一切的美丽都将隐于虚幻。而 我们又将归往何方？去追寻什么呢？ 【链接】 我知道： 中国画：简称“国画”，它用毛笔、墨，和中 国画颜料，在特制的宣纸或绢上作画。并与 诗词、款赋、书法篆刻相结合，达到形神兼 备、气韵生动的效果。 3、静夜思 jìng yè sī 【唐】·李白· 【táng 】?lǐ bái ? 床前明月光， chuáng qián míng yuè guāng 疑是地上霜。 yí shì dì shàng shuāng 举头望明月， jǔ tóu wàng míng yuè 低头思故乡。 dī tóu sī gù xiāng 注词释义： 静夜思：宁静的夜晚所引起的乡思。 疑：好像。以为。 举：抬，仰。 古诗今译 床前有明亮的月光，好像地上寒冷的清 霜。抬头望着天上的明月，低头思念着自己 的家乡。 名句赏析——“举头望明月，低头思故乡。” 本诗是首千古传诵的名篇。平实朴素的 语言，生动地表现出游子的思乡之情，全诗 仅20个字，已从时间、环境、气氛及对人物 的细微动作的描绘，写出了游子对故乡的深 切思念。语言明白，音韵流利自然，似信手 1
课外文言文教师版
课外文言文练习 （一）狸食鸽 叶侯之家，获二鸽，缚之翅而畜之野。狸（野猫）知其不能飞也，攫（抓住）而食其雌。雄者怒，奋起喙（鸟嘴）啄狸，狸嗥（野兽吼叫）而去。不数日，复获一雌焉，狸至而又食之，然以前被啄故，若惮雄不敢近。雄因自恃（依仗）其强，不为备。居无何，竟为狸所食。 1、解释下面句子中加点的词。（2分） ①狸嗥而去．②若惮．雄不敢近 2、下面“而”字用法，不同于其它三项的一项（）。（3分） A 缚其翅而畜其野 B 攫而食其雌 C 狸嗥而去 D 狸至而又食之 3、翻译下面的句子。（3分） 居无何，竟为狸所食。 4、你从本文中得到一个什么道理？（2分） 答案：1（1）逃跑（2）害怕2C 3未过多久，雄鸽竟然被猫吃掉。 4从雄鸽被吃得出：骄傲自大，放松警戒，必将失败。或从猫得出：不怕失败，抓准时机，一举成功。 翻译：叶侯的家人捕获了两只鸽子，绑住它们的翅膀，放到野外去喂养。有一只野猫看见了，知道它们不能飞，抓了其中母的吃了。公的很愤怒，奋起用它的尖嘴啄野猫，野猫嗥叫着逃开。没有几天，叶侯家又得到一只母的（鸽子）。野猫过来又吃了它。但是因前面被啄的原因，好象害怕不敢靠近（公鸽子）。公（鸽子）因此凭借着自己强大对野猫不加防备。不久后，雄鸽竟也被野猫给吃了。 （二）“四知”先生 大将军邓骘闻杨震贤而辟之①，举茂才，四迁荆州刺史、东莱太守。当之郡，道经昌邑，故所举荆州茂才王密②为昌邑令，谒见③，至夜怀金十斤以遗震。震曰：“故人知君，君不知故人，何也？”密曰：“暮夜无知者。”震曰：“天知，神知，我知，子知。何谓无知！”密愧而出。 [注释]①大将军邓骘（zhì）闻杨震贤而辟之：大将军邓骘听说杨震贤达，于是征召他（为官）。 ②王密：人名。③谒见：拜见。 1、解释文中加点的词语。(2分) （1）举茂才举（）（2）故人知君知（） 2、用现代汉语解释文中画线的句子。(2分) 至夜怀金十斤以遗震 3、杨震被称为“四知”先生的原因是什么？ (3分)
第1讲 数的整除(1)
第一讲数的整除（1） 【知识梳理】 1、整除的定义：对于整数a和不为零的整数b，如果a除以b的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，b能整除a，记做b a。a就是b的倍数，b是a的因数（或因数）。 2、一些数的整除特征： ①被2整除的特征：数的个位上是0、2、4、6、8（即是偶数）； ②被3、9整除的特征：数的各数位上的数字和是3或9的倍数； ③被5整除的特征：数的个位上是0、5； ④被4、25整除的特征：数的末两位是4或25的倍数； ⑤被8、125整除的特征：数的末三位是8或125的倍数； ⑥被11整除的特征：数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和，两者的差是11的倍数。 【例题精讲】 例1、按要求写出符合要求的数：一个四位数467□。 （1）要使它是2的倍数，这个数可能是（）； （2）要使它是5的倍数，这个数可能是（）； （3）要使它既含有因数2，又含有因数5，这个数是（）。 分析：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数数；个位上是0或5的数是5的倍数；个位上是0的数，能同时被2和5整除。 解答：（1）这个数可能是4670、4672、4674、4676、4678。 （2）这个数可能是4670、4675。 （3）这个数是4670。 例2、判断47382能否被3或9整除？ 分析：能被3或9整除的数的特点是这个数各数位上的数字和是3或9的倍数。 47382各个数位的数字相加和是24，24是3的倍数但不是9的倍数。 解答：47382能被3整除，不能被9整除。 例3、判断：1864能否被4整除？ 分析：能被4整除的数的特点是这个数的末两位是4的倍数， 1864的末两位是64，64是4的倍数。能被125整除的数的特点是这个数的末三位是125的倍数，29375的末三位是375，375是125的倍数。 解答：1864能被4整除，29375能被125整除。 例4、29372能否被8整除？ 分析：能被125整除的数的特点是这个数的末三位是8的倍数，29372的末三位是372，372不是8的倍数。 解答：29372不能被8整除。 【巩固练习】 1、在□里填上合数的数，使四位数7□6□能被5整除，也能被3整除。
小奥数论1_整除和余数知识点总结与经典例题
1.数论——数的整除和余数 2.1基本概念和基本性质 2.1.1定义 整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b 整除，或者说b能整除a。 2.1.2表达式和读法 b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；b a，不能整除； 2.1.3基本性质 ①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的 倍数； ②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c); ③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能整除 c; ④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c， 且ab互质，则ab的积能整除c; ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
2.2数的整除的判别法 2.2.1末位判别法 2.2.2数字和判别法（用以判别能否被3或9整除） 各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。 173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9； 简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。 2.2.3奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除） 从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除； 81729033÷11:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。余数的判断法与整数位的判断法一致。
2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除） 2.2.4.1基本用法 从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除； 如，86372548，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。 2.2.4.2特殊用法 ①一般求空格数 如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。注意，如果这个数加或减7后为1到9间的自然数，则加或减7后的这个数也为正确答案。 395864□82365，答案为5 463925□01234，答案为1和8 ②特殊求空格数 根据整除的因数性，如果1个数能被1001整除，则这个数能被7、11、13、77、91、143整除，因为： 7×11×13=1001; 77×13=1001; 99×11=1001;
课外文言文翻译(教师版)
教学过程 一、课堂导入 课外文言文是初中各类语文考试中必不可少的一项，在训练的过程当中学生应该注意积累字词，这样才能更好的翻译句子，并能更好的理解文章的内容。 只有不断的练习才能翻译的更加熟练，才能在考试中获得更高的分数。 二、复习预习 复习上节课学过的文言文中常见的字词的意思。 1.通假异读 在通假现象中，通假字的读音和本字的读音如果有别，一般要按照所表示的本字来读。例如：“日扳仲永环谒于邑人”的“扳”字，要读为pān（攀）。 2.一词多义 无论古代、现代，一词多义均是正常的、普遍的。例如：“于”的意思有 （1）到。例如：环谒于邑人（《伤仲永》） （2）在。于舅家见之（《伤仲永》） （3）比。贤于才人远矣（《伤仲永》） （4）从。其受于人者不至也（《伤仲永》） 3.古今异义 词汇的发展除了旧词消亡、新词产生的情况外，还表现在词义不断演变。绝大多数词的意义都发生了不同程度的变化。所以学习文
言文，要特别注意古今词义的异同。例如：“或”字或以钱币乞之古义：有的，有的人今义：或许，或者 4.通假字 本有其字，古人有时不用本来该用的某个字，而用另一个跟它读音相同或相近的字来代替。这种同音替代现象，叫做“通假”或“古音通假”，被替代的那个（未出现）字叫本字，用来替代本字的字叫借字，也就是通假字。例如： 日扳仲永环谒于邑人（《伤仲永》）“扳”通“攀”，牵，引 5.词类活用 在古代汉语里，有些词在具体的句子中临时改变它原来的语法功能，具备另一类词的语法功能和词汇意义，这种现象我们称之为“词类活用”。（名词用作动词、名词的使动用法、名词的意动用法、名词用作状语、动词用作名词等）例如： 不能称前时之闻动词用作名词，名声 二、方法归纳 留 即保留原文中的词语，不进行翻译。古属专有名词，如人名、地名、官名、爵名、谥号、帝号、年号、书名等等，以及古今意义相同的词，都可保留，不用翻译。 删 即通过删去无法翻译的文言词语来翻译古文。如无法译出的文言虚词。 增 即通过增加词语来翻译文言文语句。（1）便单音词为双音词（2）补出省略句中的省略成分（3）补出省略了的句子 换 即将文言语句中的字词转换成现代汉语中的词语。如把”岁”换成“年”，“布衣”换成“平民”，把“尔、汝”等换成“你”。 调
小学语文.六年级.文言文阅读一.教师版
文言文的来历 第一个“文”，是书面文章的意思。 “言”，是写、表述、记载等的意思。 “文言”，即书面语言，“文言”是相对于“口头语言”而言，“口头语言”也叫“白话”。 最后一个“文”，是作品、文章等的意思，表示的是文种。 “文言文”的意思就是指“用书面语言写成的文章”。 “白话文”的意思就是：“使用常用的直白的口头语言写成的文章”。比如像说现在的，“你吃饭 了吗？”。 在我国古代，要表述同一件事，用“口头语言”（口语）和用“书面语言”（书面语）来表述， 是不同的，比如，想问某人是否吃饭了，用口头语言表述，是“吃饭了吗？”，而用书面语言进 行表述，却是“饭否？”。“饭否”就是文言文，这里，“饭”名词作动词用，意思为吃饭。 中国在1919年以前，所有的文章都是用文言文书面语言写成的。现在我们一般将“古文”称为 “文言文”。 在中华数千年历史中，语言的口语变化非常大，可是文言文却保持相近的格式。 文言文能让不同语言使用者“笔谈”，是一种具有固定格式、却不会非常困难的沟通方法。 文言文常用实词解释 【概念解释】 实词有实在意义，能够单独充当句子成分一般能单独回答问题。 实词包括名词、动词、形容词、数词、量词、代词六类。 在文言文中，实词是大量的，掌握较多的文言实词，是提高阅读文言文能力的关键。学习文言实词，应特别注意它在语法上的三个主要特点：一是一词多义，二是词义的古今变化，三是词性的活用。 【实词辨析】 1. 识别通假字，掌握其本字、读音和意义。古今通假现象是一个很复杂的问题，对于我们来说，一要掌握通假现象的原则，即通假字和本字读音必须相同或相近，如“便要还家，设酒杀鸡作食”中“要”通“邀”，读作“yāo”；二要靠平时积累，牢记所学课文中注释所指出的通假字。注意，如果通假字与本字读音不同，应读本字的现代读音。如“火齐之所及也”中“齐”通“剂”，应读“jì”。 2. 辨析词的古今义，古今异义的词语是学习文言文的重点之一。一要注意古今词义的差别，积累课内所学课文中的古今异义词，如“太行、王屋二山，方七百里，高万仞，本在冀州之南，河阳之北；”中“河”专指“黄河”；而现在已是一个普通名词，成为河流的通名。再如：“扁鹊望桓侯而还走”中“走”是“跑”的意思；现代汉语中的含义是“行走”。二要注意不要把连在一起的两个文言单音词
小奥数论整除和余数知识点总结及例题
小奥数论整除和余数知识 点总结及例题 Prepared on 21 November 2021
1.数论——数的整除和余数 2.1基本概念和基本性质 整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b 整除，或者说b能整除a。 b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；ba，不能整除； ①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯 定是a的倍数； ②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c); ③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能 整除c; ④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能 整除c，且ab互质，则ab的积能整除c; ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。 173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9； 简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x 再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。 从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除； 奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。余数的判断法与整数位的判断法一致。 2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）
从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除； 两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。 ① 一般求空格数 如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。注意，如果这个数加或减7后为1到9间的自然数，则加或减7后的这个数也为正确答案。 395864□82365，答案为5 463925□01234，答案为1和8 ② 特殊求空格数 根据整除的因数性，如果1个数能被1001整除，则这个数能被7、11、13、77、91、143整除，因为： 7×11×13=1001; 77×13=1001; 99×11=1001; 7×143=1001; 根据abc → abc → =abc → ×1001; aaa → aaa → =aaa → ×1001;求能被7整除的空格数 系列截判法（用以判别能否被9/99/999整除） 除数是几位数就可以从右往左几位一截，将截取的段位数相加再截取，直至不能再截取，看相应的数能否被相应的除数9/99/999整除。 除数是11时，也可以用两位一截判别法，因为根据整数的因数性，能被99整除的数，肯定能被11整除。 例如： 2.3余数的判别法 ① 整除是余数为0的情况。a ÷b=c …..0； 此时，a=b ×c;b=a ÷c
文言文翻译教师版
山东省沾化县第二中学2011级 高三语文复习学案 姓名使用时间2014年3月日编号 课题文言文翻译编制人吴春娥 审核人高三语文组 课标要求引导学生增强应用意识，在广泛的实践中理解并翻译文中的句子。学习目标1、通过自主学习，合作探究，掌握文言文翻译的方法。 2、通过当堂检测，熟练运用方法，规范答题。 评价设计目标1：课堂探究1、2、3 目标2：当堂达标检测 课堂探究学生纠错 （教师点拨）一、利用积累，把握文意。 ⑴乐广善清言而不长于笔，请潘岳为表。岳曰：“当得君意。” 广乃作二百句语，述之志。岳因取其意，便成名笔。时人咸云： “若广不假岳之文，岳不取广之旨，无以成斯美矣。”（《晋书·乐 广传》） 译文：乐广擅长清言，却不能操笔，请潘岳替自己作表。潘岳说： “我应当得知你的心意。”乐广于是口述二百多句话来表述自己 的心志。潘岳于是取乐广的意思加以整理，就写成了名作。当时 人都评论说：“如果乐广不借助潘岳之笔，而潘岳不取乐广的意 旨，也就无法成就这样的美文。” ⑵（2012高考广东卷）道光五年，调江苏。先是洪泽湖决， 漕运梗阻，大学士英和陈海运策，而中外纷议挠之。澍亲赴上海， 筹雇商船。（《清史稿·陶澍传》） 译文：道光五年，陶澍被调任到江苏任职。一开始洪泽湖决堤， 漕运不通，大学士英和上书提出海运策略，但是朝廷内外纷纷议 论并阻挠他。陶澍毅然承受了这个重任，亲自去上海筹措雇佣商 船。 总结：注重积累.(课本、练习题)。建议：把训练题中的典型句整 理到笔记本上，常读常记，做到耳熟能详。 二、借助语法，解字释句。 ⑴（2013高考江苏卷）李丰，字安国。明帝即尊位，得吴降人，问：“江东闻中国名士为谁？”降人云：“闻有李安国者。”是时丰为黄门郎，明帝问左右安国所在，左右以丰对。帝曰：“丰名乃被于吴越邪？”（《三国志》注引《魏略》） 译文：李丰，字安国。明帝登上了帝位，有一次见到一位吴国投降的人，问道：“你在江东时，听到中原地区谁称得上名士啊？”投降的人回答说：“我听说过李安国。”这个时候，李丰担任黄门郎，魏明帝问左右臣子“安国”在哪里，左右臣子用“李丰”来回答。明帝说：“李丰的名声竟然遍布整个吴越地区了吗？” ⑵太宗闻诸曹案典，多有受赂者，乃遣人以财物试之。门令史受馈绢一匹，太宗怒，将杀之，矩进谏曰：“陛下陷人以罪，恐非导德齐礼之义。”太宗纳其言，因召百僚谓曰：“裴矩能廷折，不肯面从。每事如此，天下何忧不治！”（《旧唐书·裴矩传》） 译文：唐太宗有一次听说许多案件都有受贿的人，就派人用财物去试探他们。有个官员接受了馈赠的一匹丝绢，太宗很生气，将要杀了他，裴矩进谏说：“陛下您用罪来陷害别人，恐怕不合礼仪。”太宗采纳了他的意见，于是召集百官说：“裴矩竟然能够当廷辩驳，不肯当面顺从。如果每件事能象这样，何愁天下不能治理好！” 总结：注重语法。 据词性辨义，据成分释句。 三、关注语境，前后印证。 ⑴颜之仪，字子升。宣帝即位，迁上仪同大将军、御正中大夫，进爵为公，增邑一千户。帝后昏纵日甚，之仪犯颜骤谏，虽不见纳，终亦不止。（《周书》列传第三十二） 译文：宣帝即位，晋升为上仪同大将军、御正中大夫，进爵为公，增加食邑一千户。宣帝其后越来越昏纵，颜之仪冒犯主上的尊严屡次进谏，虽然未被采纳，始终未停止上谏言。 ⑵辛毗字佐治，颍川阳翟人也。绍薨而辅其长子谭。及绍二子尚攻兄谭，谭使毗诣太祖，曰：“今河北岁凶，而袁氏兄弟龃龉，有违天道，此乃天亡尚之时也。他年或登，尚改修其德，失所以用兵之要矣。”太祖称善。(《三国志·辛毗传》) 译文：袁绍死后他辅佐袁绍的长子袁谭。等后来袁绍的二儿子袁尚攻打兄长袁谭，袁谭派辛毗向太祖求救。辛毗说：“现在河北年成不好，袁氏兄弟又相互争斗，有违天道，这是老天灭亡袁尚的时候。来年如果收成好了，袁尚修改他的德行，你就会失去用
文言文答题技巧(教师版)教学提纲
文言文答题技巧(教师 版)
文言文的答题技巧 第一步: 仔细分析标题 一般而言，课外文言文阅读文段都会给出标题。要留意并仔细分析文段的标题。因为大部分标题本身就概括了文言文的主要内容。理解题目可以帮助学生理解材料的内容，从而帮助题目答题。 第二步: 结合注释速读全文 文言文阅读文段，对于一些难懂的文言字词一般都会给出注释。这些注释有助于考生准确理解文言文的主要内容。所以，考生千万别忽略这些注释，而应结合注释速读全文。另外需要注意的是，考生在阅读全文的过程中，碰到“拦路虎”千万别停下来苦苦思索，而应继续阅读。总之，速读全文，不求完全读懂，能明白文章的大致意思就可以了。 第三步:快速浏览题目 课外文言文阅读试题有个特点：有的题目选项出示了文中某些关键字词的意思，有的题目则提示了文言文的主要内容。浏览题目有助于考生初步了解文言文的大致意思。所以，接到课外文言文阅读文段，应该快速浏览文段后的题目。 第四步:“对症下药”解答问题 课外文言文阅读问题设计有三种类型，即词语解释题、句子翻译题和内容理解题。对于不同的题目则采用不同的解题方法： 1、词语解释题。这是典型的“题目在课外，答案在课内”题目。这类题目多数是考查文言实词中一词多义的现象，而这些文言实词基本上都是在课内文言文中学习过的。解题时，应先套用已经学习过的文言实词的意思，再联系上下文检验，经检验意思通顺，则为正确答案。 2、句子翻译题。翻译句子应该在直译的基础上意译。首先，在草稿上把关键的字词的意思解释出来(直译)；然后，将句子的大致意思写出来(意译)。二是文言文中有些特殊句式(如主谓倒装、宾语前置、状语后置等倒装句)和现代汉语的语序不一样，翻译时要作适当的调整。 3、内容理解题。解决这种类型的题目有三种方法：第一，引用原文句子回答；第二，摘录原文关键的词语回答；第三，用自己的话组织文字回答。三种方法，采用第 一、二种方法回答的准确率一般会比较高。 4、开放性理解题的解题方法。 （1）第一类的解题方法——说说对文中人物的评价、观点或看法。解题时，首先应该读懂文章，弄清文章的人物究竟是怎样的人，作者对他的基本态度是什么，是肯定还是否定，是赞赏还是批评等问题。 （2）第二类解题方法—结合自身或现实，谈谈读后的启示或收获。在中考中，重点是考查从作品中获得人生观、世界观、美好品德、某种精神方面的启示或收获。 ①读原文，看文章是赞美或宣扬哪一种人生观、世界观、品质、精神。 ②作判断，这些的一切在当今社会是否值得提倡，我们又该如何云改正或抵制。 (一)《宋学士文集》 王冕者，诸暨(1)人。七八岁时，父命牧牛陇（2）上，窃入学舍，听诸生诵书；听已，辄默记。暮归，忘其牛，或牵牛来责蹊田（3）。父怒，挞之。已而复如初。母曰：“儿痴如此，曷不听其所为？” 冕因去，依僧寺以居。夜潜出，坐佛膝上，执策（4）映长明灯读之，琅琅达旦。佛像多土偶，狞恶可怖，；冕小儿，恬若不见。安阳韩性（5）闻而异之，录为弟子，学遂为通儒（6）。 译文：王冕是诸暨县人。七八岁时，父亲叫他在田埂上放牛，他偷偷地跑进学堂，去听学生念书。听完以后，总是默默地记住。傍晚回家，他把放牧的牛都忘记了。王冕的父亲大怒，打了王冕一顿。过后，他仍是这样。他的母亲说：“这孩子想读书这样入迷，何不由着他呢？”王冕于是离开家，寄住在寺庙里。一到夜里，他就暗暗地走出来，坐在佛像的膝盖上，手里拿着书就着佛像前长明灯的灯光诵读，书声琅琅一直读到天亮。佛像多是泥塑的，一个个面目狰狞凶恶，令人害怕。王冕虽是小