常用积分表
(完整版)常用函数积分表(增强版)
1.∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx 2.∫(f(x)?g(x))dx=∫f(x)dx?∫g(x)dx 3.∫f(x)dg(x)=f(x)g(x)?∫g(x)df(x) 4.∫a x dx=a x ln a +C，a≠1，a>0 5.∫x n dx=x n+1 n+1 +C，n≠?1 6.∫1 x dx=ln|x|+C 7.∫e x dx=e x+C 8.∫sin x dx=?cos x+C 9.∫cos x dx=sin x+C 10.∫sec2x dx=tan x+C 11.∫csc2x dx=?cot x+C 12.∫sec x tan x dx=sec x+C 13.∫csc x cot x dx=?csc x+C 14.∫(ax+b)n dx=(ax+b)n+1 a(n+1) +C，a≠0，n≠?1 15.∫dx ax+b =1 a ln|ax+b|+C，a≠0 16.∫x(ax+b)n dx=(ax+b)n+1 a2(ax+b n+2 ?b n+1 )+C，a≠0，n≠?1,?2 17.∫x ax+b dx=x a ?b a2 ln|ax+b|+C，a≠0 18.∫x (ax+b)2dx=1 a2 (ln|ax+b|+b ax+b )+C，a≠0 19.∫x2 ax+b dx=1 2a3 [(ax+b)2?4b(ax+b)+2b2ln|ax+b|]+C 20.∫x2 (ax+b)dx=1 a (ax+b?2b ln|ax+b|?b2 ax+b )+C 21.∫x2 (ax+b)dx=1 a (ln|ax+b|+2b ax+b ?b2 2(ax+b) )+C 22.∫x2 (ax+b)n dx=1 a3 (?1 (n?3)(ax+b)n?3 +2b (n?2)(ax+b)n?2 ?b2 (n?1)(ax+b)n?1 )+C，n≠
积分公式表,常用积分公式表
积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理： （1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='??????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+
()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x s e c = ()22x a x f +=；设：t a x t a n = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv 附：理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数 的积分，应分为与 . 当 时， ， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当 时，有 . 当 时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故 （ ， ）式右边的 是在分 母，不在分子，应记清. 当 时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.
应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.
常用基本初等函数求导公式积分公式
基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则
设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或 ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出． 可以推出下表列出的公式：
常用求导积分公式及不定积分基本方法定稿版
常用求导积分公式及不定积分基本方法 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
一、基本求导公式 1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x '= 2. (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(cot )csc x x '=- 4. (sec )tan sec x x x '= (csc )cot csc x x x '=- 5. ()ln x x a a a '=，()x x e e '= 6. () 2arctan 11x x '+= ()arcsin x '= () 2arccot 11x x '+=- ()arccos x '= 二、基本积分公式 1. 1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +?， 1ln ||+dx x C x =? 2. d ln x x a a x C a =+?，d x x e x e C =+? 3. sin d cos x x x C =-+?， cos d sin x x x C =+? 4. 2sec d tan x x x C =+? 2csc d cot x x x C =-+? 5. tan d ln |cos |x x x C =-+? cot d ln |sin |x x x C =+?
6. sec d ln |sec tan |x x x x C =++? csc d ln |csc cot |x x x x C =-+? 7. 2 1d arctan 1x x C x =++? arcsin x x C =+ 2211d arctan x x C a x a a =++? arcsin x x C a =+ 8. ln x x C =+ ( ln x x C =++ 9. 221 1d ln 2x a x C a x a x a -=+-+? 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式 21cos 2sin 2x x -= 21cos 2cos 2x x += 2. 正余切与正余割 正割 1 sec cos x x = 22sec 1tan x x =+ 余割 1csc sin x x = 22 csc 1cot x x =+ 四、常用凑微分类型 1. 1 1 ()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+??;
积分公式表,常用积分公式表
积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理： （1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='?? ????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+ ()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x sec = ()22x a x f +=；设：t a x tan = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv
附：理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与 . 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有 . 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分 . 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.
三角函数_反三角函数_积分公式_求导公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 4、诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 5、万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2(tan 12tan 2a a - 6、其他非重点三角函数 csc(a) = a sin 1 sec(a) =a cos 1 7、（a ＋b ）的三次方,（a －b ）的三次方公式
常用基本初等函数求导公式积分公式.doc
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) ， (13) (14) (15) (16) 函数的和、差、积、商的求导法则 设，都可导，则 （ 1）（ 2）（是常数） （ 3）（ 4） 反函数求导法则 若函数在某区间内可导、单调且，则它的反函数在对应区间内也可导，且 或 复合函数求导法则 设，而且及都可导，则复合函数的导数为 或 ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．
可以推出下表列出的公式： 常用积分公式表·例题和点评 ⑴kdx kx c ( k 为常数) ⑵x dx( 1) 1 x 1 c 1 特别， 1 dx 1 c , x d x 2 x23 c , 1 dx 2 x c x 2 x 3 x ⑶1 dx ln | x | c x ⑷ a x d x a x c , 特别，e x d x e x c ln a
⑸ sin x dx cos x c ⑹ cos x d x sin x c ⑺ 1 d x csc 2 x dx cot x c sin 2 x ⑻ 1 d x sec 2 x dx tan x c cos 2 x ⑼ 1 dx x c ( a 0) , 特别， a 2 x 2 arcsin a ⑽ 1 dx 1 x c (a 0) , 特别， a 2 x 2 arctan a a ⑾ 1 1 a x a 2 x 2 d x 2a ln a x c ( a 0) 或 1 1 x a x 2 a 2 dx 2a ln x a c ( a 0) ⑿ tan x dx ln cos x c ⒀ cot x dx ln sin x c 1 arcsin x c 1 d x x 2 1 1 x 2 dx arctan x c 1 ln csc x cot x c ⒁ csc x d x x dx ln tan c sin x 2 1 ln sec x tan x c ⒂ secx d x x dx c cos x ln tan 4 2 1 ( a 0) x 2 a 2 ⒃ a 2 dx ln x c x 2 ⒄ a 2 x 2 dx ( a 0) a 2 x x a 2 x 2 c arcsin 2 2 a ⒅ x 2 2 (a 0) x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 c a d x 2 2
三角函数积分公式求导公式
一．三角函数 二．常用求导公式 三．常用积分公式 第一部分三角函数 同角三角函数的基本关系式 诱导公式
化asin α±bcos α为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式) 第二部分 求导公式 1．基本求导公式 ⑴0)(='C （C 为常数）⑵1)(-='n n nx x ；一般地，1)(-='αααx x 。 特别地：1)(='x ，x x 2)(2='，21 )1(x x -='，x x 21)(='。 ⑶x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷x x 1 )(ln ='；一般地，)1,0( ln 1 )(log ≠>= 'a a a x x a 。 2．求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,) ()()()()())()(( 2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21() ()()()g x g x g x ''=-。 3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 第三部分 积分公式
1.常用的不定积分公式 （1） ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3 ,2,),1( 114 3 32 21αααα ； （2） C x dx x +=?||ln 1； C e dx e x x +=?； )1,0( ln ≠>+=?a a C a a dx a x x ； （3）??=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 2.定积分 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? ⑴???+=+b a b a b a dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121 ⑵ 分部积分法 设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则 ?? -=b a b a b a x du x v x v x u x dv x u )()()()()()(
积分常用公式
积分常用公式 一．基本不定积分公式： 1．C x dx +=? 2．111++= ? αα αx dx x 1(-≠α) 3．C x dx x +=?ln 1 4．C a a dx a x x +=?ln )1,0(≠>a a 5．C e dx e x x +=? 6．C x xdx +-=? cos sin 7．C x xdx +=? sin cos 8．C x dx x xdx +== ?? tan cos 1sec 22 9．C x dx x xdx +-==??cot sin 1csc 22 10．C x xdx x +=??sec tan sec 11．C x xdx x +-=?? csc cot csc 12． C x dx x +=-? arcsin 112 （或12 arccos 11C x dx x +-=-? ） 13． C x dx x +=+?arctan 112 （或12cot 11 C x arc dx x +-=+?） 14．C x xdx +=?cosh sinh 15．C x xdx +=? sinh cosh 二．常用不定积分公式和积分方法： 1．C x xdx +-=?cos ln tan 2．C x xdx +=? sin ln cot 3． C a x a x a dx +=+?arctan 122 4．C a x a x a a x dx ++-=-?ln 2122 5．C x x xdx ++=?tan sec ln sec 6．C x x xdx +-=? cot csc ln csc 7． C a x x a dx +=-? arcsin 2 2 8．C a x x a x dx +±+=±?222 2ln 9． C a x a x a x dx x a ++-=-?arcsin 2222 22 2 10． C a x x a a x x dx a x +±+ ±±= ±? 222 2 2 2 2 ln 2 2 11．第一类换元积分法（凑微分法）：
微积分及三角函数公式合集
第一部分：常用积分公式 基本积分公式： 1 kdx kx c =+? 2 1 1 x x dx c μμ μ+= ++? 3 ln dx x c x =+? 4 ln x x a a dx c a =+? 5 x x e dx e c =+? 6 cos sin xdx x c =+? 7 sin cos xdx x c =-+? 8 2 21sec tan cos dx xdx x c x ==+? ? 9 221 csc cot sin xdx x c x ==-+?? 10 2 1 arctan 1dx x c x =++? 11 arcsin x c =+ 12 tan ln cos xdx x c =-+? 13 cot ln sin xdx x c =+? 14 sec ln sec tan xdx x x c =++? 15 csc ln csc cot xdx x x c =-+? 16 2211arctan x dx c a x a a =++? 17 22 11ln 2x a dx c x a a x a -=+-+? 18 arcsin x c a =+
19 ln x c =+ 分部积分法公式 1 形如n ax x e dx ?，令n u x =，ax dv e dx = 2 形如sin n x xdx ?令n u x =，sin dv xdx = 3 形如cos n x xdx ?令n u x =，cos dv xdx = 4 形如arctan n x xdx ?，令arctan u x =，n dv x dx = 5 形如ln n x xdx ?，令ln u x =，n dv x dx = 6 形如sin ax e xdx ?，cos ax e xdx ?令,sin ,cos ax u e x x =均可。 常用凑微分公式 1. ()()()1 f ax b dx f ax b d ax b a +=++?? 2. ()()()11 f x x dx f x d x μμμμμ-= ?? 3. ()()()1ln ln ln f x dx f x d x x ?=?? 4. ()()()x x x x f e e dx f e d e ?=?? 5. ()()()1ln x x x x f a a dx f a d a a ?= ?? 6. ()()()sin cos sin sin f x xdx f x d x ?=?? 7. ()()()cos sin cos cos f x xdx f x d x ?=-?? 8. ()()()2tan sec tan tan f x xdx f x d x ?=?? 9. 2dx f d =? 10.21111()()()f dx f d x x x x =-? ? 11.()()()2cot csc cot cot f x xdx f x d x ?=?? 第二部分：常用微分、导数公式 （c=常数） 1、极限
角函数反三角函数积分公式求导公式
1、两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=tanAtanB -1tanB tanA +tan(A-B)=tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B)=cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B)=cotA cotB 1cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A=A tan 12tanA 2-Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、半角公式 sin(2A )=2cos 1A -cos(2 A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+-cot(2A )=A A cos 1cos 1-+tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 4、诱导公式 sin(-a)=-sinacos(-a)=cosa sin(2π-a)=cosacos(2π-a)=sinasin(2π+a)=cosacos(2 π+a)=-sina sin(π-a)=sinacos(π-a)=-cosasin(π+a)=-sinacos(π+a)=-cosa tgA=tanA=a a cos sin 5、万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a +cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +-tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 6、其他非重点三角函数 csc(a)=a sin 1sec(a)=a cos 1 7、（a ＋b ）的三次方,（a －b ）的三次方公式 (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 8、反三角函数公式 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π－arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π－arccotx
不定积分表
Y 卷终 公式表注解四 基本不定积分表 序言： 微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了发展之正轨。在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎覆盖各种不定积分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。 本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用，或均不在此给出推演方法，或仅以推演步骤简要之说明。 本表收录公式16组，151式。 公式一 基本初等函数的不定积分18式： 反三角函数 上述公式均为基本初等函数之不定积分，其中部分公式均可以由分部积分公式给出，特别的，对于正切函数，余切函数，正割函数与余割函数的不定积分，使用了诸多三角变换完成。 公式二 含ax b +的积分（要指出a 非零）10式： 对于其中的第二式，是利用换元积分完成的。 对于第一者，可以利用凑的方式，我们考虑分式11x b ax b a ax b ??=- ?++?? ，则得其积分是显的：111()ln ||x b b dx x d ax x ax b aC ax b a a ax b a a ????=-=-++ ? ?++??????。而第二式依然采取类似的方式，可借由带余多项式除法算得：22211()2x x ax b ab b ax b a ax b ax b ??=+-+??+++?? ，然后利用第一个积分式即可得到结论。 对于分母是二次多项式或者更高者，常常分成多个低次多项式之和，这两个积分便是沿用了此结论所得 到的。我们注意第一式中有 111111()(/)/b x ax b a x x b a a x x b a a ??==- ?+++??，积分即得。对于第二式依然可用分
函数积分表
常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +?＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2d ()x x ax b +? ＝2 1ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．2 2 d ()x x ax b +?＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9． 2d ()x x ax b +? ＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10． x C + 11．x ?＝2 2 (3215ax b C a - 12．x x ?＝2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13． x ? ＝22(23ax b C a -
14 ． 2 x ＝2223 2(34815a x abx b C a -+ 15 ． (0) (0) C b C b ?+>+< 16 ． 2a b - 17 ． x ＝b 18 ． x ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a + 20． 22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21． 22d x x a -? =1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2 (0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23． 2d x x ax b +?＝2 1ln 2ax b C a ++
不定积分的常用求法(定稿)[1]
郑州大学毕业论文 题目：不定积分的常用求法 指导老师：任国彪职称：讲师 学生姓名：王嘉朋学号：20082100428 专业：数学与应用数学（金融数学方向） 院系：数学系 完成时间：2012年5月25日 2012年5月25日
摘要 微积分是微分学与积分学的简称，微积分的创立是数学史上最重要的事情之一。不定积分的相关知识是微积分中重要的知识，掌握不定积分的求法是学好微积分的前提。另外，不定积分的求法和定积分的求法有一定的相关性，在求面积以及质量中也有一定的应用。但是不定积分的计算是数学分析中的难点之一。求不定积分的方法灵活多样，本文介绍了微分学的来源，创立以及发展历史。并且基于自己对不定积分的理解，通过实例对不定积分的求法进行了总结。 关键字：微积分，微分学，积分学，不定积分，求解方法。 Abstract: Calculus is short for differential calculus and integral calculus and its foundation is one of the most important events in math history. Relevant knowledge in indefinite integral is very significant in calculus learning. Grasping solutions to indefinite integral is the premise of leaning calculus well. Besides, there is correlation between solutions to indefinite integral and definite integral. Indefinite integral can be applied in obtaining area and mass. However，calculating indefinite integral is one of the most hardest parts in math analysis. A variety of methods can be used in seeking indefinite integral. This paper introduced the origin of calculus, founding and developing history. Besides, through some examples based on understanding of indefinite integral，this paper also summarized solutions to indefinite integral. Keywords: calculus; differential calculus; integral calculus; solutions
常 用 积 分 公 式
常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +?＝1 1()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +?＝22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d ()x x ax b +?＝2 1ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +?＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22d ()x x ax b +?＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2d ()x x ax b +?＝2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++
的积分 10 ．x ? C 11 ．x ? ＝2 2 (3215ax b C a -+ 12 ．x x ? ＝2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13 ． x ＝2 2(23ax b C a - 14 ． 2x ＝22232(34815a x abx b C a -++ 15 ． ＝(0) (0) C b C b ? +>< 16 ． ? 2a b - 17 ． x ＝b 18 ． x ＝ 2a + （三）含有22 x a ±的积分
三角函数积分公式求导公式整理
同角三角函数的基本关系式 诱导公式
化asin α ±bcos α为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式) 第二部分 求导公式 1．基本求导公式 ⑴ 0)(=' C （C 为常数）⑵ 1)(-='n n nx x ；一般地，1)(-='αααx x 。 特别地：1)(=' x ，x x 2)(2='，2 1 )1(x x -='，x x 21)(= '。 ⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷ x x 1)(ln = '；一般地，)1,0( ln 1 )(log ≠>='a a a x x a 。 2．求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'= '，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数） ； （Ⅲ）)0)(( ,) ()()()()())()(( 2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21() ()()()g x g x g x ''=-。 3．微分 函数 ()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 第三部分 积分公式 1.常用的不定积分公式 （1） ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 43,2,),1( 1143 32 21αααα ； （2） C x dx x +=?||ln 1； C e dx e x x +=?； )1,0( ln ≠>+=?a a C a a dx a x x ； （3） ??=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 2.定积分 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? ⑴ ??? +=+b a b a b a dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121 ⑵ 分部积分法
积分公式表,常用积分公式表
积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理： （1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='??????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+ ()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x sec = ()22x a x f +=；设：t a x tan = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv 附：理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.
公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分
(整理)常用函数积分表(增强版)48790
1.∫sec2x dx=tan x+C 2.∫csc2x dx=?cot x+C 3.∫sec x tan x dx=sec x+C 4.∫csc x cot x dx=?csc x+C 5.∫x(ax+b)n dx=(ax+b)n+1 a2(ax+b n+2 ?b n+1 )+C，a≠0，n≠?1,?2 6.∫x ax+b dx=x a ?b a2 ln|ax+b|+C，a≠0 7.∫x (ax+b)dx=1 a (ln|ax+b|+b ax+b )+C，a≠0 8.∫x2 ax+b dx=1 2a3 [(ax+b)2?4b(ax+b)+2b2ln|ax+b|]+C 9.∫x2 (ax+b)2dx=1 a3 (ax+b?2b ln|ax+b|?b2 ax+b )+C 10.∫x2 (ax+b)dx=1 a (ln|ax+b|+2b ax+b ?b2 2(ax+b) )+C 11.∫x2 (ax+b)n dx=1 a3 (?1 (n?3)(ax+b)n?3 +2b (n?2)(ax+b)n?2 ?b2 (n?1)(ax+b)n?1 )+C，n≠ 1,2,3 12.∫dx x(ax+b)=1 b ln|x ax+b |+C，b≠0 13.∫dx x2(ax+b)=?1 bx +a b2 ln|ax+b x |+C 14.∫dx x2(ax+b)2=?a(1 b2(ax+b) +1 ab2x ?2 b3 ln|ax+b x |)+C 15.∫x√ax+bdx=2 15a2 (3ax?2b)(ax+b)32+C 16.∫x2√ax+bdx=2 105a (15a2x2?12abx+8b2)(ax+b)32+C 17.∫(√ax+b)n dx=2(√ax+b)n+2 a(n+2) +C，a≠0，n≠?2 18.∫x n√ax+b dx=2 a(2n+3)x n(ax+b)32?2nb a(2n+3) ∫x n?1√ax+bdx循环计算 19.∫√ax+b x dx=2√ax+b+b x√ax+b =2√ax+b?2√b arctanh√ax+b b +C 20. x ax+b = ?b √ax+b ?b +C，b<0 21. x√ax+b = √b |√ax+b?√b √ax+b+√b |+C，b>0
不定积分表
Yz.Liu.2013.09 卷终公式表注解四 基本不定积分表 序言： 微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了发展之正轨。在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎覆盖各种不定积分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。 本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用，或均不在此给出推演方法，或仅以推演步骤简要之说明。 本表收录公式16组，151式。 公式一基本初等函数的不定积分18式：
上述公式均为基本初等函数之不定积分，其中部分公式均可以由分部积分公式给出，特别的，对于正切函数，余切函数， 正割函数与余割函数的不定积分，使用了诸多三角变换完成。 公式二 含ax b +的积分（要指出a 非零）10式： 对于其中的第二式，是利用换元积分完成的。 对于第一者，可以利用凑的方式，我们考虑分式11x b ax b a ax b ??=- ?++?? ，则得其积分是 显的： 111()ln ||x b b dx x d ax x ax b aC ax b a a ax b a a ????=-=-++ ? ?++???? ??。而第二式依然采取类似 的方式，可借由带余多项式除法算得：2 2211()2x x ax b ab b ax b a ax b ax b ??=+-+??+++?? ，然后利用 第一个积分式即可得到结论。 沿用了此结论所得到的。我们注意第一式中有 111111()(/)/b x ax b a x x b a a x x b a a ??==- ? +++??， 积分即得。对于第二式依然可用分离拆项的方式： 221()11()() ax b ax a b x ax b bx b x ax b +-=-++，然后 积分即可，而一般对于拆项，常用待定系数的方法完成。