空间向量与平行关系

《空间向量与平行关系》

教学目标：

知识与技能：掌握线线平行，线面平行，面面平行的传统，基底，坐标方法.

过程与方法：在简单例题中利用这三种方法，循序渐进，慢慢熟练掌握.

情感与价值：通过对线，面平行，两种方法的比较.发现其中的数学规律，

学会总结，慢慢理解加深对数学的认识.

教育目标：数学课到底教什么？

一教知识：传授人类在历史发展的过程中对各类事物观察、归纳、推演和论证过的共有的和特有的稳定属性，即事物在变化过程中保持的不变性。如三角形（类），其内角和

为180度（共有属性），而多边形的外角和为360度（更高层面的总结）.

二教方法和思想：引导学生重演知识的发生发展的过程，感受人类先哲们探索的艰辛，体会数学先驱们天才的思想，从而学会观察事物，提出问题并加以解决，让数学知识

这“冰冷的美丽唤出火热的思考”。

三引导学生融会贯通:简化记忆，构建起自己的数学结构，即总结出自己解决问题的“中途点”，以期能站在前人的肩膀上思考和分析问题.

教学难点：线，面平行传统方法的回顾

处理办法：在学案进行复习巩固

教学重点：用向量解决线，面平行问题

处理办法：通过例题循序渐进

教学设计

一.（复习回顾）

2.方向向量：在空间中直线的方向上用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线

的一个方向向量.法向量：垂直于平面的向量（非零向量）

向量垂直：0=??⊥→→→→b a b a （两非零向量）“思考为什么要强调两非零向量”？

二.新知引入：向量法

1.设直线m l ，的方向向量分别为→→b a ,，平面βα，的法向量分别为→→v u ,，则：

R

b a b a m l ∈=??→→→→λλ,∥∥0

=??⊥?→→→→u a u a l α∥R

v u v u ∈=??→→→→λλβα,∥∥1.线线平行

①设直线n m ,的方向向量分别为→→b a ,，根据下列条件判断直线n m ,的位置关系：()2,1,2--=→a ()6,3,6--=→b ，()2,1,2--=→a ()

2,1,2--=→b ，②已知→1e ，→2e 是空间任意两个非零向量，根据下列条件判断直线n m ,的位置关系：→→→-=2132e e a →→→

+-=2132e e b →

→→-=2132e e a →

→

→

-=2

164e e b 2.线面平行

①设直线l 的方向向量为→a ，平面α的法向量为→u ，且直线l 不在平面α内.若0=?→→u a ，则(

)A．l α∥B．l ?α

C．l ⊥αD．l ?α或l α

∥②设直线l 的方向向量为→a ，平面α的法向量为→u ，若0=?→→u a ，则()

A．l α∥B．l ?α

C．l ⊥αD．l ?α或l α∥

③设直线m 的方向向量为→a ，平面σ的法向量为，→u 直线m 不在平面α内.

根据下列条件判断直线m 与平面σ的位置关系：()5,2,2-=→a ()4,46-=→，u ()5,2,2-=→a ()

2,23-=→，u 3.面面平行

①设平面βα，的法向量分别为→→v u ,，根据下列条件判断直线βα，的位置关系()2,2,1-=→u ()4,4,2--=→v ()6,6,3-=→u ()

4,4,2--=→v ②设平面σ的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－1，－2，k )，若βα∥，则k ＝(

)

A．2B．－4

C．4D．－2

在处理空间立体几何类题目的时候，可以考虑用这3种方法??

??????）坐标（空间直角坐标系基底向量法传统方法.2.1下面就从这个题目简单的体会一下三种方法处理问题的过程吧.

例.已知正方体1111D C B A ABCD -棱长为2，F E ,分别是1BB 和1DD 的中点：求证：（1）AE FC ∥1（尝试上面总结的3种方法）

（2）∥1FC 平面ADE

（3）平面ADE ∥平面F

B C 11方法一：（传统方法）

证明：

（1）过E 点作1CC 的垂线，与1CC 交于点O ，连接DO

1111D C B A ABCD -是正方体

则有=∥EO BC =

∥AD ,即四边形AEOD 为平行四边形.∴DO

AE ∥ E 分别是1BB 的中点，即O 为中点1

CC 又因为F 为1DD 的中点，即FD =

∥1OC ，即四边形1FDOC 为为平行四边形.∴DO FC ∥1，即AE

FC ∥1（2）由（1）可知，AE

FC ∥1则????????ADE FC ADE AE AE

FC 平面平面∥11∥1FC 平面ADE

（3）AD C B AD BC BC C B ∥∥∥1111????，AED C B AED C B AED AD AD C B 平面∥平面平面∥111111???

?????由（2）可知∥1FC 平面ADE ，则

AED

B F

C AE

D C F AED C B C C B FC B FC C B B FC FC 平面∥平面平面∥平面∥平面平面1111111111111111?????

?????

=??

1.已知正方体1111D C B A ABCD -棱长为2，F E ,分别是1BB 和1DD 的中点：求证：（1）AE FC ∥1（尝试上面总结的3种方法）

（2）∥1FC 平面ADE

（3）平面ADE ∥平面F

B C 11（1）解：法2（用“基底”）

法3（用“坐标”）

由于（2），（3）用基底不便于处理问题，

所以（2）（3）在此处采用“坐标法”（2）解：因为1111D C B A ABCD -是正方体，可以?→?DA ，?→?DC ，?→?1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴

建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .

（3）

空间向量与平行关系

《空间向量与平行关系》 教学目标： 知识与技能：掌握线线平行，线面平行，面面平行的传统，基底，坐标方法. 过程与方法：在简单例题中利用这三种方法，循序渐进，慢慢熟练掌握. 情感与价值：通过对线，面平行，两种方法的比较.发现其中的数学规律， 学会总结，慢慢理解加深对数学的认识. 教育目标：数学课到底教什么？ 一教知识：传授人类在历史发展的过程中对各类事物观察、归纳、推演和论证过的共有的和特有的稳定属性，即事物在变化过程中保持的不变性。如三角形（类），其内角和 为180度（共有属性），而多边形的外角和为360度（更高层面的总结）. 二教方法和思想：引导学生重演知识的发生发展的过程，感受人类先哲们探索的艰辛，体会数学先驱们天才的思想，从而学会观察事物，提出问题并加以解决，让数学知识 这“冰冷的美丽唤出火热的思考”。 三引导学生融会贯通:简化记忆，构建起自己的数学结构，即总结出自己解决问题的“中途点”，以期能站在前人的肩膀上思考和分析问题. 教学难点：线，面平行传统方法的回顾 处理办法：在学案进行复习巩固 教学重点：用向量解决线，面平行问题 处理办法：通过例题循序渐进 教学设计 一.（复习回顾）

2.方向向量：在空间中直线的方向上用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线 的一个方向向量. 法向量：垂直于平面的向量（非零向量） 向量垂直：0=??⊥→→→→b a b a （两非零向量）“思考为什么要强调两非零向量”？ 二.新知引入：向量法 1. 设直线m l ，的方向向量分别为→→b a ,，平面βα，的法向量分别为→→v u ,，则： R b a b a m l ∈=??→→→→λλ,∥∥ 0=??⊥?→→→→u a u a l α∥ R v u v u ∈=??→→→→λλβα,∥∥ 1.线线平行 ① 设直线n m ,的方向向量分别为→→b a ,，根据下列条件判断直线n m ,的位置关系： ()2,1,2--=→a ()6,3,6--=→b ， ()2,1,2--=→a ()2,1,2--=→ b ， ②已知→1e ，→ 2 e 是空间任意两个非零向量，根据下列条件判断直线n m ,的位置关系： →→→-=2132e e a →→→+-=2132e e b →→→-=2132e e a →→→-=2164e e b 2.线面平行 ①设直线l 的方向向量为→a ，平面α的法向量为→u ，且直线l 不在平面α内.若0=?→→u a ，则( ) A ．l α∥ B ．l ?α C ．l ⊥α D ．l ?α或l α∥ ②设直线l 的方向向量为→a ，平面α的法向量为→u ，若0=?→→u a ，则( ) A ．l α∥ B ．l ?α C ．l ⊥α D ．l ?α或l α∥ ③设直线m 的方向向量为→a ，平面σ的法向量为，→u 直线m 不在平面α内. 根据下列条件判断直线 m 与平面σ的位置关系： ()5,2,2-=→a ()4,46-=→，u ()5,2,2-=→a ()2,23-=→ ，u 3.面面平行 ①设平面βα，的法向量分别为→→v u ,，根据下列条件判断直线β α，的位置关系 ()2,2,1-=→u ()4,4,2--=→v ()6,6,3-=→u ()4,4,2--=→v ②设平面σ的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－1，－2，k )，若βα∥，则k ＝( ) A ．2 B ．－4 C ．4 D ．－2

人教版数学高二A版选修2-1学业测评空间向量与平行关系

学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．l 1的方向向量为v 1＝(1，2，3)，l 2的方向向量v 2＝(λ，4，6)，若l 1∥l 2，则λ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解析】 ∵l 1∥l 2，∴v 1∥v 2，则1 λ＝2 4，∴λ＝2. 【答案】 B 2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．在平面内 D ．平行或在平面内 【解析】 ∵AB →＝λCD →＋μCE →，∴AB →，CD →，CE →共面，则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内． 【答案】 D 3．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中，在平面α内的是( ) A ．(1，－1，1) B.? ? ???1，3，32 C.? ? ? ??1，－3，32 D.? ? ? ??－1，3，－32

【解析】 对于B ，AP →＝? ?? ??－1，4，－12， 则n ·AP →＝(3，1，2)·? ?? ??－1，4，－12 ＝0， ∴n ⊥AP →，则点P ? ?? ??1，3，32在平面α内． 【答案】 B 4．已知直线l 的方向向量是a ＝(3，2，1)，平面α的法向量是u ＝(－1，2，－1)，则l 与α的位置关系是( ) A ．l ⊥α B ．l ∥α C ．l 与α相交但不垂直 D ．l ∥α或l ?α 【解析】 因为a ·u ＝－3＋4－1＝0，所以a ⊥u .所以l ∥α或l ?α. 【答案】 D 5．若u ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( ) A ．(0，－3，1) B ．(2，0，1) C ．(－2，－3，1) D ．(－2，3，－1) 【解析】 同一个平面的法向量平行，故选D. 【答案】 D 二、填空题 6．若平面α，β的法向量分别为(－1，2，4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．

立体几何中的向量方法—证明平行和垂直

2017届高二数学导学案编写 审核 审批 课题：立体几何中的向量方法—证明平行和垂直 第 周 第 课时 班 组 组评 姓名 师评 【使用说明】 1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【教学难点】 理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【学习方法】学案导学法，合作探究法。 【自主学习·梳理基础】 1、 考点深度剖析 利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向． 2．【课本回眸】 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 ①直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB → 为直线l 的方向向量，与AB → 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量． ②平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量， 则求法向量的方程组为??? ?? n·a ＝0， n·b ＝0. 2.用向量证明空间中的平行关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. ②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝xv 1＋yv 2. ③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . ④设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1∥u 2. 3. 用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. ②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 4.共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)， a ⊥ b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． 【课堂合作探究】 探究一：如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中， N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在 棱 1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP . 当1=λ时，证明：直线//1BC 平面EFPQ . 探究二：如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明： (1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE .

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.2.1空间向量与平行关系课时作业 新人教A版选修2-1

空间向量与平行关系 (30分钟50分) 一、选择题(每小题3分,共18分) 1.若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,有可能使l∥α的是( ) A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 【解析】选D.若l∥α,则a·n=0.而选项A中a·n=-2.选项B中a·n=1+5=6.选项C中a·n=-1,选项D 中a·n=-3+3=0. 【变式训练】已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段AB与坐标平面( ) A.xOy平行 B.xOz平行 C.yOz平行 D.yOz相交 【解析】选C.因为=(9,2,1)-(9,-3,4)=(0,5,-3),故∥平面yOz.又A(9,-3,4),B(9,2,1)不在平面yOz内,所以AB∥平面yOz. 2.(2014·郑州高二检测)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( ) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 【解析】选B.分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系. 因为A1M=AN=a,

所以M, N. 所以=. 又C1(0,0,0),D1(0,a,0), 所以=(0,a,0). 所以·=0. 所以⊥. 因为是平面BB1C1C的一个法向量,且MN?平面BB1C1C, 所以MN∥平面BB1C1C. 【一题多解】选B.=++, ① =++. ② 因为A1M=AN=a, 所以=,=. ①×2+②得3=2+, 而=,所以=+. 故MN∥平面BB1C1C. 3.(2014·泰安高二检测)以下四组向量: ①a=(1,-2,1),b=(-1,2,-1); ②a=(8,4,0),b=(2,1,0); ③a=(1,0,-1),b=(-3,0,3); ④a=,b=(4,-3,3). 其中a,b分别为直线l1,l2的方向向量,则它们互相平行的是( ) A.②③ B.①④ C.①②④ D.①②③④ 【解析】选D.因为①a=(1,-2,1)=-b=-(-1,2,-1),

空间向量与平行关系

临清实验高中高二年级数学学科新授课导学案 编写人：国辉 ， 审核人：周静， 使用日期：12,27 编号：046 3.2.1 空间向量与平行关系 一、学习目标 1.理解直线的方向向量和平面的法向量， 2.能用向量语言表述和证明空间平行问题。 二、自主学习，合作探究 (一）知识导学 1．直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线 或 的向量，一条直线的方向向量有 个. 2．平面的法向量 直线l α⊥，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的 . 3．空间中平行关系的向量表示 1）线线平行 设直线l 、m 的方向向量分别为111222(,,),(,,)a a b c b a b c ==则l ∥m ? ? ＝ . 2）线面平行 设直线l 的方向向量为111(,,)a a b c =，平面α的法向量为222(,,)u a b c =，则l ∥α? ? ＝0? . 3）面面平行 设平面α、β的法向量分别为111(,,)u a b c =，222(,,)v a b c =，则α∥β? ? ? . 4）平面法向量的求法 ①当已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可作为平面的法向量. ②当已知平面α内两不共线向量123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==时，常用待定系数法求法向量： 设法向量(,,)n x y z =，由0 a n b n ??=???=??，得12312300a x a y a z b x b y b z ++=??++=?， 在上述方程中，对x 、y 、z 中的任一个赋值，求出另两个，所得n 即为平面的法向量. ★ 特别提醒 平面的法向量一定是非零向量，赋值时，要保证(0,0,0).n ≠ （二）例题解析 题型一：利用方向向量和法向量判定线面位置关系 例1、（1）设a ，b 分别是1l ，2l 的方向向量，判断1l ，2l 的位置关系 ①(2,3,1)a =-，(6,9,3)b =-- ②(5,0,2)a =，(0,4,0)b = （2）设,μυ分别是平面,αβ的法向量，判断,αβ的位置关系。 ①(1,1,2)μ=-，1(3,2,)2 υ=- ②(0,3,0)μ=，(0,5,0)υ=- （3）设μ是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，判断直线l 与α的位置关系。 ①(2,2,1)μ=-，(3,4,2)a =- ②(0,2,3)μ=-，(0,8,12)a =- （变式训练）根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系。 （1）直线1l ，2l 的方向向量分别是(1,3,1)a =--，(8,2,2)b = （2）平面,αβ的法向量分别是(1,3,0)μ=，(3,9,0)υ=-- （3）直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是(1,4,3)a =--，(2,0,3)μ=

苏教版数学高二- 选修2-1素材 3.2利用空间向量解决形形色色的平行问题

3.2 例析利用空间向量解决形形色色的平行问题 一．证明线线平行 证明两直线平行可用112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈或 3 12123 //a a a a b b b b ? ==. 例1：已知正方体''''ABCD A B C D -，E 、F 分别为'AA 和'CC 的中点.求证：//'BF ED . 证明：不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系D xyz -，则相关各点坐标为(1,1,0)B ，1 (0,1,)2 F ，1 (1,0,)2 E ，'(0,0,1)D . 11 (0,1,)(1,1,0)(1,0,)22 BF =-=-， 11 '(0,0,1)(1,0,)(1,0,)22 ED =-=-. ∵'1ED BF =?， ∴'//ED BF 即//'BF ED . 例2：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 已知：直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足,求证：//OA BD . 证明：以点O 为原点，以射线OA 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，i ，j ， k 为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设(,,)BD x y z =. ∵BD α⊥，∴BD i ⊥，BD j ⊥. ∴(,,)(1,0,0)0BD i x y z x ?=?==， (,,)(0,1,0)0BD j x y z y ?=?==， ∴(0,0,)BD z zk == ∴//BD k . ∵O 、B 为不同两点， ∴//BD OA . 二．证明线面平行 例3：如图已知四边形ABCD 和ABEF 是两个正方形，MN 分别在其对角线FB 、AC 上，且FM AN =.求证：//MN 平面EBC . D B O A α

利用空间向量证明面面平行垂直

利用空间向量证明面面平行垂直 1.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．证 明：平面ADE⊥平面A1D1F. 2.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在棱BB1 上，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H．求证：平面EGF//平面ABD 3.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD， PA=1，M为侧棱PD的中点．证明：平面MAC⊥平面PCD

4.如图，四边形是矩形，平面，，为中点． 证明：平面平面 5.如图，在底面是矩形的四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4， E是PD的中点．求证：平面PDC⊥平面PAD 6.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点． 求证：平面EAC⊥平面AB1C

7.如图，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点． 求证：平面ABB1A1⊥平面A1BD PD。 8.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD//QA，QA=AB=1 2证明：平面PQC⊥平面DCQ

答案和解析 1.解：以D 为原点，向量DA ????? ，DC ????? ，DD 1???????? 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立坐标系如图， 设正方体的棱长为1． 则D(0,0，0)，A(1,0，0)，E (1,1,1 2)，C 1(0,1，1)，M (1,0,1 2)， DA ????? =(1,0，0)，DE ?????? =(1,1,12)，C 1M ???????? =(1,?1,?1 2 )． 设平面ADE 的法向量为m ??? =(a,b ，c)， 则{DA ????? ·m ??? =0 DE ?????? ·m ??? =0?{a =0,a +b +12 c =0.令c =2，得m ??? =(0,?1,2)， 由D 1(0,0，1)，A 1(1,0，1)，F (0,12,0)，得D 1A 1?????????? =(1,0，0)，D 1F ??????? =(0,1 2 ,?1)， 设平面A 1D 1F 的法向量为n ? =(x,y ，z)，则{D 1A 1?????????? ·n ? =0D 1F ??????? ·n ? =0?{x =0,12y ?z =0. 令y =2，则n ? =(0,2，1)．∵m ??? ·n ? =(0,?1,2)·(0,2，1)=0?2+2=0， ∴m ??? ⊥n ? .∴平面ADE ⊥平面A 1D 1F . 2.证明：如图所示建立空间直角坐标系， 设AB =a ，则A 1(a,0，0)，B 1(0,0，0)，C 1(0,2，0)，F(0,1，0)，E(0,0，1)， A(a,0，4)，B(0,0，4)，D(0,2，2)，G(a 2,1，0)． 所以B 1D ???????? =(0,2，2)，AB ????? =(?a,0，0)，BD ?????? =(0,2，?2)． AB ????? =(?a,0，0)，BD ?????? =(0,2，?2)，GF ????? =(?a 2,0，0)，EF ????? =(0,1，?1)，所以AB ????? =2GF ????? ，BD ?????? =2EF ????? ，所以GF ????? //AB ????? ，EF ????? //BD ?????? ?所以GF // AB ，EF // BD ． 又GF ∩EF =F ，AB ∩BD =B ，所以平面EGF //平面ABD ．

高中数学 错误解题分析 3-2第1课时 空间向量与平行关系

3.2 立体几何中的向量方法 第1课时 空间向量与平行关系 双基达标 限时20分钟 1．若A (－1，0，1)，B (1，4，7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为 ( )． A ．(1，2，3) B ．(1，3，2) C ．(2，1，3) D ．(3，2，1) 答案 A 2．若u ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )． A ．(0，－3，1) B ．(2，0，1) C ．(－2，－3，1) D ．(－2，3，－1) 答案 D 3．若平面α与β的法向量分别是a ＝(1，0，－2)，b ＝(－1，0，2)，则平面α与β的位置 关 系 是 ( )． A ．平行 B ．垂直 C ．相交不垂直 D ．无法判断 解析 ∵a ＝(1，0，－2)＝－(－1，0，2)＝－b ，∴a∥b ，∴α∥β. 答案 A 4．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，－8，1)，平面α的法向量为(1，y ，2)，则y ＝________． 解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量(2，－8，1)与平面α的法向量(1，y ，2)垂直，∴2×1－8×y ＋2＝0，∴y ＝12. 答案 12 5．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则 k ＝______． 解析 由α∥β得1－2＝2－4＝－2 k ，解得k ＝4.

答案 4 6．如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2PA 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q 、R 分别是O 1B 1、AE 的中点，求证：PQ ∥RS . 证明 如图所示，建立空间直角坐标系，则A (3，0， 0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4， 2)，E (3，4，0) ∵AP ＝2PA 1， ∴AP →＝2PA 1→＝23AA 1→，即AP →＝2 3(0，0，2)＝(0，0，43)， ∴P 点坐标为(3，0，4 3 )． 同理可得Q (0，2，2)，R (3，2，0)，S (0，4，2 3)． ∴PQ →＝(－3，2，23)＝RS →，∴PQ →∥RS → ， 又∵R ?PQ ，∴PQ ∥RS . 综合提高（限时25分钟） 7．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3，4)，B (9，2，1)，则线段AB 与坐标平面 ( )． A ．xOy 平行 B ．xOz 平行 C ．yOz 平行 D ．yOz 相交 解析 因为AB → ＝(9，2，1)－(9，－3，4)＝(0，5，－3)，所以AB ∥平面yOz . 答案 C 8．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中在 平 面 α 内 的 是 ( )． A ．(1，－1，1) B ．(1，3，3 2) C ．(1，－3，32) D ．(－1，3，－3 2 ) 解析 要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量PA → 与平面α的法向量n 是否垂直，即 PA →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，PA →＝(1，0，1)，则PA → ·n

空间向量巧解平行,垂直关系

高中数学空间向量巧解平行、垂直关系 编稿老师刘咏霞一校黄楠二校杨雪审核郑建彬 一、考点突破 知识点课标要求题型说明 空间向量巧解 平行、垂直关系 1. 能够运用向量的坐标判断两个 向量的平行或垂直。 2. 理解直线的方向向量与平面的 法向量。 3. 能用向量方法解决线面、面面的 垂直与平行问题，体会向量方法在 立体几何中的作用。 选择题 填空题 解答题 注意用向量方 法解决平行和垂直 问题中坐标系的建 立以及法向量的求 法。 二、重难点提示 重点：用向量方法判断有关直线和平面的平行和垂直关系问题。 难点：用向量语言证明立体几何中有关平行和垂直关系的问题。 考点一：直线的方向向量与平面的法向量 1. 直线l上的向量a或与a共线的向量叫作直线l的方向向量。 2. 如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，此时向量a叫作平面α的法向量。 【核心归纳】

① 一条直线的方向向量有无数多个，一个平面的法向量也有无数多个，且它们是共线的。 ② 在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一确定的。 【随堂练习】 已知A （1，1，0），B （1，0，1），C （0，1，1），则平面ABC 的一个法向量的单位向量是（ ） A. （1，1，1） B. C. 111 (,,) 333 D. (333 - 思路分析：设出法向量坐标，列方程组求解。 答案：设平面ABC 的一个法向量为n ＝（x ，y ，z ），AB u u u r ＝（0，－1，1），BC uuu r ＝（－ 1，1，0），AC u u u r ＝（－1，0，1），则·0 ·0· 0AB y z BC x y AC x z ?=-+=?? =-+=??=-+=??n n n u u u r u u u r u u u r ，∴x ＝y ＝z ， 又∵单位向量的模为1，故只有B 正确。 技巧点拨：一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下： （1）设出平面的法向量为n ＝（x ，y ，z ）。 （2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量a ＝（a 1，b 1，c 1），b ＝（a 2，b 2，c 2）。 （3）根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组· 0· 0.=??=?n a n b （4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。 考点二：用向量法证明空间中的平行关系、垂直关系

向量方法(一)证明平行与垂直

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合.( ) (4)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行.( ) 2.已知平面α，β的法向量分别为n 1＝(2，3，5)，n 2＝(－3，1，－4)，则( ) A.α∥β B.α⊥β C.α，β相交但不垂直 D.以上均不对 3.若直线l 的方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为n ＝(－2，0，－4)，则( ) A.l ∥α B.l ⊥α C.l ?α D.l 与α相交 4.已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( ) A.(－1，1，1) B.(1，－1，1) C.??? ?－33，－33，－33 D.????33，33，－33 5.所图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的 中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________. 最新考纲 1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理. 知识梳理 1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a 的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，则称此向量a 为直线l 的方向向量. (2)平面的法向量：直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量. 2.空间位置关系的向量表示

空间向量与平行关系-课时作业

学习资料[文档副标题] [日期] 世纪金榜 [公司地址]

空间向量与平行关系 （45分钟 100分） 一、选择题(每小题6分,共30分) 1.直线l的一个方向向量为n=(1,3,a),平面α的一个法向量为k=(b,2,3),若 l∥α,则a,b应满足的关系式为( ) A.3a+b+6=0 B.a=3b C.3a-b+6=0 D.a=-3b 2.若直线a与b的一个方向向量分别是a=(1,2,4),b=(-1,-2,m),若a∥b,则m 的值为( ) A.4 B.-4 C.-2 D.2 3.设a,b分别是不重合的直线l1,l2的一个方向向量,则根据下列条件能判断l1∥l2的是( ) ①a=(,1,0),b=(-2,-4,0); ②a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1); ③a=(5,0,2),b=(0,1,0); ④a=(-2,-1,1),b=(4,-2,-8). A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E1为A1C1的中点,E是AC的中点,则与CE1平行的直线为( ) A.AD B.A1C1 C.EB1 D.EA1 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为 A1B,AC的中点,则MN与平面B1BCC1的位置关系是( ) A.相交 B.平行

C.垂直 D.不能确定 二、填空题(每小题8分,共24分) 6.(2013·济南高二检测)设平面α的一个法向量为(3,2,-1),平面β的一个法向量为(-2,-,k),若α∥β,则k等于. 7.若直线l的一个方向向量为a=(3,2,-1),直线m∥l,则直线m的单位方向向量为. 8.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为BB1的中点,F为AD的中点,以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则平面D1EF的法向量是. 三、解答题(9题,10题14分,11题18分) 9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D的中点为E,BD的中点为F,证明:CD1∥EF. 10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1, B1C1的中点. 求证:平面AMN∥平面EFBD. 11.(能力挑战题)已知:四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD, 底面ABCD是菱形,且PA=AB=2,∠ABC=60°,BC,PD的中点 分别为E,F.在线段AB上是否存在一点G,使得AF∥平面 PCG?若存在,指出G在AB上的位置并给出证明;若不存在, 请说明理由. 答案解析 1.【解析】选A.∵l∥α,∴n⊥k,即n·k=b+6+3a=0, ∴3a+b+6=0. 2.【解析】选B.∵a∥b,∴a∥b,故m=-4.

数学高二-选修2素材 2.4利用空间向量解决形形色色的平行问题

例析利用空间向量解决形形色色的平行问题 一．证明线线平行 证明两直线平行可用112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈或 3 12123 //a a a a b b b b ? ==. 例1：已知正方体''''ABCD A B C D -，E 、F 分别为'AA 和'CC 的中点.求证：//'BF ED . 证明：不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系D xyz -，则相关各点坐标为(1,1,0)B ，1 (0,1,)2 F ，1 (1,0,)2 E ，'(0,0,1)D . 11 (0,1,)(1,1,0)(1,0,)22 BF =-=-， 11 '(0,0,1)(1,0,)(1,0,)22 ED =-=-. ∵'1ED BF =?， ∴'//ED BF 即//'BF ED . 例2：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 已知：直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足,求证：//OA BD . 证明：以点O 为原点，以射线OA 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，i ，j ， k 为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设(,,)BD x y z =. ∵BD α⊥，∴BD i ⊥，BD j ⊥. ∴(,,)(1,0,0)0BD i x y z x ?=?==， (,,)(0,1,0)0BD j x y z y ?=?==， ∴(0,0,)BD z zk == ∴//BD k . ∵O 、B 为不同两点， ∴//BD OA . 二．证明线面平行 例3：如图已知四边形ABCD 和ABEF 是两个正方形，MN 分别在其对角线FB 、AC 上，且FM AN =.求证：//MN 平面 D B O A α E

空间向量与平行关系

空间向量与平行关系 （45分钟 100分） 一、选择题(每小题6分,共30分) 1.直线l的一个方向向量为n=(1,3,a),平面α的一个法向量为k=(b,2,3),若 l∥α,则a,b应满足的关系式为( ) A.3a+b+6=0 B.a=3b C.3a-b+6=0 D.a=-3b 2.若直线a与b的一个方向向量分别是a=(1,2,4),b=(-1,-2,m),若a∥b,则m 的值为( ) A.4 B.-4 C.-2 D.2 3.设a,b分别是不重合的直线l1,l2的一个方向向量,则根据下列条件能判断l1∥l2的是( ) ①a=(错误!未找到引用源。,1,0),b=(-2,-4,0); ②a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1); ③a=(5,0,2),b=(0,1,0); ④a=(-2,-1,1),b=(4,-2,-8). A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E1为A1C1的中点,E是AC的中点,则与CE1平行的直线为( ) A.AD B.A1C1 C.EB1 D.EA1 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为 A1B,AC的中点,则MN与平面B1BCC1的位置关系是( ) A.相交 B.平行

C.垂直 D.不能确定 二、填空题(每小题8分,共24分) 6.(2013·济南高二检测)设平面α的一个法向量为(3,2,-1),平面β的一个法向量为(-2,-错误!未找到引用源。,k),若α∥β,则k等于. 7.若直线l的一个方向向量为a=(3,2,-1),直线m∥l,则直线m的单位方向向量为. 8.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为BB1的中点,F为AD的中点,以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则平面D1EF的法向量是. 三、解答题(9题,10题14分,11题18分) 9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D的中点为E,BD的中点为F,证明:CD1∥EF. 10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1, B1C1的中点. 求证:平面AMN∥平面EFBD. 11.(能力挑战题)已知:四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD, 底面ABCD是菱形,且PA=AB=2,∠ABC=60°,BC,PD的中点 分别为E,F.在线段AB上是否存在一点G,使得AF∥平面 PCG?若存在,指出G在AB上的位置并给出证明;若不存在, 请说明理由. 答案解析 1.【解析】选A.∵l∥α,∴n⊥k,即n·k=b+6+3a=0, ∴3a+b+6=0. 2.【解析】选B.∵a∥b,∴a∥b,故m=-4. 3.【解题指南】本题为求解适合平行的充分条件,可逐一验证,因此适用排除法.

第1章 1.4 1.4.1 第1课时 空间向量与平行关系

1.4空间向量的应用 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时空间向量与平行关系 学 习目标核心素养 1.了解空间中点、直线和平面的向量表示． 2．掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法．(重点) 3．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)1.通过空间中点、直线和平面的向量表示的学习，培养学生直观想象和逻辑推理的核心素养． 2．通过直线的方向向量和平面法向量的学习，培养学生数学运算的核心素养． 3．借助利用空间向量解决平行问题的学习，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养. (1)如何确定一个点在空间的位置？ (2)在空间中给一个定点A和一个定方向(向量)，能确定一条直线在空间的位置吗？ (3)给一个定点和两个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的位置吗？ (4)给一个定点和一个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的位置吗？ 1．空间中点、直线和平面的向量表示 点P的位置向 量在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量OP → 表示，我们把向量OP → 称为点P的位置向量. 空间直线的向量表示式a是直线l的方向向量，在直线l上取AB → ＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP → ＝OA → ＋t a，也可以表示为OP → ＝OA → ＋tAB → .这两个式子称为空间直线的向量表示式. 空间平面ABC 的向量表示式设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使得OP → ＝x a＋y b.那么取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使OP → ＝OA → ＋xAB →

用空间向量解立体几何问题方法归纳

用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4) (1)线面平行：l ∥α?a ⊥u ?a ·u ＝0?a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥α?a ∥u ?a ＝k u ?a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥β?u ∥v ?u ＝k v ?a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥β?u ⊥v ?u ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0 例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2. (1)求证：EF ∥平面P AB ； (2)求证：平面P AD ⊥平面PDC . [证明] 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空 间直角坐标系如图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，所以E ? ????1 2，1，12， F ? ????0，1，12，EF ＝? ?? ?? －12，0，0，PB ＝(1,0，－1)，PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)，DC ＝(1,0,0)，AB ＝(1,0,0)． (1)因为EF ＝－1 2AB ，所以EF ∥AB ，即EF ∥AB . 又AB ?平面P AB ，EF ?平面P AB ，所以EF ∥平面P AB . (2)因为AP ·DC ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD ·DC ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， 所以AP ⊥DC ，AD ⊥DC ，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC . 又AP ∩AD ＝A ，AP ?平面P AD ，AD ?平面P AD ，所以DC ⊥平面P AD .因为DC ?平面PDC ， 所以平面P AD ⊥平面PDC . 使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直. 例2、在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上， 且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点． 求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ； (2)平面EGF ∥平面ABD .

专题08利用空间向量证明平行、垂直(原卷版)-2021年高考数学(理)立体几何突破性讲练

2021年高考数学（理）立体几何突破性讲练 08利用空间向量证明平行、垂直 一、考点传真： 能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系 二、知识点梳理： 证明平行、垂直问题的思路 (1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键． (2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算． 3其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可. 三、例题： 例1.（2020年浙江卷，19）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ACFD ⊥平面ABC ，45ACB ACD ∠=∠=?， 2DC BC =。 （1）证明：EF DB ⊥； （2）求直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值. 例2.（2020年全国1卷理数，18）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =.ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，6PO =.

(1)证明：PA ⊥平面PBC ； (2)求二面角B PC E --的余弦值. 例3. （2019江苏卷）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ． 例4.（2016年北京卷） 如图，在四棱锥中，平面PAD ⊥平面，， ，，，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； P ABCD -ABCD PA PD ⊥PA PD =AB AD ⊥1AB =2AD =AC CD = =PD ⊥PAB PB PCD

空间向量巧解平行、垂直关系

一、考点突破 考点一：直线的方向向量与平面的法向量 ，此时向量a叫作平面α的法向量。 【核心归纳】 ①一条直线的方向向量有无数多个，一个平面的法向量也有无数多个，且它们是共线的。 ②在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一确定的。

【随堂练习】 已知A（1，1，0），B（1，0，1），C（0，1，1），则平面ABC的一个法向量的单位向量是（） A. （1，1，1） B. () 333 C. 111 (,,) 333 D. (,) 333 - 思路分析：设出法向量坐标，列方程组求解。 · · · AB y BC x AC x ?=- ?? =- ? ? =- ?? n n n 又∵单位向量的模为正确。 一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下： ①用向量法解决立体几何问题是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想。 ②用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：

建立立体图形与空间 向量的联系，用空间 向量表示问题中涉及 的点、直线、平面， 把立体几何问题转化 为向量问题。 通过向量运算，研究 点、直线、平面之间 的位置关系以及它们 之间的距离和夹角等 问题。 把向量的运算结果 “翻译”成相应的几 何意义。 例题1（浙江改编）如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD， AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC。证明：PQ∥平面BCD。 思路分析：利用直线的方向向量和平面的法向量垂直证明线面平行。 答案：证明：如图，取BD的中点O，以O为原点，OD、OP所在射线为y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz。 由题意知，A（0，2，2），B（0，－2，0），D（0，2，0）。 设点C的坐标为（x0，y0，0）。因为3 AQ QC =，所以Q 00 3231 ,, 4442 x y ?? + ? ? ?? 。 因为M为AD的中点，故M（0，2，1），又P为BM的中点，故P 1 0,0, 2 ?? ? ?? ， 所以PQ＝ 00 323 ,,0 444 x y ?? + ? ?? 。 又平面BCD的一个法向量为a＝（0，0，1），故PQ·a＝0。 又PQ?平面BCD，所以PQ∥平面BCD。 技巧点拨：解决此类问题的依据是要根据线面平行的判定定理，可证直线的方向向量与平面内某一向量平行，也可证直线的方向向量与平面的法向量垂直。