道岔区轮轨接触几何关系研究_任尊松
计算几何基础知识整理
计算几何基础知识整理 一、序言 计算机的出现使得很多原本十分繁琐的工作得以大幅度简化，但是也有一些在人们直观看来很容易的问题却需要拿出一套并不简单的通用解决方案，比如几何问题。作为计算机科学的一个分支，计算几何主要研究解决几何问题的算法。在现代工程和数学领域，计算几何在图形学、机器人技术、超大规模集成电路设计和统计等诸多领域有着十分重要的应用。在本文中，我们将对计算几何常用的基本算法做一个全面的介绍，希望对您了解并应用计算几何的知识解决问题起到帮助。 二、本基础目录 本文整理的计算几何基本概念和常用算法包括如下内容： 1. 矢量的概念 2. 矢量加减法 3. 矢量叉积 4. 折线段的拐向判断 5. 判断点是否在线段上 6. 判断两线段是否相交 7. 判断线段和直线是否相交 8. 判断矩形是否包含点 9. 判断线段、折线、多边形是否在矩形中 10. 判断矩形是否在矩形中 11. 判断圆是否在矩形中 12. 判断点是否在多边形中 13. 判断线段是否在多边形内 14. 判断折线是否在多边形内 15. 判断多边形是否在多边形内 16. 判断矩形是否在多边形内 17. 判断圆是否在多边形内 18. 判断点是否在圆内 19. 判断线段、折线、矩形、多边形是否在圆内 20. 判断圆是否在圆内 21. 计算点到线段的最近点 22. 计算点到折线、矩形、多边形的最近点 23. 计算点到圆的最近距离及交点坐标 24. 计算两条共线的线段的交点 25. 计算线段或直线与线段的交点 26. 求线段或直线与折线、矩形、多边形的交点 27. 求线段或直线与圆的交点 28. 凸包的概念 29. 凸包的求法 三、算法介绍 1.矢量的概念： 如果一条线段的端点是有次序之分的，我们把这种线段成为有向线段(directed
轮轨接触力学
轮轨接触动力学报告 —关于轮轨接触动力学的思考 年级：2013级 专业：载运工具应用工程 姓名：刘新龙 学号：13217021
关于轮轨接触动力学的思考 提高机车运行速度和加大牵引能力是当今世界铁路发展的趋势,而达到这一目的就必须深入轮轨关系的理论研究,改善机车的粘着利用水平。轮轨关系则是机车车辆、轨道系统中最基本、最复杂的一个问题,是特殊的、典型的三维滚动摩擦接触问题。接触理论始于1882年, 由H. Hertz发表的经典论文《论弹性固体的接触》。他提出了椭圆接触面的假设, 把三维接触问题简化为弹性无限半空间问题。Hertz的研究成果为接触理论奠定了坚实的基础, 但Hertz理论仅局限于无摩擦表面及理想弹性固体, 对于轮轨这样复杂的三维滚动接触问题显然是不能准确求解的。 近几十年来,国内外在轮轨滚动接触问题的理论研究和实验研究方面都取得了很大进展,但随着铁路技术的不断提高,使用解析解法解决轮轨关系问题的局限性也愈加突出。在高速和重载的要求下,轮轨的波磨问题、疲劳损伤问题变得更加严重,而这些问题的产生都与轮轨间作用力有着直接的关系。因此,在现有轮轨滚动接触理论的基础上,使用有限元方法以精确模拟轮轨的几何形状及其相互接触关系,将是今后解决轮轨关系问题的主要途径。 不断增长的运输量, 要求铁路必须在保证安全的前提下, 增加货物列车的重量, 提高客运列车的速度和运行品质。因此, 新型机车车辆的设计、制造和线路的建设与维护, 都迫切需要预知轮轨之间的动力作用特性。而现在人类已经能够准确地模拟一个飞行体在宇宙空间的运动并进行精确控制, 但却不能精确摸拟铁路轮轨的相互作用。可见轮——轨关系及车辆——线路相互作用仍然是铁道车辆动力学的中心课题。机车车辆或者列车与铁道线路是一个整体系统, 在这个系统中, 它们相互关联, 相互作用。因此在研究机车车辆动力学性能时, 不能简单地视线路为外激干扰。换言之, 线路也并不存在独立于列车的激扰特性。引起系统产生振动和其它动力作用的是钢轨和车轮的滚动面上实际存在的不平顺和其它几何技术特性,当然还有列车中车辆与车辆之间, 机车与车辆之间的相互作用。
GIS算法的计算几何基础
GIS算法的计算几何基础 矢量的概念： 如果一条线段的端点是有次序之分的，我们把这种线段成为有向线段(directed segment)。 如果有向线段p1p2的起点p1在坐标原点，我们可以把它称为矢量(vector)p2。 矢量加减法： 设二维矢量P = ( x1, y1 )，Q = ( x2 , y2 )， 则矢量加法定义为： P + Q = ( x1 + x2 , y1 + y2 )， 矢量减法定义为： P - Q = ( x1 - x2 , y1 - y2 )。 显然有性质 P + Q = Q + P，P - Q = - ( Q - P )。 矢量叉积： 计算矢量叉积是与直线和线段相关算法的核心部分。 设矢量P = ( x1, y1 )，Q = ( x2, y2 )， 则矢量叉积定义为由(0,0)、p1、p2和p1+p2所组成的平行四边形的带符号的面积， 即：P × Q = x1*y2 - x2*y1，其结果是一个标量。 显然有性质P × Q = - ( Q × P ) 和P × ( - Q ) = - ( P × Q )。 两点的加减法就是矢量相加减，而点的乘法则看作矢量叉积。 叉积的一个非常重要性质是可以通过它的符号判断两矢量相互之间的顺逆时针关系： 若P × Q > 0 , 则P在Q的顺时针方向。 若P × Q < 0 , 则P在Q的逆时针方向。 若P × Q = 0 , 则P与Q共线，但可能同向也可能反向。 折线段的拐向判断： 折线段的拐向判断方法可以直接由矢量叉积的性质推出。 对于有公共端点的线段p0p1和p1p2，通过计算(p2 - p0) × (p1 - p0)的符号便可以确定折线段的拐向： 若(p2 - p0) × (p1 - p0) > 0,则p0p1在p1点拐向右侧后得到p1p2。 若(p2 - p0) × (p1 - p0) < 0,则p0p1在p1点拐向左侧后得到p1p2。
轮轨接触力学
轮轨接触力学
轮轨接触动力学报告 —关于轮轨接触动力学的思考 年级：2013级 专业：载运工具应用工程 姓名：刘新龙 学号：13217021
关于轮轨接触动力学的思考 提高机车运行速度和加大牵引能力是当今世界铁路发展的趋势,而达到这 一目的就必须深入轮轨关系的理论研究,改善机车的粘着利用水平。轮轨关系则是机车车辆、轨道系统中最基本、最复杂的一个问题,是特殊的、典型的三维滚动摩擦接触问题。接触理论始于1882年, 由H. Hertz发表的经典论文《论弹性固体的接触》。他提出了椭圆接触面的假设, 把三维接触问题简化为弹性无限半空间问题。Hertz的研究成果为接触理论奠定了坚实的基础, 但Hertz理论仅局限于无摩擦表面及理想弹性固体, 对于轮轨这样复杂的三维滚动接触问题显然是不能准确求解的。 近几十年来,国内外在轮轨滚动接触问题的理论研究和实验研究方面都取 得了很大进展,但随着铁路技术的不断提高,使用解析解法解决轮轨关系问题的局限性也愈加突出。在高速和重载的要求下,轮轨的波磨问题、疲劳损伤问题变得更加严重,而这些问题的产生都与轮轨间作用力有着直接的关系。因此,在现有轮轨滚动接触理论的基础上,使用有限元方法以精确模拟轮轨的几何形状及 其相互接触关系,将是今后解决轮轨关系问题的主要途径。 不断增长的运输量, 要求铁路必须在保证安全的前提下, 增加货物列车的重量, 提高客运列车的速度和运行品质。因此, 新型机车车辆的设计、制造和线路的建设与维护, 都迫切需要预知轮轨之间的动力作用特性。而现在人类已经能够准确地模拟一个飞行体在宇宙空间的运动并进行精确控制, 但却不能精确摸拟铁路轮轨的相互作用。可见轮——轨关系及车辆——线路相互作用仍然是铁道车辆动力学的中心课题。机车车辆或者列车与铁道线路是一个整体系统, 在这个系统中, 它们相互关联, 相互作用。因此在研究机车车辆动力学性能时, 不能简单地视线路为外激干扰。换言之, 线路也并不存在独立于列车的激扰特性。引起系统产生振动和其它动力作用的是钢轨和车轮的滚动面上实际存在的不平顺和其它几何技术特性,当然还有列车中车辆与车辆之间, 机车与车辆之 间的相互作用。
列车轮轨接触几何参数
轮轨接触几何参数 轮轨接触几何参数（wheel-rail contact geometry parameters）由轮轨接触几何关系所确定的轮对和钢轨上的一系列几何量。主要包括下述11种参数。 车轮名义直径由于车轮踏面具有斜度，各处直径是不相同的，根据规定，车辆在离轮缘内侧面70mm处（车辆）或73mm处（机车）测量得到的直径为名义直径，该圆称为滚动圆。车轮名义直径的大小影响机车车辆的性能。中国客车标准轮径为915mm，货车标准轮径为840mm，内燃机车标准轮径为1050mm，电力机车标准轮径为1250mm。 车轮滚动接触半径车轮在钢轨上滚动时接触点处的车轮半径（图中的r1和r2）。由于轮对沿钢轨向前滚动时，会一面相对钢轨横向移动、一面又绕通过其质心的铅垂轴转动，车轮和钢轨的接触点位置是在不断变化的，车轮滚动接触半径也是在不断变化的。 轮轨接触角过轮轨接触点的公切线与车轴中心线的夹角（图中的δ1和δ2）。在车辆运行过程中它是一个不断变化的量。 车轮踏面曲率半径轮轨接触点处车轮踏面横断面外形的曲率半径（图中的R1和R2）。对于锥形踏面车轮，车轮踏面曲率半径为无穷大。 轨头截面曲率半径轮轨接触点处轨头横断面外形的曲率半径（图中RT1和RT2）。 轮对侧滚角如果轮对离开轨道中心线位置而相对于轨道横向移动时，由于车轮踏面具有锥度，轮对左右车轮的滚动接触半径具有差别，这样车轴中心线相对于其原来的水平位置会产生一个夹角，此夹角即定义为轮对侧滚角（图中的φW）。 轮对横移量由于车轮踏面有锥度，轮对沿轨道向前运动时总是会伴随轮对相对轨道中心线横向移动，此移动量即为轮对横移量（图中的yw）。 轮对摇头角由于车轮踏面锥度的存在，轮对沿轨道向前运动时除了伴随轮对相对轨道中心线横向移动外，轮对还会绕通过其质心的铅垂轴转动，转动的角度即为轮对摇头角。 轮缘内侧距轮对两轮缘的内侧面间的距离即为轮缘内侧距（图中的b），对于标准轨距，轮缘内侧距为（1 353±2）mm。 轨距两根钢轨头部内侧间与轨道中心线相垂直的水平距离，并规定在轨顶下16mm处测量。世界上大部分国家均采用1435mm的标准轨距，即准轨。大于1435mm的称为宽轨，国外有1 676mm、1 524mm的轨距。小于1 435mm的称为窄轨，如1 067mm、1 000mm等。 轨底坡由于车轮踏面是有一定锥度的，且车轮均是外侧直径小内侧直径大，为了使车轮和钢轨合理配合并具有好的轮轨接触几何关系，轨道要设置轨底坡（一般轨底坡定为1：40），使轨头内倾，以适应车轮踏面的形状。
计算几何算法的实现
度。下图是个例子：
四、实验结果与分析（源程序及相关说明） 1)#include
轮轨弹性接触问题的研究
轮轨弹性接触问题的研究 ——机车讲座有感 在机车专业知识讲座的学习过程中，对张老师所研究的课题颇感兴趣，课后对相关知识材料进行了收集，对此做以总结及延伸。 轮轨弹性接触问题的研究，主要分为轮轨的粘着问题，轮轨的磨耗问题，脱轨、噪声问题。其中，轮轨的磨耗问题包括轮轨的接触疲劳问题和轮轨的波浪形磨耗问题。 一、轮轨的粘着问题 具有弹性的钢质车轮在弹性的钢轨上以速度v运行时，在车轮与钢轨的接触面间会产生一种极为复杂的物理现象，车轮与钢轨承受着垂直载荷和纵横切向载荷。纵向载荷主要来自牵引及制动。稳态前进的非动力轮在不制动时，其纵向切向力平衡轴承阻力和蛇行时的惯性力。无论是动力轮对或从动轮对都存在着纵向切向力，它导致了轮轨纵向相对运动的速度差。 (一)黏着区和滑动区 传统理论认为钢轮相对钢轨滚动时，接触面是一种干摩擦的黏着状态，除非制动或牵引力大于黏着能力才会转人完全滑动的摩擦状态。现代研究表明，由于车轮和钢轨都是弹性体，滚动时轮轨间的切向力将在接触斑面上形成两个性质不同的区域:粘着区和滑动区。切向力小时主要为豁着区；随着切向力加大，滑动区扩大，黏着区缩小。当切向力超过某一极限值时，只剩下滑动区，轮子在钢轨上开始明显滑动。 (二)蠕滑与蠕滑率 由于粘滑区的存在，轮周上接触质点的水平速度与轨头上对应质点相对轮心的水平速度并不相同，存在着一个微小的滑动，称为蠕滑。宏观上轮周速度与轮心的水平速度并不一致。以同样的转速走行在硬质路面和沙地上的两辆自行车，其前进速度并不一样，也是这种道理。当车轮受到横向外力作用时，会产生微小的横向移动。 (三)蠕滑力 在不同条件下进行纵向蠕滑试验，蠕滑率与切向力的关系曲线是有差别的。清洁轮轨接触面条件下获得的蠕滑率与蠕滑力关系与Kalker的理论曲线相近，天气干燥、潮湿等因素都会影响切向力的大小。实际上过去所谓的牵引力、砧着力、制动力、切向力的概念在本质上都是蠕滑力。在小蠕滑下，蠕滑力与蠕滑率成线性关系。当轮子绕接触斑的垂向主轴旋转时，即形成旋转蠕滑率，同样会产生旋转蠕滑力矩。 (四)黏着系数 当蠕滑率较大时，切向力增值的趋势变缓，最后切向力达到饱和值。通常将极限状态下的横向切向力与垂直轮载的比值称为私着系数。 轨接触表面的状态决定了勃着能力。干净的钢轮钢轨间的茹着系数可达0.6，但有油钢轮钢轨间着系数降幅很大。由于轨道油污不可避免，黏着系数或蠕滑系数通常只能达到清洁条件的一半弱。为了使动车组发挥更大的轮周牵引力和制动力，防止黏着不足引起的车轮空转和滑动导致的车轮或钢轨的擦伤与剥离，并减少因此而产生的振动冲击及噪声，研究蠕滑的控制技术是十分必要的。 二、轮轨的磨耗问题
高速列车轮轨接触关系研究
高速列车轮轨接触关系研究 作者：邓柯 来源：《科学与信息化》2020年第31期 摘要高速列车是指车头流线造型设计，行驶速度在200km/h及以上的列车。随着列车运行速度的提高，复杂轮轨载荷占比的提升。由轮轨滚动接触引起的钢轨接触疲劳裂纹、钢轨磨耗、剥离掉块等钢轨损伤问题越来越严重，对列车运行安全造成极大的威胁。轮轨接触关系在高速轨道交通系统动力学中的重要性变得很突出。为了研究高速运行的列车更加实际的轮轨接触关系，本文从轮轨接触原理出发，运用先进的轮轨几何接触关系算法，构建出三维模型，利用仿真验证算法的有效性和准确性，以解决轮对在不同姿态下的轮轨接触问题。建立了高速列车轮轨接触力学模型，在此基础上进行相应的数值计算、分析和研究。 关键词高速列车;轮轨动力学;车轮擦伤;动力学建模;轮轨接触行为 引言 随着科学技术的不断发展，铁路运输的变化也十分巨大，最突出的变革就是高速动车组运行速度的不断提高。长期高速高频率地运行造成的结果是轮轨的磨耗严重，轮轨相互作用加强。轮轨的外形也会因此发生改变、轨道以及车轮轮面几何参数都会变化，介于车轮与铁轨间的强烈相互作用对轨道运输系统的安全性和平稳性带来了严重影响。不仅如此，车轮轮面轨距、轨底坡和轮对内侧距等参数直接改变了轮轨接触几何关系，造成车轮踏面伤损日益严重。学者普遍认识到轮轨接触关系对车辆系统的重要影响。为了确保列车关键零部件不因疲劳运行危及运输安全，加速轨道变形和降低轨道的稳定性。研究轮轨关系中轮轨几何参数和接触条件对轮轨关系的影响很有必要。 1 车辆轮轨接触分析 1.1 车辆动力学的提出及发展 车辆动力学的发展始于18世纪末期和19世纪初期，在轨道交通的发展历程上，数学模型在车辆系统的应用始终没有停滞，从20世纪50年代初的210km/h的日本高速铁路，到法国电
计算几何算法概览.
计算几何算法概览 [ 2001-03-23 ] 怒火之袍出处:放飞技术网 计算机的出现使得很多原本十分繁琐的工作得以大幅度简化，但是也有一些在人们直观看来很容易的问题却需要拿出一套并不简单的通用解决方案，比如几何问题。作为计算机科学的一个分支，计算几何主要研究解决几何问题的算法。在现代工程和数学领域，计算几何在图形学、机器人技术、超大规模集成电路设计和统计等诸多领域有着十分重要的应用。 一、引言 计算机的出现使得很多原本十分繁琐的工作得以大幅度简化，但是也有一些在人们直观看来很容易的问题却需要拿出一套并不简单的通用解决方案，比如几何问题。作为计算机科学的一个分支，计算几何主要研究解决几何问题的算法。在现代工程和数学领域，计算几何在图形学、机器人技术、超大规模集成电路设计和统计等诸多领域有着十分重要的应用。在本文中，我们将对计算几何常用的基本算法做一个全面的介绍，希望对您了解并应用计算几何的知识解决问题起到帮助。 二、目录 本文整理的计算几何基本概念和常用算法包括如下内容： 1.矢量的概念 2.矢量加减法 3.矢量叉积 4.折线段的拐向判断 5.判断点是否在线段上 6.判断两线段是否相交 7.判断线段和直线是否相交 8.判断矩形是否包含点 9.判断线段、折线、多边形是否在矩形中 10.判断矩形是否在矩形中 11.判断圆是否在矩形中 12.判断点是否在多边形中 13.判断线段是否在多边形内 14.判断折线是否在多边形内 15.判断多边形是否在多边形内 16.判断矩形是否在多边形内 17.判断圆是否在多边形内 18.判断点是否在圆内 19.判断线段、折线、矩形、多边形是否在圆内 20.判断圆是否在圆内
总结轮轨关系汇总
轮轨关系 轨道车辆和线路的作用问题是铁路轮轨接触式运输的基本问题。发展重载运输必须解决好轮轨之间的动力作用，努力减轻重载列车与线路的动态作用。但由于轮轨关系自身的复杂性，目前的研究理论和模型仍然基于一些假设[1]： 1）法向接触满足Hertz 接触条件； 2）轮轨接触副视为弹性半空间； 3） 接触表面是理想光滑连续的,而接触表面之间的 “第三介质 ,’ 如水、油和其它污染物的影响被忽略； 4) 轮轨接触斑以外边界支撑和约束条件对轮轨接触行为的影响被忽略； 5) 高速轮轨滚动接触时的惯性力被忽略； 6) 不考虑温度的影响。 上述几点假设是不符合实际但是理论的前提。 轮轨关系的主要研究内容为轮轨接触几何的确定和轮轨滚动接触理论的应用。实际接触参数计算和列解微分方程的过程可简述如下： 在某一瞬时位置确定轮轨接触点是关键，之后就可以在确定了接触点的基础上利用几何推导出各个重要的接触几何参数，如左右轮/轨在接触点的接触角L δ、R δ，左右轨在接触点处的钢轨顶面曲率半径RR ρ、RL ρ，左右轮在接触点处的踏面曲率半径WR ρ、WL ρ，左右轮实际滚动半径R r 、L r ，轮轨接触时的侧滚角k θ，轮对中心的上下位移k z ，其中变量为轮对相对轨道的横移量和摇头角w y 、w ψ。利用已求得的接触参数和Hertz 接触理论公式计算出接触椭圆的长短半轴，从而确定轮轨接触斑。然后利用接触椭圆的长短半轴长和查表得到的kalker 系数及材料常数计算得到蠕滑系数，之后再通过实际速度和纯滚动速度计算出蠕滑率，将二者带入蠕滑力公式求得蠕滑力。最后就可以列出含有蠕滑力，悬挂力，惯性力的运动微分方程，利用计算机求解得到位移、速度、加速度和相关模态值。 最初进行轮轨接触几何关系研究并确定接触参数的实用方法有两种：一种是圆弧形截面模型，一种是任意截面模型。前者可直观的用数学解析的方法确定其几何关系，后者是数值方法，需编程实现。前者在综述中提到；现重点论述后者，它是一种通用性很强的求解轮轨接触几何的数值方法。
轮轨接触关系仿真计算
西南交通大学 轮轨接触几何参数的仿真计算 学院：机械工程学院 专业：机车车辆 姓名：温朋哲 学号： 2015200312 2016年6月
1.引言 轮轨关系是轨道交通工程的重要研究课题。轮轨接触几何是轮轨关系研究的基本内容。高速铁路的车辆运行稳定性和曲线通过能力的矛盾激化,轮轨作用加剧。因此,高速铁路的发展提出许多轮轨关系研究的新问题。世界范围内，不同的国家采用的钢轨、车轮踏面和轮对内侧距不尽相同。国内外研究表明,车轮踏面形状和轮对内侧距直接改变轮轨接触几何关系,由此产生不同的轮轨作用,进而影响高速列车系统动力学性能。当今世界高速铁路主要存在三种主流踏面及与其对应的钢轨，即中国车轮踏面LMA与钢轨断面CHN60、日本新干线圆弧车轮踏面JP- ARC与钢轨JIS60和欧洲标准车轮踏面S1002和钢轨UIC60。本文以SIMPACK数据库中自带的踏面S1002与钢轨UIC60为例，应用SIMPACK动力学软件，对其接触几何关系进行了仿真计算。 2.求解方法 2.1基本假设 (1)刚体假定。假定车轮与钢轨均为刚体，他们不存在影响接触关系的弹性变形，或者说车轮表面上任一点不能嵌入钢轨内部。而且在各种条件下轮轨始终保持接触，轮轨的相对运动除纵向位移外还有横向位移和摇头角位移。轮轨几何参数与轮对在钢轨上的纵向位置无关，这些参数实际上是车轮相对轨道的横移和摇头角的函数。 （2）同一侧车轮上的接触点和钢轨上的接触点具有相同的空间位置。 （3）轮轨接触点处车轮与钢轨具有公切面。
2.2求解方法 文献[1]提出的采用迹线法思想来处理轮轨空间接触几何关系,目前已得到了较好的应用[2,3]。其基本思路是在求轮轨接触几何关系时,可以暂时抛开轨面的形状,仅由轮对的位置(摇头角y、侧滚角ψ)和踏面主轮廓线参数(滚动圆半径R、接触角W)确定可能接触点,每个滚动圆上有且仅有一个可能接触点,这些可能接触点的集合形成一条在踏面上的空间曲线。该方法具有精度高、速度快、稳定性好等优点。 3.建立模型 3.1创建文件 主窗口>>File>>Open File，弹出文件选择窗口。 选择建立的文件目录，点击New，输入文件名，回车。
ACM 计算几何 最小圆覆盖算法
平面上有n个点，给定n个点的坐标，试找一个半径最小的圆，将n 个点全部包围，点可以在圆上。 1. 在点集中任取3点A,B,C。 2. 作一个包含A,B,C三点的最小圆,圆周可能通过这3点，也可能只通过其中两点,但包含第3点.后一种情况圆周上的两点一定是位于圆的一条直径的两端。 3. 在点集中找出距离第2步所建圆圆心最远的D点，若D点已在圆内或圆周上，则该圆即为所求的圆，算法结束.则，执行第4步。 4. 在A,B,C,D中选3个点,使由它们生成的一个包含这4个点的圆为最小，这3 点成为新的A,B,C，返回执行第2步。若在第4步生成的圆的圆周只通过A,B,C,D 中的两点，则圆周上的两点取成新的A 和B,从另两点中任取一点作为新的C。 程序设计题解上的解题报告： 对于一个给定的点集A，记MinCircle(A)为点集A的最小外接圆，显然，对于所有的点集情况A,MinCircle(A)都是存在且惟一的。需要特别说明的是，当A为空集时，MinCircle(A)为空集，当A={a}时，MinCircle(A)圆心坐标为a，半径为0；显然，MinCircle(A)可以有A 边界上最多三个点确定(当点集A中点的个数大于1时，有可能两个点确定了MinCircle(A))，也就是说存在着一个点集B，|B|<=3 且B 包含与A，有MinCircle(B)=MinCircle(A).所以，如果a不属于B，则MinCircle(A-{a})=MinCircle(A);如果MinCircle(A-{a})不等于
MinCircle(A),则a属于B。所以我们可以从一个空集R开始，不断的把题目中给定的点集中的点加入R，同时维护R的外接圆最小，这样就可以得到解决该题的算法。 不断添加圆，维护最小圆。如果添加的点i在圆内，不动，否则： 问题转化为求1~I的最小圆：求出1与I的最小圆，并且扫描j=2~I-1，维护（1）+（i）+(2~j)的最小圆，如果找到J不在最小圆内，问题转化为：求(1~J)+(i)的最小圆。求出I与J的最小圆，继续扫描K=1~j-1,找到第一个不在最小圆内的，求出I J K三者交点即可，此时找到了(1~j)+(i)的最小圆，可以回到上一步（三点定一圆，所以1~J-1一定都在求出的最小圆上）。 实际上利用了这么个定理： 若I不在1~I-1的最小圆上，则I在1~I的最小圆上。 若J不在(i)+(1~j-1)的最小圆上，则j在(i)+(1~J)的最小圆上。 证明可以考虑这么做：最小圆必定是可以通过不断放大半径，直到所有以任意点为圆心，半径为半径的圆存在交点，此时的半径就是最小圆。所以上述定理可以通过这个思想得到。 这个做法复杂度是O(n)的，当加入圆的顺序随机时，因为三点定一圆，所以不在圆内概率是3/i,求出期望可得是On.
GIS中的计算几何
GIS中的计算几何 GIS是一个图形系统，必然会涉及到几何学上理论应用，比如，图形的可视化，空间拓扑分析，GIS图形编辑等都需要借助几何。向量几何是用代数的方法来研究几何问题，首先，请大家翻一翻高等数学里有关向量的章节，熟悉一下几个重要的概念：向量、向量的模、向量的坐标表示、向量的加减运算、向量的点积、向量的叉积...下面我们将用这些基本概念来解答GIS中一些几何问题。 一，点和线的关系。 点是否在线段上，这样的判断在图形编辑，拓扑判断(比如，GPS跟踪判 断是否跑在线上)需要用到这样的判断。通常的想法是：先求线段的直线 方程，再判断点是否符合这条直线方程，如果符合，还要判断点是否在 线段所在的矩形区域(MBR)内，以排除延长线上的可能性，如果不符合， 则点不在线段上。这种思路是可行的，但效率不高，涉及到建立方程， 解方程。借助向量的叉积（也叫向量的向量积，结果还是向量，有方向 的）可以很容易的判断。设向量a=(Xa,Ya,Za) b=(Xb,Yb,Zb) 向量叉积 a X b如下： 二维向量叉积的模|a X b|=|a|*|b|*sinα=|Xa*Yb-Ya*Xb| （α是向量a,b之间的夹角），向量叉积模的几何意义是以向量a,b为邻边的平行四边 形的面积。可以推测：如果两向量共线，向量叉积模(所代表的平行四边 形的面积为零) 则|a X b|=|a|*|b|*sinα=|Xa*Yb-Ya*Xb|=0,否则不共线，叉 积的模为非零，根据这样条件可以很轻松的判断点和线的关系，避免了 建立方程和解方程的麻烦。
向量叉积的模|AB X AC|=0即可判断C点在AB所确定的直线上，再结合 C点是否在AB所在的MBR范围内，就可以最终确定C是否在AB线段 上。关于点和线段的其他关系，都可以通过叉积的求得，比如判断点在 线的哪一侧，右手法则，可以通过 a X b=(Xa*Yb-Ya*Xb)*k中的 （Xa*Yb-Ya*Xb）正负来判断。留给大家思考，很简单的，呵呵… 二，线和线的关系 判断两条线段是否相交，在很多拓扑判断和图形编辑(比如，线的打断来 构建拓扑，编辑线对象，叠置分析，面与面关系的判断等) 中都需要用到 线线相交的判断，如果两条线段相交，一条线段的两端点必然位于另一 条线段的两侧（不考虑退化情况，也就是一条线段的端点在另一条线段 上，这个很容易判断） 两向量的叉积a X b= (Xa*Yb-Ya*Xb)*k ，分别判断AB X AC的方向与 AB X AD的方向是否异号，再判断CD X CA 的方向与CD X CB的方向 是否异号即可判断两线段是否相交。 退化情况，一条线的端点在另一条线上，则AB X AC、 AB X AD 、CD X CA、CD X CB 是否存在有一个为零的，存在则表明肯定有一条线的端 点在另一个线上或者共用一个端点。详细区分留给大家思考。呵呵… 利用向量的方向还可以判断线段的转向，这个在道路导航中有所应用
计算几何算法概览叉积
计算几何算法概览 一、引言 计算机的出现使得很多原本十分繁琐的工作得以大幅度简化，但是也有一些在人们直观看来很容易的问题却需要拿出一套并不简单的通用解决方案，比如几何问题。作为计算机科学的一个分支，计算几何主要研究解决几何问题的算法。在现代工程和数学领域，计算几何在图形学、机器人技术、超大规模集成电路设计和统计等诸多领域有着十分重要的应用。在本文中，我们将对计算几何常用的基本算法做一个全面的介绍，希望对您了解并应用计算几何的知识解决问题起到帮助。 二、目录 本文整理的计算几何基本概念和常用算法包括如下内容： 矢量的概念 矢量加减法 矢量叉积 折线段的拐向判断 判断点是否在线段上 判断两线段是否相交
判断线段和直线是否相交 判断矩形是否包含点 判断线段、折线、多边形是否在矩形中 判断矩形是否在矩形中 判断圆是否在矩形中 判断点是否在多边形中 判断线段是否在多边形内 判断折线是否在多边形内 判断多边形是否在多边形内 判断矩形是否在多边形内 判断圆是否在多边形内 判断点是否在圆内 判断线段、折线、矩形、多边形是否在圆内判断圆是否在圆内 计算点到线段的最近点
计算点到折线、矩形、多边形的最近点 计算点到圆的最近距离及交点坐标 计算两条共线的线段的交点 计算线段或直线与线段的交点 求线段或直线与折线、矩形、多边形的交点 求线段或直线与圆的交点 凸包的概念 凸包的求法 三、算法介绍 矢量的概念： 如果一条线段的端点是有次序之分的，我们把这种线段成为有向线段(directed segment)。如果有向线段p1p2的起点p1在坐标原点，我们可以把它称为矢量(vector)p2。 矢量加减法： 设二维矢量P = ( x1, y1 )，Q = ( x2 , y2 )，则矢量加法定义为：P + Q = ( x1 + x2 , y1 + y2 )，同样的，矢量减法定义为：P - Q = ( x1 - x2 , y1 - y2 )。显然有性质
计算几何复习题
计算几何期末复习题 二. 简答题 1. 在编写几何计算程序时,应该坚持的原则有哪些? 答：尽量使用加减等有理运算,避免使用开方,除法等无理运算. 2. 如果一个几何计算系统采用浮点计算,那么这个系统可能不可靠。这个不可靠是由什么原因引起的? 答：浮点数的精度不够，出现允差，判断结果矛盾。 3. 如果一个几何计算系统全部采用整数计算并且没有除法运算和无理计算,那么这个系统仍然可能不可靠。这个不可靠是由什么原因引起的? 答：可能产生数据溢出问题。 4. Windows 应用程序是消息驱动程序,并且消息中的大部分是窗口消息。给出 3 个预定义的窗口消息名称并说明这些消息什么时候发生。 答：1.WM_LBUTTONDOWN（按下鼠标左键） 2.WM_LBUTTONUP(释放鼠标左键) 3.WM_RBUTTONDOWN（按下鼠标右键） 4.WM_RBUTTONUP(释放鼠标右键) 5. Windows 应用程序提供许多预定义的窗口类型(也叫控件)供程序员使用,它们具有各自独特的窗口特征。请给出 3 种预定义窗口类型,给出它们的中文名和英文名。 答： CButton 按钮 CControlBar 控制条 CComboBox 组合框 6. 单多面体的Euler-Poincare公式是什么?写出这个公式并说明公式中每个变量的含义。将一个多面体的每个面进行三角剖分后这个公式是否仍然成立? 答：公式：V-E+F=2*(S-G)+R 解释： S: shell壳的个数 G：Genus 亏格数 R：ring内环个数 V：vextex顶点个数 E：edge边个数 F：face面的个数成立 7. 出由端点P0(x0, y0, z0)与P1(x1, y1, z1)所确定的直线段的参数方程。(用 矢量形式或分量形式均可)。 答：p=po+（P1-p0）·t; t∈[0，1] 8. 已知空间不在一条直线上的 3 点P0(x0, y0, z0)、P1(x1, y1, z1)、P2(x2, y2, z2),写出经过这 3 点的平面的参数方程。(用矢量形式或分量形式均可)。 答:p(u,v)=p0+u·(p1-p0)+v·(p2-p0) 9. 我们说平面点集的 Delaunay 三角剖分是一个“好”的三角剖分。这里的“好”指的是什么?(指出一点即可。) 答：因为它是一个最小角最大化的三角剖分方法 11.形体的表面模型和实体模型分别适合的领域是什么?一个采用半边数据结构描述的多面体属于表面模型还是实体模型? 答：表面模型：动画领域实体领域：工程 CAD 属于实体模型 12. 采用交互编辑手段进行三维形体的几何建模的方法有哪些? 答：布尔集合运算体素建模整体操作局部操作扫面操作 13. 给定空间一点P1(x1, y1, z1)和一个平面,平面的普遍方程为
轮轨接触蠕滑
赫兹接触理论 假设：①接触区发生小变形。②接触面呈椭圆形。③相接触的物体可被看作是弹性半空间，接触面上只作用有分布的垂直压力。当接触面附近的物体表面轮廓近似为二次抛物面，且接触面尺寸远比物体尺寸和表面的相对曲率半径小时，由赫兹理论可得到与实际相符的结果。在赫兹接触问题中，由于接触区附近的变形受周围介质的强烈约束，因而各点处于三向应力状态，且接触应力的分布呈高度局部性，随离接触面距离的增加而迅速衰减。此外，接触应力与外加压力呈非线性关系，并与材料的弹性模量和泊松比有关。 实际工程中的很多接触问题并不满足赫兹理论的条件。例如，接触面间存在摩擦时的滑动接触，两物体间存在局部打滑的滚动接触，因表面轮廓接近而导致较大接触面尺寸的协调接触，各向异性或非均质材料间的接触，弹塑性或粘弹性材料间的接触，物体间的弹性或非弹性撞击，受摩擦加热或在非均匀温度场中的两物体的接触等。 在讨论弹性接触问题时，一般假定： (1)接触系统由两个相互接触的物体组成，它们间不发生刚体运动; (2)接触物体的变形是小变形，接触点可以预先确定，接触或分离只在两物体可能接触的相应点进行; (3)应力、应变关系取线性; (4)接触表面充分光滑; (5)不考虑接触面的介质(如润滑油)、不计动摩擦影响。 轮轨蠕滑 指具有弹性的钢质车轮在弹性的钢轨上一定速度滚动时，在车轮与钢轨的接触面间产生相对微小滑动。 Carter理论 Carter在研究时就假定车轮为一圆柱休，而钢轨则为一厚板，并且进一步认为车轮半径远比接触面积的周长要大得多，于是，这一问题可处理成为一无限弹性介质被一平面所约束，在该平面上存在着局部压力分布与切向力。同时应用半空间的假定，只研究其纵向蠕滑率。 Carter定义的纵向蠕滑率和横向蠕滑率如下：
轮轨接触几何关系探讨
轮轨接触几何关系探讨 卜庆萌 指导教师姚林泉 摘要: 轮轨接触几何关系在高速、安全的轨道交通中具有重要的作用。本文根据我国使用的三种主要车轮踏面的轮廓线，采用对其一、二阶导函数比较分析的方法研究它们的光滑度。同时考察不同规格钢轨的光滑度以及与各车轮踏面相配合的结果。从轮轨几何光滑接触的角度，指出了较优的车轮踏面，较优的轮轨配合以及几何优化原则。 关键字：轮轨关系，接触几何，车轮踏面，钢轨 Abstract: The geometric relation of wheel-rail contact plays an important part in fast and safety rail transportation. Based on the three main Chinese wheels, we work out the first and second derivative of the contours in order to compare their smoothness. Also we research the smoothness of different rails and the effect to work in different wheels. From the aspect of that wheel and rail contact in smoothness, the better interface, the better coupling of wheel-rail and the principle of geometric optimization are shown. Keywords: wheel-rail relation，contact geometry，wheel treads，rail 1 引言 随着铁路列车运行速度、运载重量和运输密度的大幅度提高，机车车辆与轨道结构之间的相互作用引发的问题更加严重，也更趋复杂。列车运行速度越高，机车车辆在线路上的行车安全性与运行平稳性问题越显突出，既要保证机车车辆快速通过线路平纵断面曲线、道岔及桥头过度段等关键段时不颠覆、不脱轨，又要确保车辆具有良好的乘坐舒适度[1]。 由于车速的提高和轴重的加大，不可避免地会增大轮轨间的相互作用力，加剧车轮与钢轨磨损，导致钢轨、车轮频繁维修甚至更换，这不仅增加了运营成本，而且对环境造成了负面影响。据资料记载，我国每年仅在曲线轨道上换轨耗费就超过10.5亿元。若采用综合减磨措施能将钢轨使用寿命延长50%，每年可节省3.5亿元[2]。如何在提高铁路运能的同时，降低其运营成本，是急需研究的重要课题。轮轨的磨损按位置分有侧磨面和踏面磨损，而轮缘和钢轨侧面的磨耗是轮轨主要的磨耗, 约占轮轨磨耗总量的三分之二[3]。在平直轨段，由于扰动等因素使列车产生蛇行运动时，轮轨之间要发生侧磨；在转弯段，一般外侧轮缘要挤压钢轨以提供向心力，即该状况下也会产生侧磨，在小半径大坡道地段, 这种磨耗特别明显。列车轴重增加会加重轮面对钢轨轨头的伤损, 在曲线上,同时会因导向力的变大加剧侧磨。
计算几何常用算法概览
计算几何常用算法概览 本站原创：怒火之袍一、引言 计算机的出现使得很多原本十分繁琐的工作得以大幅度简化，但是也有一些在人们直观看来很容易的问题却需要拿出一套并不简单的通用解决方案，比如几何问题。作为计算机科学的一个分支，计算几何主要研究解决几何问题的算法。在现代工程和数学领域，计算几何在图形学、机器人技术、超大规模集成电路设计和统计等诸多领域有着十分重要的应用。在本文中，我们将对计算几何常用的基本算法做一个全面的介绍，希望对您了解并应用计算几何的知识解决问题起到帮助。 二、目录 本文整理的计算几何基本概念和常用算法包括如下内容： 矢量的概念 三、算法介绍 矢量的概念：
如果一条线段的端点是有次序之分的，我们把这种线段成为有向线段(directed segment)。如果有向线段p1p2的起点p1在坐标原点，我们可以把它称为矢量(vector)p2。 矢量加减法： 设二维矢量P = ( x1,y1 ) ，Q = ( x2 , y2 ) ，则矢量加法定义为：P + Q = ( x1 + x2 , y1 + y2 )，同样的，矢量减法定义为：P - Q = ( x1 - x2 , y1 - y2 )。显然有性质P + Q = Q + P , P - Q = - ( Q - P )。 矢量叉积： 计算矢量叉积是与直线和线段相关算法的核心部分。设矢量P = （x1,y1），Q = (x2,y2)，则矢量叉积定义为由(0,0)、p1、p2和p1+p2所组成的平行四边形的带符号的面积，即：P ×Q = x1*y2 - x2*y1，其结果是一个标量。显然有性质P ×Q = - ( Q ×P ) 和P ×( - Q ) = - ( P ×Q )。一般在不加说明的情况下，本文下述算法中所有的点都看作矢量，两点的加减法就是矢量相加减，而点的乘法则看作矢量叉积。 叉积的一个非常重要性质是可以通过它的符号判断两矢量相互之间的 顺逆时针关系： 若P ×Q > 0 , 则P在Q的顺时针方向。 若P ×Q < 0 , 则P在Q的逆时针方向。 若P ×Q = 0 , 则P与Q共线，但可能同向也可能反向。
计算几何常用函数
目录 ㈠点的基本运算 1. 平面上两点之间距离 1 2. 判断两点是否重合 1 3. 矢量叉乘 1 4. 矢量点乘 2 5. 判断点是否在线段上 2 6. 求一点饶某点旋转后的坐标 2 7. 求矢量夹角 2 ㈡线段及直线的基本运算 1. 点与线段的关系 3 2. 求点到线段所在直线垂线的垂足 4 3. 点到线段的最近点 4 4. 点到线段所在直线的距离 4 5. 点到折线集的最近距离 4 6. 判断圆是否在多边形内 5 7. 求矢量夹角余弦 5 8. 求线段之间的夹角 5 9. 判断线段是否相交 6 10.判断线段是否相交但不交在端点处 6 11.求线段所在直线的方程 6 12.求直线的斜率 7 13.求直线的倾斜角 7 14.求点关于某直线的对称点 7 15.判断两条直线是否相交及求直线交点 7 16.判断线段是否相交，如果相交返回交点 7 ㈢多边形常用算法模块 1. 判断多边形是否简单多边形 8 2. 检查多边形顶点的凸凹性 9 3. 判断多边形是否凸多边形 9 4. 求多边形面积 9 5. 判断多边形顶点的排列方向，方法一 10 6. 判断多边形顶点的排列方向，方法二 10 7. 射线法判断点是否在多边形内 10 8. 判断点是否在凸多边形内 11 9. 寻找点集的graham算法 12 10.寻找点集凸包的卷包裹法 13 11.判断线段是否在多边形内 14 12.求简单多边形的重心 15 13.求凸多边形的重心 17 14.求肯定在给定多边形内的一个点 17 15.求从多边形外一点出发到该多边形的切线 18
16.判断多边形的核是否存在 19 ㈣圆的基本运算 1 .点是否在圆内 20 2 .求不共线的三点所确定的圆 21 ㈤矩形的基本运算 1.已知矩形三点坐标，求第4点坐标 22 ㈥常用算法的描述 22 ㈦补充 1．两圆关系： 24 2．判断圆是否在矩形内： 24 3．点到平面的距离： 25 4．点是否在直线同侧： 25 5．镜面反射线： 25 6．矩形包含： 26 7．两圆交点： 27 8．两圆公共面积： 28 9. 圆和直线关系： 29 10. 内切圆： 30 11. 求切点： 31 12. 线段的左右旋： 31 13．公式： 32 代码: /* 需要包含的头文件 */ #include