第 4 章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
基础篇之四
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsion ）。
本章主要分析圆轴扭转时横截面上的剪应力以及两相邻横截面的相对扭转角，同时介绍圆轴扭转时的强度与刚度设计方法。
4－1 外加扭力矩、扭矩与扭矩图
作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴计算中，通常给出传动功率P 和转递n ，则传动轴所受的外加扭力矩M e 可用下式计算：
[][]
e kw 9549
[N m]r /min P M n =?
其中P 为功率，单位为千瓦（kW ）；n 为轴的转速，单位为转/分（r/min ）。如功率P 单位用马力（1马力=735.5 N ?m/s ），则
e []
7024
[N m][r /min]
P M n =?马力
外加扭力矩M e 确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力—扭矩，圆轴两端受外加扭力矩M e 作用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩,称为扭矩（twist moment ），用M x 表示。
图4－1 受扭转的圆轴
用假想截面m －m 将圆轴截成Ⅰ、Ⅱ两部分，考虑其中任意部分的平衡，有
M x －M e = 0
由此得到
图4－3 剪应力互等
M x = M e
与轴力正负号约定相似，圆轴上同一处两侧横截面上的扭矩必须具有相同的正负号。因此约定为：按右手定则确定扭矩矢量，如果横截面上的扭矩矢量方向与截面的外法线方向一致，则扭矩为正；相反为负。据此，图4－1b 和c 中的同一横截面上的扭矩均为正。
当圆轴上作用有多个外加集中力矩或分布力矩时，进行强度计算时需要知道何处扭矩最大，因而有必要用图形描述横截面上扭矩沿轴线的变化，这种图形称为扭矩图。绘制扭矩图的方法与过程与轴力图类似，故不赘述。
【例题4－1】 变截面传动轴承受外加扭力矩作用，如图4－2a 所示。试画出扭矩图。
解：用假想截面从AB 段任一位置（坐标为x ）处截开，由左段平衡得：
M x = －2M e 0x l
?
≥≥
因为扭矩矢量与截面外法线方向相反，故为负。
同样，从BC 段任一位置处将轴截为两部分，由右段平衡得到BC 段的扭矩：
M x = +3M e 2l x l +
≥≥
因为这一段扭矩矢量与截面外法线方向相同，故为正。
建立OM x x 坐标，将上述所得各段的扭矩标在坐标系中，连图线即可作出扭矩图，如图4－2b 所示。
从扭矩图可以看出，在B 截面处扭矩有突变，其突变数值等于该处的集中外加扭力矩的数值。这一结论也可以从B 截面处左、右侧截开所得局部的平衡条件加以证明。
4－2 剪应力互等定理 剪切胡克定律
4－2－1 剪应力互等定理
考察承受剪应力作用的微元元体（图4－3），假设作用在微元左、右面上的剪应力为τ ，这两个面上的剪应力与其作用面积的乘积，形成一对力，二者组成一力偶。为了平衡这一力偶，微元的上、下面上必然存在剪应力τˊ，二者与其作用面积相乘
后形成一对力，组成另一力偶，为保持微元的平衡
图4－2 例题4－1图
这两个力偶的力偶矩必须大小相等、方向相反。
于是，根据微元的平衡条件有：
0,
(d d )d (d d )d 0
M y z x x z y ′=?=∑ττ
由此解得：
xy yx ττ= (4－1)
这一结果表明：在两个互相垂直的平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线，这就是剪应力成对定理（pairing principle of shear stresses ）。
微元的上下左右四个侧面上，只有剪应力而没有正应力，这种受力状况的微元称为纯剪切应力状态（stress state of the pure shear ），简称纯剪应力状态。
4－2－2 剪切胡克定律
通过扭转试验，可以得到剪应力τ 与剪应变γ 之间的关系曲线（图4－4）。
τ－γ 曲线的直线段表明，剪应力与剪应变成正比，直线段剪应力的最高限称为剪应力比例极限，用τp 表示。直线段的剪应力与剪应变关系为：
Gr τ= (4－2)
这一关系称为剪切胡克定律(Hooke law),其中G 为材料的弹性常数，称为剪切弹性模量或剪切弹性模量（shear modulus ）。因为γ 为无量纲量，故G 的量纲和单位与τ 相同。
在第3章曾提到各向同性材料的两个弹性常数－杨氏模量E 与泊松比v ，可以证明E 、v 与G 之间存在以下关系：
2(1)
E
G v =
+ (4－3)
这表明，对于各向同性材料，三个弹性常数中只有两个是独立的。
4－3 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度计算
应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力分量?扭矩，但是不能确定横截面上各点剪应力的大小。为了确定横截面上各点的剪应力，在确定了扭矩后，
还必须知道横截
图4－4 剪应力与剪应变曲线
面上的剪应力是怎样分布的。
研究圆轴扭转时横截面上剪应力的分布规律，需要考察扭转变形，首先得到剪应变的分布；然后应用剪切胡克定律，即可得到剪应力在截面上的分布规律；最后，利用静力方程可建立扭矩与剪应力的关系，从而得到确定横截面上各点剪应力表达式。这是分析扭转剪应力的基本方法，也是分析弯曲正应力的基本方法。这一方法可以用图4－5加以概述。
4－3－1 平面假定与剪应变分布规律
圆轴受扭前，在其表面画上小方格（图4－6a ），受扭后，圆轴的两端面相对转动了
一角度（图4－6b ），而相距d x 的两相邻圆周线，刚性地绕轴线相对转动了一角度，因相对转动角度很小，故可认为相邻圆周线间的距离不变。
根据圆轴受扭后表面变形特点，假定：圆轴受扭发生变形时，其横截面保持平面，并刚性地绕轴线转动一角度，两相邻截面的轴向间距保持不变。这一假定称为平面假定（plane assumption ）。
根据平面假定，两轴向间距为d x 的截面m －m 与n －n 相对转角为d ?（图4－6c ）。 考察两相邻横截面之间微元ABDC 的变形：AB 长为d x ，扭转后由于相对转动，圆轴表面上的B 点移动到B ′：
d BB
R ′=? ， 于是微元ABCD 的剪应变γ为：
图4－6 圆杆扭转的变形
物性关系
图4－5 应力分析方法与过程
d d d d BB R R
AB x x
′===??
γ 根据平面假定，距轴心O 为 ρ 处同轴柱面上微元A 1B 1D 1C 1的剪应变为：
11d d d d BB r A B x x
′===ρρ??
ρ
(4－4) 其中
d d x ?为扭转角沿轴线x 方向的变化率，对某一x 处的横截面，d d x
?
为常量。因此式（4－4）表明：圆轴扭转时，横截面上某处的剪应变与其到横截面中心的距离成正比，亦即剪应变沿半径方向线性分布。
4－3－2 横截面上的剪应力分布
根据横截面上的剪应变分布表达式（4－4），应用剪切胡克定律得到：
d d Gr G x
ρρ?
τρ
== (4－5) 其中G 为与材料有关的弹性常数。
式（4－5）表明：圆轴扭转时横截面上任意点处的剪应力τρ 与该点到截面中心的距离ρ 成正比。由于剪应变γρ 与半径垂直，因而剪应力作用线也垂直于半径（图4－7a ）。根据剪应力互等定理，轴的纵截面上也存在剪应力，其分布如图4－8b 所示。
图4－7 圆轴扭转时横截面与纵截面上的剪应力分布
由于式（4－5）中的d d x ?尚为未知，因而不能用以计算剪应力，为了确定未知量d d x
?需要应用静力学关系。
4－3－3 圆轴扭转时扭转角变化率以及横截面上的剪应力表达式
作用于横截面上的分布剪应力τρ与其作用面积相乘，然向截面形心简化，得到一力偶，
这一力偶的力偶矩即为横截面上的扭矩，于是有下列静力学关系：
(d )x A
A M ρτρ??=∫
(4－6)
图4－8 圆轴扭转时横截面上剪应力与扭矩之间的静力学关系
取半径为ρ、厚度为d ρ 的圆环作为微元，微元面积d 2d A πρρ=?（图4－8b ）。将（4－5）代入（4－6），积分后得到扭转角变化率的表达式：
P
d d x
M x GJ ?= (4－7) 其中
2P d A
I A ρ=∫ (4－8)
为与截面形状和尺寸有关的几何量，称为截面对形心O 的极惯性矩（polar moment cf inertia
for cross section ）。式（4－7）中GI P 称为圆轴的扭转刚度（torsional rigidity ）
。 将式（4－7）代入式（4－5），即可得到圆轴扭转时横截面上剪应力表达式：
()P
x M I ρ
τρ=
(4－9) 式中M x 为横截面上的扭矩，由截面法确定；ρ 为所求应力点到截面形心的距离；I p 为横截面的极惯性矩。
根据式(4－9)，圆截面和圆环截面上的剪应力分布如图4－9a 所示。
图4－9 圆截面和圆环截面上的剪应力分布
根据式（4－8）,由积分可以算得直径我d 的圆截面极惯性矩I p 为
4
P π32
d I = (4－10) 其中d 是圆截面直径。
对于内、外径分别是D 、d 的圆管截面或圆环截面（空心圆轴），极惯性矩I p 为：
()44P π1,32
D d
I D
αα?=
=
(4－11) 4－3－4 最大剪应力与扭转截面模量
根据横截面上的剪应力分布，圆轴扭转时横截面上的最大剪应力发生在横截面边缘上各点，并且沿着截面周边的切线方向。根据式(4－9)，最大剪应力由下式计算：
max max P P
x x
M M I W ρτ=
= (4－12) 其中
P
P max
I W ρ=
(4－13)
称为扭转截面模量（section modulus in torsion ）。对实心轴和空心轴，扭转截面模量分别为
3
P π16d W = (4－14)
()34P π116
D W α?=
(4－15)
4－3－5 受扭圆轴的强度条件
与抗压杆的强度设计相似，为了保证圆轴扭转时安全可靠地工作，必须将圆轴横截面上的最大剪应力τmax 限制在一定的数值以下，即：
,max max []x p
M W ττ=
≤ (4－16)
这一关系式称为受扭圆轴的强度条件。
上式中，[τ ]为许用剪应力；max τ是指圆轴所有横截面上最大剪应力中的最大者，对于等截面圆轴最大剪应力发生在扭矩最大的横截面上的边缘各点；对于变截面圆轴，如阶梯轴，最大剪应力不一定发生在扭矩最大的截面，这时需要根据扭矩M x 和相应扭转截面模量W P 数值综合考虑才能确定。
对于静载荷作用的情形，可以证明扭转许用剪应力与许用拉应力之间有如下关系
钢 [](0.5~0.6)[]τσ=
铸铁 [](0.8~1)[]τσ=
【例题4－2】实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器相联，并传递功率，如图9－7所示。已知轴的转速n=100 r/min ，传递的功率P ＝75 kW 。若已知实心圆轴的直径d 1＝45 mm ；空心圆轴的内、外直径之比(D 2/d 2)＝α＝0.5，D 2＝46 mm 。实心圆轴与空心圆轴材料相同，许用剪应力[τ]＝40 MPa。试：
1、 校核实心圆轴与空心圆轴的强度是否安全；
2、 若实心圆轴与空心圆轴的长度相等，比较二者的重量。 解：1、校核实心圆轴与空心圆轴强度 由于二传动轴的转速与传递的功率相等，故二者承受相同的外加扭力矩，横截面上的扭矩也因而相等。根据外加扭力矩与轴所传递的功率以及转速之间的关系，求得横截面上的扭矩
e 759549N m=7162N m 100x M M ??
==×??????
对于实心圆轴：根据已知条件，横截面上的最大剪应力为 ()
6
max 33
-3p 116167162N m 4010Pa 40MPa ππ45mm 10
x x M M τW d ×?==×=×＝
＝ 对于空心圆轴：横截面上的最大剪应力为
()
()()
6max 334-34
p 216167162N m
4010Pa 40MPa π1π46mm 10105.x x M M τW D α×?==×=?×?＝
＝ 上述计算结果表明，实心圆轴与空心圆轴横截面上的最大剪应力都正好等于许用剪应
力，即：
[]max 40MPa 40MPa ττ===
因此，实心圆轴与空心圆轴的强度都是安全的。
2、 比较实心圆轴与空心圆轴的重量
实心圆轴与空心圆轴材料相同、长度相等，二者重量之比即为横截面面积之比。于是，有
()28.15
.0111046104512
2
33
2222121＝?×??????××=?=??αD d A A 可见，如果轴的长度相同，在具有相同强度的情形下，实心圆轴所用材料要比空心轴多。
图4－10 例题4－2图
【例题4－3】 图4－11所示传动机构中，功率从轮B 输人，通过锥形齿轮将一半传递给铅垂C 轴，另一半传递给水平H 轴。已知输入功率 P 1＝28 kW ，，水平轴（E 和H ）转速n l ＝n 2＝120 r/min ；锥齿轮A 和D 的齿数分别为z 1＝36，z 2＝12；各轴的直径分别为 d 1＝70 mm ，d 2＝50 mm ，d 3＝35 mm 。各轴的材料相同，许用剪应力[τ]＝50 MPa 试：校核各轴
的强度是否安全。
解：
1．计算各轴所承受的扭矩 各轴所传递的功率分别为
P 1＝28 kw ， P 2＝ P 3＝P 1／2＝14 kw 各轴转速不完全相同相等。E 轴和H 轴的转速均为120 r ／min ，即
n 1＝n 2＝120 r ／min
E 轴和C 轴的转速与齿轮A 和齿轮D 的齿数成反比，由此得到C 轴的转速
131336120r/min 360r/min 12z n n z ??
××????
＝＝＝ 据此，算得各轴承受的扭矩：
1e12e22e2289549N m 2228N m 120149549N m 1114N m 120149549N m 3714N m 360.x x x M M M M M M ?
?==×?=????
??
?==×?=????
??
?==×?=????
? 2．计算最大剪应力，进行强度校核
对于E 轴：
()[]61max 3-9P1162228E Pa 33.0810Pa 33.08MPa<π7010x M ττW ×??
=
==×=??××??
对于H 轴：
()[]62max 3-9
P2161114H Pa 45.3810Pa 45.38MPa<π5010x M ττW ×??=
==×=??××??
对于C 轴：
图4－11 例题4－3图
()[]6
3max 3-9
P3163714C Pa 43.9610Pa 43.96MPa<π3510.x M ττW ×??=
==×=??××??
上述计算结果表明，三根轴的强度是安全的。
【例题4－4】由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的剪切弹性模量分别为G 1和G 2，且G 1＝2G 2。圆轴尺寸如图中所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的剪应力分布，有图中A 、B 、C 、D 所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。
解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。
因此，在里、外层交界处二者具有相同的剪应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层（圆环截面）的剪切弹性模量（G 1＝2G 2），所以内层在二者交界处的剪应力一定大于外层在二者交界处的剪应力。据此，答案（A ）和（B ）都是不正确的。
在答案（D ）中，外层在二者交界处的剪应力等于零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的剪应变不为零，根据剪切胡克定律，剪应力也不可能等于零。
根据以上分析，正确答案是（C ）。
4－4 圆轴扭转时的变形分析及刚度条件
圆杆受扭矩作用时，两截面绕轴线相对转动的角度称为扭转角，将上一节所得到的d d x
?
表达写为
P
d d x
M x GI ?=
(4－17) 沿轴线方向积分，得到
p
d d x
l
l
M x GI ==∫∫
?? (4－18) 其中p GI 称为圆轴的扭转刚度。
对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，两端面的相对扭转角为：
图4－12 例题4－4图
P
x M l
GI ?=
(4－19) 对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不等的圆轴，阶梯状圆轴，轴两端面的相对扭转角为
1
n
xi i
i P i
M l G I ?==
∑
(4－20) 如M x 与I p 是x 的连续函数，则可直接用积分式（4－18）计算两端面的相对扭转角。
在很多情形下，两端面的相对扭矩角不能反映圆轴扭转变形的程度，因而更多采用单位长度扭转角表示圆轴的扭转变形，单位长度扭转角即扭转角的变化率。单位长度扭转角：
p
d d x
M x GI =
=
?θ (4－21) 其单位是弧度/米（rad/m ）。
为了机械运动的稳定和工作精度，机械设计中要根据不同要求，对受扭圆轴的变形加以限制，亦即进行刚度设计。
扭转刚度设计是将单位长度上的相对扭转角限制在允许的范围内，即必须使构件满足刚度条件：
[]θ?
θ≤x
d d ＝
(4－22) 对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，根据式(4－21)，刚度强度条件又可以写成：
[]P
x
M θθGI =
≤ (4－23) 其中，[]θ 为单位长度上的许用相对扭转角，其数值根据轴的工作要求而定，例如，用于精密机械的轴
[]θ＝(0.25~0.5) (°)／m ；一般传动轴[]θ＝(0.5~1.0) (°)／m ；刚度要求不高的轴
[]θ＝2 °／m 。
需要注意的是，刚度设计中要注意单位的一致性。式（4－23）不等号左边P
x
M θGI =
的单位为rad/m ；而右边通常所用的单位为(°)／m 。因此，在实际设计中，若不等式两边均采用rad ／m ，则必须在不等式右边乘以（π／180）；若两边均采用(°)／m ，则必须在左边乘以（180／π）。
【例题4－5】 钢制空心圆轴的外直径D ＝100 mm ，内直径d ＝50 mm 。若要求轴在2 m 长度内的最大相对扭转角不超过1.5(°)，材料的剪切弹性模量G ＝80.4 GPa 。
1． 求该轴所能承受的最大扭矩；
2． 确定此时轴横截面上的最大剪应力。 解：
1．确定轴所能承受的最大扭矩
图4－13 例题4－6图
根据刚度强度条件，有
[]p
x
M θθGI =
≤ (a) 由已知条件，许用的单位长度上相对扭转角为
[]m rad 180π
251m
251/..×＝＝o θ (b)
空心圆轴截面的极惯性矩
()
44p π132
D d
I ααD ＝－，＝ (c)
将式(b)和式(c)一并代人刚度强度条件(a)，得到轴所能承受的最大扭矩为
[]()
4
4p 15ππrad/m 1218032
.x D M θGI G α≤××××＝－
(
)
32
1802mm 100mm 50110mm 10010480π5144
3-9
2××????
????????
???×××××..＝
＝9.688×103 N.m ＝9.688 kN.m
2．计算轴在承受最大扭矩时，横截面上的最大剪应力 轴在承受最大扭矩时，横截面上最大剪应力
()
MPa 652Pa 10652mm 100mm 50110mm 100π51m N 106869166
4
33-3P max ....＝＝＝＝×??
?
????????
????××?××W M x τ
【例题4－6】 图4－13所示为钻探机钻杆。已知钻杆的外径D ＝60 mm ，内径d ＝50 mm ，功率P ＝10马力，转速n ＝180转／分。钻杆钻人地层深度l ＝40 m ，G ＝81 GPa ，［τ］＝40 MPa 。假定地层对钻杆的阻力矩沿长度均匀分布。试求：
1．地层对钻杆单位长度上的阻力矩M e ； 2．作钻杆之扭矩图，井进行强度校核； 3．求A 、B 两截面之相对扭转角。
解：1．计算钻杆单位长度上受到地层的阻力矩 钻杆上所承受的总外力矩为
e 1070247024390N m 180
P M n =×
=×=? 因为地层对钻杆的阻力矩沿杆长方向均匀分布，所以地层对钻杆单位长度上的扭力矩
为
e e 390
9.756N m/m 40
M m l =
==? 2．强度校核
因为自B 至A 外力矩均匀分布，因此距B 端x 远处任意截面上的扭矩为
()e e M x m x =?
由此，可以作出钻杆之扭矩图如图4－6（b ）所示。钻杆内最大扭矩max 400N m e M =?于是杆内的最大剪应力
()emax
max 433p
33639016
5010π601016010 =17.7510Pa=17.75MPa
M W τ???×=
=????
×××?????×??????
× 所以钻杆的强度是满足的。
3．计算A 、B 两端的相对扭转角 根据
e
p
d d M x GI ?=
现在
e e e ()M M x m x ==?
于是将上式积分得到
()2e e e
p
p p 0
4349
33d 224004032
=
0.146501028110π601016010180 =0.1468.37π
l
AB
m x m l M l x GI GI GI ????===××=????××××××?????×??????
?×=?∫o
o
弧度
4－5 结论与讨论
4－5－1 圆轴强度与刚度计算的一般过程
圆轴是很多工程中常见的零件之一，其强度设计和刚度设计一般过程如下： A 根据轴传递的功率以及轴每分钟的转数，确定作用在轴上的外加力偶的力偶矩。 A 应用截面法确定轴的横截面上的扭矩，当轴上同时作用有两个以上的绕轴线转动的外加扭力矩时，需要画出扭矩图。
A 根据轴的扭矩图，确定可能的危险面以及危险面上的扭矩数值。
A 计算危险截面上的最大剪应力或单位长度上的相对扭转角。
A 根据需要，应用强度强度条件与刚度强度条件对圆轴进行强度与刚度校核、设计轴的直径以及确定许用载荷。
需要指出的是，工程结构与机械中有些传动轴都是通过与之连接的零件或部件承受外力作用的。这时需要首先将作用在零件或部件上的力向轴线简化，得到轴的受力图。这种情形下，圆轴将同时承受扭转与弯曲，而且弯曲可能是主要的。这一类圆轴的强度设计比较复杂。 此外，还有一些圆轴所受的外力(大小或方向)随着时间的改变而变化。这些问题将在以后的章节中介绍。
4－5－2 矩形截面杆扭转时横截面上的剪应力
试验结果表明：非圆（正方形、矩形、三角形、椭圆形等）截面杆扭转时，横截面外周线将改变原来的形状，并且不再位于同一平面内，这种现象称为翘曲（warping ），如图4－14a 所示。
由于翘曲，圆轴扭转时所作的平面假定将不再成立，因而圆轴扭转时的剪应力以及相对扭转角的公式不再适用。
应用平衡的方法可以得到以下结论：
● 非圆截面杆扭转时，横截面上周边各点的剪应力沿着周边切线方向。 ● 对于有凸角的多边形截面杆，横截面上凸角点处的剪应力等于零。
考察4－14b 中所示的受扭矩形截面杆上位于角点的微元。假定微元各面上的剪应力如图4－14c 中所示。由于垂直于y 、z 坐标轴的杆表面均为自由表面（无外力作用），故微元上与之对应的面上的剪应力均为零，即
0====zx zy yx yz ττττ
根据剪应力成对定理，角点微元垂直于x 轴的面（对应于杆横截面）上，与上述剪应力互等的剪应力也必然为零，即
0==xz xy ττ
图4－14 非圆截面杆扭转时的翘曲变形
采用类似方法，读者不难证明，杆件横截面上沿周边各点的剪应力必与周边相切。 弹性力学理论以及实验方法可以得到矩形截面构件扭转时，横截面上的剪应力分布以及剪应力计算公式。现将结果介绍如下。
剪应力分布如图4－15所示。从图中可以看出，最大剪应力发生在矩形截面的长边中点处，其值为
2
1max hb
C M x
=
τ （4－24） 在短边中点处，剪应力
max 1ττC ′= （4－25）
式中，C 和C 1′为与长、短边尺寸之比h ／b 有关的因数。表4－1中所示为若干h ／b 值下的C 和C 1′数值。
当别h ／b ＞10时，截面变得狭长，这时C=0．333≈1/3，于是，式（4－24）变为
2
max 3hb
M x
=
τ （4－26） 这时，沿宽度b 方向的剪应力可近似视为线性分布，如图4－16所示。
矩形截面杆横截面单位扭转角由下式计算： ??
?
??
???????????=
4
4
3
12121031h b h b Ghb M x
.θ (4－27) 式中，G 为材料的剪切弹性模量。
【例题4－7】 图4－17所示之矩形截面杆承受扭矩M e ＝3000N ·m 。若已知材料之G ＝82 GPa 。
求：1．杆内最大剪应力的大小和方向并指出其作用位置；
图4－15 矩形截面扭转时横截面上的应力分布
图4－16 狭长矩形截面上的扭转剪应力分析
2．单位长度的扭转角。
解：根据矩形截面杆的扭转应力和变形公式
1max
2
x C M ab τ=
13x C M ab G
θ′=
现在e 3000N m x M M ==?；90mm 60mm ,a b ==；G ＝82 GPa ；11,C C ′可查得，当9615//.a b ==时
11433510.,.C C ′==
将上述数据代入max τ与θ公式，算得：
72
max 2
43330004010N/m 009006
....τ×=
=×× 最大剪应力发生在矩形长边中点，方向如图7－17所示。
表4－1 矩形截面杆扭转剪应力公式中的因数
C 1 C 1′
1.0 1.5
2.0
3.0
4.0 6.0 8.0 10.0 ∞
0.208 0.231 0.246 0.267 0.282 0.299 0.307 0.312 0.333
1.000 0.895 0.795 0.766 0.750 0.745 0.743 0.743 0.743
图4－17 例题4－7图
第四章扭转的强度与刚度计算.
41 一、 传动轴如图19-5（a ）所示。主动轮A 输入功率kW N A 75.36=，从动轮D C B 、、输出功率分别为kW N kW N N D C B 7.14,11===，轴的转速为n =300r/min 。试画出轴的扭矩图。 解 （1）计算外力偶矩：由于给出功率以kW 为单位，根据（19-1）式： 1170300 75 .3695509550=?==n N M A A (N ·m ) 351300 11 95509550=?===n N M M B C B (N ·m ) 468300 7 .1495509550=?==n N M D D (N ·m ) （2）计算扭矩：由图知，外力偶矩的作用位置将轴分为三段：AD CA BC 、、。现分别在各段中任取一横截面，也就是用截面法，根据平衡条件计算其扭矩。 BC 段：以1n M 表示截面Ⅰ－Ⅰ上的扭矩，并任意地把1n M 的方向假设为图19-5（b ）所示。根据平衡条件0=∑x m 得： 01=+B n M M 3511-=-=B n M M (N ·m ) 结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反，应为负扭矩。BC 段内各截面上的扭矩不变，均为351N ·m 。所以这一段内扭矩图为一水平线。同理，在CA 段内： M n Ⅱ＋0=+B C M M Ⅱn M = －B C M M -= －702(N ·m ) AD 段：0=D n M M －Ⅲ 468==D n M M Ⅲ(N ·m ) 根据所得数据，即可画出扭矩图[图19－5（e ）]。由扭矩图可知，最大扭矩发生在CA 段内，且702max =n M N ·m 二、 如图19-15所示汽车传动轴AB ，由45号钢无缝钢管制成，该轴的外径 (a ) (c ) C B m (d ) (e ) 图19-5 (b )
范钦珊版材料力学习题全解第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算.
解：1、轴的强度计算M T τ 轴max = x = 1 3 ≤ 60 × 10 6 Wp1 π d 16 T1 ≤ 60 × 10 6 × 2、轴套的强度计算π × 66 3 × 10 ?9 = 3387 N ? m 16 习题 4－6 图τ 套 max = Mx T2 = ≤ 60 × 106 3 68 4 ? Wp2 πD ??1 ? ( ? 16 ? 80 ? 6 ?? 17 ? 4 ? π × 80 3 ?9 T2 ≤ 60 × 10 × × 10 ?1 ? ??? = 2883 N ? m 16 ??? 20 ??? 3、结论Tmax ≤ T2 = 2883 N ? m = 2.883 kN ? m 4－7 图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为 D、壁厚均为δ ，横截面上的扭矩均为 T = Mx。试：习题 4－7 图1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大剪应力 6 τ max ≈ τ max ≈ 2M x δπ D2 3M x 2．证明开口圆管受扭时横截面上最大剪应力δ 2πD 3．画出两种情形下，剪应力沿壁厚方向的分布。解：1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大剪应力由于是薄壁，所以圆环横截面上的剪应力可以认为沿壁厚均匀分布（图 a1），于是有习题 4－7 解图Mx = ∫ A D D ? τd A = ? τ ? π Dδ 2 2 由此得到δπ D 2 δπ D2 2．证明开口圆管受扭时横截面上最大剪应力根据狭长矩形扭转剪应力公式，有3M x 3M x 3M x τ max = = = 2 2 hb π D ?δ δ 2π D τ= 2M x 即：τ max = 2M x 3．画出两种情形下，剪应力沿壁厚方向的分布两种情形下剪应
轴的强度计算与设计A
§11—4-1 轴的强度计算 一、按扭转强度条件计算 适用：①用于只受扭矩或主要承受扭矩的传动轴的强度计算； ②结构设计前按扭矩初估轴的直径d min 强度条 ： Mpa （11-1） 件 设计公式：mm （11-2） 轴上有键槽需要按一定比例修正：一个键槽轴径加大3～5%；二个键槽轴径加大7～11%。 ——许用扭转剪应力（N/mm2） C——轴的材料系数，与轴的材料和载荷情况有关。 对于空心轴：（mm）（11-3） ，d1—空心轴的内径（mm） 二、按弯扭合成强度条件计算： 条件：已知支点、扭距，弯距可求时 步骤： 1、作轴的空间受力简图（将分布力看成集中力，）轴的支承看成简支梁，支点作用于轴承中点，将力分解为水平分力和垂直分力； 2、求水平面支反力R H1、R H2作水平内弯矩图； 3、求垂直平面内支反力R V1、R V2，作垂直平面内的弯矩图； 4、作合成弯矩图；
5、作扭矩图； 6、作当量弯矩图； ——为将扭矩折算为等效弯矩的折算系数。 ∵弯矩引起的弯曲应力为对称循环的变应力，而扭矩所产生的扭转剪应力往往为非对称循环变应力 ∴与扭矩变化情况有关： ——扭矩对称循环变化 ——扭矩脉动循环变化 ——不变的扭矩 ，，分别为对称循环、脉动循环及静应力状态下的许用弯曲应力。 7、校核轴的强度——M emax处；M e较大，轴径d较小处。 Mpa (11-4) W——抗弯截面模量mm3，见附表11不同截面的W。 设计公式：（mm）（11－5） 如果计算所得d大于轴的结构设计d结构，则应重新设计轴的结构。 对于心轴：T=0，Me=M：转动心轴，许用应力用； 固定心轴，许用应力用——弯曲应力为脉动循环。 三、轴的安全系数校核计算 1、疲劳强度校核——精确计算（比较重要的轴） 要考虑载荷性质、应力集中、尺寸因素和表面质量及强化等因素的影响。根据结构设计选择Me较大，并有应力集中的几个截面，计算疲劳强度安全系数
轴扭转计算
第5章扭转 5.1 扭转的概念及外力偶矩的计算 5.1.1、扭转的概念 在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件。例如图示 5.1，常用的螺丝刀拧螺钉。 图5.1 图示5.2，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。 图5.2 图示5.3，载重汽车的传动轴。 图5.3 图示5.4，挖掘机的传动轴。 图5.4 图5.5所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成（图5.5a），雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来均布力矩，根据平衡条件，雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩（图5.5b），雨蓬梁处于受扭状态。 图5.5 分析以上受扭杆件的特点，作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用 表示，如图5.6所示。以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。 图5.6
本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。 5.1.2、外力偶矩的计算 工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为： n N m 9550= （5.1） 式中 m----作用在轴上的外力偶矩，单位为m N ?； N-----轴传递的功率，单位为kW ； n------轴的转速，单位为r/min 。 图5.7 5.2 圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图 5.2.1 扭矩 已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。图5.8a 为受扭圆轴，设外力偶矩为e M ，求距A 端为x 的任意截面n m -上的内力。假设在n m -截面将圆轴截开，取左部分为研究对象（图5.8b ），由平衡条件0=∑x M ，得内力偶矩T 和外力偶矩e M 的关系 内力偶矩T 称为扭矩。 扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。 图5.8 图示5.8的b 和c ，从同一截面截出的扭矩均为正号。扭矩的单位是m N ?或m kN ?。 5.2.2 扭矩图 为了清楚地表示扭矩沿轴线变化的规律，以便于确定危险截面，常用与轴线平行的x 坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，
梁的强度和刚度计算.
梁的强度和刚度计算 1．梁的强度计算 梁的强度包括抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度和折算应力，设计时要求在荷载设计值作用下，均不超过《规范》规定的相应的强度设计值。 （1）梁的抗弯强度 作用在梁上的荷载不断增加时正应力的发展过程可分为三个阶段，以双轴对称工字形截面为例说明如下： 梁的抗弯强度按下列公式计算： 单向弯曲时 f W M nx x x ≤=γσ （5-3） 双向弯曲时 f W M W M ny y y nx x x ≤+=γγσ （5-4） 式中：M x 、M y ——绕x 轴和y 轴的弯矩（对工字形和H 形截面，x 轴为强轴，y 轴为弱轴）； W nx 、W ny ——梁对x 轴和y 轴的净截面模量； y x γγ,——截面塑性发展系数，对工字形截面，20.1,05.1==y x γγ；对箱形截面，05.1==y x γγ；对其他截面，可查表得到； f ——钢材的抗弯强度设计值。 为避免梁失去强度之前受压翼缘局部失稳，当梁受压翼缘的外伸宽度b 与其厚度t 之比大于y f /23513 ，但不超过y f /23515时，应取0.1=x γ。 需要计算疲劳的梁，按弹性工作阶段进行计算，宜取0.1==y x γγ。 （2）梁的抗剪强度 一般情况下，梁同时承受弯矩和剪力的共同作用。工字形和槽形截面梁腹板上的剪应力分布如图5-3所示。截面上的最大剪应力发生在腹板中和轴处。在主平面受弯的实腹式梁，以截面上的最大剪应力达到钢材的抗剪屈服点为承载力极限状态。因此，设计的抗剪强度应按下式计算
v w f It ≤=τ （5-5） 式中：V ——计算截面沿腹板平面作用的剪力设计值； S ——中和轴以上毛截面对中和轴的面积矩； I ——毛截面惯性矩； t w ——腹板厚度； f v ——钢材的抗剪强度设计值。 图5-3 腹板剪应力 当梁的抗剪强度不满足设计要求时，最常采用加大腹板厚度的办法来增大梁的抗剪强度。型钢由于腹板较厚，一般均能满足上式要求，因此只在剪力最大截面处有较大削弱时，才需进行剪应力的计算。 （3）梁的局部承压强度 图5-4局部压应力 当梁的翼缘受有沿腹板平面作用的固定集中荷载且该荷载处又未设置支承加劲肋，或受有移动的集中荷载时，应验算腹板计算高度边缘的局部承压强度。 在集中荷载作用下，翼缘类似支承于腹板的弹性地基梁。腹板计算高度边缘的压应力分布如图5-4c 的曲线所示。假定集中荷载从作用处以1∶2.5（在h y 高度范围）和1∶1（在h R 高度范围）扩散，均匀分布于腹板计算高度边缘。梁的局部承压强度可按下式计算
轴的强度计算.
轴的强度计算 一、按扭转强度条件计算 适用：①用于只受扭矩或主要承受扭矩的传动轴的强度计算； ②结构设计前按扭矩初估轴的直径d min 强度条件：][2.01055.936T T T d n P W T ττ≤?== Mpa (11-1) 设计公式： 3036][1055.95n P A n P d T =??≥τ（mm ）?轴上有键槽 放大：3~5%一个键槽；7~10%二个键槽。?取标准植 ][T τ——许用扭转剪应力（N/mm 2） ，表11-3 T ][τ——考虑了弯矩的影响 A 0——轴的材料系数，与轴的材料和载荷情况有关。注意表11-3下面的说明 对于空心轴：340) 1(β-≥n P A d （mm ）? 6.0~5.01≈=d d β， d 1—空心轴的内径（mm ） 注意：如轴上有键槽，则d ?放大：3~5%1个；7~10%2个?取整。 二、按弯扭合成强度条件计算 条件：已知支点、距距，M 可求时 步骤：如图11-17以斜齿轮轴为例 1、作轴的空间受力简图（将分布看成集中力，）轴的支承看成简支梁，支点作用于轴承中点，将力分解为水平分力和垂直分力（图11-17a ） 2、求水平面支反力R H1、R H2作水平内弯矩图（图11-17b ） 3、求垂直平面内支反力R V1、R V2，作垂直平面内的弯矩图（图11-17c ） 4、作合成弯矩图22V H M M M +=（图11-17d ） 5、作扭矩图T α（图11-17e ） 6、作当量弯矩图22)(T M M ca α+= α——为将扭矩折算为等效弯矩的折算系数 ∵弯矩引起的弯曲应力为对称循环的变应力，而扭矩所产生的扭转剪应力往往为非对称循环变应力 ∴α与扭矩变化情况有关 1][][11=--b b σσ ——扭矩对称循环变化 α= 6.0][][01≈-b b σσ——扭矩脉动循环变化 3.0][][11≈+-b b σσ——不变的扭矩 b ][1-σ，b ][0σ，b ][1+σ分别为对称循环、脉动循环及静应力状态下的许用弯曲应力。
第四章 扭的强度与刚度计算
一、 传动轴如图19-5（a ）所示。主动轮A 输入功率kW N A 75.36=，从动轮D C B 、、输出功率分别为kW N kW N N D C B 7.14,11===，轴的转速为n =300r/min 。试画出轴的扭矩图。 解 （1）计算外力偶矩：由于给出功率以kW 为单位，根据（19-1）式： 1170300 75 .3695509550=?==n N M A A (N ·m ) 351300 11 95509550=?===n N M M B C B (N ·m ) 468300 7 .1495509550=?==n N M D D (N ·m ) （2）计算扭矩：由图知，外力偶矩的作用位置将轴分为三段：AD CA BC 、、。现分别在各段中任取一横截面，也就是用截面法，根据平衡条件计算其扭矩。 BC 段：以1n M 表示截面Ⅰ－Ⅰ上的扭矩，并任意地把1n M 的方向假设为图19-5（b ）所示。根据平衡条件0=∑x m 得： 01=+B n M M 3511-=-=B n M M (N ·m ) 结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反，应为负扭矩。BC 段内各截面上的扭矩不变，均为351N ·m 。所以这一段内扭矩图为一水平线。同理，在CA 段内： M n Ⅱ＋0=+B C M M Ⅱn M = －B C M M -= －702(N ·m ) AD 段：0=D n M M －Ⅲ 468==D n M M Ⅲ(N ·m ) 根据所得数据，即可画出扭矩图[图19－5（e ）]。由扭矩图可知，最大扭矩发生在CA 段内，且702max =n M N ·m 二、 如图19-15所示汽车传动轴AB ，由45号钢无缝钢管制成，该轴的外径 (a ) (c ) C m (d ) (e ) 图19-5 (b )
MATLAB轴的强度与刚度校核
Matlab三级项目 用matlab实现轴强度刚度的校核 专业:工程设计与分析 学号:6 姓名: 晨 指导老师:建亮
引言 传统校核过程的相对固定，以及冗繁的计算量使得程序化的实现成为了我的首选。为简化计算，在“工欲善其事，必先利其器”思想的指导下，我尝试写了这个多参数函数，与传统机械设计中的强度刚度校核理论相结合验证，结果无误。 理论基础 《材料力学》中提到了扭转剪应力、弯曲剪应力、弯曲正应力的各自计算方法。《机械设计》中关于轴的设计及刚度强度的校核过程。 常见的轴有转轴，心轴和传动轴。在上学期的机械设计课程设计中的减速器中所用的都为转轴。轴的材料主要采用碳素钢和合金钢，其中最常用的事45钢，应进行调质和正火处理，基本界面确定之后将用45钢进行调整和试运行。本次课程设计为了实现广泛性将不确定材料，因此所用系数因具体的材料，毛坯直径及热处理方法由机械设计手册查得。 在一般情况下，轴的工作能力主要决定于它的强度和刚度，对于高转速轴，有时还决定于它的振动稳定性。在设计轴时，除了要按这些工作能力准则进行设计计算或校核计算以外，在结构设计时还需要使其能满足其他一系列要求，例如轴上零件固定的要求、热处理要求、运转维护等。 所以，本软件的功用旨在使得以往复杂的算法程序化。使用者输入相关参数即可得出结果，而且可以重复计算，方便而且可靠。
同时，可以给出查表或者查数据所需的一些简单计算的结果，方便用户进行设计计算。并且，在一些需要用户人工选择的情况下，给出一定的参考值或者参考意见。 一、轴的强度设计 1.1按许用弯曲应力的计算 由弯矩所产生的弯曲应力b σ应不超过许用弯曲应力，一般计算顺序 如下： 1.画出轴的空间受力简图，将轴上作用力分解为水平受力图和垂直受力图。求出水平面上和垂直面上的弯矩Mxy 图和Mxz 图。 2.作出弯矩M=22Mxz xy +M 图 3.作出转矩T 图。 4.应用公式M`=22)(T M α+M`图。（式中α是根据转矩性质而定的应力校正系数。对于不变的转矩，取α=[]b 1－σ/[]b 1+σ,对于脉动的轴,取α为[]b 1－σ/[]b 0σ,对于对称循环的转矩,取α=1. []b 1－σ[]b 1+σ[]b 0σ,分别为材料在静，脉动循环和对称循环应力状态下的需用弯曲应力。其值可由机械设计课本表7-3选取。 5.计算应满足下列条件。 []W σσ== =≤
轴扭转计算
第5章扭转 扭转的概念及外力偶矩的计算 5.1.1、扭转的概念 在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件。例如图示，常用的螺丝刀拧螺钉。 图 图示，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。 图 图示，载重汽车的传动轴。 图
图示，挖掘机的传动轴。 图 图所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成（图5.5a），雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来均布力矩，根据平衡条件，雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩（图），雨蓬梁处于受扭状态。 图 分析以上受扭杆件的特点，作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用 表示，如图所示。以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。
图 本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。 5.1.2、外力偶矩的计算 工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为： n N m 9550 = （） 式中 m----作用在轴上的外力偶矩，单位为m N ?； N-----轴传递的功率，单位为kW ； n------轴的转速，单位为r/min 。 图
圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图 5.2.1 扭矩 已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。图5.8a 为受扭圆轴，设外力偶矩为e M ，求距A 端为x 的任意截面n m -上的内力。假设在n m -截面将圆轴截开，取左部分为研究对象（图），由平衡条件0=∑x M ，得内力偶矩T 和外力偶矩e M 的关系 e M T = 内力偶矩T 称为扭矩。 扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。 图 图示的b 和c ，从同一截面截出的扭矩均为正号。扭矩的单位是m N ?或m kN ?。 5.2.2 扭矩图 为了清楚地表示扭矩沿轴线变化的规律，以便于确定危险截面，常用与轴线平行的x 坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，正值扭矩画在x 轴上方，负值扭矩画在x 轴下方。这种图形称为扭矩图。 例题 图示传动轴，转速m in r 300=n ，A 轮为主动轮，输入功率kW 10=A N ，B 、C 、
第 4 章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
基础篇之四 第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算 杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsion ）。 本章主要分析圆轴扭转时横截面上的剪应力以及两相邻横截面的相对扭转角，同时介绍圆轴扭转时的强度与刚度设计方法。 4－1 外加扭力矩、扭矩与扭矩图 作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴计算中，通常给出传动功率P 和转递n ，则传动轴所受的外加扭力矩M e 可用下式计算： [][] e kw 9549 [N m]r /min P M n =? 其中P 为功率，单位为千瓦（kW ）；n 为轴的转速，单位为转/分（r/min ）。如功率P 单位用马力（1马力=735.5 N ?m/s ），则 e [] 7024 [N m][r /min] P M n =?马力 外加扭力矩M e 确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力—扭矩，圆轴两端受外加扭力矩M e 作用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩,称为扭矩（twist moment ），用M x 表示。 图4－1 受扭转的圆轴 用假想截面m －m 将圆轴截成Ⅰ、Ⅱ两部分，考虑其中任意部分的平衡，有 M x －M e = 0 由此得到
图4－3 剪应力互等 M x = M e 与轴力正负号约定相似，圆轴上同一处两侧横截面上的扭矩必须具有相同的正负号。因此约定为：按右手定则确定扭矩矢量，如果横截面上的扭矩矢量方向与截面的外法线方向一致，则扭矩为正；相反为负。据此，图4－1b 和c 中的同一横截面上的扭矩均为正。 当圆轴上作用有多个外加集中力矩或分布力矩时，进行强度计算时需要知道何处扭矩最大，因而有必要用图形描述横截面上扭矩沿轴线的变化，这种图形称为扭矩图。绘制扭矩图的方法与过程与轴力图类似，故不赘述。 【例题4－1】 变截面传动轴承受外加扭力矩作用，如图4－2a 所示。试画出扭矩图。 解：用假想截面从AB 段任一位置（坐标为x ）处截开，由左段平衡得： M x = －2M e 0x l ? ≥≥ 因为扭矩矢量与截面外法线方向相反，故为负。 同样，从BC 段任一位置处将轴截为两部分，由右段平衡得到BC 段的扭矩： M x = +3M e 2l x l + ≥≥ 因为这一段扭矩矢量与截面外法线方向相同，故为正。 建立OM x x 坐标，将上述所得各段的扭矩标在坐标系中，连图线即可作出扭矩图，如图4－2b 所示。 从扭矩图可以看出，在B 截面处扭矩有突变，其突变数值等于该处的集中外加扭力矩的数值。这一结论也可以从B 截面处左、右侧截开所得局部的平衡条件加以证明。 4－2 剪应力互等定理 剪切胡克定律 4－2－1 剪应力互等定理 考察承受剪应力作用的微元元体（图4－3），假设作用在微元左、右面上的剪应力为τ ，这两个面上的剪应力与其作用面积的乘积，形成一对力，二者组成一力偶。为了平衡这一力偶，微元的上、下面上必然存在剪应力τˊ，二者与其作用面积相乘 后形成一对力，组成另一力偶，为保持微元的平衡 图4－2 例题4－1图
曲柄轴的强度设计、疲劳强度校核及刚度计算说明
曲柄轴的强度设计、疲劳强度校核及刚度计算说明
材料力学课程设计 设计计算说明书 设计题目：曲柄轴的强度设计、疲劳强度校核及刚度计算序号: 160 题号: 10 - 16 教学号: 专业: 土木工程（路桥） 姓名： 指导教师：
目录 一、材料力学课程设计的目的—————————2 二、材料力学课程设计的任务和要求——————3 三、设计计算说明书的要求——————————3 四、分析讨论及说明部分的要求————————4 五、程序计算部分的要求———————————4 六、设计题目————————————————5 七、设计内容————————————————6 （一）画出曲柄轴的内力图------------------ 7 （二）设计曲柄颈直径d，主轴颈直径D------- 9 （三）校核曲柄臂的强度--------------------10 （四）校核主轴颈的疲劳强度--------------- 14 （五）用能量法计算A截面的转角----------- 15 （六）计算机程序------------------------- 17 八、设计体会——————————————----21 九、参考文献——————————————----21 1
一、课程设计的目的 材料力学课程设计的目的是在于系统学习材料力学后，能结合工程中的实际问题，运用材料力学的基本理论和计算方法，独立地计算工程中的典型零部件，以达到综合运用材料力学的知识解决工程实际问题之目的。同时，可以使我们将材料力学的理论和现代计算方法及手段融为一体。既从整体上掌握了基本理论和现代的计算方法，又提高了分析问题，解决问题的能力；既能对以前所学的知识（高等数学、工程图学、理论力学、算法语言、计算机和材料力学等）的综合应用，又为后继课程（机械设计、专业课等）得学习打下基础，并初步掌握工程中的设计思想和设计方法，对实际工作能力有所提高。 1、使所学的材料力学知识系统化，完整化。 2、在系统全面复习的基础上，运用材料力学知识解决工程实际 问题。 3、由于选课力求综合专业实际，因而课程设计可以把材料力学 知识与专业需要结合起来。 4、综合运用以前所学的各门课程的知识（高等数学、工程图学、 2
轴的强度计算
轴的强度计算 部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑
轴的强度计算 一、按扭转强度条件计算 适用：①用于只受扭矩或主要承受扭矩的传动轴的强度计算； ②结构设计前按扭矩初估轴的直径d min 强度条件：Mpa (11-1> 设计公式： 1、作轴的空间受力简图<将分布看成集中力，）轴的支承看成简支梁，支点作用于轴承中点，将力分解为水平分力和垂直分力<图11-17a）b5E2RGbCAP 2、求水平面支反力RH1、RH2作水平内弯矩图<图11-17b） 3、求垂直平面内支反力RV1、RV2，作垂直平面内的弯矩图<图11-17c） 4、作合成弯矩图<图11-17d） 5、作扭矩图<图11-17e） 6、作当量弯矩图 ——为将扭矩折算为等效弯矩的折算系数 ∵弯矩引起的弯曲应力为对称循环的变应力，而扭矩所产生的扭转剪应力往往为非对称循环变应力 ∴与扭矩变化情况有关 ——扭矩对称循环变化 = ——扭矩脉动循环变化 ——不变的扭矩 ，，分别为对称循环、脉动循环及静应力状态下的许用弯曲应力。 7、校核轴的强度——Mcamax 处；Mca较大，轴径d较小处。 Mpa (11-6> W——抗弯截面模量 mm3，见表11-4不同截面的W。 第八章梁的强度与刚度 第二十四讲梁的正应力截面的二次矩 第二十五讲弯曲正应力强度计算（一） 第二十六讲弯曲正应力强度计算（二） 第二十七讲弯曲切应力简介 第二十八讲梁的变形概述提高梁的强度和刚度 第二十四讲纯弯曲时梁的正应力常用截面的二次矩 目的要求：掌握弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。 教学重点：弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。 教学难点：平行移轴定理及其应用。 教学内容： 第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算 §8-1 纯弯曲时梁的正应力 一、纯弯曲概念： １、纯弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力为零，该梁段称为纯弯曲梁段。 ２、剪切弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力不为零（存在剪力），该梁段称为剪切弯曲梁段。 二、纯弯曲时梁的正应力： １、中性层和中性轴的概念： 中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长，有的变短。其中有一层既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。 ２、纯弯曲时梁的正应力的分布规律： 以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿点。 ３、纯弯曲时梁的正应力的计算公式： （１）、任一点正应力的计算公式： （２）、最大正应力的计算公式： 其中：M---截面上的弯矩；I Z---截面对中性轴(z轴)的惯性矩； y---所求应力的点到中性轴的距离。 说明：以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式均适用于剪切弯曲。 §8-2 常用截面的二次矩平行移轴定理 一、常用截面的二次矩和弯曲截面系数： １、矩形截面： ２、圆形截面和圆环形截面： 圆形截面 圆环形截面 其中： 轴心受力构件的强度和刚度计算 1.轴心受力构件的强度计算 轴心受力构件的强度是以截面的平均应力达到钢材的屈服应力为承载力极限状态。轴心受力构件的强度计算公式为 N、 <7 =——< f(4-1) 4 式中：N一构件的轴心拉力或压力设计值； A,_——构件的净截面面积； f——钢材的抗拉强度设计值。 对于采用高强度螺栓摩擦型连接的构件，验算净截面强度时一部分剪力已山孔前接触面传递。因此，验算最外列螺栓处危险截面的强度时，应按下式计算： N' b =—— 轴心受力构件的刚度是以限制其长细比来保证的，即 2 <[A] 式中：A——构件的最大长细比; [2]——构件的容许长细比。 3.轴心受压构件的整体稳定计算 《规范》对轴心受压构件的整体稳定计算采用下列形式: (4-25) 式中：（P—轴心受压构件的整体稳定系数，0 = 2工。 J y 整体稳定系数0值应根据构件的截面分类和构件的长细比查表得到。 构件长细比兄应按照下列规定确定： （1）截面为双轴对称或极对称的构件 (4-26) 式中：h，心一构件对主轴x和y的计算长度； 止，.一构件截面对主轴x和〉,的回转半径。 双轴对称十字形截面构件，人或九取值不得小于5.07b/t （其中b/t为悬伸板件宽厚比）。 （2）截面为单轴对称的构件 以上讨论柱的整定稳定临界力时，假定构件失稳时只发生弯曲而没有扭转，即所谓弯曲屈曲。对于单轴对称截面，绕对称轴失稳时，在弯曲的同时总伴随着扭转，即形成弯扭屈曲。在相同情况下，弯扭失稳比弯曲失稳的临界应力要低。因此，对双板T形和槽形等单轴对称截面进行弯扭分析后，认为绕对称轴（设为），轴）的稳定应取计?及扭转效应的下列换算长细比代替心 葢“詔/(人/25.7 + J//：) 第十章 扭转的强度和刚度计算 思 考 题 1、若直径和长度相同，而材料不同的两根轴，在相同的扭矩作用下，它们的最大剪应力是否相同？扭转角是否相同？ 2、试分析思8-2图所示扭转剪应力分布是否正确？为什么？ 思2 图 3、阶梯轴的最大扭转剪应力是否一定发生在最大扭矩所在的截面上，为什么？ 4、空心圆杆截面如思8-4图所示，其极惯性矩及抗扭截面模量是否按下式计算？为什么？ 思8-4图 习 题 1、实心圆轴直径D = 76mm ，m 1 = 4.5 kN ·m ，m 2 = 2 kNm ，m 3 = 1.5 kN ·m ，m 4 = 1 kN ·m 。设材料的剪切弹性模量G = 80GPa ，[τ]= 60MPa ，[θ]= 1.2°/m ，试校核该轴的强度和刚度。 题 1 图 题 2 图 2、矩形截面杆的尺寸及荷载如图所示。材料的E = 2.1×103 MPa 。 求：（1）最大工作应力； （2）最大单位长度扭转角； （3）全轴的扭转角。 161632 323 34 4d D W d D I P P ππππ-=- = 3、图示一联接水轮机与发电机的实心圆轴 。已知轴横截面的直径为650 mm ，长度为6000 mm ，水轮机的功率P = 10000 PS ，钢材的剪切弹性模量G = 79 GPa 。问当水轮机的转速n = 57.7r/min 时,轴内的最大剪应力和轴两端的相对扭转角各为多大? 4、有一受扭钢轴，已知其横截面直径d = 25 m m ，剪切弹性模量 G = 79 GPa ，当扭转角为6°时的最大剪应力为95 MPa ，试求此轴的长度。 。 习题答案： 1. =max τ58.1Mpa 2. =max τ0.56 Mpa 0151.0max =?rad/m 3. =max τ22.6 Mpa ?=0.302° 4. l =2.18m 8 强度计算和刚度计算 8.1在图2.1所示的简易吊车中，BC 为钢杆，AB 为木杆。木杆AB 的横截面面积2 1100cm A =，许用 应力[]MPa 71=σ；钢杆BC 的横截面面积2 26cm A =，许用应力[]MPa 1602=σ，试求许可吊重P 。 图8-1 8.2图7.2所示的拉杆沿斜截面m-m 由两部分胶合而成。力。试问：为使杆件承受最大拉力N ，α角的值应为多少？若杆件横截面面积为2 4cm ，并规定 60≤α，试确定许可荷载P 。 图8-2 8.3 一矩形截面梁，梁上作用均布荷载，已知：l=4m ，b=14cm ，h=21cm ，q=2kN/m ，弯曲时木材的容许应 力 []kPa 4 101.1?=σ，试校核梁的强度。 图8-3 8.4 图示矩形截面木梁，许用应力[σ]=10Mpa 。 （1）试根据强度要求确定截面尺寸b 。 （2）若在截面A 处钻一直径为d=60mm 的圆孔(不考虑应力集中)，试问是否安全。 图8-4 8.5欲从直径为d的圆木中截取一矩形截面梁，试从强度角度求出矩形截面最合理的高h和宽b。 8.6 图示外伸梁，承受荷载F作用。已知荷载F=20kN，许用应力[σ]=160Mpa，许用剪应力[τ]=90Mpa。请选择工字钢型号。 图8-6 8.7一铸铁梁，其截面如图所示， 已知许用压应力为许用拉应力 的4倍，即[σc]=4[σt]。 试从强度方面考虑，宽度b为何值最佳。 图8-7 8.8 当荷载F直接作用在简支梁，AB的跨度中点时，梁内最大弯曲正应力超过许用应力30%。为了消除此种过载，配置一辅助梁CD，试求辅助梁的最小长度a。 图8-8梁的强度与刚度
基本计算轴心受力构件的强度和刚度计算
第十章 扭转的强度和刚度计算
强度计算和刚度计算
- 材料力学,杆扭转杆件的强度和刚度计算
- 圆轴扭转的切应力与强度计算变形几何关系
- ——扭转的强度和刚度计算
- 第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算
- 第5章 杆扭转杆件的强度和刚度计算 -.
- 范钦珊版材料力学习题全解第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算.
- 第7章 扭转的强度和刚度计算
- 第十章 扭转的强度和刚度计算
- 材料力学,杆扭转杆件的强度和刚度计算
- 第四章扭转的强度与刚度计算.
- 第6章-圆轴扭转时的强度与刚度计算.
- 10扭转的强度和刚度计算
- 轴的扭转强度计算
- 第九章扭转杆件的强度与刚度计算
- 轴扭转计算
- 第9章扭转强度与刚度
- 10——扭转的强度和刚度计算
- 63扭转强度与刚度计算
- 扭转刚度计算.
- 第9章扭转强度与刚度