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数值计算方法复习提纲
第一章数值计算中的误差分析
1
2．了解误差 ( 绝对误差、相对误差 )
3．掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原则。
1、误差的来源
模型误差
观测误差
截断误差
舍入误差
2误差与有效数字
绝对误差E（x）=x-x *
绝对误差限x*x x*
相对误差E r (x) ( x x* ) / x ( x x* ) / x*
有效数字
x*0.a1 a2 ....a n10 m
若x x*110m n ，称x*有n位有效数字。
2
有效数字与误差关系
（ 1）m 一定时，有效数字n 越多，绝对误差限越小；
（ 2）x*有 n 位有效数字，则相对误差限为E r (x)1
10 (n 1)。
2a1
选择算法应遵循的原则
1、选用数值稳定的算法，控制误差传播；
例
I n 11n x
dx
e
x e
I 0 1
1
I n1nI n1
e
△ x n n! △x0
2、简化计算步骤，减少运算次数；
3、避免两个相近数相减，和接近零的数作分母；避免
第二章线性方程组的数值解法
1．了解 Gauss 消元法、主元消元法基本思想及算法；
2．掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组；
（Doolittle 分解； Crout分解； Cholesky分解；追赶法）
3．掌握迭代法的基本思想，Jacobi 迭代法与 Gauss-Seidel
4．掌握向量与矩阵的范数及其性质, 迭代法的收敛性及其判定。
本章主要解决线性方程组求解问题，假设n 行 n 列线性方程组有唯一解，如何得到其解？
a
11x
1
a
12
x
2...
a
1n
x
n b1
a
21x
1
a
22
x
2...
a
2n
x
n b2
...
a
n1x
1
a
n 2
x
2...
a
nn
x
n b n
两类方法，第一是直接解法，得到其精确解；
第二是迭代解法，得到其近似解。
一、Gauss消去法
1、顺序Ｇ auss 消去法
记方程组为：
a11(1) x1a12(1) x2... a1(1n) x n b1(1)
a21(1) x1a22(1) x2... a2(1n) x n b2(1)
...
a n(11) x1a n(12) x2... a nn(1) x n
b n(1)
消元过程：
经ｎ－１步消元，化为上三角方程组
a11(1) x1b1(1)
a 21(2) x1a22(2 ) x2b2( 2 )
...
a n(1n) x1a n(n2) x2...a nn(n ) x n
b n( n )
第ｋ步
若a kk(k)0
( k 1)( k)
a ik(k )(k )( k 1)( k )a ik(k )( k)
a
ij a
ij a kk(k )
a
kj b
i b i a kk(k )b k k 1,...n 1 i, j k 1,....,n
回代过程：
x n b n(n)/ a nn(n)
n
x i (b i(i )a ij(i ) x j ) / a ii(i)(i n 1, n 2,...1)
j i 1
２、Ｇ auss—Ｊｏｒｄａｎ消去法
避免回代，消元时上下同时消元
３、Ｇ auss 列主元消去法
例：说明直接消元，出现错误
0.00001x12x22
x1x23
由顺序Ｇ auss 消去法，得x21, x10 ；
Ｇa uss 列主元消去法原理：
每步消元前，选列主元，交换方程。
算法：
将方程组用增广矩阵 A b a
ij n( n 1)表示。
（1）消元过程：
对 k=1,2,n-1,
选主元，找 i k{ k, k 1,, n} 使得
a i k, k max a ik
k i n
如果
a i k,k0，则矩阵 A 奇异，程序结束；否则执行3。
如果
i k k，则交换第 k 行与第i k行对应的元素位置，
a k j a k i , j j,k , n 1.
消元，对 i=k+1,,n,计算l
ik a ik, 对j=L+1,,n+1,计算
a
kk
a ij a ij l ik a kj
（2）回代过程：
1．若a nn0, 则矩阵A奇异，程序结束；否则执行。
2x n
a
n,n 1a nn
;对i
n 1,,2,1,计算
n
a
i , n1
j
a
ij
x
j
x i i 1a
ii
举例说明。
4、消元法应用
（ 1）行列式计算；
（ 2）矩阵求逆。
二、利用矩阵三角分解求解线性方程组
1、求解原理
线性方程组写成矩阵形式为： AX=b
若 A=LU ，则 LUX= b ，
记 UX=Y 则 LY= b
若 L 、 U 为特殊矩阵，则求解线性方程组变为解两个特殊线性方程组问题。
2、 Doolittle 分解
L 为下三角矩阵 , U 为上三角矩阵 ,不一定能分解 ,分解也不一定唯一 ; 设 L 或 U 是单位三角矩阵 , 若能分解 ,则可分解唯一 .
L 是单位下三角矩阵 ,称为 Doolittle 分解 ; U 是单位上三角矩阵 ,称为 Crout 分解； 定理 : n 阶矩阵 A 有唯一分解的充要条件为
A 的前 n-1 阶主子式都不为
0.
Doolittle 分解算法：
a
11
a
12
...
a
1n
1
u 11
u
12
...
u
1n
a
21
a
22
...
a
2n l
21
1
u
22
... u
2 n ... ... ... ...
... ... ...
... ...
a
n1
a
n2
...
a
nn
l
n1
l
n2
(1)
u
nn
由矩阵乘法：
n
a
ij
l ik
u
kj
k 1
得到：
k 1
u
kj
a
kj
l kr
u
rj
j
k, k 1,...n;
r 1
k 1
l
ik
( a ik
l ir
u rk
) / u
kk
i
k, k 1,...n
r 1
算法特点：先计算 U 的行，再计算 L 的列，交替进行；存储时可用紧凑格式。
矩阵分解后，解两个三角方程组：
LY= b ，UX=Y
i 1 y 1 b 1
y i
b i
l ik y
k
i
2,3,...n
k 1
n
x i
( y i
u ik x k ) / u ii
i
n, n
1, (1)
k i 1
3、 Crout 分解
若 L 为下三角矩阵， U 是单位上三角矩阵，则称 Crout 分解；
算法特点：先计算
L 的列，再计算
U 的行，交替进行。
4、正定对称矩阵的平方根法（ Cholesky 分解）
（1） 正定对称矩阵性质与判定：
定义：是 n 阶对称矩阵，若对任意非零向量
X
R n ，有 X T AX
0 ，则称 A 为正定对称矩阵；
判定： A 为 n 阶正定对称矩阵充要条件
A 的各阶顺序主子式大于 0。
（ 2） Cholesky 分解
定理：设 A 为 n 阶正定对称矩阵，则存在唯一主对角线元素都是正数的下三角阵
L ，使得
A LL T .
Cholesky 分解算法：
a 11 a 12 ... a 1n
l 11
ll 11 l 12 ... l 1n
a 21 a 22 ... a 2n
l 21
l
22
l
22
... l 2n ... ... ... ...
... ... ...
... ...
a
n1
a
n2
...
a
nn l
n1
l n 2 ...
l
nn
l
nn
j 1 1
l
jj
(a jj
k 1 l 2jk ) 2
j 1
l ij
( a ij
l ik l jk ) / l jj
k 1
j 1,2,...n;
i
j 1, j
2,...n
5、 追赶法
三对角矩阵的特殊分解
b 1
c 1 1
u 1 c 1
a 2
b 2
c 2
l 2 1
u 2 C 2
a 3
b 3
c 3
....
l 3 1
... ...
... ...
u n 1c
n-1
a n 1
b
n 1
c
n 1
l n
1
u n
a n
b n
u 1 b 1
l i a i / u i 1
i 2,3,...n
u i
b i
l i c i
1
三对角方程组的追赶法： 追的过程 LY=D
y 1
d 1
y i
d i
l i
y
i 1
i
2,3,...n
赶的过程
UX=Y
x n y n / u n
x i ( y i c i x i 1 ) / u i
i n 1, n 2,....,1
§ 2 线性方程组的迭代解法
一、 Jacobi 迭代公式
例：
x 1
1 x
2 1
2
2
其解为 x 1 1, x 2
1
1 x 1 x 2
1
2
2 方程变形得到迭代公式
(k 1)
1
(k )
1
x 1
2 x 2
2
给初值 X
( 0)
0 计算，观察解的变化。
( k 1)
1
(k )
1
x 2
2 x 1 2
一般地，对线性方程组
a 11 x
1
a 12
x
2
...
a 1n x
n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2
... a 2n x n b 2
...
a n1 x 1 a n2 x 2 ... a nn x n
b n
若
a ii
0 ，则可从第 i 个方程中解出 x i ,得到 Jacobi 迭代公式：
x 1( k
1)
(b 1 a 12 x 2(k) ... a 1n x n (k) ) / a 11
... x i ( k 1)
(b i
a i1 x 1(k ) ....... a in x n (k ) ) / a ii
...
x n (k 1)
(b n a n1x 1(k ) ... a nn x n (k 1) ) / a nn
简记为：
n
x i( k 1)(b i a ij x j( k) ) / a ii i 1,2,..., n
j1
j i
二、 Gauss--Seidel迭代公式
i1n
x i( k 1)(b i a ij x j( k 1)a ij x(j k) ) / a ii i 1,2,...,n
j1j i 1
三、 SOR迭代公式
四、迭代公式的矩阵表示
X (k 1)GX ( k )D
§ 3迭代公式的收敛性
一、向量与矩阵的范数与性质
1、向量范数
定义：向量
X R n，对应非负实数X ，满足三条件：
（1）非负性（2）齐次性X0,X 0, X0 kX k X
（3）三角不等式X Y X Y 称 X 为向量范数
2、常见向量范数
1 范数X 1x1x2...x n
2 范数X 2x12x22. . . x n2
∞范数
X
max
n
x
i 1i
3、矩阵范数
定义：方阵A R n n，对应非负实数 A ，满足三条件：
A 0,A0, A0
（ 2）齐次性
（ 3）三角不等式
kA
k A A B
A
B
（4）绝对值不等式
AB A B
称 A 为矩阵范数；
向量范数与矩阵范数相容性：
AX A X
4、常见矩阵范数
n
1 范数，列范数
： A 1
max
a
ij
1 j n
i 1
n
∞范数，行范数
：
A
max
a
ij
1 i
n
1
j 2 范数，谱范数
：
n
n
a ij 2
F
范数：
A F
i 1 j
1
举例计算
二、 迭代公式收敛性的判定
1、 向量的极限
2、 矩阵的谱半径：
( A) max
i
i
为特征值；
1 i n
3、收敛性的判定 收敛的充要条件：
迭代公式
X (k 1) GX ( k )
D 收敛的充要条件为谱半径(G ) 1。
判定定理 1：
若 G
1, 则迭代公式 X (k 1)
GX (k )
D 收敛。
判定定理 2：
若对方程 AX=b 的系数矩阵 A 为对角占优，则 Jacobi 迭代公式， Gauss--Seidel 迭代公式收敛；
判定定理 3：
若对方程 AX=b 的系数矩阵 A 为对称正定，则 Gauss--Seidel 迭代公式收敛；
Jacobi 迭代公式收敛与 Gauss--Seidel 迭代公式收敛关系举例：
第三章非线性方程的数值解法
1．了解二分法的原理与算法；
2．掌握一般迭代法的基本思想及其收敛性判定；
3．掌握 Newton 切线法、弦截法，并用它们求方程近似根的方法。
本章问题：求方程f(x)=0 的根
§ 1二分法
一、根的存在性
定理：函数f(x) 在区间 [a， b]连续，且f(a).f(b)<0, 则方程 f(x)=0 在区间 [a， b]有根。
方程的根存在，不一定唯一，若在区间[a， b]上有唯一根，称区间[a， b]为根隔离区间。二、二分法（区间逐次分半法）
原理：通过计算根隔离区间中点，将区间分半，缩小区间，得到方程近似根数列{ x n}。a, b a1 ,b1....a n ,b n...b k a k(b a) / 2k
取x*(a n b n ) / 2
§2迭代法
一、迭代原理
迭代法是一种逐次逼近法，由提供的递推公式计算，逐次精确，直到满足精度要求。
方程 f(x)=0 变形为x( x) ，
得到递推公式x k 1(x k ) --------简单迭代公式
称( x) 为迭代函数
给初值计算，得到数列{ x n}，若lim x k x*，则称迭代收敛，否则发散。
k
例：
求方程 10x x 2 0x*[0.3,0.4]
写出两个简单迭代公式：
（1） x k 1 10
x
k
2 （ 2） x k 1
lg( x k
2)
观察计算得到数列 { x n } 的收敛性。
迭代法的几何解释：
二、迭代收敛性判定
收敛性定理：设方程
x (x) 的迭代函数 ( x) 在 [a ， b]满足：
（1）当 x [ a,b] 时，
(x) [a,b] ；
（2） ( x) 在 [a ， b]可导，且 ( x) L 1 ， x [ a, b] ，
则（ 1）方程 x
(x) 在 [a ， b]有唯一根 x * ；
（ 2）迭代公式 x k 1
( x k )
收敛，即
lim x
k
x * ；
k
（ 3）误差估计 x *
x k
L k x 1 x 0 。
1 L
说明可根据迭代函数
( x) 的导数判断迭代收敛性。
三、迭代公式的加速
§ 3 Newton 迭代法
一、 Newton 切线公式 几何作法 迭代公式
f ( x k )
x
k 1x
k
f ' (x k )
例：利用解二次方程
x 2 c
0, 推导近似计算 c 的公式。
由 Newton 切线公式
x
k 1
1
(x k
c )
2
x k
三、 Newton 弦截公式
Newton 切线公式的缺点及改进 几何作法 迭代公式
x
k 1
f ( x k )
x k( x k x k 1 )
f ( x k ) f (x k 1 )
Newton 弦截公式是两步公式。
第五章插值法
1.掌握代数插值问题及其解存在唯一性， Lagrange插值多项式构造及其余项，插值基函数性质；
2.掌握差商的概念及其性质， Newton 插值多项式构造，两种插值法之间的区别
3．了解差分与等距节点插值多项式公式；
4.掌握 Hermite 插值问题及其构造方法。
本章：函数 f ( x) 复，或无表达式，构造函数P(x) 来代替 f (x) 。
§1Lagrange插一、
代数插及插多式存在唯一条件
1、代数插：
已知 f( x) 在区[a,b]中互异的n+1个点 x
0 , x1, ......, x n
的函数
y0 , y1 ,....., y n
，求次数
n 次多式
P n (x)a0a1 x ...a n x n 且足
P n ( x i ) f (x i ) y i，（i=0,1,?n）.
2、插多式存在唯一条件：
定理：
P ( x)a
0a x...a
n
x n存在唯一条件是n+1个点互异。
n1
二、 Lagrange插构造
1、形插（ n=1）
几何解；
利用插基函数构造：
基函数：一次多式l 0 ( x),l1 (x) 足
l 0 ( x0 ) 1l1 ( x0 )0
l0 ( x1 ) 0l1 (x1 ) 1
x x 1 x x 0
l 0 ( x)
x 1
l 1 ( x)
x 0
x 0
x 1
L 1 (x) y 0 l 0 ( x)
y 1l 1 (x) ----------1 次 Lagrange 插值多项式
例 1：求 f ( x)
x 过点（ 4， 2），（9， 3）的 1 次 Lagrange 插值多项式，并计算 5 近似值。
2、抛物插值（ n=2） 几何解释；
利用插值基函数构造：
基函数：二次多项式
l 0 ( x), l 1 ( x),
l 2 (x) 满足
l 0 ( x 0 ) 1 l 1 ( x 0 ) 0 l 0 ( x 1 ) 0 l 1 ( x 1 ) 1 l 0 ( x 2 ) 0
l 1 (x 2 ) 0
l 0
( x x 1 )( x x 2 )
( x)
x 1 )( x 0 x 2 )
(x 0 l 2 ( x x 0 )( x x 1 )
( x)
x 0 )( x 2 x 1 )
(x 2
l 2 (x 0 ) 0 l 2 (x 1 ) 0 l 2 (x 2 ) 1
l 1 ( x x 0 )( x x 2 )
( x)
x 0 )( x 1 x 2 )
( x 1
L 1 (x) y 0 l 0 ( x) y 1l 1 (x)
y 2 l 2 (x) -------2 次 Lagrange 插值多项式
例 2：求 f ( x)
x 过点（ 1， 1），（4， 2），（9， 3）的 2 次 Lagrange 插值多项式，并计算 5 近似值。
3、一般情形：
利用插值基函数构造： 基函数： n 次多项式 l 0 ( x),
l 1 (x),... l n (x) 满足
l i ( x j )
l k ( x)
L n (x)
1 i j ij
i
j
( x x 0 )( x x 1 )....( x x k 1 )( x x k 1 )...( x x n ) (x k
x 0 )( x k x 1 )....( x k
x k 1 )( x k x k 1 )...( x k
x n )
n
y 0 l 0 ( x) y 1l 1 (x) ... y n l n ( x)
y k l k (x)
-------n 次 Lagrange 插值多项式
k
三、插值余项
定
理 ：
若 f ( n)
(n 1)
(x)在[ a,b]存在 ， 则
插 值 误 差
( x)在[ a, b]连续 ，f
R n (x)
f (n 1) ( )
f (x) L n ( x)
( x) ，
(n 1)!
其中
[ a,b]依赖于 x 。
§ 2 分段插
一、分段 性插
在区 [a ，b]，分 n 个区 [ x i , x i 1 ] ,i=0,1,2?n-1
每个区 由直 代替曲 ，形成分段 性插 函数
(x)
( x) l i ( x) y i l i 1 (x) y i 1 x [ x i , x i 1 ] l i ( x) x x i 1
， l i 1 ( x)
x x i
x i
x
i 1
x i 1x
i
二、分段抛物插
§3
Newton 插
一、差商及其性 定 ：
一 差商：
f [ x i , x i 1
f ( x i 1 ) f ( x i )
]
x i
x
i 1
f [ x i 1 , x i 2 ]
f [ x i , x i 1 ] 二 差商：
f [ x i , x i 1, x i 2 ]
x i 2
x i
K 差商： f [ x i , x i 1 ,..., x i k ]
f [ x i 1 , x i 2 ,..., x i k ] f [ x i , x i 1 ,...x i k 1 ]
x
i k
x i
性 ：
（ 1）差商可由 点函数 表示；
（ 2）差商 与 点次序无关。二、
Newton 插 多 式
由差商定
f ( x) f ( x 0 ) f [ x 0 , x]( x x 0 )
f [ x 0 , x] f [ x 0 , x 1 ] f [ x 0 , x 1 , x]( x x 1 )
f [ x 0 , x 1 , x] f [ x 0 , x 1 , x 2 ] f [ x 0 , x 1, x 2 , x]( x x 2 )
。。。
f [ x , x ,...x , x] f [ x , x ,...x ] f [ x , x ,....x , x]( x x )
依次带入
N n ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) ... f [ x0 , x1 ,...x n ]( x x0 )...( x x n 1 ) ----- Newton插值多项式
计算时先造差商表；
三、余项
f (n 1) ()
f [ x0 , x1 ,...x n , x]
(n1)!
§4差分与等距节点插值多项式
一、差分及其性质：
二、等距节点插值多项式
§5 Hermite 插值
一、带导数的插值多项式
1、问题：求次数不超过3次多项式
H 3 ( x), 满足 H 3 (x0 )y0 , H 3 ( x1 )y1 , H 3' ( x0 ) m0 , H 3' (x1 )m1；
2、利用基函数构造
H 3 ( x)0 (x) y01 ( x) y10 (x)m01 ( x) m1
0 (x)(1 2x x0)(x x1)2 x0x1x0x1
1 (x) (1 2x x
1)(
x x
0)2 x1x0x1x0
0 (x)(x x0 )(x x
1)2 x0x1
1 (x)(x x1 )(x x 0)2
x1x0
二、一般情形
1、问题：求次数不超过2n+1 次多项式H2n1 ( x), 满足 H 2 n1 (x i )y i , H 2'n1 (x i )m i ,i0,1,...n;
2、利用基函数构造
见教材
第七章数值微积分
1.了解数值求积基本思想；
2.掌握 Newton-Cotes公式（梯形公式，Simpson公式，Cotes公式）推导及误差；
3.了解 Romberg 求积公式原理；
4．了解数值微分的方法。
本章问题：数值积分问题
b
求定积分 f ( x)dx F (b) F (a)
a
不能使用微积分公式情形
存在问题：（ 1）f(x)表达式复杂，原函数更复杂；
（2）f(x)表达式不复杂，但原函数复杂；
（3）原函数不存在；
（3）f(x)无表达式
§1 Newton-Cotes 公式
一、数值求积基本思想
1、不利用原函数，直接利用函数值
b
积分中值定理： f ( x)dx (b a) f ( )
a
f ( ) 为平均高度；
b
n
机械求积方法：I f ( x)dx A i f ( x i )
a i 0
x i为求积节点；A i为求积系数。
2、几个简单求积公式
左矩形公式右矩形公式I b(b a) f ( a)
f (x)dx
a
I b(b a) f (b)
f ( x)dx
a
中矩形公式 I
b
(b a) f (
a
b )
f ( x)dx
2 a
b a
b(( )())
梯形公式 f (x)dx f a f b
I
2
a
二、 Newton-Cotes 公式
1、公式推导
由 Lagrange 插值多项式L n(x)代替函数 f(x)
b b b n
I f (x)dx L n ( x)dx l i ( x) f ( x i )dx
a a a i 0
b
精品文档
n b
( l i ( x)dx) f ( x i )
a
i 0
记
A i l i ( x)dx
a
b n
A i f ( x i )则 I f ( x)dx
a
i
求积系数
A i的计算：
b a( 1)n i n n A i
n i!( n i )!0 j0
j i (t
i )
dt (b a)C i( n)-(i j )
C i( n)为Cotes系数；
b n n
A i f ( x i )(b a) C i( n ) f ( x i ) --------- Newton-Cotes求积公式
I f (x)dx
a i 0i 0
2、 Cotes 系数性质
对称性：C i( n) C n(n i)
n
权性：C i(n )1
i 0
3、常用公式
n=1
b b a
(()())
I f ( x)dx f f 梯形公式：a
2
n=2
Simpson,抛物公式：I b
b a a b
f ( x) dx( f (a) 4 f () f (b))
a62 n=4
Cotes 公式：I
b
b
a
(7 f ( x0 )32 f ( x1 )12 f ( x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 ))
f ( x)dx
a90
b a
x i a i
4
4误差估计：
见教材
举例说明。
§2 Romberg求积公式一、复化梯形公式
将积分区间 [a,b]，n等份，步长h b a
n
h
[ f (a) 2n 1
T n f (x i ) f (b)] 2i 1
误差估计：
二、梯形公式递推化
T2 n 1 T n h
22n 1
f (x 1 ) i 0
i
2
三、 Romberg求积公式由梯形公式修正，提高精度
S n 4
T2n
1
T n 33 16 1
C
n15 S
2n15
S
n
R n 64
C2n
1
C n
6363
§ 3 Gauss型求积公式
一、代数精确度
b
n
定义：若求积公式I f ( x)dx A i f ( x i ) 对任意≤m次代数多项式精确成立，而对m+1 次代数
a i 0
多项式不精确成立，称求积公式具有m 次代数精确度。
判定：求积公式具有 m 次代数精确度求积公式对 f ( x)1, x, x 2 ,..., x m精确成立；而对f (x) x m 1不精确成立。
例：梯形公式具有 1 次代数精确度；
定理 1：n+1 个节点的插值型求积公式代数精确度至少为n；
定理 2；Newton-Cotes 公式代数精确度至少为 n；当 n 为偶数时，可达n+1 次代数精确度。
二、 Gauss 型求积公式
b n
定义：若 n+1 个节点求积公式I f ( x) dx A i f ( x i ) 具有2n+1次代数精确度，则称为Gauss型
求积公式，节点为Gauss 点。
Gauss 点的特性：见教材
第八章常微分方程数值解
1.掌握 Euler方法（ Euler公式，梯形公式， Euler预估 -校正公式），局部截断误差，公式的阶；
2.了解 Runge-Kutta 方法的基本思想及四阶经典 Runge-Kutta 公式；
3.掌握线性多步方法的原理与公式推导。
本章问题：一阶常微分方程初值问题
dy
f (x, y)
dx
y( x0 )y0
解的存在性定理：
解析解的概念
数值解的概念
§1 Euler 方法
一、 Euler 公式
导数离散化
y' (x n ) f ( x n , y( x n ))
由向前差商代替导数
y' (x n )y( x n 1 ) y( x n )
h
得
y( x n 1 )y( x n ) hf ( x n , y( x n ))
记为
y n
y n hf (x n , y n ) ------- Euler显式公式
1
由向后差商代替导数
y' (x n 1 )y( x n 1 ) y(x n )
h
得
y( x n 1 )y( x n ) hf ( x n 1 , y(x n 1 ))
(,)
由中心差商代替导数
y ' (x n 1 )
y( x n 1 ) y(x n 1 )
2h
得
y( x n 1 ) y( x n 1 ) 2hf (x n , y( x n ))
记为 y n 1
y
n 1
2hf ( x n , y n ) ------- Euler 两步公式
二、 Euler 预估 -校正公式
梯形公式
y n 1
y
n
h
[ f ( x n , y n ) f ( x n 1 , y n 1 )]
2
预估： y n 1
y n hf ( x n , y n )
校正： y n
1
y n
h
[ f ( x n , y n ) f ( x n 1, y n 1 )]
2
三、误差估计 1． 局部截断误差 2． 公式的阶
3． 常见公式的误差 § 2 Runge-Kutta 方法
一、 Runge-Kutta 方法的基本思想
由微分中值定理
y( x n 1 ) y( x n ) y ' ( )
h y( x n 1 )
y( x n ) hf ( , y( ))
f ( , y( )) 为区间 [ x n , x n 1 ] 平均斜率， 利用区间 [ x n , x n 1 ] 多个点的斜率值加权平均来估计
平均斜率；
二、二阶 Runge-Kutta
方法
y n 1 y n h[(1 ) 1
2 ]
1 f (x n , y n )
2
f ( x n ph, y n ph 1 )
p
1
2
三、四阶经典 Runge-Kutta 方法
y n 1y
n
h
[ k 1
2k 2
2k 3 k 4 ]
6
k 1 f (x n , y n )
h h k 2 f (x n 2 , y
n
2 k 1 )
k 3
f (x n
h
, y n
h
k 2 )
2
2
k 4 f ( x n h, y n hk 3 )
§ 3 Adams 方法
一、 Adams 方法的基本思想
微分方程初值问题化为积分方程：
x
n 1
f ( x, y( x))dx y( x n )
x
n 1
y( x n 1 ) y( x n )
F (x)dx
x n
x n
由插值多项式 P k (x) 代替 F （ x ），
x
n 1
P k ( x) dx
x
n 1
y( x n 1 ) y( x n )
R k (x)dx
x n
x n
有公式
y
n 1
y n
x
n 1
P k ( x)dx
x n
二、三阶 Adams 外插公式
选取
x n , x n 1 , x n 2三点 作插值多项式 P 2 ( x)
x
n 1
P k ( x) dx
h
[5F ( x n 2 , y n 2 ) 16F (x n 1, y n 1 ) 23F (x n , y n )]
x n
12
y
n 1
y n
h
[5F ( x n 2 , y n 2 ) 16F ( x n 1 , y n 1 ) 23F ( x n , y n )]
12
三、四阶 Adams 外插公式 见教材
四、隐式 Adams 内插公式
见教材
工作总结与计划范文四篇
工作总结与计划范文四篇 通过总结与计划能够更好地协助我们理清工作思路，让我们工作水平提升更多，下面是###为您整理的《工作总结与计划范文四篇》，希望对大家有协助。 财务工作总结与计划 一、日常工作： 1、严格执行现金管理和结算制度，定期向会计核对现金与帐目，发现金额不符，做到即时汇报，即时处理。 2、即时收回公司各项收入，开出收据，即时收回现金存入银行。 3、根据会计提供的依据，与银行相关部门联系，井然有序地完成了职工工资和其它应发放的经费发放工作。 4、坚持财务手续，严格审核(凭证上必须有经手人及相关领导的签字才能给予支付)，对不符手续的凭证不付款。 二、其他工作 1、迎接公司上市财务审计，准备所需财务相关材料为迎接审计部门对我公司帐务情况的检查工作，做好前期自查自纠工作，对检查中可能出现的问题做好统计，并提交领导审阅。在工作中，我忠于职守，尽力而为，领导和同事们也给了我很大的协助和鼓励。 2.完成领导交付的其他工作。 三. 回顾检查自身存有的问题，我认为： 学习不够，当前，以信息技术为基础的会计软件的应用及理论基础、专业知识、工作方法等不能完全适合新的工作。 四、对针对以上问题，今后的努力方向是：
增强理论学习，进一步提升工作效率。对业务的熟悉，必须通过 相关专业知识的学习，虚心请教领导和同事增强分析问题、解决问题 的水平，努力学习，争取在明年取得会计从业资格证书。 综上所述。在过去的几个月中，付出过努力，也得到过回报。人 到中年，用严肃认真的态度对待工作，在工作中一丝不苟的执行制度，是我们的优势。我坚持要求自己做到谨慎的对待工作，并在工作中掌 握财务人员应该掌握的原则。作为财务人员特别需要在制度和人情之 间把握好分寸，既不能的触犯规章制度也不能不通世故人情。只有持 续的提升业务水平才能使工作更顺利的实行。在即将到来的20xx年， 我会扬长避短，更好的完成本职工作。 文员工作总结与计划 一、增强学习，努力提升自身素质。 坚持把增强学习作为提升自身素质的关键措施。在工作中，紧紧 把握“理论联系实际”这个主线，努力把知识用到工作实践当中，丰 富阅历，扩展视野，使自己尽快地适合工作并成为优秀的工作者。积 极参加公司的集体活动，认真学习规定的学习内容和篇目，坚持每周 写工作总结，认真记录每天的工作内容，使自己的素质有了很大的提升，为自己展开各项工作提供了强大的动力支持。同时。正视自己的 不足并积极补正，重点增强了电脑操作、传真机和复印机的使用，来 访人员的接待等方面的训练，为更好完成本职工作打下了坚实基础。 二、恪尽职守，认真做好本职工作。 三个月来，认真履行岗位职责，较好地完成了各项工作任务。一 是坚持完成领导办公室的卫生清洁和物品管理工作。一如既往，坚持 不懈，除极特殊原因外(时间变更、气候原因)，基本完成了工作任务，尽量做到让领导满意。二是协助主任做好办公室的日常事务、工作。 完成领导每天布置的工作并努力做好，如文件的打印和复印，相关人 员的来访，集体活动的安排和布置等。三是档案的管理。完成了档案 的整理工作并归档。工作的同时，也发现了自己的不足，如打字速度
数值计算方法课程设计
重庆邮电大学 数学与应用数学 专业 《数值计算方法》课程设计 姓名： 李金徽 王莹 刘姝楠 班级： 1131001 1131002 1131002 学号： 2010213542 2010213570 2010213571 设计时间： 2012-6-4 指导教师： 朱伟
一、课程设计目的 在科学计算与工程设计中，我们常会遇到求解线性方程组的问题，对于系数矩阵为低阶稠密矩阵的线性方程组，可以用直接法进行消元，而对于系数矩阵为大型稀疏矩阵的情况，直接法就显得比较繁琐，而迭代法比较适用。比较常用的迭代法有Jacobi 迭代与Gauss － seidel 迭代。本文基于两种方法设计算法，并比较他们的优劣。 二、课程设计内容 给出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组的算法思想和MATLAB 程序实现，并对比分析这两种算法的优劣。 三、问题的分析（含涉及的理论知识、算法等） Jacobi 迭代法 方程组迭代法的基本思想和求根的迭代法思想类似，即对于线性 方程组Ax = b( 其中n n n R b R R A ∈?∈,），即方程组 )1(2211222221211 1212111?? ???? ?=+?++??=+?++=+?++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 将系数矩阵A 写为 )2(000000 21122 12122 11U L D a a a a a a a a a A n n n n nn --≡??? ?? ? ? ??---- ??????? ??----??????? ??= 若选取D M =，则U L A M N +=-=，方程组)1(转化为等价方程组 b x U L Dx ++=)(
数值计算方法学习心得
数值计算方法学习心得 ------一个代码的方法是很重要，一个算法的思想也很重要，但 在我看来，更重要的是解决问题的方法，就像爱因斯坦说的内容比 思维本身更重要。 我上去讲的那次其实做了挺充分的准备，程序的运行，pdf文档，算法公式的推导，程序伪代码，不过有一点缺陷的地方，很多细节 没有讲的很清楚吧，下来之后也是更清楚了这个问题。 然后一学期下来，总的来说，看其他同学的分享，我也学习到 许多东西，并非只是代码的方法，更多的是章胜同学的口才，攀忠 的排版，小冯的深入挖掘…都是对我而言比算法更加值得珍惜的东西，又骄傲地回想一下，曾同为一个项目组的我们也更加感到做项 目对自己发展的巨大帮助了。 同时从这些次的实验中我发现以前学到的很多知识都非常有用。 比如说，以前做项目的时候，项目导师一直要求对于要上传的 文件尽量用pdf格式，不管是ppt还是文档，这便算是对产权的一种 保护。 再比如代码分享，最基础的要求便是——其他人拿到你的代码 也能运行出来，其次是代码分享的规范性，像我们可以用轻量级Ubuntu Pastebin，以前做过一小段时间acm，集训队里对于代码的分享都是推荐用这个，像数值计算实验我觉得用这个也差不多了，其 次项目级代码还是推荐github（被微软收购了），它的又是可能更 多在于个人代码平台的搭建，当然像readme文档及必要的一些数据 集放在上面都更方便一些。
然后在实验中，发现debug能力的重要性，对于代码错误点的 正确分析，以及一些与他人交流的“正规”途径，讨论算法可能出 错的地方以及要注意的细节等，比如acm比赛都是以三人为一小组，讨论过后，讲了一遍会发现自己对算法理解更加深刻。 然后学习算法，做项目做算法一般的正常流程是看论文，尽量 看英文文献，一般就是第一手资料，然后根据论文对算法的描述， 就是如同课上的流程一样，对算法进一步理解，然后进行复现，最 后就是尝试自己改进。比如知网查询牛顿法相关论文，会找到大量 可以参考的文献。 最后的最后，想说一下，计算机专业的同学看这个数值分析， 不一定行云流水，但肯定不至于看不懂写不出来，所以我们还是要 提高自己的核心竞争力，就是利用我们的优势，对于这种算法方面 的编程，至少比他们用的更加熟练，至少面对一个问题，我们能思 考出对应问题的最佳算法是哪一个更合适解决问题。 附记: 对课程的一些小建议： 1. debug的能力不容忽视，比如给一个关于代码实现已知错误的代码给同学们，让同学们自己思考一下，然后分享各自的debug方法，一步一步的去修改代码，最后集全班的力量完成代码的debug，这往往更能提升同学们的代码能力。 2. 课堂上的效率其实是有点低的，可能会给学生带来一些负反馈，降低学习热情。 3. 总的来说还是从这门课程中学到许多东西。 数值分析学习心得体会
周工作总结与计划模板
周工作总结与计划模板 以下是小编为大家整理的关于《周工作总结与计划模板》文章，供大家学习参考！小编推荐： 班主任工作计划| 个人工作计划| 幼儿园工作计划| 健康教育工作计划| 学生会工作计划| 工作总结与计划在自治区财政厅的领导和支持下，在中国注册会计师协会的指导和关怀下，自治区注册会计师协会根据注册会计师行业加强自律建设的整体要求和年度工作计划，认真学习“xxxx”重要思想，积极开展保持共产党员先进性教育活动，结合新形势下行业协会担负的责任，积极改进工作作风，转变思想观念，提高服务意识，扎实工作，取得了一定的成绩 一、加强协会的政治理论学习，积极开展保持共产党员
先进性教育活动，树立服务意识，提高服务质量 积极开展保持共产党员先进性教育活动。组织党员干部认真学习《保持共产党员先进性教育读本》及有关学习材料，深刻领会“xxxx”重要思想的科学内涵，并进行专题讨论。结合工作实际，查找问题和不足，树立为行业服务的意识，切实发挥党员的先锋模范带头作用。不断改进工作作风，积极开展调研活动，协会领导带头深入到会计师事务所当中，了解注册会计师以及广大从业人员的需求，努力协调和解决存在的困难和问题，以实际行动实践“xxxx”的要求。 积极组织干部参加支部和厅机关集中学习培训，严格执行财政厅周五理论和业务学习制度，学习形式灵活多样，如采取集体学习与自学相结合等方式，促进协会工作人员理论水平和专业知识的提高。加强廉政建设，不断增强协会工作人员廉洁自律意识，牢固树立起“以服务效率、服务质量促进行业发展，以服务能力树立行业形象”的新服务意识，坚持科学发展观，求真务实，积极工作。切实为会计师事务所、注册会计师和广大从业人员服务。
年度工作总结与计划范文5篇(最新篇)
年度工作总结与计划范文5篇 年度工作总结与计划范文5篇 光阴荏苒，岁月如歌。20xx年即将结束，201X年迈着崭新的步伐向我们走来。我从过去的储备干部到新晋柜长，也将近一年。在过去的一年中，由于缺乏工作经验，我在实践的过程中遇到了很多困难也碰了不少壁，与此同时我也得到不少磨练的机会，这些机会对我来说受益匪浅，感受颇深，现将尽一年的工作总结如下: 一立足本职工作，完成各项任务 首先由一名储备干部到柜长我有了很到的转变。作为一名储备，只要完成本职工作，并辅助主管与柜长处理日常事务即可，而作为一名柜长在将区域内人员管理好的同时，还要在货品分配上有明确细致的分化，在开展工作之初的确有些吃力，但是在主管及各领导的指导，同事的帮助下，我从自身寻找不足，严格要求自己，不断学习充实自我，较好的完成了自己的本职工作。通过近一年的学习和工作，自身发展取得了新的突破，工作方式有了很大的改变。 二自我磨练 梅花香自苦寒来自信自强勇攀高峰的工作态度，才能激励员工为企业创造价值。刚来到鑫博大，作为一名干部人员最为重要的就是在员工面前树立健康积极的形象，这样才有助于工作的开展，提高员工的销售业绩。而展现这一面貌的重要环节，在于每日的会议以及与员工的沟通。也许是因为不经常在很多人面前发言的原故，我说话时总是结结巴巴不知所云，胆怯紧张占据整个心头，对此我感觉非常失落尴尬，但，人总是越挫越勇，在对自己发言时存在的不足深思并找出
原因后，我主动向上级领导申请，在会议上多发言，锻炼自己的胆量，在上级领导的帮助和员工的鼓励下，我的发言也越来越流畅，员工的反应也越来越好，但我一定戒骄戒躁努力奋进。 同时，在刚开始处理售后问题的时候，因为自身的业务水平不足，在遇到许多较为刁难的顾客时不敢主动的去和顾客交流沟通怕引起不必要的争端，但没有尝试就没有发言权，问题总是需要解决的。学习如何巧妙而圆满的解决问题的方法才是重中之重，在领导的指导下，我不断的纠正自己的方式方法，从而得到了顾客的信任并增强了自己的自信心。 三货品方面 货品是一个卖场的灵魂货品的丰富多样来源于管理的好与坏，一开始认为货品没有什么好管理的，之后，经过多次与主管的沟通，了解到关于货品还有很多的知识，如:怎么去把握好库存及补货的量，季节与时间性的把握等等，而后在货品方面应多观察:畅销款式及时补足货源并与市场协调;多调整:随时查看各厅版面是否调理一致，及部分货品的动态;多总结:做好畅销款的记录及找出滞销款所存在的问题并及时调整。有了这些不可或缺的经验，现在我工作起较以前更加得心应手。 以上是我近一年来在工作中让我体会最深也受益最大的心得体会，在20xx年的新气象中我将继续坚持宽以待人，严于律己的工作格言，并贯穿落实认真，务实，创新，激-情的岗位誓词。我一定会用具体的工作绩效来诠释这些词汇的真正内涵，用实际行动来证明我能做的更好!
数值计算方法课程报告
课程报告 课程名称______《数值计算》 __ 学生学院_____机电工程学院___ 专业班级_____微电子（1）班____ 学号________ 学生姓名_______________ 指导教师_____ ________ XXXX年XX月XX日
姓 名： 线 学 号 ： 订 装专 业：学院： 广东工业大学考试试卷( A ) 课程名称: 数值计算试卷满分100 分考试时间: 2015 年 12 月 26 日(第 17 周星期六) 题号一二三四五六七八九十总分 评卷得分 评卷签名 复核得分 复核签名 “数值计算”考试要求 “数值计算”考试以开卷形式进行。在“数值计算”课程考试日（2015 年12 月 19 日，第 12 周星期五）考试时间，在考试教室领取试题，在 2015 年12 月 26 日（第 17 周星期六）进行答辩。不参加答辩者将取消考试成绩。 “数值计算”考试结果要求独立在计算机上完成，可使用Matlab或 C 程序编程实现。考试结果将以报告书形式提交，内容包括对问题描述、计算程序以及算例、计算结果、分析组成。计算程序要求具有通用性，能够处理异常情况，可以输入问题、算法参数、算例及初始值，在计算过程中显示当前计算状态、计算完成后显示计算结果。上述内容将作为试卷成绩的主要评定依据。特别提醒，不得使用教师在讲课和实验时的范例作为考试结果。报告书具体格式参考毕业设计手册。 以考生学号命名的文件夹存放程序及报告书电子版，以班级为单位刻录在一张光盘中，与打印版报告书一起由班长和学习委员一起上交任课教师。 数值计算课程总成绩将由试卷成绩（70%）、平时成绩（30%）组成。
个人工作总结及计划-模板
个人工作总结及计划 XX年即将过去，虽然来单位上班只有不到一个月的时间，但是，在单位领导与同事的热心帮助下，也有了一点收获。临近年终，我感觉有必要对自己的工作做出一下总结。目的在于吸取教训，提高自己，以至于把工作做的更好，自己有信心也有决心把明年的工作做的更好。下面我对这段时间的工作进行简要的总结。 我是今年11月份又来到单位工作的，虽然对单位已不陌生，但是，现在的单位对我来说是一个全新的工作环境，一个新的起点。到单位之后，一切从零开始，一边学习专业知识，做好办公室服务工作。一边凭着自己对计算机技术的热爱，解决了一些络故障。我经常请教单位的一些有经验的水产工程师，一起寻求解决问题的方案和对一些比较复杂的问题进行研究针对性的策略，取得了良好的效果。 通过不断的学习专业知识，吸取同行业之间的信息和积累经验。现在对站建设有了一个大概的认识和了解。现在我逐渐掌握了络建设、页设计的各种技术。所以经过一个月左右的努力，也完成了站域名注册，站空间申请等成功任务。郯城渔业信息的上线将成为我站对外宣传的一个新的窗口。 在不断的学习专业知识和积累经验的同时，自己的能力、业务水平都比以前有了一个较大幅度的提高，针对我站目前的形式，现在可以拿出一个比较完整的方案应付一些络故障，对于一个站建设项目可以全程的操作下来。 存在的缺点： 对于渔业技术的专业知识了解还不够深入，对站建设的技术问题掌握的还比较薄弱。还不能十分清晰的向渔民解释鱼病防治的相关知识。对于一些大的络故障不能快速拿出一个很好的解决问题的方法。本职的工作做得不好，感觉还停留在一个计算机初级水平。 XX年的目标是将郯城渔业信息站的访问量有大的突破，这个目标很难达到，不过努力吧，努力总会有好的结果。 XX年需做的事情： 1、站每日更新不能少于5篇文章; 2、致力于二个重点栏目：渔业技术推广和渔政监督管理 3、寻找到新的突破点。
太原理工大学数值计算方法实验报告
本科实验报告 课程名称：计算机数值方法 实验项目：方程求根、线性方程组的直接解 法、线性方程组的迭代解法、代数插值和最 小二乘拟合多项式 实验地点：行勉楼 专业班级： ******** 学号： ********* 学生姓名： ******** 指导教师：李誌，崔冬华 2016年 4 月 8 日
y = x*x*x + 4 * x*x - 10; return y; } float Calculate(float a,float b) { c = (a + b) / 2; n++; if (GetY(c) == 0 || ((b - a) / 2) < 0.000005) { cout << c <<"为方程的解"<< endl; return 0; } if (GetY(a)*GetY(c) < 0) { return Calculate(a,c); } if (GetY(c)*GetY(b)< 0) { return Calculate(c,b); } } }; int main() { cout << "方程组为：f(x)=x^3+4x^2-10=0" << endl; float a, b; Text text; text.Getab(); a = text.a; b = text.b; text.Calculate(a, b); return 0; } 2.割线法： // 方程求根（割线法）.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。// #include "stdafx.h" #include"iostream"
心得体会 使用不同的方法，可以不同程度的求得方程的解，通过二分法计算的程序实现更加了解二分法的特点，二分法过程简单，程序容易实现，但该方法收敛比较慢一般用于求根的初始近似值，不同的方法速度不同。面对一个复杂的问题，要学会简化处理步骤，分步骤一点一点的循序处理，只有这样，才能高效的解决一个复杂问题。
数值分析实验报告总结
数值分析实验报告总结 随着电子计算机的普及与发展，科学计算已成为现代科 学的重要组成部分，因而数值计算方法的内容也愈来愈广泛和丰富。通过本学期的学习，主要掌握了一些数值方法的基本原理、具体算法，并通过编程在计算机上来实现这些算法。 算法算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完 整的解题步骤。算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。具有的特征：正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现、计算结果可靠。 误差 计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差， 并且应能估计误差。误差是指近似值与真正值之差。绝对误差是指近似值与真正值之差或差的绝对值；相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对值。误差来源见表 第三章泛函分析泛函分析概要 泛函分析是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间 变换的一门较新的数学分支，隶属分析数学。它以各种学科
如果 a 是相容范数，且任何满足 为具体背景，在集合的基础上，把客观世界中的研究对象抽 范数 范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函 分析及相关的数学领域，泛函是一个函数，其为矢量空间内 的所有矢量赋予非零的正长度或大小。这里以 Cn 空间为例， Rn 空间类似。最常用的范数就是 P-范数。那么 当P 取1, 2 ,s 的时候分别是以下几种最简单的情形: 其中2-范数就是通常意义下的距离。 对于这些范数有以下不等式: 1 < n1/2 另外，若p 和q 是赫德尔共轭指标，即 1/p+1/q=1 么有赫德尔不等式: II = ||xH*y| 当p=q=2时就是柯西-许瓦兹不等式 般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之 矩阵范数通常也称为相容范数。 象为元素和空间。女口：距离空间，赋范线性空间， 内积空间。 1-范数: 1= x1 + x2 +?+ xn 2-范数: x 2=1/2 8 -范数: 8 =max oo ，那 外，还规定其必须满足相容性: 所以
工作总结及计划模板
工作总结及计划模板 导读：范文工作总结及计划模板 【范文一：电话销售工作总结及计划】 我加入电话营销行业已有近两个月的时间，总的来说，在领导的关心和同事的帮助下，工作有了显著的进步。虽然跟自己的目标和领导的要求还有一定差距，但前景是好的，心态是正的，信心是饱满的！当然问题也是突出的： 1、技能不过硬，话术还有问题。发现在跟客户交流的时候，方法不够灵活，心急的时候会有点口吃。 2、工作状态不稳定，比如前两天状态不错的时候跟客户聊得非常好，包括打新单时接通率都会高些。但礼拜三时状态就很差，拿起电话不知道说些什么。脑子一片浆糊。 3、销售意识不强，往往是聊了很长时间的客户都不清楚我到底是要跟他推销什么。只是从我这里听消息。 4、过分在乎成败，急躁，把握不好分寸，常常在不恰当的时候推销产品或者啰嗦过多，让客户有所反感。
5、自我要求不强，平时业余时间没有充分利用来学习提高自己，总体能力素质不够强。 对于这些问题，以下是我做出的下个月电话销售工作计划： 在年度销售工作计划里我主要将客户信息划分为四大类： 1、对于老客户，和固定客户，要经常保持联系，稳定与客户关系。 2、现在正在尝试各种工作方法，试图找出一种适合自己，使用起来得心应手的方式。 3、控制自己的情绪与状态，尽量保持状态稳定，保持良好的状态。 4、加强销售意识，加强目的性，有计划，有步骤的去和客户交流，戒急戒躁，从容面对挑战。 5、要有好业绩就得加强业务学习，开拓视野，丰富知识，采取多样化形式，把学业务与交流技能向结合。
6、和公司其他员工要有良好的沟通，有团队意识，多交流，多探讨，才能不断增长业务技能。 7、自己多总结工作，看看有哪些工作上的失误，及时改正。 以上就是我的工作计划，工作中总会有各种各样的困难，我会向领导请示，向同事探讨，共同努力克服。为公司做出自己最大的贡献。 【范文二：物业客服个人工作总结及计划】 忙碌的20xx年即将过去。回首客务部一年来的工作，感慨颇深。这一年来客服部在公司各级领导的关心和支持下、在客服部全体人员的积极努力配合下、在发现、解决、总结中逐渐成熟，并且取得了一定的成绩。 一、提高服务质量，规范前台服务。 自20XX年我部门提出“首问负责制”的工作方针后，20xx年是全面落实该方针的一年。在日常工作中无论遇到任何问题，我们都能作到各项工作不推诿，负责到底。不管是否属于本岗位的事宜都要跟踪落实，保证公司各项工作的连惯性，使工作在一个良性的状态下进
MATLAB与数值分析课程总结
MATLAB与数值分析课程总结 姓名：董建伟 学号：2015020904027 一：MATLAB部分 1.处理矩阵－容易 矩阵的创建 （1）直接创建注意 a中括号里可以用空格或者逗号将矩阵元素分开 b矩阵元素可以是任何MATLAB表达式，如实数复数等 c可以调用赋值过的任何变量，变量名不要重复，否则会被覆盖 （2）用MATLAB函数创建矩阵如：a空阵［］ b rand/randn——随机矩阵 c eye——单位矩阵 d zeros ——0矩阵 e ones——1矩阵 f magic——产生n阶幻方矩阵等 向量的生成 （1）用冒号生成向量 （2）使用linspace和logspace分别生成线性等分向量和对 数等分向量 矩阵的标识和引用 （1）向量标识 （2）“0 1”逻辑向量或矩阵标识 （3）全下标，单下标，逻辑矩阵方式引用 字符串数组 （1）字符串按行向量进行储存 （2）所有字符串用单引号括起来 （3）直接进行创建 矩阵运算 （1）注意与数组点乘，除与直接乘除的区别，数组为乘方对应元素的幂
（2）左右除时斜杠底部靠近谁谁是分母 （3）其他运算如，inv矩阵求逆，det行列式的值, eig特征值，diag 对角矩阵 2.绘图－轻松 plot－绘制二维曲线 （1）plot(x)绘制以x为纵坐标的二维曲线 plot(x,y) 绘制以x为横坐标，y为纵坐标的二维曲线 x,y为向量或矩阵 （2）plot（x1,y1,x2,y2，。。。。。。）绘制多条曲线，不同字母代替不同颜色:b蓝色，y黄色，r红色，g绿色 （3）hold on后面的pl ot图像叠加在一起 hold off解除hold on命令，plot将先冲去窗口已有图形（4）在hold后面加上figure，可以绘制多幅图形 （5）subplot在同一窗口画多个子图 三维图形的绘制 (1)plot3(x,y,z,’s’) s是指定线型，色彩，数据点形的字 符串 (2)［X,Y］＝meshgrid(x,y)生成平面网格点 (3)mesh(x,y,z，c)生成三维网格点，c为颜色矩阵 (4)三维表面处理mesh命令对网格着色，surf对网格片着色 (5)contour绘制二维等高线 (6)axis(［x1,xu,y1,yu］)定义x,y的显示范围 3．编程－简洁 （1）变量命名时可以由字母，数字，下划线，但是不得包含空格和标点 （2）最常用的数据类型只有双精度型和字符型，其他数据类型只在特殊条件下使用 （3）为得到高效代码，尽量提高代码的向量化程度，避免使用循环结构
数值分析心得体会
数值分析心得体会 篇一：学习数值分析的经验 数值分析实验的经验、感受、收获、建议班级：计算131 学号：XX014302 姓名：曾欢欢 数值分析实验主要就是学习MATLAB的使用以及对数值分析类容的应用，可以使学生更加理解和记忆数值分析学得类容，也巩固了MATLAB的学习，有利于以后这个软件我们的使用。在做实验中，我们需要具备较好的编程能力、明白MATLAB软件的使用以及掌握数值分析的思想，才能让我们独立自主的完成该作业，如果是上述能力有限的同学，需要借助MATLAB的书以及网络来完成实验。数值分析实验对于我来说还是有一定难度，所以我课下先复习了MATLAB的使用方法以及编写程序的基本类容，借助互联网和同学老师资源完成了数值分析得实验的内容。在实验书写中，我复习了各种知识，所以我认为这门课程是有必要且是有用处的，特别是需要处理大量实验数据的人员，很有必要深入了解学习它，这样在以后的工作学习里面就减少了很多计算问题也提高了实验结果的精确度。 学习数值分析的经验、感受、收获、建议数值分析的内容包括插值与逼近，数值微分与数值积分，非线性方程与线性方程组的数值解法，矩阵的特征值与特征向量计算，常微分方程数值解等。
首先我们必须明白数值分析的用途。通常所学的其他数学类学科都是由公式定理开始，从研究他们的定义，性质再到证明与应用。但实际上，尤其是工程，物理，化学等其它具体的学科。往往我们拿到 手的只是通过实验得到的数据。如果是验证性试验，需要代回到公式 进行分析，验证。但往往更多面对的是研究性或试探性试验，无具体 公式定理可代。那就必须通过插值，拟合等计算方法进行数据处理以得到一个相对可用的一般公式。还有许多计算公式理论上非常复杂，在工程中不实用，所以必须根据实际情况把它转化成多项式近似表 示。学习数值分析，不应盲目记公式，因为公事通常很长且很乏味。其次，应从公式所面临的问题以及用途出发。比如插值方法，就 是就是把实验所得的数据看成是公式的解，由这些解反推出一个近似公式，可以具有局部一般性。再比如说拟合，在插值的基础上考虑实 验误差，通过拟合能将误差尽可能缩小，之后目的也是得到一个具有 一定条件下的一般性的公式。。建议学习本门课程要结合知识与实际，比如在物理实验里面很多
数值计算方法总结计划复习总结提纲.docx
数值计算方法复习提纲 第一章数值计算中的误差分析 1 2．了解误差 ( 绝对误差、相对误差 ) 3．掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原则。 1、误差的来源 模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差 2误差与有效数字 绝对误差E（x）=x-x * 绝对误差限x*x x* 相对误差E r (x) ( x x* ) / x ( x x* ) / x* 有效数字 x*0.a1 a2 ....a n10 m 若x x*110m n ，称x*有n位有效数字。 2 有效数字与误差关系 （ 1）m 一定时，有效数字n 越多，绝对误差限越小； （ 2）x*有 n 位有效数字，则相对误差限为E r (x)1 10 (n 1)。 2a1 选择算法应遵循的原则 1、选用数值稳定的算法，控制误差传播； 例 I n 11n x dx e x e I 0 1 1 I n1nI n1 e △ x n n! △x0 2、简化计算步骤，减少运算次数； 3、避免两个相近数相减，和接近零的数作分母；避免
第二章线性方程组的数值解法 1．了解 Gauss 消元法、主元消元法基本思想及算法； 2．掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组； （Doolittle 分解； Crout分解； Cholesky分解；追赶法） 3．掌握迭代法的基本思想，Jacobi 迭代法与 Gauss-Seidel 4．掌握向量与矩阵的范数及其性质, 迭代法的收敛性及其判定。 本章主要解决线性方程组求解问题，假设n 行 n 列线性方程组有唯一解，如何得到其解？ a 11x 1 a 12 x 2... a 1n x n b1 a 21x 1 a 22 x 2... a 2n x n b2 ... a n1x 1 a n 2 x 2... a nn x n b n 两类方法，第一是直接解法，得到其精确解； 第二是迭代解法，得到其近似解。 一、Gauss消去法 1、顺序Ｇ auss 消去法 记方程组为： a11(1) x1a12(1) x2... a1(1n) x n b1(1) a21(1) x1a22(1) x2... a2(1n) x n b2(1) ... a n(11) x1a n(12) x2... a nn(1) x n b n(1) 消元过程： 经ｎ－１步消元，化为上三角方程组 a11(1) x1b1(1) a 21(2) x1a22(2 ) x2b2( 2 ) ... a n(1n) x1a n(n2) x2...a nn(n ) x n b n( n ) 第ｋ步 若a kk(k)0 ( k 1)( k) a ik(k )(k )( k 1)( k )a ik(k )( k) a ij a ij a kk(k ) a kj b i b i a kk(k )b k k 1,...n 1 i, j k 1,....,n 回代过程：
周工作总结与计划模板
周工作总结与计划模板 小编推荐：班主任工作计划| 个人工作计划| 幼儿园工作计划| 健康教育工作计划| 学生会工作计划| 工作总结与计划 在自治区财政厅的领导和支持下，在中国注册会计师协会的指导和关怀下，自治区注册会计师协会根据注册会计师行业加强自律建设的整体要求和年度工作计划，认真学习“xxxx”重要思想，积极开展保持共产党员先进性教育活动，结合新形势下行业协会担负的责任，积极改进工作作风，转变思想观念，提高服务意识，扎实工作，取得了一定的成绩 一、加强协会的政治理论学习，积极开展保持共产党员先进性教育活动，树立服务意识，提高服务质量 积极开展保持共产党员先进性教育活动。组织党员干部认真学习《保持共产党员先进性教育读本》及有关学习材料，深刻领会“xxxx”重要思想的科学内涵，并进行专题讨论。结合工作实际，查找问题和不足，树立为行业服务的意识，切实发挥党员的先锋模范带头作用。不断改进工作作风，积极开展调研活动，协会领导带头深入到会计师事务所当中，了解注册会计师以及广大从业人员的需求，努力协调和解决存在的困难和问题，以实际行动实践“xxxx”的要求。 积极组织干部参加支部和厅机关集中学习培训，严格执行财政厅周五理论和业务学习制度，学习形式灵活多样，如采取集体学习与自学相结合等方式，促进协会工作人员理论水平和专业知识的提高。加强廉政建设，不断增强协会工作人员廉洁自律意识，牢固树立起“以服务效率、服务质量促进行业发展，以服务能力树立行业形象”的新服务意识，坚持科学发展观，求真务实，积极工作。切实为会计师事务所、注册会计师和广大从业人员服务。 加强协会内部工作管理，建立健全协会各项工作制度建设，保证协会各项职责的履行。确定年度工作目标，协会秘书处和各业务部室年初工作有计划，年度内督促抓落实，半年和年度有总结。提倡个人之间、部室之间的工作协作，按照既定工作目标和任务，克服对上承担两个全国协会的工作任务，工作头绪多，专业人员不足的困难，保证了协会工作的顺利完成。 二、认真进行了注册会计师执业资格年检工作 按照《中华人民共和国注册会计师法》及财政部、中国注册会计师协会的有关规定，
个人年终工作总结及计划模板(基础版)
个人年终工作总结及计划模板(基础版) Personal year end work summary and plan template (Basic Edi tion) 汇报人：JinTai College
个人年终工作总结及计划模板(基础版) 前言：工作总结是将一个时间段的工作进行一次全面系统的总检查、总评价、总分析，并分析不足。通过总结，可以把零散的、肤浅的感性认识上升为系统、深刻的 理性认识，从而得出科学的结论，以便改正缺点，吸取经验教训，指引下一步工作 顺利展开。本文档根据工作总结的书写内容要求，带有自我性、回顾性、客观性和 经验性的特点全面复盘，具有实践指导意义。便于学习和使用，本文档下载后内容 可按需编辑修改及打印。 年就快结束，回首年的工作，有硕果累累的喜悦，有与 同事协同攻关的艰辛，也有遇到困难和挫折时惆怅，时光过得飞快，不知不觉中，充满希望的年就伴随着新年伊始即将临近。可以说，年是公司推进行业改革、拓展市场、持续发展的关键年。现就本年度重要工作情况总结如下： 一、虚心学习，努力工作，圆满完成任务! （一）在年里，我自觉加强学习，虚心求教释惑，不断 理清工作思路，总结工作方法，一方面，干中学、学中干，不断掌握方法积累经验。我注重以工作任务为牵引，依托工作岗位学习提高，通过观察、摸索、查阅资料和实践锻炼，较快地完成任务。另一方面，问书本、问同事，不断丰富知识掌握技巧。在各级领导和同事的帮助指导下，不断进步，逐渐摸清了工作中的基本情况，找到了切入点，把握住了工作重点和难点。
（二）年工程维修主要有：在卫生间后墙贴瓷砖，天花修补，二栋宿舍走廊护栏及宿舍阳台护栏的维修，还有各类大小维修已达几千件之多! （三）爱岗敬业、扎实工作、不怕困难、勇挑重担，热情服务，在本职岗位上发挥出应有的作用 二、心系本职工作，认真履行职责，突出工作重点，落实管理目标责任制。 （一）年上半年，公司已制定了完善的规程及考勤制度年下半年，行政部组织召开了年的工作安排布置会议年底实行工作目标完成情况考评，将考评结果列入各部门管理人员的年终绩效。在工作目标落实过程中宿舍管理完善工作制度，有力地促进了管理水平的整体提升。 （二）对清洁工每周不定期检查评分，对好的奖励，差的处罚。 （三）做好固定资产管理工作要求负责宿舍固定资产管理， 对固定资产的监督、管理、维修和使用维护。
(整理)数值分析计算方法超级总结
工程硕士《数值分析》总复习题（2011年用） [由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用] 一. 解答下列问题: 1）下列所取近似值有多少位有效数字( 注意根据什么? ): a) 对 e = 2.718281828459045…,取* x = 2.71828 b) 数学家祖冲之取 113355 作为π的近似值. c) 经过四舍五入得出的近似值12345，-0.001, 90.55000, 它们的有效 数字位数分别为 位, 位, 位。 2) 简述下名词: a) 截断误差 (不超过60字) b) 舍入误差 (不超过60字) c) 算法数值稳定性 (不超过60字) 3) 试推导( 按定义或利用近似公式 ): 计算3 x 时的相对误差约等于x 的相对 误差的3倍。 4) 计算球体积3 34r V π= 时,为使其相对误差不超过 0.3% ,求半径r 的相对 误差的允许范围。 5） 计算下式 341 8 )1(3)1(7)1(5)1(22345+-+---+---=x x x x x x P ）（ 时,为了减少乘除法次数, 通常采用什么算法? 将算式加工成什么形式? 6) 递推公式 ?????=-==- ,2,1,1102 10n y y y n n 如果取 * 041.12y y =≈= ( 三位有效数字 ) 作近似计算， 问计算到 10y 时误差为初始误差的多少倍？ 这个计算过程数值稳定吗 ？ 二. 插值问题: 1) 设函数 )(x f 在五个互异节点 54321,,,,x x x x x 上对应的函数值为 54321,,,,f f f f f ，根据定理，必存在唯一的次数 （A ） 的插值多项式 )(x P ，满足插值条件 ( B ) . 对此，为了构造Lagrange 插值多项式 )(x L ,由5个节点作 ( C ) 个、次数均为 ( D ) 次的插值基函数
年终工作总结报告模板
工作汇报/工作计划/年终工作总结 姓名：____________________ 单位：____________________ 日期：____________________ 年终工作总结报告模板Year end work summary report template
年终工作总结报告模板 年终工作总结报告模板范文一 20xx年，区农业局党总支部以精神为指导，深入学习贯彻党的群众路线教育实践活动，紧紧围绕我区农业农村工作目标要求，从理论学习、作风建设、业务开展等方面，大力加强内部管理，全面夯实党总支部各项基础工作，团结带领广大党员干部职工，开拓创新，积极投身到社会主义新农村建设的具体实践中，认真做好党建的各项工作，真正发挥了党组织战斗堡垒作用，现将情况总结如下： 一、加强理论学习，增强党员队伍整体素质 抓好“学习型”机关建设，重点加强干部职工的政治理论、业务知识、法制知识等教育培训，提高干部职工的整体素质。一是认真组织学习邓小平理论、“三个代表”重要思想、科学发展观、精神;加强学习《党员领导干部廉洁从政若干准则》、《关于领导干部报告个人有关事项的规定》等党纪条规;学习《xx届中央政治局关于改进工作作风、密切联系群众的八项规定》、《贯彻落实实施办法》、省纪委《关于整治庸懒散奢等不良风气，切实改进工作作风的意见》,市委办公室、市府办公室《关于印发XX市“正风肃纪”行动工作方案的通知》,《关于实行党风廉政建设责任制的规定》等党内法规，进一步提升党员队伍的整治理论水平，增强党员队伍的政治意识、大局意识、廉洁自律意识和遵纪守法观念。二是
深入学习党和国家的各项路线、方针、政策，研讨领会其中的深刻内涵，认真学习贯彻区委领导讲话和有关会议精神，提高全体党员规范宣传执行党和国家政策的能力。三是深入学习农业法律、法规，现代农业科技应用以及农村经济管理等业务知识，提高全体党员的业务水平。20xx年，区农业局党总支部共组织党员学习活动10次，集中学习篇目达22篇，参加学习党员人数达500多人次。同时，坚持集中学习与自学相结合，严肃学习纪律，严格学习考勤，对重要内容组织分组讨论，确保了学习实效。通过学习，大大提高了党员干部的思想政治觉悟，坚定了共产主义理想信念，党员队伍的整体素质得到明显提升。 二、加强作风建设，提升党员队伍为民办事能力 一是持之以恒地推动创先争优活动深入扎实开展。如开展以“为民、务实、清廉”为主要内容的“机关联系基层、干部联系群众”主题教育实践活动，以“下基层、进农户、办实事”为载体，问政于民、问计于民、问需于民，切实发挥党员干部服务中心、服务大局、服务人民的重要作用;开展了以“严纪律、正作风、促廉洁”为主题的纪律教育学习月活动，对党员干部开展理想信念教育、作风纪律教育、政治品质和道德品行教育，夯实党员干部和公职人员廉洁从政的思想基础，引导党员干部弘扬优良作风，解决突出问题，保持清廉本色;开展民主评议政风行风活动，通过问卷、网上调查、上门走访、开座谈会等各种方式及区直行评团帮查找的形式，多渠道收集服务对象和社会各界的意见建议，深入查找我局政风行风建设存在的问题，精心研究制定整改方案，并狠抓方案落实，切实改善我局的政风行风。通过各项活动的开展切实转变工作作风，提高服务基层、服务农村、服务群众的水平和效率。 二是加强民主集中制建设。做到分工负责，又注重团结协作，大事讲原则，
办公室工作总结及工作计划表格
办公室工作总结及工作计划表格 综合办公室是公司总经理室直接领导下的综合管理部门，是承上启下、沟通内外、协调左右、联系四面八方的枢纽，工作也千头万绪，有文书处理、档案管理、文件批转、人事管理、薪资管理、采购管理等。工作虽然繁杂琐碎，综合办公室三名人员各司其职，分管行政、人事、采购工作，人员虽然很少，综合办公室人员工却分工不分家，在工作上相互鼓励，相互学习。 过去的一年，综合办公室在公司领导的关心和帮助下，在全体员工的不懈努力下，各项工作有了一定的进展，为XX年工作奠定了基础，创造了良好的条件。为了总结经验、寻找差距，促进部门各项工作再上一个台阶，现将XX年工作总结汇报如下。 一、综合办公室行政管理工作： 1、认真做好综合办公室的文件整理工作 XX年1月至11月，按照公司要求拟定综合性文件、报告96份；整理对外发文167份；整理外部收文125份，综合办公室已认真做好相关文件的收、发、登记、分发、文件和督办工作，以及对文件资料的整理存档工作。 2、协助公司领导，完善公司制度 根据公司运行工作实际，协助公司领导相继完善了《规章制度汇编》、《员工手册》等规章制度。通过这些制度，规范了
公司员工的行为，增加了员工的责任心。 3、完成公司资产变更、年审工商登记、组织机构代码证、资质证书等工作 由于公司发展需要，资产变更故需进行变更工商登记。于XX 年6月5日顺利完成工商登记和组织机构代码证变更工作，为公司顺利经营打下基础。于XX年9月完成资质证书变更工作，为公司顺利发展打下基础。 4、顺利完成各项会议、接待工作 对在公司召开的会议，会前做好签到本、茶水、椅子、会议通知、车辆接送等各项准备工作，保证会议按时召开。会后完成记录报总经理室。对在公司外召开的会议及接待，及时按照通知要求做好酒店、车辆等预定工作，并做好相关费用的结算工作。 5、组织安排各项活动 XX年综合办公室组织安排了各种形式的活动，得到了各部门、项目部的支持。元月份组织各部门、项目部员工参加抗雪救灾活动；4月份在指挥部领导下组织了公司团员参加了植物认养活动；5月份起组织全体员工向地震灾区捐款的活动，三次募捐共筹得善款一万三千余元，物资若干；6月份组织员工参加迎奥运火炬方队，为奥运圣火在合肥的顺利传递贡献了自己的力量，同期，组织各项目员工开展“从细节入手，提高服务质量”大讨论活动。
年度工作总结及计划范文4篇
年度工作总结及计划范文4篇 年度工作总结及计划范文1 时光如梭，转眼间20xx年度工作即将结束，自入职xx项目以来，在项目领导的指导下和各部门的支持和配合下，基本完成了年初预期 工作目标及各项工作计划。一年以来，客服部围绕XX收费工作，加强 了部门内部管理工作，强化了XX服务水平，增进与业主的沟通并妥善 处理了与业主有关的纠纷、赔偿事件，部门各项工作有了明显的提高 和改善，员工工作积极性得到大幅提高，业主满意率有了显著提高。 现将本年度工作总结如下。 本年度XX收费1220000元（截止到2011年12月15日），收缴 率80%，清缴上年度XX费10000元；处理赔偿纠纷42起，达成率100%；协调处理大型XX保修维修10件，业主基本满意；接待业主上 门投诉12件，处理及时率100%；受理日常报修120件，合格率100%；上门面访700人/次，受理意见、建议200余件。 一、本年度部门工作表现好的方面 （一）规范内部管理，增强了员工责任心和工作效率。 自加入xx项目客服部后，发现部门内部管理比较薄弱，主要表现 在员工责任心不强、工作主动性不够、工作效率较低、办事拖拉等方面。针对上述问题，本人进一步完善了部门责任制，明确了部门员工 的责任及工作标准；加强与员工的沟通，有针对性的组织多项培训， 定期对员工的工作进行点评，有力的激励了员工的工作责任心。目前，部门员工工作积极性较高，由原来的被动、有条件的工作转变成现在 的主动、自愿的工作态度，从而促进了部门各项工作的开展。 （二）采取多种形式和措施，巩固和提高了XX收费水平。 本年度XX费累计收缴1000000元，收缴率同比去年增长7%（去年XX费收缴率60%），总体收费水平得到巩固和进一步提高。归纳起来 重点做好了三项收费管理工作，第一，收费形式多样化，重点加强节 假日上门收费。此前，客服部主要采取的是电话和贴通知的催缴方式，这两种催缴方式存在收费效率低和业主交费积极性差的问题，因此， 增加了路遇和上门催费方式，并确保每周六、日全部客服员上门收费，