2019版 1微积分练习题(下) 第一章 答案
微积分第一章
高等数学教案 、
第一章 函数、极限与与连续 本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。具体的要求如下： 1． 理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中 逐步加深理解，对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。 2． 掌握极限四则运算法则。 3． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。 4． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。能够正确运用等价无穷小求极限。 5. 理解函数在一点连续的概念，理解区间内（上）连续函数的概念。 6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。 7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。 第一章共12学时，课时安排如下 绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1.4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1.4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时 绪论 数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。 关于数学应用和关于微积分的评价： 恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。 华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。 张顺燕：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了（《数学通报》数学与文化2001.1.封二） 初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。
1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝?? ?0 1(x 2－x )d x B ．S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x C ．S ＝?? ?0 1 (y 2－y )d y D ．S ＝??? 1 (y － y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图 形的面积S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( ) A ．2 3 B ．2－3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为
S ＝??? -3 1 (3－x 2 －2x )d x ＝(3x －1 3x 3－x 2)|1 －3＝32 3. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π [答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积， ∴S ＝1 4×π×22＝π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积
定积分及微积分基本定理练习题及答案
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a 第一章 习题1-1 1. 用区间表示下列不等式的解. ⑴ x%9; (2) x — 1 1； (3) (x-1)(x 2) :0; (4) 0 . x 1:: 0.01 解(1)原不等式可化为(x —3)(x+3)苴0 ,其解为—3苴x<3,用区间表示是[-3,3]. (2) 原不等式可化为x—1》1或x—1<—1 ,其解为x》2或x<0 ,用区间表示是 (-8 ,0^(2,+ 8 ). (3) 原不等式的解为—2 e x <1,用区间表示是(-2,1). -0.01 ：x 1 ：0.01 口-1.0 V： x ：-0.99 (4) 原不等式可化为4 即/ x 1=0 x=1 用区间表示是(-1.01,-1) U (-1,-0.99). 2. 用区间表示下列函数的定义域： (1) y =[ - .1 -x2；(2) y = arcsin(1 - x) ig(ig x)； x (3) y = . 6 -5x -x2 ---------- - --- . ln(2 -x) a - x=0 r x = 0 解⑴要使函数有意义，必须｛… 即4 1-x2-0 -1%&1 所以函数的定义域为[-1,0) U (0,1]. (2)要使函数有意义，必须J lg x A 0 即< x A1 x 0 x 0 所以函数的定义域是1 专题06 定积分与微积分基本定理 1．由曲线,直线轴所围成的图形的面积为（） A．B．4C．D．6 【答案】A 【解析】 联立方程得到两曲线的交点（4，2）， 因此曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为： S． 故选:A． 2．设f（x）=|x﹣1|，则=（） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】 画出函数的图像如下图所示，根据定积分的几何意义可知，定积分等于阴影部分的面积，故定积分为 ，故选A. 3．曲线与直线围成的封闭图形的面积是（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 令，则，所以曲线围成的封闭图形面积为 ，故选D 4．为函数图象上一点，当直线与函数的图象围成区域的面积等于时，的值为 A．B．C．1D． 【答案】C 【解析】 直线与函数的图象围成区域的面积S dx ＝ ∴ 故选：C 5．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( ) A．B．1C．D． 【答案】B 【解析】 题目所求封闭图形的面积为定积分，故选B. 6．如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( ) A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 依题意的阴影部分的面积，根据用几何概型概率计算公式有所求概率为，故选A. 7．（） A．B．-1C．D． 【答案】C 【解析】 解： ． 故选：C． 8．，则T的值为 A．B．C．D．1 【答案】A 【解析】 由题意得表示单位圆面积的四分之一，且圆的面积为π， ∴， ∴． 故选A． 9．下列计算错误 ．．的是（） A．B． C．D． 【答案】C 【解析】 在A中，， 在B中，根据定积分的几何意义，， 在C中，， 根据定积分的运算法则与几何意义，易知，故选C. 习题5.1 1.（1） sin x x ；3sin x （2）无穷多 ；常数（3）所有原函数（4）平行 2. 23x ；6x 3.（1）3223 x C --+（2）323sin 3x x e x C +-+（3）3132221(1565(2))15x x x x C -++-+ （4 2103)x x C -++ （5）4cos 3ln x x C -++（6）3 23 x x ex C +-+ （7） sin 22 x x C -+（8 ）5cos x x C --+ 4. 3113y x =+ 5. 32()0.0000020.0034100C x x x x =-++；(500)1600;(400)(200)552C C C =-= 习题5.2 1.（1）1a （2）17（3）110（4）12-（5）112（6）12（7）2-（8）15（9）-（10）12 - 2. （1）515t e C + （2）41(32)8x C --+（3）1ln 122x C --+（4）231(23)2 x C --+ （5 ）C -（6）ln ln ln x C +（7）111tan 11x C +（8）212 x e C --+ （9）ln cos ln sin x x C -++（10 ）ln C -+（11）3sec sec 3 x x C -++ （12 ）C （13）43ln 14x C --+（14）2sec 2 x C + （15 12arcsin 23x C + （16）229ln(9)22 x x C -++ （17 C （18）ln 2ln 133 x x C -+-+ （19）2()sin(2())4t t C ?ω?ωω++++ （20）3cos ()3t C ?ωω +-+ （21）cos 1cos5210x x C -+ （22）13sin sin 232x x C ++（23）11sin 2sin12424 x x C -+ 习题5.3 1.（1）arcsin ,,u x dv dx v x === （2）,sin ,cos u x dv xdx v x ===- 第五章 习题5-1 1.求下列不定积分： (1) 2 5)x -d x ; (2) 2 x ; (3) 3e x x ?d x ； (4) 2cos 2 x ?d x ； (5) 23523x x x ?-??d x ； (6) 22cos 2d cos sin x x x x ?. 解 5 15173 2 2222 22210 (1) 5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+??? 2. 解答下列各题： (1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程； (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数，求 ()f x '?d x ； (3) 已知f (x )的导数是sin x ，求f (x )的一个原函数； (4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即P=0时，Q =1000),已知需求量的变化率(边际需求)为Q ′(P )=-10001( )3 P ln3,求需求量与价格的函数关系. 解 (1)设所求曲线方程为y =f (x ),由题设有f′(x )=2x -2, 又曲线过点(1,0),故f (1)=0代入上式有1-2+C =0得C =1,所以,所求曲线方程为 2()21f x x x =-+. (2)由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =, 故 ()sin f x x '=-, 所以 ()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+???. (3)由题意有()sin f x x '=,则1()sin cos d f x x x x C ==-+? 于是 1 2 ()(cos )sin d d f x x x C x x C x C =-+=-++??. 其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为sin x -. 注意 此题答案不唯一.如若取121,0C C ==得()f x 的一个原函数为sin x x --. (4)由1()1000( )ln 33 P Q P '=-得 将P =0时,Q =1000代入上式得C =0 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a 第五章 一元函数积分学 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写 出cos t a == 邻边斜边，于是21arcsin(/)22a x a C =+ 例3：求不定积分sin x xdx ? 分析：如果被积函数()sin f x x x =中没有x 或sinx ，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x ，那么利用分部积分公式就可以消去x （因为' 1u =） 解令,sin u x dv xdx ==，则du dx =，cos v x =-. 于是sin (cos )(cos )cos sin x xdx udv uv vdu x x x dx x x x C ==-=---=-++???? 。熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号,u v ，而可以像下面那样先凑微分，然后直接用分部积分公式计算： sin cos (cos cos )cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =-=--=-++??? 定积分与微积分基本定理 基础热身 1．已知f (x )为偶函数，且 ??0 6f(x)d x ＝8，则? ?6－6f(x)d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 2． 设f(x)＝??? x 2，x ∈[0，1]， 1 x ，x ∈1，e ] (其中e 为自然对数的底数)，则??0 e f(x)d x 的值为( ) B ．2 C ．1 3．若a ＝??0 2x 2d x ，b ＝??0 2x 3d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关 系是( ) A ．a A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．以上均不对 9．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为( ) A ． J B ． J C ． J D ． J 10．设函数y ＝f(x)的定义域为R ＋，若对于给定的正数K ，定义函 数f K (x )＝????? K ，fx ≤K ，fx ，fx >K ， 则当函数f (x )＝1x ，K ＝1时，定积分??214f K (x)d x 的值为________． (x －x 2)d x ＝________. 12． ∫π 20(sin x ＋a cos x)d x ＝2，则实数a ＝________. 13．由抛物线y 2 ＝2x 与直线x ＝12及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为________． 14．(10分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图K 15－2所示，直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围 成的区域(阴影)面积为27 4，求f(x)的解析式． 图K 15－2 15．(13分)如图K 15－3所示，已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－x 2＋2ax(a>1)交于点O 、A ，直线x ＝t (0 第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+1 31 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+1 1 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2 ） (1n S n =++ ++ 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4） 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而1112 n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质 知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5） ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+ ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6） 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7） 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8） (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：（1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且 其和为1+ 12=3 2 . （2） 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++?? 第一章 习题1-1 1.用区间表示下列不等式的解 2(1)9;(2)1;1(3)(1)(2)0;(4)00.01 1 x x x x x ≤>--+<<<+ 解 (1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3]. (2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞). (3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1). (4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+??>?即0210x x x ≤≤??>??>? 所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2]. (3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ?--≥?-≠??->?即6112x x x -≤≤??≠?? 1利用定积分的几何意义计算」''1 - x2dx. 2. 计算定积分"2(x+ 1)dx. J i 3. 定积分"bf(x)dx的大小() ?a A .与f(x)和积分区间［a, b］有关，与E的取法无关 B.与f(x)有关，与区间［a，b］以及&的取法无关 C .与f(x)以及8的取法有关，与区间［a, b］无关 D .与f(x)、区间［a，b］和8的取法都有关 4. 在求由x= a，x= b(a 8. 10 利用定积分的几何意义求 —9 — x — 3 2dx. (1)| 2(x 2+ 2x + 1)dx ; 广n (2) 1 (sinx — cosx)dx ； (3)| J* 2 / 、 1 x — X 2 +_ 1 丿。 1 < X 丿 (4) 0-?cosx + e x )dx. ⑹p (2x + 1)dx ; ⑺ 丿0 1 2x + 一 dx x 广1 ⑺f; x (8) 1x 3dx ; ■ 0 (9) 1e x dx. 11 求 y = — x 2与 y = x — 2围成图形的面积S. 15 A.— 4 17 B.— 4 1 C.—|n 2 2 D . 2ln2 已知"2 f(x)dx = 3，贝U 2 [f(x) + 6]d 1 1 12 .由直线x =2，x =2，曲线y =严x 轴所围图形的面积为 13.已知 f 1— 1(x 3 + ax + 3a — b)dx= 2a + 6 且 f(t) = f (x 3 + ax + 3a — b)dx 为偶函数， 求下列定积分: dx ; 2 1 x 2dx 第一章 习题1-1 1.用区间表示下列不等式的解. 2(1)9;(2) 1; 1(3)(1)(2)0;(4)00.01 1x x x x x ≤>--+<<<+ 解 (1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3]. (2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞). (3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1). (4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+??>?即02 10x x x ≤≤?? >??>? 所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2]. (3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ?--≥?-≠??->? 即6112 x x x -≤≤?? ≠?? 微积分（经管类）第五章答案 5.1 定积分的概念与性质 一、1、∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ； 2、被积函数,积分区间,积分变量； 3、介于曲线)(x f y =,x 轴,直线b x a x ==,之间各部分面积的代数和； 4、? b a dx ； 5、 ?? +b c c a dx x f dx x f )()(； 6、b a a b M dx x f a b m b a <-≤≤-? ,)()()(； 7、 ? b a dx x f )( ?-=a b dx x f )(； 8、)(ξf 与a b -为邻边的矩形面积；二、略. 三、 ? -231 cos xdx . 四、略。 五、(1)+； (2)-； (3)+. 六、(1)<; (2)<. 七、略。 5.2. 微积分基本定理 一、1、0； 2、)()(a f x f -； 3、 )1ln(23 +x x ； 4、 6 5 ； 5、(1)ππ,； (2)0,0； 6、(1)0； (2)0。 7、;6 1 45 8、 6 π ； 9、1. 二、1、 1 sin cos -x x ；2、)sin cos()cos (sin 2 x x x π?-； 3、2-. 三、 1、852； 2、3 π； 3、14+π ； 4、4. 四、1、0； 2、10 1 . 五、略。 六、 3 35π , 0. 七、???? ???>≤≤-<=π πφx x x x x ,10,)cos 1(210,0)(. 5.3. 定积分的换元积分法与分部积分法 一、1、0； 2、34-π； 3、2π； 4、32 3 π； 5、0. 6、e 21- ； 7、)1(412+e ； 8、2 3 ln 21)9341(+-π. 二、1、 41； 2、3 322-； 3、1-2ln 2； 4、34； 5、22； 6、 8 π；7、417；8、2ln 21 ； 9、1-e . 10、211cos 1sin +-e e ； 11、)11(2e -； 12、21 2ln -； 13、 2ln 3 3 -π； 14、22+π；15、3ln 24-；16、2+)2ln 3(ln 21-。 三、 )1ln(1 -+e . 六、2. 八、8. 5.5 反常积分 一、1、1,1≤>p p ；2、1,1≥ 高等数学教案 、 第一章函数、极限与与连续 本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。具体的要求如下： ． 理解极限的概念（理解极限的描述性定义 对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程 中逐步加深理解，对于给出ε求 或δ不作过高要求）。 ． 掌握极限四则运算法则。 ． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。 ． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。能够正确运用等价无穷小求极限。 理解函数在一点连续的概念，理解区间内（上）连续函数的概念。 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。 第一章共 学时，课时安排如下 绪论 § 、函数 § 初等函数 课时 § 数列极限及其运算法则 课时 § 函数极限及其运算法则 课时 § 两个重要极限 无穷小与无穷大 课时 § 函数的连续性 课时 第一章 习题课 课时 绪论 数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。 关于数学应用和关于微积分的评价： 恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像 世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。 华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。 张顺燕：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了（《数学通报》数学与文化 封二） 初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等 第五章 定积分 一、填空题 1. [)_____)2(1)(0)(30 2 =+=∞+?f x dt t f x f x ，则上连续，且， 在设 [) 02. ()0()(1cos ) , ()_____2 x f x f t dt x x f π +∞=+=?在，上连续，且则 3. 4 1 =dx ? -4. 31d =x x +?0 1 1 5. =-? 6. 1?= 7. []_____)()(=-? -a a dx x f a a x f 上连续的奇函数，则，为设 8. []______)()(=-? -a a dx x f a a x f 上连续的偶函数，则，为设 9. ? =-210 2 _______1x xdx 10. ? =+-1 0 ______11dx x x 11. ________a -=? 12. _______cos 0 2=? π xdx 13. ________sin 1 2 2=-? dx x π π 14. []_________) (1) (31)(3 1 2=+''?dx x f x f x f 上连续，则， 在设 15. __________11 2 =-? x dx 16. _________2cos 40 5=?dx x π 17. ? =20 4_________sin π xdx 18. ___________321 =?? dx x x 二、选择题 []{}[]1 11110 1 1.1()lim ()()lim ()()lim ()() ()lim ()(max 12)n n n n i i n i i i i i n i n i i i i i i i b a i b a i A f b a B f b a n n n n C f x x x D f x x i n x x λξξξλξ→∞→∞==-→∞ =-→=---?? ??--?????? ?? ?∈?=?=∈∑∑∑∑L 定积分所表示的和式极限是（ ） ． ．． ，． ，，，， [][]2.()()() ()() ()f x a b f x a b A B C D 函数在闭区间，上连续是在，上可积的（） ．必要条件 ．充分条件 ．充分必要条件．既非充分也非必要条件 [][]3.()()()()d ()()d ()()()()()d ()2 b b a a b a a b y f x x a x b a b x S A f x x B f x x f b f a b a C f x x D ===<=+-???由，上连续曲线，直线，和轴围成图形面积（ ） ． ． ． ． 2 1110 4.()()d 0 ()3()3()3()3x x x f x f x x e x A e B e C e D e ---≥?==?=+=+-? 设连续，，且，则 ． ．． 第1章 函数与极限总结 1、极限的概念 （1）数列极限的定义 给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切n , 恒有 |x n -a |<ε 则称a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为 a x n n =∞ →lim 或xn →a (n →∞). （2）函数极限的定义 设函数f (x )在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>）有定义，如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正数δ,（或存在X ） 使得当x 满足不等式0<|x -x 0|<δ 时,（或当x X >时） 恒有 |f (x )-A |<ε , 那么常数A 就叫做函数f (x )当0x x →（或x →∞）时的极限, 记为 A x f x x =→)(lim 0 或f (x )→A (当x →x 0).（ 或lim ()x f x A →∞ =） 类似的有：如果存在常数A ,对0,0,εδ?>?>当00:x x x x δ-<<（00x x x δ<<-）时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当0x x →时的左极限（或右极限）记作 00 lim ()(lim ())x x x x f x A f x A - +→→==或 显然有0 lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?== 如果存在常数A ,对0,0,X ε?>?>当()x X x X <->或时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当x →-∞（或当x →+∞）时的极限 记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞ →+∞ ==或 显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞ →-∞ →+∞ =?== 2、极限的性质 （1）唯一性 若a x n n =∞ →lim ，lim n n x b →∞ =，则a b = 若0() lim ()x x x f x A →∞→=0() lim ()x x x f x B →∞→=，则A B = （2）有界性 （i ）若a x n n =∞ →lim ，则0M ?>使得对,n N + ?∈恒有n x M ≤ 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??0 1(x 2－x )d x B ．S ＝??0 1(x －x 2)d x C ．S ＝??0 1(y 2－y )d y D ．S ＝??0 1(y － y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( ) — A ．2 3 B ．2－3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S ＝??-3 1 (3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3 ＝32 3. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π [答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积， / ∴S ＝1 4×π×22＝π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后 的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的(微积分)第一章
高中数学之定积分与微积分基本定理含答案
微积分第五章第六章习题答案
微积分二课后题答案,复旦大学出版社第五章
定积分及微积分基本定理练习题及答案
微积分总复习题与答案
定积分与微积分含答案
微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第九章习题详解
微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第一章习题详解
微积分定积分练习题(有答案)
(微积分)第一章
微积分(经管类)第五章答案
k k ； 4、发散， 1； 5、过点x 平行于y 轴的直 线左边,曲线)(x f y =和x 轴所围图形的面积 . 二、1、 1 2 -p p ； 2、π； 3、!n ； 4、发散；
微积分第一章
第五章习题与答案高等数学
《高等数学》-各章知识点总结第1章
1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版