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第5讲巴拿赫不动点定理

不动点原理及其应用

题目：不动点原理及其应用摘要本文主要讨论了压缩映射原理，Schauder不动点定理以及不动点的应用三个方面。在解决微分方程，积分方程，以及其他方程的解的存在唯一性时，将问题转换为求某一映射的不动点，利用不动点原理进行解决。关键词：压缩映射原理；Schauder不动点定理；不动点原理应用

Abstract In this paper ,we talked about contraction mapping principle,Schauder’s fixed point theorem and the application of the fixed point theorem.As we deal with the solutions about differential equation, integral equation and other kinds of equations, it is a useful way to transform the problem into fixed point theorem.We can use it to solve plenty of practice problems too. Keywords: contraction mapping principle; Schauder’s fixed point theorem;the application of fixed point theorem.

目录引言 (1) 1.压缩映射原理 (1)

1.1压缩映射原理（距离空间） (1) 1.2压缩映射原理（巴拿赫空间） (7) 2.Schauder不动点定理 (9) 3不动点定理的应用 (11) 总结 (12) 参考文献 (14)

不动点定理及其应用

不动点定理及其应用一、不动点定理不动点定理fixed-point theorem ：如果f 是1n +维实心球1{,11}n B x R n x +=∈+≤ 到自身的连续映射(1,2,3)n =???，则f 存在一个不动点1n x B +∈（即满足(0)0f x x =）。（一）、压缩算子: 1、定义：设（1）X 距离空间；（2）算子:T X X →的映射。若(01),..,s t x y X θθ?≤

（2）定理的条件是结论成立的充分非必要条件。（3）迭代的收敛性和极限点与初始点无关。但T 的选取及初始点0x 的选取对迭代速度有影响。初始点离极限点越近，其收敛速度越快，而不影响精确度。（4）误差估计 ①事前（或先验）误差：根据预先给出的精确度，确定计算步数。此方法有时理论上分析困难。设迭代到第n 步，将* n x x ≈，则误差估计式为 * 0010(,)(,)(,)11n n n x x Tx x x x θθρρρθθ ≤=-- ②事后（或后验）误差：计算到第n 步后，估计相邻两次迭代结果的偏差1(,)n n x x ρ-，若该值小于预定的精度要求，则取* n x x ≈。此方法简单，但有时无法估计计算步数。设迭代到第n 步，将*n x x ≈，则误差估计式为 *1(,)(,)1n n n x x x x θ ρρθ -≤ - 或 *11 (,)(,)1n n n x x x x ρρθ +≤ - 3、求解不动点的具体步骤： Step1 提供迭代初始点0x ； Step2 计算迭代点10x Tx =； Step3 控制步数，检查10(,)x x ρ，若10(,)x x ρε>。则以1x 替换0x 转到第二步，继续迭代，当10(,)x x ρε≤时终止，取1x 为所求结果。误差不超过 1θ εθ -。对于不动点理论，为了便于应用，下面给出两种不同情况下所适合的方法。推论1 设（1）X ----完备的距离空间；（2）:T X X →的算子。

角谷静夫不动点定理

一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换?(x),映射到A时,使得x=?(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为R n中的一紧致凸集, ?为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=?（x）。其后，角谷静夫于1941年将此定理推广到点到集映射上去。设对每一x∈A，?(x)为A的一子集。若?(x)具有性质：对A上的任一收敛序列x i→x0，若y i∈?(x i)且y i→y0，则有y0∈?(x0),如此的?(x)称为在A上半连续，角谷静夫定理：设A为R n中的一紧致凸集，对于任何x∈A，若?(x)为A的一非空凸集，且?(x)在A上为上半连续，则必存在x∈A,使x∈?(x)。J.P.绍德尔和J.勒雷又将布劳威尔定理推广到巴拿赫空间。不动点定理在代数方程、微分方程、积分方程、数理经济学等学科中皆有广泛的应用。例如，关于代数方程的基本定理，要证明?(x)=0必有一根，只须证明在适当大的圆│x│≤R内函数?(x)+x有一不动点即可；在运筹学中，不动点定理的用途至少有二：一为对策论中用来证明非合作对策的平衡点的存在和求出平衡点；一为数学规划中用来寻求数学规划的最优解。对于一个给定的凸规划问题：min{?(x)│g i(x)≤0，i=1,2,…,m}，在此,?和g1,g2,…,g m皆为R n中的凸函数。通过适当定义一个函数φ,可以证明：若上述问题的可行区域非空，则φ的不动点即为该问题的解。在1964年以前，所有不动点定理的证明都是存在性的证明，即只证明有此种点存在。1964年，C.E.莱姆基和J.T.Jr.豪森对双矩阵对策的平衡点提出了一个构造性证明。1967年，H.斯卡夫将此证法应用到数学规划中去。其后，不动点定理的构造性证明有了大的发展和改进。 H.斯卡夫的证明是基于一种所谓本原集，后来的各种发展皆基于某种意义下的三角剖分。现以n维单纯形S n为例来说明这一概念，在此, 。对每一i, 将区间0≤x i≤1依次分为m1,m2…等分，m10}。由著名的施佩纳引理,在G i中必存在一三角形σi，它的n+1个顶点y i(k)的标号分别为k(k=1,2,…,n+1)于是可得一列正数 i j(j→),使得(k)→y k,k=1,2,…,n+1。根据σi的作法，当i j→时,收敛成一个点x。

泛函分析中不动点理论及其应用

泛函分析与微分方程有着密切的联系，泛函分析的算子半群理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论，不动点原理等在常微分方程中都有重要的应用。首先，算子半群最简单的原型在线性常微分方程的初值问题，且由 H i l l e Yo s i d a -定理表明：当稠定闭算子A 满足定理条件时，是下列方程的解，且解是唯一的。设A 是一个n n ?实矩阵，方程组 () ()()00n dx t Ax t dt x x R ?=? ? ?=∈? 在空间中解存在唯一。设0t ≥，考察映射 ()()0:.T t x x t → 则(){}0T t t ≥是强连续算子半群。在常微分方程中把算子半群(){} 0T t t ≥通过矩阵写出来： ()0 !n n tA N t A T t e n ∞ ===∑. 且不动点在常微分方程中有很多应用。例如，应用不动点定理证明微分方程解的存在性定理微分方程解的存在性与唯一性定理若常微分方程 ()0 0,,x dy F x y y y dx ==满足以下条件：（1）(),F x y 在整个平面上连续；（2）()()11,,F x y F x y K y y -≤-，其中K >0；那么存在唯一的连续函数()y x j =满足 () (),d x F x y dx ?=且()00x y ?=。证明：用()() 0,X C U x d =表示所有定义在()0,U x d 上取值于R 的连续函数全体，其中d 满足1K d <。,f g X "?，用()( ) ()()0,,m a x xUx f g f x g x a r ? =-表示,f g 间的距离，同样由泛函分析的知识知X 为完备度量空间。上述常微分方程等价于

不动点定理研究

前言不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论[1]．在此基础上，不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想．美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论[2]．1927年，丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题，并提出了尼尔森数的概念[3]．我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理[4]．最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Bananch)[6]，他于1922年提出的压缩映像（俗称收缩映射）原理发展了迭代思想，并给出了Banach不动点定理[6]．这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程、微分方程、许多着名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如，荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的《关于流形的映射》[2]一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即,设连续函数()fx()fx把单位闭区间[0,1]映到[0,1][0,1]中，则有0[0,1]x，使00()fxx.波利亚曾经说过：“在问题解决中，如果你不能解答所提的问题，那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题。作为Brouwer不动点定理从有限维到无穷维空间的推广，1927年Schauder 证明了下面不动点定理，我们称其为Sehauder不动点定理I：定理2设E是Banach 空间，X为E中非空紧凸集，XXf:是连续自映射，则f在X中必有不动点.Sehauder 不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射(即对任意Xx，xf是紧

Banach不动点理论及其应用

不动点定理及其应用综述摘要本文主要研究Banach 空间的不动点问题。[1]介绍了压缩映射原理证明隐函数存在定理和常微分方程解得存在唯一性定理上的应用；[2][3]介绍了应用压缩映射原理需要注意的问题；[4]介绍了不动点定理在证明Fredholm 积分方程和V olterra 积分方程解的存在唯一性以及在求解线性代数方程组中的应用；[5]讨论了不动点定理在区间套定理的证明中的应用。一、压缩映射原理压缩映射原理的几何意义表示：度量空间中的点x 和y 在经过映射后，它们在像空间中的距离缩短为不超过d(x,y)的α倍（1α<）。它的数学定义为：定义1.1设X 是度量空间，T 是X 到X 的映射，若存在α，1α<，使得对所有 ,x y X ∈，有下式成立 (,)(,)d Tx Ty d x y α≤（1.1）则称T 是压缩映射。定理1.1（不动点定理）：设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有唯一的不动点，即方程Tx=x 有且只有唯一解。证明：设0x 是X 种任意一点，构造点列{}n x ，使得 21021010,,,n n n x Tx x Tx T x x Tx T x -===== （1.2）则{}n x 为柯西点列。实际上， 111(,)(,)(,)m m m m m m d x x d Tx Tx d x x α+--=≤ 21212(,)(,)m m m m d Tx Tx d x x αα----=≤ 10(,)m d x x α≤≤ （1.3）根据三点不等式，当n m >时， 1121(,)(,)(,)(,)m n m m m m n n d x x d x x d x x d x x +++-≤+++ 1101()(,)m m n d x x ααα+-≤++ 011(,)1n m m d x x ααα --=- （1.4）由于1α<，故11n m α--<，得到 01(,)(,)()1m m n d x x d x x n m αα ≤>-（1.5）所以当,m n →∞→∞时，(,)0m n d x x →，即{}n x 为柯西列。由于X 完备， x X ?∈，

不动点定理及其应用(高考)

摘要本文首先介绍Banach空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备度量空间上的推广形式. 其次,通过分析近几年全国各地高考数学卷中一些试题特点,总结了利用不动点定理求解有关数列的问题.其中包括数列通项、数列的有界性问题.最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及收敛性方面的应用. 关键词：Banach不动点定理,数列通项，有界性，单调性，收敛性. Abstract This article firstly introduced the Fixpoint Theorem in Banach space, the one-dimensional extended form of the Fixpoint Theorem in other linear topological space and the extended form in general complete metric space. Then, we summarized the problem on sequence of number using Fixpoint Theorem, analyzing the characteristics of tests emerged on math papers of all parts of our country recent years, including the problem of general term and boundedness of a sequence of number. At last, attractive fix point and rejection fix point in Fixpoint Theorem were introduced which can solve the problem about the monotonicity and astringency of sequence of number. Keywords:Banach fixed point theorem,Sequence, Boundedness, Monotonicity Convergence. 目录

不动点定理及其应用

不动点定理及其应用摘要不动点定理是研究方程解的存在性与唯一性理论的重要工具之一.本文给出了线性泛函分析中不动点定理的几个应用,并通过实例进行了说明.同时,介绍了非线性泛函分析中的不动点定理——Brouwer不动点定理和Leray-Schauder不动点定理. 关键词不动点;不动点定理;Banach空间 Fixed Point Theorems and Its Applications Abstract The fixed point theorem is one of important tools in studying the existence and uniqueness of solution to functional equation .In this paper,the fixed theorem in linear functional analysis and its applications are introduced and the corresponding examples are given.Meanwhile,the Brouwer and Leray-Schauder fixed point theorems are also involved. Key Words Fixed point , Fixed point theorem, Banach Space

不动点定理及其应用 0 引言在线性泛函中,不动点定理是研究方程解的存在性与解的唯一性理论 [1-3] .而在非线性泛函中是研究方程解的存在性与解的个数问题[4],它是许多存在唯一性定理（例如微分方程,积分方程,代数方程等）的证明中的一个有力工具. 下面给出不动点的定义. 定义 0.1设映射X X T →:,若X x ∈满足x Tx =,则称x 是T 的不动点.即在函数取值的过程中,有一点X x ∈使得x Tx =. 对此定义,有以下理解. 1）代数意义：若方程x Tx =有实数根0x ,则x Tx =有不动点0x . 2）几何意义：若函数()x f y =与x y =有交点()00,y x 则0x 就是()x f y =的不动点. 在微分方程、积分方程、代数方程等各类方程中,讨论解的存在性,唯一性以及近似解的收敛性始终是一个极其重要的内容. 对于许多方程的求解问题，往往转化为求映射的不动点问题,同时简化了运算. 本文将对不动点定理及其变换形式在线性分析和非线性分析中的应用加以探索归纳. 1 Banach 不动点定理及其应用 1.1相关概念首先介绍本文用的一些概念. 定义1.1.1[3] 设X 为距离空间,{}n x 是X 中的点列,若对任给的0>ε,存在 0>N ,使得当N n m >,时,()ερ

宏观经济学分析方法系列：(课堂放映版、11硕已讲)拓扑空间、不动点定理

================= ================= 附录：宏观经济学分析方法：不动点定理（09、10、11硕已讲，2009年01月21日，精细订正）我们开始讨论不动点定理，那么什么是不动点定理？所谓不动点，就是使方程 ( x ) f= x 有解的点x，这里f可以是单变量函数，也可以是度量空间到自身上的映射。因为点x是在f的映射下固定不变的点，我们称为不动点。所谓不动点定理就是描述方程 ( ) f= x x 的解的存在条件的定理。不动点的存在性问题就称为不动点问题，不动点定理由此得名。有许多不同的不动点定理。其中一些是构造性的，但大多数不是构造性的，例如，最著名的布劳威尔不动点定理就不是构造性的，布劳威尔不动点理只告诉我们不动点是存在的，但没有说明寻找不动点的方法。在数学中，有许多类似描述解的存在性定理，其中最著名的就是代数基本定理和微积分中的各种中值定理，正如我们已经看到的一样，这样的存在性定理在理论上和实际应用中都是非常重要的。设想使用计算机去寻找近似解，如果我们知道解是存在的，我们就不会无的放矢。

（不讲，跳过）事实上，不动点问题是普遍存在的，我们知道的许多问题都可以转化为不动点问题。例如：设n n R R g :是一个映射，我们欲解方程0)(=x g ，其中n R x ∈。这个问题就等价于不动点方程 x x g x =+)( 或 x x g x =+)(70；更一般地，等价于 x x g x =Φ+))((，式中n n R R →Φ:满足，0)(=Φy 当且仅当0=y 。我们将介绍三个重要的不动点定理：巴拿赫（Banach ）不动点定理，布劳威尔（Brouwer ）不动点定理和角谷（Kakutani ）不动点定理。一、压缩映射与巴拿赫不动点定理我们首先介绍巴拿赫不动点定理，这个定理也称为压缩映射原理。这是一构造性定理，定理的证明提供一个构造不动点的方法，这个方法称为逐次逼近法（即迭代法）。在介绍巴拿赫不动点定理之前，先引进压缩映射的概念。定义16.26 设),(ρX 是度量空间，X X f →:是一个映射，如果对任意x ，X y ∈，有 ),())(),((y x k y f x f ρρ≤ （16-14）其中10<≤k ，我们说f 满足李普希茨（Lipschitz ）条件，并称为f 为压缩映射，称k 为压缩常数。

泛函分析中不动点理论及其应用

目录内容摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key Words (1) 1．引言 (1) 2．不动点定义及定理介绍 (2) 2.1不动点相关定义 (2) 2.2不动点思想 (2) 2.3不动点相关定理 (6) 3．不动点思想在其他学科的应用 (8) 3.1在求数列通项公式中的应用 (8) 3.2在求方程解中的应用 (11) 3.3在求函数解析式中的应用 (12) 4．不动点定理在证明中的应用 (14) 4.1 应用不动点定理证明数列极限 (14) 4.2 应用不动点定理证明隐函数定理 (15) 4.3 应用不动点定理证明微分方程解的存在性定理 (17) 4.4 应用不动点定理证明积分方程解的存在性定理 (17) 4.5 不动点定理在图论中的证明 (14) 参考文献 (18) 致谢 (19)

内容摘要：本文简要介绍了不动点思想及相关定理，对Banach不动点定理做了一些简单的推论，应用不动点思想解决数列通项公式、方程的解、函数的解析式等问题。并对隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理做出了证明。关键词：不动点不动点思想不动点定理应用 Abstract： Key words：

1．引言泛函分析是本世纪出才逐渐形成的一个新的数学分支，以其高度的统一性和广泛的应用性，在现代数学领域占有重要的地位。在泛函分析中。许多分散在各个数学分支中的事实都得到了统一的处理，例如隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理，在泛函分析中都归结为一个定理——不动点定理。这正是抽象的结果。不动点定理实际上是算子方程T x x =的求解问题，是分析学的各个分支中存在和唯一性定理的重要基础，它是关于具体问题解的存在唯一性的定理，其中Banach 不动点定理，亦称压缩映射原理，它提供了线性方程解的最佳逼近程序，给出了近似解的构造，在常微分方程、积分方程等领域中也有着广泛的应用，在现代数学发展中有着重要的地位和作用。 2．不动点相关定义及定理介绍 2.1不动点相关定义定义1 设X 为非空集合，:T X X ?是一个映射，如果x X $ 使得T x x =成立，则称x 为映射T 的一个不动点。特别地，函数()f x 是定义在D R ì上的函数，如果x D $ 使得()f x x =成立，则称x 为函数()f x 的一个不动点。定义 2 设(),X r 是距离空间，T 是X 到其自身的映射，且对于任意的 ,x y X ?，不等式()(),,Tx Ty x y r qr ￡都成立，其中q 是满足01q ?的常数。则称T 是X 上的压缩映射。 2.2不动点思想首先，对于函数()y f x =的不动点，有两个方面的理解： 1）()y f x =的不动点，是方程()0f x x -=的根。 2）()y f x =的不动点，是函数()y f x =与y x =的交点。有了这两个方面的理解，很显然，可以用不动点思想来求方程的根和函数的

Banach不动点理论及其应用

不动点定理及其应用综述摘要本文主要研究Banach 空间的不动点问题。[1]介绍了压缩映射原理证明隐函数存在定理和常微分方程解得存在唯一性定理上的应用；[2][3]介绍了应用压缩映射原理需要注意的问题；[4]介绍了不动点定理在证明Fredholm 积分方程和Volterra 积分方程解的存在唯一性以及在求解线性代数方程组中的应用；[5]讨论了不动点定理在区间套定理的证明中的应用。一、压缩映射原理压缩映射原理的几何意义表示：度量空间中的点x 和y 在经过映射后，它们在像空间中的距离缩短为不超过d(x,y)的α倍（1α<）。它的数学定义为：定义设X 是度量空间，T 是X 到X 的映射，若存在α，1α<，使得对所有,x y X ∈，有下式成立 (,)(,)d Tx Ty d x y α≤ （）则称T 是压缩映射。定理（不动点定理）：设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有唯一的不动点，即方程Tx=x 有且只有唯一解。证明：设0x 是X 种任意一点，构造点列{}n x ，使得 2 1021010,, ,n n n x Tx x Tx T x x Tx T x -===== （）则{}n x 为柯西点列。实际上， 111(,)(,)(,)m m m m m m d x x d Tx Tx d x x α+--=≤ 21212(,)(,)m m m m d Tx Tx d x x αα----=≤ 10(,)m d x x α≤≤ （）根据三点不等式，当n m >时， 1121(,)(,)(,)(,)m n m m m m n n d x x d x x d x x d x x +++-≤++ + 1101()(,)m m n d x x ααα+-≤++

Brouwer不动点定理的几种证明

Brouwer不动点定理的几种证明学院名称：专业名称：学生姓名：指导教师：二○一一年五月

摘要 Brouwer不动点定理是很著名的定理.其中，关于它的证明很多有：代数拓扑的证明、组合拓扑的证明、微分拓扑的证明等.都涉及拓扑学上许多复杂的概念和结果. 关于该定理，也可以用图论的方法证明，用离散离散理论解决连续系统中问题.本文试图在总结其他证明方法的基础上，对图论的方法证明Brouwer不动点定理进行详细的介绍来体现这一思想. 关键词：Brouwer；不动点.

ABSTRACT Brouwer fixed point theorem is very famous theorem . Among them , about its proof many : algebra topologies, proof of the proof, differential combined topology etc. The proof of topological Involves many complex on the concept of limited and results. About this theorem, also can use graph method to prove, in a discrete discrete theory in solving continuous system. This article tries to summarize the other proof method based on the method of graph theory prove Brouwer fixed point theorem for detailed introduction to reflect this thought. Keywords: Brouwer; Fixed point.

泛函分析课程结业论文-Banach不动点定理的推广及其应用

Banach 不动点定理的推广及其应用摘要：本文介绍了Banach 不动点定定理（即压缩映像原理）的几种推广形式，并由两个例子讨论了不动点定理在微分方程及数学分析中的应用。引言泛函分析作为一门二十世纪初发展起来的学科，以其高度的统一性和广泛的应用性得到了广泛关注和应用。而不动点理论是目前正在迅速发展的非线性泛函分析的重要组成部分。泛函分析，特别是非线性泛函分析，在数值计算，非线性问题的求解，微分积分方程等问题的理论研究方面贡献了重要的力量，为计算数学提供了有力的工具，并带来了深远性的变革。不动点问题的的研究，从二十世纪二十年代开始，由波兰数学家巴拿赫（Banach ）于1922年提出的压缩映射原理而发展了迭代思想，并给出了Banach 不动点定理，该定理有着非常广泛的应用，如线性微分方程，积分方程，代数方程等解的存在唯一性方面的问题均可归结到此定理的推论问题。本文介绍了Banach 不动点定理的几种推广形式，并讨论其在几个方面的应用。关键词：不动点定理推广应用 1 Banach 不动点定理及其推广定义1 设X 是一个非空的集合，X 叫做距离空间，是指在X 上定义了一个双变量的实值函数(),x y ρ ，满足下面三个条件： (1)(,)0,(,)0,;(2)(,)(,); (3)(,)(,)(,) ,2(,)(,)0(,).1(n n m x y x y x y x y y x x z x y y z (x y X ). X X (X ). X {x }x y n m Banach ρρρρρρρρρρρρ≥===≤+?∈→→∞而且当且仅当这里叫做上的一个距离；以为距离的距离空间记做，定义距离空间上的点列叫做基本列，如果如果空间中所有基本列都是收敛的，那么称该空间是完备的. 定理不动点定理)(,)2()n -X R F F rouwer ρρΩΩ→ΩΩ压缩映像原理设是一个完备的距离空间，T 是(X,)到其自身的压缩映射.则T 在X 上存在唯一不动点.(即Tx=x 有且仅有一个解)另外还有两个应用较为广泛的不动点定理. 定理布劳威尔(Brouwer)不动点定理设为中的有界闭凸集，映像：连续，则在中必有不动点. 这个定理证明方法有很多.其定理的表达形式也有若干.基于拓扑度（或向量场旋度）的证明方法是由B (19Alexander Birkhoff Kellogg Dunford Schwartz n Knaster Kuratowski Mazurkiewicz Brouwer 10),（1922）以及以后的许多作者给出的.与（1922）及其后的与（1958）用古典的方法（微积分与行列式）做出了本定理的证明.最直接的证明方法是用代数拓扑的方法，即维单纯形的单纯剖分.这一证明由、和（1929）给出. 下面给出不动点定理的拓扑度0()y -y F(x+y)-y F x ∈Ω∈ΩΩΩ理论的证明. 证不妨认为，不然，可任取，用，代替与即可；也

不动点理论及其应用

不动点理论及其应用主要内容： ●不动点理论—压缩映像原理 ●不动点理论在微分方程中的应用●不动点理论在中学数学中的应用目录：一、引言二、压缩映像原理三、在微分方程中的应用四、在中学数学中的应用五、其它

一、引言取一张照片，按比例缩小，然后把小照片随手放在大照片上，那么大小两张照片在同一个部位，一定有一个点是重合的。这个重合点就是一个不动点。函数的不动点, 在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点, 即函数)(x f 在取值过程中, 如果有一个点0x 使00)(x x f =,则 0x 就是一个不动点。二、压缩映像原理定理：（Banach 不动点定理—压缩映像原理）设 ),(ρX 是一个完备的距离空间， T 是),(ρX 到其自身的一个压缩映射，则T 在X 上存在唯一的不动点。

这里有三个概念：距离空间，完备的距离空间，压缩映射距离空间又称为度量空间。定义：（距离空间）设 X 是一个非空集合。X 称为距离空间，是指在X 上定义了一个双变量的实值函数 ),(y x ρ，满足下面三个条件：（1）。0),(≥y x ρ，而且0),(=y x ρ，当且仅当 y x =；（2）。),(),(x y y x ρρ=；（3）。),(),(),(z y y x z x ρρρ+≤，（X ,,∈?z y x ）。这里 ρ 叫做 X 上的一个距离，以 ρ 为距离的距离空间 X 记作),(ρX 。定义：（完备的距离空间）距离空间),(ρX 中的所有基本列都是收敛列，则称该空间是完备的。定义：（压缩映射）称映射 ),(),(:ρρX X T → 是一个压缩映射，如果存在 10<