导数在单调性中的应用

3.2.1导数在函数单调性中的应用

一、考纲解读：1. 了解函数与导数的关系。

2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数

一般不超过三次）

二、知识梳理：

考向一：求函数的单调性（区间）

1. 设函数)(x f y =在区间（a,b ）内可导。

如果0)('>x f 则)(x f 在区间（a,b ）内为___________________.

如果0)('

2. 求可导函数单调区间的一般步骤：

（1） 求函数定义域。

（2） 求导数)('x f 。

（3） 由0)('>x f 解得x 的取值范围即为增区间；由0)('

为减区间

考向二：已知含参数函数的单调区间求参数的取值范围。

方法一： )(x f 单调递增?0)('≥x f 或 )(x f 单调递减?0)('≤x f 恒成立。求出参

数的范围，再检验该参数的端点值是否使0)('=x f 恒成立，若恒成立则应去掉

端点值。

方法二：

（1）)(x f 单调递增?0)('≥x f 或 )(x f 单调递减?0)('≤x f 恒成立

（2）分离参数，转化为求函数的最值。

（3）确定参数的范围。

三、典例分析：

例1：设函数22

1)1()(x e x x f x -

-=，求)(x f 得单调区间。（2010年21（1））

跟踪训练1：设函数x x x x f ++

=3ln 2)(，求)(x f 得单调区间。

例2：设函数2)(--=ax e x f x ，求)(x f 得单调区间。（2012年21（1））

跟踪训练2: 设函数ax x x f -=ln )(，求)(x f 得单调区间。

例3：函数13-)1(2

3)(23+-+

=ax x a x x f ，求)(x f 得单调区间。（2016惠州一模）

跟踪训练3：函数x a a x x x f )1(2

131)(23-++=

，求)(x f 得单调区间。

例4：.已知函数ax x x x f -+=ln )(2在区间（0,1）上是增函数，求a 的取值范围。

跟踪训练4：已知函数x ax x x f ln 1-)(2-++=在区间)2

1,0(上是减函数，求a 的取值范围。

四．归纳总结：

1.函数的单调区间是定义域的子区间，求函数的单调区间往往易忽视函数的定义域，这样不但解答结果错误，而且可能使解题过程跟复杂，因此，求函数的单调区间优先考虑函数的定义域。

2.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不能用并集符号 “ ”连接，只能用逗号“，”“或”“和”字隔开。

3.)(x f 单调递增?0)('≥x f 中易忽视“=”，导致与正确的解法擦肩而过，注意，这里的“=”一定不能省略。

4.在形式上为二次函数的问题中，极易忘记二次系数可能等于零的情况，这样的问题在导数的单调性的讨论中经常遇到，要特别注意。

五、课后作业

1. 函数53)(23--=x x x f 的单调递增区间是______________________.

2. 已知函数31232)(23+-+=x x x x f ，则函数)(x f 在（-2,1）内是（）

A.单调递减

B.单调递增

C.可能递增也可能递减

D.以上都不成立

3.已知函数x x x f ln )(=，则（）

A.在),0(+∞上递增。

B.在),0(+∞上递减。

C.在)1,0(e 上递增。

D. .在)1,0(e 上递减。

4.若函数x kx x f ln )(-=在区间),1(+∞单调递增，则k 的取值范围是

A. ]2,(--∞

B. ]1,(--∞

C. ),2[+∞

D. ),1[+∞

5.函数1)(+-=x e x f x 的递减区间是_______________________________.

6.设函数)(,)(ln )(2R a a x x x f ∈-+=，若函数)(x f 在[1,2]上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围

7.函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x ，讨论)(x f 得单调区间。（2016年21（1））

8.已知函数0,ln 12)(>-+-=a x a x

x x f ，讨论)(x f 的单调性。