导数在单调性中的应用

3.2.1导数在函数单调性中的应用

一、考纲解读:1. 了解函数与导数的关系。

2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数

一般不超过三次)

二、知识梳理:

考向一:求函数的单调性(区间)

1. 设函数)(x f y =在区间(a,b )内可导。

如果0)('>x f 则)(x f 在区间(a,b )内为___________________.

如果0)('

2. 求可导函数单调区间的一般步骤:

(1) 求函数定义域。

(2) 求导数)('x f 。

(3) 由0)('>x f 解得x 的取值范围即为增区间;由0)('

为减区间

考向二:已知含参数函数的单调区间求参数的取值范围。

方法一: )(x f 单调递增?0)('≥x f 或 )(x f 单调递减?0)('≤x f 恒成立。求出参

数的范围,再检验该参数的端点值是否使0)('=x f 恒成立,若恒成立则应去掉

端点值。

方法二:

(1))(x f 单调递增?0)('≥x f 或 )(x f 单调递减?0)('≤x f 恒成立

(2)分离参数,转化为求函数的最值。

(3)确定参数的范围。

三、典例分析:

例1:设函数22

1)1()(x e x x f x -

-=,求)(x f 得单调区间。(2010年21(1))

跟踪训练1:设函数x x x x f ++

=3ln 2)(,求)(x f 得单调区间。

例2:设函数2)(--=ax e x f x ,求)(x f 得单调区间。(2012年21(1))

跟踪训练2: 设函数ax x x f -=ln )(,求)(x f 得单调区间。

例3:函数13-)1(2

3)(23+-+

=ax x a x x f ,求)(x f 得单调区间。(2016惠州一模)

跟踪训练3:函数x a a x x x f )1(2

131)(23-++=

,求)(x f 得单调区间。

例4:.已知函数ax x x x f -+=ln )(2在区间(0,1)上是增函数,求a 的取值范围。

跟踪训练4:已知函数x ax x x f ln 1-)(2-++=在区间)2

1,0(上是减函数,求a 的取值范围。

四.归纳总结:

1.函数的单调区间是定义域的子区间,求函数的单调区间往往易忽视函数的定义域,这样不但解答结果错误,而且可能使解题过程跟复杂,因此,求函数的单调区间优先考虑函数的定义域。

2.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个,这些单调区间不能用并集符号 “ ”连接,只能用逗号“,”“或”“和”字隔开。

3.)(x f 单调递增?0)('≥x f 中易忽视“=”,导致与正确的解法擦肩而过,注意,这里的“=”一定不能省略。

4.在形式上为二次函数的问题中,极易忘记二次系数可能等于零的情况,这样的问题在导数的单调性的讨论中经常遇到,要特别注意。

五、课后作业

1. 函数53)(23--=x x x f 的单调递增区间是______________________.

2. 已知函数31232)(23+-+=x x x x f ,则函数)(x f 在(-2,1)内是()

A.单调递减

B.单调递增

C.可能递增也可能递减

D.以上都不成立

3.已知函数x x x f ln )(=,则()

A.在),0(+∞上递增。

B.在),0(+∞上递减。

C.在)1,0(e 上递增。

D. .在)1,0(e 上递减。

4.若函数x kx x f ln )(-=在区间),1(+∞单调递增,则k 的取值范围是

A. ]2,(--∞

B. ]1,(--∞

C. ),2[+∞

D. ),1[+∞

5.函数1)(+-=x e x f x 的递减区间是_______________________________.

6.设函数)(,)(ln )(2R a a x x x f ∈-+=,若函数)(x f 在[1,2]上存在单调递增区间,求实数a 的取值范围

7.函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x ,讨论)(x f 得单调区间。(2016年21(1))

8.已知函数0,ln 12)(>-+-=a x a x

x x f ,讨论)(x f 的单调性。

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