中考数学分类(含答案)解直角三角形的应用
中考数学分类（含答案）
解直角三角形应用
一、选择题 1．（2010辽宁丹东市）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树 的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m 二、填空题
1．（2010山东济宁）如图，是一张宽m 的矩形台球桌ABCD ，一球从点M （点M 在长边CD 上）出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的P 点. 如果MC n =，
CMN α∠=.那么P 点与B 点的距离为 .
【答案】
tan tan m n α
α
-?
2．（2010重庆市潼南县）如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为 米（精确到0.1）.（参考数据：414.12≈
732.13≈）
【答案】82.0 3．（2010江西）如图，从点C 测得树的顶角为33o，BC ＝20米，则树高AB ＝ 米（用计算器计算，结果精确到0.1米）
(第15题)
13
【答案】0.
4．（2010 湖北孝感）如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在
船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中
距灯塔S的最近距离是海里（不作近似计算）。
6
【答案】3
5．（2010广东深圳）如图5，某渔船在海面上朝正方方向匀速航行，在A处观测到灯塔M 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置。
【答案】15
6．（2010广东佛山）如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的政务时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是米。（假设夏至的政务时刻阳光与地平面夹角为60°）
7．（2010辽宁沈阳）若等腰梯形ABCD 的上、下底之和为2，并且两条对角线所成的锐角为60°，则等腰梯形ABCD 的面积为 。 【答案】3或
3
3 8．（2010四川达州）如图5，一水库迎水坡AB 的坡度1i =
， 则该坡的坡角α= .
【答案】30°
（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）
A ．（
32+）m B ．
（32）m C ． m D ．4m
【答案】A
9．（2010江苏宿迁）小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m ，则他升高了
A ．5200m
B ．500m
C ．3500m
D ．1000m 【答案】A
10．（2010浙江湖州）河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比1图5
（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（）
A．B．10米C．15米D．
【答案】A．
三、解答题
1．（2010安徽省中中考）若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，AB与河岸的夹角是600，船的速度为5米/秒，求船从A到B
3 ）
处约需时间几分。（参考数据：7.1
【答案】
2．（2010安徽芜湖）（本小题满分8分）图1为已建设封项的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D点的距离为5m，每层楼高3.5m，AE、BF、CH都垂直于地面，EF＝16cm，求塔吊的高CH的长．
解：
【答案】
3．（2010广东广州，22，12分）目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图8所示，
新电视塔高AB 为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C 处测得塔顶B 的仰角为45°，在楼顶D 处测得塔顶B 的仰角为39°． （1）求大楼与电视塔之间的距离AC ； （2）求大楼的高度CD （精确到1米）
45°
39°D C
E B
【分析】（1）由于∠ACB ＝45°，∠A ＝90°，因此△ABC 是等腰直角三角形，所以AC ＝AB ＝610；（2）根据矩形的对边相等可知：DE ＝AC ＝610米，在Rt △BDE 中，运用直角三角形的边角关系即可求出BE 的长，用AB 的长减去BE 的长度即可．
【答案】（1）由题意，AC ＝AB ＝610（米）；
（2）DE ＝AC ＝610（米），在Rt △BDE 中，tan ∠BDE ＝
BE
DE
，故BE ＝DE tan39°． 因为CD ＝AE ，所以CD ＝AB －DE ·tan39°＝610－610×tan39°≈116（米）
答：大楼的高度CD 约为116米．
【涉及知识点】解直角三角形 【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考查直角三角形的边角关系及其应用，难度一般不会很大，本题是基本概念的综合题，主要考查考生应用知识解决问题的能力，很容易上手，容易出错的地方是近似值的取舍．
4．（2010甘肃兰州）（本题满分8分）如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米.
（1）求新传送带AC 的长度；
（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6≈2.45)
【答案】（1）如图，作AD ⊥BC 于点D ……………………………………
1分
Rt △ABD 中，
AD =AB sin45°=4
2222
=?
……2分
在Rt △ACD 中，∵∠ACD =30°
∴AC =2AD =24≈6.5 (3)
分
即新传送带AC 的长度约为6.5米． ………………………………………4分
（2）结论：货物MNQP 应挪走． ……………………………………5分
解：在Rt △ABD 中，BD =AB cos45°=42222
=?
……………………6分 在Rt △ACD 中，CD =AC cos30°=
6223
24=?
∴CB =CD —BD =)26(22262-=-≈2.1
∵PC =PB —CB ≈4—2.1=1.9＜2 ………………………………7分
∴货物MNQP 应挪走． …………………………………………………………8分 5．（2010江苏南京）（7分）如图，小明欲利用测角仪测量树的高度。已知他离树的水平距离BC 为10m ，测角仪的高度CD 为1.5m ，测得树顶A 的仰角为33°.求树的高度AB 。 （参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）
【答案】
6．（2010江苏南通）（本小题满分9分）
光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50 m/min 的速度向正东方向行走，在A 处测得建筑物C 在北偏东60°方向上，20min 后他走到B 处，测得建筑物C 在北偏西45°方向上，求建筑物C 到公路AB 的距离．
（已知1.732≈）
【答案】过C 作CD ⊥AB 于D 点， 由题意可知AB =50×20=1000m ，
∠CAB =30°，∠CBA =45°，AD =CD /tan30°，BC =CD /tan45°， ∵AD +BD = CD /tan30°+ CD /tan45°=1000， 解得CD
1-）m ≈366m ．
7．（2010江苏盐城）（本题满分10分）如图所示，小杨在广场上的A 处正面观测一座楼
房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D 处的仰角为30o，然后他正对大楼方向前进5m 到达B 处，又测得该屏幕上端C 处的仰角为45o．若该楼高为26.65m ，小杨的眼睛离地面1.65m ，广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐．求广告屏幕上端与下端之间的距
离（ 3 ≈1.732，结果精确到0.1m ）．
（第23题）
【答案】解：设AB 、CD 的延长线相交于点E
∵∠CBE =45o CE ⊥AE ∴CE =BE ………………………（2分） ∵CE =26.65-1.65=25 ∴BE =25
∴AE =AB +BE =30 ……………………………………………（4分） 在Rt △ADE 中，∵∠DAE =30o ∴DE =AE ×tan30 o =30×
3
3
=10 3 …………………（7分） ∴CD =CE -DE =25-10 3 ≈25-10×1.732=7.68≈7.7(m) ……………（9分） 答：广告屏幕上端与下端之间的距离约为7.7m ……………………（10分） （注：不作答不扣分）
8．（2010山东青岛）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数）
（参考数据：o o o o 33711
sin37tan37sin 48tan48541010
≈≈≈≈，，，）
A B C D
E
A
B
C D
E
A
【答案】 解：设CD = x ． 在Rt △ACD 中，
tan37AD
CD ?=
， 则34AD x
=， ∴3
4
AD x =.
在Rt △BCD 中，
tan48° = BD
CD
，
则1110BD x
=， ∴11
10BD x =. (4)
分
∵AD ＋BD = AB ，
∴311
80410
x x +=． 解得：x ≈43．
答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD 大约是43米． ………………… 6 9．（2010四川凉山）如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45降为30，已知原滑滑板AB 的长为4米，点D 、B 、C 在同一水平地面上。 （1） 改善后滑滑板会加餐长多少米？
（2） 若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空
地，像这样改造是否可行？请说明理由。
1.414=
1.732=
2.449=，以上结果均保留到小数点后
两位）。 【答案】
10．（2010四川眉山）如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB ．小刚在D 处用高1.5m 的测角仪CD ，测得教学楼顶端A 的仰角为30°，然后向教学楼前进40m 到达E ，又测得教学楼顶端A 的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB ．
【答案】
解：在Rt △AFG 中，tan AG
AFG FG
∠=
∴tan AG FG AFG =
=∠……………（2分）
在Rt △ACG 中，
A
B
C
D
30
45
第20题图
tan AG
ACG CG ∠=
∴tan AG
CG ACG
=∠…………（4分）
又 40CG FG -=
即
40=
∴AG =…………………………（7分）
∴ 1.5AB =（米）
答：这幢教学楼的高度AB
为 1.5)米．（8分）
11．（2010浙江杭州）(本小题满分10分)
如图，台风中心位于点P ，并沿东北方向PQ 移动，已知台风移 动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B 市位 于点P 的北偏东75°方向上，距离点P 320千米处. (1) 说明本次台风会影响B 市； （2）求这次台风影响B 市的时间
.
【答案】
(1) 作BH ⊥PQ 于点H , 在Rt △BHP 中,
由条件知, PB = 320, ∠BPQ = 30°, 得 BH = 320sin30° = 160 < 200,
∴本次台风会影响B 市. ---4分
(2) 如图, 若台风中心移动到P 1时, 台风开始影响B 市, 台风中心移动到P 2时, 台风影响结束.
由（1）得BH = 160, 由条件得BP 1=BP 2 = 200,
∴P 1P 2 = 222160200-=240, --- 4分
∴台风影响的时间t =
30
240
= 8(小时). --- 2分12．（2010浙江嘉兴）设计建造一条道路，路基的横断面为梯形ABCD ，如图（单位：米）．设路基高为h ，两侧的坡角分别为α和β，已知2=h ，?=45α，2
1tan =
β，10=CD ．
（1）求路基底部AB 的宽；
（2）修筑这样的路基1000米，需要多少土石方？
【答案】1）作AB DE ⊥于E ，AB CF ⊥于F ，则2==CF DE ，
在Rt △ADE 中，∵?=45α，∴2==DE AE ．
α
β
A
B
C
E
D F
（第21题）
α
β
A
B
C
D （第21题）
在Rt △CFB 中，∵2
1tan =
β，∴21=BF CF ，∴42==CF BF ．
在梯形ABCD 中，又∵EF ＝CD ＝10， ∴AB ＝AE ＋EF ＋FB ＝16（米）． …6分 （2）在梯形ABCD 中，∵AB ＝16，10=CD ，2=DE ，
∴面积为262)1610(2
1
)(21=?+=?+DE AB CD （平方米），
∴修筑1000米路基，需要土石方：26000100026=?（立方米）． …4分
13．（2010浙江绍兴）如图,小敏、小亮从A ,B 两地观测空中C 处一个气球,分
别测得仰角为30°和60°,A ,B 两地相距100 m.当气球 沿与BA 平行地飘移10秒后到达C ′处时,在A 处测得气 球的仰角为45°.
（1）求气球的高度（结果精确到0.1ｍ）；
（2）求气球飘移的平均速度（结果保留3个有效数字）
.
【答案】
解:(1) 作CD ⊥AB ,C /E ⊥AB ,垂足分别为D ,E.
∵ CD ＝BD ·tan60°,
CD ＝（100＋BD ）·tan30°,
∴（100＋BD ）·tan30°＝BD ·tan60°, ∴ BD ＝50, CD ＝503≈86.6 m ， ∴ 气球的高度约为86.6 m.
(2) ∵ BD ＝50, AB ＝100, ∴ AD ＝150 ,
又∵ AE ＝C /E ＝503, ∴ DE ＝150－503≈63.40， ∴ 气球飘移的平均速度约为6.34米/秒.
第20题图
第20题图
14．（2010 浙江台州市）施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两
棵树间水平距离AB =4米，斜面距离BC =4.25米，斜坡总长DE =85米． （1）求坡角∠D 的度数（结果精确到1°）；
（2）若这段斜坡用厚度为17cm 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶?
【答案】(1) cos ∠D =cos ∠ABC =
BC AB =25
.44≈0.94，
∴∠D ≈20
°．
（2）EF =DE sin ∠D =85sin20°≈85×0.34=28.9(米) ，
共需台阶28.9×100÷17=170级． 15．（2010山东聊城）建于明洪武七年（1374年），高度33米的光岳楼是目前我国现存的最高大、最古老的楼阁之一（如图①）．喜爱数学实践活动的小伟，在30米高的光岳楼顶P 处，利用自制测角仪测得正南方向一商店A 点的俯角为60o，又测得其正前方的海源阁宾馆B 点的俯角为30o（如图②）．求商店与海源阁宾馆之间的距离．（结果保留根号）
第20题图
A P
O B
图②
【答案】由题意知∠PAO ＝60o，∠B ＝30o，在Rt △POA 中，
tan PO PAO OA
∠=，
30tan 60OA
?=，
（第19题）
OA＝30
，在在Rt△POB中，tan PO
B
AB
=，
30
tan30
OA
?=，OA＝30
÷
3
＝，∴AB＝OB－OA
＝
－
＝
16．（2010湖南长沙）为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60和45．求路况显示牌BC的高度．
【答案】解：在Rt△ABD,AB＝3m，∠ADB ＝45°所以
33
3
tan tan451
AB
AD
ADB
====
∠
．
Rt△ACD中，AD＝
3m，∠ADC＝
60°所以t a n3t603333
A C A D A D C
==?=
．所以路况
显示牌BC的高度为()3m．
17．（2010浙江金华）在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A 的引线（线段AC）长20m，风筝B的引线（线段BC）长24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°.
（1）试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高？
（2）求风筝A与风筝B的水平距离.
(精确到0.01 m；参考数据：sin45°≈0.707,cos45°≈0.707,
tan45°=1,sin60°≈0.866,cos60°=0.5,tan60°≈1.732）全品中考网
【答案】解：（1）分别过A ，B 作地面的垂线，垂足分别为D ，E ．
在Rt △ADC 中，
∵AC ﹦20，∠ACD ﹦60°，
∴AD ﹦20×sin 60°﹦103≈17.32m
在Rt △BEC 中，
∵BC ﹦24，∠BEC ﹦45°，
∴BE ﹦24×sin 45°﹦122≈16.97 m
∵17.32>16.97
∴风筝A 比风筝B 离地面更高． （2）在Rt △ADC 中，
∵AC ﹦20，∠ACD ﹦60°， ∴DC ﹦20×cos 60°﹦10 m
在Rt △BEC 中，
∵BC ﹦24，∠BEC ﹦45°，∴EC ﹦BC ≈16.97 m
∴EC －DC ≈16.97－10﹦6.97m
即风筝A 与风筝B 的水平距离约为6.97m ． 18．（2010 山东济南）我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC ∥AD ，斜坡AB =40米，坡角∠BAD =600，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过450时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米(结果保留根号)？ (第19题
【答案】解：作BG ⊥AD 于G ，作EF ⊥AD 于F ， ∵Rt △ABG 中，∠BAD =600，AB =40，
∴ BG =AB ·sin600=203，AG = AB ·cos600=20 同理在Rt △AEF 中，∠EAD =450， ∴AF =EF =BG =203，
∴BE =FG =AF -AG =20(13-)米.
19．（2010江苏泰州）庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C 处出发，以24米/
分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B 处出发．如图，已知小山北坡的坡度
31∶=i ，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞
亮同时到达山顶A ？（将山路AB 、AC 看成线段，结果保留根号）
【答案】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，
在Rt △ADC 中，由3:1=i 得tan C =33
3
1=
∴∠C =30°∴AD =21AC =21×240=120(米)
在Rt △ABD 中，∠B =45°∴AB ＝2AD ＝1202（米） 1202÷（240÷24）＝1202÷10＝122（米/分钟）
答：李强以122米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A ．
20．（2010江苏无锡）在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码
头西端M 的正西19.5km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30°，且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位
于A 的北偏东60°，且与A
相距的C 处．
（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由．
东
l
【答案】解：（1）由题意，得∠BAC =90°，
∴BC =
=．
∴轮船航行的速度为43
=km/时．
(2)能．……（4分）
作BD ⊥l 于D ，CE ⊥l 于E ，设直线BC 交l 于F ，
l
东
则BD =AB ·cos ∠BAD =20，CE =AC ·sin ∠CAE
=，AE =AC ·cos ∠CAE =12． ∵BD ⊥l ，CE ⊥l ，∴∠BDF =∠CEF =90°．又∠BFD =∠CFE ，∴△BDF ∽△CEF ，
∴
,DF BD EF
CE
=
∴
32EF EF
+=
，∴EF =8．
∴AF =AE +EF =20． ∵AM ＜AF ＜AN ，∴轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN 靠岸． 21．（2010湖南邵阳，22，8分）如图（十二），在上海世博会场馆通道建设中，建设工人将坡长为10米（AB ＝10米），坡角为20°30`（∠BAC ＝20°30`）的斜坡通道改造成坡角为12°30`（∠BDC ＝12°30`）的斜坡通道，使坡的起点从点Ａ处向左平移至点
Ｄ处，求改造后的斜坡通道BD 的长。（结果精确到0.1米,参考数据:sin12°30`＝0.21,sin20°30`＝0.35,sin69°30`＝0.94）
【答案】由题意，BC ＝AB ×sin20°30`＝10×0.35＝3.5（米）；
在Rt △BDC 中，sin12°30`＝
BC BD ，故BD ＝`
sin1230BC
≈16.7． 答：履行后斜坡通道BD 的长约为16.7米． 22．（2010重庆綦江县）据交管部门统计，高速公路超速行驶是引发交通事故的主要原因．我县某校数学课外小组的几个同学想尝试用自己所学的知识检测车速，渝黔高速公路某路段的限速是：每小时80千米（即最高时速不超过80千米），如图，他们将观测点设在到公路l 的距离为0.1千米的P 处．这时，一辆轿车由綦江向重庆匀速直线驶来，测得此车从A 处
行驶到B 处所用的时间为3秒（注：3秒＝
1
1200
小时），并测得∠PAO ＝59°，∠BPO ＝45°．
试计算AB 并判断此车是否超速？（精确到0.001）
．
（参考数据：sin59°≈0.8572，cos59°≈0.5150，tan59°≈1.6643）
綦江
重庆l
P
A
B
O
【答案】设该轿车的速度为每小时v 千米 ∵AB ＝AO －BO ，∠BPO ＝45° ∴BO ＝PO ＝0.1千米
又AO ＝OP ×tan59°＝0.1×1.6643
∴AB ＝AO －BO ＝0.1×1.6643－0.1＝0.1×0.6643＝0.06643 即AB ≈0.0066千米
而3秒＝
1
1200
小时 ∴v ＝0.06643×1200≈79.716千米/小时 ∵79.716＜80 ∴该轿车没有超速．
23．（2010 江苏连云港）（本题满分10分）如图，大海中有A 和B 两个岛屿，为测量它
A
B
E F Q
P 们之间的距离，在海岸线PQ 上点E 处测得∠AEP ＝74°，∠BEQ ＝30°；在点F 处测得∠AFP ＝60°，∠BF Q ＝60°，EF ＝1km ． （1）判断ABAE 的数量关系，并说明理由；
（2）求两个岛屿A 和B 之间的距离（结果精确到0.1km ）．（参考数据：3≈1.73，
sin74°≈，
cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）
【答案】
24．（2010湖南衡阳）为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB ，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区，现在某工人站在离B 点3米远的D 处，从C 点测得树的顶端A 点的仰角为60°，树的底部B 点的俯角为30°.
问：距离B 点8米远的保护物是否在危险区内？9分
2019中考数学解直角三角形汇编
解直角三角形应用篇 1．（2019山东泰安中考）（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km． A．30+30B．30+10C．10+30D．30 2．（2019山东淄博中考）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（） A．130°B．120°C．110°D．100° 3（.2019山东聊城中考）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体高度（如图①所示，CD 部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45，底端D点的仰角为 30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4（如图② 所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.40.89， cos63.40.45，tan63.42.00，21.41，31.73）
的
4. (2019甘肃中考7分)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户设计遮阳篷”这-课 题进行了探究: 出: 1是某住户窗户上方安装的，要求设计的遮阳篷既能最大限度夏天 炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射. 方案设计: 2,该数学课题研究小组通过调查研究设AC 的遮阳篷CD 数据收集: 通过查阅:兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太DA 与遮阳篷C D 的夹角∠A D C 最大(∠A D C =77.44°):冬至这一天的正午时刻，太 DB 与遮 阳篷CD 的夹角 ∠BDC 最小(∠BDC=30.56°);窗户的高度AB=2m 决: 根据上述方案及数据，求遮阳篷C . (结果0.1m,参考数据:sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86,tan30.56°≈0.59)
2019年中考数学专题复习第十九讲解直角三角形(含详细参考答案)
2019年中考数学专题复习 第十九讲解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义： 在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为cosA= ∠A的正切：tanA= ，它们统称为∠A的锐角三角函数 【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与有关，与直角三角形的无关 2、取值范围
三、解直角三角形： 1、定义：由直角三角形中除直角外的 个已知元素，求出另外 个未知元素的过程叫解直角三角形 2、解直角三角形的依据： Rt ∠ABC 中，∠C=900 三边分别为a 、b 、c ⑴三边关系： ⑵两锐角关系 ⑶边角之间的关系：sinA cosA tanA sinB cosB tanB 【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯 角 ⑵坡度坡角：如图： 斜坡AB 的垂直度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，即i= 坡面 与水平面得夹角为 用字母α表示，则i=tanα=h l 。 ⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA 表示 OB 表示 铅直 水平线 视线
中考解直角三角形知识点整理复习
中考解直角三角形 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2 ＋b 2 ＝c 2 . 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦股 勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。 考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2 +b 2 =c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c ）； （2）若c 2 ＝a 2 ＋b 2 ，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2 ＋b 2 ＜c 2 ，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2 ＋b 2 ＞c 2 ，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边） 4. 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n 的线段 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan = ∠∠= 的邻边的对边A A A
初三数学：解直角三角形
解直角三角形 知识要点： 1、 锐角三角函数：正弦、余弦、正切、余切 sin A =斜边的对边A ∠, cos A =斜边的邻边 A ∠, tan A =的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边 的邻边 A A ∠∠ (1)平方关系：1cos sin 2 2=+A A ； (2)倒数关系：1cotA tanA =?； (3)商的关系：tanA= A A cos sin (4)互余两角的正余弦、正余切关系： 如果ο 90=∠+∠B A ，那么B A A cos )90cos(sin =-=ο ；tanA=cot （90°-A ）=cotB 2、 解直角三角形 3、 解直角三角形的应用：坡度问题、测量问题、航海问题 关键是把实际问题转化为数学问题来解决 (构造直角三角形) 几个专用名词：俯角、仰角、坡角、坡度（或坡比）、方向角 一：转化思想在解直角三角形中的应用 转化的思想在数学中应用十分广泛，在不含直角三角形的图形中（如斜三角形、梯形等），我们应通过作适当的垂线构造直角三角形，从而转化为解直角三角形问题，希望同学们在不断地学习中总结这种添加垂线的技巧例1. 在△ABC 中，已知AB=6，∠B=45°，∠C=60°，求AC 、BC 的长． 已知条件 解法 一边及 一锐角 直角边a 及锐角A B ＝90°-A ，b ＝a·tanA，c= sin a A 斜边c 及锐角A B ＝90°-A ，a ＝c·sinA，b ＝c·cosA 两边 两条直角边a 和b ，B ＝90°-A ， 直角边a 和斜边c sinA= a c ，B ＝90°-A ，
例2. 如图所示，△ABC中，∠BAC=120°，AB=5，AC=3，求sinB·sinC的值． 例3．如图，在ΔABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于D，则 CD AC AB- 等于（）． A .sin A B. cos A C . tan A D . cot A 例4．如图所示，在ΔABC中，∠B=60°，且∠B所对的边b=1，AB+BC=2，求AB的值． 例5．已知：在ΔABC中，∠B=60°，∠C=45°，BC=5，求ΔABC的面积． 例6．如图，ΔABC中，∠A=90°，AB=AC，D是AC上的一点，且AD∶DC=1∶3，求tan∠DBC的值． 二：可解的非直角三角形的类型与解法 解这类三角形一般都需要三个条件，它的解题思路是：作垂线，构造含特殊角的直角三角形来解决，下面分类举例说明，供同学们参考． 一、“SSS”型：例1．已知：如图１，BC=2，AC=6，AB=31 +，求△ABC各内角的度数． B A D C 图1
解直角三角形中考题型
《解直角三角形》复习及中考题型练习 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 几何表示：∵∠C=90°∠A=30°∴BC=2 1 AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何表示：∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=2 1AB=BD=AD 4、勾股定理：222c b a =+ 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。 即：∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ?=2 AB AD AC ?=2 AB BD BC ?=2 6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（a b c h ?=?） 由上图可得：AB ?CD=AC ?BC 二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90° c a sin =∠= 斜边的对边A A c b cos =∠= 斜边的邻边A A b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0， 三、特殊角的三角函数值（熟记） 四、 解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 三种基本关系：1:、边边关系：2 2 2 a b c += 2、角角关系：∠A+∠B=90° 3、边角关系：即四种锐角三角函数 类型 已知条件 解法 两边 两直角边a 、b 2 2 c a b =+，tan a A b = ，90B A ∠=?-∠ 直角边a ，斜边c 22 b c a =-，sin a A c =，90B A ∠=?-∠ 一边 一锐角 直角边a ，锐角A 90B A ∠=?-∠，cot b a A =，sin a c A = 斜边c ，锐角A 90B A ∠=?-∠，sin a c A =g ，cos b c A =g 五、对实际问题的处理 （1）俯、仰角. （2）方位角、象限角. （3）坡角（是斜面与水平面的夹角）、坡度（是坡角的正切值）. 仰角 俯角 北 东 南 α h L i i=h/L=tg α A C B D
初中数学 解直角三角形教案
第19章解直角三角形 19、1 测量 教学目标 使学生了解测量是现实生活中必不可少的，能利用图形的相似测量物体的高度，培养学生动手知识解决问题的能力和学习数学的兴趣。 教学过程 一、引入新课 测量在现实生活中随处可见，筑路、修桥等建设活动都需要测量。当我们走进校园，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，我们也许会想，高高的旗杆到底有多高，能否运用我们所学的知识把旗杆的高度测量出来呢? 二、新课 1．根据同学们课前预习的，书上阐述的测量旗杆高度的方法有几种?你是如何理解的呢?(待同学们回答完毕后再阐述，这里重要的是让同学们画出示意图) 课上阐述测量旗杆的方法。 第一种方法：选一个阳光明媚的日子，请你的同 学量出你在太阳下的影子的长度和旗杆影子的长 度，再根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度。(如 图所示) 由于太阳光可以把它看成是平行的，所以有∠BAC＝∠B1A1C1，又因为旗杆和人都是垂直与地面的，所以∠ACB＝∠A1C1B1＝90°，所以，△ ACB∽△A1C1 B1，因此，BC AC＝B1C1 A1C1，则BC＝ AC×B1C1 A1C1，即可求得旗杆 BC的高度。 如果遇到阴天，就你一个人，是否可以用其他方法测出旗杆的高度呢?
第二种方法：如图所示，站在离旗杆的底部10米处的D点，用所制作的测角仪测出视线与水平线的夹角∠BAC=34°,并且已知目高AD为1米,现在请你按1:500(根据具体情况而定,选合适的即可)比例将△ABC画在纸上，并记作△A1B1C l，用刻度尺量出纸上B l C l的长度,便可以计算旗杆的实际高度。 由画图可知: ∵∠BAC＝∠B l A l C l＝34°，∠ ABC＝∠A1B1C l＝90° ∴△ABC∽△A l B1C l ∴B l C1＝ 1 500 ∴BC＝500B l C l，CE＝BC＋BE，即可求得旗杆的高度。 2．带领同学们到操场上分别用两种方法测得相应的数据，并做好记录。(指导学生使用测角仪测出角度) 三、小结 本节课是用相似三角形的性质来测量旗杆的高度，同学们在学习中应掌握其原理，并学会应用知识解决问题的方法。 四、作业 1．课本第99页习题19．1。 2．写出今天测量旗杆高度的步骤，画出图形，并根据测量数据计算旗杆的高度。
中考数学专题练习解直角三角形
《解直角三角形》 一、选择题：（满分24分） 1．在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则tan A 的值是（ ） A ．45 B ．35 C ．43 D ．34 2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝ ，则sin B 的值为（ ） A ． B ．513 C ． D ． 3. 已知0°＜α＜90°，则m ＝sin α＋cos α的值（ ） A ．m ＞1 B ．m ＝1 C ．m ＜1 D ．m ≥1 4.在ABC △中，若23sin (1tan )02 A B -+-=，则C ∠的度数是（ ） A ．45? B ． 60? C ．75? D ．105? 5. 如果直线2y x =与x 轴正半轴的夹角为α，那么下列结论正确的是（ ） A. sin 2α= B. cos 2α= C. tan 2α= D. 1tan 2 α= 6.如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为（ ） A ．13 B ．12 C ．22 D ．3 7. 如图，坡角为30的斜坡上两树间的水平距离AC 为2m ，则坡面距离AB 为（ ） Ａ．4m 3 43 Ｄ．43 8. 如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度1:1.5i =，则坝底AD 的长度为( )
A ．26米 B ．28米 C ．30米 D ．46米 第6题图 第7题图 第8题图 二、填空题：（每小题3分，共24分） 9. 在Rt △ABC 中,∠C ＝90o，BC ＝5，AB ＝13，sin A ＝_________. 10.计算：=?+0030cos 60tan 45sin 2 ＝ ． 11.如图，在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角为α度，AC ＝7米，则树高BC 为 米（用含α的代数式表示）． 12．如图，小明爬一土坡，他从A 处爬到B 处所走的直线距离AB ＝4米，此时，他离地面高度为h ＝2米，则这个土坡的坡角∠A ＝ ． 13．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了200米到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C (如图)，那么，由此可知，B C 、两地相距 米. 第11题图 第12题图 第13题图 14．一架梯子AB 斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离是AC ＝3米，且3cos 4BAC ∠=，则梯子AB 的长度为 米. 15.如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝ ，则AB 的长为 ． 16.如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，点C 是优弧 上一点（不与A ，B 重合），那么cos C ∠的值是 . 第15题图 第16题图 三、解答题（本大题共8个小题，满分52分）： 17. （本题4分）计算：00(32)4sin 60223-+-- 18.（本题4分） 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8．若∠BPC ＝12 ∠BAC ，试求tan ∠BPC 的值． 19.（本题6分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10m ，到达B 点，在B 处测得树顶C 的仰角高度为60° （A 、B 、D 三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD 的高度（结果精确到0.1m ）．（参考数据：≈1.414，≈1.732） 20.（本题6分）如图，在Rt ?ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，BC ＝6，5 3sin =A ，求DE. ＡＢ
初三数学解直角三角形
初三数学解直角三角形 1、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫解直角三角形． 2、解直角三角形的依据 （1）三边之间的关系：a2＋b2=c2．（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B=90°． （3）边角之间的关系： 例1如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，tanB=cos∠DAC． （1）求证：AC=BD；（2）若BC=12，，求AD的长． 3、仰角与俯角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫俯角．如图所示： 例2、汶川地震后，抢险队派一架直升机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米的上空P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°，如图所示，求A、B两个村庄之间 的距离．（精确到1m．参考数据） 4、方向角：指北或指南方向与目标方向线所成的小于90°的夹角叫方向角．如图所示：例3某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h．交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度监测点A，在如图所示的坐标系中，点A在y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．1）请在图中画出表示北偏东45°方向的射线AC，并标出点C的位置； 2）点B的坐标为__________，点C的坐标为__________； 3）一辆汽车从点B行驶到点C所用的时间为15s，请你通过计算判断汽车在这段限速公路 上是否超速行驶（本问中取1.7） 1、已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，则a=（） A．B． C． D．6 2、一等腰梯形的高为4，下底长为8，下底的底角的正弦值为0.8，那么它的上底和腰长分别为（）A．4和5 B．2和5 C．2和4 D．4和10 3、王师傅在楼顶的A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°，又知水平距离BD为10m，楼高AB为24m，则树高CD为（）m．
初中数学解直角三角形八
初中数学解直角三角形八
第十一章解直角三角形 考点一、直角三角形的性质（3~5分） 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 1AB 可表示如下：?BC= 2 ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下：?CD=21AB=BD=AD D为AB的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边 c的平方，即2 2c 2 a= + b 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是 两直角边在斜边上的摄影的比例中 项，每条直角边是它们在斜边上的摄
影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC 考点二、直角三角形的判定 （3~5分） 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 22 c b a =+， 那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 （3~8分） 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin = ∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦， 记为cosA ，即c b cos =∠=斜边 的邻边A A
2019中考试题分类——解直角三角形
2019中考试题分类——解直角三角形 注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！ 1.〔2018江苏苏州，26，8分〕如图，斜坡AB 长60米，坡角〔即∠BAC 〕为30°，BC ⊥AC ， 现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体〔用阴影表示〕修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE .〔请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据〕. ⑴假设修建的斜坡BE 的坡角(即∠BAC )不大于45°,那么平台DE 的长最多为▲米； ⑵一座建筑物GH 距离坡脚A 点27米远〔即AG=27米〕，小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角(即 ∠HDM )为30°.点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面上，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG ⊥CG ，问建筑物GH 高为多少米？ 30°30°H M G D E F C B A 【答案】解：⑴11.0〔10.9也对〕. ⑵过点D 作DP ⊥AC ，垂足为P . 在Rt △DPA 中，，. 在矩形DPGM 中，，. 在Rt △DMH 中，. ∴. 答：建筑物GH 高为45.6米. 2、如图5，一天，我国一渔政船航行到A 处时，发现正东方 向的我领海区域B 处有一可疑渔船，正在以12海里∕小时的 速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60o方向航行， 1.5小时后，在我领海区域的C 处截获可疑渔船。问我渔政船 的航行路程是多少海里？(结果保留根号) 知识点考察：①解直角三角形，②点到直线的距离，③两角 互 余的关系④方向角，⑤特殊角的三角函数值。 能力考察：①作垂线，②逻辑思维能力，③运算能力。 分析：自C 点作AB 的垂线，垂足为D ，构建Rt △ACD ，
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WORD格式 解直角三角形应用篇 1．（2019 山东泰安中考）（ 4 分）如图，一艘船由 A 港沿北偏东65°方向航行30km 至 B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至 C 港， C 港在 A 港北偏东 20°方向，则A， C 两港之间的距离为（）km． A． 30+30B． 30+10C． 10+30D． 30 2．（2019 山东淄博中考）如图，小明从 A 处沿北偏东40°方向行走至点 B 处，又从点 B 处沿东偏南 20 方向行走至点 C 处，则∠ ABC等于（） A． 130° B． 120° C． 110 ° D． 100 ° 3（.2019 山东聊城中考）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体高度（如图①所示，CD 部分），在起点 A 处测得大楼部分楼体 CD的顶端 C 点的仰角为45，底端 D 点的仰角为 30°，在同一剖面沿水平地面向前走20 米到达 B 处，测得顶端 C 的仰角为63.4 （如图② 所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到 1 米）（参考数据：sin63.40.89，
cos63.40.45 ，tan63.42.00，21.41， 31.73 ） 专业资料整理
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WORD格式4. ( 题出: 2 进1 行是 1 炎了某 9 热探方案设计 : 甘住 的究2 肃户 :阳, 中数窗据收集 : 光该 考户 ，通 7数上 与 又过 分学方 遮 能 阳篷 CD查的夹角 )课安 阳 最阅 题 某∠ BDC最装小 ( ∠ BDC=30.56° ); 窗户的高度 篷: 大 数研的决: 限C兰 学究， D度根 州 课小要 的 地据 市 题组求 夹 使上 结一 研通设 角述 冬 果年 究过计 ∠°≈ 0.51 天方 中 小调0.1m, 参考数据 :sin30.56的 A温案， 组查遮 D暖及夏 针研阳 C的数至 对究篷 最 阳据 这 兰设既 大 光， 一 州AC的遮阳篷 CD能 (射求 市天最 ∠的遮 .住大 A阳 房正限 D篷 窗午度 C C时 户夏天 =.刻 设计遮阳篷”这 - 课 7， 7太 .DA 4 4 ° ) : 冬 至 这 一 天 的正 午 时 刻 ， 太 DB与遮
中考数学专题特训 解直角三角形(含详细参考答案)
中考数学专题复习解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义： 在RE△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数 【提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关 2、取值范围
sinB cosB tanB 【提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念 ⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 ⑵坡度坡角：如图： 斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度，用i表示，即i=坡面与水平面得 夹角为用字母α表示，则i=h l = ⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA表示OB表示 OC表示（也可称西南方向） 3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤： ⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题） ⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形 ⑶解数学问题答案，从而得到实际问题的答案 【提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】 【重点考点例析】 考点一：锐角三角函数的概念 例1 （2012?内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（） A．1 2 B． 5 5 C． 10 10 D． 25 5 思路分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O， 根据网格的特点，CD⊥AB，
2018中考数学解直角三角形在实际问题中的运用含答案
D A B C E F 解直角三角形在实际问题中的运用 要点一：锐角三角函数的基本概念 1.(·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE = 12 13 ． （1）求半径OD ； （2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干？ 2.（綦江中考）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE ． （1）求证：ABE △DFA ≌△； （2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值． 3、（宁夏中考）如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A = 5 4 ，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值． O E C D
4、（肇庆中考）在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值. 5、（·芜湖中考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠， (1) 求证：AC=BD ； (2)若12 sin 13 C = ，BC =12，求AD 的长． 要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题 1.（·钦州中考）sin30°的值为（ ） A 3 B 2 C ． 12 D 3 2.（长春中考）．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 452AOC OC ∠==°，B 的坐标为（ ） A ．(21)， B ．2)， C ．211)， D ．(121)， 3.(定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米 B ．3 C 83米 D ．43 3 米 4.宿迁中考）已知α为锐角，且2 3 )10sin(= ?-α，则α等于（ ） Ａ．?50 Ｂ．?60 Ｃ．?70 Ｄ．?80 5.（毕节中考） A （cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A 1的坐标是（ ）
中考数学分类(含答案)解直角三角形的应用
中考数学分类（含答案） 解直角三角形应用 一、选择题 1．（2010辽宁丹东市）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树 的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m 二、填空题 1．（2010山东济宁）如图，是一张宽m 的矩形台球桌ABCD ，一球从点M （点M 在长边CD 上）出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的P 点. 如果MC n =， CMN α∠=.那么P 点与B 点的距离为 . 【答案】 tan tan m n α α -? 2．（2010重庆市潼南县）如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为 米（精确到0.1）.（参考数据：414.12≈ 732.13≈） 【答案】82.0 3．（2010江西）如图，从点C 测得树的顶角为33o，BC ＝20米，则树高AB ＝ 米（用计算器计算，结果精确到0.1米） (第15题)
13 【答案】0. 4．（2010 湖北孝感）如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在 船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中 距灯塔S的最近距离是海里（不作近似计算）。 6 【答案】3 5．（2010广东深圳）如图5，某渔船在海面上朝正方方向匀速航行，在A处观测到灯塔M 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置。 【答案】15 6．（2010广东佛山）如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的政务时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是米。（假设夏至的政务时刻阳光与地平面夹角为60°）
初中数学解直角三角形综合讲义
初中数学解直角三角形综合讲义 一、理解概念 1.产生的背景：直角三角形中三边和三角的数量关系 2 明确概念：解直角三角形 阐述概念：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和2个锐角。由直角三角形中除 直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形 定对象： 特殊的求解过程 定角度： 已知元素 新事物： 求出未知元素 举例：在△ABC 中，∠C 为直角，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c=287.4， ∠B=42°6′，解这个直角三角形。 解：（1）∠A=90°- 42°6′=47°54′ （2）∵ cosB= c a , ∴a=c cosB=287.4×0.7420≈213.3 （3）∵ sinB=c b , ∴b=c sinB=287.4×0.6704≈192.7 二、研究概念 1.条件： 直角三角形 2.构成和本质 [边] 两条直角边 [角] 有一个直角 [角] 两锐角互余 3.特征： [角] 两锐角互余，∠A+∠B=90° [边] 勾股定理，a 2+b 2=c 2 [等式的性质] a 2 =c 2 —b 2 b 2= c 2 —a 2 勾股定理逆定理 [边、角] 锐角三角函数 [重要线段] 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 [圆] 直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点 [特殊角] 30°角所对的直角边是斜边的一半 45°角所对的直角边是斜边的2 倍 4.下位 无 5.应用：
三、例题讲解 1、在R t △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，如果BC= a ，∠B=α，那么AD 等于 （ ） （A 级） A 、 asin 2α B 、acos 2 α C 、asin αcos α D 、asin αtan α 对象：R t △ABC 中，AD 角度： 三角函数 分析：R t △ABC cosB=BC AB cos α= a AB AB= a ·cos R t △ABD sin α=AB AD AD= sin α·AB AD= asin αcos α 2、 正方形ABCD 中，对角线BD 上一点P ，BP∶PD=1∶2，且P 到边的距离为2，则正方形的边长是 ，BD= 对象：正方形ABCD 对角线BD 上的点P 角度： 直角三角形 分析：设P 到边的距离为PE 。分四种情况： BP=22 （1） P 到边BC 的距离为PE=2，∠DBC=45° BE=PE=2 [BP∶PD=1∶2] PD=42 BD=62 正方形的边长为6 （2） P 到边AB 的距离为PE=2、P 到边AD 的距离为PE=2 、P 到边CD 的距离为PE=2方法照上。 3、如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3， AC=3，则BD= 对象：Rt △ABC 中BD 角度：相似三角形 分析：△ABC ～△CBD BC 2 =BD ·AB BC=3，AC=3 AB=32 BD=2 1 4、在△ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ都是锐角，且ｓｉｎＡ＝2 1 ，ｔａｎＢ＝3，ＡＢ＝１０。 求△ＡＢＣ的面积。 对象：△ＡＢＣ的面积 角度：锐角函数值 分析：ｓｉｎＡ＝ 2 1，ｔａｎＢ＝3 ∠A=30°，∠B=60° ∠C=90° △ＡＢＣ是以AB 为斜边的直角三角形 [ＡＢ＝１０，∠A=30°，∠B=60°] △ＡＢＣ的面积为2 3 25 AC=5 3,BC=5 5、河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°， 测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50米。 C A D B
中考数学解直角三角形检测试题汇编
解直角三角形 一、选择题 1．(2016福州，9,3分)如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（） A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα）D．（sinα，cosα） 【考点】解直角三角形；坐标与图形性质． 【专题】计算题；三角形． 【分析】过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在直角三角形OPQ中，利用锐角三角函数定义表示出OQ与PQ，即可确定出P的坐标． 【解答】解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q， 在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α， ∴sinα=，cosα=，即PQ=sinα，OQ=cosα， 则P的坐标为（cosα，sinα）， 故选C． 【点评】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．2．(2016·云南)一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（） A．米2B．米2C．（4+）米2D．（4+4tanθ）米2 【考点】解直角三角形的应用． 【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果． 【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AC?tanθ=4tanθ（米），
∴AC+BC=4+4tanθ（米）， ∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+tanθ（米2）； 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键．3．（2016·四川巴中）一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（） A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10° C．AC=1.2tan10°米D．AB=米 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 【分析】根据坡度是坡角的正切值，可得答案． 【解答】解：斜坡AB的坡度是tan10°=，故B正确； 故选：B． 4．（2016山东省聊城市，3分）聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点O是摩天轮的圆心，长为110米的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°，测得圆心O的仰角为21°，则小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为（tan33°≈0.65，tan21°≈0.38）（） A．169米B．204米C．240米D．407米 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 【分析】过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，求得AD=CD?tan∠ACD=CD?tan33°，在Rt△BCO中，求得 OD=CD?tan∠BCO=CD?tan21°，列方程即可得到结论． 【解答】解：过C作CD⊥AB于D， 在Rt△ACD中，AD=CD?tan∠ACD=CD?tan33°， 在Rt△BCO中，OD=CD?tan∠BCO=CD?tan21°， ∵AB=110m， ∴AO=55m，
初中数学解直角三角形知识点小结
第十一章 解直角三角形 小结 考点一、直角三角形的性质 （3~5分） 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC=2 1AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD= 2 1AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比 例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC 考点二、直角三角形的判定 （3~5分） 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 （3~8分） 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c a sin =∠=斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即 c b cos =∠=斜边的邻边A A
③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan =∠∠=的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a b cot =∠∠= 的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系 1cos sin 22=+A A （3）倒数关系 tanA ?tan(90°—A)=1 （4）弦切关系 tanA=A A cos sin 5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时， （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 考点四、解直角三角形 （3~5） 1、解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2018年全国中考数学 解直角三角形压轴题专题复习
2018年全国中考数学 解直角三角形压轴题专题复习 【课标要求】 1.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角； 2.探索勾股定理及其逆定理，并掌握运用它们解决一些简单的实际问题； 3.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A 、cos A 、tan A )；知道30?、45?、60?角的三角函数值； 4．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角； 5.能用锐角三角函数解直角三角形，并用相关知识解决一些简单的实际问题． 【课时分布】 解直角三角形在第一轮复习时大约需要5课时，其中包括单元测试及评析．下表为内容及课时安排(仅供参考)． 【知识回顾】 1．知识脉络 2．基础知识 (1)勾股定理及其逆定理 ①勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 即：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2． ②勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形． (2)锐角三角函数 ①锐角三角函数的定义 如图7-1，在Rt △ABC 中，∠C =90?，则 sin A =A ∠的对边斜边=a c ，cos A =A ∠的邻边斜边=b c ， tan A = A A ∠∠的对边的邻边 = a b ． sin A 、cos A 、tan A 分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A 的三角函数． ∠A 的对边a ∠A 的邻边图7-1
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