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解一元二次方程课件+教案+学案+同步练习

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

21.2解一元二次方程（2）

【学习目标】

1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次

方程．

2、复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．

【学习重点】求根公式的推导和公式法的应用．

【学习难点】一元二次方程求根公式法的推导．

【学习过程】

一、知识回顾

1. 用配方法解下列方程

（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52

2.用配方法解一元二次方程的步骤．

二、探究新知

【探究】如果一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），请用配方法的步骤求出它的根解：移项，得：，

二次项系数化为1，得

配方，得：

即

∵a≠0，∴4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况：

（1）当b2-4ac＞0时，则x1= ，x2=

（2）当b 2-4ac=0时，则此时方程的根为

（3）当b 2-4ac ＜0时，则方程实数根

定义：一般地，式子叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）根的判别式.通常用“△”表示，

即

归纳：当△>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）?有实数根；当△=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有实数根；当△<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）实数根．

定义：当△≥0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的实数根可写为

的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

【例题讲解】

例2．用公式法解下列方程．

（1）x 2―4x ―7=0 （2）2222-=-x x

（3）5x 2-3x=x+1 （4）x 2+17=8x

三、巩固练习

教材P12练习1

教材P12练习2

四、课堂小结

1.本节课你有什么收获？

2.你还有哪些疑问？

五、当堂清

一、选择题

1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（）．

A ．x=32-±．x=32±．x=32-± D ．x=32

22的根是（）．

A.x 1x 21=6，x 21x 21=x 2 3、方程x 2-4x+4=0的根的情况是（）

A 有两个不相等的实数根

B 有两个相等的实数根

C 有一个实数根

D 没有实数根

二、填空题

4．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________．

5．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．

三、解答题

6、利用判别式判定下列方程的根的情况：

（1）2x 2-3x-2

3=0 （2）16x 2-24x+9=0

7、用公式法解方程．

012=-+x x

参考答案：1.D 2.D 3.B 4．b 2-4ac ≥0 5．4 6．（1）有两个不相等的

实数根

（2）有两个相等的实数根

7. ．解：a=1，b=1，c=-1．

b 2-4ac=12-4×1×（-1）=1+4=5．

（4分）

x 1=12-+，x 2=12-

六、学习反思

解一元二次方程--教学设计(张洁)

一、关联认知经验，明确研究方向问题（1）我们上节课已经学习了一元二次方程的概念，按照你以往的学习经验，接下来我们要研究什么呢？活动（1）请每组同学写出一些一元二次方程，为了方便观察，我们统一都写成一元二次方程的一般形式. 活动（2）虽然同学们写的都是一般形式，但是我们还是发现大家能够写出看起来是各式各样的一元二次方程.当我们要研究一个比较复杂的情形时可以怎么办呢？对，分类.那么请同学试着将这些一元二次方程分分类吧. 活动（3）请每组同学领一张任务纸，讨论呈现方式后，将自己小组同学写出的所有一元二次方程进行归类。学生预案：根据已有的学习一元一次方程和分式方程的经验，我们是按照方程的概念、解法和应用的顺序展开研究，下面应该研究一元二次方程的解法了. 学生预案：分类方法可能有：（1）按等号左边多项式所含的项数分；（2）按系数是否为零分等情况；教师预案：根据学生的分类情况及时回应，如果学生分类范围比较大，追问还能细分么？例子中若含有x2+1=0，x2+2x=0则引导学生细分为两种情况，例子中若不含 x2+2x=0，教师不急于补充，在接下来的环节中引导学生自主写出. 经过讨论，发现当a>0时，根据b、c 正、零、负的不同取值，一元二次方程共有9种不同的类型；当a<0时，依据等式的基本性质可将方程变为a>0的情形，因此我们可以直接对b、c进行分类,对这9 类情形进行解法探究. 学生预案：类别的呈现会出现直接罗列、树状图、列表格等不同的形式。教师预案：用实物投影全班展示,比一比谁的呈现方式更加直观简洁。让学生有意识的根据自己的学习经验，总结代数学中研究方程的一般顺序.自主提出研究的内容和方向. 让学生自己写一元二次方程，是对定义的一次复习，同时也是训练学生的发散思维，提高同学的参与度和研究兴趣的一种策略. 使学生在分类活动中逐步认识一元二次方程的各种形式，为探究一元二次方程的解法布好局，学生在接下来的学习中探究每个不同形式的方程解法，也就完成了整个单元中解法探索的整合教学.使学生的学习是连贯的、系统的，知识的建构是完整的. “列表格”是数学中常用的分析问题的方法，既有直观简洁的特征，又能体现分类者的思维顺序。这里，通过填表加深学生对一元二次方程各项系数的认识，以及方程不同类型的理解，并为后续研

一元一次方程学案(完整版)

3.1.1从算式到方程 [学习目标]能根据题意用字母表示未知数，然后分析出等量关系,再根据等量关系列出方程。[学习重点]能根据题意用字母表示未知数，然后分析出等量关系,再根据等量关系列出方程。 [学习难点]体会找等量关系，会用方程表示简单实际问题。 [学习过程] 问题1：根据条件列出式子 1、数的关系： ①比a大10的数：； ②b的一半与7的差：； ③x的2倍减去10：； ④某数x的30%与这个数的2倍的积：； ⑤a的3倍与a的2的商：； 2、基本图形关系： ①正方形的边长为a，则面积为，周长为； ②长方形的长为a，宽为b，则面积为，周长为； ③圆的半径为r，则周长为，面积为； ④三角形的三边长分别为a、b、c，则周长为，若长为a的边上的高为h，则面积为； ⑤正方体的棱长为a，则体积为，表面积为； ⑥长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则长方体的体积为，表面积为； ⑦圆柱的底面圆半径为r，高为h，则侧面积为，体积为； ⑧梯形的上、下底长分别为a、b，高为h，则面积为。3、其他关系： ①某商品原价为a元，降价20%后售价为元； ②某商品原价为a元，升价20%后售价为元； ③某商品原价为a元，打七五折后售价为元； ④某商品每件x元, 买a件共要花元； ⑤汽车每小时行驶v千米，行驶t小时后的路为千米； ⑥某建筑队一天完成一件工程的 12 1，x天完成这件工程的；练习一根据条件列出式子 ①比a小7的数：； ②x的三分之一与9的和：； ③x的3倍减去x的倒数：； ④某数x的一半与b的积：； ⑤x与y的平方差：；问题2：根据条件列出等式： ①比a大5的数等于8：； ②b的一半与7的差为6 ：； ③x的2倍比10大3：； ④比a的3倍小2的数等于a与b的和：； ⑤某数x的30%比它的2倍少34：；问题3：根据下面实际问题中的数量关系，设未知数列出方程： ①用一根长为24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长为多少？解：设正方形的边长为x cm，列方程得：。 ②某校女生人数占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？解：设这个学校学生数为x，则女生数为，男生数为，依题意得方程：

新人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程单元授课计划导学案

新人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程单元授课计划导学案教材内容 1．本单元教学的主要内容．一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题． 2．本单元在教材中的地位与作用．一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．教学目标 1．知识与技能（1）了解一元二次方程及有关概念；（2）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；（3）能用根的判别式判断一元二次方程是否有实数根或两个实数根是否相等；（4）了解一元二次方程根与系数的关系；（5）能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理；（6）能依据具体问题中的数量关系建立一元二次方程，并利用一元二次方程模型解决简单的实际问题． 2．过程与方法（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题．3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点 1．一元二次方程及其它有关的概念． 2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程． 3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点 1．一元二次方程配方法解题．

初中数学一元二次方程学案

初中数学第一课时一元二次方程学习目标 1.理解一元二次方程的概念，根据一元二次方程的一般式，确定各项系数 2.灵活应用一元二次方程概念解决有关问题 3.理解一元二次方程解的概念，并能解决相关问题一、回顾思考：一元一次方程是只含有未知数，并且未知数的最高次数为的方程。它的一般形式是。二元一次方程是含有未知数，并且含未知数的项的最高次数是的方程。它的一般形式是。二、观察归纳：观察课件上面的方程，思考它们与我们所学的一元一次方程、二元一次方程有什么异同？ 1、。2 。3 。猜想：只含有______未知数，且未知数的最高次数是______的______方程叫。注：认识一元二次方程需从以下几个方面去考虑：（1）只含有一个未知数；（2）未知数最高次数2；（3）方程是整式方程；思考：怎么才能判断是否是一元二次方程？一元二次方程的定义：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c 为常数, a ≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 三、一元二次方程的一般形式任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成c b a c bx ax 、、(02=++是常数0a ≠）的形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中c bx ax 、、2分别叫_________、________和______，b a 、分别叫做_________和_________。练习：把下列关于x 的一元二次方程化为一般形式，写出它的二次项系数、一次项系数及常数项538)1(2+=x x （2）)2(2)2(3-=-x x x 注意：（1）二次项系数0a ≠ （2）一元二次方程地一般形式不是唯一的，但习惯上都把二次项的系数化为正整数。（3）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般

九年级数学上册-解一元二次方程21.2.3因式分解法学案(无答案)(新版)新人教版

21.2.3 因式分解法学习目标： 1．会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。2．能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性。重点、难点 1、重点：应用分解因式法解一元二次方程 2、难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程. 【课前预习】阅读教材P38 — 40 , 完成课前预习 1：知识准备将下列各题因式分解 am+bm+cm= ; a2-b2= ; a2±2ab+b2= 因式分解的方法：解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法） 2：探究仔细观察方程特征,除配方法或公式法,你能找到其它的解法吗？ 3、归纳：（1）对于一元二次方程,先因式分解使方程化为__________ _______的形式,再使 _________________________,从而实现_____ ____________,这种解法叫做 __________________。（2）如果,那么或,这是因式分解法的根据。如：如果,那么或_______,即或________。练习1、用因式分解法解下列方程： (1) x2-4x=0 (2) 4x2-49=0 (3) 5x2-10x+20=0 【课堂活动】活动1：预习反馈活动2：典型例题

活动3：随堂训练 1、用因式分解法解下列方程（1）x2+x=0 （2）x2-2x=0 （3）3x2-6x=-3 （4）4x2-121=0 （5）3x(2x+1)=4x+2 （6）(x-4)2=(5-2x)2 2、把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径。活动4：课堂小结因式分解法解一元二次方程的一般步骤（1）将方程右边化为（2）将方程左边分解成两个一次因式的（3）令每个因式分别为 ,得两个一元一次方程（4）解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解【课后巩固】

一元一次方程整章学案

第三章一元一次方程 3.1 从算式到方程 3.1.1 一元一次方程学习目标 1. 了解什么是方程，什么事一元一次方程。 2. 体会字母表示数的优越性。重点：知道什么是方程，一元一次方程难点：找等关系列方程使用说明及学法指导：先自学课本78—81页内容，独立完成学案，然后小组讨论交流。一. 导学 1. 书中问题用算术方法解决应怎样列算式： 2.含X 的式子表示关于路程的数量：王家庄距青山＿＿＿千米，王家庄距秀水＿＿＿千米。从王家庄到青山行车＿＿小时，王家庄到秀水＿＿小时。 3车从王家庄到青山的速度为＿＿＿千米/小时，从王家庄到秀水的速度为＿＿＿千米/小时。 4.车匀速行驶，可列方程为： 5.什么是方程？ 6.什么是一元一次方程？二、合作探究 1.判断下列式子是否是方程: (1)5x+3y-6x=7 (2)4x-7 (3)5x >3 (4)6x 2+x-2=0 (5)1+2=3 (6) - -m=11 2.下列式子哪些是一元一次方程？不是一元一次方程的，要说明理由. (1)9x=2 (2)x+2y=0 (3)x 2-1=0 (4) x=0 (5) =2 (6) ax=b(a 、b 是常数) 3.（1）已知2x m+1 +3=7是一元一次方程，求m 的值；（2）已知关于x 的方程mx n-1+2=5是一元一次方程，则m=＿＿,n=＿＿. 4、根据下列条件列出方程: x 5 x 3

(1)某数的5倍加上3，等于该数的7倍减去5；（2）某数的3倍减去9，等于该数的三分之二加6；（3）某数的8倍比该数的5倍大12；（4）某数的一半加上4，比该数的3倍小21. （5）某班有x名学生，要求平均每人展出4枚邮票，实际展出的邮票量比要求数多了15枚，问该班共展出多少枚邮票？三、学习小结四、作业习题3.1第1、5题。

第二十三章一元二次方程全章导学案

第二十二章一元二次方程 1、一元二次方程（1）学习目标： 1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。 2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。难点：由实际问题列出一元二次方程。准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。导学流程：自学课本导图，走进一元二次方程分析：现设雕像下部高x米，则度可列方程去括号得①你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？探究新知自学课本25页问题1、问题2（列方程、整理后与课本对照），并完成下列各题：问题1可列方程整理得②问题2可列方程整理得③1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？ 2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。

3、一块面积是150cm2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。展示反馈【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。其中为一元二次方程的是：【我学会了】 1、只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式： ,其中二次项，是一次项，是常数项，二次项系数，一次项系数。自主探究：自主学习P26页例题，完成下列练习：将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。（1）81 x（2）)2 42= -x x x = 3+ (5 )1 ( 【巩固练习】教材第27页练习

一元二次方程导学案教案

2010-2011学年度第一学期初三数学电子备课第四章导学案（总计13教时）备课人：

一元二次方程（1）一、学习目标 1 正确理解一元二次方程意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程； 2 知道一元二次方程的一般形式是c b a c bx ax 、、(02 =++是常数，0a ≠），能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项； 3 理解并会用一元二次方程一般形式中a ≠0这一条件 4 通过问题情境，进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，又能为生活服务，从而激发学习热情，提高学习兴趣。二、知识准备： 1、只含有____________ 个未知数，且未知数的最高次数是___________的整式方程叫一元一次方程 2、方程2（x+1）=3的解是________________ 3、方程3x+2x=含有_______ 个未知数，含有未知数项的最高次数是_______________ ，它____________ （填“是”或“不是”）一元一次方程。三、学习内容 1、根据题意列方程： ⑴正方形桌面的面积是2㎡，求它的边长。设正方形桌面的边长是xm ，根据题意,得方程_______________，这个方程含有_____个未知数，未知数的最高次数是_____。 ⑵如图4-1，矩形花园一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m ，如果花园的面积是24㎡，求花园的长和宽。设花园的宽是xm,则花园的长是（19－2x ）m,根据题意，得：x(19－2x)=24，去括号，得:______________这个方程含有____________个未知数，含有未知数项的最高次数是________。 ⑶如图，长5m 距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。（3＋x ）＋设梯子滑动的距离是xm ，根据勾股定理，滑动的梯子的顶端离地面4m ，则滑动后梯子的顶端离地面（4－x ）m ，梯子的底端与墙的距离是（3＋x ）m 。根据题意，得： 25x 342 2=++-）（）（x 去括号，得：_____________________ 移项，合并同类项，得： -_________________此方程含有_____________个未知数，含有未知数项的最高次数是______。 2、概括归纳与知识提升： ⑴像0241922 =+-x x ，02 =-x x ，22 =x 这样的方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫一元二次方程。〖思考感悟〗判断下列方程是否是一元二次方程并说明理由。

2020-2021学年九年级数学(学案)一元二次方程的解

2020-2021学年一元二次方程的解数学课题一元二次方程的解学习目标 1、会用估算的方法探索一元二次方程的解或近似解．。 2、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。重点：探索一元二次方程的解或近似解难点：培养学生的估算意识和能力【学习过程】一、温故而知新 1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是：_________________________. 2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。 (1)2x 2―x+1=0 (2)―x 2+1=0 (3)x 2―x=0 (4)- 3 x 2=0 问题探究：探索1：上节我们列出了与地毯的花边宽度有关的方程。地毯花边的宽x(m)，满足方程 (8―2x)(5―2x)=18 也就是：2x 2 ―13x+11=0 你能估算出地毯花边的宽度x 吗？（1）x 可能小于0吗？说说你的理由；_____________________________. （2）x 可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？（3）完成下表（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。探索2：梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2 +72 =102 ，也就是x 2 +12x ―15=0 （1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？（2）x 的整数部分是_____？十分位是_______？ x x 0.5 1 1.5 2 2.5 2x 2-13x+11 备注（教师复备栏及学生笔记）

x2+12x-15 所以 ___

新人教版一元二次方程全章学案

第二十一章一元二次方程 21．1 一元二次方程预习检测 1.一元二次方程必须同时具备的三个条件： ①方程的两边都是；②方程中只含有个未知数；③未知数的最高次数是. 2.一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理（去分母、去括号、移项、合并同类项等），都能化成,这种形式叫一元二次方程的一般形式.其中是二次项,是二次项系数；是一次项,是一次项系数；是常数项. 问题思考 1.下面的这些方程是一元二次方程吗？为什么？ ⑴0422=-+x x ； ⑵942=x ； ⑶3x =0； ⑷7532 =-x y ； ⑸ 13 2 =+x x ； ⑹22)1()2(-=+x x ； ⑺x x 32-=. 2.关于x 的方程0232=+-x mx 一定是一元二次方程吗？为什么？ 3.若关于x 的方程 012)2(=-++x x m m 是一元二次方程，则m =. 当堂检测 1.已知关于x 的方程：①0322 =-x ；②111 2 =-x ；③013 1212=+-x x ; ④022=++c y ay ；⑤5)3)(1(2+=+-x x x ；⑥02 =-x x ； 2 x -=

其中是一元二次方程的有（只填序号）. 2.方程 0112 =++mx x m )－（是关于x 的一元二次方程，则m 的值是（） A.任何实数 B.0≠m C .1≠m D.1-≠m 3.若x x m －m +-2 2 2)(-3=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是______. 4.将方程化成一般形式为___________,它的二次项系数为 _____，一次项系数为_____，常数项为______. 5.（湛江）湛江市2009年平均房价为每平方米4000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（） A ．5500（1+x ）2=4000 B ．5500（1-x ）2 =4000 C ．4000（1-x ）2=5500 D ．4000（1+x ）2 =5500 ★6．把关于x 的一元二次方程(2－n )x 2 －n (3－x )＋1=0化为一般形式为_______________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______． ★7.已知关于x 的方程 013)1()12 2=-+++-m x m x m （，求当m 为时，它是一元二次方程.当m 为时，它是一元一次方程. ★8.一元二次方程0)1()1(2 =+-+-c x b x a 化为一般形式后为01322=-x x －，则 c b a +的值为. ★★9.已知a 是方程0120142=+-x x 的一个根，求1 2014 201322++-a a a 的值. 21．2 解一元二次方程 21.2．1配方法（第一课时）预习检测 1.解方程：092 =-x 解：移项得，92 =x ，因此，=x ．（这里实际上就是求9的平方根.） 2 (21)(3)(21)6x x x -+--=

人教版九年级数学上册第22章一元二次方程学案(全章共10个)

x 22．1 一元二次方程（1）重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．难点（关键）：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．学一学（阅读教材第25至26页，并完成预习内容。）问题1 要设计一座2m 高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？分析：设雕像下部高x m ，则上部高________,得方程 _____________________________ 整理得 _____________________________ ① 问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为________________,宽为_____________.得方程 _____________________________ 整理得 _____________________________ ② 问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为___________ 设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场。列方程 ____________________________ 化简整理得 ____________________________ ③ 请口答下面问题：（1）方程①②③中未知数的个数各是多少？___________ （2）它们最高次数分别是几次？___________ 方程①②③的共同特点是：这些方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____的方程. 1、只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式： ,其中是二次项，是一次项，是常数项，是二次项系数，是一次项系数。一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax 2 是____________，_____是二次项系数；bx 是__________,_____是一次项系数；_____是常数项。（注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。二次项系数0a ≠是一个重要条件，不能漏掉。） 3. 例将方程（8-2x ）（5-2x ）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．练一练 1:判断下列方程是否为一元二次方程，为什么？ 2222 2(1)10(3)23x 10x x (5)(3)(3)x x -==+=-22　ｘ (2)2(x -1)=3y 12 　ｘ－－ (4) －=0 (6)9x =5－4x

二次函数与一元二次方程经典教学案+典型例题

二次函数与一元二次方程教学案 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数： ① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离 21AB x x =-= . ② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点. 1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；例：二次函数ｙ＝ｘ2－3ｘ＋2与x 轴有无交点?若有，请说出交点坐标；若没有，请说明理由: ⑵ 根据图象的位置判断二次函数中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑶ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑴一元二次方程02=++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数

c bx ax y ++=2与 x 轴交点的 . ⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为 21x x 、） ⑶二次函数c bx ax y ++=2与y 轴交点坐标是 . 【例1】已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=． ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； ⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式； ②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立； ⑶在⑵条件下，若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，，且在实数范围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求

配方法解一元二次方程导学案[1]

配方法解一元二次方程. 学习目标：掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；难点：配方的过程。知识链接 a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 填空：（1）x 2＋6x ＋（）＝（x ＋）2；（2）x 2－8x ＋（）＝（x －）2；（3）x 2＋2 3x ＋（）＝（x ＋）2；(4) x 2＋x+( )=(x+ )2 从这些练习中你发现了什么特点? (1)________________________________________________ (2)________________________________________________ 例1、用配方法解下列方程：（1）x 2－6x －7＝0；（2）x 2＋3x ＋1＝0. 总结规律:用配方法解二次项系数是1的一元二次方程有哪些步骤？例2、用配方法解下列方程：（1）011242=--x x （2）03232=-+x x 总结规律:用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程有哪些步骤？达标检测 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x －）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x －）2 ⑤、4x 2－6x ＋（）＝4（x －）2＝（2x －）2.

2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 5．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 6．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 7. 用配方法解方程：（1）x 2＋8x －2＝0 （2）x 2－5x －6＝0. （3）2x 2-x=6 （4）x 2＋px ＋q ＝0(p 2－4q ≥0). （5）3x 2-5x=2．（6）x 2+8x=9 （7）x 2+12x-15=0 （8） 41 x 2-x-4=0 8. 用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。（3）已知代数式x 2-5x+7,先用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？

一元一次方程全章学案

第三章一元一次方程 3.1.1一元一次方程（1）学习目标 1．通过处理实际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步。 2．初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念。 3．培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力,并感受数学与生活的联系。重点：列出方程，了解方程的概念。难点：从实际问题中寻找相等关系。学习过程一、课前预习 1、阅读本章前言，了解本章学习内容。 2、在小学我们学过方程吗？什么是方程？请举出两个方程的例子？判断下列式子是不是方程？（1）x＋2＝3（）（2）x＋3y＝6（）（3）3x－6 （）（4）1+2＝3 （）（5）x＋3＞5 （）（6）y＝5 （）3、在行程问题中，路程、时间、速度三者之间有什么关系？ 4、阅读课本P79-80结合图形思考下列问题：（1）从图中你能获得哪些信息？（从时间、路程、速度、四地的排列顺序等方面去考虑。）试用算术方法求出王家庄到翠湖的距离。（2）完成书中填空后再填写下表：（3）能否用方程的知识来解决这个问题呢？题目中的等量关系是什么？（试列出方程）（4）你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个等量关系？ 5、比较列算式和列方程两种方法的特点。 6、完成课本P84习题3.1 第1题。二、课堂展示三、分组联动 1、列式表示：①比a小9的数；② x的2倍与3的和； ③ 5与y的差的一半；④ a与b的7倍的和；

2、根据下列条件，列出关于x的方程：（1） 12与x的差等于x的2倍；（2）x的三分之一与5的和等于6；（3）x的5倍比x的相反数大10；（4）x比它的倒数小4；（5）已知x－5与2x－4的值互为相反数； 3、完成课本P84习题3.1 第8题。四、课堂检测根据下列条件列出方程。（不求解，每题20分，共100分）（1）12与x的差比x的2倍大1.__________________________ （2）x的三分之一与5的和等于6._____________________________ （3）国庆期间，“时代广场”搞促销活动，小颖的姐姐买了一件衣服，按8折销售的售价为72元，问这件衣服的原价是多少元？解：设这件衣服的原价为x元，可列出方程______________ （4）有一棵树，刚移栽时，树高为2m，假设以后平均每年长0.3m，几年后树高为5m？解：设x年后树高为5m，可列出方程_______________ （5）某足球场的周长为344米，长和宽之差为36米，这个足球场的长与宽分别是多少米？解：设这个足球场的宽为x米，则长为(x+36)米，可列出方程 ________ 五、课堂小结六、拓广探索课后完成课本P85 第10、11题

解一元二次方程(直接开平方法)教学设计

解一元二次方程(直接开平方法)教学设计一、教学目标： 1、掌握用开平方法解形如ax2+c=0（缺一次项）的方程。 2、掌握用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程。二、重难点：重点：运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程．难点：通过平方根的意义解形如x2=a的方程，再迁移到形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。三、设计思路：通用复习平方根的意义，为运用开平方法解一元二次方程作铺垫；通过问题引出运用开平方法解方程的必要性；通过习题的练习和讲解，由浅入深迁移到解可化为形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。四、教学过程：（一）复习引入 1、复习平方根的意义。 2、练习：求出下列各式中x的值。（1）x2=16 （2）x2=7 4（3）x2=a（a>0）（3）x2= 25 （二）探索问题:一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为 dm2，列方程，整理，得

对照上述练习解方程的过程，你能解下列方程吗？（老师）解出完整的过程。小结：方程x2=P，①当P﹥0时，x1=-P，x2=P；②当P=0时，x1= x2=0；③当P﹤0时，方程无实数根。练习：解方程下列方程。（1）x2-9=0 （2）3x2=15（3）2x2-8=0 （三）解讲例题：解方程（1）（x-3）2=5 （2）3（x+2）2-9=0 （学生）归纳：应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±p 转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±p。（四）课堂练习： 1、若3x2-15=0，则x的值是_________。 2、方程2（x-3）2=36的根是________。 3、方程2x2+8=0的根为（）． A．2 B．-2 C．±2 D．无实数根 4、解下列方程（1）x2-5=0 （2）3x2-12=0 （1）4x2-1=0 （4）（2x-3）2-4=0 五、课外练习：P6练习六、课外作业：P16复习巩固第1题

第六章_一元一次方程教案导学案 (共11课时)

§6.1 从实际问题到方程科目：七年级数学备课人：王淑轶【教学目标】 1.能判断一个数是不是某个方程的解，掌握用尝试检验方法求方程的解的思想方法； 2.会列一元一次方程解决一些简单的应用题； 3.初步认识方程与现实问题的联系，感受数学的应用价值，激发数学学习兴趣。【教学重点】能判断一个数是不是某个方程的解，会列一元一次方程解决一些简单的应用题。【教学难点】会列一元一次方程解决一些简单的应用题。【教学过程】一、复习回顾，导入新课 1.列方程解下面的应用题：一本笔记本1.2元。小红有6元钱，那么她最多能买到多少本这样的笔记本呢？解：设小红能买到x本笔记本，根据题意得： 1.2x＝6 解得：x＝5 答：小红能买到5本这样的笔记本。 2.结合上题的解答，说说列方程解应用题的一般步骤是什么？有哪些应当注意的问题？二、自主探索 1.阅读课本1页“第6章导图”内容，试分别用算术法和方程法解答：一队师生共328人，乘车外出旅游，已有校车可乘64人，如果租用客车，每辆可乘44人，那么还要租多少辆客车？算术法：方程法： (328－64)÷44 解：设需要租用x辆客车，根据题意得：＝264÷44 44x+64＝328 ＝6(辆) 解得：x＝6 答：还要租用6辆客车。答：还要租用6辆客车。 2.阅读课本2页～3页“问题2”内容，完成下列问题： (1)小敏同学得出答案使用的是什么方法？他的答案正确吗？小敏同学是用“尝试、检验”的方法找出方程的解的。他的答案是正确的。 (2)你能列方程解答张老师的这道题吗？试一试。三、合作交流

1.你用方程法得到的答案和小敏的答案一样吗？你有什么发现？ 2.讨论：如果未知数可能取到的数值较多，或者不一定是整数，该从何试起？如果试验根本无法入手又该怎么办呢？四、实践应用 1.课本3页“习题6.1”第1～3题。 2.补充练习： (1)检验下列方程后面括号内所列各数是否为相应方程的解。 (a)x-3(x+2)=6+x (x=3,x=-4) (b)2y(y-1)=3 (y=-1,y=32 ) (c)5(x-1)(x-2)=0 (x=0,x=1,x=2) (2)根据题意，列出相应的方程，不必求解。 (a)一个数的17 与3的差等于最大的一位数，求这个数。 (b)甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。现在两队共比赛了10场，甲队保持了不败记录，一共得了22分，试问甲队胜了多少场，平了多少场？ (c)某商店对超出15000元的商品提供分期付款服务：顾客可以先支付3000元取货，以后每月支付1500元，直至付完货款为止。王叔叔想用这种方法购买一台价值19500元的设备，他需要用多长时间才能付清全部货款？五、整体感知本节课我们主要学习了怎样列方程解应用题的方法，解决一些实际问题。请谈谈你的学习体会。

十字相乘法解一元二次方程学案

补充：十字相乘法解一元二次方程（林）第一部分：用十字相乘法因式分解一、复习导入 1、计算（1）(x+2)(x+1)=_____________________________________ （2）(x+2)(x-1)=_____________________________________ （3）(x-2)(x+1)= _____________________________________ （4）(x-2)(x-1)= _____________________________________ （5）（x+a ）(x+b)= _____________________________________ 2、观察以上结果回答：（1）x 2+3x +2=_____________________________________ (2)x 2+x -2=_____________________________________ (3)x 2-x -2=_____________________________________ (4)x 2-3x +2=_____________________________________ (5)2()=x a b x ab +++ _____________________________________ 也就是说，对于二次三项式q px x ++2，如果常数项q 可以分解成__________________________，并且一次项系数p ___________________________时,我们就可以用上面的方法分解因式。二、典例分析例1：分解因式（1）267x x +- （2）232x x ++ 利用十字交叉线来分解系数，把___________分解因式的方法叫做十字相乘法。“十字相乘法”是乘法公式(x+a)(x+b)=x 2 +(a+b)x+ab 的反向运算，它适用于分解__________。十字相乘法因式分解解题步骤 ① _____________________________________ 口诀： ② _____________________________________ ③ _____________________________________