(完整版)圆周运动中的临界问题

圆周运动中的临界问题

一、水平面内圆周运动的临界问题

关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，涉及的是临界速度与临界力的问题，具体来说，主要是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力有关。 1、与绳的拉力有关的临界问题

例1 如图1示，两绳系一质量为kg m 1.0=的小球， 上面绳长m l 2=，两端都拉直时与轴的夹角分别为

o

30与o

45，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，

当角速度为s rad /3时，上、下两绳拉力分别为多大？

2、因静摩擦力存在最值而产生的临界问题 例2 如图2所示，细绳一端系着质量为kg M 6.0= 的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着 质量为kg m 3.0=的物体，M 的中心与圆孔距离为m 2.0

并知M 与水平面间的最大静摩擦力为N 2，现让此平面 绕中心轴匀速转动，问转动的角速度ω满足什么条件 可让m 处于静止状态。（2/10s m g =）

3、因接触面弹力的有无而产生的临界问题

二、竖直平面内圆周运动的临界问题

对于物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且也经常会出现临界状态。 1、轻绳模型过最高点

如图所示，用轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直平面内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似，都属于无支撑的类型。

临界条件：假设小球到达最高点时速度为0v ，此时绳子的拉力（轨道的弹力）

C

图1

图2

刚好等于零，小球的重力单独提供其做圆周运动的向心力，即r

v

m mg 2

0=，

gr v =0，式中的0v 是小球过最高点的最小速度，即过最高点的临界速度。 （1）0v v = （刚好到最高点，轻绳无拉力）

（2）0v v > （能过最高点，且轻绳产生拉力的作用） （3）0v v < （实际上小球还没有到最高点就已经脱离了轨道） 例4、如图4所示，一根轻绳末端系一个质量为kg m 1=的小球， 绳的长度m l 4.0=， 轻绳能够承受的最大拉力为N F 100max =， 现在最低点给小球一个水平初速度，让小球以轻绳的一端O 为 圆心在竖直平面内做圆周运动，要让小球在竖直平面内做完整

的圆周运动且轻绳不断，小球的初速度应满足什么条件？（

10m g =

2、轻杆模型过最高点

如图所示，轻杆末端固定一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直放置的圆形管道内过最到点的情况相似，都属于有支撑的类型。

临界条件：由分析可知，小球在最高点的向心力是由重力和轻杆（管壁）的作用力的合力提供的，如果在最高点轻杆（管壁）对小球的作用力与重力刚好平衡，那么此时外界提供的向心力为零，即小球过最高点的瞬时速度可以为零，所以小球过最高点的临界速度为00=v 。

（1）0=v ，轻杆（管壁）对小球有向上的支持力N F ，且mg F N =

（2）gr v <<0，轻杆（管壁）对小球有向上的支持力N F ，由r

v m F mg N 2

=-，

可得r

v m mg F N 2

-=，N F 随v 的增大而减小，mg F N <<0

（3）gr v =，重力单独提供向心力，轻杆（管壁）对小球没有力的作用

（4）gr v >，轻杆（管壁）对小球施加向下的拉力（压力），由r

v m F mg 2

=+拉，

可得mg r

v m F -=2

拉，且拉F 随着v 的增大而增大

例5、如图5所示，半径为R ，内径很小的光滑半圆管竖直放

置，AB 段平直，质量为m 的小球以水平初速度0v 射入圆管。（1）若要小球能从C 端出来，初速度0v 多大？

（2

）在小球从C 端出来瞬间，对管壁的压力有哪几种典型情况，初速度0v 各应满足什么条件？

3、汽车过拱桥

如图所示，汽车过拱形桥顶时，由汽车的重力和桥面对汽车的支持力的合力

提供其最高点的向心力，由r v m F mg N 2=-，可得r

v m mg F N 2

-=，由此可见，

桥面对汽车的支持力随着汽车速度的增大而减小，如果速度增大到某一个值0v ，会出现桥面对汽车的支持力为零，即gr v =0是汽车安全过拱桥顶的临界速度。 （1）gr v <<0，汽车不会脱离拱形桥且能过最高点

（2）gr v =，因桥面对汽车的支持力为零，此时汽车刚好脱离桥面做平抛运动 （3）gr v >，汽车将脱离桥面，非常危险

例6、如图6所示，汽车质量为kg m 4105.1?=，以不变的 速率通过凸形路面，路面半径为m R 15=，若要让汽车安全 行驶，则汽车在最高点的临界速度是多少?如果汽车通过最 高点的速度刚好为临界速度，那么接下来汽车做什么运动，水平运动的位移是多少？（2

/10s m g =）

A

图5

例题1．

解析：（1）当角速度ω很小时，AC 和BC 与轴的夹角都很小，BC 并不张紧。当ω逐渐增大到o 30时，BC 才被拉直

（这是一个临界状态），但BC 绳中的张力仍然为零。设这时的角速度为1ω， 则有： mg T o

AC =30cos o o AC l m T 30sin 30sin 2

1ω=

将已知条件代入上式解得 s rad /4.21=ω

（2）当角速度ω继续增大时AC T 减小，BC T 增大。设角速度达到2ω时，0=AC T （这又是一个临界状态），

则有： mg T o

BC =45cos o o BC l m T 30sin 45sin 2

2ω=

将已知条件代入上式解得 s rad /16.32=ω

所以当ω满足 s rad s rad /16.3/4.2≤≤ω，BC AC 、两绳始终张紧。 本题所给条件s rad /3=ω，说明此时两绳拉力BC AC T T 、都存在。

则有：o o BC o AC l m T T 30sin 45sin 30sin 2ω=+ mg T T o

BC o AC =+45cos 30cos

将数据代入上面两式解得 N T AC 27.0=， N T BC 09.1= 注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。

如果s rad /4.2<ω时，0=C B T ，AC 与轴的夹角小于o

30。 如果s rad /16.3>ω时，0=C A T ，BC 与轴的夹角大于o

45。

例题2

解析：由分析可知，如果平面不转动，M 会被拉向圆孔，即m 不能处于静止状态。当平面转动的角速度ω较小时，M 与水平面保持相对静止但有着向圆心运动的趋势，此时水平面对M 的静摩擦力方向背向圆心，根据牛顿第二定律，

对于M 有：r M f F 2

1ω=-静拉，可见随着静摩擦力的增大，角速度逐渐减小，当静摩擦力增大到最大值时，角速度减小到最小，即当静摩擦力背向圆心且最大，此时的角速度1ω是最小的临界角速度，s rad Mr f F /9.2)()(max 1≈-=

拉ω；

当平面转动的角速度ω较大时，M 与水平面保持相对静止但有着远离圆心运动的趋势，此时水平面对M 的静摩擦力方向指向圆心，根据牛顿第二定律，

对于M 有：r M f F 2

2ω=+静拉，可见随着静摩擦力的增大，角速度逐渐增大，当静摩擦力增大

到最大值时，角速度增大到最大，即当静摩擦力指向圆心且最大，此时的角速度2ω是最大的临界角速度，s rad Mr f F /5.6)()(max 2≈+=

拉ω。

故要让m 保持静止状态，平面转动的角速度满足：s rad s rad /5.6/9.2≤≤ω 例题3

解析：物体在光滑锥面上绕轴线做匀速圆周运动，通常情况下受重力、绳的拉力和锥面的支持力，正交分解各个力。

水平方向：θ

θθsin cos sin 2

l v m F F N T =- ①

竖直方向：mg F F N T =+θθsin cos ②

由①②得θ

θ

θsin cos sin 2l v m mg F N -= ③

由③式可以看出，当m l 、、θ一定时，v 越大，N F 越小，当线速度增大到某一个值0v 时，能使

0=N F ，此时物体与锥面接触又恰好没有相互作用，那么0v 就是锥面对物体有无支持力的临界

速度，令③式等于零，得6

30gl

v =

（1）因为01v v <，物体在锥面上且锥面对物体有支持力，联立①②两式得

mg l

v

m mg F T 03.1sin 2

11=+=θ

（2）因为02v v >，物体已离开锥面，但仍绕轴线做水平面内的匀速圆周运动，设此时绳与轴线间的夹角为)(θαα>，物体仅受重力和拉力的作用，这时有

α

αsin sin 2

22l v

m F T = ④ mg F T =αcos 2 ⑤

由④⑤两式得o

60=α，mg F T 22=

解析：题目中给出了两个条件，首先要让小球能够做完整的圆周运动，这个条件的实质是要求小球能够过最高点，这是无支撑的类型，小球过最高点的临界条件是重力提供向心力，此时绳子没

有拉力的作用，即l

v m mg 2

=，∴s m gl v /2==，再从最高点到最低点列动能定理方程，则

有

22

012

1212mv mv mgl -=

， 得s m v /5201=，此即小球在最低点的初速度的最小值。

第二个条件是绳子不断，通过分析很容易知道，绳子在最低点最容易断，只要最低点不断，其它点都不会断。所以在最低点有

2

02max mv mg F =- 得s m v /602=

所以小球的初速度满足的条件是s m v s m /6/520≤≤ 例题5

解析：（1）小球恰好能达到最高点的条件是0=临v ，此时需要的初速度为0v 满足的条件是，由机械能守恒定律得 ：

2

202

1221临mv mgR mv +=，得gR v 40=, 因此要使小球能从C 端出来需0>c v ，故入射速度gR v 40>

。

（2）小球从C 出来端出来瞬间，对管壁压力可以有三种典型情况：

①刚好对管壁无压力，此时重力恰好提供向心力，由圆周运动知识R

v

m mg c 2

=由机械能守恒定

律：

2

202

1221c mv mgR mv += 联立解得gR v 50= ②对下管壁有压力，此时应有R v

m mg c 2

>，相应的入射速度0v 应满足gR v gR 540<<

③对上管壁有压力，此时应有R

v

m mg c 2

<，相应的入射速度0v 应满足gR v 50>

例题6

解析：此题实际上属于轻杆模型，即轨道只能沿某一方向对物体施加作用力，临界条件为汽车在最高点时对轨道的压力为零，汽车不脱离轨道的临界速度为临v ，则有R

v m

mg 2

临=，可得

s m gR v /65==临，此即汽车在最高点的最大速度，超过了这个速度汽车将飞离桥面，出现

危险。 当gR v =

临时，汽车在轨道最高点只受重力，且速度沿水平方向，所以接下来汽车将做平抛运

动，则有 2

2

1gt R =

，t v x 临= 可得R x 2=