数的定点表示和浮点表示

计算机处理的数值数据多数带有小数，小数点在计算机中通常有两种表示方法，一种是约定所有数值数据的小数点隐含在某一个固定位置上，称为定点表示法，简称定点数；另一种是小数点位置可以浮动，称为浮点表示法，简称浮点数。

1. 定点数表示法(fixed-point)

所谓定点格式，即约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。在计算机中通常采用两种简单的约定：将小数点的位置固定在数据的最高位之前，或者是固定在最低位之后。一般常称前者为定点小数，后者为定点整数。

定点小数是纯小数，约定的小数点位置在符号位之后、有效数值部分最高位之前。若数据x的形式为x=x0.x1x2…

xn(其中x0为符号位，x1～xn是数值的有效部分，也称为尾数，x1为最高有效位)，则在计算机中的表示形式为：

一般说来，如果最末位xn= 1，前面各位都为0，则数的绝对值最小，即|x|min= 2-n。如果各位均为1，则数的绝对值最大，即|x|max=1-2-n。所以定点小数的表示范围是：

2-n≤|x|≤1 -2-n

定点整数是纯整数，约定的小数点位置在有效数值部分最低位之后。若数据x的形式为x=x0x1x2…xn(其中x0为符号位，x1～xn是尾数，xn为最低有效位)，则在计算机中的表示形式为：

定点整数的表示范围是：

1≤|x|≤2n-1

当数据小于定点数能表示的最小值时，计算机将它们作0处理，称为下溢；大于定点数能表示的最大值时，计算机将无法表示，称为上溢，上溢和下溢统称为溢出。

计算机采用定点数表示时，对于既有整数又有小数的原始数据，需要设定一个比例因子，数据按其缩小成定点小数或扩大成定点整数再参加运算，运算结果，根据比例因子，还原

成实际数值。若比例因子选择不当，往往会使运算结果产生溢出或降低数据的有效精度。

用定点数进行运算处理的计算机被称为定点机。

2. 浮点数表示法(floating-point number)

与科学计数法相似，任意一个J进制数N，总可以写成

N = J E×M

式中M称为数N的尾数(mantissa)，是一个纯小数；E为

数N的阶码(exponent)，是一个整数，J称为比例因子J E的底数。这种表示方法相当于数的小数点位置随比例因子的不同而在一定范围内可以自由浮动，所以称为浮点表示法。

底数是事先约定好的(常取2)，在计算机中不出现。在机器中表示一个浮点数时，一是要给出尾数，用定点小数形式表示。尾数部分给出有效数字的位数，因而决定了浮点数的表示精度。二是要给出阶码，用整数形式表示，阶码指明小数点在数据中的位置，因而决定了浮点数的表示范围。浮点数也要有符号位。因此一个机器浮点数应当由阶码和尾数及其符号位组成：

其中ES表示阶码的符号，占一位，E1～En为阶码值，

占n位，尾符是数N 的符号，也要占一位。当底数取2 时，二进制数N 的小数点每右移一位，阶码减小1，相应尾数右移一位；反之，小数点每左移一位，阶码加1，相应尾数左移一位。

若不对浮点数的表示作出明确规定，同一个浮点数的表示就不是唯一的。例如11.01也可以表示成0.011012-3，

0.1101×2-2等等。为了提高数据的表示精度，当尾数的值不为0时，其绝对值应大于等于0.5，即尾数域的最高有效位应为1，否则要以修改阶码同时左右移小数点的方法，使其变成这一要求的表示形式，这称为浮点数的规格化表示。

当一个浮点数的尾数为0时，不论其阶码为何值，或者当阶码的值遇到比它能表示的最小值还小时，不管其尾数为何值，计算机都把该浮点数看成0值，称为机器零。

浮点数所表示的范围比定点数大。假设机器中的数由8位二进制数表示(包括符号位)：在定点机中这8位全部用来表示有效数字(包括符号)；在浮点机中若阶符、阶码占3位，尾

符、尾数占5位，在此情况下，若只考虑正数值，定点机小数表示的数的范围是0.0000000到0.1111111，相当于十进制数的0到127／128，而浮点机所能表示的数的范围则是2- 11×0.0001到211×0.1111，相当于十进制数的1／128到7.5。显然，都用8位，浮点机能表示的数的范围比定点机大得多。

尽管浮点表示能扩大数据的表示范围，但浮点机在运算过程中，仍会出现溢出现象。下面以阶码占3位，尾数占5位(各包括1位符号位)为例，来讨论这个问题。图2-1 给出了相应的规格化浮点数的数值表示范围。

图2-1规格化浮点数分布示意图

图2-1 中，“可表示的负数区域”和“可表示的正数区域”及“0”，是机器可表示的数据区域；上溢区是数据绝对值太大，机器无法表示的区域；下溢区是数据绝对值太小，机器无法表示的区域。若运算结果落在上溢区，就产生了溢出错误，使得结果不能被正确表示，要停止机器运行，进行溢

出处理。若运算结果落在下溢区，也不能正确表示之，机器当0 处理，称为机器零。

一般来说，增加尾数的位数，将增加可表示区域数据点的密度，从而提高了数据的精度；增加阶码的位数，能增大可表示的数据区域。

数的定点表示和浮点表示

计算机处理的数值数据多数带有小数，小数点在计算机常有两种表示方法，一种是约定所有数值数据的小数点隐含在某一个固定位置上，称为定点表示法，简称定点数；另一种是小数点位置可以浮动，称为浮点表示法，简称浮点数。 1. 定点数表示法(fixed-point) 所谓定点格式，即约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。在计算机常采用两种简单的约定：将小数点的位置固定在数据的最高位之前，或者是固定在最低位之后。一般常称前者为定点小数，后者为定点整数。 定点小数是纯小数，约定的小数点位置在符号位之后、有效数值部分最高位之前。若数据x的形式为x=x0.x1x2… xn(其中x0为符号位，x1～xn是数值的有效部分，也称为尾数，x1为最高有效位)，则在计算机中的表示形式为： 一般说来，如果最末位xn= 1，前面各位都为0，则数的绝对值最小，即|x|min= 2-n。如果各位均为1，则数的绝对值最大，即|x|max=1-2-n。所以定点小数的表示围是：

2-n≤|x|≤1 -2-n 定点整数是纯整数，约定的小数点位置在有效数值部分最低位之后。若数据x的形式为x=x0x1x2…xn(其中x0为符号位，x1～xn是尾数，xn为最低有效位)，则在计算机中的表示形式为： 定点整数的表示围是： 1≤|x|≤2n-1 当数据小于定点数能表示的最小值时，计算机将它们作0处理，称为下溢；大于定点数能表示的最大值时，计算机将无法表示，称为上溢，上溢和下溢统称为溢出。 计算机采用定点数表示时，对于既有整数又有小数的原始数据，需要设定一个比例因子，数据按其缩小成定点小数或扩大成定点整数再参加运算，运算结果，根据比例因子，还原

C语言的数据类型→浮点型数据

C语言的数据类型→浮点型数据 一、浮点型常量的表示方法： C语言中的浮点数（floating point unmber）就是平常所说的实数。 浮点数有两种表示形式： （1）、十进制小数形式。它由数字和小数点组成（注意必须有小数点）。 如：0.123 、 123.、123.0、0.0 都是十进制小数形式。 （2）、指数形式。 如：123e3或123E3都代表123*103。 注意字母e(或E)之前必须有数字，且e后面的指数必须为整数，如e3、 2.1e 3.5、 e3、 e 等都不是合法的指数形式。 一个浮点数可以有多种指数表示形式。例如123.456e0、 12.3456e1、1.23456e2 、 0.123456e3 、 0.0123456e4 、 0.00123456e5等。其中的1.23456e2称为“规范化的指数形式”。即在字母e(或E)之前的小数部分中，小数点左边应有一位（且只能有一位）非零的数字。例如2.3478e2 、 3.099E5 、 6.46832E12都属于规范化的指数形式，而

12.908e10 、0.4578E3 、 756e0则不属于规范化的指数形式。一个浮点数在用指数形式输出时，是规范化的指数形式输出的。例如。若指定将实数5689.65按指数形式输出。输出的形式是5.68965e+003,而不会是0.568965e+004或56.8965e+002。 二、浮点型变量 一个浮点型数据一般在内存中4个字节（32位）。与整型数据的存储方式不同，浮点型数据是按照指数形式存储的。系统把一个浮点型数据分成小数部分和指数部分，分别存放。指数部分采用规范化的指数形式。例如：实数3.14159在内存中的存放形式可以用下图来表示： 1、浮点型变量在内存中的存放形式。 上图使用十进制数来表示的，实际上在计算机中是用二进制数来表示小数部分以及用2的幂次来表示指数部分的。

浮点数的表示和基本运算

浮点数的表示和基本运算 1 浮点数的表示 通常，我们可以用下面的格式来表示浮点数 S P M 其中S是符号位，P是阶码，M是尾数 对于IBM-PC而言，单精度浮点数是32位（即4字节）的，双精度浮点数是64位（即8字节）的。两者的S，P，M所占的位数以及表示方法由下表可知 S P M表示公式偏移量 1823(-1)S*2(P-127)*1.M127 11152(-1)S*2(P-1023)*1.M1023 以单精度浮点数为例，可以得到其二进制的表示格式如下 S(第31位)P(30位到 23位) M(22位到 0位) 其中S是符号位，只有0和1，分别表示正负；P是阶码，通常使用移码表示（移码和补码只有符号位相反，其余都一样。对于正数而言，原码，反码和补码都一样；对于负数而言，补码就是其绝对值的原码全部取反，然后加1.） 为了简单起见，本文都只讨论单精度浮点数，双精度浮点数也是用一样的方式存储和表示的。 2 浮点数的表示约定 单精度浮点数和双精度浮点数都是用IEEE754标准定义的，其中有一些特殊约定。 （1） 当P = 0, M = 0时，表示0。 （2） 当P = 255, M = 0时，表示无穷大，用符号位来确定是正无穷大还是负无穷大。

（3） 当P = 255, M != 0时，表示NaN（Not a Number，不是一个数）。 当我们使用.Net Framework的时候，我们通常会用到下面三个常量 Console.WriteLine(float.MaxValue); // 3.402823E+38 Console.WriteLine(float.MinValue); //-3.402823E+38 Console.WriteLine(float.Epsilon); // 1.401298E-45 //如果我们把它们转换成双精度类型，它们的值如下 Console.WriteLine(Convert.ToDouble(float.MaxValue)); // 3.40282346638529E+38 Console.WriteLine(Convert.ToDouble(float.MinValue)); //-3.40282346638529E+38 Console.WriteLine(Convert.ToDouble(float.Epsilon)); // 1.40129846432482E-45 那么这些值是如何求出来的呢？ 根据上面的约定，我们可以知道阶码P的最大值是11111110（这个值是254，因为255用于特殊的约定，那么对于可以精确表示的数来说，254就是最大的阶码了）。尾数的最大值是11111111111111111111111。 那么这个最大值就是：0 11111110 11111111111111111111111。 也就是 2(254-127) * (1.11111111111111111111111)2 = 2127 * (1+1-2-23) = 3.40282346638529E+38 从上面的双精度表示可以看出，两者是一致的。最小的数自然就是- 3.40282346638529E+38。 对于最接近于0的数，根据IEEE754的约定，为了扩大对0值附近数据的表示能力，取阶码P = -126，尾数 M = (0.00000000000000000000001)2 。此时该数的二进制表示为：0 00000000 00000000000000000000001 也就是2-126 * 2-23 = 2-149 = 1.40129846432482E-45。这个数字和上面的Epsilon 是一致的。 如果我们要精确表示最接近于0的数字，它应该是 0 00000001 00000000000000000000000 也就是：2-126 * (1+0) = 1.17549435082229E-38。 3 浮点数的精度问题 浮点数以有限的32bit长度来反映无限的实数集合，因此大多数情况下都是一个近似值。同时，对于浮点数的运算还同时伴有误差扩散现象。特定精度下看似

数的定点表示和浮点表示

计算机处理的数值数据多数带有小数，小数点在计算机中通常有两种表示方法，一种是约定所有数值数据的小数点隐含在某一个固定位置上，称为定点表示法，简称定点数；另一种是小数点位置可以浮动，称为浮点表示法，简称浮点数。 1. 定点数表示法(fixed-point) 所谓定点格式，即约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。在计算机中通常采用两种简单的约定：将小数点的位置固定在数据的最高位之前，或者是固定在最低位之后。一般常称前者为定点小数，后者为定点整数。 定点小数是纯小数，约定的小数点位置在符号位之后、有效数值部分最高位之前。若数据x的形式为x=x0.x1x2… xn(其中x0为符号位，x1～xn是数值的有效部分，也称为尾数，x1为最高有效位)，则在计算机中的表示形式为： 一般说来，如果最末位xn= 1，前面各位都为0，则数的绝对值最小，即|x|min= 2-n。如果各位均为1，则数的绝对值最大，即|x|max=1-2-n。所以定点小数的表示范围是：

2-n≤|x|≤1 -2-n 定点整数是纯整数，约定的小数点位置在有效数值部分最低位之后。若数据x的形式为x=x0x1x2…xn(其中x0为符号位，x1～xn是尾数，xn为最低有效位)，则在计算机中的表示形式为： 定点整数的表示范围是： 1≤|x|≤2n-1 当数据小于定点数能表示的最小值时，计算机将它们作0处理，称为下溢；大于定点数能表示的最大值时，计算机将无法表示，称为上溢，上溢和下溢统称为溢出。 计算机采用定点数表示时，对于既有整数又有小数的原始数据，需要设定一个比例因子，数据按其缩小成定点小数或扩大成定点整数再参加运算，运算结果，根据比例因子，还原

浮点数和定点数的区别

cloudseawang 定点数与浮点数区别 最近做HDR时，经常要用NV提供的16位纹理，它的说明书16位能达到24位的精度，就很奇怪？一直搞不懂浮点数的精度怎么算的？ 今天认真看了一下IEEE float point的标准，终于明白是什么了 1. 什么是浮点数 在计算机系统的发展过程中，曾经提出过多种方法表达实数。典型的比如相对于浮点数的定点数（Fixed Point Number）。在这种表达方式中，小数点固定的位于实数所有数字中间的某个位置。货币的表达就可以使用这种方式，比如99.00 或者00.99 可以用于表达具有四位精度（Precision），小数点后有两位的货币值。由于小数点位置固定，所以可以直接用四位数值来表达相应的数值。SQL 中的NUMBER 数据类型就是利用定点数来定义的。还有一种提议的表达方式为有理数表达方式，即用两个整数的比值来表达实数。 定点数表达法的缺点在于其形式过于僵硬，固定的小数点位置决定了固定位数的整数部分和小数部分，不利于同时表达特别大的数或者特别小的数。最终，绝大多数现代的计算机系统采纳了所谓的浮点数表达方式。这种表达方式利用科学计数法来表达实数，即用一个尾数（Mantissa ），一个基数（Base），一个指数（Exponent）以及一个表示正负的符号来表达实数。比如123.45 用十进制科学计数法可以表达为1.2345 × 102 ，其中1.2345 为尾数，10 为基数，2 为指数。浮点数利用指数达到了浮动小数点的效果，从而可以灵活地表达更大范围的实数。 提示: 尾数有时也称为有效数字（Significand）。尾数实际上是有效数字的非正式说法。同样的数值可以有多种浮点数表达方式，比如上面例子中的123.45 可以表达为12.345 ×101，0.12345 × 103 或者1.2345 × 102。因为这种多样性，有必要对其加以规范化以达到统一表达的目标。规范的（Normalized）浮点数表达方式具有如下形式： ±d.dd...d × β e , (0 ≤ d i < β) 其中 d.dd...d 即尾数，β 为基数，e 为指数。尾数中数字的个数称为精度，在本文中用p 来表示。每个数字d 介于0 和基数之间，包括0。小数点左侧的数字不为0。 基于规范表达的浮点数对应的具体值可由下面的表达式计算而得： ±(d 0 + d 1β-1 + ... + d p-1β-(p-1))β e , (0 ≤ d i < β) 对于十进制的浮点数，即基数β 等于10 的浮点数而言，上面的表达式非常容易理解，也很直白。计算机内部的数值表达是基于二进制的。从上面的表达式，我们可以知道，二进制数同样可以有小数点，也同样具有类似于十进制的表达方式。只是此时β 等于2，而每个数字d 只能在0 和 1 之间取值。比如二进制数1001.101 相当于1 × 2 3 + 0 × 22 + 0 ×21 + 1 ×20 + 1 ×2-1 + 0 ×2-2 + 1 ×2-3，对应于十进制的9.625。其规范浮点数表达为1.001101 × 23。 2. IEEE 浮点数 计算机中是用有限的连续字节保存浮点数的。保存这些浮点数当然必须有特定的格式，Java 平台上的浮点数类型float 和double 采纳了IEEE 754 标准中所定义的单精度32 位浮点数和双精度64 位浮点数的格式。 注意: Java 平台还支持该标准定义的两种扩展格式，即float-extended-exponent 和double-extended-exponent 扩展格式。这里将不作介绍，有兴趣的读者可以参考相应的参考资料。 在IEEE 标准中，浮点数是将特定长度的连续字节的所有二进制位分割为特定宽度的符号域，指数域和尾数域三个域，其中保存的值分别用于表示给定二进制浮点数中的符号，

浮点数表示方法的分析研究

浮点数表示方法的分析研究.txt13母爱是迷惘时苦口婆心的规劝；母爱是远行时一声殷切的叮咛；母爱是孤苦无助时慈祥的微笑。 浮点数表示方法的分析研究 [日期：2006-06-10] 来源：作者： [字体：大中小] 摘要：在《计算机组成原理》课程的教学中，浮点数的表示与运算是一个重点，也是难点。本文对浮点数的一般表示及标准表示的方法、范围、存储格式等进行了比较深入地比较、分析和研究，力求给读者一个清晰的概述。 关键词：浮点数，表示方法，符号，尾数，阶码，范围 《计算机组成原理》课程是计算机科学与技术专业的一门必修专业基础课，主要是讲述计算机系统几大硬件的组成结构和工作原理。在其核心部件——运算器(Arithmetician)的运算机制中，浮点数（Floating-point）的表示与运算方法是一个重点，也是难点，笔者在查阅了大量中外文文献的基础上，根据多年的教学实践经验，对浮点数的表示方法、规格化处理方法、表示范围进行了比较详细地分析研究，以方便学生的学习，共同行们参考。 1、浮点数的一般表示方法 在数学中，表示一个浮点数需要三要素：尾数（mantissa）、指数（exponent，又称阶码）和基数（base），都用其第一个字母来表示的话，那么任意一个浮点数N可以表示成下列形式：N=M×BE，例如N1=1.234×10-6， N2= -0.001011×2011等，同样的数字对于不同的基数是不相同的，移动小数点的位置，其指数相应地跟着变化。在计算机中，表示一个浮点数，同样需要以上三要素，只是阶码与尾数一同存储，基数常有2、8、16等数值，下面的讨论以2为基数进行。 将浮点数放在计算机中存储时，尾数M用定点（Fixed-point）小数的形式，阶码E用有符号整数形式，改变M中小数点的位置，同时需要修改E的值，可以给出有效数字（significant number）的位数，因此M和E决定了浮点数的精度（precision），E指明小数点在B进制数据中的位置，因而E和B决定了浮点数的表示范围（range），浮点数的符号（Sign）是单独考虑，设阶码有m+1位，尾数有n+1位，则一般浮点数的表示方法如图1所示，其中，下标s代表符号位，下标数字代表数字所处的位数，尾数的小数点默认最高数字位M1之前。图（b）是将尾数的符号位提在最前面，其它部分与图（a）一样，是目前常用的一种表示形式。 图1 浮点数的一般表示形式 在这种表示方法中，阶码的二进制编码（binary code）一般是原码（sign magnitude）、补码（twos complement）或移码（bias），尾数的编码一般是原码或补码。 2、浮点数的规格化处理 在浮点数系统中，小数点的浮动使数值的表示不能惟一，从而给数据处理带来困难，因此有必要使浮点数的表示与存储有一定的标准，考虑到阶码、尾数之间的关系，常将尾数的最高数字位是有效值的数值称为规格化（normalization），由于尾数可以是原码或补码，所以有两种规格化的形式，如表1所示。

定点DSP和浮点DSP的区别与比较

定点与浮点运算DSP 的比较 DSP数字信号处理器是一种特别适合于进行数字信号处理的微处理器，主要用于实时快速地实现各种数字信号处理算法。定点运算DSP 在应用中已取得了极大的成功，而且仍然是DSP 应用的主体。然而，随着对DSP 处理速度与精度、存储器容量、编程的灵活性和方便性要求的不断提高、自80 年代中后期以来，各DSP 生产厂家陆续推出了各自的32bit浮点运算DSP。 和定点运算DSP 相比，浮点运算DSP 具有许多优越性：浮点运算DSP 比定点运算DSP 的动态范围要大很多。 定点DSP 的字长每增加1bit,动态范围扩大6dB。16bit 字长的动态范围为96dB。程序员必须时刻关注溢出的发生。例如，在作图像处理时，图像作旋转、移动等，就很容易产生溢出。这时，要么不断地移位定标，要么作截尾。前者要耗费大量的程序空间和执行时间，后者则很快带来图像质量的劣化。总之，是使整个系统的性能下降。在处理低信噪比信号的场合，例如进行语音识别、雷达和声纳信号处理时，也会发生类似的问题。 32bit 浮点运算DSP 的动态范围可以作到1536dB，这不仅大大扩大了动态范围，提高了运算精度，还大大节省了运算时间和存储空间，因为大大减少了定标，移位和溢出检查。 由于浮点DSP 的浮点运算用硬件来实现，可以在单周期内完成，因而其处理速度大大高于定点DSP。这一优点在实现高精度复杂算法时尤为突出，为复杂算法的实时处理提供了保证。 32bit 浮点DSP 的总线宽度较定点DSP 宽得多，因而寻址空间也要大得多。这一方面为大型复杂算法提供了可能、因为省的DSP 目标子程序已使用到几十MB 存储器或更多；另一方面也为高级语言编译器、DSP 操作系统等高级工具软件的应用提供了条件。 DSP 的进一步发展，必然是多处理器的应用。新型的浮点DSP 已开始在通信口的设置和强化、资源共享等方面有所响应。 TMS320C6000家族为高性能DSP，包括： TMS320C62X定点DSP系列、TMS320C64X定点DSP系列、TMS320C67X定点DSP系列。 TMS320C62X系列 工作频率：150-300MHz，运行速度：1200-2400MIPS，内部2个乘法器、6个算术逻辑单元，超长指令字（VLIW）结构，大容量的片内存储器和大范围的寻址能力，4个DMA接口，2个多通道缓存串口，2个32位片内外设。 TMS320C64X系列 工作频率：400-600MHz，运行速度：3200-4800MIPS，具有特殊功能的指令集。 TMS320C67X系列，为高性能浮点DSP 工作频率：100-225MHz，运行速度：600-1350MIPS，具有4个浮点/定点算术逻辑单元，2个定点算术逻辑单元，2个浮点/定点乘法器。

IEEE浮点数表示法

IEEE浮点数表示法 ------------------------------------------------- float 共计32位(4字节) 由最高到最低位分别是第31、30、29、 0 31位是符号位，1表示该数为负，0反之 30~23位，一共8位是指数位(-128~127) 22~ 0位，一共23位是尾数位 每8位分为一组，分成4组，分别是A组、B组、C组、D组 每一组是一个字节，在内存中逆序存储，即: DCBA 31 30 23 22 0 |-|--------|-----------------------| | | || |-|--------|-----------------------| 注: 尾数的存储位为23位，由于没有存储最高位的1，所以实际有效位为24位。如果其中20位都用来表示小数部分，能表示的最大值为0.999999 我们先不考虑逆序存储的问题，因为那样会把读者彻底搞晕，所以我先按照顺序的来讲，最后再把他们翻过来就行了。

纯整数的表示方法 ------------------------------------------------- 现在让我们按照IEEE浮点数表示法，一步步的将float型浮点数123456.0f转换为十六进制代码。在处理这种不带小数的浮点数时，直接将整数部转化为二进制表示: 1 11100010 01000000 也可以这样表示: 1 11100010 01000000.0 然后将小数点向左移，一直移到离最高位只有1位: 1.11100010 01000000 一共移动了16位，在布耳运算中小数点每向左移一位就等于在以2为底的科学计算法表示中指数+1，所以原数就等于这样 1 11100010 01000000 = 1.11100010 01000000 * (2^16) 现在我们要的尾数和指数都出来了。显而易见，最高位永远是1，因为你不可能把买了16个鸡蛋说成是买了0016个鸡蛋吧?(呵呵，可别拿你买的臭鸡蛋甩我)，所以这个1我们还有必要保留他吗?(众：没有!)好的，我们删掉他。这样尾数的二进制就变成了: 11100010

浮点数的表示和计算

《计算机组成原理》实验报告

sw $aO, O($fp) #calculate the first nu mber andi $s2, $s0, 0x80000000 # s2 is the sig n srl $s2, $s2, 31 andi $s3, $s0, 0x7f800000 # s3 is the exp onent srl $s3, $s3, 23 andi $s4, $s0, 0x007fffff # s4 is the fractio n addi $s4, $s4, 0x00800000 #calculate the seco nd number andi $s5, $s1, 0x80000000 # s5 is the sig n srl $s5, $s5, 31 andi $s6, $s1, 0x7f800000 # s6 is the exp onent srl $s6, $s6, 23 andi $s7, $s1, 0x007fffff # s7 is the fractio n addi $s7, $s7, 0x00800000 sub $t0, $s3, $s6 bit $t0, 0, sumL1 # add sub bgt $t0, 0, sumL2 # sub add beq $t0, 0, sumL3 2.减法指令如下: mysub: subu $sp, $sp, 32 sw $ra, 20($sp) sw $fp, 16($sp) addiu $fp, $sp, 28 sw $a0, 0($fp) #calculate the first nu mber andi $s2, $s0, 0x80000000 # s2 is the sig n srl $s2, $s2, 31 andi $s3, $s0, 0x7f800000 # s3 is the exp onent srl $s3, $s3, 23 andi $s4, $s0, 0x007fffff # s4 is the fractio n addi $s4, $s4, 0x00800000 #calculate the seco nd number xori $s5, $s1, 0x80000000 # s5 is the sig n srl $s5, $s5, 31 andi $s6, $s1, 0x7f800000 # s6 is the exp onent srl $s6, $s6, 23 andi $s7, $s1, 0x007fffff # s7 is the fractio n addi $s7, $s7, 0x00800000 sub $t0, $s3, $s6 blt $t0, 0, subL1 # +,- bgt $t0, 0, subL2 # -,+ beq $t0, 0, subL3 # +,+ or -,- 3.乘法指令如下： mutilStart: srl $t2, $s0, 31 srl $t3, $s1, 31 sll $t4, $s0, 1

浮点转定点方法总结

浮点转定点方法总结 —孔德琦

目录 定点运算方法................................................ 错误!未定义书签。 数的定标 ............................................... 错误!未定义书签。 C语言：从浮点到定点 ................................. 错误!未定义书签。 加法.................................................... 错误!未定义书签。 乘法..................................................... 错误!未定义书签。 除法..................................................... 错误!未定义书签。 三角函数运算............................................ 错误!未定义书签。 开方运算................................................ 错误!未定义书签。 附录...................................................... 错误!未定义书签。 附录1：定点函数库...................................... 错误!未定义书签。 附录2：正弦和余弦表..................................... 错误!未定义书签。

浮点数表示方法与运算

在计算机系统的发展过程中，曾经提出过多种方法表达实数，典型的比如定点数。在定点数表达方式中，小数点位置固定，而计算机字长有限，所以定点数无法表达很大和很小的实数。最终，计算机科学发展出了表达范围更大的表达方式——浮点数，浮点数也是对实数的一种近似表达。 1.浮点数表达方式 我们知道任何一个R 进制数N 均可用下面的形式表示：N R =±S ×R ±e 其中，S—尾数，代表N 的有效数字； R—基值，通常取2、8、16；e—阶码，代表N 的小数点的实际位置(相当于数学中的指数)。 比如一个十进制数的浮点表达1.2345×102，其中1.2345为尾数，10为基数，2为阶码。一个二进制数的浮点表达0.001001×25，0.001001为尾数，2为基数，5为阶码；同时0.001001×25也可以表示成0.100100×23，0.100100为尾数，2为基数，3为阶码。浮点数就是利用阶码e 的变化达到浮动小数点的效果，从而灵活地表达更大范围的实数。 2.浮点数的规格化 一个数用浮点表示时，存在两个问题：一是如何尽可能多得保留有效数字；二是如何保证浮点表示的唯一。 对于数0.001001×25，可以表示成0.100100×23、0.00001001×27等等，所以对于同一个数，浮点有多种表示(也就是不能唯一表示)。另外，如果规定尾数的位数为6位，则0.00001001×27会丢掉有效数字，变成0.000010×27。因此在计算机中，浮点数通常采用规格化表示方法。 当浮点数的基数R 为2，即采用二进制数时，规格化尾数的定义为：1/2<=|S|<1。若尾数采用原码(1位符号位+n 位数值)表示，[S]原=S f S 1S 2S 3…S n (S f 为符号位的数符)，则满足S 1=1的数称为规格化数。即当尾数的最高有效位S 1=1，[S]原=S f 1S 2S 3…S n ,表示该浮点数为规格化数。对0.001001×25进行规格化后，表示为0.100100×23。 3.浮点数的表示范围 求浮点数的表示范围，实质是求浮点数所能表示的最小负数、最大负数、最小正数和最大正数。

浮点数表示法-C语言

浮点数表示法 任何数据在内存中都是以二进制（1或着0）顺序存储的，每一个1或着0被称为1位，而在x86CPU上一个字节是8位。比如一个16位（2字节）的short int型变量的值是1156，那么它的二进制表达就是：00000100 10000100。 由于Intel CPU的架构是Little Endian（请参照计算机原理相关知识），所以它是按字节倒序存储的，那么就应该是这样：10000100 00000100，这就是定点数1156在内存中的结构。 对于一个数0x1122 使用Little Endian方式时，低字节存储0x22，高字节存储0x11 而使用Big Endian方式时, 低字节存储0x11, 高字节存储0x22 浮点数是如何存储的呢？目前已知的所有的C/C++编译器都是按照IEEE（国际电子电器工程师协会）制定的IEEE 浮点数表示法来进行运算的。这种结构是一种科学表示法，用符号（正或负）、指数和尾数来表示，底数被确定为2，也就是说是把一个浮点数表示为尾数乘以2的指数次方再加上符号。 下面来看一下具体的float的规格： float：32位，4字节 由最高到最低位分别是第31、30、29、 0 31位是符号位，1表示该数为负，0反之。 30-23位，一共8位是指数位。 22-0位，一共23位是尾数位。 每8位分为一组，分成4组，分别是A组、B组、C组、D组。 每一组是一个字节，在内存中逆序存储，即：DCBA 我们先不考虑逆序存储的问题，所以先按照顺序的来讲，最后再把他们翻过来就行了。 现在让我们按照IEEE浮点数表示法，一步步将float型浮点数123456.0f转换为十六进制代码。 在处理这种不带小数的浮点数时，直接将整数部转化为二进制表示： 1 11100010 01000000也可以这样表示：11110001001000000.0然后将小数点向左移，一 直移到离最高位只有1位，就是最高位的1：1.11100010010000000一共移动了16位，在布耳运算中小数点每向左移一位就等于在以2为底的科学计算法表示中指数+1，所以原数就等于这样：1.11100010010000000 * ( 2 ^ 16 )好了，现在我们要的尾数和指数都出来了。显而易见，最高位永远是1，不能把16说成是0016。 所以这个1也保留，删掉。这样尾数的二进制就变成了：11100010010000000最后在尾数的后面补0，一直到补够23位：11100010010000000000000

关于浮点数与定点数的理解

定点数与浮点数 计算机处理的数值数据多数带有小数，小数点在计算机中通常有两种表示方法，一种是约定所有数值数据的小数点隐含在某一个固定位置上，称为定点表示法，简称定点数；另一种是小数点位置可以浮动，称为浮点表示法，简称浮点数。 1. 定点数表示法(fixed-point) 所谓定点格式，即约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。在计算机中通常采用两种简单的约定：将小数点的位置固定在数据的最高位之前，或者是固定在最低位之后。一般常称前者为定点小数，后者为定点整数。 定点小数是纯小数，约定的小数点位置在符号位之后、有效数值部分最高位之前。若数据x 的形式为x = x0.x1x2…x n( 其中x0为符号位，x1～x n是数值的有效部分，也称为尾数，x1为最高有效位)，则在计算机中的表示形式为： 一般说来，如果最末位x n = 1，前面各位都为0 ，则数的绝对值最小，即|x|mi n = 2-n。如果各位均为1，则数的绝对值最大，即|x|ma x =1-2-n 。所以定点小数的表示范围是： 2- n ≤ | x| ≤ 1 - 2- n 定点整数是纯整数，约定的小数点位置在有效数值部分最低位之后。若数据x 的形式为x = x0x1x2…x n ( 其中x0为符号位，x1～x n是尾数，x n为最低有效位)，则在计算机中的表示形式为：

定点整数的表示范围是： 1≤ | x| ≤ 2n - 1 当数据小于定点数能表示的最小值时，计算机将它们作0处理，称为下溢；大于定点数能表示的最大值时，计算机将无法表示，称为上溢，上溢和下溢统称为溢出。 计算机采用定点数表示时，对于既有整数又有小数的原始数据，需要设定一个比例因子，数据按其缩小成定点小数或扩大成定点整数再参加运算，运算结果，根据比例因子，还原成实际数值。若比例因子选择不当，往往会使运算结果产生溢出或降低数据的有效精度。 用定点数进行运算处理的计算机被称为定点机。 2. 浮点数表示法(floating-point number) 4与科学计数法相似，任意一个J进制数N，总可以写成 N = J E × M 式中M称为数N 的尾数(mantissa)，是一个纯小数；E为数N 的阶码(e x ponent)，是一个整数，J称为比例因子J E的底数。这种表示方法相当于数的小数点位置随比例因子的不同而在一定范围内可以自由浮动，所以称为浮点表示法。 底数是事先约定好的(常取2)，在计算机中不出现。在机器中表示一个浮点数时，一是要给出尾数，用定点小数形式表示。尾数部分给出有效数字的位数，因而决定了浮点数的表示精度。二是要给出阶码，用整数形式表示，阶码指明

浮点转定点方法总结

CII Technologies, Inc. 浮点转定点方法总结 浮点转定点方法总结 —孔德琦 1

CII Technologies, Inc. 目录 目录 定点运算方法 (3) 1.1数的定标 (3) 1.2 C语言：从浮点到定点 (4) 1.2.1 加法 (4) 1.2.2乘法 (6) 1.2.3除法 (7) 1.2.4 三角函数运算 (8) 1.2.5 开方运算 (9) 1.3附录 (10) 1.3.1 附录1：定点函数库 (10) 1.3.2附录2：正弦和余弦表 (19) 2

CII Technologies, Inc. 浮点转定点方法总结 定点运算方法 1.1 数的定标 对某些处理器而言，参与数值运算的数就是16位的整型数。但在许多情况下，数学运算过程中的数不一定都是整数。那么，如何处理小数的呢？应该说，处理器本身无能为力。那么是不是就不能处理各种小数呢？当然不是。这其中的关键就是由程序员来确定一个数的小数点处于16位中的哪一位。这就是数的定标。 通过设定小数点在16位数中的不同位置，就可以表示不同大小和不同精度的小数了。数的定标用Q表示法。表1.1列出了一个16位数的16种Q表示能表示的十进制数值范围和近似的精度。 Q表示精度(近似) 十进制数表示范围 Q15 0.00002 -1≤X≤0.9999695 Q14 0.00005 -2≤X≤1.9999390 Q13 0.0001 -4≤X≤3.9998779 Q12 0.0002 -8≤X≤7.9997559 Q11 0.0005 -16≤X≤15.9995117 Q10 0.001 -32≤X≤31.9990234 Q9 0.002 -64≤X≤63.9980469 Q8 0.005 -128≤X≤127.9960938 Q7 0.01 -256≤X≤255.9921875 Q6 0.02 -512≤X≤511.9804375 Q5 0.04 -1024≤X≤1023.96875 Q4 0.08 -2048≤X≤2047.9375 Q3 0.1 -4096≤X≤4095.875 Q2 0.25 -8192≤X≤8191.75 Q1 0.5 -16384≤X≤16383.5 Q0 1 -32768≤X≤32767 表1.1 Q表示、S表示及数值范围 从表1.1可以看出，同样一个16位数，若小数点设定的位置不同，它所表示的数也就不同。例如： 16进制数2000H＝8192，用Q0表示 16进制数2000H＝0.25，用Q15表示 从表1.1还可以看出，不同的Q所表示的数不仅范围不同，而且精度也不相同。Q越大，数值范围越小，但精度越高；相反，Q越小，数值范围越大，但精度就越低。例如，Q0的数值范围是-32768到+32767，其精度为1，而Q15的数值范围为-1到0.9999695，精度为 3

浮点转定点算法

在定点的DSP或处理器中，实现一个浮点数的运算时一个非常复杂的事情，尤其是非四则运算的函数运算，例如三角函数运算，sin，cos，tan，又比如指数运算，exp，非整数的幂运算等等。用机器来实现这样复杂的运算，会花费很多的计算指令周期。在某些程度下，用定点整数去代替浮点运算，会很大程度的节省运算时间，是应用程序达到实时运算的效果。 一ＤＳＰ定点算数运算 1数的定标 在定点DSP芯片中,采用定点数进行数值运算,其操作数一般采用整型数来表示。 一个整型数的最大表示范围取决于DSP芯片所给定的字长,一般为16位或24位。 显然,字长越长,所能表示的数的范围越大,精度也越高。如无特别说明,本书均以16位字长为例。 DSP芯片的数以2的补码形式表示。每个16位数用一个符号位来表示数的正负,0表示数值为正, l则表示数值为负。其余15位表示数值的大小。因此, 二进制数0010000000000011b=8195 二进制数1111111111111100b=-4 对DSP芯片而言,参与数值运算的数就是16位的整型数。但在许多情况下,数学运算过程中的数不一 定都是整数。那么,DSP芯片是如何处理小数的呢？应该说,DSP芯片本身无能为力。那么是不是说 DSP芯片就不能处理各种小数呢？当然不是。这其中的关键就是由程序员来确定一个数的小数点处 于16位中的哪一位。这就是数的定标。 通过设定小数点在16位数中的不同位置,就可以表示不同大小和不同精度的小数了。数的定标有Q表示法 和S表示法两种。表1.1列出了一个16位数的16种Q表示、S表示及它们所能表示的十进制数值范围。 从表1.1可以看出,同样一个16位数,若小数点设定的位置不同,它所表示的数也就不同。例如, 16进制数2000H=8192,用Q0表示 16进制数2000H=0.25,用Q15表示 但对于DSP芯片来说,处理方法是完全相同的。 从表1.1还可以看出,不同的Q所表示的数不仅范围不同,而且精度也不相同。Q越大,数值范围越小, 但精度越高;相反,Q越小,数值范围越大,但精度就越低。例如,Q0的数值范围是一32768到+32767, 其精度为1,而Q15的数值范围为-1到0.9999695,精度为1/32768=0.00003051。因此,对定点数而言, 数值范围与精度是一对矛盾,一个变量要想能够表示比较大的数值范围,必须以牺牲精度为代价;而想 精度提高,则数的表示范围就相应地减小。在实际的定点算法中,为了达到最佳的性能,必须充分考虑 到这一点。 浮点数与定点数的转换关系可表示为： 浮点数(x)转换为定点数(xq)：xq=(int)x*2Q 定点数(xq)转换为浮点数(x)：x=(float)xq*2-Q 例如,浮点数x=0.5,定标Q=15,则定点数xq=L0.5*32768J=16384,式中LJ表示下取整。反之,

浮点运算转定点运算

与afreez一起学习DSP中浮点转定点运算 一：浮点与定点概述 1.1相关定义说明 定点数：通俗的说，小数点固定的数。以人民币为例，我们日常经常说到的如123.45￥，789.34￥等等，默认的情况下，小数点后面有两位小数，即角，分。如果小数点在最高有效位的前面，则这样的数称为纯小数的定点数，如0.12345，0.78934等。如果小数点在最低有效位的后面，则这样的数称为纯整数的定点数，如12345，78934等。 浮点数：一般说来，小数点不固定的数。比较容易的理解方式是，考虑以下我们日常见到的科学记数法，拿我们上面的数字举例，如123.45，可以写成以下几种形式： 12.345x101 1.2345 x102 0.12345 x103xi …… 为了表示一个数，小数点的位置可以变化，即小数点不固定。 1.2定点数与浮点数的对比 为了简单的把问题描述清楚，这里都是十进制数字举例，详细的分析，大家可以在后面的文章中看到。 (1)表示的精度与范围不同 例如，我们用4个十进制数来表达一个数字。对于定点数（这里以定点整数为例），我们表示区间[0000，9999]中的任何一个数字，但是如果我们要想表示类似1234.3的数值就无能为力了，因为此时的表示精度为1/100=1；如果采用浮点数来表示（以归整的科学记数法，即小数点前有一位有效位，为例），则可以表示[0.000，9.999]之间的任何一个数字，表示的精度为1/103=0.001，精度比上一种方式提高了很多，但是表示的范围却小了很多。 也就是说，一般的，定点数表示的精度较低，但表示的数值范围较大；而浮点数恰恰相反。 (2)计算机中运算的效率不同 一般说来，定点数的运算在计算机中实现起来比较简单，效率较高；而浮点数的运算在计算机中实现起来比较复杂，效率相对较低。 (3)硬件依赖性 一般说来，只要有硬件提供运算部件，就会提供定点数运算的支持（不知道说的确切否，没有听说过不支持定点数运算的硬件），但不一定支持浮点数运算，如有的很多嵌入式开发板就不提供浮点运算的支持。 1.3与DSP的关系 一般说来，DSP处理器可以分为两大类：定点与浮点。两者相比较而言，定点DSP处理器速度快，功耗低，价格也便宜；而浮点DSP则计算精度高，动态范围大。

IEEE754标准浮点数表示法

IEEE754标准浮点数表示法[已验证正确性版本] 大家都知道任何数据在内存中都是以二进制（1或着0）顺序存储的，每一个1或着0被称为1位，而在x86CPU上一个字节是8位。比如一个16位（2字节）的short int型变量的值是1156，那么它的二进制表达就是：00000100 10000100。由于Intel CPU的架构是Little Endian（请参数机算机原理相关知识），所以它是按字节倒序存储的，那么就因该是这样：10000100 00000100，这就是定点数1156在内存中的结构。 那么浮点数是如何存储的呢？目前已知的所有的C/C++编译器都是按照IEEE（国际电子电器工程师协会）制定的IEEE 浮点数表示法来进行运算的。这种结构是一种科学表示法，用符号（正或负）、指数和尾数来表示，底数被确定为2，也就是说是把一个浮点数表示为尾数乘以2的指数次方再加上符号。下面来看一下具体的float的规格： float 共计32位，折合4字节 由最高到最低位分别是第31、30、29、 0 31位是符号位，1表示该数为负，0反之。 30-23位，一共8位是指数位。 22-0位，一共23位是尾数位。 每8位分为一组，分成4组，分别是A组、B组、C组、D组。 每一组是一个字节，在内存中逆序存储，即：DCBA 我们先不考虑逆序存储的问题，因为那样会把读者彻底搞晕，所以我先按照顺序的来讲，最后再把他们翻过来就行了。 现在让我们按照IEEE浮点数表示法，一步步的将float型浮点数123456.0f转换为十六进制代码。在处理这种不带小数的浮点数时，直接将整数部转化为二进制表示：1 11100010 01000000也可以这样表示：11110001001000000.0然后将小数点向左移，一直移到离最高位只有1位，就是最高位的1：1.11100010010000000一共移动了16位，在布耳运算中小数点每向左移一位就等于在以2为底的科学计算法表示中指数+1，所以原数就等于这样： 1.11100010010000000 * ( 2 ^ 16 )好了，现在我们要的尾数和指数都出来了。显而易见，最高位永远是1，因为你不可能把买了16个鸡蛋说成是买了0016个鸡蛋吧？（呵呵，可别拿你买的臭鸡蛋甩我~），所以这个1我们还有必要保留他吗？（众：没有！）好的，我们删掉他。这样尾数的二进制就变成了：11100010010000000最后在尾数的后面补0，一直到补够23位：11100010010000000000000（MD，这些个0差点没把我数的背过气去~） 再回来看指数，一共8位，可以表示范围是0 - 255的无符号整数，也可以表示-128 - 127的有符号整数。但因为指数是可以为负的，所以为了统一把十进制的整数化为二进制时，都先加上127，在这里，我们的16加上127后就变成了143，二进制表示为：10001111 123456.0f这个数是正的，所以符号位是0，那么我们按照前面讲的格式把它拼起来： 0 10001111 11100010010000000000000 01000111 11110001 00100000 00000000 再转化为16进制为：47 F1 20 00，最后把它翻过来，就成了：00 20 F1 47。 现在你自己把54321.0f转为二进制表示，自己动手练一下！ 有了上面的基础后，下面我再举一个带小数的例子来看一下为什么会出现精度问题。 按照IEEE浮点数表示法，将float型浮点数123.456f转换为十六进制代码。对于这种带小数的就需要把整数部和小数部分开处理。整数部直接化二进制：1111011。小数部的处理比较麻烦一些，也不太好讲，可能反着讲效果好一点，比如有一个十进制纯小数0.57826，那