叙述并证明全概率公式

叙述并证明全概率公式

叙述并证明全概率公式

全概率公式（total probability theorem）是概率论中非常重要的定理，它对多变量的概率分布有深刻的见解。它提供了计算多变量概率分布中特定事件发生的概率的方法，并且极大地拓宽了概率论的应用范围。

全概率公式可以表达为：

P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+...+P(A∣Bn)P(Bn)

其中，P(A)表示实验A的概率；P(B1)、P(B2)、…、P(Bn)表示事件B1、B2、…、Bn的概率；P(A∣B1)、P(A∣B2)、…、P(A∣Bn)表示在B1、B2、…、Bn条件下A发生的概率。

其下面给出全概率公式的证明：

首先，考虑一个实验A，该实验由事件B1、B2、…、Bn共同组成，且可以互斥，即B1∩B2=，B2∩B3=，…，Bn-1∩Bn=。在这些互斥的情况下，可以将实验A分解为n个互斥的子实验，即

A=B1∪B2∪…∪Bn。

根据概率论的基本定理，有：

P(A)=P(B1)+P(B2)+...+P(Bn)

又设在B1、B2、…、Bn情况下A发生的概率分别为

P(A∣B1)、P(A∣B2)、…、P(A∣Bn)，可得：

P(A∩B1)=P(A∣B1)P(B1)

P(A∩B2)=P(A∣B2)P(B2)

……………………

P(A∩Bn)=P(A∣Bn)P(Bn)

根据实验A=B1∪B2∪…∪Bn，又有：

P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+...+P(A∩Bn)

因此，将上面的两式相结合，可以得到全概率公式：

P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+...+P(A∣Bn)P(Bn)从而证明了全概率公式的正确性。

概率论的基本概论

第一章概率论的基本概论 确定现象：在一定条件下必然发生的现象，如向上抛一石子必然下落，等 随机现象：称某一现象是“随机的”，如果该现象（事件或试验）的结果是不能确切地预测的。 由此产生的概念有：随机现象，随机事件，随机试验。 例：有一位科学家，他通晓现有的所有学科，如果对一项试验（比如：掷硬币），该万能科学家也无法确切地预测该实验的结果（是正面朝上还是反面朝上），这一实验就是随机实验，其结果是“随机的”----为一随机事件。 例：明天下午三点钟”深圳市区下雨”这一现象是随机的，其结果为随机事件。 随机现象的结果（随机事件）的随机度如何解释或如何量化呢？ 这就要引入”概率”的概念。 概率的描述性定义：对于一随机事件A，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A发生的概率。 §1.1随机试验

以上试验的共同特点是: 1．试验可以在相同的条件下重复进行； 2．试验的全部可能结果不止一个，并且在试验之前能明确知道所有的可能结果； 3．每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但某一次试验究竟发生哪一个可能结果在试验之前不能预言。 我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机试验，它一定满足以上三个条件。我们把满足上述三个条件的试验叫随机试验，简称试验，记E。 §1.2样本空间与随机事件 (一) 样本空间与基本事件 E的一个可能结果称为E的一个基本事件，记为ω，e等。 E的基本事件全体构成的集，称为E的样本空间，记为S或Ω,即：S={ω|ω为E的基本事件}，Ω={e}. 注意：ω的完备性，互斥性特点。 例：§1.1中试验E 1 --- E7 E 1：S 1 ={H,T}

叙述并证明全概率公式

叙述并证明全概率公式 叙述并证明全概率公式 全概率公式（total probability theorem）是概率论中非常重要的定理，它对多变量的概率分布有深刻的见解。它提供了计算多变量概率分布中特定事件发生的概率的方法，并且极大地拓宽了概率论的应用范围。 全概率公式可以表达为： P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+...+P(A∣Bn)P(Bn) 其中，P(A)表示实验A的概率；P(B1)、P(B2)、…、P(Bn)表示事件B1、B2、…、Bn的概率；P(A∣B1)、P(A∣B2)、…、P(A∣Bn)表示在B1、B2、…、Bn条件下A发生的概率。 其下面给出全概率公式的证明： 首先，考虑一个实验A，该实验由事件B1、B2、…、Bn共同组成，且可以互斥，即B1∩B2=，B2∩B3=，…，Bn-1∩Bn=。在这些互斥的情况下，可以将实验A分解为n个互斥的子实验，即 A=B1∪B2∪…∪Bn。 根据概率论的基本定理，有： P(A)=P(B1)+P(B2)+...+P(Bn) 又设在B1、B2、…、Bn情况下A发生的概率分别为 P(A∣B1)、P(A∣B2)、…、P(A∣Bn)，可得： P(A∩B1)=P(A∣B1)P(B1) P(A∩B2)=P(A∣B2)P(B2)

…………………… P(A∩Bn)=P(A∣Bn)P(Bn) 根据实验A=B1∪B2∪…∪Bn，又有： P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+...+P(A∩Bn) 因此，将上面的两式相结合，可以得到全概率公式： P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+...+P(A∣Bn)P(Bn)从而证明了全概率公式的正确性。

概率论与数理统计重点总结及例题解析

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概率论与数理统计重点总结及例题解析 一：全概率公式和贝叶斯公式 例：某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8％，9%, 12% 。现从该厂产品中任意抽取一件，求：（1）取到不合格产品的概率；（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。（同步45页三、1） 解：设A1，A2，A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，B表示产品不合格，则A1，A2，A3为一个完备事件组。P(A1)=1/2, P(A2)=1/3, P(A3)=1/6, P(B| A1)＝，P(B| A2)＝，P(B| A3)＝。 由全概率公式P(B) = P(A1)P(B| A1)+ P(A2)P(B| A2)+ P(A3)P(B| A3) = 由贝叶斯公式：P(A1| B)＝P(A1B)/P(B) = 4/9 练习：市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍，第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2％，2％，4％。若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率是多少（ 同步49页三、1）【】

练习：设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：（同步29页三、5） （1）取出的零件是一等品的概率； （2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率。 解：设事件i A ={从第i 箱取的零件}，i B ={第i 次取的零件是一等品} （1）P(1B )=P(1A )P(1B |1A )+P(2A )P(1B |2A )= 5 2 301821501021=+ （2）P(1B 2B )=194.02121230 218 250210=+C C C C ,则 P(2B |1B )= ) () (121B P B B P = 二、连续型随机变量的综合题 例：设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨ ⎧<<=others x x x f 02 0)(λ 求：（1）常数λ；（2）EX ；(3)P{1

全概率公式及其应用论文

浅谈全概率公式及其应用 作 者：王托洛夫斯基文帅酷之健 指导教师：Yangjinying 摘要：本文分析了全概率公式的直观意义，介绍了使用全概率公式时寻找完备事件组的两种方法，并通过实例阐述了全概率公式在解决实际问题中的应用。 关键字：全概率公式；完备事件组；应用；样本空间 引言：概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率，全概率公式正好起到了这样的作用。对一个较复杂的事件A ，如果能找到一件伴随事件A 发生的完备事件组1B ,2B ,…，而计算各个i B 的概率与条件概率)|(i B A P 相对又要容易些，这是为了计算与事件A 有关的概率，可能需要是用全概率公式，本文就全概率公式及其应用做了详细的叙述。 一、 全概率公式及直观意义 全概率公式，又称全概公式，是指 ∑==n i i i A B P A P B P 1)|()()( 它实质上是一种分解式，若注意到 )()|()(i i i BA P A B P A P = 则求)(B P 的问题就转化为 +++)()()(321BA P BA P BA P …)(n BA P + 这里1BA ，2BA ，3BA ，…,n BA 两两互斥，注意到 321BA BA BA B =… n BA )(1 n i i A B == 就应有1A ,2A ,3A ,…，n A 两两互斥，且Ω== n i i A 1 于是1A ，2A ，3A …，n A 就成为一个完备事件组，这个完备事件组分割了事件B ，从而求)(B P 的问题最后归结为找一个合适的完备事件组的问题， 因此当事件B 比较复杂，直接计算)(B P 比较难时，设法找一个完备事件组1A ，2A ，3A ，…，n A 使 n i i BA B 1==，然后分别求出)(i BA P ，再相加，即可 求出)(B P 全概率公式的直观意义是：某事件B 发生的各种可能原因i A 1(=i ,2，3，…，)n 并且这些原因两两不能同时发生，如果B 是由原因i A 所引起的，

全概率公式及应用

【标题】全概率公式及应用 【作者】刘媛 【关键词】全概率公式随机事件条件概率 【指导老师】林昌盛 【专业】数学与应用数学 【正文】 一、引言 在研究实际问题的过程中,除了要考虑事件A的概率P(A)之外,还须考虑在“已知事件B已发生”条件事件A发生的概率.一般地说,后者的概率与前者的概率未必相同.为了清晰起见,第二类情况下的概率称为条件概率,记为P(A|B)或PB(A).条件概率是概率论中一个重要的基础概念,与之有关的三个重要公式是：乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式,其中以乘法公式为基础的全概率公式在实际中有着广泛的应用.全概率公式就是把一个复杂的事件分解成若干个互不相容的简单事件,再由简单事件的概率求得最后的结果.本文在具体分析全概率公式的同时还发展出几个由全概率公式导出的推论,在分析其中定理的同时还运用其公式解决实际生活中比较典型的例 子. 二、全概率公式的基本理论 定义设A1,A2,…,An为n个事件,若满足： （1）完全性：A1∪A2∪…∪An＝Ω； （2）互不相容性：AiAj＝,i≠j,I,j＝1,2,…,n； （3）P(Ai)＞0,i＝1,2,…,n, 则称A1,A2,…,An为Ω的一个完备事件组. 定理1 设A1,A2,…,An为一完备事件组,则对任一事件B,成 立：＝ 分析：从形式上看,公式的右边比左边复杂.实质上,定理中给出的条件“B是任一事件”往往很复杂,要直接求出B的概率很难入手,若能把事件B分解为许多简单的、互不相容的事件之和,且这些事件的概率可求,则求出就迎刃而解了.从下面的证明,也可以看出这个思路. 证明：∵＝Ω＝( )＝ 由条件（2）AiAj＝,i≠j ∴(BAi)(BAj)＝B(AiAj)＝＝(i≠j) ∴＝( )＝ 由于＞0,应用乘法公式得：＝.这个公式称为全概率公式. 全概率公式中的条件（1）可推广为,得如下定理： 定理2 设（1）A1,A2,…,An,…是两两互不相容的事件；（2）.则对事件有＝. 分析：从形式上看, 是的一个子集,并且A1,A2,…,An,…是两两互不相容的事件,那么我

第一章 随机事件及其概率总结

第一章随机事件及其概率 一、基本概念、基本定理、基本计算公式 1．几个基本概念 互不相容事件（即互斥事件）：事件A和B的交集为空，A与B就是互斥事件，也叫互不相容事件。也可叙述为：不可能同时发生的事件。如A∩B为不可能事件（A∩B=Φ），那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生对立事件：对立事件亦称“逆事件”，不可能同时发生。若A交B为不可能事件，A并B 为必然事件，那么称A事件与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。定义：其中必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件。 独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 2．（1）随机事件 在随机试验中，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，简称事件。随机事件具有以下特点： 首先，事件的发生具有偶然性。在一次试验中，它可能发生，也可能不发生；其次，在大量重复试验中，随机事件的发生具有某种规律性。 （2）概率 概率简单来说就是一个在 0 和 1 之间的数，用来度量在一定条件下事件发生的可能性大小。两个极端情况是，在一定条件下必定发生的事件，其概率是 1；在一定条件下不可能发生的事件，其概率是 0。任一事件的概率在 0 和 1 之间。 我们用 P(A)表示事件 A 的概率，用 S 表示必然事件，用 表示不可能事件，则有P(S)=1， 0≤P(A) ≤1. （3）条件概率 a．条件概率P（A|B）与概率 P（A）的区别 条件概率P（A|B）是指在添加条件“事件 B 发生”时，事件 A 发生的可能性大小，及P（A|B）仍是概率。二者一般在数值上也不相同。 计算性质： b．积事件 P（AB）与条件概率 P（A|B）的区别 初学者往往分不清求的是 P（A|B）还是P（AB），这是容易混淆的问题之一，尤其在实际计算问题中P（A|B）是指在 B 发生的条件下 A 发生的概率，而P（AB）是指 A、 B 同时发生的概率。 （4）独立性、相互独立 a．正确理解独立的概念 若两事件 A、B 满足 P(AB)=P(A)P(B)则称 A、B 相互独立，或 A、B 独立。即：设两事件 A、B， .若 A、B 相互独立，则P(A|B)=P(A) 反之亦然。若A与B相互独立，则 与与，与也相互独立。（别以为你穿马甲我就不认识你了） A B A B A B , b.多个事件相互独立（判断条件，例题）

概率论与数理统计(二)

概率论与数理统计(二)

内容串讲 第一章 随机事件及其概率 1． 事件的关系与运算 必然事件：Ω—随机试验全部结果构成的集合。 不可能事件：φ 一般事件A ：A φ??Ω 若A 、B 为两事件 若B A ?，则其蕴含：“A 发生导致B 发生”。 若φ=?=B A AB ，这表示A 发生时，B 必 不发生，反之亦然。 若 A-B=A ，则AB=φ； 若 AB=A ，则B A ?； 若A ∪B ＝A ，则B ?A 。 若n A A A Λ,,2 1 为n 个事件，由它们的运算可产生诸多新事件， 如 1 1 1 1 ,,n n n i i i i i i i i A A A A ∞ =====U U U I 等等。 例1 事件Y n i i A 1 =发生等于“n A A A Λ,,2 1 至少有1个发生”。 2．常用概率公式

例3 从五个球（其中两个白球、三个红球）中任取两球，设A ：取到两个白球；B ：一白一红球，求)(),(B P A P （1）无放回抽样： 101)(2 5 22= = C C A P 5 3)(2 5 1 31 2= = C C C B P （2）有放回抽样：每次有放回的取一球，连取两次 2 )5 2 ()(=A P 1223()()() 55 P B C = ［注］：若设X 为两次有放回取球中取到白球数，则X ～ ) 5 2 ,2(B ，从而12122 )5 21()52()2()(--===C X P A P 4．条件概率 （1）若0)(>B P ，则) () ()(B P AB P B A P =，其中A 为任一事件。 （2）乘法公式：)()()(A B P A P AB P = )()(B A P B P = ) ()()()(AB C P A B P A P ABC P = （其中0)(>AB P ） 例4 箱中有两白球、三红球，i A 表第i 次取到白球，则 P （“前两次取到白球”）10 1 4152)()()(12 1 2 1 =?= ==A A P A P A A P

概率论基本公式

概率论与数理统计基本公式 第一部分 概率论基本公式 1、)(;A B A B A AB A B A B A -?=?-==-- 例：证明： 成立。得证。成立，也即成立，也即（不发生，从而发生，则不发生，，知由（证明：（B A B A AB A B B A AB A B B B A B A B A AB A B B A --=-?-?-==-=-?- - )). ) 2、对偶率：.- - - - ?=??=?B A B A B A B A ； 3、概率性率： (1))()()(212121A P A P A A P A A +=?为不相容事件，则、有限可加： (2) ) ()();()()(),()()(B P A P B P A P B A P A B AB P A P B A P ≥-=-?-=-时有：特别， （3）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?对任意两个事件有： ) ();();();()1(.4.0)(2.0)(5.0)(AB P B A P B A P AB P B P B A P A P ?-===- -求：，，例：已知：. 3.0)(1)(,7.0)()()()(3 .0)()()(,5.0)(.,2.0)()()()(,=?-=?==-+=?=-=-∴===+∴=+- --B A P B A P AB P AB P B P A P B A P AB P A P B A P A P AB P B P B A P AB P B A B B B A AB 又即是不相容事件，、且解： 4、古典概型 2 22 n 2!)(n ,22)-n 2)!n 2(22n C n A P C A n n n ==！，则自成一双为：！！（解：分堆法：每堆自成一双鞋的概率 只，事件堆，每堆为只，分为双鞋总共例： 5、条件概率 称为无条件概率。的条件概率，条件下，事件称为在事件)(,) () ()|(B P B A A P AB P A B P = B)|P(B)P(A P(AB) A)|P(A)P(B P(AB)==乘法公式： )|()()(i i A B P A P B P i ∑=全概率公式： ) |()() |()() () ()|(j j j i i i A B P A P A B P A P B P B A P B A P i ∑== 贝叶斯公式： 例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2

叙述全概率公式与贝叶斯公式,举例说明全概率公式与贝叶斯公式求法;

叙述全概率公式与贝叶斯公式,举例说明全概率公式与贝叶斯公式求法; 全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的重要概念，它们都可以用来计算概率。 全概率公式是概率论中最基本的公式，它表示一个事件发生的概率等于它发生的条件概率 乘以它发生的先决条件概率之和。全概率公式可以用来计算一个事件发生的概率，它的公 式为：P(A)=∑P(A|B)P(B)，其中A表示事件，B表示先决条件，P(A|B)表示A发生的条件概率，P(B)表示B发生的概率。 例如，假设有一个抛硬币的实验，我们想知道抛出正面的概率。根据全概率公式，我们可 以得出：P(正面)=P(正面|硬币1)P(硬币1)+P(正面|硬币2)P(硬币2)，其中P(正面|硬币1)和P(正面|硬币2)分别表示硬币1和硬币2抛出正面的概率，P(硬币1)和P(硬币2)分别 表示硬币1和硬币2被抛出的概率。 贝叶斯公式是概率论中另一个重要的公式，它表示一个事件发生的概率等于它发生的条件概率乘以它发生的先决概率，再除以它发生的先决概率之和。贝叶斯公式可以用来计算一 个事件发生的概率，它的公式为：P(A|B)=P(A|B)P(B)/P(B)，其中A表示事件，B表示先 决条件，P(A|B)表示A发生的条件概率，P(B)表示B发生的概率。 例如，假设有一个抛硬币的实验，我们想知道抛出正面的概率。根据贝叶斯公式，我们可 以得出：P(正面|硬币1)P(硬币1)/P(硬币1)=P(正面|硬币1)，其中P(正面|硬币1)表示硬币1抛出正面的概率，P(硬币1)表示硬币1被抛出的概率。 总之，全概率公式和贝叶斯公式都可以用来计算概率，它们的公式分别为： P(A)=∑P(A|B)P(B)和P(A|B)=P(A|B)P(B)/P(B)。以上就是全概率公式和贝叶斯公式的概述，以及两个公式的求法。

全概率公式应用技巧探讨

全概率公式应用技巧探讨 摘要: 本文用实例讨论全概率公式如何应用于数学归纳法与递推关系式，来 解决复杂概率问题的计算问题，最后讨论全概率公式如何应用于复杂数学期望的 计算。 关键词: 全概率公式；数学归纳法；递推关系式；数学期望。 中图分类号: O172 文献标识码Ａ 全概率公式是概率论中一个非常重要的公式，蕴含了化整为零, 化复杂为简 单的数学思想，在概率的计算中发挥着非常重要的作用，应用非常广泛，但是在 一些复杂概率计算中用好全概率公式可不是一件简单的事情。本文用实例讨论全 概率公式如何与数学归纳法与递推关系式结合，来解决复杂概率问题的计算问题，最后讨论用全概率公式解决复杂数学期望的计算问题。 1.全概率公式 定理1[1]：设是一个概率空间, 为的一个划分, 且 ，对任何事件，有 上式称为全概率公式. 2.全概率公式用于归纳法 例1盒中放有球，其中个是红球，其余个是白球，从中不放回抽球． 证明 (1) 第次取出红球的概率为；

(2) 第次取出红球第次取出白球的概率（）。 证明 (1) 对用数学归纳法，记为“第次取出红球” 时， 假设，则由全概率公式 其中等于新盒中放有个是红球，个白球，第次取出红球的无条件概率，由归纳假设同理， 故 所以，对任意，有。 注意这里全概率公式使用技巧，为计算，我们将第一次取球的两种情况作为一个划分使用全概率公式，并且对和使用归纳假设。如果将第次取球的两种情况作为一个划分使用全概率公式的话，和是没法计算的。对本题的第二问以及下一题，我们使用同样的技巧。 (2) 对用数学归纳法，当时， 假设，则当时，由全概率公式 实际上是在第一次取出取出红球时第次取出红球第次取出白球的条件概率，相当于新盒中放有个红球，个白球，第次取出红球

全概率公式证明过程

全概率公式证明过程 全概率公式是概率论中的一个重要公式，它可以用来计算一个事件在不同条件下的概率。在本文中，我们将详细介绍全概率公式的证明过程。 我们需要明确全概率公式的表达式： P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn) 其中，A表示事件，B1、B2、…、Bn表示一组互不相交的事件，且它们的并集等于样本空间。P(Bi)表示事件Bi发生的概率，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率。 接下来，我们来证明全概率公式。 假设事件A和B1、B2、…、Bn满足上述条件，我们需要证明： P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn) 我们可以将事件A表示为： A = (A∩B1) ∪ (A∩B2) ∪ … ∪ (A∩Bn) 这是因为事件A可以被分解为在B1、B2、…、Bn中的任意一个事件发生时，A发生的情况。 接下来，我们可以利用加法公式将上式展开：

P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + … + P(A∩Bn) 然后，我们可以将每个交集表示为条件概率的形式： P(A∩Bi) = P(Bi)P(A|Bi) 这是因为在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率可以表示为P(A|Bi)。 将上式代入前面的公式中，我们得到： P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn) 这就是全概率公式的证明过程。 总结一下，全概率公式是概率论中的一个重要公式，它可以用来计算一个事件在不同条件下的概率。证明过程中，我们利用了事件A 可以被分解为在B1、B2、…、Bn中的任意一个事件发生时，A发生的情况这一性质，然后利用加法公式和条件概率的定义，推导出了全概率公式的表达式。

全概率公式与贝叶斯公式

§ 1.4 全概率公式与贝叶斯公式 教学对象：数学专业本科生 教学目标：让学生掌握全概率公式与贝叶斯公式的应用 课型：新授课 课时：1课时 重点与难点：全概率公式与贝叶斯公式的应用背景、相互的联系与区别以及在实 教学方法：教学安排： 际中的应用 讲授法，情境问题法 （1）课堂导入（2）讲授新课、举例（3）拓展与思考（4）思考（5）布置作业 教学过程: （一）给出引例，导入新课 在前面的学习中，我们已经熟悉了求概率的几种方法：频率方法、古典方法和几何方法，对较简单的事件，这些方法是很好用的，但是当事件比较复杂时，这些方法用起来就显得力不从心了。 引例小王要去外地出差几天，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾。若已知如果几天内邻居记得浇水，花存活的概率为0.8,如果几天内邻居忘记浇水，花存活的概率为0.3,假设小王对邻居不了解，即可以认为他记得和忘记浇水的概率均为0.5,问：几天后他回来花还活着的概率。 讨论：这个问题可以用我们以前所学过的方法求解吗？ 【评析】对此类较复杂的概率问题，用我们以前的知识就解决不了了。 （二）讲授新课 在上例中，事件“花活着”有两种情况可以导致它发生：记得浇水和忘记浇水，而“记得浇水”和“忘记浇水”把样本空间划分成了两个互不相容的部分，称为一个划分，具体的定义如下： 1.划分 定义1设B,B2,…，B n ",且满足 n ①- B i（完全性）； i =1 ②对-i, j，B j -：」（互斥性）。 则称B「B2, ,B n构成门的一个划分。 【课堂提问】

①能举出日常生活中划分的例子吗？ ②最简单的划分是怎样的？ ③仔细观察上图，当B I,B2,…，B n构成门的一个划分，B I,B2,…，B n是否也将任 一个事件A划分成了若干个互不相容的部分？它们如何表示？ 【评析】 ①一块玻璃摔在地上破碎了，各个碎片就是原来玻璃的一个划分。 ②最简单的划分就是B和B. ③当B I,B2,…，B n构成门的一个划分，B I,B2,…，B n也将任一个事件A划分成 了若干个互不相容的部分，它们分别表示为AB,AB2,…，AB n，当然，它们中间 可能有的是门。 2.全概率公式 在上例中，设B=“记得浇花” ，B=“忘记浇花”，则B和B就构成了门的 一个划分，设事件A= “花还活着”，则A也被B和B划分为两个互不相容的部 分：AB,AB。 由前面概率的性质知道：P(A)二P(AB AB)二P(AB) P(AB) =P(A| B) P(B) P(A| B) P(B) =0.8 0.5+0.3 0.5 =0.55。 性质1.4.3 (全概率公式) 设B I,B2,…，Bn为样本空间11的一个划分，如果 P(B i) 0,i =1,2/ ,n，则对任一事件A有 n P(A)八P(B i)P(A|BJ. i =1 证明：略 【例题1】某保险公司把被保险人分为3类：谨慎的”、一般的”、冒失的”。统计资料表明，这3种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30; 如果谨慎的”被保险人占20%, 一般的”占50%，冒失的”占30%，一个被保险人在一年内出事故的概率是多大？ 解：设B i= “他是谨慎的” ，B2= “他是一般的” ，B3= “他是冒失的”，则

概率论与数理统计统计课后习题答案(有过程)

概率论与数理统计统计课后习题答案(有过程) 第一章习题解答 1．解：（1）Ω=｛0，1，…，10｝； （2）Ω=｛，1，…，100n｝，其中n为小班人数；n （3）Ω=｛√,×√, ××√, ×××√,…｝,其中√表示击中，×表示未击中； （4）Ω=｛（x,y）｝。 2．解：（1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员； （2）当全学院运动员都是三年级学生时，关系式是正确的； （3）全学院运动员都是三年级的男生，ABC=C成立； （4）当全学院女生都在三年级并且三年级学生都是女生时，=B成立。 3．解：（1）ABC；（2）AB；（3）；（4）；（5）； （6） 4．解：因，则P（ABC）≤P（AB）可知P（ABC）=0 所以A、B、C至少有一个发生的概率为 P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）=3×1/4-1/8+0 =5/8 5．解：（1）P（A∪B）= P（A）+P（B）-P（AB）=0.3+0.8-0.2=0.9 P(A)=P（A）-P（AB）=0.3-0.2=0.1 （2）因为P（A∪B）= P（A）+P（B）-P（AB）≤P（A）+P（B）=α+β, 所以最大值maxP （A∪B）=min(α+β,1)； 又P（A）≤P（A∪B），P（B）≤P（A∪B）,故最小值min P（A∪B）=max(α,β) 6．解：设A表示事件“最小号码为5”，B表示事件“最大号码为5”。 223由题设可知样本点总数，。 2C52C411所以； 7．解：设A表示事件“甲、乙两人相邻”， 若n个人随机排成一列，则样本点总数为n!，， 1 若n个人随机排成一圈.可将甲任意固定在某个位置，再考虑乙的位置。表示按逆时针方向乙在甲的第i个位置，。则样本空间 ，事件所以 8．解：设A表示事件“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中有数8”，则其对立事件A表示“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中没有数8”，即号码中每一位都可从除8以外的其他9个数中取，因此A包含的基本事件数为，样本点总数为104。故 94 9．解：设A、B、C分别表示事件“恰有2件次品”、“全部为正品”、“至少有1件次品”。4224由题设知样本点总数， 而，所以n10n6 10．解：设A、B、C、D分别表示事件“5张牌为同一花色”、“3张同点数且另2张牌也同点数”、“5张牌中有2个不同的对（没有3张同点）”、“4张牌同点数”。

2023年春《条件概率课时2》教学设计

《条件概率》教学设计 课时2全概率公式 一、本节内容分析 本节主要在必修课程概率的基础上,通过研究简单事件求复杂事件的概率,主要内容为条件概率和概率的乘法公式.条件概率的概念在概率理论中占有十分重要的地位,教科书只是简单介绍条件概率的初等定义.为了便于学生理解,教材以简单事例为载体,逐步通过探究,引导学生体会条件概率的思想. 全概率公式是概率论中一个基本而重要的公式,其基本思想是利用一组两两互斥的事件,将一个复杂事件表示为两两互斥事件的和事件,再由概率的加法公式和乘法公式求这个复杂事件的概率,它为计算某些事件的概率提供了有力的工具.在本节,教材创设不同的情境,让学生先直观认识条件概率的意义,通过列举试验的样本空间,发现条件概率的本质是在缩小的样本空间上的概率,然后从特殊到一般,抽象出条件概率的定义.同样地,通过具体实例,提炼出求复杂事件概率的基本思路,将其一般化得到全概率公式.利用全概率公式计算概率,体现了分解与综合、化难为易的转化思想. 本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:

二、学情整体分析 学生具有一定的分析问题和解决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成,并且对概率有了一些基础的认识,对一些简单的概率模型(古典概型、条件概率)已经有所了解.但由于年龄的原因,思维尽管活跃、敏捷,但缺乏冷静、深刻.在学习中,学生可能对条件概率的判断和计算,会有些困难,但相比较,计算上困难会更大一些. 全概率公式的思想是用简单事件的运算表示复杂事件,利用概率的性质及概率公式简化概率的计算,这种思想方法具有一般性,贝叶斯公式虽然本质上是求条件概率,但隐含着深刻的数学思想,它反映了试验之后对各种“原因”发生可能性大小的新认识.学生还可能存在混淆两个事件相互独立与两个事件互斥的概念,并由此引发概率公式运用错误. 学情补充:____________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 三、教学活动准备 【任务专题设计】 1.条件概率 2.全概率公式 【教学目标设计】 1.结合古典概型,了解条件概率与概率的乘法公式,了解条件概率与独立性的关系,熟悉条件概率的性质,能计算简单随机事件的条件概率. 2.结合古典概型,理解全概率公式的概念 ,达到数学抽象素养.会利用全概率公式计算概率. 3.了解贝叶斯公式. 【教学策略设计】 由于学生自我归纳能力较差,又习惯于就题论题,因此适合提问引导启发式授课方式和归类对比的学习方法.讲解的时候,应做到适当启发、设问,引发学生对问题的思考,引导学生找到解题

全概率公式的应用与推广

全概率公式的应用与推广 摘要;全概率公式是概率论的一个重要公式，也是概率论中的一个难点，它包括着概率的加法公式、概率的乘法公式以及概率的条件概率公式等，它提供了一条有效的途径来计算复杂事件的概率，通常能够使比较复杂事件的概率计算问题得到简化，在实际中应用的较为广泛。本文列举了几个例子并给出了三种推广形式，拓展了它在我们日常生活中的使用范围，进而成为我们解决类似的更加复杂问题的行之有效的工具，帮助我们更好地解决实际问题. 关键词;全概率公式 样本空间 事件 概率论是统计学在现实生活中应用的理论基础，它的特点是推理严谨和逻辑性较强，是学生学习中属于学习比较困难的学科，尤其是正确的应用全概率公式.在概率论中全概率公式是一个重要公式，它不仅含盖了事件的并和互不相容的概念，而且包括着概率的加法公式、概率的乘法公式以及概率的条件概率公式等，它提供了一条有效的途径来计算复杂事件的概率，通常能够使比较复杂事件的概率计算问题得到简化，在实际中应用的较为广泛. 1.全概率公式 性质（全概率公式）：假设对一个样本空间Ω，有12,,,n A A A 一列事件，若12,,,n A A A 为其的一个分割，即12,,,n A A A 互不相容，且Ω== n i i A 1，如果 ()()0,1,2,,,i P A i n >= ,则对任一事件B 有()()()i i 1P B P A P B|A n i ==∑)1(. 证明 如下图所示: 事件12,,,n A A A 中有且只有一个与事件B 同时发生，其中12,,,n A A A 互不相容，即∑==n i i BA B 1，显然12,,n BA BA BA 也互不相容. ∴由概率的加法公式和概率的乘法公式得：

概率论与数理统计概念

概率论与数理统计概念

1.1. 阶乘 设n 为自然数，则n 的阶乘 !123n n =⋅⋅⋅⋅ 规定：0!1= 1.2. 排列 1.2.1. 选排列 从n 个不同的元素中取k 个，有顺序的排列，对排列种数进行计数。 ! (1)(2)(1)()! k n k n P n n n n k n k =---+=- 个

从n 个不同的元素有顺序的排列，对排列种数进行计数。 !n P n = 1.2.3. 有重复的排列 1. 从n 个不同的元素中有放回的取k 个（放回抽样），按取出的顺序排列 2. 把k 个球等概率的放到n 个格子里 3. 用n 个数字构成k 位号码 k k n P n = 1.2.4. 环排列 !()!k k n n n P P k k n k = -= (1)!n P n =- 1. k 个元素的相对位置相同，算一种，所以除以k 2. 一个元素的位置固定，其他(n -1)个元素排列 1.3. 组合 从n 个不同的元素中取k 个，不管顺序的合并成一组，对组合种数进行计数。 (1)(2)(1) !! ! ()!! k k n n P n n n n k n C k k n k k ---+= = = - 取到k 个相同的值，如考虑顺序共!k 种情况，把这!k 种情况算一种，所以除以!k

常用公式 k n k n n C C -= 1n C = 1 n C n = 2. 事件的关系运算 A B AB =⇒=∅ （对立事件也是互不相容事件） A B AB -= ABC 中至少有两个发生 A B B C A C ⋃⋃ ABC 中不多于一个发生 多于一个 至少有两个 AB BC AC ⋃⋃