圆幂定理讲义(带答案)

圆幂定理

STEP 1:进门考

理念:1、检测垂径定理得基本知识点与题型。

2、垂径定理典型例题得回顾检测。

3、分析学生圆部分得薄弱环节。

(1)例题复习。

(2015?夏津县一模)一副量角器与一块含30°锐角得三角板如图所示放置,三角板得直角顶点C落在量角器得直径MN上,顶点A,B恰好都落在量角器得圆弧上,且AB∥MN.若AB=8cm,则量角器得直径MN= cm.

【考点】M3:垂径定理得应用;KQ:勾股定理;T7:解直角三角形.

【分析】作CD⊥AB于点D,取圆心O,连接OA,作OE⊥AB于点E,首先求得CD得长,即OE得长,在直角△AOE中,利用勾股定理求得半径OA得长,则MN即可求解.

【解答】解:作CD⊥AB于点D,取圆心O,连接OA,作OE⊥AB于点E.

在直角△ABC中,∠A=30°,则BC=AB=4cm, 在直角△BCD中,∠B=90°﹣∠A=60°,

∴CD=BC?sinB=4×=2(cm), ∴OE=CD=2,

在△AOE中,AE=AB=4cm,

则OA===2(cm), 则MN=2OA=4(cm).故答案就是:4.

【点评】本题考查了垂径定理得应用,在半径或直径、弦长以及弦心距之间得计算中,常用得方法就是转化为解直角三角形.

2.(2017?阿坝州)如图将半径为2cm得圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB得长为( )

A.2cm

B.cm

C.2cm

D.2cm

【考点】M2:垂径定理;PB:翻折变换(折叠问题).

【分析】通过作辅助线,过点O作OD⊥AB交AB于点D,根据折叠得性质可知OA=2OD,根据勾股定理可将AD得长求出,通过垂径定理可求出AB得长.

【解答】解:过点O作OD⊥AB交AB于点D,连接OA,

∵OA=2OD=2cm, ∴AD===(cm),

∵OD⊥AB, ∴AB=2AD=2cm. 故选:D.

【点评】本题考查了垂径定理与勾股定理得运用,正确应用勾股定理就是解题关键.

(2014?泸州)如图,在平面直角坐标系中,⊙P得圆心坐标就是(3,a)(a ＞3),半径为3,函数y=x得图象被⊙P截得得弦AB得长为,则a得值就是( )

A.4

B.

C.

D.

【考点】M2:垂径定理;F8:一次函数图象上点得坐标特征;KQ:勾股定理.

【专题】11 :计算题;16 :压轴题.

【分析】PC⊥x轴于C,交AB于D,作PE⊥AB于E,连结PB,由于OC=3,PC=a,易得D点坐标为(3,3),则△OCD为等腰直角三角形,△PED也为等腰直角三角形.由PE⊥AB,根据垂径定理得

AE=BE=AB=2,在Rt△PBE中,利用勾股定理可计算出PE=1,则PD=PE=,所以a=3+.

【解答】解:作PC⊥x轴于C,交AB于D,作PE⊥AB于E,连结PB,如图,

∵⊙P得圆心坐标就是(3,a), ∴OC=3,PC=a,

把x=3代入y=x得y=3, ∴D点坐标为(3,3), ∴CD=3,

∴△OCD为等腰直角三角形, ∴△PED也为等腰直角三角形,

∵PE⊥AB, ∴AE=BE=AB=×4=2, 在Rt△PBE中,PB=3,

∴PE=, ∴PD=PE=, ∴a=3+. 故选:B.

【点评】本题考查了垂径定理:垂直于弦得直径平分这条弦,并且平分弦所对得两条弧.也考查了勾股定理与等腰直角三角形得性质.

(2013?内江)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心得圆过点A(13,0),直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点,则弦BC得长得最小值为.

【考点】FI:一次函数综合题.

【专题】16 :压轴题.

【分析】根据直线y=kx﹣3k+4必过点D(3,4),求出最短得弦CB就是过点D且与该圆直径垂直得弦,再求出OD得长,再根据以原点O为圆心得圆过点A(13,0),求出OB得长,再利用勾股定理求出BD,即可得出答案.

【解答】解:∵直线y=kx﹣3k+4=k(x﹣3)+4, ∴k(x﹣3)=y﹣4,

∵k有无数个值, ∴x﹣3=0,y﹣4=0,解得x=3,y=4,

∴直线必过点D(3,4), ∴最短得弦CB就是过点D且与该圆直径垂直得弦,

∵点D得坐标就是(3,4), ∴OD=5,

∵以原点O为圆心得圆过点A(13,0), ∴圆得半径为13,

∴OB=13, ∴BD=12, ∴BC得长得最小值为24; 故答案为:24.

【点评】此题考查了一次函数得综合,用到得知识点就是垂径定理、勾股定理、圆得有关性质,关键就是求出BC最短时得位置.

STEP 2:新课讲解

1、熟练掌握圆幂定理得基本概念。

2、熟悉有关圆幂定理得相关题型,出题形式与解题思路。

3、能够用自己得话叙述圆幂定理得概念。

4、通过课上例题,结合课下练习。掌握此部分得知识。

一、相交弦定理

?基本题型:

(2014秋?江阴市期中)如图,⊙O得弦AB、CD相交于点P,若AP=3,BP=4,CP=2,则CD长为( )

A.6

B.12

C.8

D.不能确定

【考点】M7:相交弦定理.

【专题】11 :计算题.

【分析】由相交线定理可得出AP?BP=CP?DP,再根据AP=3,BP=4,CP=2,可得出PD得长,从而得出CD即可.

【解答】解:∵AP?BP=CP?DP,

∴PD=,

∵AP=3,BP=4,CP=2,

∴PD=6,

相交弦定理

(1)相交弦定理:圆内得两条相交弦,被交点分成得两条线段长得积相等.(经过圆内一点引两

条线,各弦被这点所分成得两段得积相等).

几何语言:若弦AB、CD交于点P,则PA?PB=PC?PD(相交弦定理)

(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦得一半就是它分直径所成

得两条线段得比例中项.

几何语言:若AB就是直径,CD垂直AB于点P,则PC2=PA?PB(相交弦定理推论).

∴CD=PC+PD=2+6=8.

故选C.

【点评】本题考查了相交线定理,圆内两条弦相交,被交点分成得两条线段得积相等.

(2015?南长区一模)如图,矩形ABCD为⊙O得内接四边形,AB=2,BC=3,点E为BC上一点,且BE=1,延长AE交⊙O于点F,则线段AF得长为( )

A. B.5 C.+1 D.

【考点】M7:相交弦定理.

【分析】由矩形得性质与勾股定理求出AE,再由相交弦定理求出EF,即可得出AF得长.

【解答】解:∵四边形ABCD就是矩形,

∴∠B=90°,

∴AE===,

∵BC=3,BE=1,∴CE=2,

由相交弦定理得:AE?EF=BE?CE,

∴EF==,

∴AF=AE+EF=;

故选:A.

【点评】本题考查了矩形得性质、勾股定理、相交弦定理;熟练掌握矩形得性质与相交弦定理,并能进行推理计算就是解决问题得关键.

?综合题型

(2004?福州)如图,AB就是⊙O得直径,M就是⊙O上一点,MN⊥AB,垂足

为N.P、Q分别就是、上一点(不与端点重合),如果∠MNP=∠MNQ,下面结

论:①∠1=∠2;②∠P+∠Q=180°;③∠Q=∠PMN;④PM=QM;⑤MN2=PN?QN.其中正确得就是( )

A.①②③

B.①③⑤

C.④⑤

D.①②⑤

【考点】M7:相交弦定理;M2:垂径定理;M4:圆心角、弧、弦得关系;M5:圆周角定理;S9:相似三角形得判定与性质.

【专题】16 :压轴题.

【分析】根据圆周角定理及已知对各个结论进行分析,从而得到答案.

【解答】解:延长MN交圆于点W,延长QN交圆于点E,延长PN交圆于点F,连接PE,QF

∵∠PNM=∠QNM,MN⊥AB,

∴∠1=∠2(故①正确),

∵∠2与∠ANE就是对顶角,

∴∠1=∠ANE,

∵AB就是直径,

∴可得PN=EN,

同理NQ=NF,

∵点N就是MW得中点,MN?NW=MN2=PN?NF=EN?NQ=PN?QN(故⑤正确),

∴MN:NQ=PN:MN,

∵∠PNM=∠QNM,

∴△NPM∽△NMQ,

∴∠Q=∠PMN(故③正确).

故选B.

【点评】本题利用了相交弦定理,相似三角形得判定与性质,垂径定理求解.

?与代数结合得综合题

(2016?中山市模拟)如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧AB上,连接DP,交AC于点Q.若QP=QO,则得值为( )

A. B. C. D.

【考点】M7:相交弦定理;KQ:勾股定理.

【专题】11 :计算题.

【分析】设⊙O得半径为r,QO=m,则QP=m,QC=r+m,QA=r﹣m.利用相交弦定理,求出m与r得关系,即用r表示出m,即可表示出所求比值.

【解答】解:如图,设⊙O得半径为r,QO=m,则QP=m,QC=r+m,

QA=r﹣m.

在⊙O中,根据相交弦定理,得QA?QC=QP?QD.

即(r﹣m)(r+m)=m?QD,所以QD=.

连接DO,由勾股定理,得QD2=DO2+QO2,

即,

解得

所以,

故选D.

【点评】本题考查了相交弦定理,即“圆内两弦相交于圆内一点,各弦被这点所分得得两线段得长得乘积相等”.熟记并灵活应用定理就是解题得关键.

?需要做辅助线得综合题

(2008秋?苏州期末)如图,⊙O过M点,⊙M交⊙O于A,延长⊙O得直径AB交⊙M于C,若AB=8,BC=1,则AM= .

【考点】M7:相交弦定理;KQ:勾股定理;M5:圆周角定理.

【分析】根据相交弦定理可证AB?BC=EB?BF=(EM+MB)(MF﹣MB)=AM2﹣MB2=8,又由直径对得圆周角就是直角,用勾股定理即可求解AM=6.

【解答】解:作过点M、B得直径EF,交圆于点E、F,

则EM=MA=MF,

由相交弦定理知,AB?BC=EB?BF=(EM+MB)(MF﹣MB)=AM2﹣MB2=8,

∵AB就是圆O得直径,

∴∠AMB=90°,

由勾股定理得,AM2+MB2=AB2=64,

∴AM=6.

【点评】本题利用了相交弦定理,直径对得圆周角就是直角,勾股定理求解.

二、割线定理

?基本题型

(1998?绍兴)如图,过点P作⊙O得两条割线分别交⊙O于点A、B与点

C、D,已知PA=3,AB=PC=2,则PD得长就是( )

A.3

B.7、5

C.5

D.5、5

【考点】MH:切割线定理.

【分析】由已知可得PB得长,再根据割线定理得PA?PB=PC?PD即可求得PD得长.

【解答】解:∵PA=3,AB=PC=2,

∴PB=5,

割线定理

割线定理:从圆外一点引圆得两条割线,这一点到每条割线与圆得交点得两条线段长得积相等.

几何语言:

∵PBA,PDC就是⊙O得割线

∴PD?PC=PA?PB(割线定理)

由上可知:PT2=PA?PB=PC?PD.

∵PA?PB=PC?PD,

∴PD=7、5,

故选B.

【点评】主要就是考查了割线定理得运用.

(2003?天津)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以点C为圆心、CA为半径得圆与AB、BC分别交于点D、E.求AB、AD得长.

【考点】MH:切割线定理;KQ:勾股定理.

【分析】Rt△ABC中,由勾股定理可直接求得AB得长;

延长BC交⊙C于点F,根据割线定理,得BE?BF=BD?BA,由此可求出BD得长,进而可求得AD 得长.

【解答】解:法1:在Rt△ABC中,AC=3,BC=4;

根据勾股定理,得AB=5.

延长BC交⊙C于点F,则有:

EC=CF=AC=3(⊙C得半径),

BE=BC﹣EC=1,BF=BC+CF=7;

由割线定理得,BE?BF=BD?BA,

于就是BD=;

所以AD=AB﹣BD=;

法2:过C作CM⊥AB,交AB于点M,如图所示,

由垂径定理可得M为AD得中点,

∵S△ABC=AC?BC=AB?CM,且AC=3,BC=4,AB=5,

∴CM=,

在Rt△ACM中,根据勾股定理得:AC2=AM2+CM2,即9=AM2+()2,

解得:AM=,

∴AD=2AM=.

【点评】此题主要考查学生对勾股定理及割线定理得理解及运用.

?综合题型

(2015?武汉校级模拟)如图,两同心圆间得圆环得面积为16π,过小圆上任意一点P作大圆得弦AB,则PA?PB得值就是( )

A.16

B.16π

C.4

D.4π

【考点】MH:切割线定理.

【分析】过P点作大圆得直径CD,如图,设大圆半径为R,小圆半径为r,根据相交弦定理得到PA?PB=(OC﹣OP)?(OP+OD)=R2﹣r2,再利用πR2﹣πr2=16π得到R2﹣r2=16,所以PA?PB=16.

【解答】解:过P点作大圆得直径CD,如图,设大圆半径为R,小圆半径为r,

∵PA?PB=PC?PD,

∴PA?PB=(OC﹣OP)?(OP+OD)

=(R﹣r)(R+r)

=R2﹣r2,

∵两同心圆间得圆环(即图中阴影部分)得面积为16π,

∴πR2﹣πr2=16π,

∴R2﹣r2=16,

∴PA?PB=16.

故选A.

【点评】本题考查了垂径定理:平分弦得直径平分这条弦,并且平分弦所对得两条弧.也考查了相交弦定理.

【思考】观察讲义课后练习最后一道题,就是否有思路？

三、切割线定理

(2013?长清区二模)如图,PA为⊙O得切线,A为切点,⊙O得割线PBC 过点O与⊙O分别交于B、C,PA=8cm,PB=4cm,求⊙O得半径.

【考点】MH:切割线定理.

【专题】11 :计算题.

【分析】连接OA,设⊙O得半径为rcm,由勾股定理,列式计算即可.

【解答】解:连接OA,

设⊙O得半径为rcm,(2分)

则r2+82=(r+4)2,(4分)

解得r=6,∴⊙O得半径为6cm.(2分)

【点评】本题考查得就是切割线定理,勾股定理,就是基础知识要熟练掌握.

(2013秋?东台市期中)如图,点P就是⊙O直径AB得延长线上一点,PC切⊙O于点C,已知OB=3,PB=2.则PC等于( )

切割线定理

切割线定理:从圆外一点引圆得两条割线,这一点到每条割线与圆得交点得两条线段长得积相等.

几何语言:

∵PBA,PDC就是⊙O得割线

∴PD?PC=PA?PB(割线定理)

由上可知:PT2=PA?PB=PC?PD.

A.2

B.3

C.4

D.5

【考点】MH:切割线定理.

【专题】11 :计算题.

【分析】根据题意可得出PC2=PB?PA,再由OB=3,PB=2,则PA=8,代入可求出PC.

【解答】解:∵PC、PB分别为⊙O得切线与割线,∴PC2=PB?PA,

∵OB=3,PB=2,∴PA=8,∴PC2=PB?PA=2×8=16,∴PC=4.

故选C.

【点评】本题考查了切割线定理,熟记切割线定理得公式PC2=PB?PA.

四、切线长定理

切割线定理

(1)圆得切线长定义:经过圆外一点作圆得切线,这点与切点之间得线段得长,叫做这点到圆

得切线长.

(2)切线长定理:从圆外一点引圆得两条切线,它们得切线长相等,圆心与这一点得连线,平分

两条切线得夹角.

(3)注意:切线与切线长就是两个不同得概念,切线就是直线,不能度量;切线长就是线段得长,

这条线段得两个端点分别就是圆外一点与切点,可以度量.

(4)切线长定理包含着一些隐含结论:

①垂直关系三处;

②全等关系三对;

③弧相等关系两对,在一些证明求解问题中经常用到.

(2015?秦皇岛校级模拟)如图,一圆内切四边形ABCD,且BC=10,AD=7,则四边形得周长为( )

A.32

B.34

C.36

D.38

【考点】MG:切线长定理.

【分析】根据切线长定理,可以证明圆外切四边形得性质:圆外切四边形得两组对边与相等,从而可求得四边形得周长.

【解答】解:由题意可得圆外切四边形得两组对边与相等,

所以四边形得周长=2×(7+10)=34.

故选:B.

【点评】此题主要考查了切线长定理,熟悉圆外切四边形得性质:圆外切四边形得两组对边与相等就是解题关键.

(2015?岳池县模拟)如图,PA,PB切⊙O于A,B两点,CD切⊙O于点E 交PA,PB于C,D,若⊙O得半径为r,△PCD得周长为3r,连接OA,OP,则得值就是( )

A. B. C. D.

【考点】MG:切线长定理;MC:切线得性质.

【分析】利用切线长定理得出CA=CF,DF=DB,PA=PB,进而得出PA=r,求出即可.

【解答】解:∵PA,PB切⊙O于A,B两点,CD切⊙O于点E交PA,PB于C,D,

∴CA=CF,DF=DB,PA=PB,

∴PC+CF+DF+PD=PA=PB=2PA=3r,

∴PA=r,

则得值就是:=.

故选:D.

【点评】此题主要考查了切线长定理,得出PA得长就是解题关键.

(2014秋?夏津县校级期末)如图,P为⊙O外一点,PA,PB分别切⊙O于A,B,CD切⊙O于点E,分别交PA,PB于点C,D.若PA=5,则△PCD得周长与∠COD 分别为( )

A.5,(90°+∠P)

B.7,90°+

C.10,90°﹣∠P

D.10,90°+∠P

【考点】MG:切线长定理.

【分析】根据切线长定理,即可得到PA=PB,ED=AD,CE=BC,从而求得三角形得周长=2PA;连接OA、OE、OB根据切线性质,∠P+∠AOB=180°,再根据CD为切线可知∠COD=∠AOB.

【解答】解:∵PA、PB切⊙O于A、B,CD切⊙O于E,

∴PA=PB=10,ED=AD,CE=BC;

∴△PCD得周长=PD+DE+PC+CE=2PA,即△PCD得周长=2PA=10,;

如图,连接OA、OE、OB.

由切线性质得,OA⊥PA,OB⊥PB,OE⊥CD,DB=DE,AC=CE,

∵AO=OE=OB,

易证△AOC≌△EOC(SAS),△EOD≌△BOD(SAS),

∴∠AOC=∠EOC,∠EOD=∠BOD,

∴∠COD=∠AOB,

∴∠AOB=180°﹣∠P,

∴∠COD=90°﹣∠P.

故选:C.

【点评】本题考查了切线得性质,运用切线得性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心与切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题,就是基础题型.

五、圆幂定理

请尝试解出下列例题:

(2005?广州)如图,在直径为6得半圆上有两动点M、N,弦AM、BN 相交于点P,则AP?AM+BP?BN得值为.

【考点】M7:相交弦定理;KQ:勾股定理;M5:圆周角定理.

【专题】16 :压轴题;25 :动点型.

【分析】连接AN、BM,根据圆周角定理,由AB就是直径,可证∠AMB=90°,由勾股定理知,BP2=MP2+BM2,由相交弦定理知,AP?PM=BP?PN,原式=AP(AP+PM)+BP(BP+PN)=AP2+AP?PM+BP2+BP?PN=AP2+BP2+2AP?PM=AP2+MP2+BM2+2AP?PM=AP2 +(AP+PM)2=AP2+AM2=AB2=36.

【解答】解:连接AN、BM,

∵AB就是直径,

∴∠AMB=90°.

∴BP 2=MP 2+BM 2

∵AP ?PM=BP ?PN

原式=AP(AP+PM)+BP(BP+PN)=AP 2+AP ?PM+BP 2+BP ?PN

=AP 2+BP 2+2AP ?PM

=AP 2+MP 2+BM 2+2AP ?PM

=BM 2+(AP+PM)2=BM 2+AM 2=AB 2=36.

【点评】本题利用了圆周角定理与相交弦定理,勾股定理求解.

以上四条定理统称为圆幂定理。(部分参考书以前三条为圆幂定理)

圆幂定理:过平面内任一点P(P 与圆心O 不重合)做⊙O 得(切)割线,交⊙O 与点A 、B,则恒有22r OP PB PA -=?。(“22r OP -”被称为点P 到⊙O 得幂。)

STEP 3:落实巩固——查漏补缺

理念:找到自己本节课得薄弱环节。

STEP 4:总结

理念:本结课复习了什么？学到了什么？

方法:学生口述+笔记记录。

STEP 5:课后练习

一.选择题(共5小题)

1.如图所示,已知⊙O中,弦AB,CD相交于点P,AP=6,BP=2,CP=4,则PD得长就是( )

A.6

B.5

C.4

D.3

【分析】可运用相交弦定理求解,圆内得弦AB,CD相交于P,因此AP?PB=CP?PD,代入已知数值计算即可.

【解答】解:由相交弦定理得AP?PB=CP?PD,

∵AP=6,BP=2,CP=4,

∴PD=AP?PB÷CP=6×2÷4=3.

故选D.

【点评】本题主要考查得就是相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点,各弦被这点所分得得两线段得长得乘积相等”.

2.⊙O得两条弦AB与CD相交于点P,PA=3cm,PB=4cm,PC=2cm,则CD=( )

A.12cm

B.6cm

C.8cm

D.7cm

【分析】根据相交弦定理进行计算.

【解答】解:由相交弦定理得:PA?PB=PC?PD,

∴DP===6cm,CD=PC+PD=2+6=8cm.故选C.

【点评】本题主要就是根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点,各弦被这点所分得得两线段得长得乘积相等”进行计算.

3.如图,⊙O中,弦AB与直径CD相交于点P,且PA=4,PB=6,PD=2,则⊙O得半径为( )

圆幂定理

圆幂定理 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等。 定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等） 几何语言：若弦AB、CD交于点P则PA·PB=PC·PD（相交弦定理） 概述 相交弦定理为圆幂定理之一，其他两条定理为： 切割线定理 割线定理 2证明 证明：连结AC，BD 由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.）∴△PAC∽△PDB ∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD 注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。 P 不是圆心 3比较

切割线定理 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。 切割线定理示意图 几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=PA·PB（切割线定理） 推论： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 几何语言： ∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理） 由上可知:PT2=PA·PB=PC·PD 2证明 切割线定理证明: 设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT2=PA·PB

证明：连接AT, BT ∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理 ) 切割线定理的证明 ∠APT=∠APT(公共角) ∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似) 则PB：PT=PT：AP 即：PT2=PB·PA 3比较 相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求直线段长度。 割线定理：指的是从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等， 1定义 文字表达：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 数学语言：从圆外一点L引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有LA·LB=LC·LD=LT^2。如下图所示。(LT为切线）

《1.3.1圆幂定理》教学案3

《1.3.1圆幂定理》教学案 【教学目标】 1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解 决有关问题； 2.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的 观点的教育. 【教学重难点】 重点：相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用； 难点：灵活运用圆幂定理解题. 【教学过程】 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等. 或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等. 定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.(经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等) 几何语言：若弦AB、CD交于点P则P A·PB=PC·P D(相交弦定理) 2证明 证明：连结AC，BD 由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B.(圆 周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.) ∴△P AC∽△PDB ∴P A∶PD=PC∶PB，P A·PB=PC·PD 注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性.其逆定理也可用于证明四点共圆. 3比较 相交弦定理、切割线定理以及他们的推论统称为圆幂定理.一般用于求线段长度. 4相交弦定理推论 定理 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项. 说明几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则=P A·PB(相交弦定理推论)

切割线定理 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.是圆幂定理的一种. 切割线定理示意图 几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=P A·PB(切割线定理) 推论： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言： ∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD·PC=P A·PB(切割线定理推论)(割线定理) 由上可知:PT2=P A·PB=PC·PD 2证明 切割线定理证明: 设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT2=P A·PB 证明：连接AT，BT ∵∠PTB=∠P AT(弦切角定理 ) 切割线定理的证明 ∠APT=∠APT(公共角) ∴△PBT∽△PTA(两角对应相等，两三角形相似) 则PB：PT=PT：AP 即：PT2=PB·P A

圆知识梳理+题型归纳附答案_详细知识点归纳+中考真题

圆 【知识点梳理】 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外； A

三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d r > ? 无交点； 2、直线与圆相切 ? d r = ? 有一个交点； 3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点； 四、圆与圆的位置关系 外离（图1）? 无交点 ? d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+； 内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ? d R r <-； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧 AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 B D

初中数学中被删掉的有用知识圆幂定理及其应用

圆幂定理及其应用 教学目标 1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解决有关问题； 2.通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方法； 3.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的 观点的教育. 教学重点和难点 相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幂定理解题是难点. 教学过程设计 一、从学生原有的认知结构提出问题 1.根据图7-162(1)、(2)、(3)，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容. 2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系? 提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程，从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理. (1)如图7-163，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例： 一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则有PA＝PB＝PC＝PD＝圆的半径R，此时AB，CD 是直径，相交弦定理当然成立.(如图7-164)

二是当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PB＝PD＝O，仍然有PA·PB＝PC·PD＝O，相交弦定理仍然成立.(图7-165) (2)点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外 一点P，成为两条割线，则有PA·PB＝PC·PD，这就是我们学过 的切割线定理的推论(割线定理).(图7-166) (3)在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点 旋转，使C，D两点在圆上逐渐靠 近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有PA·PB＝PC·PD ＝PC2，这就是我们学过的切割线定理.(图7-167) (4)如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有PA2＝PB2，可 得PA＝PB，这就是我们学过的切线长定理.(图7-168) 至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和切线长定理之间有着密切的联系. 3.启发学生理解定理的实质. 经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169. 观察图7-169，可以得出：(设⊙O半径为R) 在图(1)中，PA·PB＝PC·PD＝PE·PF ＝(R-OP)(R+OP) ＝R2-OP2； 在图(2)中，PA·PB＝PT2＝OP2-OT2 ＝OP2-R2 在图(3)中，PA·PB＝PC·PD＝PT2 ＝OP2-R2. 教师指出，由于PA·PB均等于｜OP2-R2｜，为一常数，叫做点P关于⊙O的幂，所以相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理. 二、例题分析(采用师生共同探索、讲练结合的方式进行) 例1 如图7-170，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆

圆幂定理及其应用

[文件] sxc3jja0008.doc [科目] 数学 [年级] 初三 [章节] [关键词] 圆/圆幂定理/应用 [标题] 圆幂定理及其应用 [内容] 教学目标 1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解 决有关问题； 2.通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方 法； 3.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的 观点的教育. 教学重点和难点 相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幂定理解题是难点. 教学过程设计 一、从学生原有的认知结构提出问题 1.根据图7-162(1)、(2)、(3)，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容. 2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系? 提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程， 从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理. (1)如图7-163，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例： 一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则有PA＝PB＝PC＝PD＝圆的半径R，此时AB，CD是直径，相交弦定理当然成立.(如图7-164)

二是当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PB＝PD＝O，仍然有PA·PB＝PC·PD＝O，相交弦定理仍然成立.(图7-165) (2)点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外一 点P，成为两条割线，则有PA·PB＝PC·PD，这就是我们学过的 切割线定理的推论(割线定理).(图7-166) (3)在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋 转，使C，D两点在圆上逐渐靠 近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有PA·PB＝PC·PD ＝PC2，这就是我们学过的切割线定理.(图7-167) (4)如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有PA2＝PB2，可得PA＝PB，这就是我们学过的切线长定理.(图7-168) 至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和 切线长定理之间有着密切的联系. 3.启发学生理解定理的实质. 经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169. 观察图7-169，可以得出：(设⊙O半径为R) 在图(1)中，PA·PB＝PC·PD＝PE·PF ＝(R-OP)(R+OP) ＝R2-OP2；

数学竞赛辅导讲义——圆幂与根轴

数学竞赛辅导讲义——圆幂与根轴 一、圆幂的定义： 在平面上，从点P 作半径为r 的圆O 的割线，从P 起到和该圆周相交为止的两线段之积是一个定值，称为点P 对于此圆周的圆幂. 圆幂定理： （1）当P 在圆O 外时，点P 对于此圆的幂等于22OP r -； （2）当P 在圆O 内时，点P 对于此圆的幂等于22r OP -； （3）当P 在圆O 上时，规定：点P 对于此圆的幂等于0. 二、根轴及其性质 1.根轴的定义： 对于两个已知圆的圆幂相等的点的轨迹是一条直线，该直线称为这两圆的根轴. 2.根轴的性质： （1）若两圆1O 与2O 相离（半径分别为1r ，2r 且12r r ≤），点M 为12O O 的中点，点H 在 线段1O M 上，且2221122r r MH O O -=，则此两圆的根轴是过点H 且垂直于12O O 的直线.特别 地，当两圆相离且半径相等时，它们的根轴是线段12O O 的中垂线. （2）若两个圆是同心圆，则这两个圆不存在根轴. （3）若两个圆相交，则它们的公共弦所在的直线就是它们的根轴. （4）若两圆相切，则过两圆切点的公切线是它们的根轴. （5）若三个圆的圆心互不相同，则任意两个圆的根轴共三条直线，它们相交于一点或互相平行. （6）若两圆相离，则两圆的四条公切线的中点共线（都在根轴上）. 思考：能否从解析几何的角度看根轴？

三、例题 例1 如图，设I 和O 分别是ABC ?的内心和外心，r 和R 分别是ABC ?的内切圆和 外接圆的半径，过I 作ABC ?的外接圆的弦AK . 求证：（1）IK BK =； （2）2AI IK Rr ?=； （3）222OI R Rr =-.（欧拉公式） 例2 如图，设圆1O 与圆2O 相离，引它们的一条外公切线切圆1O 于A ，切圆2O 于B ， 又引它们的一条内公切线切圆1O 于C ，切圆2O 于D ， 求证：（1）AC BD ⊥；（2）直线12O O 是分别以AB ，CD 为直径的圆3O ，4O 的根轴；（3）直线AC 和BD 的交点K 在两圆的连心线12O O 上 . 例1 K

圆幂定理及其证明#(优选.)

圆幂的定义 假设平面上有一圆O，其半径为R，有一点P在圆O外，则OP^2-R^2即为P点到圆O的幂； 若P点在圆内，则圆幂为R^2-OP^2； 综上所述，圆幂为|OP^2-R^2|。 圆幂恒大于或等于零。 圆幂的由来 过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。则PA·PB=PC·PD。若圆半径为r，则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| （要加绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点P到圆O的幂。（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值） 若点P在圆内，类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2| 故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差，而过这一点引任意直线交圆于A、B，那么PA·PB等于圆幂的绝对值。 圆幂定理 定理内容 过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有 。[1] 圆幂定理的所有情况 考虑经过P点与圆心O的直线，设PO交⊙O与M、N，R为圆的半径，则有

圆幂定理的证明 图Ⅰ：相交弦定理。如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。相交于点P，连接AB、BD，由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以 。所以有： ，即： 图Ⅱ：割线定理。如图，连接AD、BC。可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，所以有 ，同上证得 图Ⅲ：切割线定理。如图，连接AC、AD。∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，因此有∠PAC=∠D，又因为∠P为公共角，所以有 易证

(完整)圆幂定理讲义(带答案)

(完整)圆幂定理讲义(带答案) 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)圆幂定理讲义(带答案)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)圆幂定理讲义(带答案)的全部内容。 1 / 29

圆幂定理 STEP 1:进门考 理念：1。检测垂径定理的基本知识点与题型。 2。垂径定理典型例题的回顾检测。 3. 分析学生圆部分的薄弱环节. (1）例题复习。 1.（2015?夏津县一模）一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径MN上，顶点A，B恰好都落在量角器 的圆弧上，且AB∥MN．若AB=8cm，则量角器的直径MN=cm． 【考点】M3：垂径定理的应用；KQ:勾股定理；T7：解直角三角形． 【分析】作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E,首先求得CD的长，即OE的长，在直角△A OE中，利用勾股定理求得半径OA的长,则MN即可求解． 【解答】解：作CD⊥AB于点D,取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E． 在直角△ABC中，∠A=30°，则BC=AB=4cm，在直角△BCD中,∠B=90°﹣∠A=60°， ∴CD=BC?sinB=4×=2(cm), ∴OE=CD=2, 在△AOE中，AE=AB=4cm, 则OA===2（cm），则MN=2OA=4（cm）．故答案是：4． 2 / 29

《1.3.1圆幂定理》教学案1

《1.3.1圆幂定理》教学案 教学目标 1．知识与技能：(1)理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；(2)学会作两条已知线段的比例中项； 2．过程与方法：师生互动，生生互动，共同探究新知； 3．情感、态度、价值观：通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法．教学重、难点 重点：正确理解相交弦定理及其推论 难点：相交弦定理及其推论的熟练运用 教学过程 前面讨论了与圆有关的角之间的关系.下面我们讨论与圆有关的线段的关系及其度量问题.下面沿用从特殊到一般地思路，讨论与圆的相交弦有关的问题. 探究1如图2-20，AB是⊙O的直径，CD⊥AB.AB与CD相交于P，线段P A、PB、PC、P D之间有什么关系？ ?=?(老师引导学生完成推导过程) . PA PB PC PD 探究2将图2-20中的AB向上(或向下)平移，使AB不再是直径(图2-21)，探究1的结论还成立吗？ 连接AD、BC，请同学们自己给出证明. 探究3如果CD与AB不垂直，如图2-22，CD、AB是圆内的任意两条相交弦，探究1的结论还成立吗？ 事实上，AB、CD是圆内的任意相交弦时，探究1仍然成立，而证方法不变.请同学们自己给出证明. 由上诉探究和论证，我们有 1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 探究4在图2-24中，使割线PB绕P运动到切线的位置(图2-25)，线段P A(或PB)、PC、P D之间有什么关系？ 2. =?(老师引导学生完成推导过程) PA PC PD

由上诉探究和论证，我们有 3.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 探究5下面对相交弦定理和切割弦定理作进一步分析： 由切割线定理和相交弦定理不难看出，不论点P在圆内或圆外，通过圆的任一条割线交圆于A，B两点，只要点P的位置确定了，则P A? PB都是定值. 设定植为k，则： 当点P在圆外时，如图，由切割线定理，可得 k = P A? PB = PT2= PO2- r2( r表示⊙O的半径 ) 当点P在圆内时，如图，过点P作AB垂直于OP，则： k = P A? PB = P A2= r2 - PO2( r表示⊙O的半径 ) 当点P在圆上时，显然k=0. 由上，我们可以得到： 圆幂定理： 已知⊙(O，r)，通过一定点的任意一条割线交圆于A，B两点，则： 当点P在圆外时，k= PO2- r2； 当点P在圆内时，k= r2- PO2； 当点P在⊙O上时，k= 0. 我们称定值k为点P对⊙O的“幂” 【自主检测】 1. 圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为_ ____. 2. 已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若P A·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_______. 3 . 若P A为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，P A=P C的长为_______. 4. AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，⊙O的切线EF和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF ＝______．

圆幂定理讲义带答案

圆幂定理 STEP 1:进门考 理念：1. 检测垂径定理的基本知识点与题型。 2. 垂径定理典型例题的回顾检测。 3. 分析学生圆部分的薄弱环节。 （1）例题复习。 1.（2015?夏津县一模）一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径MN上，顶点A，B恰好都落在量角器的圆弧上，且AB∥MN．若AB=8cm，则量角器的直径MN=cm． 【考点】M3：垂径定理的应用；KQ：勾股定理；T7：解直角三角形． 【分析】作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E，首先求得CD的长，即OE的长，在直角△AOE中，利用勾股定理求得半径OA的长，则MN即可求解． 【解答】解：作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E． 在直角△ABC中，∠A=30°，则BC=AB=4cm，在直角△BCD中，∠B=90°﹣∠A=60°，∴CD=BC?sinB=4×=2（cm），∴OE=CD=2， 在△AOE中，AE=AB=4cm， 则OA===2（cm），则MN=2OA=4（cm）．故答案是：4．

【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形．

2.（2017?阿坝州）如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（） A．2cm B．cm C．2cm D．2cm 【考点】M2：垂径定理；PB：翻折变换（折叠问题）． 【分析】通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长． 【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA， ∵OA=2OD=2cm，∴AD===（cm）， ∵OD⊥AB，∴AB=2AD=2cm．故选：D． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键． 3.（2014?泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）

专题13相似三角形定理与圆幂定理

专题十三相似三角形定理与圆幂定理 本专题主要复习相似三角形的进一步认识、圆的进一步的认识．通过本专题的复习，了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理．理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论．掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理．【知识要点】 1．相似三角形概念 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形是相似三角形． 相似比：相似三角形对应边的比． 2．相似三角形的判定 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两角对应相等两三角形相似)． 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似)． 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似)． 3．直角三角形相似的判定定理 直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似． 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 4．相似三角形的性质 相似三角形对应角相等，对应边成比例． 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．

相似三角形周长的比等于相似比． 相似三角形的面积比等于相似比的平方． 5．相关结论 平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例． 三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比． 经过梯形一腰中点而平行于底边的直线平分另一腰． 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． 若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行． 6．弦切角定理 弦切角定义：切线与弦所夹的角． 弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半． 7．圆内接四边形的性质 圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角． 8．圆幂定理 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D则有PA·PB＝PC·PD．【复习要求】 1．了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理． 2．理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推

圆幂定理(垂直弦定理)偏难

【例题求解】 【例1】 如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= ． (市中考题) 思路点拨 综合运用圆幂定理、勾股定理求PB 长． 注：比例线段是几之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段： (1)平行线分线段对应成比例； (2)相似三角形对应边成比例； (3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来； (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来． 【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于点E ，且与CD 相切，若AB=4，BE=5，则DE 的长为( ) A ．3 B ．4 C ． 415 D ．5 16 (全国初中数学联赛题) 思路点拨 连AC ，CE ，由条件可得多等线段，为切割线定理的运用创设条件．

注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键． 【例3】如图，△ABC接于⊙O，AB是∠O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B． (1)求证：PA是⊙O的切线； (2)如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，，AE：BE=2：3，求AB的长和∠ECB的正切值． (北京市海淀区中考题) 思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x、k处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x与k的关系，建立x或k的程． 【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE (省竞赛题) 思路点拨由切割线定理得EG2=EF·EP，要证明EG=D E，只需证明DE2=EF·EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明． 注：圆中的多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁． 需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几各种类型的问题

初三数学上册春季班培优讲义.第17讲 托勒密定理-测试题(含答案)【精品】

【精品】

（托勒密定理）四边形ABCD 内接于圆，求证：AC BD AD BC AB CD ?=?+ ?． 【解析】如图，在BD 上取一点P ，使其满足12∠=∠． ∵34∠=∠，∴ACD BCP △∽△，AC AD BC BP = ， 即AC BP AD BC ?=? ① 又ACB DCP ∠=∠，56∠=∠， ∴ACB DCP △∽△，AB AC DP CD = ，AC DP AB CD ?=?． ② ①+②，有AC BP AC PD AD BC AB CD ?+?=?+?． 即()AC BP PD AD BC AB CD +=?+?，故AC BD AD BC AB CD ?=?+?． 【教师备课提示】这道题主要考查利用圆幂定理证明四点共圆． （1）如图2-1，点P 为等边ABC △外接圆的?BC 上一点，线段PA 、PB 、PC 间的数量关系为____． （2）如图2-2，AB 为⊙O 的直径，∠ABD =45°，点C 为ABD △外接圆的?AB 上一点，线段CA 、CB 、CD 间的数量关系为____________． （3）如图2-3，30ABC ACB ∠=∠=?，点D 为ABC △外接圆的?BC 上一点，线段DA 、DB 、DC 间的数量关系为_____________． 图2-1 图2-2 图2-3 【解析】（1）PA PB PC =+；（2）2CA CB CD +=；（3）3DB DC DA +=． 【教师备课提示】这道题主要利用托勒密定理解决圆中的Y 字模型，建议讲2中方法． O D C B A B C P O g D A g O C D C A B D C 126345P A B

圆幂定理讲义(带答案解析)知识讲解

圆幂定理讲义(带答案 解析)

圆幂定理 STEP 1:进门考 理念：1. 检测垂径定理的基本知识点与题型。 2. 垂径定理典型例题的回顾检测。 3. 分析学生圆部分的薄弱环节。 （1）例题复习。 1.（2015?夏津县一模）一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径MN上，顶点A，B恰好都落在量角器的圆弧上，且AB∥MN．若AB=8cm，则量角器的直径MN= cm． 【考点】M3：垂径定理的应用；KQ：勾股定理；T7：解直角三角形． 【分析】作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E，首先求得CD的长，即OE的长，在直角△AOE中，利用勾股定理求得半径OA的长，则MN 即可求解． 【解答】解：作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E． 在直角△ABC中，∠A=30°，则BC=AB=4cm，在直角△BCD中，∠B=90°﹣∠A=60°， ∴CD=BC?sinB=4×=2（cm），∴OE=CD=2， 在△AOE中，AE=AB=4cm，

则OA===2（cm），则MN=2OA=4（cm）．故答案是：4． 【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形．

2.（2017?阿坝州）如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（） A．2cm B．cm C．2cm D．2cm 【考点】M2：垂径定理；PB：翻折变换（折叠问题）． 【分析】通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA， ∵OA=2OD=2cm，∴AD===（cm）， ∵OD⊥AB，∴AB=2AD=2cm．故选：D． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键． 3.（2014?泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）

【经典】圆的有关性质+知识点

圆的有关性质 一、〖知识点〗 圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质 〖大纲要求〗 1．正确理解和应用圆的点集定义，掌握点和圆的位置关系； 2．熟练地掌握确定一个圆的条件，即圆心、半径；直径；不在同一直线上三点。一个圆的圆心只确定圆的位置，而半径也只能确定圆的大小，两个条件确定一条直线，三个条件确定一个圆，过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一； 3．熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质：同（等）圆中半径相等、直径相等直径是半径的2倍；直径是最大的弦；圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线都是对称轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性；垂径定理及其推论；圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系； 4．掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角的定义及其度量；圆心角等于同（等）弧上的圆周角的2倍；同（等）弧上的圆周角相等；直径（半圆）上的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 5．掌握圆内接四边形的性质定理：它沟通了圆内外图形的关系，并能应用它解决有关问题； 6．注意：（1）垂径定理及其推论是指：一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦”③“平分这另一条弦”④“平分这另一条弦所对的劣弧”⑤“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制），条理性的记忆，不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据； （2）有弦可作弦心距组成垂径定理图形；见到直径要想到它所对的圆周角是直角，想垂径定理；想到过它的端点若有切线，则与它垂直，反之，若有垂线则是切线，想到它被圆心所平分；

平面几何中几个重要定理的证明

1 平面几何中几个重要定理及其证明 一、塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得 ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-=== -， 所以 APC BPC S AD DB S ??=．同理可得 APB APC S BE EC S ??=， BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得 1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是?ABC 的顶点，若 1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有 // 1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有 A B C D F P A B C D E F P D /

圆-第10讲圆幂定理圆中比例线段6学

圆幕定理是初中平面几何中重要定理之一，在有关计算和证明中应用非常多，尤其是在证明圆中线段 比例式（或等积式）时，能有效地考査学生综合运用相似形和圆的有关知识分析.解决问题的能力，因而 成为全国各省市中考及数学竞赛命题的一个热点，切实加强这方面知识的复习与训练，全面掌握这类问题 的证明思路和方法，对每一个同学都非常重要. 此外，证明圆中线段比例式（或等积式）的基本思路有（1）利用平行线分线段成比例定理；（2）利用相 似三角形给出证明；（3）利用圆幕定理给出证明；（4）利用面积或三角函数给出证明. 一、 基础知识 1、 相交弦定理 如果圆内两条弦AB 和CD 相交于点P,那么PA ?PB=PC ?PD （如下图1）； 2、 割线定理 如果从圆外一点P 向圆引割线PAB 和PCD,那么PA ?PB=PC ?PD （如下图2）； 3、 切割线定理 如果从圆外一点P 向圆引割线PAB 和切线PC,那么PA ? PB=PC2 （如下图3）； 上述三个定理统称为圆基定理?实际上，可以把切割线定理看作是割线定理的极限情形，于是上述三 个结论可以合并为：如果交点为P 的两条宜线与圆O 相交于A 、B 与C 、D,那么就有PA ?PB=PC ?PD, 这里P 、A. B 共线及P. C\ D 共线； 二 例题 例 1 （★）已知，如图 AB 是OO 的弦，P 是 AB 上一点,AB=10cm, PA=4cm, OP=5cm,求：OO 的半径? 例2 （★）如图，已知OOi 和002相交于CD 两点.其外公切线AB 分别切OO K OO2于点AB,求证: 直线CD 平分线段AB. 例3 （★）如图，E 是圆内弦AB. CD 的交点，直线EF 〃CB,交AD 的延长线于F, FG 切圆于G,连 第十讲 扇定理, 中比例线段

圆的相关定理及其几何证明(含答案)

圆的相关定理及其几何证明 典题探究 例1：如图，圆是的外接圆，过点C 作圆的切线交的延长线于点.若 O ABC ?O BA D ，，则线段的长是 ；圆的半径是 . CD =2AB AC ==AD O 例2：如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E （E 在A ,O 之间），EF BC ^,垂 足为F ．若6AB =，5CF CB × =，则AE =

例3：如图已知与圆相切于，半径，交于，若, PA O A OC OP ⊥AC PO B 1OC =，则 ， ． 2OP =PA ==PB 例4：如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知， O P O PA PBC 30BPA ∠=?，, 则 ,圆的半径等于 11BC =1PB =PA =O 演练方阵 A 档（巩固专练） 1．如图，已知直线PD 切⊙O 于点D ，直线PO 交⊙O 于点E,F.若，则⊙O 的21PF PD =+=半径为 ； . EFD ∠=A B C O P

D C B P A O

C B A 5．如图所示，以直角三角形的直角边为直径作⊙，交斜边于点，过点 ABC AC O AB D 作⊙的切线，交边于点.则 . D O BC E =BC BE 6．如图，直线AM 与圆相切于点M, ABC 与ADE 是圆的两条割线，且BD ⊥AD ，连接MD 、EC 。则下面结论中，错误的结论是( ) A ．∠ECA = 90o B ．∠CEM=∠DMA+∠DBA C ．AM 2 = AD·AE D ．AD·D E = AB·BC 7．如图，切圆O 于点,为圆O 的直径，交圆O 于点，为的中点，AB A AC BC D E CD 且则__________；__________. 5,6,BD AC ==CD =AE =

圆幂定理及其证明

圆幂定理 圆幂的定义:一点P 对半径R 的圆O 的幂定义如下：22 OP R - 所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。 圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。 （1） 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图，AB 、CD 为圆O 的两条任意弦。相交于点P ，连接AD 、BC ，则∠D=∠B ， ∠A=∠C 。所以△APD ∽△BPC 。所以 AP PD AP BP PC PD PC BP =??=? （2） 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点 的两条线段长的比例中项。 如图，PT 为圆切线，PAB 为割线。连接TA ，TB ，则∠PTA=∠B （弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA ∽△PBT ，所以 2PT PA PT PA PB PB PT =?=? （3） 割线定理：从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于 A.B.C.D 则有 PA·PB=PC·PD 。 这个证明就比较简单了。可以过P 做圆的切线，也可以连接CB 和AD 。证相似。

存在：PA PB PC PD ?=? 进一步升华（推论）： 过任意在圆O 外的一点P 引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于 A 、 B （可重合，即切线），L2与圆交于 C 、 D 。则PA·PB=PC·PD 。若圆半径为r ，则 2222()()||PC PD PO R PO R PO R PO R ?=-?+=-=-（一定要加绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点P 到圆O 的幂。（事实上所有的过P 点与圆相交的直线都满足这个值） 若点P 在圆内，类似可得定值为2222||R PO PO R -=- 故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝 对值。（这就是“圆幂”的由来）

实用文库汇编之4个圆幂定理及其证明

作者：于椅上 作品编号：785632589421G 101 创作日期：2020年12月20日 实用文库汇编之相交弦定理 如图,⊙P中,弦AB,CD相交于点P,则AP·BP=CP·PD 证明： 连结AC，BD，由圆周角定理 的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。 ∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB＝PC·PD 注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法. A D C 切割线定理 如图，ABT是⊙O的一条割线，TC是⊙O的一条切线，切点为C，则TC2=TA·TB 证明：连接AC、BC P

∵弦切角∠TCB对弧BC，圆周角∠A对弧BC ∴由弦切角定理，得∠TCB=∠A 又∠ATC=∠BTC ∴△ACT∽△CBT ∴AT:CT=CT:BT, 也就是CT2=A T·BT 弦切角定义： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角 弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明 证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作TP的平行线交B C于D， 则∠TCB=∠CDA ∵∠TCB=90-∠OCD ∵∠BOC=180-2∠OCD ∴,∠BOC=2∠TCB 切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。 如图中，切线长AC=AB。 ∵∠ABO=∠ACO=90° BO=CO=半径 AO=AO公共边 ∴RtΔABO≌RtΔACO（HL） ∴AB=AC ∠AOB=∠AOC ∠OAB=∠OAC 割线定理 如图，直线ABP和CDT是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD 证明:连接AD、BC ∵∠A和∠C都对弧BD ∴由圆周角定理，得∠A=∠C 又∵∠APD=∠CPB ∴△ADP∽△CBP ∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP