正弦函数、余弦函数的性质 【学习目标】 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义; 2.理解正弦函数、余弦函数在区间]2,0[π上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等). 【要点梳理】 要点一:周期函数的定义 函数)(x f y =,定义域为I ,当I x ∈时,都有)()(x f T x f =+,其中T 是一个非零的常数,则)(x f y =是周期函数,T 是它的一个周期. 要点诠释: 1.定义是对I 中的每一个x 值来说的,只有个别的x 值满足)()(x f T x f =+或只差个别的x 值不满足 )()(x f T x f =+都不能说T 是)(x f y =的一个周期. 2.对于周期函数来说,如果所有的周期中存在一个最小的正数,就称它为最小正周期,三角函数中的周期一般都指最小正周期. 要点二:正弦函数、余弦函数的图象和性质 (1)正弦函数、余弦函数的值域为[]1,1-,是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线,如果定义域不是全体实数,那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是[]1,1-,因而求正弦函数、余弦函数的值域时,要特别注意其定义域. (2)求正弦函数的单调区间时,易错点有二:一是单调区间容易求反,要注意增减区间的求法,如求
sin()y x =-的单调递增区间时, 应先将sin()y x =-变换为sin y x =-再求解,相当于求sin y x =的单调递减区间;二是根据单调性的定义,所求的单调区间必须在函数的定义域内,因此求单调区间时,必须先 求定义域. 要点三:正弦型函数sin()y A x ω?=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ω?ω=+>的性质. 函数sin()y A x ω?=+与函数cos()y A x ω?=+可看作是由正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =复合而成的复合函数,因此它们的性质可由正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =类似地得到: (1)定义域:R (2)值域:[],A A - (3)单调区间:求形如sin()y A x ω?=+与函数cos()(,0)y A x A ω?ω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答,即把x ω?+视为一个“整体”,分别与正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =的单调递增(减)区间对应解出x ,即为所求的单调递增(减)区间.比如:由 )(2 22 2Z k k x k ∈+ ≤+≤- π π?ωπ π解出x 的范围所得区间即为增区间,由 )(2 3222Z k k x k ∈+≤+≤+ππ?ωππ解出x 的范围,所得区间即为减区间. (4)奇偶性:正弦型函数sin()y A x ω?=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ω?ω=+>不一定具备奇偶性.对于函数sin()y A x ω?=+,当()k k z ?π=∈时为奇函数,当()2 k k z π ?π=±∈时为偶函数; 对于函数cos()y A x ω?=+,当()k k z ?π=∈时为偶函数,当()2 k k z π ?π=±∈时为奇函数. 要点诠释: 判断函数sin()y A x ω?=+,cos()y A x ω?=+的奇偶性除利用定义和有关结论外,也可以通过图象直观判断,但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件. (5)周期:函数sin()y A x ω?=+及函数cos()y A x ω?=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关,其周期为2T π ω = . (6)对称轴和对称中心 与正弦函数sin y x =比较可知,当()2 x k k z π ω?π+=± ∈时,函数sin()y A x ω?=+取得最大值(或 最小值),因此函数sin()y A x ω?=+的对称轴由()2 x k k z π ω?π+=± ∈解出,其对称中心的横坐标 ()x k k z ω?π+=∈,即对称中心为,0()k k z π?ω-?? ∈ ??? .同理,cos()y A x ω?=+的对称轴由
教学准备 教学目标 1. 知识目标:理解并掌握正弦定理,能初步运用正弦定理解斜三角形;技能目标:理解用向量方法推导正弦定理的过程,进一步巩固向量知识,体现向量的工具性情感态度价值观:培养学生 在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; /难点教学重点2. 重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判 断解的个数。教学用具 3. 多媒体标签 4. 正弦定理 教学过程 讲授新课在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角 根据锐BC=a,AC=b,AB=c, ABC.与边的等式关系。如图11-2,在Rt中,设角三角函数中正弦函数的定义,有 . ,又,则,中,ABC从而在直角三角 形.
思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?(由学生讨论、分析)可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: ,根上的高是CDABC1(证法一)如图.1-3,当是锐角三角形时,设边AB CD=据任意角三角函数的定义,有,则. . 同理可得,从而
是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。(由学生课后ABC类似可推出,当自己推导)从上面的研探过程,可得以下定理正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 ] 理解定理[)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系 数为同1 ( ;使一正数,即存在正数k,,
等价于2(),,。从而知正弦定理的基本作用为: ;①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 . 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。. 评述:应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。 2(1)题。)、(页练习第第随堂练习[]511
正弦定理和余弦定理 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导;2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形;3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查. 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用;2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换,和三角函数性质相结合. 1. 正弦定理:a sin A =b sin B =c sin C =2R ,其中R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形:(1)a ∶b ∶c =sin_A ∶sin_B ∶sin_C ;(2)a =2R sin_A ,b =2R sin_B ,c =2R sin_C ;(3)sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C = c 2R 等形式,解决不同的三角形问题. 2. 余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc cos_A ,b 2=a 2+c 2-2ac cos_B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos_C .余弦定理可以变形: cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac ,cos C =a 2+b 2-c 2 2ab . 3. S △ABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B =abc 4R =1 2 (a +b +c )·r (r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算R 、 r . 4. 在△ABC 中,已知a 、b 和A 时,解的情况如下: [1.在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A >B ?a >b ?sin A >sin B ;tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ;在锐角三角形中,cos A 正弦函数余弦函数的性质 教学目标 1.掌握y=sin x(x∈R),y=cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值.(重点) 2.会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题.(难点) 3.了解周期函数、周期、最小正周期的含义.(易混点) [基础·初探] 教材整理1函数的周期性 阅读教材P34~P35“例2”以上部分,完成下列问题. 1.函数的周期性 (1)对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 2.两种特殊的周期函数 (1)正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π. (2)余弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π. 函数y=2cos x+5的最小正周期是________. 解:函数y =2cos x +5的最小正周期为T =2π. 【答案】 2π 教材整理2 正、余弦函数的奇偶性 阅读教材P 37“思考”以下至P 37第14行以上内容,完成下列问题. 1.对于y =sin x ,x ∈R 恒有sin(-x )=-sin x ,所以正弦函数y =sin x 是奇函数,正弦曲线关于原点对称. 2.对于y =cos x ,x ∈R 恒有cos(-x )=cos x ,所以余弦函数y =cos x 是偶函数,余弦曲线关于y 轴对称. 判断函数f (x )=sin ? ?? ?? 2x + 3π2的奇偶性. 解:因为f (x )=sin ? ???? 2x +3π2=-cos 2x . 且f (-x )=-cos(-2x )=-cos 2x =f (x ),所以f (x )为偶函数. 教材整理3 正、余弦函数的图象和性质 阅读教材P 37~P 38“例3”以上内容,完成下列问题. 正弦函数、余弦函数的性质 ——定义域与值域 目的:要求学生掌握正、余弦函数的定义域与值域,尤其能灵活运用有界性 求函数的最值和值域。 过程: 一、复习:正弦和余弦函数图象的作法 二、研究性质: 1.定义域:y=sinx, y=cosx 的定义域为R 2.值域: 1?引导回忆单位圆中的三角函数线,结论:|sinx|≤1, |cosx|≤1 (有界性) 再看正弦函数线(图象)验证上述结论 ∴y=sinx, y=cosx 的值域为[-1,1] 2?对于y=sinx 当且仅当x=2k π+ 2 π k ∈Z 时 y max =1 当且仅当时x=2k π-2 π k ∈Z 时 y min =-1 对于y=cosx 当且仅当x=2k π k ∈Z 时 y max =1 当且仅当x=2k π+π k ∈Z 时 y min =-1 3.观察R 上的y=sinx,和y=cosx 的图象可知 当2k π 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导; 2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形; 3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查. 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用; 2.通 过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换,和三角函数性质相结合. 基础知识梳理 1. 正弦定理:a sin A =b sin B =c sin C =2R ,其中R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可 以变形:(1)a ∶b ∶c =sin_A ∶sin _B ∶sin _C ;(2)a =2R sin_A ,b =2R sin_B ,c =2R sin_C ;(3)sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c 2R 等形式,解决不同的三角形问题. 2. 余弦定理:a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos_A ,b 2 =a 2 +c 2 -2ac cos_B ,c 2 =a 2 +b 2 -2ab cos_C .余弦 定理可以变形:cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac ,cos C =a 2+b 2-c 2 2ab .正弦函数余弦函数的性质
正弦余弦函数的性质定义值域
正弦定理和余弦定理详细讲解