10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
11.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择
一般式.
（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：
()()21x x x x a y --=.
12.直线与抛物线的交点
（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).
（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点
(h ,c bh ah ++2).
（3）抛物线与x 轴的交点
二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是
对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点
情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交；
②有一个交点（顶点在x 轴上）?0=??抛物线与x 轴相切；
③没有交点?0
（4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，
两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两
个实数根.
（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像
G 的交点，由方程组 c bx ax y n
kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有
两组不同的解时?l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时?l 与
G 只有一个交点；③方程组无解时?l 与G 没有交点.
（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交
点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故
a
c x x a b x x =?-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?=-=-??? ??-=--=-=-=44422
2122122121 第二十三章 旋转
23.1 图形的旋转
知识点一 旋转的定义
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O 转动一个角度，就叫做图形
的旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
知识点二 旋转的性质
旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所
连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
知识点三利用旋转性质作图
旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：
①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）
③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
④接：即连接到所连接的各点。
23.2 中心对称
知识点一中心对称的定义
中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
注意以下几点：
中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。
知识点二作一个图形关于某点对称的图形
要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可
得出成中心对称图形。
知识点三中心对称的性质
有以下几点：
（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；
（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。
知识点四中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
知识点五关于原点对称的点的坐标
在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。
第二十四章圆
24.1 圆
24.1.1 圆
知识点一圆的定义
圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA 叫作半径。第二种：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。
比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。
知识点二 圆的相关概念
（1） 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。
（2） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的
两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（3） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。
（4） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆
或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。
24.1.2 垂直于弦的直径
知识点一 圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
知识点二 垂径定理
（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图
所示，直径为CD ，AB 是弦，且CD ⊥AB ，
AM=BM 垂足为M AC =BC 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对
的两条弧
如上图所示，直径CD 与非直径弦AB 相交于点M ，
CD ⊥AB
B D
AM=BM AC=BC
AD=BD
注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。
24.1.3 弧、弦、圆心角
知识点弦、弧、圆心角的关系
（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。
（3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两
个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。
24.1.4 圆周角
知识点一圆周角定理
（1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
（2）圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径。
（3）圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。
知识点二圆内接四边形及其性质
圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
24.2 点、直线、圆和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
知识点一点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。
（2）用数量关系表示：若设⊙O的半径是r，点P到圆的距离OP=d，则有：
点P在圆外＞r；点p在圆上；点p在圆内
d＜r。
知识点二过已知点作圆
（1）经过一个点的圆（如点A）
以点A外的任意一点（如点O）为圆心，以OA为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。
·O1
A ·O2
·O3
（2）经过两点的圆（如点A、B）
以线段AB的垂直平分线上的任意一点（如点O）为圆心，以OA（或OB）为
半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。 A
B
（3） 经过三点的圆
①
经过在同一条直线上的三个点不能作圆
② 不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个
点可以作圆，且只能作一个圆。如经过不在同一条直线上的三个点A 、B 、
C 作圆，作法：连接AB 、BC （或AB 、AC 或BC 、AC ）并作它们的垂直平分
线，两条垂直平分线相交于点O ，以点O 为圆心，以OA （或OB 、OC ）的
长为半径作圆即可，如图，这样的圆只能作一个。
③
知识点三 三角形的外接圆与外心
（1） 经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
（2） 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形
的外心。
知识点四反证法
（1）反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。
（2）反证法的一般步骤：
①假设命题的结论不成立；
②从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与
已知等相矛盾的结论；
③由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。
24.2.2 直线和圆的位置关系
知识点一直线与圆的位置关系
（1）直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。
（2）直线与圆的位置关系可以用数量关系表示
若设⊙O的半径是r，直线l与圆心0的距离为d，则有：
直线l d ＜ r；l和⊙O相切；直线l和⊙O相离 d ＞ r。
知识点二切线的判定和性质
（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
（3）切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
知识点三切线长定理
（1）切线长的定义：经过园外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
（3）注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个是切点。
知识点四三角形的内切圆和内心
(1)三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切
圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。
(2)三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。
(3)注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的
内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。24.2.3 圆和圆的位置关系
知识点一圆与圆的位置关系
（1）圆与圆的位置关系有五种：
①如果两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，包括外离和内含两种；
②如果两个圆只有一个公共点，就说这两个圆相切，包括内切和外切两种；
③如果两个圆有两个公共点，就说这两个圆相交。
（2）圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示：
若设两圆圆心之间的距离为d，两圆的半径分别是r1 r2,且r1 ＜r2，则有
两圆外切1+r2-r1＜d＜
两圆外离＞r
r 1+r 2 两圆内切 d=r 2-r 1 两圆内含 d ＜r 2-r 1
24.3 正多边形和圆
知识点一 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n （n 是大于2的自然数）等份，
顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正
多边形的外接圆。
正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心
角。
正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。
知识点二 正多边形的性质
（1） 正n 边形的半径和边心距把正多边形分成2n 个全等的直角三角形。
（2） 所有的正多边形都是轴对称图形，每个正n 边形共有n 条对称轴，每
条对称轴都经过正n 边形的中心；当正n 边形的边数为偶数时，这个
正n 边形也是中心对称图形，正n 边形的中心就是对称中心。
（3） 正n 边形的每一个内角等于
n n ??-180)2(，中心角和外角相等，等于n
?360。 24.4 弧长和扇形面积
知识点一 弧长公式l=180R n π 在半径为R 的圆中，360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2πR ，所以
n °的圆心角所对的弧长的计算公式l=
360n ×2πR=180
R n π。 知识点二 扇形面积公式
在半径为R 的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积S=πR 2，
所以圆心角为n °的扇形的面积为S 扇形=360
2R n π。 比较扇形的弧长公式和面积公式发现：
S 扇形=lR lR R R n R n s 2
1,21211803602==?=扇形所以ππ 知识点三 圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆
锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，那
么这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2πr ，因此圆锥的侧面积
rl l r s ππ=??=22
1圆锥侧。圆锥的全面积为2r rl s s s ππ+=+=底圆锥侧圆锥全。 第二十五章 概率初步
25.1 随机事件与概率
25.1.1 随机事件
知识点一 必然事件、不可能事件、随机事件
在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，
有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能
发生也可能不会发生的事件称为随机事件。
必然事件和不可能事件是否会发生，是可以事先确定的，所以它们统称为
确定性事件。
知识点二 事件发生的可能性的大小
必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性
有大有小。不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
25.1.2 概率
知识点 概率
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）。
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性
m。都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=
n
m≤1，因此 0≤P（A）由m和n的含义可知0≤m≤n，因此0≤
n
≤1.
当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0.
25.2 用列举法求概率
知识点一用列举法求概率
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能
m。性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=
n
知识点二用列表发求概率
当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。
知识点三用树形图求概率
当一次试验要涉及3个或更多的因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图。树形图是反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，并求出概率的方法。
（1）树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的方法。
（2）在用列表法和树形图法求随机事件的概率时，应注意各种情况出现
人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含答案完整版
人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含 答案 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
圆 24.1.1圆 知识点一圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （3）等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 24.1.2垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为CD，AB是弦，且CD⊥AB， A B AM=BM 垂足为M AC=BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 如上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M， CD⊥ABAM=BMAC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 （3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。
初三数学总复习测试题
选择题答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 一、选择题（每小题3分，共36分） 1．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（） A．0 1 2= + x B．0 1 2= - +x x C．0 3 2 2= + +x x D．0 1 4 42= + -x x 2．若两圆的半径分别是4cm和5cm，圆心距为7cm，则这两圆的位置关系是（） A．内切B．相交C．外切D．外离 3．若关于x的一元二次方程0 1 )1 (2 2= + - + +a x x a有一个根为0，则a的值等于（） A. -1 B.0 C.1 D. 1或者-1 4．若c b a> >且0 = + +c b a，则二次函数c bx ax y+ + =2的图象可能是下列图象中的（） 5．如图，一个由若干个相同的小正方体堆积成的几何体，它的主视图、左视图和俯视图都是田字形，则小正方体的个数是( )A．6、7或8 B．6 C．7 D．8 6．如图，以原点为圆心的圆与反比例函数 3 y x =的图象交于A、B、C、D四点，已知点A的横坐标为1，则点C的横坐标（）A．1 -B．2 -C．3 -D．4 - 7．如图，圆锥的轴截面ABC △是一个以圆锥的底面直径为底边，圆锥的母线为腰的等腰三角形，若圆锥的底面直径BC= 4 cm，母线AB= 6 cm，则由点B出发，经过圆锥的侧面到达母线AC的最短路程是( ) A． 83 cm B．6cm C．33cm D．4cm 8．已知（x1, y1）,（x2, y2）,（x3, y3）是反比例函数 x y 4 - =的图象上的三个点,且x1＜x2＜0，x3＞0,则y1,y2,y3的大小关系是 ( )A. y3＜y1＜y2B. y2＜y1＜y3C. y1＜y2＜y3D. y3＜y2＜y1 9.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点， A C x y O （第6题） B D A B C O （第7题） ·（第5题
人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含答案
24.1.1 圆 知识点一圆的定义 o叫作圆圆的定义：第一种：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点 心，线段0A叫作半径。第二种：圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长， 也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（ 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 24.1.2垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为CD, AB是弦，且CDLAE， C ~|M A B AM=BM 垂足为M AC=BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如 上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M CDLABAM=BMAC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 （3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心 圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。 24.1.4圆周角 知识点一圆周角定理
最新九年级数学高频考点核心考点复习提纲完整版总复习资料代数
最新九年级数学高频考点核心考点复习提纲完整版 九年级总复习资料代数部分 第一节实数 [知识要点] 1.实数的分类 2.数轴： （1）定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 （2）实数和数轴上的点一一对应。 3.相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。 a的相反数为-a 若a、b互为相反数，则a+b=0 或a=-b 4.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。 a （a≠0）的倒数为. 5.绝对值 6.实数的大小比较 （1）正数>0；负数<0；正数>负数；两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的反而小。 （2）用数轴比较：右边的数大于左边的数。 7.科学记数法、近似数和有效数字。
（1）科学记数法：把一个数记成±a310n的形式（其中1≤a<10，n是整数） （2）近似数 （3）有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数字的有效数字。 8.实数的运算 （1）运算法则（2）运算律（3）运算顺序 第二节二次根式 [知识要点] 1.平方根 （1）定义：若x2=a，则x是a的平方根,记作:x=± （2）性质：1）正数的平方根有2个，它们互为相反数 2）0的平方根是0 3）负数没有平方根 2.算术平方根 （1）定义：正数a 的正的平方根，记作 （2）性质：1）正数的算术根是一个正数。 2）0的算术平方根是0 3）负数没有算术平方根 3.立方根 4.二次根式的有关概念 (1)二次根式：型如√a(a≥0)的式子叫二次根式。 (2)最简二次根式:1)被开方数的因数是整数 2)被开方数中不含能开得尽方得因数. (3)同类二次根式:化成同类二次根式以后,被开方数相同得二次根式,叫做同类二次根式. (4)二次根式的性质
(完整)九年级上册数学总复习资料
九年级数学上册知识点总结 第二十一章一元二次方程 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a . （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即
正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数； ⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； ⑷若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么 方程的两个根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值②确定公
初三数学圆知识点复习专题经典
《圆》 一、圆的概念 概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r +； 外切（图2）?有一个交点?d R r =+； 相交（图3）?有两个交点?R r d R r -<<+； 内切（图4）?有一个交点?d R r =-； 内含（图5）?无交点?d R r <-； A
r R d 图3 r R d 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 例题1、 基本概念 1．下面四个命题中正确的一个是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）． A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B ．过弦的中点的直线必过圆心 C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D ．弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大 深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. r R d 图4 r R d 图5 r R d O E D C A O C D A B
最新九年级数学必考要点分类汇编精华版 一元二次方程总复习资料
最新九年级数学必考要点分类汇编精华版 一元二次方程总复习资料 一、知识扫描 1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.因此，由一元二次方程的定义可知，即一元二次方程必须满足满足以下三个条件：①方程的两边都是关于未知数的整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。这样的方程才是一元二次方程，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程。例如：535,53,02,3422222+===-+-x x x x x x x 都是一元二次方程。而03132=-+x x 不是一元二次方程，原因是x 1是分式。 2.任何关于x 的一元二次方程的都可整理成)0(02≠=++a c bx ax 的形式.这种形式叫做一元二次方程的一般形式，它的特征是方程左边是一个关于未知数的二次三项式，方程右边是零，其中2ax 叫二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。注意b 、c 可以是任何实数，但a 绝对不能为零，否则，就不是一元二次方程了。化一元二次方程为一般形式的手段是去分母、去括号、移项、合并同类项，整理后的方程最好按降幂排列，二次项系数化为正数。注意任何一个一元二次方程不可缺少二次项，担可缺少一次项和常数项，即b 、c 均可以为零。如方程013x 023x 02222=-=-=、、x x 都是一元二次方程。 3．一元二次方程的解. 使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根。如x=1时，022=-+x x 成立，故x=1叫022=-+x x 的解。 4.一元二次方程的解法 解一元二次方程的基本思想是通过降次转化为一元一次方程，本节共介绍了四种解法。 （1）直接开平方法：方程)0(2≥=a a x 的解为a x ±=，这种解一元二次方程的方法叫 直接开平方法。它是利用了平方根的定义直接开平方，只要形式能化成 ()a =2的一元二次方程都可以采用直接开平方法来解。如5442=++x x ，可化成 5)2(2=+x ，所以5-2x ,52±=±=+即x （2）因式分解法：首先把方程右边化为为零，左边通过因式分解化为两个一次因式乘积，由于两个一次因式相乘为零，第一个因式为零或第二个因式为零。这样通过降次将一元二次方程转化为一元一次方程。使用因式分解法解一元二次方程时千万别约去两边含未知数的等式，如解1)1(3-=-x x x 时，两边不能约去x-1,解得3 1=x ，这样就丢掉了x=1这个解，正确的做法是先移项，右边化为为零，正确解法如下，移项得：0)1()1(3=---x x ，即0)13)(1(=--x x ，那么x-1=0或3x-1=0,从而
初三中考数学总复习资料(备考大全)
2011年中考数学总复习资料 代数部分 第一章：实数 基础知识点: 一、实数的分类: ?????? ???????????????????????????????????????无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 １、有理数：任何一个有理数总可以写成q p 的形式,其中ｐ、ｑ是互质的整数,这是有理数的重要特征。 2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数,如１.10100100010000１……；特定意义的数,如π、45sin °等。 ３、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。 二、实数中的几个概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 (1）实数a 的相反数是 -a; (2）a 和ｂ互为相反数?ａ+b ＝０ 2、倒数: (１）实数a(a ≠０）的倒数是a 1;(2)a 和b 互为倒数?1=ab ；(3）注意0没有倒数 ３、绝对值: (1）一个数ａ 的绝对值有以下三种情况： ?????-==0,0, 00, a a a a a a (2)实数的绝对值是一个非负数,从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 （3）去掉绝对值符号(化简)必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认,再去掉绝对值符号。 ４、n 次方根 （1)平方根，算术平方根:设a ≥0,称a ±叫ａ的平方根，a 叫a 的算术平方根。 (2）正数的平方根有两个,它们互为相反数；0的平方根是0;负数没有平方根。 (3)立方根:3a 叫实数ａ的立方根。
人教版九年级数学上册中考专题复习题含答案全套
人教版九年级数学上册中考专题复习题 1.类比归纳专题：配方法的应用 2.类比归纳专题：一元二次方程的解法 3.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题 4.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合 5.解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题 6.易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围 7.难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做) 8.抛物线中的压轴题 9.易错专题：抛物线的变换 10.解题技巧专题：巧用旋转进行计算 11.旋转变化中的压轴题 12.类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度 13.类比归纳专题：切线证明的常用方法 14.解题技巧专题：圆中辅助线的作法 15.解题技巧专题：圆中求阴影部分的面积 16.考点综合专题：圆与其他知识的综合 17.圆中的最值问题 18.抛物线与圆的综合 19.易错专题：概率与放回、不放回问题
类比归纳专题：配方法的应用 ——体会利用配方法解决特定问题 ◆类型一 配方法解方程 1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是（ ） A ．x 1＝x 2＝1 B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2 C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2 D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 2 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100 B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25 C ．2t 2－7t －4＝0 化为????t －742 ＝8116 D ．3x 2－4x －2＝0 化为????x －232＝109 3．利用配方法解下列方程： (1)(2016·淄博中考)x 2＋4x －1＝0； (2)(x ＋4)(x ＋2)＝2； (3)4x 2－8x －1＝0； (4)3x 2＋4x －1＝0. ◆类型二 配方法求最值或证明 4．代数式x 2－4x ＋5的最小值是（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．5 5．下列关于多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的是（ ） A ．有最大值13 B ．有最小值－3 C ．有最大值37 D ．有最小值1 6．(2016－2017·夏津县月考)求证：代数式3x 2－6x ＋9的值恒为正数． 7．若M ＝10a 2＋2b 2－7a ＋6，N ＝a 2＋2b 2＋5a ＋1，试说明无论a ，b 为何值，总有M ＞N . ◆类型三 完全平方式中的配方 8．如果多项式x 2－2mx ＋1是完全平方式，则m 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．±1 D ．±2 9．若方程25x 2－(k －1)x ＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为（ ） A ．－9或11 B ．－7或8 C ．－8或9 D ．－6或7 ◆类型四 利用配方构成非负数求值 10．已知m 2＋n 2＋2m －6n ＋10＝0，则m ＋n 的值为（ ） A ．3 B ．－1 C ．2 D ．－2 11．已知x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0，求(x ＋y )2016的值．
北师大版九年级数学上册期末复习压轴题专题训练试题
下学期九年级数学上册期末复习压轴题专题训练试题 1.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，D 、E 分别是BC 、BA 的中点，连接DE 并延长至F ，使AF =AE ．(1)证明：四边形ACEF 是平行四边形；(2)若四边形ACEF 是菱形，求∠B 的度数． 2.已知:如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是CD 中点，连接OE.过点C 作CF ∥BD 交线段OE 的延长线于点F ，连接DF.求证: (1)△ODE ≌△FCE;(2)四边形ODFC 是菱形. 3.已知关于x 的方程2(3)(2)0x x p ---=． （1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足22 12 123x x x x +=，求实数p 的值． 4.如图，高高的路灯挂在学校操场旁边上方．王刚同学拿起一根2 m 长的竹竿去 测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地方点A 竖起竹竿(AE)，这时他量了一下竹竿的影长AC 正好是1 m ，他沿着影子的方向走，向远处走出两个竹竿的长度(即4 m )到点B ，他又竖起竹竿(BF 表示)，这时竹竿的影长BD 正好是一根竹竿的长度(即2 m )，此时，王刚同学抬头若有所思地说道：“噢，原来路灯有10 m 高
呀．”你觉得王刚同学的判断对吗？若对，请给出解答，若不对，请说明理由． 5.如图，已知点是反比例函数的图象上一点，直线 与反比例函数的图象在第四象限的交点为． （1）求直线的表达式； （2）动点在轴的正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，求点的坐标． 6.如图，一次函数y 1＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y 2 ＝ m x (m≠0，x＜0)的图 象交于点A(－3，1)和点C，与y轴交于点B，△AOB的面积是6； (1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)当x＜0时，比较y 1与y 2 的大小． 7.如图，一次函数y 1=kx+b(k≠0)和反比例函数y 2 ＝ m x (m≠0)的图象交 点A(-1，6)，B(a，-2)
九年级数学上册 圆 几何综合单元复习练习(Word版 含答案)(1)
九年级数学上册圆几何综合单元复习练习(Word版含答案)(1) 一、初三数学圆易错题压轴题（难） 1．如图，矩形ABCD中，BC＝8，点F是AB边上一点（不与点B重合）△BCF的外接圆交对角线BD于点E，连结CF交BD于点G． （1）求证：∠ECG＝∠BDC． （2）当AB＝6时，在点F的整个运动过程中． ①若BF＝22时，求CE的长． ②当△CEG为等腰三角形时，求所有满足条件的BE的长． （3）过点E作△BCF外接圆的切线交AD于点P．若PE∥CF且CF＝6PE，记△DEP的面积为S1，△CDE的面积为S2，请直接写出1 2 S S的值． 【答案】（1）详见解析；（2）① 182 5 ；②当BE为10， 39 5 或 44 5 时，△CEG为等腰三角形；（3） 7 24 . 【解析】 【分析】 （1）根据平行线的性质得出∠ABD＝∠BDC，根据圆周角定理得出∠ABD＝∠ECG，即可证得结论； （2）根据勾股定理求得BD＝10， ①连接EF，根据圆周角定理得出∠CEF＝∠BCD＝90°，∠EFC＝∠CBD．即可得出sin∠EFC ＝sin∠CBD，得出 3 5 CE CD CF BD ==，根据勾股定理得到CF＝62CE 18 2 5 ； ②分三种情况讨论求得： 当EG＝CG时，根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到∠GEC＝∠GCE＝∠ABD＝ ∠BDC，从而证得E、D重合，即可得到BE＝BD＝10； 当GE＝CE时，过点C作CH⊥BD于点H，即可得到∠EGC＝∠ECG＝∠ABD＝∠GDC，得到CG＝CD＝6．根据三角形面积公式求得CH＝ 24 5 ，即可根据勾股定理求得GH，进而求得HE，即可求得BE＝BH＋HE＝ 39 5 ；
初三数学总复习试题
数学试题 第1卷(选择题共36分) 一、选择题(本题共12小题，在每小题给出的四个选项中．只有一个是正确的．请把正确的选项选出来．每小题选对得3分．选错、不选或选出的答案超过一个均记0分．) 1．下面计算正确的是( )． A．3333 =D2 =B2733=C．235 -=- (2)2 2．我国以2010年11月1日零时为标准时点迸行了第六次全国人口普查．普查得到全国总人口为l370536875人，该数用科学记数法表示为( )．(保留3个有效数字) A．13.7亿B．8 1.410 ? 13.710 ?'D．9 1.3710 ?C．9 3．如图，△ABC中．BC=2．DE是它的中位线．下面三个结论：（1）DE=1； (2)△ADE∽△ABC；(3)△ADE的面积与△ABC的面积之比为l：4．其中正确的有( )． A．0个B．1个C．2个D．3个 4．如图，阴影部分是由5个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂黑．得到新的图 形(阴影部分)，其中不是 ．．轴对称图形的是( ) 5．不等式组
11 24 22 31 22 x x x x ? +>- ?? ? ?-≤ ?? 的解集在数轴上表示正确的是( ) 6．某市2011年5月1日一10日十天的空气污染指数的数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)： 61，75．70，56．81，91，92，91，75．81． 那么这组数据的极差和中位数分别是( )． A．36，78 8．36，86 C．20，78 D．20，77.3 7．关千x的方程2210 x kx k ++-=的根的情况描述正确的是( )． A．k为任何实数．方程都没有实数根 B，k为任何实数．方程都有两个不相等的实数根 C．k为任何实数．方程都有两个相等的实数根 D．根据k的取值不同．方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种 8．在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子 800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹
人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习(含答案)复习过程
圆 24.1.1 圆 知识点一圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫作圆心，线段 OA 叫作半径。第二种：圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（3） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。知 识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为 CD，AB 是弦，且CD⊥AB， C M A B AM=BM 垂足为 M AC =BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如 上图所示，直径 CD 与非直径弦 AB 相交于点 M， CD⊥AB AM=BM AC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3 弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。
九年级数学复习资料
九年级数学复习资料 小编寄语：一学期以来，同学们的许多方面在学校里得到了发展，接下来的期末考试，会对这一年以来，同学们的进步情况，下面小编整理了九年级数学复习资料，供大家参考，希望对大家能有所帮助。 反比例函数 一、复习目标： （1）巩固反比例函数的概念，会求反比例函数表达式并能画出图象． （2）巩固反比例函数图象的变化其及性质并能运用解决某些实际问题． （3）善于用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系，并结合函数图象分析简单的数量关系。 （4）学习并熟悉数形结合的方法对解决实际问题有重要的作用，用待定系数法求函数解析式是一种常用的方法。二、知识梳理 表达式y=kx(k0) 图象k0 性质 1．图象在第一、三象限； 2．每个象限内，函数y的值随x的增大而减小．1．图象在第二、四象限；
2．在每个象限内，函数y值随x的增大而增大． 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x、轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|k| 反比例函数既是轴对称图形，又是中心对称图形。 二次函数 一、复习目标： （1）认识二次函数是常见的简单函数之一，也是刻画现实世界变量之间关系的重要数学模型. （2）理解二次函数的概念,掌握其函数关系式以及自变量的取值范围. （3）能正确地描述二次函数的图象，能根据图象或函数关系式说出二次函数图象的特征及函数的性质，并能运用这些性质解决问题. （4）能根据问题中的条件确定二次函数的关系式，并运用二次函数及其性质解决简单的实际问题. （5）了解二次函数与一元二次方程的关系，能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 二、知识梳理 1、二次函数的概念：形如的函数. 2、抛物线的顶点坐标是（）；对称轴是直线. 3、当a＞0时抛物线的开口向上；当a＜0时抛物线的开口
九年级数学上册期末复习知识点
章 节 第 一 章 二 次 函 数 难易 程度 ★★★ ★★ 九年级数学上册数学期末复习提纲 重难点 分析 知识点归纳知识拓展 1、二次函数的概念y=ax2+bx+c(a≠0)初中数学最重要的 2、求二次函数的解析式部分，在中考中占的 一般式y=ax2+b x+c、比重大，跟其他知识 顶点式y=a（x+m）2+k点联系多，以数形结 交点式y=a（x-x1）(x-x2)合的题型考查几何， 3、二次函数的图像和性质解方程、代数等都相 当a>0时，图像开口向上，有最低点，有最小值互联系，知识点多题 当a<0时，图像开口向下，有最高点，有最大值型多变，压轴题多以 1、二次函顶点式对称轴：直线x=-m此为出题点 数的图像一般式对称轴：直线x=-b/2a 2、二次函交点式对称轴：直线x=（x 1 +x 2 ）/21、考查形式：以选数的性质 4.二次函数图像的平移择题、填空题形式考 以及性质函数y=a（x+m）2+k的图像，可以由函数y=ax2察二次函数图像的 的综合应的图像先向右（当m<0时）或向左（m>0时）平移|m|性质，以解答题形式用个单位，再向上（当k>0时）或向下（当k<0时）平移考察以二次函数为 3、二次函|k|个单位得到载体的综合题。 数的应用4、抛物线与系数的关系2、考察趋势：二次 性问题：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。函数图像与系数的 ①面积最当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下关系，二次函数的应 值问题②开口。用仍是重点 高度、长|a|越大，则抛物线的开口越小。3、二次函数求最值 度最值问一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。的应用：依据实际问 题③利润当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；题中的数量关系，确 最大化问当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。定二次函数的解析 题④求近常数项c决定抛物线与y轴交点式，结合方程、一次 似解抛物线与y轴交于（0，c）函数等知识解决实 抛物线与x轴交点个数际问题（对于二次函 Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。数最大（小）值的确 Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。定，一定要注意二次 Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点函数自变量的取值 5、二次函数的应用范围，同时兼顾实际 问题中对自变量的 特殊约定，结合图像 进行理解）
九年级上册数学《圆》复习资料
九年级上册数学《圆》复习资料苏教版 一、圆的定义、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形 二、圆的各元素 、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。劣弧：小于半圆周的弧。 优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质 、圆的对称性圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条 推论： 平分弦的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 同弧所对的圆周角相等。 直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设O o的半径为r, oP二d。 7、过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。 8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。直线 与圆有两个交点，直线与圆相交;直线与圆只有一个交点，直线与圆相 切; 直线与圆没有交点，直线与圆相离。9、平面直角坐标系中，A、B。 0、圆的切线判定。 d=r 时，直线是圆的切线。 切点不明确：画垂直，证半径。 经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。 切点明确：连半径，证垂直。 1、圆的切线的性质。经过切点的直径一定垂直于切线。经过切点并且垂直于这 条切线的直线一定经过圆心。 2、切线长定理。切线长：从圆外一点引圆的两条切线，切点与这点之间连线段的
九年级数学期末复习-压轴题
九年级数学期末复习-压轴题 1．如图，直线y=﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B， C和点A（﹣1，0）． （1）求B，C两点坐标； （2）求该二次函数的关系式； （3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x 轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标； （4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明问题．
2．如图，直线y=﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、 C和点A（﹣1，0）． （1）求B、C两点坐标； （2）求该二次函数的关系式； （3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，在对称轴上存在点P，使△CMP为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标； （3）设点Q是抛物线对称轴上的一个动点，当点Q满足AC+QC最小时，求出Q点的坐标；（4）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE的面积的最大值，并求此时E点的坐标．
九年级数学总复习题
九年级总复习试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、4的值是 （ ） A.4± B. 4 C. 2 D. 2± 2、若a 与1互为相反数，则|a ＋1| 等于( ). A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 3、在十九大报考的网络传播过程中，大量数据显示，监测时间内涉及民生话题的报道量约 为850000篇，将数字850000用科学记数法表示为 （ ） A. 4 8510? B. 4 8.510? C. 6 8.510? D. 5 8.510? 4、在函数y ＝1 x 中，自变量x 的取值范围是( ). A ．x ≠0 B ．x>0 C ．x ＜0 D ．一切实数 5、下列运算正确的是 （ ） A.32 a a a =÷- B.422743x x x =+ C.53326 1 )21(b a ab -=- D.333632x x x =? 6、含30°角的直角三角板与直线1l 、2l 的位置关系如图所示， 且1l ∥2l ,∠ACD=∠A,则∠1= ( ) A. 30° B. 40° C. 45° D. 60° 7、不等式组? ? ?+>-≥+x x x 21256 )5(2的解集在数轴上表示正确的是 （ ） A. B. C. D. 8、一元二次方程04632 =+-x x 根的情况是 （ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个实数根 9、某汽车制造厂四月份生产汽车5万辆，预计第二季度共生产汽车18万辆。设该厂五、六 月份平均每月的增长率为x ，则所列方程正确的是 （ ） A.18)1(52 =+x B. 18)1(5)1(552 =++++x x C.18)21(52=+x D. 18)21(5)21(552 =++++x x 10、如图,O 的半径为5,弦AB 长为8,过AB 的中点E 有一动弦CD(点C 只在弦AB 所对的劣弧上运动,且不与A 、B 重合),设EC=x,ED=y,下列能够表示y 与x 之间函数关系的是 ( ) A. B. C. . D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11、分解因式：=-1072 x ___________ 。 12、在函数63 --=x x y 中，自变量x 的取值范围是________ 。 13、把抛物线652+-=x y 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后， 所得函数的表达式为___________ 。 14、如图,⊙O 的半径为4,点A 、B 、C 在⊙O 上,且∠ACB=45°， 则弦AB 的长是___________ 。 15、点P （0，m ）在y 轴正半轴上，则点Q （m,-m ）在第_____象限。 16、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ， 点D 在BC 边上，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与AE 重合，则AD=___cm 。 17、．给出下列命题及函数y ＝x ，y ＝x 2和y ＝1x 的图象．①如果1 a >a>a 2，那么0a>1a ，那么a>1；③如果1a >a 2>a ，那么－11 a >a ，那么a<－1，则(A ) A ．正确的命题是①④ B ．错误的命题是②③④ C ．正确的命题是①② D ．错误的命题只有③ 18、如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n 个图案中有2 017个白色纸片，则n 的值为(B ) 第1个图案 第2个图案 第3个图案 A ．671 B ．672 C ．673 D ．674 三、解答题（本大题共9小题，共66分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19、（本题4分）计算： 23)5 1(30tan 3)6(10---+--- π 20、（本题5分）解方程： 14 4 212=---x x
九年级上册数学期末复习计划
复习目标：通过复习，把本册教学的内容进行整理，查漏补缺，使学生对所学的概念、法则、公式和其他数学知识更好地理解和掌握，并把各单元的内容联系起来，形成系统的知识，加强基本训练，提高计算能力、思维能力、解答应用题的能力和发展空间观念，全面达到本学期的教学要求。 具体安排： 一元二次方程（3课时）,命题与证明（2课时）,图形的相似（3课时）,解直角三角形（2课时）,概率的计算（1课时）,期末模拟试卷（2课时）,评讲试卷、考前指导（1课时） 复习方法措施： 1．在课堂上要注意知识的全面性、系统性，面向全体学生，注意突出基础知识和基本能力，引导学生提高分析解决问题的思考方法。收集例题、习题中的错误题进行归类，分析题目，找出错题原因 2．从讲课复习、做练习（试题）、改正试卷、小结等等方面，对学生进行学法指导，使学生在学习的每个环节上量力而行，合理利用时间，发挥学习效能。 通过对本册内容的系统整理和复习，使学生对所学的概念、计算方法和其它知识得到更好地理解和掌握，并把各单元的内容联系起来，形成比较系统的知识体系，使学生的计算能力和解答应用题的能力得到进一步的提高，圆满完成本学期的教学任务。 沁园春·雪<毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。山舞银蛇，原驰蜡象， 欲与天公试比高。 须晴日，看红装素裹，分外妖娆。 江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。 惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。 一代天骄，成吉思汗， 只识弯弓射大雕。 俱往矣，数风流人物，还看今朝。沁园春·雪<毛泽东> 北国风光，千里冰封，万里雪飘。望长城内外，惟余莽莽； 大河上下，顿失滔滔。 山舞银蛇，原驰蜡象， 须晴日，看红装素裹，分外妖娆。江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。惜秦皇汉武，略输文采； 唐宗宋祖，稍逊风骚。 一代天骄，成吉思汗， 只识弯弓射大雕。 俱往矣，数风流人物，还看今朝。沁园春·雪<毛泽东> 北国风光，千里冰封，万里雪飘。望长城内外，惟余莽莽； 大河上下，顿失滔滔。 山舞银蛇，原驰蜡象，
