当前位置：文档库 › 导数的应用—单调性与极值的习题课

导数的应用—单调性与极值的习题课

【复习目标】

1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；

2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。

3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的

单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；

4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三

次的多项式函数的极大值、极小值，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

【重点难点】

①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；④利用导数证明函数的单调性；

⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；

【基础过关】1．函数的单调性

⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为；若)(x f '＜0，则)

(x f 为 .（逆命题不成立）

(2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f .

注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.

(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：

① 确定函数)(x f 的；

② 求)(x f '，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；

③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺

序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间；

④ 确定)(x f '在各小开区间内的，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区

间内的增减性.

2．可导函数的极值

⑴ 极值的概念

设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有（或），则称

)(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点.

⑵ 求可导函数极值的步骤：

① 求导数)(x f '；

② 求方程)(x f '＝0的；

③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，

那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函

数y ＝)(x f 在这个根处取得 .

【基础训练】

例1．如果函数()y f x =的图像如右图,那么导函数,

()y f x =的图像可能是（）

例2. 曲线x x y ln 22-= 的单调减区间是( )

A.]1,0(;

B.),1[+∞;

C.]1,(-∞及]1,0( ;

D. )0,1[-及]1,0(;

例3.若函数2()1

x a f x x +=+在1x =处取极值，则a =

例4. 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内

的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点 _个

例5．若1)2(33)(23++++=x a ax x x f 有极值，则a 的取值范围是 .

【典型例题】 1(2011·浙江五校联考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c (x ∈[－1,2])，且函数f (x )在x

＝1和x ＝－23处都取得极值．

(1)求a ，b 的值；

(2)求函数f (x )的单调递增区间．

2.设函数3

()3(0)f x x ax b a =-+≠.

（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.

（Ⅲ）若1b =-且()f x 在1x =-处取得极值,直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同

的交点，

求m 的取值范围。思考:若是有1个不同的交点呢? 2个不同的交点呢?

3已知函数f(x)＝4x3＋ax2＋bx＋5的图象在x＝1处的切线方程为y＝－12x.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求y＝f(x)的单调递增区间．

4(2011·安徽)设f(x)＝

e x

1＋ax2

，其中a为正实数．

(1)当a＝4

3时，求f(x)的极值点；

(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．

5.已知函数f(x)=x3-ax-1.

（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；

6已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=

2时，y=f(x）有极值.

（1）求a,b,c的值；

（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.

7 设函数f(x)=-x(x-a)2

(x∈R ),其中a∈R .

（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程；

（2）当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值.

【课后作业】

1.函数y =x 2（x －3）的减区间是

2.函数f （x ）=ax 2－b 在（－∞，0）内是减函数，则a 、b 应满足

3.已知f （x ）=（x －1）2+2，g （x ）=x 2－1，则f ［g （x ）］的增区间是

4.在（a ，b ）内f '（x ）>0是f （x ）在（a ，b ）内单调递增的____ ____条件.

5.已知a >0，函数f （x ）=x 3－ax 在［1，+∞）上是单调增函数，则a 的取值范围是 6已知x R ∈，奇函数32()f x x ax bx c =--+在[1,)+∞上单调，则字母,,a b c 应满足的条

件是。

7.设f （x ）=x 3－2

x －2x +5. （1）求f （x ）的单调区间；

（2）当x ∈［1，2］时，f （x ）

8．设f （x ）=x 3－3ax 2+2bx 在x =1处有极小值－1，试求a 、b 的值，

并求出f （x ）的单调区间.

9已知函数f （x ）=ax 3+3x 2－x +1在R 上是减函数，求实数a 的取值范围.

10．若函数y =3

1x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围.

导数的应用—单调性与极值的习题课

导数的应用—单调性与极值的习题课【复习目标】 1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用； 2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。 3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。【重点难点】 ①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；④利用导数证明函数的单调性； ⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；【基础过关】1．函数的单调性 ⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为；若)(x f '＜0，则) (x f 为 .（逆命题不成立） (2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f . 注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数)(x f 的； ② 求)(x f '，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； ③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间； ④ 确定)(x f '在各小开区间内的，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性. 2．可导函数的极值 ⑴ 极值的概念设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有（或），则称 )(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点. ⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '； ② 求方程)(x f '＝0的； ③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 . 【基础训练】例1．如果函数()y f x =的图像如右图,那么导函数, ()y f x =的图像可能是（）例2. 曲线x x y ln 22-= 的单调减区间是( )

导数与单调性极值最基础值习题

导数与单调性极值最基础值习题评卷人得分一.选择题(共14小题) 1.可导函数ｙ=ｆ（x）在某一点的导数值为０是该函数在这点取极值的() A．充分条件B．必要条件 C.充要条件?Ｄ．必要非充分条件 2.函数y＝1＋3ｘ﹣x3有( ) A．极小值﹣1，极大值3?B．极小值﹣2,极大值３ C.极小值﹣1，极大值１ D.极小值﹣2，极大值2 ３.函数f（x）＝ｘ3+ax2﹣３ｘ﹣9，已知f（ｘ)的两个极值点为x1，x２,则x1?ｘ2＝（）Ａ.9 B．﹣９C．1 Ｄ．﹣1 4．函数的最大值为（） A．?Ｂ．e２C．e D．ｅ﹣1 5.已知a为函数f(x)=x3﹣12x的极小值点，则ａ=（) Ａ．﹣4 B．﹣2 Ｃ．4 Ｄ.2 6．已知函数y=x３﹣3x+c的图象与ｘ轴恰有两个公共点，则c=（) A.﹣2或2? B.﹣9或3 C.﹣１或1 D．﹣3或1 7．设函数f(ｘ）＝xeｘ,则() A.x＝１为f（x)的极大值点 B.ｘ＝１为f(x）的极小值点 C．x=﹣1为f（x)的极大值点?D．x=﹣１为f(x）的极小值点 8.函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值,则实数a的取值范围是（) A.(0，3）?Ｂ.(0，)?C.(0，+∞）?D．（﹣∞,3) ９.已知函数ｆ(x）＝x3+ax２+bx+ａ2在x=1处有极值１0,则f（2)等于（) Ａ.11或18?B．１1 C.1８?D．17或18 １０．设三次函数f(ｘ）的导函数为f′(x)，函数y=x?ｆ′(x)的图象的一部分如图所

示，则正确的是（） A.f（x）的极大值为，极小值为 B．ｆ(x）的极大值为,极小值为 C.f（ｘ)的极大值为f（﹣3),极小值为f(3） D．f（x）的极大值为f（3）,极小值为f(﹣3） 1１．若ｆ（x)=ｘ3+２ax2+3（a+２）x+１有极大值和极小值,则ａ的取值范围是( ）A．﹣a2或a＜﹣１C.a≥2或a≤﹣1?D．ａ＞1或a<﹣2 12.函数y=xe﹣x,ｘ∈［０,4]的最小值为（）Ａ．0 B．?C.?Ｄ. 13．函数y=2x3﹣３x2﹣12ｘ+5在区间[0,３]上最大值与最小值分别是（）Ａ．５,﹣1５ B.5，﹣４Ｃ.﹣4，﹣１5?D．5,﹣1６ 1４．已知f(x）＝2x3﹣６x２+ｍ(m为常数)在[﹣２，2]上有最大值3,那么此函数在[﹣2,２]上的最小值是( ) A.﹣37 Ｂ．﹣29 C.﹣5 D．以上都不对评卷人得分二.填空题（共10小题) １５．函数f(x）=x3﹣3x2＋１的极小值点为. １6.已知f（x）=x3﹣ax2﹣ｂｘ+ａ2,当x=1时,有极值10，则a＋ｂ=．１7.已知函数f(x）=x(x﹣c）２在ｘ=２处有极大值，则c= ． 18．已知函数f（x）=x３+3aｘ２＋３(a+2)x+1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是. 19．已知函数f(x)=ｘ3+mx2+(m＋6)x+1既存在极大值又存在极小值，则实数m的

word完整版导数的单调性与极值题型归纳

导数的应用（单调性与极值）一、求函数单调区间 3－3x的单调递减区间是________________ x1、函数y＝ x的单调递增区间是_______________ －3)e(x)＝(x2、函数f 3、函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调递增区间为() 11A．(0，) B．(，＋∞) aa1B．C．(－∞，) D．(－∞，a) a 4、函数y＝x－2sin x在(0,2π)内的单调增区间为________． 2x x5、求函数f(x)＝x(e－1)－的单调区间． 2 a6、已知函数f(x)＝＋x＋(a－1)ln x＋15a，其中a<0，且a≠－1.讨论函数f(x)的x单调性．

二、导函数图像与原函数图像关系 1 导函数正负决定原函数递增递减导函数大小等于原函数上点切线的斜率导函数大小决定原函数陡峭平缓 1、若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a， b]上的图象可能是() 2、若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是先增后减的函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是() 2x cos x)·，则函数y＝g(g在其任一点＋1(x，y)处切线斜率为(x)＝3、设曲线yx) (的部分图象可以为

) 的图象，如图所示，则(xx)的导函数f′()f4、函数 ( 0是极小值点B．x＝x＝1是最小值点 (1,2)上单增在xf D 是极小值点＝．C x2 ．函数()三、恒成立问题2

123+bx+cxf(x)=x-b-∞，+∞）上是增函数，求.若f(x)1、已知函数在（2; 的取值范围

《导数在研究函数中的应用-函数的单调性与导数》说课稿

《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿周国会一、教材分析 1教材的地位和作用 “函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1，第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。（一）知识与技能目标： 1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间； 2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。（二）过程与方法目标： 1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。 2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。（三）情感、态度与价值观目标： 1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结， 2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。（四）教学重点，难点教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。教学难点：探求含参数函数的单调性的问题。二、教法分析针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题，注意分类讨论点的确认，灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学，强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用，

导数应用：含参函数的单调性讨论(二)

导数应用：含参函数的单调性讨论(二) 对函数(可求导函数)的单调性讨论可归结为对相应导函数在何处正何处负的讨论，若有多个讨论点时，要注意讨论层次与顺序，一般先根据参数对导函数类型进行分类，从简单到复杂。一、典型例题例1、已知函数3 2 ()331,f x ax x x a R =+++∈,讨论函数)(x f 的单调性. 分析：讨论单调性就是确定函数在何区间上单调递增，在何区间单调递减。而确定函数的增区间就是确定0)('>x f 的解区间；确定函数的减区间就是确定0)('时，/2 ()3(21)f x ax x =++的图像开口向上，36(1)a ?=- I) 当136(1)0,a a ≥?=-≤时，时，/ ()0f x ≥，所以函数()f x 在R 上递增； II) 当0136(1)0,a a <时，时，方程/ ()0f x =的两个根分别为 121111,,a a x x a a ----+-= =且12,x x < 所以函数()f x 在11(, )a a ----∞，11(,)a a -+-+∞上单调递增，在1111( ,)a a a a ----+-上单调递减； (3) 当0a <时，/2 ()3(21)f x ax x =++的图像开口向下，且36(1)0a ?=-> 方程/ ()0f x =的两个根分别为121111,,a a x x a a ----+-= =且12,x x > 所以函数()f x 在11(, )a a -+--∞，11(,)a a ---+∞上单调递减，在1111( ,)a a a a -+----上单调递增。综上所述，当0a <时，所以函数()f x 在1111( ,)a a a a -+----上单调递增，在11(, )a a -+--∞，11(,)a a ---+∞上单调递减；当0a =时，()f x 在1(,]2-∞-上单调递增，在1 [,)2 -+∞上单调递减；当01a <<时，所以函数()f x 在11(,)a a ----∞，11(,)a a -+-+∞上单调递增，在1111( ,)a a a a ----+-上单调递减；当1a ≥时，函数()f x 在R 上递增；小结：导函数为二次型的一股先根据二次项系数分三种情况讨论（先讨论其为0情形），然后讨论判别式（先讨论判别式为负或为0的情形，对应导函数只有一种符号，原函数在定义域上为单调的），判别式为正的情况下还要确定两根的大小（若不能确定的要进行一步讨论），最后根据导函数正负确定原函数相应单调性，记得写出综述结论。

《函数的单调性与极值》教学案设计

《函数的单调性与极值》教学案设计教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；掌握利用导数判断函数单调性的方法；教学重点：利用导数判断函数单调性；教学难点：利用导数判断函数单调性教学过程：一引入：以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 10时，函数y=f(x) 在区间（2，∞+）内为增函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/y <0时，函数y=f(x) 在区间（∞-，2）内为减函数. 定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内/ y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。例1 确定函数422+-=x x y 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。例2 确定函数76223+-=x x y 的单调区间。 y

2 极大值与极小值观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。一般地，设函数y=f(x)在0x x 及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，

导数的单调性及极值问题

二轮复习导数（一） 2015. 02. 07 一、运用导数研究函数的单调性单调区间：（1）求单调区间（2）已知单调区间（3）在某区间上不单调运用导数求函数单调区间的思维流程图：答题步骤：第一步：求定义域；第二步：求)(x 'f ；第三步：令)(x 'f ＝０，求相应的导函数零点值；（是一次型还是二次型？是否有解？有几个解）第四步：列表分析函数的单调性，（列表实际上就是画数轴，也可以认为是穿根解不等式，首先要做的是比较根的大小以及根于定义域边界的大小）第五步：由表格写结论。例1：（2012西城一模）已知函数()e (1)ax a f x a x =?++，其中1-≥a . 求)(x f 的单调区间. 解：2 (1)[(1)1] ()e ax x a x f x a x ++-'=，0x ≠．……………6分 ①当1-=a 时，令()0f x '=，解得1x =-． )(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-；单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞．……8分当1a ≠-时，令()0f x '=，解得1x =-，或1 1 x a = +． ②当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-，1 ( ,)1 a +∞+；单调递增区间为(1,0)-，1 (0, )1 a +．………10分 ③当0=a 时，()f x 为常值函数，不存在单调区间．…………11分 ④当0a >时，)(x f 的单调递减区间为(1,0)-，1 (0, )1 a +；单调递增区间为(,1)-∞-，1 ( ,)1 a +∞+．…………13分

1）分类讨论的特点：二次项系数不确定，一元二次方程根的大小确定。例2：（2012-2013朝阳第一学期期末）已知函数1 ()()2ln ()f x a x x a x =--∈R ．求函数()f x 的单调区间. 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞．222 122()(1)ax x a f x a x x x -+'=+-= （1）当0a ≤时，2()20h x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减．……………4分（2）当0a >时，244a ?=-，（ⅰ）若01a <<，由()0f x '>，即()0h x >，得1x a <或1x a +>；………………5分由()0f x '<，即()0h x -， .......................................2分令()0f x '=，得到121 2,0x x a = -= ，由12a ≥可知120a -≤ ，即10x ≤....................5分 ① 即12a =时，121 20x x a =-==.所以,2 '2 ()0,(1,)2(1) x f x x x =-≤∈-+∞+，............6分故()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞ . ................................7分 ② 当 112a <<时，1 120a -<-<，即1210x x -<<=，所以，在区间1 (1,2)a --和(0,)+∞上，'()0f x <；........8分在区间1(2,0)a -上，'()0f x >..........9分故 ()f x 的单调递减区间是1 (1,2)a --和(0,)+∞，单调递增区间是1(2,0)a -. .........10分 ③当1a ≥时，11 21x a = -≤-，

导数及其应用单调性

选修2-2 第1章导数及其应用 §1.3.1 单调性第1课时总第53教案一、教学目的：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 二、教学重点：利用导数判断函数单调性. 教学难点：利用导数判断函数单调性. 三、教学过程：预习测评：1. 函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342 +-=x x y 的图像可以看到：定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/ y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/ y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数 . 2.用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间. 典题互动：例1、确定下列函数的单调区间 ①x x x f -=3 )( ②x x x f ln )(-= ③x x f 21)(= ④x x x f sin 2 1 )(+= ⑤1+-=x e y x ⑥)34(4 134 +--=x x y ⑦x x y -=3 ⑧x x y 1+= ⑨1 2-=x bx y y =f (x )=x 2 －4x +3 切线的斜率 f ′(x ) (2，+∞) (－∞，2) 3 2 1 f x () = x 2-4?x ()+3 x O y B A

例2：若x ax x f +=3 )(恰有三个单调区间，试确定实数a 的取值范围，并求出这三个单调区间。例3：要使函数2)1(3)(2 -++=x a x x f 在区间]3,(-∞上是减函数，求实数a 的取值范围。例4：已知x>1，求证：)1ln(x x +> 学效自测： 1、讨论函数)(x f 的单调性 (1)b kx y += (2)x k y = (3))0( 2 ≠++=a c bx ax y 2、证明：(1) x e x f =)(在区间),(+∞-∞上是增函数；(2) x e x f x -=)(在区间)0,(-∞上是减函数。

导数与函数的单调性、极值、最值

教学过程一、课堂导入问题：判断函数的单调性有哪些方法？比如判断2x y=的单调性，如何进行？因为二次函数的图像我们非常熟悉,可以画出其图像，指出其单调区间，再想一下，有没有需要注意的地方？如果遇到函数x y3 x 3- =，如何判断单调性呢？你能画出该函数的图像吗？定义是解决问题的最根本方法，但定义法较繁琐,又不能画出它的图像，那该如何解决呢？

二、复习预习函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?

三、知识讲解考点1 利用导数研究函数的单调性如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)>0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是增加的；如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)<0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是减少的．利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分．

求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行． ①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点； ②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点； ③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

导数的单调性及极值

导数的单调性及极值 1．已知函数()cos x f x xe =（e 为自然对数的底数），当[],x ππ∈-时， ()y f x =的图象大致是（） A. B. C. D. 2．函数x y xe -=，[0,4]x ∈的最小值为（） A ．0 B ．1e C.44e D ．22 e 3．已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之一，且其导函数'()y f x =的图象如图所示，则该函数的图象是（） A ． B ． C. D ． 4．函数32()f x x bx cx d =+++图象如图，则函数222log ()33 c y x bx =++的单调递减区间为（） A.(,2]-∞- B.[3,)+∞ C.[2,3]-- D.1[,2+∞） 5．函数()f x 的定义域为开区间(,)a b ，导函数'()f x 在(,)a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(,)a b 内有极小值点（） A ．1个 B ．2个 C. 3个 D ．4个 6．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足10'() x f x -≤，则必有（） A ．(0)(2)2(1)f f f +> B ．(0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +< D ．(0)(2)2(1)f f f +≥

7．已知R 上的可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式() ()2230x x f x '-->的解集为 A ．() (),21,-∞-+∞ B ．()(),21,2-∞- C ．()()(),11,13,-∞--+∞ D ．()()(),11,02,-∞--+∞ 8．已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 A ．21<<-a B ．63<<-a C ．3-a D ．1-a 9．若函数12 3)(23++-=x x a x x f 在区间)3,21(上单调递减，则实数a 的取值范围为 A.)310,25( B.),310(+∞ C.),3 10[+∞ D.),2[+∞ 10．已知函数()321f x x ax x =-+--在(),-∞+∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（） A ．(),3,?-∞+∞? B ． (() ,3,-∞+∞ C ．?? D ．( 11．设3 21()252 f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为 A.7m > B.15727m > C.157727m << D.7m < 12．已知函数()33f x x x =-，若对于区间[]3,2-上任意的12,x x 都有()()12f x f x t -≤，则实数t 的最小值是（） A ．0 B ．10 C ．18 D ．20 13．已知()f x 是定义在()0+∞，上的可导函数，其导函数为()'f x ，且当0x >时，恒有()()'l n 0f x x x f x +<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（） A ．()01， B ．()1+∞， C ．()()011+∞，， D ．? 14．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ，当0>x 时，有0)()(2>-'x x f x f x 成立，则不等式0)(>?x f x 的解集是（）（A ）),1()1,(+∞?--∞ （B ）)1,0()0,1(?- （C ）),1(+∞ （D ）),1()0,1(+∞?- 15．已知函数