导数单元测试题
班级 姓名
一、选择题
1.已知函数y =f (x )=x 2+1,则在x =2,Δx =时,Δy 的值为( )
A .
B .
C .
D .
2.函数f (x )=2x 2
-1在区间(1,1+Δx )上的平均变化率Δy
Δx
等于( )
A .4
B .4+2Δx
C .4+2(Δx )2
D .4x 3.设f ′(x 0)=0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线( )
A .不存在
B .与x 轴平行或重合
C .与x 轴垂直
D .与x 轴相交但不垂直
4.曲线y =-1
x
在点(1,-1)处的切线方程为( )
A .y =x -2
B .y =x
C .y =x +2
D .y =-x -2
5.下列点中,在曲线y =x 2
上,且在该点处的切线倾斜角为π
4
的是( )
A .(0,0)
B .(2,4)
C .(14,116)
D .(12,1
4
)
6.已知函数f (x )=1
x
,则f ′(-3)=( )
A .4 C .-14 D .-1
9
7.函数f (x )=(x -3)e x 的单调递增区间是( )
A .(-∞,2)
B .(0,3)
C .(1,4)
D .(2,+∞)
8.“函数y =f (x )在一点的导数值为0”是“函数y =f (x )在这点取极值”的( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
9.函数f (x )的定义域为开区间(a ,b ),导函数f ′(x )在(a ,b )内的图象如图所示,则函数f (x )在开区间(a ,b )内的极小值点有( )
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
10.函数f (x )=-x 2+4x +7,在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )
A .f (2),f (3)
B .f (3),f (5)
C .f (2),f (5)
D .f (5),f (3) 11.函数f (x )=x 3-3x 2-9x +k 在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为( )
A .-10
B .-71
C .-15
D .-22 12. 一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒运动的距离为s =14t 4-5
3
t 3
+2t 2,那么速度为零的时刻是( ) A .1秒末 B .0秒 C .4秒末 D .0,1,4秒末
二、填空题
13.设函数y =f (x )=ax 2
+2x ,若f ′(1)=4,则a =________. 14.已知函数y =ax 2+b 在点(1,3)处的切线斜率为2,则b a
=________. 15.函数y =x e x
的最小值为________.
16.有一长为16 m 的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积
是________m 2.
三、解答题
17.求下列函数的导数:(1)y =3x 2
+x cos x ; (2)y =x
1+x
; (3)y
=lg x -e x .
18.已知抛物线y =x 2+4与直线y =x +10,求:
(1)它们的交点; (2)抛物线在交点处的切线方程.
19.已知函数f (x )=13x 3
-4x +4.(1)求函数的极值;
(2)求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值.
导数单元测试题答案
班级 姓名
一、选择题
1.已知函数y =f (x )=x 2+1,则在x =2,Δx =时,Δy 的值为( ) A . B . C .
D .
解析:选B.Δy =f -f (2)=-22=.
2.函数f (x )=2x 2
-1在区间(1,1+Δx )上的平均变化率Δy
Δx
等于( )
A .4
B .4+2Δx
C .4+2(Δx )2
D .4x
解析:选B.因为Δy =[2(1+Δx )2-1]-(2×12-1)=4Δx +2(Δx )2,所以Δy
Δx
=4+2Δx ,故选B. 3.设f ′(x 0)=0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线( ) A .不存在 B .与x 轴平行或重合 C .与x 轴垂直
D .与x 轴相交但不垂直
解析:选 B.函数在某点处的导数为零,说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零.
4.曲线y =-1
x
在点(1,-1)处的切线方程为( )
A .y =x -2
B .y =x
C .y =x +2
D .y =-x -2
解析:选′(1)=li m Δx →0 -11+Δx +11Δx
=li m Δx →0 1
1+Δx =1,则在(1,-1)处的切线方程为y +1=x -1,即y =x -2.
5.下列点中,在曲线y =x 2上,且在该点处的切线倾斜角为
π
4
的是( ) A .(0,0) B .(2,4) C .(14,1
16)
D .(12,14
)
故选D.
6.已知函数f (x )=1
x
,则f ′(-3)=( )
A .4
C .-14
D .-19
解析:选D.∵f ′(x )=-1
x 2,∴f ′(-3)=-1
9.
7.函数f (x )=(x -3)e x 的单调递增区间是( )
A .(-∞,2)
B .(0,3)
C .(1,4)
D .(2,+∞)
解析:选′(x )=(x -3)′e x +(x -3)(e x )′=(x -2)e x , 令f ′(x )>0,解得x >2,故选D.
8.“函数y =f (x )在一点的导数值为0”是“函数y =f (x )在这点取极值”
的( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:选B.对于f(x)=x3,f′(x)=3x2,f′(0)=0,不能推出f(x)在x=0处取极值,反之成立.故选B.
9.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有( )
A.1个B.2个
C.3个D.4个
解析:选A.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如题图所示,函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值为由负到正的点,只有1个.
10.函数f(x)=-x2+4x+7,在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A.f(2),f(3) B.f(3),f(5)
C.f(2),f(5) D.f(5),f(3)
解析:选B.∵f′(x)=-2x+4,
∴当x∈[3,5]时,f′(x)<0,
故f(x)在[3,5]上单调递减,
故f(x)的最大值和最小值分别是f(3),f(5).11.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为( )
A.-10 B.-71
C.-15 D.-22
解析:选′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).
由f′(x)=0得x=3,-1.
又f(-4)=k-76,f(3)=k-27,
f(-1)=k+5,f(4)=k-20.
由f(x)max=k+5=10,得k=5,
∴f(x)min=k-76=-71.
12.一点沿直线运动,如果由始点起经过t秒运动的距离为s=
1
4
t4-
5
3
t3+2t2,那么速度为零的时刻是( )
A.1秒末B.0秒
C.4秒末D.0,1,4秒末
解析:选D.∵s′=t3-5t2+4t,令s′=0,得t1=0,t2=1,t3=4,此时的函数值最大,故选D.
二、填空题
13.设函数y=f(x)=ax2+2x,若f′(1)=4,则a=________.
答案:1
14.已知函数y =ax 2
+b 在点(1,3)处的切线斜率为2,则b
a
=________.
答案:2
15.函数y =x e x 的最小值为________.
解析:令y ′=(x +1)e x =0,得x =-1. 当x <-1时,y ′<0;当x >-1时,y ′>0. ∴y min =f (-1)=-1
e .
答案:-1
e
16.有一长为16 m 的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________m 2.
解析:设矩形的长为x m ,
则宽为16-2x 2=(8-x ) m(0 ∴S (x )=x (8-x )=-x 2+8x ∴S ′(x )=-2x +8,令S ′(x )=0, 则x =4, 又在(0,8)上只有一个极值点, 且x ∈(0,4)时,S (x )单调递增, x ∈(4,8)时,S (x )单调递减, 故S (x )max =S (4)=16. 答案:16 三、解答题 17.求下列函数的导数: (1)y =3x 2 +x cos x ;(2)y =x 1+x ;(3)y =lg x -e x . 解:(1)y ′=6x +cos x -x sin x . (2)y ′=1+x -x 1+x 2= 1 1+x 2 . (3)y ′=(lg x )′-(e x )′=1 x ln10-e x . 18.已知抛物线y =x 2+4与直线y =x +10,求: (1)它们的交点; (2)抛物线在交点处的切线方程. 解:(1)由??? ? ? y =x 2 +4,y =x +10, 得x 2+4=10+x , 即x 2-x -6=0, ∴x =-2或x =3.代入直线的方程得y =8或13. ∴抛物线与直线的交点坐标为(-2,8)或(3,13).(2)∵y=x2+4, ∴y′=lim Δx→0x+Δx2+4-x2+4 Δx =lim Δx→0Δx2+2x·Δx Δx =lim Δx→0 (Δx+2x)=2x. ∴y′|x=-2=-4,y′|x=3=6, 即在点(-2,8)处的切线斜率为-4,在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(-2,8)处的切线方程为4x+y=0; 在点(3,13)处的切线方程为6x-y-5=0. 19.已知函数f(x)=1 3 x3-4x+4. (1)求函数的极值; (2)求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值. 解:(1)f′(x)=x2-4,解方程x2-4=0, 得x1=-2,x2=2. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞) f′(x)+0-0+ f(x) 28 3 - 4 3 从上表可看出,当x=-2时,函数有极大值,且极大值为 28 3 ;而当x =2时,函数有极小值,且极小值为- 4 3 . (2)f(-3)= 1 3 ×(-3)3-4×(-3)+4=7, f(4)= 1 3 ×43-4×4+4= 28 3 , 与极值比较,得函数在区间[-3,4]上的最大值是 28 3 ,最小值是- 4 3 . 导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1.当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A .在区间[x 0,x 1]上的平均变化率 B .在x 0处的变化率 C .在x 1处的变化量 D .在区间[x 0,x 1]上的导数 2.已知函数y =f (x )=x 2 +1,则在x =2,Δx =0.1时,Δy 的值为( ) A .0.40 B .0.41 C .0.43 D .0.44 3.函数f (x )=2x 2-1在区间(1,1+Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A .4 B .4+2Δx C .4+2(Δx )2 D .4x 4.如果质点M 按照规律s =3t 2 运动,则在t =3时的瞬时速度为( ) A . 6 B .18 C .54 D .81 5.已知f (x )=-x 2+10,则f (x )在x =32处的瞬时变化率是( ) A .3 B .-3 C . 2 D .-2 6.设f ′(x 0)=0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线( ) A .不存在 B .与x 轴平行或重合 C .与x 轴垂直 D .与x 轴相交但不垂直 7.曲线y =-1 x 在点(1,-1)处的切线方程 为( ) A .y =x -2 B .y =x C .y =x + 2 D .y =-x -2 8.已知曲线y =2x 2上一点A (2,8),则A 处的切线斜率为( ) A .4 B .16 C .8 D .2 9.下列点中,在曲线y =x 2上,且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A .(0,0) B .(2,4) C .(14,1 16) D .(12,1 4) 10.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( ) A .a =1,b = 1 B .a =-1,b =1 C .a =1,b =- 1 D .a =-1,b =-1 11.已知f (x )=x 2,则f ′(3)=( ) A .0 B .2x C . 6 D .9 12.已知函数f (x )=1 x ,则f ′(-3)=( ) A . 4 B.1 9 C .-14 D .-1 9 13.函数y =x 2 x +3 的导数是( )导数练习题 含答案
(完整word版)导数单元测试(含答案)