2018年山东省青岛市黄岛区中考数学一模试卷含答案解析

2018年山东省青岛市黄岛区中考数学一模试卷含答案解析

2018年山东省青岛市黄岛区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．（3分）﹣的相反数是（）

A．3 B．﹣3 C．D．﹣

2．（3分）将数据162000用科学记数法表示为（）

A．0.162×105B．1.62×105C．16.2×104D．162×103

3．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A． B． C． D．

4．（3分）下列运算正确的是（）

A．3a﹣1=B．a2+2a=3a3C．（﹣a）3?a2=﹣a6D．（﹣a）3÷（﹣a）2=﹣a

5．（3分）如图，把△ABC经过一定的变化得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为（x，y），那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为（）

A．（﹣x，y﹣2）B．（﹣x+2，y+2）C．（﹣x+2，﹣y）D．（﹣x，y+2）

6．（3分）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）

A．﹣=20 B．﹣=20 C．﹣= D．﹣=

7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠BAD=70°，则∠ACD的度数是（）

A．20°B．15°C．35°D．70°

8．（3分）如图，一次函数y1=k1x+2与反比例函数的图象交点A（m，4）和B（﹣8，﹣2）两点，若y1＞y2，则x的取值范围是（）

A．﹣8＜x＜4 B．x＜﹣8或0＜x＜4 C．x＜﹣8或x＞4 D．x＞4或﹣8＜x＜0

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9．（3分）计算：2﹣（3.14﹣π）0+（）﹣1=．

10．（3分）有一个不透明的袋子里装有若干个大小相同、质地均匀的白球，由于某种原因，不允许把球全部倒出来数，但可以从中每次摸出一个进行观察．为了估计袋中白球的个数，小明再放入8个除颜色外，大小、质地均相同的红球，摇匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中摇匀．这样不断重复摸球100次，其中有16次摸到红球，根据这个结果，可以估计袋中大约有白球个．

11．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，BN的长为．

12．（3分）已知抛物线y=3x2﹣4x+c的顶点在x轴上方，则c应满足的条件．13．（3分）将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，则图中阴影部分面积为cm2．

14．（3分）如图所示，已知点C（1，0），直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是．

三、作图题（本大题满分4分）用哪个圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。15．（4分）已知：如图，线段a，∠α．

求作：Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=∠α，AC=a．

四、解答题（本大题共9小题，满分74分）

16．（8分）（1）化简：﹣

（2）解不等式组：

17．（6分）甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4．从中随机摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出一张纸牌，若两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数，则甲胜；否则乙胜．这个游戏对双方公平吗？请列表格或画树状图说明理由．

18．（6分）航空测量飞机在与地面平行的直线上飞行，且与一座山的山顶在同一铅锤平面内，已知飞机的飞行高度为5000米，速度为50米/秒，飞机在点A处观测山顶P的俯角为32°，经过30秒后到达B处，这时观测山顶P的俯角为45°，求山的高度．（结果精确到1米，参考数

据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）

19．（6分）小颖对自己家近四年的家庭支出情况进行了统计，并制作了下列两个统计图，根据统计图回答下列问题：

（1）已知2015年小颖家教育支出为0.24万元，请将图l中的统计图补充完整：

（2）求近四年小颖家总支出的中位数和这四年平均每年的总支出；

（3）根据以上信息，请你估计小颖家2018年教育支出大约是多少万元？并说明你是怎样估计的．

20．（8分）学校计划选购甲、乙两种图书作为校园图书节的奖品，已知甲种图书的单价是乙种图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本．

（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？

（2）若学校计划购买这两种图书共40本，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量的一半，如何购买使得所需费用最少？最少费用是多少？

21．（8分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BD于点O，交BC于点E，AD∥BC，连接CD，

（1）求证：AO=EO；

（2）当△ABC满足什么条件时四边形ABED是正方形？请说明理由．

22．（10分）一座钢索桥的轮廓是抛物线型，如图所示，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离约5m．

（1）以地面BC所在的直线为x轴，以BC的垂直平分线OA所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；

（2）求柱EF的长度；

（3）拱桥下地平面是单向行车道，能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明理由；

（4）拱桥下方要悬挂宽为1米的电子警示牌，要求警示牌下底距地面不能少于4.4m，则电子警示牌最长为多长？

23．（10分）?探究：

（1）图1中，已知线段AB，A（﹣2，0），B（0，3），则线段AO的长为2，BO的长为3，所以线段AB的长为；把Rt△AOB向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到Rt△CDE．则Rt△CDE的顶点坐标分别为C（1，2），D（3，2），E（3，5）；此时线段CD的长为，DE的长为，所以线段CE的长为．

（2）在图2中，已知线段AB的端点坐标为A（a，b），B（c，d），求出图中AB的长AB=（用含a，b，c，d的代数式表示，写出推导过程）；

?归纳：无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A（a，b），B（c，d）时，线段AB的长为AB=．（不必证明）

（3）运用在图3中，一次函数y=﹣x+3与反比例函数y=的图象交点为A，B．

①求出交点A、B的坐标；

②线段AB的长；

③点P是x轴上动点，求PA+PB的最小值．

24．（12分）如图，在?ABCD中，AB=20cm，AD=30cm，∠ABC=60°，点Q从点B出发沿BA向点A匀速运动，速度为2cm/s，同时，点P从点D出发沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，过点P做PM⊥AD交AD于点M，连接PQ、QM．设运动的时间为ts（0＜t≤6）．

（1）当PQ⊥PM时，求t的值；

（2）设△PQM的面积为y（cm2），求y与x之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使得△PQM的面积是?ABCD面积的？若存在，求出相应t的值；若不存在，请说明理由；

（4）过点M作MN∥AB交BC于点N，是否存在某一时刻t，使得P在线段MN的垂直平分线上？若存在，求出相应t的值；若不存在，请说明理由；

2018年山东省青岛市黄岛区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．（3分）﹣的相反数是（）

A．3 B．﹣3 C．D．﹣

【解答】解：﹣的相反数是，

故选：C．

2．（3分）将数据162000用科学记数法表示为（）

A．0.162×105B．1.62×105C．16.2×104D．162×103

【解答】解：162 000=1.62×105．

故选：B．

3．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A． B． C． D．

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；

故选：D．

4．（3分）下列运算正确的是（）

A．3a﹣1=B．a2+2a=3a3C．（﹣a）3?a2=﹣a6D．（﹣a）3÷（﹣a）2=﹣a

【解答】解：A、3a﹣1=，此选项错误；

B、a2与2a不是同类项，不能合并，此选项错误；

C、（﹣a）3?a2=﹣a5，此选项错误；

D、（﹣a）3÷（﹣a）2=﹣a，此选项正确；

故选：D．

5．（3分）如图，把△ABC经过一定的变化得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为（x，y），那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为（）

A．（﹣x，y﹣2）B．（﹣x+2，y+2）C．（﹣x+2，﹣y）D．（﹣x，y+2）

【解答】解：∵把△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到△A′B′C′，

∴点P（x，y）的对应点P′的坐标为（﹣x，y+2）．

故选：D．

6．（3分）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）

A．﹣=20 B．﹣=20 C．﹣= D．﹣=

【解答】解：由题意可得，

﹣=，

故选：C．

7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠BAD=70°，则∠ACD的度数是（）

A．20°B．15°C．35°D．70°

【解答】解：连接BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵∠BAD=70°，

∴∠B=90°﹣∠BAD=20°，

∴∠ACD=∠B=20°．

故选：A．

8．（3分）如图，一次函数y1=k1x+2与反比例函数的图象交点A（m，4）和B（﹣8，﹣2）两点，若y1＞y2，则x的取值范围是（）

A．﹣8＜x＜4 B．x＜﹣8或0＜x＜4 C．x＜﹣8或x＞4 D．x＞4或﹣8＜x＜0

【解答】解：把B（﹣8，﹣2）代入得k2=﹣8×（﹣2）=16，

所以反比例函数解析式为y2=，

把A（m，4）代入y2=得4m=16，解得m=4，

所以A点坐标为（4，4），

当y1＞y2，x的取值范围为﹣8＜x＜0或x＞4．

故选：D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9．（3分）计算：2﹣（3.14﹣π）0+（）﹣1=6+2．

【解答】解：原式=2×3﹣1+3

=6+2．

故答案为：6+2．

10．（3分）有一个不透明的袋子里装有若干个大小相同、质地均匀的白球，由于某种原因，不允许把球全部倒出来数，但可以从中每次摸出一个进行观察．为了估计袋中白球的个数，小明再放入8个除颜色外，大小、质地均相同的红球，摇匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中摇匀．这样不断重复摸球100次，其中有16次摸到红球，根据这个结果，可以估计袋中大约有白球42个．

【解答】解：设袋中白球有x个，

根据题意，得：=，

解得：x=42，

经检验：x=42是原分式方程的解，

即估计袋中大约有白球42个．

故答案为：42．

11．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，

连接BM，MN，BN．∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，BN的长为．

【解答】解：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，

∴MN∥AD，MN=AD，

在Rt△ABC中，∵M是AC中点，

∴BM=AC，

∵AC=AD，

∴MN=BM，

∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC=30°，

∴BM=AC=AM=MC，

∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，

∵MN∥AD，

∴∠NMC=∠DAC=30°，

∴∠BM N=∠BMC+∠NMC=90°，

∴BN2=BM2+MN2，

∴MN=BM=AC=1，

∴BN=．

故答案为：．

12．（3分）已知抛物线y=3x2﹣4x+c的顶点在x轴上方，则c应满足的条件c＞．

【解答】解：抛物线y=3x2﹣4x+c的开口向上，

其顶点的纵坐标为：

=

=

由于抛物线的顶点在x轴上方，

所以＞0

解得：c＞

故答案为：c＞

13．（3分）将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，则图中阴影部分面积为4πcm2．

【解答】解：∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm ，

∴BC=2，AC=2

，∠A′BA=120°，∠CBC′=120°，

∴阴影部分面积=（S △A′BC′+S 扇形BAA ′）﹣S 扇形BCC′﹣S △ABC =×（42﹣22）=4πcm 2．

故答案为：4π．

14．（3分）如图所示，已知点C （1，0），直线y=﹣x +7与两坐标轴分别交于A ，B 两点，D ，E 分别是AB ，OA 上的动点，则△CDE 周长的最小值是 10 ．

【解答】解：如图，点C 关于OA 的对称点C′（﹣1，0），点C 关于直线AB 的对称点C″， ∵直线AB 的解析式为y=﹣x +7， ∴直线CC″的解析式为y=x ﹣1，

由

解得

，

∴直线AB 与直线CC″的交点坐标为K （4，3），

∵K 是CC″中点， ∴可得C″（7，6）．

连接C′C″与AO 交于点E ，与AB 交于点D ，此时△DEC 周长最小，

△DEC 的周长=DE +EC +CD=EC ′+ED +DC″=C′C″==10．

故答案为10．

三、作图题（本大题满分4分）用哪个圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。15．（4分）已知：如图，线段a，∠α．

求作：Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=∠α，AC=a．

【解答】解：如图，△ABC为所作．

四、解答题（本大题共9小题，满分74分）

16．（8分）（1）化简：﹣

（2）解不等式组：

【解答】解：（1）原式=+==a﹣1；

（2）解①得x＞﹣，

解②得x≤0，

不等式组的解集是﹣＜x≤0．

17．（6分）甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4．从中随机摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出一张纸牌，若两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数，则甲胜；否则乙胜．这个游戏对双方公平吗？请列表格或画树状图说明理由．

【解答】解：根据题意列表如下：

所有等可能的情况数有16种，其中两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数的情况有：（2，1），（1，2），（4，2），（3，3），（2，4），共5种，

∴P（甲获胜）=，P（乙获胜）=1﹣=，

则该游戏不公平．

18．（6分）航空测量飞机在与地面平行的直线上飞行，且与一座山的山顶在同一铅锤平面内，已知飞机的飞行高度为5000米，速度为50米/秒，飞机在点A处观测山顶P的俯角为32°，经过30秒后到达B处，这时观测山顶P的俯角为45°，求山的高度．（结果精确到1米，参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）

【解答】解：过点P作PE⊥AB于点E，设PE=x米．

根据题意，得AB=50×30=1500米．

在△AEP中，有AE=PE÷tan32°=x；

在△BEP中，有BE=PE÷tan45°=x；

∵AB=AE﹣BE=1500，

∴x﹣x=1500；

解得：x≈2447.4；

故山高约为5000﹣2447.4≈2553（米）；

答：山的高度约为2553米．

19．（6分）小颖对自己家近四年的家庭支出情况进行了统计，并制作了下列两个统计图，根据统计图回答下列问题：

（1）已知2015年小颖家教育支出为0.24万元，请将图l中的统计图补充完整：

（2）求近四年小颖家总支出的中位数和这四年平均每年的总支出；

（3）根据以上信息，请你估计小颖家2018年教育支出大约是多少万元？并说明你是怎样估计的．

【解答】解：（1）0.24÷15%=1.6（万元），

如图所示：

（2）近四年小颖家总支出的中位数为=1.45（万元），

这四年平均每年的总支出：=1.45（万元），

答：近四年小颖家总支出的中位数为1.45万元，这四年平均每年的总支出为1.45万元；

（3）估计小颖家2018年教育支出大约是0.208万元，

由折线统计图知教育支出占总支出大约为16%，

所以2018年的教育支出约为1.3×16%=0.208万元．

20．（8分）学校计划选购甲、乙两种图书作为校园图书节的奖品，已知甲种图书的单价是乙种图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本．

（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？

（2）若学校计划购买这两种图书共40本，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量的一半，如何购买使得所需费用最少？最少费用是多少？

【解答】解：（1）设乙种图书的单价为x元/本，则甲种图书的单价为1.5x元/本，

根据题意得：﹣=10，

解得：x=20，

经检验，x=20是原方程的根，且符合题意，

∴1.5x=30．

答：甲种图书的单价为30x元/本，乙种图书的单价为20元/本．

（2）设购买甲种图书m本，则购买乙种图书（40﹣m）本，

根据题意得：m≥（40﹣m），

解得：m≥，

∵m为整数，

∴m≥14．

设购书费用为y元，则y=30m+20（40﹣m）=10m+800，

∵10＞0，

∴y随m的增大而增大，

∴当m=14时，y取最小值，最小值=10×14+800=940．

答：购买14本甲种图书、26本乙种图书费用最少，最少费用为940元．

21．（8分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BD于点O，交BC于点E，AD∥BC，连接CD，

（1）求证：AO=EO；

（2）当△ABC满足什么条件时四边形ABED是正方形？请说明理由．

【解答】解：（1）证明：∵AD∥BC，

∴∠CBD=∠ADB，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD，

又∵AE⊥BD，

∴BO=DO，

又∵∠AOD=∠EOB，

∴△AOD≌△EOB，

∴AO=EO；

（2）当△ABC满足∠ABC=90°时，四边形AECD是正方形．理由：

∵△AOD≌△EOB，

∴AD=BE，

又∵AD∥BE，AE⊥BD，

∴四边形ABED是菱形，

∴当∠ABC=90°时，菱形ABED是正方形，

即当△ABC满足∠ABC=90°时，四边形AECD是正方形．

22．（10分）一座钢索桥的轮廓是抛物线型，如图所示，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离约5m．

（1）以地面BC所在的直线为x轴，以BC的垂直平分线OA所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；

（2）求柱EF的长度；

（3）拱桥下地平面是单向行车道，能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明理由；

（4）拱桥下方要悬挂宽为1米的电子警示牌，要求警示牌下底距地面不能少于4.4m，则电子警示牌最长为多长？

【解答】解：（1）根据题目条件B、C、A的坐标分别是（﹣10，0），（10，0），（0，6），设抛物线的解析式为y=ax2+c，

将A、C的坐标代入y=ax2+c，

得，

解得．

所以抛物线的表达式y=﹣x2+6．

（2）可设F（5，y F），于是

y F=﹣×52+6=4.5，

从而支柱EF的长度是10﹣4.5=5.5米．

（3）根据题意，当x=×2+2=3时，y=﹣×32+6=5.46＞3，

所以可以并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车；

（4）根据题意，当y=1+4.4=5.4时，﹣x2+6=5.4，

解得：x=±，

则电子警示牌最长为2米．

23．（10分）?探究：

（1）图1中，已知线段AB，A（﹣2，0），B（0，3），则线段AO的长为2，BO的长为3，

所以线段AB的长为；把Rt△AOB向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到Rt△CDE．则Rt△CDE的顶点坐标分别为C（1，2），D（3，2），E（3，5）；此时线段CD的长为2，

DE的长为3，所以线段CE的长为．

（2）在图2中，已知线段AB的端点坐标为A（a，b），B（c，d），求出图中AB的长AB=

（用含a，b，c，d的代数式表示，写出推导过程）；

?归纳：无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A（a，b），B（c，d）

时，线段AB的长为AB=．（不必证明）

（3）运用在图3中，一次函数y=﹣x+3与反比例函数y=的图象交点为A，B．

①求出交点A、B的坐标；

②线段AB的长；

③点P是x轴上动点，求PA+PB的最小值．

【解答】解：（1）∵C（1，2），D（3，2），E（3，5），

∴CD=2，DE=3，

∴CE==．

故答案为：2；3；．

（2）在图2中，过点A作x轴的平行线l1，过点B作y轴的平行线l2，直线l1、l2交于点E，则点E的坐标为（c，b），

∴AE=c﹣a，BE=d﹣b，

∴AB==．

故答案为：；．

（3）①联立两函数解析式成方程组，得：

，解得：，，

∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（2，1）．

②AB==．

③在图3中，作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，

∵点B、B′关于x轴对称，

∴PB=PB′，

∴PA+PB=PA+PB′=AB′．

∵两点之间线段最短，

∴此时，PA+PB取最小值．

∵点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（2，1），